Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf

Sadržaj
1 Determinante 3
1.1 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Matrice 16
2.1 Operacije sa matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Matrične jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Sistemi linearnih algebarskih jednačina 35
3.1 Primena Kramerove teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Primena Kroneker-Kapelijeve teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Algebra vektora 68
4.1 Operacije sa vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Vektori u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu . . . . . . . . . . . 80
5 Analitička geometrija u prostoru 94
5.1 Ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Prava i ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1
Materijal za predmet Matematika za informatičare 1
Zadaci iz oblasti matrica, determinanata, sistema
linearnih jednačina, vektora i analitičke geometrije
Predmetni profesor dr Mimica Milošević

1
Determinante
Definicija. Kvadratna matrica A reda n (n ∈ N) je kvadratna šema realnih (ili kom-
pleksnih) brojeva aij (i, j = 1, 2, . . . , n). Označava se na sledeći način
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann





. (1.1)
Elementi ai1, ai2, . . . , ain čine i-tu vrstu matrice (1.1), a elementi a1j, a2j, . . . , anj njenu
j-tu kolonu. U matrici (1.1), element aij nalazi se u i-toj vrsti i j-toj koloni.
Neka je A = [a11] matrica reda 1. Determinanta matrice A, u oznaci det A, je broj a11.
Neka je A matrica reda 2, tj. A =

a11 a12
a21 a22

. Determinanta matrice A je broj
det A =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21.
Neka je A matrica reda 3, tj. A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 . Determinanta matrice A je broj
det A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33.
Slika 1.1: Sarusovo pravilo
3

4 Determinante
Za izračunavanje determinanti trećeg reda pogodno je Sarusovo pravilo, jer prethodni
izraz predstavlja u obliku šeme koja se lako pamti (Slika 1.1). Najpre se iza determinante
dopišu njene prve dve kolone. Linije na šemi povezuju elemente koji se množe i pokazuju
sa kojim se znakom ti proizvodi sabiraju.
Za izračunavanje (rešavanje) determinanti (posebno determinanti većeg reda) neophodno
je poznavanje njihovih osobina kao i Laplasove teoreme.
Osnovne osobine determinanti su:
i) Vrednost determinante se ne menja ako vrste zamene mesta sa odgovarajućim kolonama.
ii) Ako u determinanti dve susedne vrste (kolone) zamene mesta, determinanta menja
znak.
iii) Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni ili jednaki odgovarajućim elemen-
tima neke druge vrste (kolone), determinanta je jednaka nuli.
iv) Determinanta se množi brojem (skalarom) ako se svaki element jedne i samo jedne
vrste (kolone) pomnoži tim brojem. Dakle, zajednički činilac jedne vrste (kolone) može da
se izdvoji ispred determinante.
v) Determinanta ne menja vrednost ako se elementima jedne vrste (kolone) dodaju odgo-
varajući elementi neke druge vrste (kolone), prethodno pomnoženi nekim brojem.
vi) Ako su svi elementi i-te vrste oblika aij = bj + cj (j = 1, 2, . . ., n), tada je
determinanta jednaka zbiru od dve determinante kod kojih su sve vrste, osim i-te, jed-
nake vrstama date determinante, dok su elementi i-te vrste jedne determinante jednaki
bj (j = 1, 2, . . . , n), a druge, cj (j = 1, 2, . . . , n). Analogno, i determinanta kod koje su
svi elementi neke kolone dati u obliku zbira, raspada se na zbir dve determinante.
Kofaktor (ili algebarski komplement) elementa aij kvadratne matrice A reda n, u
oznaci Aij, je
Aij = (−1)i+j
· Dij
gde je Dij determinanta reda n − 1, koja se dobija kad se iz det A izostave i-ta vrsta i
j-ta kolona.
Laplasova teorema. Neka je data kvadratna matrica A reda n. Tada je
det A = a11A11 + a12A12 + . . . + a1nA1n, (1.2)
gde su A1j kofaktori elemenata a1j (j = 1, 2, . . ., n).
Za izraz (1.2) kaže se da je Laplasov razvoj determinante po prvoj vrsti. S obzirom na
osobine determinanti, Laplasov razvoj može se izvršiti po bilo kojoj vrsti ili koloni determi-
nante.
Posledica 1. Ako su svi elementi neke vrste (kolone) jednaki nuli, determinanta je jednaka
nuli.
Glavnu dijagonalu determinante čine elementi čiji su prvi i drugi indeks med̄usobno jed-
naki. Dakle, glavnoj dijagonali determinante reda n pripadaju elementi a11, a22, ..., ann.
Trougaona determinanta je ona determinanta čiji su svi elementi ispod (ili iznad) glavne
dijagonale jednaki nuli.
Posledica 2. Vrednost trougaone determinante jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj
dijagonali.

Determinante 5
1.1 Zadaci
1. Izračunati determinante: a) D =
cos α sin α
− sin α cos α
, b) D =
√
a −1
a
√
a
.
Rešenje.
a) D = cos α · cos α − (− sin α · sin α) = cos2
α + sin2
α = 1,
b) D =
√
a ·
√
a − a · (−1) = a + a = 2a.
2. Dokazati da je:
1 0 1 + i
0 1 i
1 − i −i 1
= −2, gde je i imaginarna jedinica.
Rešenje.
Pomoću Sarusovog pravila dobija se:
1 0 1 + i
0 1 i
1 − i −i 1
= 1 − (1 + i)(1 − i) + i2
= 1 − (1 − i2
) − 1 = −2.
3. Izračunati determinantu korišćenjem osobina :
c − b a + 2b + c a + b + 2c
c b b + c
a − b a + 2b + c 2a + b + c
.
Rešenje.
Svaki element druge kolone pomnoži se sa −1 i doda odgovarajućem elementu treće
kolone. Tako dobijena determinanta je jednaka nuli jer ima dve jednake kolone (prvu i
treću):
c − b a + 2b + c a + b + 2c
c b b + c
a − b a + 2b + c 2a + b + c
=
c − b a + 2b + c c − b
c b c
a − b a + 2b + c a − b
= 0.
4. Izračunati determinante : a)
12 6 −4
6 4 4
3 2 8
, b)
1 2 5
3 −4 7
−3 12 −15
na dva načina :
I) Sarusovim pravilom, II) pomoću Laplasove teoreme i korišćenjem osobina determinanti.
Rešenje.
a) Neka je polazna determinanta označena sa D. Tada je :
I) D = 12 · 4 · 8 + 6 · 4 · 3 + 6 · 2 · (−4) − 3 · 4 · (−4) − 6 · 6 · 8 − 2 · 4 · 12 = 72.
II) D
(1)
= 3 · 2 · 4 ·
4 3 −1
2 2 1
1 1 2
(2)
= 24 ·
6 5 −1
0 0 1
−3 −3 2
(3)
= 24 · (−1) · (−18 + 15) = 72.
(1) Iz svake kolone se izdvoji zajednički faktor (3, 2 i 4 redom).
(2) Treća kolona se množi sa −2 i doda prvoj i drugoj.
(3) Determinanta se razvija po drugoj vrsti (Laplasova teorema).
b) Neka je polazna determinanta označena sa D. Tada je :

6 Determinante
I) D = 1·(−4)·(−15)+2·7·(−3)+3·12·5−(−3)·(−4)·5−7·12·1−3·2·(−15) = 144.
II) D =
1 2 5
3 −4 7
−3 12 −15
(1)
=
1 2 6
3 −4 0
−3 12 0
(2)
= 6 · (36 − 12) = 144.
(1) Trećoj koloni se dodaje druga kolona i prva kolona pomnožena sa −1.
(2) Determinanta se razvija po trećoj koloni (Laplasova teorema).
5. Pomoću Laplasove teoreme i osobina determinanti dokazati da je :
a)
1 + cos α 1 + sin α 1
1 − sin α 1 + cos α 1
1 1 1
= 1, b)
2 cos2 α
2 sin α 1
2 cos2 β
2 sin β 1
1 0 1
= sin(β − α).
Rešenje.
a)
1 + cos α 1 + sin α 1
1 − sin α 1 + cos α 1
1 1 1
(1)
=
cosα sin α 1
− sin α cos α 1
0 0 1
(2)
= cos2
α + sin2
α = 1.
(1) Treća kolona se množi sa −1 i dodaje se prvoj i drugoj koloni.
(2) Determinanta se razvija po trećoj vrsti.
b)
2 cos2 α
2 sin α 1
2 cos2 β
2 sin β 1
1 0 1
(1)
=
1 + cos α sin α 1
1 + cos β sin β 1
1 0 1
(2)
=
cos α sin α 1
cos β sin β 1
0 0 1
(3)
=
(3)
= cos α sin β − cos β sin α = sin(β − α).
(1) 2 cos2
t = 1 + cos 2t
(2) Treća kolona se množi sa −1 i dodaje se prvoj koloni.
6. Rešiti jednačine : a)
x2
4 9
x 2 3
1 1 1
= 0, b)
x2
3 2
x −1 1
0 1 4
= 0.
Rešenje.
a) Druga kolona se množi sa −1 i doda prvoj i trećoj, pa se zatim determinanta razvija
po trećoj vrsti. Iz prve kolone se izdvoji zajednički faktor x − 2 i dobija se :
x2
− 4 4 5
x − 2 2 1
0 1 0
= 0 ⇔ −(x − 2)
x + 2 5
1 1
= 0 ⇔ −(x − 2)(x − 3) = 0.
Dakle, jednačina ima dva rešenja : x = 2 ∨ x = 3.
Napomena. Determinanta se može rešiti i Sarusovim pravilom. Na taj način se dobija
jednačina −x2
+ 5x − 6 = 0, čija su rešenja x = 2 ∨ x = 3.
b) Druga kolona se množi sa −4 i doda trećoj, a iz prve kolone se izdvoji zajednički
faktor x. Zatim se determinanta razvija po trećoj vrsti :
x ·
x 3 −10
1 −1 5
0 1 0
= 0 ⇔ −x
x −10
1 5
= 0 ⇔ −5x(x + 2) = 0.

Determinante 7
Dakle, jednačina ima dva rešenja : x = 0 ∨ x = −2.
Napomena. Sarusovim pravilom se dobija jednačina −5x2
− 10x = 0, čija su rešenja
x = 0 ∨ x = −2.
7. Dokazati da je:
a b c d
a −b −c −d
a b −c −d
a b c −d
= −8abcd.
Rešenje.
Ako se svi elementi prve vrste pomnože sa −1 i dodaju odgovarajućim elementima druge,
treće i četvrte vrste, dobija se trougaona determinanta, čija je vrednost jednaka proizvodu
elemenata na glavnoj dijagonali:
a b c d
a −b −c −d
a b −c −d
a b c −d
=
a b c d
0 −2b −2c −2d
0 0 −2c −2d
0 0 0 −2d
= −8abcd.
8. Izračunati determinantu korišćenjem osobina: D =
1 2 3 4 5
−1 0 3 4 5
−1 −2 0 4 5
−1 −2 −3 0 5
−1 −2 −3 −4 0
.
Rešenje.
Prva vrsta se dodaje svim ostalim vrstama i dobija se trougaona determinanta:
D =
1 2 3 4 5
0 2 6 8 10
0 0 3 8 10
0 0 0 4 10
0 0 0 0 5
= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 5! = 120.
1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
.
Rešenje.
Prva kolona množi se sa −1 i dodaje svim ostalim kolonama:
D =
1 0 0 0
1 −2 0 0
1 0 −2 0
1 0 0 −2
= −8.
1 1 1 1 1
1 2 2 20 3
1 2 3 80 3
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5
.

8 Determinante
Rešenje.
Četvrta vrsta množi se sa −1 i dodaje petoj, zatim se treća vrsta množi sa −1 i dodaje
četvrtoj, pa druga sa −1 i dodaje trećoj i na kraju se prva vrsta množi sa −1 i dodaje
drugoj. Tako se polazna determinanta svodi na trougaonu:
D =
1 1 1 1 1
1 2 2 20 3
1 2 3 80 3
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5
=
1 1 1 1 1
0 1 1 19 2
0 0 1 60 0
0 0 0 −76 1
0 0 0 0 1
= −76.
11. Dokazati da je:
1 − a 2 − a − c 3 − a − b − c
1 − a 2 − a − c 2 − a − c
1 − a 1 − a 1 − a
= −(1 − a)(1 − b)(1 − c).
Rešenje.
Ako se druga vrsta pomnoži sa −1 i doda prvoj vrsti (svaki element odgovarajućem),a
zatim se treća vrsta pomnoži sa −1 i doda drugoj, dobija se trougaona determinanta u
odnosu na sporednu dijagonalu. Vrednost ove determinante jednaka je proizvodu elemenata
na sporednoj dijagonali, sa suprotnim znakom:
1 − a 2 − a − c 3 − a − b − c
1 − a 2 − a − c 2 − a − c
1 − a 1 − a 1 − a
=
0 0 1 − b
0 1 − c 1 − c
1 − a 1 − a 1 − a
= −(1 − a)(1 − b)(1 − c).
12. Dokazati da je:
a − 1 a − 1 2a − 4
a − 1 2a − 3 a − 1
2a − 2 2a − 2 3a − 5
= −(a − 1)(a − 2)(a − 3).
Rešenje.
a − 1 a − 1 2a − 4
a − 1 2a − 3 a − 1
2a − 2 2a − 2 3a − 5
(1)
=
a − 1 a − 1 2a − 4
a − 1 2a − 3 a − 1
a − 1 a − 1 a − 1
(2)
=
0 0 a − 3
0 a − 2 0
a − 1 a − 1 a − 1
(3)
=
(3)
= −(a − 1)(a − 2)(a − 3).
(1) Prva vrsta množi se sa −1 i dodaje trećoj vrsti.
(2) Treća vrsta množi se sa −1 i dodaje se prvoj i drugoj vrsti.
(3) Trougaona determinanta po sporednoj dijagonali (kao u prethodnom zadatku).
13. Dokazati da je:
2x + 6 2x + 6 3x + 7
x + 3 2x + 5 x + 3
x + 3 x + 3 2x + 4
= (x + 1)(x + 2)(x + 3).
Rešenje.
Slično kao u prethodnom zadatku, determinanta se u dva koraka dovodi na trougaoni
oblik: treća vrsta se množi sa −1 i dodaje prvoj vrsti; zatim se prva kolona množi sa −1 i
dodaje drugoj i trećoj koloni.

