Primene slicnosti na_pravougli_trougao

11,145 views

Published on

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
11,145
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
14
Actions
Shares
0
Downloads
143
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Primene slicnosti na_pravougli_trougao

  1. 1. PRIMENE SLIČNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAONacrtajmo jedan pravougli trougao sa standardnim obeležavanjima:a,b su katetec je hipotenuzahc je hipotenuzina visinap i q su odsečci na hipotenuzi koje pravi visina hc C   b a hc   A c D B q pHipotenuzina visina CD deli trougao ABC na dva pravougla trougla : ADC i BDC. Možemo uočiti da sva tri pravouglatrougla imaju iste uglove  ,  i   900 , pa su medjusobno slični.Iz njihove sličnosti proizilazi proporcionalnost odgovarajućih stranica koja može da se formuliše kao :i) Hipotenuzina visina je geometrijska sredina odsečaka koje sama odseca na hipotenuzi, to jest hc  pqii) Kateta je geometrijska sredina hipotenuze i bližeg odsečka hipotenuze, to jest a  c p i b  cq ( ovo je Euklidov stav)iii) Trougao ABC je pravougli ako i samo ako je a 2  b 2  c 2 ( ovo je Pitagorina teorema)Dakle, sad za pravougli trougao znamo sledeće formule:a 2  b2  c2 O  a  b  c  obimpq c a b c  hc P ili P   površinahc  p  q  hc 2  p  q 2 2 a ba  c  p  a2  c  p hc   hipotenuzina visina cb  c  q  b2  c  q c R   tc  poluprečnik opisane kružnice koji se nalazi na sredini hipotenuzehc 2  p 2  a 2 2hc 2  q 2  b 2 abc r  poluprečnik upisane kružnice 2 www.matematiranje.com 1
  2. 2. Primer 1.Odrediti nepoznate elemente skupa {a, b, c, p, q, hc } ako je poznato: p  16cmi) q  9cm a  130cmii) b  312cmRešenje: p  16cmi) q  9cmKoristimo formulice tako što prvo pronadjemo onu gde nam se javljaju dati elementi:a 2  b2  c2pq chc 2  p  qa2  c  pb2  c  qhc 2  p 2  a 2hc 2  q 2  b 2p  16cmq  9cmp  q  c  c  16  9  c  25cmhc  pq  hc  16  9  4  3  hc  12cma  c  p  a  25 16  5  4  a  20cmb  c  q  b  25  9  5  3  b  15cm a  130cmii) b  312cma 2  b 2  c 2  c 2  1302  3122  c 2  16900  97344  c 2  114244  c  338cm a 2 16900a2  c  p  p    p  50cm c 338p  q  c  q  c  p  q  338  50  q  288cmhc  p  q  hc  50  228  hc  14400  hc  120cm www.matematiranje.com 2
  3. 3. Primer 2. 1 1 1Dokazati da u pravouglom trouglu važi jednakost: 2  2 2 hc a bRešenje:Krenućemo od desne strane jednakosti i doći do leve:1 1 b2  a 2  2  2 2 u brojiocu imamo a 2  b 2  c 2 pa to zamenimo … 2a b a b1 1 b2  a 2 c2  2  2 2  2 2 prebacimo brojilac ispod imenioca( osobina dvojnog razlomka)…a2 b a b a b1 1 b2  a 2 c2 1 1 a b  2  2 2  2 2  2 2  znamo da je hc   hipotenuzina visina 2a b a b a b a b  a b  2 c c2    c 1 1 b2  a 2 c2 1 1 1  2  2 2  2 2  2 2   2 ovim je dokaz završen. 2a b a b a b a b  a b  2 hc c 2    c Primer 3.U jednakokrakom trapezu osnovica 16cm i 9cm upisana je kružnica. Izračunati poluprečnik kružnice.Rešenje:Da najpre nacrtamo sliku i postavimo problem: D b=9cm C c c h A a=16cm a-b B 2Pošto se radi o tangentnom četvorouglu, znamo da zbir naspramnih stranica mora biti jednak. To ćemo iskoristiti danadjemo dužinu kraka c. www.matematiranje.com 3
  4. 4. a  b  2c16  9  2c 252c  25  c  cm 2Sad primenimo Pitagorinu teoremu da nađemo dužinu visine: 2 2 2  a b   25   7  625 49h 2   c  h       h  2 2 2   2   2  2 4 4 576h2   h 2  144  h  12cm 4Znamo da je poluprečnik upisane kružnice jednak polovini visine: h 12r  r   r  6cm i evo rešenja. 2 2Primer 4.Dokazati da u svakom pravouglom trouglu za težištne duži važi jednakost: ta  tb2  5  tc2 2Rešenje:Nacrtajmo najpre sliku : C b tc a ta tb A c BIdeja je da dva puta primenimo Pitagorinu teoremu.Prvo primenjujemo na obeleženi trougao: C a 2 b A1 taA c B 2 a ta  b 2    2 2 www.matematiranje.com 4
  5. 5. Sad na drugu stranu: b C 2 B1 a tbA c B 2 b t  a   2 b 2 2Saberimo ove dve jednakosti:2 a  2ta  b     2 2  2 saberemo ih...2 b tb  a   2   2    2 2 a bt  t  b     a2    2 a 2 b 2 2 2 2 2 a bta  tb2  b 2   a 2  2 4 4 4b  a  4a  b 2 2 2 2ta  tb2  2 4 5a  5b 2 2ta  tb2  2 4 5(a  b 2 ) 2ta  tb2  2 4U brojiocu zamenimo a 2  b 2 sa c 2 iz Pitagorine teoreme... 5  c2ta  tb2  2 4Ovde malo prepakujemo: 2 ct  t  5  2 a 2 b 2 cZnamo da je tc  2ta  tb2  5  tc2 2 www.matematiranje.com 5
