Kvadratna jednacina

17,592 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
17,592
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
126
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Kvadratna jednacina

  1. 1. KVADRATNA JEDNAČINA ax2 + bx + c = 0Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0 , gde je x − nepoznata. a, b i c realni brojevi, a ≠ 0, jekvadratna jednačina po x sa koeficijentima a, b i c .Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti b ≠ 0 i c ≠ 0 . Ako je b = 0 ili c = 0(ili oba) onda je kvadratna jednačina nepotpuna.Nepotpuna kvadratne jednačine se rešavaju relativno lako. Nepotpune kvadratne jednačineax 2 + bx = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 = 0x(ax + b) = 0 ax 2 = −c x=0x = 0 ∨ ax + b = 0 b c x=− x2 = − a a b x=± − a Primeri:2 x 2 + 5x = 0 4x2 − 9 = 0 5x 2 = 0x(2 x + 5) = 0 4x2 = 9 0 x2 =x = 0 ∨ 2x + 5 = 0 9 5 x2 = x=0 2 x = −5 4 5 9 x1 = x2 = 0 x=− x=± 2 4 3 x=± 2 3 x1 = 2 3 x2 = − 2 Potpuna kvadratna jednačina: ax2 + bx + c = 0Kvadratna jednačina ima dva rešenja: označavamo ih sa x1 i x 2 i tradicionalno se piše −b ± b 2 − 4ac x1,2 = www.matematiranje.com 2a 1
  2. 2. Primer 1) Reši jednačine:a) 6 x 2 − x − 2 = 0b) x 2 − 2 x + 1 = 0v) x 2 − 4 x + 5 = 0a) 6 x 2 − x − 2 = 0a=6 Pazi, kad nema broj ispred nepoznate uzimaš 1.b = −1c = −2 −b ± b 2 − 4ac −(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2)x1,2 = = 2a 2⋅6 1 ± 49 1 ± 17x1,2 = = 12 12 1+ 7 8 2x1 = = = 12 12 3 1 − 7 −6 1x2 = = =− 12 12 2b) x 2 − 2 x + 1 = 0 −b ± b 2 − 4ac −(−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅1⋅1a =1 x1,2 = = 2a 2 ⋅1b = −2 2± 4−4 2±0c =1 x1,2 = = 2 2 2 x1 = = 1 2 2 x2 = = 1 2v) x 2 − 4 x + 5 = 0a =1b = −4c=5 −b ± b 2 − 4ac −(−4) ± 16 − 20 Dakle: x1 = 2 + ix1,2 = = x2 = 2 − i 2a 2 ⋅1 4 ± −4 4 ± 2i 2 (2 ± i ) Pazi jer je: − 4 = 4(−1) = 2ix1,2 = = = = 2±i 2 2 2 −1 = i www.matematiranje.com 2
  3. 3. Primer 2) Rešiti jednačinu: (2 x − 3) 2 + ( x − 1)( x + 2) = 2 − 11xRešenje: (2 x − 3) 2 + ( x − 1)( x + 2) = 2 − 11x 4 x 2 − 12 x + 9 + x 2 + 2 x − x − 2 − 2 + 11x = 0 5x 2 + 5 = 0 / : 5 x 2 + 1 = 0 → Nepotpuna kvadratna jednačina x 2 = −1 x = ± −1 x1 = +i x 2 = −iPrimer 3) Rešiti jednačinu: x 3 8 − = 2 → najpre rastavimo na činioce imenilac x−2 x+2 x −4 x 3 8 − = → Množimo sve sa NZS = ( x − 2)( x + 2) uz uslov: x − 2 x + 2 ( x − 2)( x + 2) x( x + 2) − 3( x − 2) = 8 x ≠ 2 i x ≠ −2 x 2 + 2 x − 3x + 6 − 8 = 0 x 2 − x − 2 = 0 → Sad radimo kao kvadratnu jednačinu − b ± b 2 − 4ac − (−1) ± (−1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2) 2 a =1 x1, 2 = = b = −1 2a 2 c = −2 1± 3 x1, 2 = 2 1+ 3 4 x1 = = = 2 → PAZI: nije rešenje jer x ≠ 2 2 2 1− 3 − 2 x2 = = = −1 → Dakle x = −1 2 2Primer 4) Grupa dečaka treba da podeli 400 klikera na jednake delove. Pre deobe 4dečaka se odreknu svog dela, zbog čega je svaki od ostalih dobio po 5 klikera više.Koliko je u toj grupi bilo dečaka?Obeležimo sa x-broj dečaka, y- broj klikera po dečaku www.matematiranje.com 3
  4. 4. x ⋅ y = 400 ( x − 4) ⋅ ( y + 5) = 400 → Sredimo ovu drugu jednačinu... ____________________ ________ xy + 5 x − 4 y − 20 = 400 400 + 5 x − 4 y − 20 = 400 400 5 x − 4 y − 20 = 0 → Iz prve jednačine izrazimo y = x 400 5x − 4 ⋅ − 20 = 0 /⋅ x x 5 x 2 − 1600 − 20 x = 0 → (poredjamo) 5 x 2 − 20 x − 1600 = 0 → (podelimo sa 5) x 2 − 4 x − 320 = 0 → sad radimo kvadratnu jednačinu a =1 b = −4 − b ± b 2 − 4ac − (−4) ± (−4) 2 − 4 ⋅1⋅ (−320) x1, 2 = = c = −320 2a 2 4 ± 16 + 1280 4 ± 1296 4 ± 36 x1, 2 = = = 2 2 2 4 + 36 x1 = = 20 2 4 − 36 x2 = = −16 → Nemoguće 2Dakle bilo je 20 dečaka u grupi. Priroda rešenja kvadratne jednačineDiskriminanta (D) kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 je izraz b 2 − 4ac (ono podkorenom) Dakle: D = b 2 − 4ac −b± DSada formulu za rešavanje možemo zapisati i kao: x1, 2 = 2aZa kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c sa realnim koeficijentima važi:1) Jednačina ima dva rezličita realna rešenja ako i smo ako je D > 0( x1 = x2 ∈ R x1 ≠ x2 akko D > 0)2) Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je D = 0( x1 = x2 ∈ R akko D = 0) www.matematiranje.com 4
  5. 5. 3) Jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja akko je D < 0( x1 = a + bi, x2 = a − bi akko D < 0)Primer 1) Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnost od parametara: a) x 2 + 3x + m = 0 b) (n + 3) x 2 − 2(n + 1) x + n − 5 = 0a) x 2 + 3x + m = 0 ⇒ a =1 b=3 c=m D = b 2 − 4ac = 32 − 4 ⋅1⋅ m = 9 − 4m1) D > 0 ⇒ 9 − 4m > 0 − 4m > −9 → PAZI: Okreće se znak −9 m< −4 9 m< 4 92) D = 0 ⇒ 9 − 4m = 0 ⇒ m= 4 93) D < 0 ⇒ 9 − 4m < 0 ⇒ m> 4 9Dakle: - za m < rešenja su realna i različita 4 9 - za m = rešenja su realna i jednaka 4 9 - za m > rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi 4b) (n + 3) x 2 − 2(n + 1) x + n − 5 = 0a = n+3b = −2(n + 1) ⇒ PAZI: ovde je odmah n + 3 ≠ 0 da bi jednačina bila kvadratnac = n−5 www.matematiranje.com 5