Determinante 9
14. Izračunati determinantu korišćenjem osobina:
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
.
Rešenje.
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
(1)
=
−1 0 0 0 1
0 −1 0 0 1
0 0 −1 0 1
0 0 0 −1 1
1 1 1 1 0
(2)
=
−1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
0 0 −1 0 0
0 0 0 −1 0
1 1 1 1 4
= 4.
(1) Poslednja vrsta množi se sa −1 i dodaje se svim ostalim vrstama.
(2) Poslednjoj koloni dodaju se sve ostale kolone.
15. Izračunati determinantu: D =
a b c 1
b c a 1
c a b 1
b+c
2
c+a
2
a+b
2 1
.
Rešenje.
D
(1)
= 1
2
a b c 1
b c a 1
c a b 1
b + c c + a a + b 1 + 1
(2)
= 1
2
a b c 1
b c a 1
c a b 1
b c a 1
+ 1
2
a b c 1
b c a 1
c a b 1
c a b 1
(3)
= 0.
(1) Iz četvrte vrste izdvaja se zajednički faktor 1
2 .
(2) Determinanta se po četvrtoj vrsti raspada na zbir dve determinante.
(3) Prva determinanta jednaka je nuli jer su druga i četvrta vrsta jednake. Druga
determinanta je nula jer su jednake treća i četvrta vrsta.
16. Pomoću osobina determinanti dokazati da je:
a1 + b1x a1x + b1 c1
a2 + b2x a2x + b2 c2
a3 + b3x a3x + b3 c3
= (1 + x2
)
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
.
Rešenje.
a1 + b1x a1x + b1 c1
a2 + b2x a2x + b2 c2
a3 + b3x a3x + b3 c3
(1)
=
a1 a1x + b1 c1
a2 a2x + b2 c2
a3 a3x + b3 c3
+
b1x a1x + b1 c1
b2x a2x + b2 c2
b3x a3x + b3 c3
(2)
=
(2)
=
a1 a1x c1
a2 a2x c2
a3 a3x c3
+
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
+
b1x a1x c1
b2x a2x c2
b3x a3x c3
+
b1x b1 c1
b2x b2 c2
b3x b3 c3
(3)
=
(3)
=
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
− x2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= (1 − x2
)
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
.

10 Determinante
(1) Determinanta se po prvoj koloni raspada na zbir dve determinante.
(2) Svaka od ove dve determinante se po svojoj drugoj koloni raspada na zbir dve deter-
minante.
(3) Prva i četvrta determinanta su jednake nuli zbog proporcionalnosti prve i druge
kolone. U trećoj determinanti najpre se zamene mesta prvoj i drugoj koloni, što dovodi
do promene njenog znaka. Zatim se iz svake od ove dve kolone izdvoji ispred determinante
zajednički faktor x.
17. Dokazati da je:
a2
1 1
1 a2
1
1 1 a2
= (a2
+ 2)(a − 1)2
(a + 1)2
.
Rešenje.
a2
1 1
1 a2
1
1 1 a2
(1)
=
a2
+ 2 1 1
a2
+ 2 a2
1
a2
+ 2 1 a2
(2)
= (a2
+ 2)
1 1 1
1 a2
1
1 1 a2
(3)
=
(3)
= (a2
+ 2)
1 1 1
0 a2
− 1 0
0 0 a2
− 1
= (a2
+ 2)(a2
− 1)2
= (a2
+ 2)(a − 1)2
(a + 1)2
.
(1) Druga i treća kolona se dodaju prvoj.
(2) Iz prve kolone izdvaja se zajednički faktor.
(3) Prva vrsta se množi sa −1 i dodaje drugoj i trećoj vrsti.
18. Dokazati da je:
2x + y + z y z
x x + 2y + z z
x y x + y + 2z
= 2(x + y + z)3
.
Rešenje.
Ponoviti iste korake kao u prethodnom zadatku.
19. Dokazati da je:
a b b b
b a b b
b b a b
b b b a
= (a + 3b)(a − b)3
.
Rešenje.
Kao u prethodna dva zadatka, najpre sve kolone treba dodati prvoj, zatim iz nje izdvojiti
zajednički faktor a + 3b. U sledećem koraku, prva vrsta se pomnoži sa −1 i dodaje se svim
ostalim vrstama. Tako se dobija trougaona determinanta.
20. Dokazati da je:
a − b − c 2a 2a
2b b − a − c 2b
2c 2c c − a − b
= (a + b + c)3
.
Rešenje.
a − b − c 2a 2a
2b b − a − c 2b
2c 2c c − a − b
(1)
=
a − b − c a + b + c a + b + c
2b −(a + b + c) 0
2c 0 −(a + b + c)
(2)
=

Determinante 11
(2)
= (a+b+c)2
a − b − c 1 1
2b −1 0
2c 0 −1
(3)
= (a+b+c)2
a + b + c 0 0
2b −1 0
2c 0 −1
= (a+b+c)3
.
(1) Prva kolona se množi sa −1 i dodaje drugoj i trećoj koloni.
(2) I iz druge i iz treće kolone izdvaja se zajednički faktor a + b + c.
(3) Druga i treća vrsta dodaju se prvoj.
21. Izračunati determinantu: D =
1 1 3 4
2 0 0 8
3 0 0 2
4 4 7 5
.
Rešenje.
D
(1)
= −
2 0 8
3 0 2
4 7 5
+ 4
1 3 4
2 0 8
3 0 2
(2)
= −(−7)
2 8
3 2
+ 4 · (−3)
2 8
3 2
= 100.
(1) Determinanta se razvija po drugoj koloni.
(2) Svaka od ove dve determinante se razvija po svojoj drugoj koloni.
22. Dokazati da je:
cos t 1 0 0
1 2 cos t 1 0
0 1 2 cost 1
0 0 1 2 cost
= cos 4t.
Rešenje.
cos t 1 0 0
1 2 cost 1 0
0 1 2 cost 1
0 0 1 2 cos t
(1)
= cos t
2 cost 1 0
1 2 cos t 1
0 1 2 cost
−
1 1 0
0 2 cos t 1
0 1 2 cost
(2)
= cos t(8 cos3
t − 4 cos t) − (4 cos2
t − 1) = cos t 4 cost(2 cos2
t − 1)

− 2 · 2 cos2
t + 1
(3)
=
(3)
= 4 cos2
t cos2t − 2 − 2 cos 2t + 1 = 2 cos2t(2 cos2
t − 1) − 1
(3)
= 2 cos2t cos 2t − 1 =
= 2 cos2
2t − 1
(4)
= 1 + cos 4t − 1 = cos 4t.
(1) Determinanta se razvija po prvoj vrsti.
(2) Sarusovo pravilo.
(3) 2 cos2
t = 1 + cos 2t.
(4) 2 cos2
2t = 1 + cos 4t.
23. Dokazati da je:
a 2 1
2 a 1
1 1 2
= 2(a + 1)(a − 2).

12 Determinante
Rešenje.
a 2 1
2 a 1
1 1 2
(1)
=
a − 2 2 −3
−(a − 2) a 1 − 2a
0 1 0
(2)
= −(a−2)(1−2a)+3(a−2) = 2(a+1)(a−2).
(1) Druga kolona se množi sa −1 i dodaje prvoj, zatim se množi sa −2 i dodaje trećoj.
24. Dokazati da je:
1 a a2
1 b b2
1 c c2
= (b − a)(c − a)(c − b).
Rešenje.
Ovo je Vandermondova determinanta sa tri promenljive i označava se sa V3(a, b, c):
V3(a, b, c) =
1 a a2
1 b b2
1 c c2
(1)
=
1 0 0
1 b − a b(b − a)
1 c − a c(c − a)
(2)
=
b − a b(b − a)
c − a c(c − a)
(3)
=
(3)
= (b − a)(c − a)
1 b
1 c
= (b − a)(c − a)(c − b).
(1) Druga kolona se množi sa −a i dodaje trećoj; zatim se prva kolona množi sa −a i
dodaje drugoj.
(3) Iz prve vrste izdvaja se zajednički faktor b − a, a iz druge c − a.
25. Dokazati da je:
1 a a2
a3
1 b b2
b3
1 c c2
c3
1 d d2
d3
= (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c).
Rešenje.
Ovo je Vandermondova determinanta sa četiri promenljive i označava se sa V4(a, b, c, d):
V4 =
1 a a2
a3
1 b b2
b3
1 c c2
c3
1 d d2
d3
(1)
=
1 0 0 0
1 b−a b(b−a) b2
(b−a)
1 c−a c(c−a) c2
(c−a)
1 d−a d(d−a) d2
(d−a)
(2)
=
b−a b(b−a) b2
(b−a)
c−a c(c−a) c2
(c−a)
d−a d(d−a) d2
(d−a)
(3)
= (b − a)(c − a)(d − a)
1 b b2
1 c c2
1 d d2
(4)
= (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c).
(1) Počevši od pretposlednje, pa unazad sve do prve, svaka kolona se množi sa −a i
dodaje sledećoj (isti postupak kao za V3 u prethodnom zadatku, a isti je i za V5, V6, ...).
(3) Iz prve vrste izdvaja se zajednički faktor b − a, iz druge c − a, a iz treće d − a.
(4) Ova determinanta je V3(b, c, d) = (c − b)(d − b)(d − c) po prethodnom zadatku.

Determinante 13
26. Dokazati da je:
a3
a2
a
b3
b2
b
c3
c2
c
= −abc(b − a)(c − a)(c − b).
Rešenje.
Ako se iz svake vrste izdvoji zajednički faktor, pa prva i treća kolona zamene mesta (to
su tri promene susednih kolona, pa determinanta menja znak), dobija se −abc V3(a, b, c), a
ova determinanta je rešena u 24. zadatku.
27. Dokazati da je:
1 ax a2
+ x2
1 ay a2
+ y2
1 az a2
+ z2
= a(y − x)(z − x)(z − y).
Rešenje.
1 ax a2
+ x2
1 ay a2
+ y2
1 az a2
+ z2
(1)
=
1 ax a2
1 ay a2
1 az a2
+
1 ax x2
1 ay y2
1 az z2
(2)
= a V3(x, y, z)
(3)
=
(3)
= a(y − x)(z − x)(z − y).
(1) Determinanta se po trećoj koloni raspada na zbir dve determinante.
(2) Prva determinanta je jednaka nuli zbog proporcionalnosti prve i treće kolone, a u
drugoj se izdvaja zajednički faktor a iz druge kolone.
(3) Vandermondova determinanta trećeg reda rešena je u 24. zadatku.
28. Dokazati da je:
a2
(a + 1)2
(a + 2)2
b2
(b + 1)2
(b + 2)2
c2
(c + 1)2
(c + 2)2
= 4(a − b)(a − c)(b − c).
Rešenje.
a2
(a + 1)2
(a + 2)2
b2
(b + 1)2
(b + 2)2
c2
(c + 1)2
(c + 2)2
(1)
=
a2
2a + 1 2a + 3
b2
2b + 1 2b + 3
c2
2c + 1 2c + 3
(2)
=
a2
2a + 1 2
b2
2b + 1 2
c2
2c + 1 2
(3)
=
(3)
=
a2
2a + 1 2
b2
− a2
2(b − a) 0
c2
− a2
2(c − a) 0
(4)
= 2 · 2(b − a)(c − a)
b + a 1
c + a 1
= 4(a − b)(a − c)(b − c).
(1) Druga kolona se množi sa −1 i dodaje trećoj; zatim se prva kolona množi sa −1 i
dodaje drugoj koloni.
(2) Druga kolona se množi sa −1 i dodaje trećoj.
(3) Prva vrsta se množi sa −1 i dodaje drugoj i trećoj vrsti.
(4) Determinanta se razvija po trećoj koloni; zatim se iz prve vrste izdvaja zajednički
faktor b − a, iz druge vrste c − a i iz druge kolone 2.
29. Dokazati da je:
(a + 1)2
(a + 2)2
(a + 3)2
(b + 1)2
(b + 2)2
(b + 3)2
(c + 1)2
(c + 2)2
(c + 3)2
= 4(a − b)(a − c)(b − c).
Rešenje. Ponoviti iste korake kao u prethodnom zadatku.

14 Determinante
30. Dokazati da je:
1 1 2 3
1 2 − x2
2 3
2 3 1 5
2 3 1 9 − x2
= −3(x2
− 4)(x2
− 1).
Rešenje.
1 1 2 3
1 2 − x2
2 3
2 3 1 5
2 3 1 9 − x2
(1)
=
1 1 2 3
0 1 − x2
0 0
2 3 1 5
0 0 0 4 − x2
(2)
= (4 − x2
)
1 1 2
0 1 − x2
0
2 3 1
(3)
=
(3)
= −3(x2
− 4)(x2
− 1).
(1) Prva vrsta se množi sa −1 i dodaje drugoj vrsti; treća vrsta se množi sa −1 i dodaje
četvrtoj vrsti.
(2) Determinanta se razvija po četvrtoj vrsti.
(3) Sarusovo pravilo.
31. Dokazati da je:
1 a a2
a3
a3
1 a a2
a2
a3
1 a
a a2
a3
1
= (1 + a + a2
+ a3
)3
(1 − a)3
.
Rešenje.
Neka je polazna determinanta označena sa D. Tada je:
D
(1)
= (1+a+a2
+a3
)
1 a a2
a3
1 1 a a2
1 a3
1 a
1 a2
a3
1
(2)
= (1+a+a2
+a3
)
1 a a2
a3
0 1− a a−a2
a2
−a3
0 a3
−a 1−a2
a−a3
0 a2
−a a3
−a2
1−a3
(3)
=
(3)
= (1 + a + a2
+ a3
)(1 − a)3
1 a a2
−a(1 + a) 1 + a a(1 + a)
−a −a2
1 + a + a2
(4)
=
(4)
= (1+a+a2
+a3
)(1−a)3
1 a a2
0 1 + a + a2
+ a3
a + a2
+ a3
+ a4
0 0 1 + a + a2
+ a3
= (1+a+a2
+a3
)3
(1−a)3
.
(1) Sve kolone se dodaju prvoj koloni, a zatim se iz nje izdvoji zajednički faktor.
(2) Prva vrsta se množi sa −1 i dodaje se svim ostalim vrstama.
(3) Determinanta se razvija po prvoj koloni; zatim se iz svake vrste izdvoji 1 − a.
(4) Prva vrsta se množi sa a i dodaje se trećoj vrsti, a zatim se prva vrsta množi sa
a(1 + a) i dodaje se drugoj vrsti. Dobijena determinanta je trougaona.
32. Dokazati da je:
1 z z2
z2
1 z
z z2
1
= (1 − z)2
(1 + z + z2
)2
.
Rešenje.
Slično kao prethodni zadatak.

Determinante 15
33. Dokazati da je:
a b c d
d a b c
c d a b
b c d a
= (a + b + c + d)(a − b + c − d) (a − c)2
+ (b − d)2

.
Rešenje.
Neka je polazna determinanta označena sa D. Tada je:
D
(1)
=
a+b+c+d b c d
a+b+c+d a b c
a+b+c+d d a b
a+b+c+d c d a
(2)
= (a+b+c+d)
1 b c d
1 a b c
1 d a b
1 c d a
(3)
= A
1 b c d
0 a−b b−c c−d
0 d−b a−c b−d
0 c−b d−c a−d
(4)
= A
a − b b − c c − d
d − b a − c b − d
c − b d − c a − d
(5)
= A
a−b+c−d −(a−b+c−d) a−b+c−d
d − b a − c b − d
c − b d − c a − d
(6)
=
(6)
= A(a − b + c − d)
1 −1 1
d − b a − c b − d
c − b d − c a − d
(7)
= AB
0 −1 0
a−b−c+d a−c a+b−c−d
d−b d−c a−c
(8)
=
(8)
= AB
a−b−c+d a+b−c−d
d−b a−c
(9)
= AB
a−c b−d
d−b a−c
=(a+b+c+d)(a−b+c−d) (a−c)2
+(b−d)2

(1) Prvoj koloni dodaju se sve ostale kolone.
(2) Iz prve kolone izdvaja se zajednički faktor.
(3) Prva vrsta množi se sa −1 i dodaje se svim ostalim vrstama.
Izraz a + b + c + d označen je sa A.
(4) Razvoj po prvoj koloni.
(5) Prvoj vrsti se dodaje treća, a zatim i druga vrsta pomnožena sa −1.
(6) Iz prve vrste izdvaja se zajednički faktor.
(7) Druga kolona dodaje se prvoj i trećoj.
Izraz a − b + c − d označen je sa B.
(8) Razvoj po prvoj vrsti.
(9) Druga vrsta se množi sa −1 i dodaje prvoj.
34. Dokazati da je:
0 c b a
c 0 a b
b a 0 c
a b c 0
= −(a + b + c)(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c).
Rešenje.
Slično kao prethodni zadatak.

2
Matrice
Definicija. Matrica A tipa m × n (m, n ∈ N) je pravougaona šema realnih (ili kom-
pleksnih) brojeva aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n). Označava se na sledeći način
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn





. (2.1)
Elementi ai1, ai2, . . . , ain čine i-tu vrstu matrice (2.1), a elementi a1j, a2j, . . . , amj njenu
j-tu kolonu. U matrici (2.1), element aij nalazi se u i-toj vrsti i j-toj koloni.
Ako za matricu (2.1) važi m = n (tj. ako ta matrica ima jednak broj vrsta i kolona),
kaže se da je A kvadratna matrica reda n.
Matrica čiji su svi elementi jednaki nuli naziva se nula matrica i označava O.
Kvadratna matrica reda n za koju je a11 = a22 = . . . = ann = 1, a svi ostali elementi
jednaki 0, naziva se jedinična matrica reda n i označava In ili samo I.
Jednakost matrica. Matrice A i B su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući
elementi jednaki.
Zbir matrica. Neka su A i B matrice istog tipa
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn





, B =





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bm1 bm2 . . . bmn





.
Zbir matrica A i B je matrica C istog tipa kao matrice A i B, definisana sa
C = A + B =





a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn





.
Zbir matrica različitog tipa nije definisan tj. matrice različitog tipa ne mogu se sabirati.
16

Matrice 17
Stav. A + (B + C) = (A + B) + C, A + B = B + A, A + O = A.
Množenje matrice skalarom. Proizvod broja (skalara) λ i matrice A je matrica λA,
dobijena na taj način što je svaki element matrice A pomnožen brojem λ. Ako je A kao u
(2.1), onda je
λ · A =





λa11 λa12 . . . λa1n
λa21 λa22 . . . λa2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λam1 λam2 . . . λamn





.
Matrica −A definisana je sa −A = (−1) · A i naziva se suprotna matrica matrice A.
Razlika matrica. Razlika matrica A i B istog tipa, u oznaci A − B , definisana je sa
A − B = A + (−1) · B. Specijalno, A − A = O.
Ako za kvadratnu matricu A reda n važi da je A = k · In ( k je skalar), A se naziva
skalarna matrica i može se označiti sa kn ili samo brojem k.
Proizvod matrica. Neka je A =

a1 a2 . . . an

i B =





b1
b2
.
.
.
bn





. Proizvod matrica
A i B je matrica A · B = [ k ] tipa 1 × 1, gde je k = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn.
Proizvod matrica A i B je definisan samo u slučaju kad A ima onoliko kolona koliko
B ima vrsta.
Neka je A matrica tipa m × n, a B matrica tipa n × p :
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn





, B =





b11 b12 . . . b1p
b21 b22 . . . b2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
bn1 bn2 . . . bnp





.
Proizvod matrica A i B je matrica C tipa m × p , definisana sa
C = A · B =





c11 c12 . . . c1p
c21 c22 . . . c2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
cm1 cm2 . . . cmp





,
gde je [cij] =

ai1 ai2 . . . ain

·





b1j
b2j
.
.
.
bnj





(i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . . , p),
odnosno, [cij] je proizvod i-te vrste matrice A (shvaćene kao 1 × n matrica) i j- te kolone
matrice B (shvaćene kao n × 1 matrica).
Stav. A(BC) = (AB)C, A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC.
Proizvod matrica nije komutativan, tj. A · B 6= B · A.

18 Matrice
Transponovana matrica matrice A tipa m × n, u oznaci AT
, jeste matrica tipa n × m,
koja se dobija kada u matrici A vrste i kolone zamene mesta.
Adjungovana matrica. Neka je A kvadratna matrica reda n. Adjungovana matrica
matrice A, u oznaci adjA, je
adjA =





A11 A12 . . . A1n
A21 A22 . . . A2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
An1 An2 . . . Ann





T
=





A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A1n A2n . . . Ann





,
gde je Aij kofaktor (ili algebarski komplement)1
elementa aij kvadratne matrice A.
Inverzna matrica. Neka je A kvadratna matrica reda n. Ako postoji matrica B reda n
takva da je A · B = B · A = In, gde je In jedinična matrica reda n, tada se kaže da je B
inverzna matrica matrice A.
Inverzna matrica matrice A, ukoliko postoji, označava se A−1
.
Stav. Neka je A matrica reda n i neka je det A 6= 0 ( det A je determinanta matrice A).
Tada je
A−1
=
1
det A
· adjA.
Ako je det A 6= 0, kaže se da je A regularna (nesingularna) matrica. Ako je det A = 0, A
je singularna matrica.
Stav. Kvadratna matrica A ima inverznu matricu A−1
ako i samo ako je A regularna
matrica.
Stav. (A · B)−1
= B−1
· A−1
.
Elementi matrice A tipa m × n koji se nalaze u preseku k (k ≤ min{m, n}) vrsta i k
kolona, obrazuju kvadratnu matricu čija se determinanta naziva minor reda k matrice A.
Rang matrice A označava se rangA. Ako je A nula matrica, rangA = 0.
Matrica A ima rang r, tj. rangA = r, ako je r najveći prirodan broj za koji važi
i)Postoji minor reda r različit od nule;
ii) Svi minori reda r + 1, ukoliko postoje, jednaki su nuli.
Elementarne transformacije su
i) Razmena dve vrste (kolone),
ii) Množenje elemenata jedne vrste (kolone) nekim brojem koji je različit od nule,
iii) Dodavanje elemenata jedne vrste (kolone), prethodno pomnoženih proizvoljnim bro-
jem, odgovarajućim elementima neke druge vrste (kolone).
Matrica A je ekvivalentna sa matricom B, u oznaci A ∼ B, ako se od matrice A
može preći na matricu B primenom konačno mnogo elementarnih transformacija.
Stav. Ekvivalentne matrice imaju isti rang.
Stav. Rang matrice jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta (kolona) te
matrice.
1videti uvod u poglavlje Determinante

Operacije sa matricama 19
2.1 Operacije sa matricama
1. Date su matrice
A =

3 8
−2 5

, B =

1 −4
0 2

, C =

6 −2
−10 2

.
Naći 2A + 3B − C.
Rešenje.
2A + 3B − C = 2 ·

3 8
−2 5

+ 3 ·

1 −4
0 2

−

6 −2
−10 2

=
=

6 16
−4 10

+

3 −12
0 6

−

6 −2
−10 2

=

3 6
6 14

.
2. Odrediti nepoznatu matricu X ako je:
4


1 3 0
2 1 0
3 1 2

 + X = 6


1 1 0
3 3 −1
4 1 2

 .
Rešenje.
X = 6


1 1 0
3 3 −1
4 1 2

 − 4


1 3 0
2 1 0
3 1 2

 =


6 6 0
18 18 −6
24 6 12

 −


4 12 0
8 4 0
12 4 8


X =


2 −6 0
10 14 −6
12 2 4

 .
3. Ako je
A =

1 1
0 1

, B =

7 4
−9 −5

, C =

2 1
3 2

, tada je AC = CB. Dokazati.
Rešenje.
AC =

1 1
0 1

·

2 1
3 2

=

1 · 2 + 1 · 3 1 · 1 + 1 · 2
0 · 2 + 1 · 3 0 · 1 + 1 · 2

=

5 3
3 2

CB =

2 1
3 2

·

7 4
−9 −5

=

2 · 7 − 1 · 9 2 · 4 − 1 · 5
3 · 7 − 2 · 9 3 · 4 − 2 · 5

=

5 3
3 2

Sledi AC = CB.
4. Izračunati f(A) ako je f(x) = x2
− 5x + 3 i A =

2 −1
−3 3

.
Rešenje.
f(A) = A2
− 5A + 3 · I =

2 −1
−3 3

·

2 −1
−3 3

− 5

2 −1
−3 3

+

3 0
0 3

=
=

7 −5
−15 12

+

−10 5
15 −15

+

3 0
0 3

=

0 0
0 0

.

20 Matrice
5. Date su matrice
A =


1 1 6 1
5 −3 1 −1
4 −1 2 0

 i B =


−1 2 0 2
1 3 −1 1
2 1 4 0

 .
Odrediti matricu X tako da važi 3X − A + 2B = O, gde je O nula matrica tipa 3 × 4.
Rešenje.
3X = A − 2B =


1 1 6 1
5 −3 1 −1
4 −1 2 0

 −


−2 4 0 4
2 6 −2 2
4 2 8 0

 =


3 −3 6 −3
3 −9 3 −3
0 −3 −6 0


X =
1
3
·


3 −3 6 −3
3 −9 3 −3
0 −3 −6 0

 =


1 −1 2 −1
1 −3 1 −1
0 −1 −2 0

 .
6. Ako je f(x) = 3x2
− 5x − 2 i ako je A =

1 2
3 1

, pokazati da je f(A) =

14 2
3 14

.
Rešenje.
f(A) = 3A2
− 5A − 2 · I = 3 ·

1 2
3 1

·

1 2
3 1

− 5 ·

1 2
3 1

−

2 0
0 2

=
= 3 ·

7 4
6 7

−

5 10
15 5

−

2 0
0 2

=

14 2
3 14

.
7. Za date matrice A =

1 −1
2 −1

i B =

1 1
4 −1

dokazati da važi
A2
+ B2
= (A + B)2
.
Rešenje.
A2
+ B2
=

−1 0
0 −1

+

5 0
0 5

=

4 0
0 4

.
(A + B)2
=

2 0
6 −2

·

2 0
6 −2

=

4 0
0 4

.
Sledi A2
+ B2
= (A + B)2
.
8. Naći inverznu matricu A−1
matrice A =


1 2 0
0 3 1
0 1 2

 .
Rešenje. Kako je detA = 5, sledi da je A regularna matrica, pa postoji A−1
. Adjungo-
vana matrica matrice A je
adjA =


A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33


T
=


A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33

 , gde su

Matrične jednačine 21
A11 =(−1)1+1 3 1
1 2
=5 A12 =(−1)1+2 0 1
0 2
=0 A13 =(−1)1+3 0 3
0 1
=0
A21 =(−1)2+1 2 0
1 2
= −4 A22 =(−1)2+2 1 0
0 2
=2 A23 =(−1)2+3 1 2
0 1
=−1
A31 =(−1)3+1 2 0
3 1
=2 A32 =(−1)3+2 1 0
0 1
=−1 A33 =(−1)3+3 1 2
0 3
=3
A−1
=
1
det A
· adjA =
1
5


5 −4 2
0 2 −1
0 −1 3

 =


1 −4/5 2/5
0 2/5 −1/5
0 −1/5 3/5

 .
9. Naći inverznu matricu A−1
matrice A =


1 3 4
−2 1 −2
3 −1 2

 .
Rešenje. Kako je det A = −10, sledi da je A regularna matrica, pa postoji A−1
.
Adjungovana matrica matrice A je
adjA =


A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33


T
=


A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33

 , gde su
A11 =+
1 −2
−1 2
=0 A12 =−
−2 −2
3 2
=−2 A13 =+
−2 1
3 −1
=−1
A21 =−
3 4
−1 2
= −10 A22 =+
1 4
3 2
=−10 A23 =−
1 3
3 −1
=10
A31 =+
3 4
1 −2
=−10 A32 =−
1 4
−2 −2
=−6 A33 =+
1 3
−2 1
=7
A−1
=
1
det A
· adjA =
−1
10


0 −10 −10
−2 −10 −6
−1 10 7

 =


0 1 1
1/5 1 3/5
1/10 −1 −7/10

 .
2.2 Matrične jednačine
10. Rešiti matričnu jednačinu

1 2
3 4

· X =

3 5
5 9

.
Rešenje. Data jednačina se množi sa leve strane odgovarajućom inverznom matricom

1 2
3 4
−1
·

1 2
3 4

· X =

1 2
3 4
−1
·

3 5
5 9

22 Matrice
I · X =

1 2
3 4
−1
·

3 5
5 9

X =

1 2
3 4
−1
·

3 5
5 9

=
1
−2

4 −2
−3 1

·

3 5
5 9

=
−1
2

2 2
−4 −6

=

−1 −1
2 3

.
X ·

3 −2
5 −4

=

−1 2
−5 6

.
Rešenje.
Data jednačina se množi sa desne strane
X ·

3 −2
5 −4

·

3 −2
5 −4
−1
=

−1 2
−5 6

·

3 −2
5 −4
−1
X · I =

−1 2
−5 6

·

3 −2
5 −4
−1
X =

−1 2
−5 6

·

3 −2
5 −4
−1
=
1
2

−1 2
−5 6

·

4 −2
5 −3

=
1
2

6 −4
10 −8

=

3 −2
5 −4

.

1 0
−2 1

· X =

1 2 3
2 1 0

.
Rešenje.
X =

1 0
−2 1
−1
·

1 2 3
2 1 0

=

1 0
2 1

·

1 2 3
2 1 0

=

1 2 3
4 5 6

.
13. Rešiti matričnu jednačinu A · X · B = C ako su date matrice:
A =

3 −1
5 −2

, B =

5 6
7 8

, C =

14 16
9 10

.
Rešenje.
A · X · B = C / · B−1
A · X = C · B−1
A−1
· / A · X = C · B−1
X = A−1
· C · B−1
A−1
= −

−2 1
−5 3

=

2 −1
5 −3

, B−1
= −
1
2

8 −6
−7 5

=
1
2

−8 6
7 −5

.
X =
1
2

2 −1
5 −3

·

14 16
9 10

·

−8 6
7 −5

=
1
2

19 22
43 50

·

−8 6
7 −5

=
=
1
2

2 4
6 8

=

1 2
3 4

.

14. Rešiti matričnu jednačinu A · Y − B = C ako su date matrice:
A =

2 1
3 2

, B =

4 3
2 1

, C =

36 23
64 41

.
Rešenje.
A · Y − B = C
A · Y = C + B
A−1
· / A · Y = C + B
Y = A−1
· (C + B)
Y =

2 −1
−3 2

·

36 23
64 41

+

4 3
2 1

=

2 −1
−3 2

·

40 26
66 42

Y =

14 10
12 6

.


0 −3 1
2 1 5
−4 0 −2

 · X =


8
14
−16

 .
Rešenje.
X =


0 −3 1
2 1 5
−4 0 −2


−1
·


8
14
−16

 =
1
52


−2 −6 −16
−16 4 2
4 12 6

 ·


8
14
−16


X =
1
52


156
−104
104

 =


3
−2
2

 .
16. Rešiti matričnu jednačinu X · A = B ako su date matrice:
A =


5 3 1
1 −3 −2
−5 2 1

 , B =


−8 3 0
−5 9 0
−2 15 0

 .
Rešenje.
X · A = B / · A−1
X = B · A−1
X =


−8 3 0
−5 9 0
−2 15 0

·


5 3 1
1 −3 −2
−5 2 1


−1
=
1
19


−8 3 0
−5 9 0
−2 15 0

·


1 −1 −3
9 10 11
−13 −25 −18

 =
=
1
19


19 38 57
76 95 114
133 152 171

 =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

 .
17. Rešiti matričnu jednačinu A · X = B ako su date matrice:
A =


1 2 −3
3 2 −4
2 −1 0

 , B =


1 −3 0
10 2 7
10 7 8

 .

24 Matrice
Rešenje.
A−1
· / A · X = B
X = A−1
· B
X =


1 2 −3
3 2 −4
2 −1 0


−1
·


1 −3 0
10 2 7
10 7 8

 =


−4 3 −2
−8 6 −5
−7 5 −4

 ·


1 −3 0
10 2 7
10 7 8


X =


6 4 5
2 1 2
3 3 3

 .
A =


2 1 −1
2 2 0
1 −1 2

 , B =


−2 1 3
0 8 0
−4 1 5

 .
Rešenje.
X · A = B / · A−1
X = B · A−1
X =


−2 1 3
0 8 0
−4 1 5

 ·


2 1 −1
2 2 0
1 −1 2


−1
=
1
8


−2 1 3
0 8 0
−4 1 5

 ·


4 −1 2
−4 5 −2
−4 3 2

 =
=
1
8


−24 16 0
−32 40 −16
−40 24 0

 =


−3 2 0
−4 5 −2
−5 3 0

 .
A =


4 3 8
5 0 2
1 1 3

 , B =

29 16 49

.
Rešenje.
X = B · A−1
=

29 16 49

·


4 3 8
5 0 2
1 1 3


−1
=
=−
1
7

29 16 49

·


−2 −1 6
−13 4 32
5 −1 −15

=−
1
7

−21 −14 −49

=

3 2 7

.
20. Rešiti matričnu jednačinu X · (A + I) = B ako su date matrice:
A =


0 3 −2
0 −7 2
−1 1 0

 , B =

1 −1 3
−2 0 4

.

Rešenje.
Ako je C = A + I =


1 3 −2
0 −6 2
−1 1 1

 , jednačina glasi X · C = B, pa je
X = B · C−1
= −
1
2

1 −1 3
−2 0 4

·


−8 −5 −6
−2 −1 −2
−6 −4 −6

 = −
1
2

−24 −16 −22
−8 −6 −12

X =

12 8 11
4 3 6

.
21. Rešiti matričnu jednačinu (A − 3I) · X = A ako je A data matrica:
A =


1 1 2
2 4 4
1 0 2

 .
Rešenje. Ako je
C = A − 3I =


−2 1 2
2 1 4
1 0 −1

 , jednačina glasi C · X = A, pa sledi
X = C−1
· A =
1
6


−1 1 2
6 0 12
−1 1 −4

 ·


1 1 2
2 4 4
1 0 2

 =
1
2


1 1 2
6 2 12
−1 1 −2

 .
22. Rešiti matričnu jednačinu A · X = X + B za date matrice:
A =


2 2 1
0 2 3
0 1 1

 , B =


1 0 0
2 1 0
1 0 1

 .
Rešenje.
A · X = X + B
A · X − X = B
(A − I) · X = B
X = (A − I)−1
· B
X =


1 2 1
0 1 3
0 1 0


−1
·


1 0 0
2 1 0
1 0 1

 = −
1
3


−3 1 5
0 0 −3
0 −1 1

 ·


1 0 0
2 1 0
1 0 1


X = −
1
3


4 1 5
−3 0 −3
−1 −1 1

 =
1
3


−4 −1 −5
3 0 3
1 1 −1

 .
23. Rešiti matričnu jednačinu (A − 2I) · X = 3A ako je A data matrica:
A =


1 1 2
3 2 12
−1 1 −2

 .

26 Matrice
Rešenje.
X = (A − 2I)−1
· 3A =


−1 1 2
3 0 12
−1 1 −4


−1
·


3 3 6
9 6 36
−3 3 −6

 =
=
1
18


−12 6 12
0 6 18
3 0 −3

 ·


3 3 6
9 6 36
−3 3 −6

 =
1
18


−18 36 72
0 90 108
18 0 36

 =


−1 2 4
0 5 6
1 0 2

 .
24. Rešiti matričnu jednačinu X · A = 2X + A−1

· A ako je A data matrica:
A =


−2 1 2
2 1 4
1 0 1

 .
Rešenje.
X · A = 2X + A−1

· A / · A−1
X = 2X + A−1
X = −A−1
X =
1
2


1 −1 2
2 −4 12
−1 1 −4

 .
25. Rešiti matričnu jednačinu A · X − A − 3X = O, ako je O nula matrica i A data
matrica:
A =


1 1 2
2 4 4
1 0 2

 .
Rešenje.
A · X − A − 3X = O
A · X − 3X = A
(A − 3I) · X = A
X = (A − 3I)−1
· A
X =


−2 1 2
2 1 4
1 0 −1


−1
·


1 1 2
2 4 4
1 0 2

 =
1
6


−1 1 2
6 0 12
−1 1 −4

 ·


1 1 2
2 4 4
1 0 2

 =
=
1
6


3 3 6
18 6 36
−3 3 −6

 =


1/2 1/2 1
3 1 6
−1/2 1/2 −1

 .
26. Rešiti matričnu jednačinu X · (A − 2B − I) = A − B za date matrice:
A =


4 1 6
2 −2 0
3 −3 5

 , B =


1 2 4
2 −3 −1
0 0 4

 .

Rešenje. Neka je
C = A−2B −I =


4 1 6
2 −2 0
3 −3 5

−


2 4 8
4 −6 −2
0 0 8

−


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 =


1 −3 −2
−2 3 2
3 −3 −4

 .
Jednačina glasi X · C = A − B, pa je
X = (A − B) · C−1
=


3 −1 2
0 1 1
3 −3 1

 ·
1
6
·


−6 −6 0
−2 2 2
−3 −6 −3

 =
1
6


−22 −32 −8
−5 −4 −1
−15 −30 −9


X = −
1
6


22 32 8
5 4 1
15 30 9

 .
27. Rešiti matričnu jednačinu A2
· X = B − 2I za date matrice:
A =


2 0 2
1 −1 3
0 2 0

 , B =


2 1 −1
0 3 2
3 2 4

 .
Rešenje. Neka je C = A2
. Sada iz C · X = B − 2I sledi da je
X = C−1
· (B − 2I) =


4 4 4
1 7 −1
2 −2 6


−1
·


0 1 −1
0 1 2
3 2 2

 =
=
1
64


40 −32 −32
−8 16 8
−16 16 24

 ·


0 1 −1
0 1 2
3 2 2

 =
1
64
· 8 ·


5 −4 −4
−1 2 1
−2 2 3

 ·


0 1 −1
0 1 2
3 2 2


X =
1
8


−12 −7 −21
3 3 7
9 6 12

 .
28. Rešiti matričnu jednačinu A = X − 2B−1
−1
· A za date matrice:
A =


3 7 −1
0 0 12
7 5 1

 , B =


2 5 7
6 3 4
5 −2 −3

 .
Rešenje.
A = X − 2B−1
−1
· A / · A−1
I = X − 2B−1
−1
/ · X − 2B−1

X − 2B−1
= I
X = I + 2B−1
X =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 + 2 ·


1 −1 1
−38 41 −34
27 −29 24

 =


3 −2 2
−76 83 −68
54 −58 49

 .