  6. 6. Primer 5.Ako su a i b osnovice, c i d kraci, a d1 i d 2 dijagonale trapeza, tada važi: d12  d 2  c 2  d 2  2ab . Dokazati. 2Rešenje:Kao i uvek, nacrtamo sliku i tražimo ideju: D b C d d1 c d2 h h A a BI ovde ćemo upotrebiti Pitagorinu teoremu.Izrazimo visinu trapeza h sa iz žutog i iz crvenog trougla, pa to uporedimo: D b C D b C d c d d2 c d1 h hA x C1 y B A D1 a B a m n h 2  d12  x 2  h 2  c 2  y 2 h 2  d 2  m 2  h 2  d 22  n 2 d12  x 2  c 2  y 2 d 22  n 2  d 2  m 2 d12  c 2  x 2  y 2 d 22  d 2  n 2  m 2 d12  c 2  ( x  y )( x  y ) d 22  d 2  (n  m)(n  m) d12  c 2  ( x  y ) ( x  y ) d 22  d 2  (n  m) (n  m) a a d  c  a( x  y ) 1 2 2 d  d  a ( n  m) 2 2 2Sad ćemo sabrati ove dve jednakosti:d12  c 2  a( x  y )   2  saberemo ih... d 2  d  a ( n  m)  2 d1  d 2  c  d  a ( x  y )  a(n  m) 2 2 2 2d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  y )  a (n  m)  a ispred zagrade ...d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  y  n  m)  pretumbamo ovo u zagradi...d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  m  n  y )d12  d 22  c 2  d 2  a ( x  m  n  y )  pogledajmo sliku: ovi uokvireni daju bd12  d 22  c 2  d 2  a (b  b)d12  d 2  c 2  d 2  2ab 2 6
  7. 7. Evo par primera konstrukcija traženih duži.Primer 1.Date su duži x i y. Konstruisati geometrijsku sredinu tih duži, to jest konstruisati x yRešenje: x yNajpre ćemo nacrtati dve proizvoljne duži:Njih zatim spojimo ( postavimo jednu do druge), što je prikazano na slici 1. x y x y x y x y slika 1. slika 2. slika 3.Nadjemo sredinu duži x + y i opišemo polukrug ( slika 2.). Iz mesta preseka duži podignemo normalu (slika 3.)Ta normala je rešenje, to jest ona je geometrijska sredina datih duži. Zašto?Pa znamo da se centar opisane kružnice kod pravouglog trougla nalazi na sredini hipotenuze a da je visinageometrijska sredina odsečaka... x y x y www.matematiranje.com 7
  8. 8. Primer 2.Konstruisati duž čija dužina u odnosu na datu jediničnu duž ( vi kad vežbate uzmite jediničnu duž 1 cm) iznosi:a) 15b) 7Rešenje:a) 15Ideja kod ovog tipa zadatka je da se podkoreni broj napiše kao proizvod dva broja ( bilo koja) i da se primeni znanje okonstrukciji geometrijske sredine: 15  5  3Dakle, uzmemo duži od 5cm i 3 cm, nacrtamo ih jednu do druge, nadjemo sredinu( na 4 cm) i opišemo polukrug.Iz mesta preseka ove dve duži izdignemo normalu do preseka sa polukrugom i njena vrednost je 15 . 5  3  15 5cm 3cmb) 7Slično: 7  7 1 7 1  7 7cm 1cm www.matematiranje.com 8
  9. 9. Primer 3.Date su duži čije su dužine a i b. Konstruisati duž dužine:a) x  a 2  b2b) y  a2  b2Rešenje:a) x  a 2  b2Ako kvadriramo ovu jednakost , dobijamo: x  a 2  b 2  x 2  a 2  b 2Odavde zaključujemo da je tražena duž ustvari hipotenuza pravouglog trougla čije su katete a i b. ab x b b a a a slika 1. slika 2. slika 3.Uzmemo proizvoljne duži a i b. Prenesemo duž a i konstruišemo prav ugao ( slika 1.)Na toj polupravi nanesemo dužinu b (slika 2.) I kad to spojimo eto tražene duži .( slika 3.)b) y  a2  b2Kvadriramo i dobijemo: y  a 2  b 2  y 2  a 2  b 2Ovde je dakle tražena duž kateta pravouglog trougla sa hipotenuzom a i katetom b. B Ba b y a C b A C b A C b A slika 1. slika 2. slika 3.Na duž b konstruišemo prav ugao u temenu C. Iz temena A presečemo tu polupravu dužinom a. Dobili smo trougaoABC, gde je kateta y rešenje našeg zadatka. 9
  10. 10. Primer 4.Date su proizvoljne duži a,b i c. Konstruisati duž:i) x  ab  c 2ii ) y  a 2  bcRešenje:Ovi zadaci su ustvari kombinacija prethodnih, to jest koristi se i geometrijska sredina a i konstrukcija pravouglogtrougla. Datu jednakost prvo malo prepravimo…x  ab  c 2 kvadriramox  ab  c 2 2 x 2  ( ab ) 2  c 2Prvo ćemo konstruisati ab , a zatim pravougli trougao sa katetama ab i c . Hipotenuza tog trougla je tražena duž. B Ba c a b a b x ab b c c a b A A slika 1. slika 2. slika 3.ii ) y  a 2  bcy  a 2  bc kvadriramoy 2  a 2  bc y 2  a 2  ( bc ) 2Najpre konstruišemo bc a zatim pravougli trougao sa katetom bc i hipotenuzom dužine a. Sad je tražena dužkateta tog trougla. N Nb a a bc bc bc c b c M slika 2. A M y A slika 1. slika 3. www.matematiranje.com 10
  11. 11. 11

×