  6. 6. D = b 2 − 4ac = [ −2(n + 1) ] − 4(n + 3)(n − 5) 2 = 4(n 2 + 2n + 1) − 4(n 2 − 5n + 3n − 15) = 4n 2 + 8n + 4 −4n 2 + 20n − 12n + 60 D = 16n + 641) D > 0 16n + 64 > 0 ⇒ 16n > −64 ⇒ n > −4, n > −4 x1 ≠ x2 ∈ R2) D = 0 16n + 64 = 0 ⇒ n = −4 x1 = x 2 ∈ R3) D < 0 16n + 64 < 0 ⇒ n < −4 x1 i x2 su konjugovano-kompleksni brojevi.Primer 2) Za koje vrednosti parametra k ∈ R jednačina kx 2 + (k + 1) x + 2 = 0 imadvostruko rešenje?Rešenje: Ovde nam treba da je D = 0 i naravno a ≠ 0 , jer ako je a = 0 jednačina nijekvadratna. kx 2 + (k + 1) x + 2 = 0 ⇒ a = k b = k +1 ⇒ k≠0 c=2D = b 2 − 4ac = (k + 1) 2 − 4 ⋅ k ⋅ 2 = k 2 + 2k + 1 − 8k = k 2 − 6k + 1D = k 2 − 6k + 1 = 0Sada rešavamo novu kvadratnu jednačinu ‘’po k’’ k 2 − 6k + 1 = 0 ⇒ a =1 b = −6 c =1 −b ± b 2 − 4ac −(−6) ± (−6) 2 − 4 ⋅1 ⋅1 6 ± 32 k1,2 = = = 2a 2 2 Malo sredimo : 32 = 16 ⋅ 2 = 4 2Pa je: www.matematiranje.com 6
  7. 7. k1, 2 = = ( 6± 4 2 2 3± 2 2 = 3± 2 2 ) 2 2 k1 = 3 + 2 2 k2 = 3 − 2 2Ovo su rešenja za koja jednačina ( početna ) ima dvostruko rešenje!!!Primer 3) Za koje vrednosti parametra m ∈ R jednačina mx 2 − 4 x + 1 ima realna irazličita rešenja?Rešenje: Ovde dakle mora biti D > 0 i naravno a ≠ 0 a=m⇒m≠0 D = b 2 − 4ac b = −4 ⇒ D = (−4) 2 − 4 ⋅ m ⋅1 c =1 D = 64 − 4m > 0 16 − 4m > 0 − 4m > −16 nula ne sme! m<4Dakle, rešenje je m ∈ (−∞,0) ∪ (0,4)Primer 4) Za koje vrednosti parametra m jednačina x 2 − 8 x + m ima konjugovano-kompleksno rešenja?Rešenje: Mora biti D < 0 i a ≠ 0a =1≠ 0 D = b 2 − 4acb = −8 ⇒ D = (−8) 2 − 4 ⋅ m ⋅1c=m D = 64 − 4m < 0 − 4m < −64 m > 16 ⇒ m ∈ (16, ∞)Primer 5) Za koje vrednosti parametra k ∈ R jednačina kx 2 + 6 x + 3 = 0 nema realnarešenja?Rešenje: Kad nema realna rešenja, znači da su konjugovano kompleksna, odnosno D < 0i naravno a ≠ 0 . www.matematiranje.com 7
  8. 8. kx 2 + 6 x + 3 = 0 ⇒ a = k ⇒ k ≠ 0 b=6 c=3D = b 2 − 4acD = 6 2 − 4 ⋅ k ⋅ 3 = 36 − 12k36 − 12k < 0− 12k < −36k > 3 ⇒ k ∈ (3, ∞)Primer 6) Za koje vrednosti parametra m ∈ R jednačina (2m + 1) x 2 − (2m + 1) x + 2,5 = 0ima realna i različita rešenja?Rešenje: Ovde je D > 0 i a ≠ 0 a = 2m + 1 1 a ≠ 0 ⇒ 2m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ − b = −(2m + 1) 2 c = −2,5 D = b 2 − 4ac D = [ −(2m + 1) ] − 4 ⋅ [ 2m + 1] ⋅ 2,5 2 D = (2m + 1) 2 − 10(2m + 1) D = 4m 2 + 4m + 1 − 20m − 10 D = 4m 2 − 16m − 9 > 0Rešimo najpre 4m 2 − 16m − 9 = 0 a=4 −b ± b 2 − 4ac b = −16 m1,2 = 2a c = −9 16 ± 256 + 144 16 ± 20 m1,2 = = 8 8 36 9 m1 = = 8 2 4 1 m2 = − = − 8 2(Pogledaj kvadratne nejednačine): www.matematiranje.com 8
  9. 9. ⎛ 1⎞ ⎛9 ⎞D > 0 → biramo gde je + m ∈ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ www.matematiranje.com 9

×