28 Matrice
29. Rešiti matričnu jednačinu A · X · B = C za date matrice:
A =


2 −3 1
4 −5 2
5 −7 3

 , B =


9 7 6
1 1 2
1 1 1

 , C =


2 0 −2
18 12 9
23 15 11

 .
Rešenje.
A · X · B = C / · B−1
A−1
· / A · X = C · B−1
X = A−1
· C · B−1
X =


−1 2 −1
−2 1 0
−3 −1 2

 ·


2 0 −2
18 12 9
23 15 11

 ·
1
−2
·


−1 −1 8
1 3 −12
0 −2 2

 =
= −
1
2


11 9 9
14 12 13
22 18 19

 ·


−1 −1 8
1 3 −12
0 −2 2

 = −
1
2


−2 −2 −2
−2 −4 −6
−4 −6 −2

 =


1 1 1
1 2 3
2 3 1

 .
30. Za date matrice A =


1 2 1
1 1 0
2 0 −1

 i B =


1 1 1
0 0 0
0 0 0

 rešiti matrične jednačine:
a) A · X = B, b) X · A = B, c) A · X = B · A−1
· B, d) X · A = B · A−1
· B.
Rešenje.
a) X = A−1
· B = −


−1 2 −1
1 −3 1
−2 4 −1

 ·


1 1 1
0 0 0
0 0 0

 = −


−1 −1 −1
1 1 1
−2 −2 −2


X =


1 1 1
−1 −1 −1
2 2 2

 .
b) X = B · A−1
=


1 1 1
0 0 0
0 0 0

 ·


1 −2 1
−1 3 −1
2 −4 1

 =


2 −3 1
0 0 0
0 0 0

 .
c) A−1
· / A · X = B · A−1
· B
X = A−1
· B · A−1
· B = A−1
· B
2 (1)
=


2 2 2
−2 −2 −2
4 4 4

 .
(1) Koristi se rezultat iz a).
d) X · A = B · A−1
· B / · A−1
X = B · A−1
· B · A−1
= B · A−1
2 (2)
=


4 −6 2
0 0 0
0 0 0

 .
(2) Koristi se rezultat iz b).

31. Za date matrice A=


−1 −2
5 12
−11 −6

 i B =


0 2 −1
3 −2 −2
−3 3 −3

 rešiti matričnu jednačinu
B · X = A − X.
Rešenje.
B · X = A − X
B · X + X = A
(B + I) · X = A
X = (B + I)−1
· A
X =
1
26


8 1 −5
12 −5 −1
6 −9 −7

 ·


−1 −2
5 12
−11 −6

 =
1
26


52 26
−26 −78
26 −78

 =


2 1
−1 −3
1 −3

 .
32. Rešiti matričnu jednačinu A · X − B = X za date matrice:
A =


1 2 0
−1 1 1
3 1 1

 i B =


0 2 −6
4 −2 −2
−3 7 −3

 .
Rešenje.
A · X − B = X
A · X − X = B
(A − I) · X = B
X = (A − I)−1
· B
X =


0 2 0
−1 0 1
3 1 0


−1
·


0 2 −6
4 −2 −2
−3 7 −3

 =
1
6


−1 0 2
3 0 0
−1 6 2

 ·


0 2 −6
4 −2 −2
−3 7 −3

 =
=
1
6


−6 12 0
0 6 −18
18 0 −12

 =


−1 2 0
0 1 −3
3 0 −2

 .
33. Rešiti matričnu jednačinu (A · X)−1
+ X−1
= B za date matrice:
A =

2 −1
3 4

i B =

3 4
1 −3

.
Rešenje.
(A · X)−1
+ X−1
= B
X−1
· A−1
+ X−1
= B
X−1
· A−1
+ I

= B
X · / X−1
· A−1
+ I

= B
A−1
+ I = X · B / · B−1
A−1
+ I

· B−1
= X
Kako je A−1
=
1
11

4 1
−3 2

i B−1
=
1
13

3 4
1 −3

, sledi

30 Matrice
X =
1
13

1
11

4 1
−3 2

+

1 0
0 1

·

3 4
1 −3

=
=
1
13

1
11

4 1
−3 2

+
1
11

11 0
0 11

·

3 4
1 −3

=
=
1
13
·
1
11

4 1
−3 2

+

11 0
0 11

·

3 4
1 −3

=
1
143

15 1
−3 13

·

3 4
1 −3

X =
1
143

46 57
4 −51

.
34. Rešiti matričnu jednačinu A · X−1
· B − C = A · X−1
za date matrice:
A =


1 1 2
0 1 2
0 2 1

 , B =


2 1 1
0 −1 1
0 0 −1

 i C =


2 1 0
0 1 2
0 0 1

 .
Rešenje.
A · X−1
· B − C = A · X−1
(A · X−1
)−1
· /A · X−1
· B − C = A · X−1
B − (A · X−1
)−1
· C = I
B − X · A−1
· C = I
B − I = X · A−1
· C/ · (A−1
· C)−1
(B − I) · (A−1
· C)−1
= X
(B − I) · C−1
· A = X
Kako je C−1
=
1
2


1 −1 2
0 2 −4
0 0 2

 , sledi
X =
1
2


1 1 1
0 −2 1
0 0 −2

 ·


1 −1 2
0 2 −4
0 0 2

 ·


1 1 2
0 1 2
0 2 1

 =
1
2


1 2 4
0 16 2
0 −8 −4

 .
2.3 Rang matrice
35. Naći rang matrice A =


1 4 2
2 5 4
3 1 6

 .
Rešenje. Matrica A je trećeg reda, pa je njen rang najviše tri. Kako je det A = 0,
a postoji minor drugog reda različit od nule, npr.
1 4
2 5
= −3 6= 0, sledi da je
rangA = 2.
36. Naći rang matrice A =


4 5 7 2 8
1 4 3 8 1
2 3 5 7 1

 .

Rang matrice 31
Rešenje. Matrica A je tipa 3×5, pa njen rang ne može biti veći od 3. Kako postoji minor
trećeg reda različit od nule, npr.
4 5 7
1 4 3
2 3 5
= 14 6= 0, sledi da je rangA = 3.
37. Primenom elementarnih transformacija matrice naći rang date matrice:
A =


1 −1 2 1
2 −2 4 2
5 −5 10 5

 .
Rešenje.
A =


1 −1 2 1
2 −2 4 2
5 −5 10 5

 (1)
∼


1 −1 2 1
1 −1 2 1
1 −1 2 1

 (2)
∼


1 −1 2 1
0 0 0 0
0 0 0 0

 .
(1) Druga vrsta se podeli sa 2, a treća sa 5.
(2) Od treće vrste se oduzme druga. Od druge vrste se oduzme prva.
Zaključuje se da je rangA = 1, jer su svi minori drugog reda jednaki nuli.
A =


1 −2 3 2
2 1 −1 0
3 −1 2 2

 .
Rešenje.
A =


1 −2 3 2
2 1 −1 0
3 −1 2 2

 (1)
∼


1 −2 3 2
0 5 −7 −4
0 5 −7 −4

 (2)
∼


1 −2 3 2
0 5 −7 −4
0 0 0 0

 .
(1) Od treće vrste oduzme se prva pomnožena sa 3. Od druge vrste oduzme se prva
pomnožena sa 2.
(2) Od treće vrste oduzme se druga.
Zaključuje se da je rangA = 2.
39. Primenom elementarnih transformacija matrice naći rang date matrice
A =






0 2 −4
−1 −4 5
3 1 7
0 5 −10
2 3 0






.
Rešenje.
A =
(1)
∼






0 1 −2
1 4 −5
3 1 7
0 5 −10
2 3 0






(2)
∼






1 4 −5
0 1 −2
3 1 7
0 5 −10
2 3 0






(3)
∼






1 4 −5
0 1 −2
0 −11 22
0 5 −10
0 −5 10






(4)
∼






1 4 −5
0 1 −2
0 0 0
0 0 0
0 0 0






.

32 Matrice
(1) Prva vrsta se podeli sa 2, a druga vrsta sa (−1).
(2) Prva i druga vrsta zamene mesta.
(3) Od pete vrste se oduzme prva vrsta prethodno pomnožena sa 2. Od treće vrste se oduzme
prva vrsta pomnožena sa 3.
(4) Petoj vrsti se doda četvrta. Od četvrte vrste se oduzme druga vrsta pomnožena sa 5.
Trećoj vrsti se doda druga pomnožena sa 11.
rangA = 2 jer je npr.
1 4
0 1
= 1 6= 0.
A =




−2 1 3 −1
2 2 −1 3
1 3 −2 4
1 6 0 6



 .
Rešenje.
A =




−2 1 3 −1
2 2 −1 3
1 3 −2 4
1 6 0 6




(1)
∼




1 3 −2 4
2 2 −1 3
1 6 0 6
−2 1 3 −1




(2)
∼




1 3 −2 4
0 −4 3 5
0 3 2 2
0 7 −1 7




(3)
∼
(3)
∼




1 3 −2 4
0 −1 5 −3
0 3 2 2
0 7 −1 7




(4)
∼




1 3 −2 4
0 −1 5 −3
0 0 17 −7
0 0 34 −14




(5)
∼




1 3 −2 4
0 −1 5 −3
0 0 17 −7
0 0 0 0



 .
(1) Menja se redosled vrsta.
(2) Četvrtoj vrsti se doda prva pomnožena sa 2. Od treće vrste se oduzme prva. Od druge
vrste oduzme se prva pomnožena sa 2.
(3) Drugoj vrsti se doda treća.
(4) Četvrtoj vrsti se doda druga pomnožena sa 7. Trećoj vrsti se doda druga prethodno
pomnožena sa 3.
(5) Od četvrte vrste se oduzme treća pomnožena sa 2.
Kako je
1 3 −2
0 −1 5
0 0 17
= −17 6= 0, sledi da je rangA = 3.
41. Odrediti a tako da data matrica ima najmanji rang:
A =




a 1 3 9
1 1 −2 −4
4 6 −2 2
−1 0 5 13



 .
Rešenje.
A =




a 1 3 9
1 1 −2 −4
4 6 −2 2
−1 0 5 13




(1)
∼




1 1 −2 −4
−1 0 5 13
a 1 3 9
4 6 −2 2




(2)
∼

Rang matrice 33
(2)
∼




1 1 −2 −4
0 1 3 9
0 1 − a 3 + 2a 9 + 4a
0 2 6 18




(3)
∼




1 1 −2 −4
0 1 3 9
0 0 5a 13a
0 0 0 0



 .
(1) Promeni se raspored vrstama.
(2) Od četvrte vrste oduzme se prva pomnožena sa 4. Od treće vrste oduzme se prva
pomnožena sa a. Drugoj vrsti doda se prva.
(3) Od četvrte vrste oduzme se druga pomnožena sa 2. Od treće vrste oduzme se druga
pomnožena sa (1 − a).
Za a 6= 0 je rangA = 3, jer je npr.
1 1 −2
0 1 3
0 0 5a
= 5a 6= 0.
Za a = 0 je rangA = 2, jer su svi minori 3. reda jednaki nuli, a npr.
1 1
0 1
= 1 6= 0.
Dakle, matrica ima najmanji rang za a = 0.
42. U zavisnosti od parametra a ∈ R odrediti rang matrice A =


a 1 0 −1
2 −2 −1 −2
−1 3 1 1

 .
Rešenje.
A =


a 1 0 −1
2 −2 −1 −2
−1 3 1 1

 (1)
∼


−1 3 1 1
2 −2 −1 −2
a 1 0 −1

 (2)
∼


−1 3 1 1
0 4 1 0
0 1 + 3a a a − 1

 (3)
∼
(3)
∼


−1 1 3 1
0 1 4 0
0 a 1 + 3a a − 1

 (4)
∼


−1 1 3 1
0 1 4 0
0 0 1 − a a − 1

 (5)
∼


−1 1 4 1
0 1 4 0
0 0 0 a − 1

 .
(2) Trećoj vrsti se doda prva pomnožena sa a. Drugoj vrsti se doda prva pomnožena sa 2.
(3) Druga i treća kolona zamene mesta.
(4) Od treće vrste oduzme se druga pomnožena sa a.
(5) Trećoj koloni se doda četvrta.
Za a = 1, rangA = 2. Na primer,
1 1
0 1
= 1 6= 0.
Za a 6= 1, rangA = 3. Na primer,
−1 1 1
0 1 0
0 0 a − 1
= 1 − a 6= 0.
43. Da li postoji a ∈R, za koji je rang matrice A=




1 2 3 −1 3
−1 1 −2 3 −4
2 1 −2 1 −4
−2 2 3 1 a



 jednak 3?
Rešenje.
A =




1 2 3 −1 3
−1 1 −2 3 −4
2 1 −2 1 −4
−2 2 3 1 a




(1)
∼




1 2 3 −1 3
0 3 1 2 −1
0 −3 −8 3 −10
0 6 9 −1 a + 6




(2)
∼

34 Matrice
(2)
∼




1 2 3 −1 3
0 3 1 2 −1
0 0 −7 5 −11
0 0 7 −5 a + 8




(3)
∼




1 2 3 −1 3
0 3 1 2 −1
0 0 −7 5 −11
0 0 0 0 a − 3



 .
(1) Četvrtoj vrsti se doda prva pomnožena sa 2. Od treće vrste se oduzme prva pomnožena
sa 2. Drugoj vrsti se doda prva.
(2) Od četvrte vrste oduzme se druga pomnožena sa 2. Trećoj vrsti se doda druga.
(3) Četvrtoj vrsti se doda treća.
Za a = 3, rangA = 3.
44. Da li postoji realan broj a takav da je rang date matrice
A =




4 4 −3 1
1 1 −1 0
a 2 2 2
9 9 a 3



 jednak 3?
Rešenje.
A =




4 4 −3 1
1 1 −1 0
a 2 2 2
9 9 a 3




(1)
∼




1 1 −1 0
a 2 2 2
4 4 −3 1
9 9 a 3




(2)
∼
(2)
∼




1 1 −1 0
0 2 − a 2 + a 2
0 0 1 1
0 0 a + 9 3




(3)
∼




1 1 −1 0
0 2 − a 2 + a 2
0 0 1 1
0 0 0 −a − 6



 = B.
(2) Od četvrte vrste oduzme se prva pomnožena sa 9. Od treće vrste oduzme se prva
pomnožena sa 4. Od druge vrste oduzme se prva pomnožena sa a.
(3) Od četvrte vrste oduzme se treća pomnožena sa (a + 9).
Kako je det B = (2 − a)(−a − 6) = (a − 2)(a + 6) 6= 0 za a 6= 2 ∧ a 6= −6, to je
rangA = 4 za ove vrednosti a.
Za a = 2, A ∼




1 1 −1 0
0 0 4 2
0 0 1 1
0 0 0 −8



 ∼




1 1 −1 0
0 0 1 1
0 0 4 2
0 0 0 −8



 ∼




1 1 −1 0
0 0 1 1
0 0 0 −2
0 0 0 −8



 .
Sledi da je za a = 2, rangA = 3 jer npr.
1 −1 0
0 1 1
0 0 −2
= −2 6= 0.
Ako je a = −6, A ∼




1 1 −1 0
0 8 −4 2
0 0 1 1
0 0 0 0



 i sledi rangA = 3.

