Rastavljanje na cinioce

1. Квадрат бинома: 2 2 2
(I II) = I 2 I II + II   
Пример 1. Користећи формулу за квадрат бинома израчунај:
 
 
 
2
2
2
a) x 3
б) 2х 3
в) 5а 2х
 
 
 
Решење: Дата нам је лева страна квадрата бинома, што значи да је потребно да нађемо десну страну:
 
 
 
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
х 2 3 x 3 х 6x 9
(2х) 2 2х 3 3 4х 12x 9
(5а) 2 (5а) (2х) (
a) x 3
б)
2х) 25а 20а
2х 3
в) 5а 2х x 4х
      
    
 
 

 
      
Пример 2: Користећи формулу за квадрат бинома израчунај:
2
2 2
2
a)x 4x 4
б)4x 12xy 9y
1 2
в) x x
25 5
  
  
  
Решење: Дата нам је десна страна квадрата бинома, што значи да је потребно да нађемо леву страну.
Потребно је, најпре, наћи шта су први и други члан, па тек онда проверити користећи средњи
члан:
 
22 2
2 2 2
2
2 2 2 2
x 4
I =x II =2 што нам говори да је I= x, а II=2.
Средњи члан би треба
a) 4x
Дакле, x 4x 4 x
ло да буде: 2 I II=2 х 2 4x
2 x 2 4 х 2
б) 4x 12xy 9y (2x) 2 2x 3у
  
        
   


 

 
 
22
2 2
2 2
(3у) 2х 3у
1 2 1 1 1
в) x x 2 x x х
25 5 5 5 5
  
   
           
   
****
Разлика квадрата: 2 2
I -II = (I-II) (I+II)
Пример 3. Користећи формулу за разлику квадрата, израчунај:
   
   
   
а) а b a b
б) 2а 3b 2a 3b
в) 4х 1 4х 1
1 1
г) аb 0,1c аb 0,1c
2 2
   
   
   
   
      
   
Решење: Дата нам је десна страна разлике квадрата, што значи да је потребно да нађемо леву страну:

2.    
   
   
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
2
a b
(2a) (3b) 4a 9b
16
а) а b a b
б) 2а 3b 2a 3b
в) 4х 1 4х 1 (4х) 1
1 1
г) аb 0,1c
х 1
1 a b
аb 0,1c
2 2
аb (0,1c) 0,01c
2 4
   
   
     
   

  

 
        


 

 
Пример 4. Користећи формулу за разлику квадрата, израчунај:
2
2
2
a) x 16
б) 9x 1
16
в) x
25
 
 
 
Решење: Дата нам је лева страна разлике квадрата, што значи да је потребно да нађемо десну страну.
Потребно је прво наћи шта су први и други члан:
   
   
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
a)
Дакле, x 16 х 4 х 4
б)
x 16
I =x II =4
9x 1 (3x) 1 3х
што нам говори да је I= x, а II=4
1 3х 1
16 4 4 4
в) x x х х
.
25 5 5 5
 
    
      
     
           
     
****
Растављање на чиниоце
Раставити број на чиниоце значи написати га у облику производа простих чинилаца.
нпр. 6 = 2·3
Пример 5. Растави на чиниоце бројеве: 24, 108, 324.
Решење: 24 = 2 · 2 · 2 · 3
108 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
324 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3
Пример 6. Растави на чиниоце степене: х4
, х2
у2
, (аb)3
.
Решење: х4
= х · х · х · х
х2
у2
= х · х · у · у
(аb)3
= аb · аb · аb
Пример 7. Дате мономе запиши у облику производа: 6a3
b3
, 15xy2
z4
, 21x2
yz2
.
Решење: 6a3
b3
= 2·3·a·a·а·b·b·b
15xy2
z4
= 3·5·х·у·у·z·z·z·z
21x2
yz2
= 3·7·х·х·у·z·z
Како гласи дистрибутивни закон?  a b c a b a c     
Пример 8. Користећи дистрибутивни закон, запиши у облику производа:
а) 2х2
+3х б) 6ab2
– 9ab3
в) -12x3
y2
z + 8xyz.

3. 2 2 2
2 3 2 2
б)12а 16а в)3х -2ха)5х 5у г)4х 4х
д) х(у 1)-у(у 1) ђ) 3(а -1)-а(а -1) е) 3х 6х-9х ж) 15х у
     
       3
20ху 
2 2 2 2
2 2
2
y y 4
1
9
4
а)x д) x
б)16а ђ) x
в)25-4х
 
 
 
 

2
4 2 4
2 2 2
16a y
16 4
36y y
25 9
е) 9x
г)4х ж) х

 

 
2 2 2
2 2
2 2
1
2xy 25y6x 9
25
1
4
4
а) д) хx
б)4x 1 ђ) x x
в)25-20хy 4x y
x
  
   
 


2
2 2
2 2 4
2
24xy a 16a y
6xy y 25 10x x
е) 9x
г)9х ж)
 
    


Решење: а) 2х2
+3х = 2·х·х + 3·х = х· (2х+3)
б) 6ab2
– 9ab3
= 2·3·a·b·b - 3·3·a·b·b·b = 3аb2
·( 2-3b)
в) -12x3
y2
z + 8xyz = -2·2·3·х·х·х·у·у·z + 2·2·2·х·у·z = 4хуz·(-3х2
у + 2)
Изрази у овом задатку су полиноми. Значи, и полиноме можемо раставити на чиниоце. То радимо на
следећи начин:
1) применом дистрибутивног закона, тј. извлачењем заједничких чинилаца  a b c a b a c     
2) за два члана, ако је могуће, можемо користити разлику квадрата 2 2
I -II = (I-II) (I+II)
3) за три члана, ако је могуће, користимо квадрат бинома 2 2 2
(I II) = I 2 I II + II   
****
Домаћи задатак
1.Растави на чиниоце:
2. Користећи разлику квадрата 2 2
I II (I II)(I II)    растави на чиниоце:
3. Користећи квадрат бинома 2 2 2
(I II) I 2 I II II      растави на чиниоце: