1. PRIMENE SLIČNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO
Nacrtajmo jedan pravougli trougao sa standardnim obeležavanjima:
a,b su katete
c je hipotenuza
hc je hipotenuzina visina
p i q su odsečci na hipotenuzi koje pravi visina hc
C
 
b a
hc
 
A c D B
q p
Hipotenuzina visina CD deli trougao ABC na dva pravougla trougla : ADC i BDC. Možemo uočiti da sva tri pravougla
trougla imaju iste uglove  ,  i   900 , pa su medjusobno slični.
Iz njihove sličnosti proizilazi proporcionalnost odgovarajućih stranica koja može da se formuliše kao :
i) Hipotenuzina visina je geometrijska sredina odsečaka koje sama odseca na hipotenuzi, to jest hc  pq
ii) Kateta je geometrijska sredina hipotenuze i bližeg odsečka hipotenuze, to jest a  c p i b  cq
( ovo je Euklidov stav)
iii) Trougao ABC je pravougli ako i samo ako je a 2  b 2  c 2 ( ovo je Pitagorina teorema)
Dakle, sad za pravougli trougao znamo sledeće formule:
a 2  b2  c2 O  a  b  c  obim
pq c a b c  hc
P ili P   površina
hc  p  q  hc 2  p  q 2 2
a b
a  c  p  a2  c  p hc   hipotenuzina visina
c
b  c  q  b2  c  q c
R   tc  poluprečnik opisane kružnice koji se nalazi na sredini hipotenuze
hc 2  p 2  a 2 2
hc 2  q 2  b 2 abc
r  poluprečnik upisane kružnice
2
www.matematiranje.com
1

2. Primer 1.
Odrediti nepoznate elemente skupa {a, b, c, p, q, hc } ako je poznato:
p  16cm
i)
q  9cm
a  130cm
ii)
b  312cm
Rešenje:
p  16cm
i)
q  9cm
Koristimo formulice tako što prvo pronadjemo onu gde nam se javljaju dati elementi:
a 2  b2  c2
pq c
hc 2  p  q
a2  c  p
b2  c  q
hc 2  p 2  a 2
hc 2  q 2  b 2
p  16cm
q  9cm
p  q  c  c  16  9  c  25cm
hc  pq  hc  16  9  4  3  hc  12cm
a  c  p  a  25 16  5  4  a  20cm
b  c  q  b  25  9  5  3  b  15cm
a  130cm
ii)
b  312cm
a 2  b 2  c 2  c 2  1302  3122  c 2  16900  97344  c 2  114244  c  338cm
a 2 16900
a2  c  p  p    p  50cm
c 338
p  q  c  q  c  p  q  338  50  q  288cm
hc  p  q  hc  50  228  hc  14400  hc  120cm
www.matematiranje.com
2

3. Primer 2.
1 1 1
Dokazati da u pravouglom trouglu važi jednakost: 2
 2 2
hc a b
Rešenje:
Krenućemo od desne strane jednakosti i doći do leve:
1 1 b2  a 2
 2  2 2 u brojiocu imamo a 2  b 2  c 2 pa to zamenimo …
2
a b a b
1 1 b2  a 2 c2
 2  2 2  2 2 prebacimo brojilac ispod imenioca( osobina dvojnog razlomka)…
a2 b a b a b
1 1 b2  a 2 c2 1 1 a b
 2  2 2  2 2  2 2  znamo da je hc   hipotenuzina visina
2
a b a b a b a b  a b 
2
c
c2  
 c 
1 1 b2  a 2 c2 1 1 1
 2  2 2  2 2  2 2   2 ovim je dokaz završen.
2
a b a b a b a b  a b 
2
hc
c 2  
 c 
Primer 3.
U jednakokrakom trapezu osnovica 16cm i 9cm upisana je kružnica. Izračunati poluprečnik kružnice.
Rešenje:
Da najpre nacrtamo sliku i postavimo problem:
D b=9cm C
c c
h
A a=16cm a-b B
2
Pošto se radi o tangentnom četvorouglu, znamo da zbir naspramnih stranica mora biti jednak. To ćemo iskoristiti da
nadjemo dužinu kraka c.
www.matematiranje.com
3

4. a  b  2c
16  9  2c
25
2c  25  c  cm
2
Sad primenimo Pitagorinu teoremu da nađemo dužinu visine:
2 2 2
 a b   25   7  625 49
h 2
  c  h       h 
2 2 2

 2   2  2 4 4
576
h2   h 2  144  h  12cm
4
Znamo da je poluprečnik upisane kružnice jednak polovini visine:
h 12
r  r   r  6cm i evo rešenja.
2 2
Primer 4.
Dokazati da u svakom pravouglom trouglu za težištne duži važi jednakost: ta  tb2  5  tc2
2
Rešenje:
Nacrtajmo najpre sliku :
C
b tc a
ta tb
A c B
Ideja je da dva puta primenimo Pitagorinu teoremu.
Prvo primenjujemo na obeleženi trougao:
C
a
2
b A1
ta
A c B
2
a
ta  b 2   
2
2
www.matematiranje.com
4

5. Sad na drugu stranu:
b C
2
B1 a
tb
A c B
2
b
t  a  
2
b
2
2
Saberimo ove dve jednakosti:
2 a 
2
ta  b    
2
 2 
 2
saberemo ih...
2 b 
tb  a   2  
2
   
2 2
a b
t  t  b     a2   
2
a
2
b
2
2 2
2 2
a b
ta  tb2  b 2   a 2 
2
4 4
4b  a  4a  b 2
2 2 2
ta  tb2 
2
4
5a  5b
2 2
ta  tb2 
2
4
5(a  b 2 )
2
ta  tb2 
2
4
U brojiocu zamenimo a 2  b 2 sa c 2 iz Pitagorine teoreme...
5  c2
ta  tb2 
2
4
Ovde malo prepakujemo:
2
c
t  t  5 
2
a
2
b
2
c
Znamo da je tc 
2
ta  tb2  5  tc2
2
www.matematiranje.com
5

6. Primer 5.
Ako su a i b osnovice, c i d kraci, a d1 i d 2 dijagonale trapeza, tada važi: d12  d 2  c 2  d 2  2ab . Dokazati.
2
Rešenje:
Kao i uvek, nacrtamo sliku i tražimo ideju:
D b C
d d1 c
d2
h h
A a B
I ovde ćemo upotrebiti Pitagorinu teoremu.
Izrazimo visinu trapeza h sa iz žutog i iz crvenog trougla, pa to uporedimo:
D b C D b C
d c d d2 c
d1
h h
A x C1 y B A D1 a B
a m n
h 2  d12  x 2  h 2  c 2  y 2 h 2  d 2  m 2  h 2  d 22  n 2
d12  x 2  c 2  y 2 d 22  n 2  d 2  m 2
d12  c 2  x 2  y 2 d 22  d 2  n 2  m 2
d12  c 2  ( x  y )( x  y ) d 22  d 2  (n  m)(n  m)
d12  c 2  ( x  y ) ( x  y ) d 22  d 2  (n  m) (n  m)
a a
d  c  a( x  y )
1
2 2
d  d  a ( n  m)
2
2
2
Sad ćemo sabrati ove dve jednakosti:
d12  c 2  a( x  y ) 
 
 2  saberemo ih...
 d 2  d  a ( n  m) 
2
 
d1  d 2  c  d  a ( x  y )  a(n  m)
2 2 2 2
d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  y )  a (n  m)  a ispred zagrade ...
d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  y  n  m)  pretumbamo ovo u zagradi...
d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  m  n  y )
d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  m  n  y )  pogledajmo sliku: ovi uokvireni daju b
d12  d 22  c 2  d 2  a (b  b)
d12  d 2  c 2  d 2  2ab
2
6

7. Evo par primera konstrukcija traženih duži.
Primer 1.
Date su duži x i y. Konstruisati geometrijsku sredinu tih duži, to jest konstruisati x y
Rešenje:
x
y
Najpre ćemo nacrtati dve proizvoljne duži:
Njih zatim spojimo ( postavimo jednu do druge), što je prikazano na slici 1.
x y
x y x y x y
slika 1. slika 2. slika 3.
Nadjemo sredinu duži x + y i opišemo polukrug ( slika 2.). Iz mesta preseka duži podignemo normalu (slika 3.)
Ta normala je rešenje, to jest ona je geometrijska sredina datih duži. Zašto?
Pa znamo da se centar opisane kružnice kod pravouglog trougla nalazi na sredini hipotenuze a da je visina
geometrijska sredina odsečaka...
x y
x y
www.matematiranje.com
7

8. Primer 2.
Konstruisati duž čija dužina u odnosu na datu jediničnu duž ( vi kad vežbate uzmite jediničnu duž 1 cm) iznosi:
a) 15
b) 7
Rešenje:
a) 15
Ideja kod ovog tipa zadatka je da se podkoreni broj napiše kao proizvod dva broja ( bilo koja) i da se primeni znanje o
konstrukciji geometrijske sredine:
15  5  3
Dakle, uzmemo duži od 5cm i 3 cm, nacrtamo ih jednu do druge, nadjemo sredinu( na 4 cm) i opišemo polukrug.
Iz mesta preseka ove dve duži izdignemo normalu do preseka sa polukrugom i njena vrednost je 15 .
5  3  15
5cm 3cm
b) 7
Slično: 7  7 1
7 1  7
7cm 1cm
www.matematiranje.com
8

9. Primer 3.
Date su duži čije su dužine a i b. Konstruisati duž dužine:
a) x  a 2  b2
b) y  a2  b2
Rešenje:
a) x  a 2  b2
Ako kvadriramo ovu jednakost , dobijamo: x  a 2  b 2  x 2  a 2  b 2
Odavde zaključujemo da je tražena duž ustvari hipotenuza pravouglog trougla čije su katete a i b.
a
b x
b b
a a a
slika 1. slika 2. slika 3.
Uzmemo proizvoljne duži a i b. Prenesemo duž a i konstruišemo prav ugao ( slika 1.)
Na toj polupravi nanesemo dužinu b (slika 2.) I kad to spojimo eto tražene duži .( slika 3.)
b) y  a2  b2
Kvadriramo i dobijemo: y  a 2  b 2  y 2  a 2  b 2
Ovde je dakle tražena duž kateta pravouglog trougla sa hipotenuzom a i katetom b.
B B
a
b y a
C b A C b A C b A
slika 1. slika 2. slika 3.
Na duž b konstruišemo prav ugao u temenu C. Iz temena A presečemo tu polupravu dužinom a. Dobili smo trougao
ABC, gde je kateta y rešenje našeg zadatka.
9

10. Primer 4.
Date su proizvoljne duži a,b i c. Konstruisati duž:
i) x  ab  c 2
ii ) y  a 2  bc
Rešenje:
Ovi zadaci su ustvari kombinacija prethodnih, to jest koristi se i geometrijska sredina a i konstrukcija pravouglog
trougla. Datu jednakost prvo malo prepravimo…
x  ab  c 2 kvadriramo
x  ab  c
2 2
x 2  ( ab ) 2  c 2
Prvo ćemo konstruisati ab , a zatim pravougli trougao sa katetama ab i c . Hipotenuza tog trougla je tražena duž.
B B
a c
a b a b
x
ab
b
c c
a b A A
slika 1. slika 2. slika 3.
ii ) y  a 2  bc
y  a 2  bc kvadriramo
y 2  a 2  bc
y 2  a 2  ( bc ) 2
Najpre konstruišemo bc a zatim pravougli trougao sa katetom bc i hipotenuzom dužine a. Sad je tražena duž
kateta tog trougla.
N N
b a
a bc bc bc
c
b c M slika 2. A M y A
slika 1.
slika 3.
www.matematiranje.com
10

11. 11