3
Sistemi linearnih algebarskih
jednačina
Dat je sistem linearnih algebarskih jednačina
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
.. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm,
(3.1)
gde su aij (i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , n) koeficijenti uz nepoznate xi (i = 1, . . . , n), a
bi (i = 1, . . . , m) su slobodni članovi.
Rešenje sistema (3.1) je svaka ured̄ena n-torka (ξ1, ξ2, . . . , ξn), takva da za xk = ξk
(k = 1, . . . , n) jednačine iz (3.1) prelaze u brojne jednakosti.
Sistem (3.1) je nehomogen, ako je bar jedan od bi (i = 1, . . . , m) različit od nule;
sistem je homogen, ako su svi slobodni članovi bi (i = 1, . . . , m) jednaki nuli.
Nehomogen sistem (3.1) je:
a) odred̄en, ako ima jedinstveno rešenje;
b) neodred̄en, ako ima bar dva rešenja;
c) nemoguć, ako nema rešenja.
Matrica A =




a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn



 naziva se matrica sistema,
a matrica P =




a11 a12 . . . a1n | b1
a21 a22 . . . a2n | b2
. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 . . . amn | bm



 naziva se proširena matrica sistema.
Ako je A kvadratna matrica tipa n × n, onda je odgovarajući sistem kvadratni. Neka
je D = det A . Sa Dxk ili Dk (k = 1, 2, . . ., n) označava se determinanta koja se dobija
kada se k-ta kolona determinante D zameni kolonom slobodnih članova bi (i = 1, . . . , m).
35

36 Sistemi linearnih algebarskih jednačina
U slučaju da je dat sistem od tri jednačine sa tri nepoznate, one se najčešće označavaju
sa x, y, z, a odgovarajuće determinante sa Dx, Dy, Dz. Znači, Dx se dobija kad se u D
prva kolona zameni kolonom slobodnih članova. Nadalje, Dy se dobija kad se u D druga
kolona zameni kolonom slobodnih članova i Dz, kad se u D treća kolona zameni kolonom
slobodnih članova.
Kramerova teorema.
Ako je determinanta D kvadratnog sistema linearnih jednačina različita od nule, tj.
D = det A 6= 0, sistem je odred̄en i ima jedinstveno rešenje
(x1, x2, . . . , xn) =

Dx1
D
,
Dx2
D
, . . . ,
Dxn
D

.
Ako se radi o sistemu od tri jednačine sa tri nepoznate, jedinstveno rešenje je:
(x, y, z) =

Dx
D
,
Dy
D
,
Dz
D

.
Ako je D = det A = 0 i Dxi 6= 0 bar za jedno i ∈ {1, 2, . . ., n}, sistem je nemoguć.
Ako je D = Dx1 = Dx2 = . . . = Dxn = 0, sistem je neodred̄en ili je nemoguć.
Homogen sistem (3.1) uvek ima trivijalno rešenje (0, 0, . . . , 0). Rešenje (η1, η2, . . . , ηn)
kod koga je ηi 6= 0 bar za jedno i ∈ {1, 2, . . ., n}, naziva se netrivijalnim.
Za kvadratni homogeni sistem (3.1) važi da je Dx = Dy = Dz = 0, pa rešenja zavise
samo od D.
Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalna rešenja ako i samo ako je D = det A = 0.
Ako je D = det A 6= 0, kvadratni homogeni sistem ima samo trivijalno rešenje.
Kroneker-Kapelijeva teorema.
Sistem linearnih jednačina (3.1) ima rešenja (moguć je, saglasan je) ako i samo ako je
rangA = rangP.1
Ako je rangA = rangP = r, tada se r nepoznatih može izračunati. U slučaju da je
r = n (n je broj nepoznatih), sistem ima jedinstveno rešenje, a u slučaju da je r n,
sistem je neodred̄en, tj. ima bezbroj rešenja i tada se n − r nepoznatih uzima proizvoljno.
Ako je rangA 6= rangP, sistem je nemoguć.
Definicija.
Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako je svako rešenje jednog sistema
istovremeno i rešenje drugog i obrnuto.
Ako se sistem (3.1) transformiše elementarnim transformacijama2
, koje se isključivo pri-
menjuju na vrste, a samo izuzetno se zamene mesta kolonama, dobija se ekvivalentan sistem.
Važno je samo prilikom zamene mesta kolonama zameniti redosled nepoznatih. Sistem se
transformiše do ekvivalentnog sistema koji ima trapezni oblik, tj. u prvoj koloni ispod prvog,
u drugoj koloni ispod drugog itd, svi koeficijenti su jednaki nuli. Za tako dobijeni ekvivalentan
sistem se još kaže da je redukovan.
1videti uvod u poglavlje Matrice
2videti poglavlje Matrice

Primena Kramerove teoreme 37
3.1 Primena Kramerove teoreme
1. Rešiti sistem jednačina
2x − 3y = 4
4x − 5y = 10.
Rešenje.
D =
2 −3
4 −5
= −10 + 12 = 2
Dx =
4 −3
10 −5
= −20 + 30 = 10
Dy =
2 4
4 10
= 20 − 16 = 4
x =
Dx
D
=
10
2
= 5, y =
Dy
D
=
4
2
= 2.
Rešenje sistema je (5, −2).
2. Odrediti za koje vrednosti a i b (a, b ∈ R) sistem jednačina
3x − ay = 1
6x + 4y = b
a) ima jedinstveno rešenje
b) nema rešenja
c) ima beskonačno mnogo rešenja.
Rešenje.
a) D =
3 −a
6 4
= 12 + 6a.
Sistem ima jedinstveno rešenje za D 6= 0 ⇐⇒ 12 + 6a 6= 0 ⇐⇒ a 6= −2.
b) Sistem nema rešenja, tj. sistem je nemoguć za D = 0 ∧ (Dx 6= 0 ∨ Dy 6= 0). Kako za
a = −2 važi D = 0, Dx = 4 − 2b i Dy = 3b − 6, to je Dx, Dy 6= 0 za b 6= 2. Dakle, sistem
nema rešenja za a = −2 i b 6= 2.
c) Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, tj. sistem je neodred̄en za
D = 0 ∧ Dx = 0 ∧ Dy = 0, odnosno za a = −2 ∧ b = 2.
3. Odrediti za koju vrednost parametra a homogen sistem jednačina
13x + 2y = 0
5x + ay = 0
ima netrivijalna rešenja.
Rešenje.
Homogen sistem jednačina ima netrivijalna rešenja ako je D = 0. Kako je D = 13a−10,
sledi da za a =
10
13
sistem ima netrivijalna rešenja.
4. Diskutovati rešenja sistema
ax + 4y = 2
9x + ay = 3.

Rešenje.
D = (a − 6)(a + 6), Dx = 2(a − 6), Dy = 3(a − 6).
Za D 6= 0, tj. za a 6= 6 ∧ a 6= −6, sistem ima jedinstveno rešenje

2
a + 6
,
3
a + 6

.
Za a = 6 je D = Dx = Dy = 0, pa sledi da je sistem neodred̄en, tj. ima beskonačno mnogo
rešenja. Za a = 6 sistem glasi
6x + 4y = 2
9x + 6y = 3.
Prva jednačina se podeli sa 2, a druga sa 3 i sistem se svodi na jednu jednačinu 3x+2y = 1.
Može se izračunati jedna nepoznata, a druga se uzima proizvoljno. Za x = α, α ∈ R,
rešenja sistema su

α,
1 − 3α
2

, α ∈ R.
Za a = −6 je D = 0 i Dx 6= 0 i sledi da je sistem nemoguć.
5. Diskutovati rešenja sistema
x + ky = k3
x + k2
y = k2
.
Rešenje.
D = k(k − 1), Dx = k3
(k − 1)(k + 1), Dy = −k2
(k − 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je k 6= 0 ∧ k 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje k2
(k + 1), −k

.
Ako je k = 0, onda je D = Dx = Dy = 0 i sistem je neodred̄en. Za k = 0 sistem glasi
x = 0
x = 0,
i očigledno je on zadovoljen za svako y . Rešenja sistema su (0, α), α ∈ R.
Za k = 1 je D = Dx = Dy = 0 i sistem je neodred̄en. Za k = 1 sistem glasi
x + y = 1
x + y = 1
tj. svodi se na jednu jednačinu. Stavljajući x = t, t ∈ R, dobija se y = 1 − t, pa su
rešenja sistema (t, 1 − t), t ∈ R.
Na primer, za t = 1 dobija se partikularno rešenje (1, 0).
6. Za koje vrednosti parametra k sistem
kx + y = 0
x + ky = 0
ima netrivijalna rešenja? Naći jedno partikularno netrivijalno rešenje.
Rešenje.
D = (k − 1)(k + 1).
Homogen sistem ima netrivijalna rešenja kada je D = 0, u ovom slučaju za k = 1 ∨k = −1.
Za k = 1 sistem glasi
x + y = 0
x + y = 0.
Ako je x = t, t ∈ R, dobija se opšte rešenje sistema (t, −t), t ∈ R. Na primer, za t = 1
dobija se partikularno rešenje (1, −1).
Za k = −1 sistem glasi

−x + y = 0
x − y = 0.
Ovaj sistem se svodi na jednu jednačinu x − y = 0. Rešenja sistema su (t, t), t ∈ R.
Na primer, za t = 2 dobija se partikularno rešenje (2, 2).
7. Odrediti parametar m tako da sistem jednačina
mx + (m − 2)y = 0
2x + 3y = 0
ima netrivijalna rešenja. Naći opšte rešenje sistema.
Rešenje.
D =
m m − 2
2 3
= m + 4.
Ako je D = 0, tj. za m = −4, sistem ima netrivijalna rešenja. Za m = −4 sistem glasi
−4x − 6y = 0
2x + 3y = 0.
Ako se prva jednačina podeli sa −2, sistem se svodi na jednu jednačinu 2x + 3y = 0.
Opšte rešenje sistema je

t,
−2t
3

, t ∈ R.
8. Odrediti parametar m tako da sistem jednačina
(m − 1)x + 2y = 0
2x + (m − 1)y = 0
ima netrivijalna rešenja. Naći opšte rešenje sistema.
Rešenje.
Kako je D = (m−3)(m+1), sledi da za m = 3 ili m = −1 sistem ima netrivijalna rešenja.
Za m = 3 sistem se svodi na jednačinu x+y = 0, pa je opšte rešenje sistema (t, −t), t ∈ R.
Za m = −1 sistem se svodi na jednačinu x−y = 0, pa je opšte rešenje sistema (t, t), t ∈ R.
9. Diskutovati rešenja datog sistema linearnih jednačina u zavisnosti od realnog parametra
t i rešiti ga:
tx + y − z = 0
x + ty − z = 0
x − y − tz = 1 − t.
Rešenje.
D =
t 1 −1
1 t −1
1 −1 −t
= −t(t − 1)(t + 1).
Dx =
0 1 −1
0 t −1
1 − t −1 −t
= −(t − 1)2
.
Dy =
t 0 −1
1 0 −1
1 1 − t −t
= −t(t − 1)2
.

Dz =
t 1 0
1 t 0
1 −1 1 − t
= −t(t − 1)2
(t + 1).
Ako je D 6= 0, tj. za t 6= 0 ∧ t 6= 1 ∧ t 6= −1, sistem ima jedinstveno rešenje

t − 1
t(t + 1)
,
t − 1
t(t + 1)
,
t − 1
t

.
Za t = 0 ⇒ D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Za t = −1 ⇒ D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Za t = 1 ⇒ D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za t = 1 sistem glasi
x + y − z = 0
x + y − z = 0
x − y − z = 0
Oduzimanjem treće jednačine od druge dobija se 2y = 0 ⇐⇒ y = 0. Ako se uzme da je
x = α, α ∈ R, dobijaju se rešenja sistema (α, 0, α) , α ∈ R.
a i rešiti ga:
ax + y + z = 4
2x + y + 2z = 6
x + y + z = 4.
Rešenje.
D = 1 − a, Dx = 0, Dy = 2(1 − a), Dz = 2(1 − a).
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje (0, 2, 2).
Ako je a = 1, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za a = 1 sistem
glasi
x + y + z = 4
2x + y + 2z = 6
x + y + z = 4.
Oduzimanjem prve ili treće jednačine od druge dobija se
x + z = 2
x + y + z = 4.
Za x = α, α ∈ R, rešenja sistema su (α, 2, 2 − α) , α ∈ R.
p i rešiti ga:
x + y + pz = 2p − 2
x + y + z = p − 1
x + (p + 1)y + z = 1.
Rešenje.
D = p(p − 1), Dx = (p − 2)(p − 1)(p + 1), Dy = −(p − 1)(p − 2), Dz = p(p − 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je p 6= 0 ∧ p 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje

(p − 2)(p + 1)
p
,
−(p − 2)
p
, 1

.

Ako je p = 0, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je p = 1, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za p = 1 sistem
glasi
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + 2y + z = 1.
Oduzimanjem druge jednačine od treće dobija se y = 1. Za x = α, α ∈ R, rešenja
sistema su (α, 1, −α − 1), α ∈ R.
a i rešiti ga:
x + y + z = 6
ax + 4y + z = 5
6x + (a + 2)y + 2z = 13.
Rešenje.
D = (a − 4)(a + 3), Dx = −(a + 3), Dy = a + 3, Dz = 6(a + 3)(a − 4).
Ako je D 6= 0, tj. za a 6= 4 ∧ a 6= −3, sistem ima jedinstveno rešenje

1
4 − a
,
1
a − 4
, 6

.
Ako je a = 4, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je a = −3, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za a = −3
sistem glasi
x + y + z = 6
−3x + 4y + z = 5
6x − y + 2z = 13.
Ako se saberu sve tri jednačine, dobija se 4x + 4y + 4z = 24 ⇐⇒ x + y + z = 6, pa
ekvivalentan sistem glasi
x + y + z = 6
x + y + z = 6
−3x + 4y + z = 5.
Za x = α, α ∈ R, rešenja sistema su

α,
4α − 1
3
,
19 − 7α
3

, α ∈ R.
Napomena Pošto se zaključi da je za a = −3 dati sistem neodred̄en, rešenja sistema je
moguće potražiti i na sledeći način. Za a = −3 determinanta sistema je
D =
1 1 1
−3 4 1
6 −1 2
= 0.
Kako je poddeterminanta
1 1
4 1
= −3 6= 0 (dobijena izostavljanjem prve kolone i treće
vrste), to se nepoznata x može uzeti proizvoljno, a nepoznate y i z su rešenja sistema
y + z = 6 − α
4y + z = 5 + 3α,
dobijenog od prve dve jednačine datog sistema za a = −3.

k i rešiti ga:
x + ky + z = 3
−2x + 2ky + z = −2
kx + y + z = 6 − k.
Rešenje.
D = −(k − 1)(k − 3), Dx = k2
+ 2k − 5, Dy = 8k − 14, Dz = −4(3k2
− 6k + 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je k 6= 1 ∧ k 6= 3, sistem ima jedinstveno rešenje

k2
+ 2k − 5
(1 − k)(k − 3)
,
8k − 14
(1 − k)(k − 3)
,
4(3k2
− 6k + 1)
(k − 1)(k − 3)

.
Ako je k = 1, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je k = 3, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
a i rešiti ga:
ax + y − z = 1
x + ay − z = 1
x − y − az = 1.
Rešenje.
D = −a(a − 1)(a + 1), Dx = −(a − 1)2
, Dy = −(a − 1)2
, Dz = (a − 1)(a + 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 0 ∧ a 6= 1 ∧ a 6= −1, sistem ima jedinstveno rešenje

a − 1
a(a + 1)
,
a − 1
a(a + 1)
,
−1
a

.
Ako je a = −1, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
glasi
x + y − z = 1
x + y − z = 1
x − y − z = 1.
Za x = α, α ∈ R, dobijaju se rešenja sistema (α, 0, α − 1) , α ∈ R.
a i rešiti ga:
x + ay + 2z = 0
ax + y + 2z = 0
2x + 2y + z = 0.
Rešenje.
D = −(a − 1)(a − 7). Kako je sistem homogen, to je Dx = Dy = Dz = 0.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1 ∧ a 6= 7, sistem ima jedinstveno (trivijalno) rešenje (0, 0, 0).
Ako je a = 1, onda je D = 0, pa je sistem neodred̄en, tj. ima netrivijalna rešenja. Za
a = 1 sistem glasi

x + y + 2z = 0
x + y + 2z = 0
2x + 2y + z = 0.
Za x = α, α ∈ R, rešenja sistema su (α, −α, 0) , α ∈ R.
a = 7 sistem glasi
x + 7y + 2z = 0
7x + y + 2z = 0
2x + 2y + z = 0.
Ako se od druge jednačine oduzme prva, dobija se 6x − 6y = 0 ⇐⇒ x = y, pa se za
x = β, β ∈ R, dobijaju rešenja sistema (β, β, −4β) , β ∈ R.
a i rešiti ga:
3x + 3y + z = 0
3x + (a − 1)y + z = 0
(a + 1)x + 3y + (a − 1)z = 0.
Rešenje.
D = 2(a − 4)(a − 2), Dx = Dy = Dz = 0.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 4 ∧ a 6= 2, sistem ima jedinstveno (trivijalno) rešenje (0, 0, 0).
a = 4 sistem glasi
3x + 3y + z = 0
3x + 3y + z = 0
5x + 3y + 3z = 0.
Za x = α, α ∈ R, dobijaju se rešenja sistema

α,
−2α
3
, −α

, α ∈ R.
a = 2 sistem glasi
3x + 3y + z = 0
3x + y + z = 0
3x + 3y + z = 0.
Za x = β, β ∈ R, dobijaju se rešenja sistema (β, 0, −3β) , β ∈ R.
a i rešiti ga:
x + y + z = a
(1 + a)x + y + z = 2a
x + y + az = −a.
Rešenje.
D = a(1 − a), Dx = a(1 − a), Dy = −a(a2
+ 1), Dz = 2a2
.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 0∧a 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje

1,
a2
+ 1
a − 1
,
2a
1 − a

.
Ako je a = 1, onda je D = 0 ∧ Dy 6= 0 i sistem je nemoguć.

glasi
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y = 0.
Za x = α, α ∈ R, rešenja sistema su (α, −α, 0) , α ∈ R.
p i rešiti ga:
px + y + 2z = 1
2x + 3y + 2z = 6
x + 2y + (p − 1)z = 5.
Rešenje.
D = 3(p − 1)(p − 2), Dx = −3(p − 1), Dy = 6(p − 1)(p − 2), Dz = 3(p − 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je p 6= 1∧p 6= 2, sistem ima jedinstveno rešenje

−1
p − 2
, 2,
1
p − 2

.
Ako je p = 2, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je p = 1, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za p = 1 sistem
glasi
x + y + 2z = 1
2x + 3y + 2z = 6
x + 2y = 5.
Ako se saberu sve tri jednačine, dobija se ekvivalentan sistem
2x + 3y + 2z = 6
2x + 3y + 2z = 6
x + 2y = 5.
Za z = α, α ∈ R, rešenja sistema su (−4α − 3, 2α + 4, α) , α ∈ R.
Napomena. Pošto se zaključi da je za p = 1 dati sistem neodred̄en, rešenja sistema je
moguće potražiti i na sledeći način. Za p = 1 determinanta sistema je
D =
1 1 2
2 3 2
1 2 0
= 0.
1 1
2 3
= 1 6= 0, dobijena izostavljanjem treće kolone i treće
vrste, to se nepoznata z može uzeti proizvoljno, a nepoznate x i y su rešenja sistema
x + y = 1 − 2α
2x + 3y = 6 − 2α,
dobijenog od prve i druge jednačine datog sistema za p = 1.
a i rešiti ga:
ax + 2y + z = 0
2x + ay + z = 0
x + y + 2z = 0.

Rešenje.
D = 2(a + 1)(a − 2), Dx = Dy = Dz = 0.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= −1 ∧ a 6= 2, sistem ima trivijalno rešenje (0, 0, 0).
Ako je a = −1, onda je D = 0, pa sistem ima netrivijalna rešenja. Za a = −1 sistem glasi
−x + 2y + z = 0
2x − y + z = 0
x + y + 2z = 0.
Ako se saberu prve dve jednačine, dobija se ekvivalentan sistem
x + y + 2z = 0
2x − y + z = 0
x + y + 2z = 0.
Za x = α, α ∈ R, dobijaju se rešenja sistema (α, α, −α) , α ∈ R.
Ako je a = 2, onda je D = 0, pa sistem ima netrivijalna rešenja. Za a = 2 sistem glasi
2x + 2y + z = 0
2x + 2y + z = 0
x + y + 2z = 0.
Za x = β, β ∈ R, rešenja sistema su (β, −β, 0) , β ∈ R.
a i rešiti ga:
ax + y + z = 4
x + ay + z = 3
x + 2ay + z = 4.
Rešenje.
D = a(1 − a), Dx = −2a + 1, Dy = 1 − a, Dz = −2a2
+ 4a − 1.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 0 ∧ a 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje

1 − 2a
a(1 − a)
,
1
a
,
−2a2
+ 4a − 1
a(1 − a)

.
a i rešiti ga:
2x + (a − 2)y + 2z = 1
ax + 3y + 3z = a − 1
x + 2y + z = 1.
Rešenje.
D = −(a − 3)(a − 6), Dx = −(a − 3)(a − 7), Dy = a − 3, Dz = −3(a − 3).
Ako je D 6= 0, tj. za a 6= 3∧a 6= 6, sistem ima jedinstveno rešenje

a − 7
a − 6
,
−1
a − 6
,
3
a − 6

.
Ako je a = 6, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0, pa je sistem nemoguć.

glasi
2x + y + 2z = 1
3x + 3y + 3z = 2
x + 2y + z = 1.
Ako se saberu prva i treća jednačina, dobija se ekvivalentan sistem
3x + 3y + 3z = 2
3x + 3y + 3z = 2
x + 2y + z = 1

α,
1
3
,
1
3
− α

, α ∈ R.
22. Diskutovati rešenja datog sistema linearnih jednačina u zavisnosti od realnih parame-
tara a , b i rešiti ga:
ax + y + z = 4
x + by + z = 3
x + 2by + z = 4.
Rešenje.
D = b(1 − a), Dx = 1 − 2b, Dy = 1 − a, Dz = −2ab + 4b − 1.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1 ∧ b 6= 0, sistem ima jedinstveno rešenje

1 − 2b
b(1 − a)
,
1
b
,
−2ab + 4b − 1
b(1 − a)

.
Ako je b = 0, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je a = 1 ∧ b 6=
1
2
, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je a = 1 ∧ b =
1
2
, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za
a = 1 ∧ b =
1
2
sistem glasi
x + y + z = 4
x +
1
2
y + z = 3
x + y + z = 4.
Za x = α, α ∈ R, dobijaju se rešenja sistema (α, 2, 2 − α) , α ∈ R.
ax + 4y + z = 0
2y + 3z = 1
2x − bz = −2.
Rešenje.
D = 2(10 − ab), Dx = 4(b − 5), Dy = 6a − ab − 2, Dz = 4(2 − a).
Ako je D 6= 0, tj. ako je ab 6= 10, sistem ima jedinstveno rešenje

2(b − 5)
10 − ab
,
6a − ab − 2
2(10 − ab)
,
2(2 − a)
10 − ab

.

Ako je ab = 10 ∧ (a 6= 2 ∨ b 6= 5), onda je D = 0 ∧ (Dz 6= 0 ∨ Dx 6= 0) i sistem je
nemoguć.
Ako je a = 2 ∧ b = 5, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za
a = 2 ∧ b = 5 sistem glasi
2x + 4y + z = 0
2y + 3z = 1
2x − 5z = −2.
Ako se druga jednačina pomnožena sa 2 doda trećoj jednačini, dobija se ekvivalentan sistem
2x + 4y + z = 0
2x + 4y + z = 0
2x − 5z = −2.
Za z = α, α ∈ R, rešenja sistema su

5α − 2
2
,
1 − 3α
2
, α

, α ∈ R.
Napomena. Pošto se zaključi da je za a = 2 ∧ b = 5 dati sistem neodred̄en, rešenja
sistema je moguće potražiti i na sledeći način. Za a = 2 ∧ b = 5 determinanta sistema je
D =
2 4 1
0 2 3
2 0 −5
= 0.
2 4
0 2
= 4 6= 0, dobijena izostavljanjem 3. kolone i 3. vrste,
to se nepoznata z može uzeti proizvoljno, a nepoznate x i y su rešenja sistema
2x + 4y = −α
2y = 1 − 3α,
dobijenog od prve dve jednačine datog sistema za a = 2 ∧ b = 5.
ax + 2z = 2
5x + 2y = 1
x − 2y + bz = 3.
Rešenje.
D = 2(ab − 12), Dx = 4(b − 4), Dy = ab − 10b + 28, Dz = 8(a − 3).
Ako je D 6= 0, tj. ako je ab 6= 12, sistem ima jedinstveno rešenje

2(b − 4)
ab − 12
,
ab − 10b + 28
2(ab − 12)
,
4(a − 3)
ab − 12

.
Ako je ab = 12 ∧ (a 6= 3 ∨ b 6= 4), onda je D = 0 ∧ (Dz 6= 0 ∨ Dx 6= 0) i sistem je
nemoguć.
Ako je a = 3 ∧ b = 4, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za
a = 3 ∧ b = 4 sistem glasi
3x + 2z = 2
5x + 2y = 1
x − 2y + 4z = 3.
Ako se saberu sve tri jednačine, dobija se 9x + 6z = 6 ⇐⇒ 3x + 2z = 2, pa ekvivalentan
sistem glasi

3x + 2z = 2
3x + 2z = 2
5x + 2y = 1.

α,
1 − 5α
2
,
2 − 3α
2

, α ∈ R.
m i rešiti ga:
5x + my + z = 7
x + y + z = 6
(m − 1)x + 4y + z = 5.
Rešenje.
D = (m + 2)(m − 5), Dx = −(m + 2), Dy = m + 2, Dz = 6(m + 2)(m − 5).
Ako je D 6= 0, tj. ako je m 6= −2 ∧ m 6= 5, sistem ima jedinstveno rešenje

1
5 − m
,
1
m − 5
, 6

.
Ako je m = 5, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0, pa je sistem nemoguć.
Ako je m = −2, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za m = −2
sistem glasi
5x − 2y + z = 7
x + y + z = 6
−3x + 4y + z = 5.

α,
4α − 1
3
,
19 − 7α
3

, α ∈ R.
m i rešiti ga:
x + y + (m + 2)z = 1
x + (m + 1)y + z = 2m
x + y + z = m.
Rešenje.
D = −m(m + 1), Dx = −m(m − 1)(m + 2), Dy = −m(m + 1), Dz = m(m − 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je m 6= 0 ∧ m 6= −1, sistem ima jedinstveno rešenje

(m − 1)(m + 2)
m + 1
, 1,
1 − m
m + 1

.
Ako je m = −1, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Ako je m = 0, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za m = 0 sistem
glasi
x + y + 2z = 1
x + y + z = 0
x + y + z = 0.
Za x = α, α ∈ R, dobijaju se rešenja sistema (α, −α − 1, 1) , α ∈ R.

a i rešiti ga:
ax + y + z = 0
x + ay + z = 0
x + y + az = 0.
Rešenje.
Sistem je homogen, pa je Dx = Dy = Dz = 0.
D =
a 1 1
1 a 1
1 1 a
(1)
=
a + 2 1 1
a + 2 a 1
a + 2 1 a
= (a+2)
1 1 1
1 a 1
1 1 a
(2)
= (a+2)
1 1 1
0 a − 1 0
0 0 a − 1
(3)
=
(3)
= (a + 2)(a − 1)2
(2) Od treće i druge vrste oduzme se prva.
(3) Trougaona determinanta.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1 ∧ a 6= −2, sistem ima trivijalno rešenje (0, 0, 0).
Ako je a = −2, onda je D = 0, pa sistem ima netrivijalna rešenja. Za a = −2 sistem glasi
−2x + y + z = 0
x − 2y + z = 0
x + y − 2z = 0.
Ako se saberu druga i treća jednačina, dobija se 2x − y − z = 0 ⇐⇒ −2x + y + z = 0, pa
2x − y − z = 0
2x − y − z = 0
x + y − 2z = 0.
Za x = α, α ∈ R, rešenja sistema su (α, α, α) , α ∈ R.
Ako je a = 1, onda je D = 0, pa sistem ima netrivijalna rešenja. Za a = 1 sistem glasi
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0.
Za x = β ∧ y = γ, β, γ ∈ R, rešenja sistema su (β, γ, −β − γ) , β, γ ∈ R.
a i rešiti ga:
x + ay + a2
z = 1
a2
x + y + az = 1
ax + a2
y + z = 1.
Rešenje.
D =
1 a a2
a2
1 a
a a2
1
(1)
=
a2
+ a + 1 a a2
a2
+ a + 1 1 a
a2
+ a + 1 a2
1
= (a2
+ a + 1)
1 a a2
1 1 a
1 a2
1
(2)
=
(2)
= (a2
+ a + 1)
0 a − 1 a2
− a
1 1 a
0 a2
− 1 1 − a
= (a2
+ a + 1)
0 a − 1 a(a − 1)
1 1 a
0 a2
− 1 −(a − 1)
(3)
=

(3)
= −(a2
+ a + 1)
a − 1 a(a − 1)
a2
− 1 −(a − 1)
= −(a − 1)2
(a2
+ a + 1)
1 a
a + 1 −1
=
= (a − 1)2
(a2
+ a + 1)2
.
(2) Od prve i treće vrste oduzme se druga.
(3) Razvije se po prvoj koloni.
Dx =
1 a a2
1 1 a
1 a2
1
(4)
=
1 a a2
0 1 − a a − a2
0 a2
− a 1 − a2
(5)
=
1 − a a(1 − a)
−a(1 − a) (1 − a)(1 + a)
=
= (1 − a)2
·
1 a
−a 1 + a
= (1 − a)2
(a2
+ a + 1).
(4) Prva vrsta se oduzme od druge i treće.
(5) Razvije se po prvoj koloni.
Dy =
1 1 a2
a2
1 a
a 1 1
(6)
=
1 1 a2
a2
− 1 0 a − a2
a − 1 0 1 − a2
(7)
= −
(a − 1)(a + 1) −a(a − 1)
a − 1 −(a − 1)(a + 1)
=
= −(a−1)2 (a + 1) −a
1 −(a + 1)
= (a+1)2 (a + 1) a
1 (a + 1)
= (a−1)2
(a2
+a+1).
(7) Razvije se po drugoj koloni.
Dz =
1 a 1
a2
1 1
a a2
1
(8)
=
1 a 1
a2
− 1 1 − a 0
a − 1 a2
− a 0
(9)
=
a2
− 1 −(a − 1)
a − 1 a(a − 1)
=
= (a − 1)2 a + 1 −1
1 a
= (a − 1)2
(a2
+ a + 1).
(9) Razvije se po trećoj koloni.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje

1
a2 + a + 1
,
1
a2 + a + 1
,
1
a2 + a + 1

.
glasi
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1.
Za x = α ∧ y = β, α, β ∈ R, rešenja sistema su (α, β, 1 − α − β) , α, β ∈ R.
a i rešiti ga:
x + ay − z = 0
ax + y − z = 1
x + y − az = a + 1.

Rešenje.
D =
1 a −1
a 1 −1
1 1 −a
= −
1 a 1
a 1 1
1 1 a
(1)
=
a 1 1
1 a 1
1 1 a
(2)
= (a + 2)(a − 1)2
.
(1) Prva i druga vrsta zamene mesta (determinanta menja znak).
(2) Ova determinanta je rešena u zadatku 27.
Dx =
0 a −1
1 1 −1
a + 1 1 −a
(3)
=
0 a −1
1 1 −1
a + 1 a + 1 −(a + 1)
(4)
= 0.
(3) Prva vrsta se doda trećoj.
(4) Druga i treća vrsta su proporcionalne.
Dy =
1 0 −1
a 1 −1
1 a + 1 −a
(5)
=
1 0 −1
a 1 −1
a + 2 a + 2 −(a + 2)
= (a + 2)
1 0 −1
a 1 −1
1 1 −1
(6)
=
(6)
= (a + 2)
1 0 0
a 1 a − 1
1 1 0
(7)
= −(a + 2)(a − 1).
(5) Prva i druga vrsta se dodaju trećoj.
(6) Trećoj koloni se doda prva.
(7) Razvije se po prvoj vrsti.
Dz =
1 a 0
a 1 1
1 1 a + 1
(8)
=
1 a 0
a 1 1
a + 2 a + 2 a + 2
= (a + 2)
1 a 0
a 1 1
1 1 1
(9)
=
(9)
= (a + 2)
1 a 0
a − 1 0 0
1 1 1
= −a(a + 2)(a − 1).
(8) Prva i druga vrsta se dodaju trećoj.
(9) Od druge vrste oduzme se treća.
(10) Razvije se po trećoj koloni.
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1∧a 6= −2, sistem ima jedinstveno rešenje

0,
1
1 − a
,
a
1 − a

.
sistem glasi
x − 2y − z = 0
−2x + y − z = 1
x + y + 2z = −1.
Ako se saberu prve dve jednačine, dobija se −x − y − 2z = 1 ⇐⇒ x + y + 2z = −1, pa
x + y + 2z = −1
x − 2y − z = 0
x + y + 2z = −1.

α,
1 + 3α
3
,
−2 − 3α
3

, α ∈ R.

Ako je a = 1, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa bi se moglo zaključiti da je sistem
neodred̄en. Ali kako za a = 1 sistem glasi
x + y − z = 0
x + y − z = 1
x + y − z = 2,
jasno da je sistem nemoguć.
30. Diskutovati rešenja sistema jednačina u zavisnosti od parametra a ∈ R i rešiti ga:
4x + 8y + (a + 3)z = −2
(a + 2)x + 6y + 3z = 1
x + 2ay + az = −1.
Rešenje.
D =
4 8 a + 3
a + 2 6 3
1 2a a
(1)
=
4 8 a + 3
a + 2 6 3
a + 3 2(a + 3) a + 3
(2)
= 2(a+3)
4 4 a + 3
a + 2 3 3
1 1 1
(3)
=
(3)
= 2(a + 3)
4 0 a − 1
a + 2 1 − a 0
1 0 0
= 2(a + 3)(a − 1)2
.
(1) Trećoj vrsti se doda druga.
(2) a + 3 je zajednički faktor u trećoj vrsti, a 2 u drugoj koloni.
(3) Od treće kolone se oduzme druga kolona, a od druge kolone prva.
Kako se sledeće determinante mogu lako izračunati i Sarusovim pravilom, navode se
samo njihove vrednosti:
Dx = 2(a − 1)(a + 3), Dy = (a − 1)(a + 3), Dz = −4(a − 1)(a + 3).
Ako je D 6= 0, tj. za a 6= 1 ∧ a 6= −3, sistem ima jedinstveno rešenje

1
a − 1
,
1
2(a − 1)
,
−2
a − 1

.
sistem glasi
4x + 8y = −2
−x + 6y + 3z = 1
x − 6y − 3z = −1.
Za y = α, α ∈ R, rešenja sistema su

−1 − 4α
2
, α,
1 − 16α
6

, α ∈ R.
Ako je a = 1, onda je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa bi se moglo zaključiti da je sistem
neodred̄en. Za a = 1 sistem glasi
4x + 8y + 4z = −2
3x + 6y + 3z = 1
x + 2y + z = −1.
Ako se saberu druga i treća jednačina, dobija se ekvivalentan sistem
4x + 8y + 4z = −2
4x + 8y + 4z = 0
x + 2y + z = −1,
pa se zaključuje da je sistem nemoguć.

a i rešiti ga:
x − y − az = 1
ax + 3y + 3z = −1
ax + y + az = 1 − a.
Rešenje.
D= 3(a+1)(a−1), Dx = −3(a−1)(a−2), Dy = (a−1)(a2
−2a+3), Dz = −(a−1)(a+4).
Determinante se mogu izračunati Sarusovim pravilom. Na primer
Dy = −a − a2
(1 − a) + 3a − a2
− 3(1 − a) − a2
= −(1 − a)(a2
+ 3) − 2a2
+ 2a =
= (a − 1)(a2
+ 3) − 2a(a − 1) = (a − 1)(a2
− 2a + 3).
Ako je D 6= 0, tj. ako je a 6= 1 ∧ a 6= −1, sistem ima jedinstveno rešenje

2 − a
a + 1
,
a2
− 2a + 3
3(a + 1)
,
−a − 4
3(a + 1)

.
Ako je a = −1, onda je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
glasi
x − y − z = 1
x + 3y + 3z = −1
x + y + z = 0.
Ako se saberu prve dve jednačine, dobija se ekvivalentan sistem
x + y + z = 0
x − y − z = 1
x + y + z = 0.
Ako se saberu prve dve jednačine poslednjeg sistema, dobija se x =
1
2
.
Nadalje, za y = α, α ∈ R, rešenja sistema su

1
2
, α, −α −
1
2

, α ∈ R.
t i rešiti ga:
x + (t + 2)y + z = 1 − t
(1 − t)x + y + z = 1
(1 − t)x + (2 − t)y + z = t.
Rešenje3
D = t(t − 1), Dx = t − 1, Dy = −t(t − 1), Dz = (t − 1)(3t − 1).
Ako je D 6= 0, tj. ako je t 6= 0 ∧ t 6= 1, sistem ima jedinstveno rešenje

1
t
, −1,
3t − 1
t

.
Za t = 0 je D = 0 ∧ Dx 6= 0 i sistem je nemoguć.
Za t = 1 je D = Dx = Dy = Dz = 0, pa je sistem neodred̄en. Za t = 1 sistem glasi
x + 3y + z = 0
y + z = 1
y + z = 1.
Za y = α, α ∈ R, rešenja sistema su (−1 − 2α, α, 1 − α) , α ∈ R.
3videti 52. zadatak

3.2 Primena Kroneker-Kapelijeve teoreme
33. Rešiti dati sistem jednačina
2x − y + 3z − 7u = 5
6x − 3y + z − 4u = 7
4x − 2y + 14z − 31u = 18.
Rešenje.4
P =


2 −1 3 −7 | 5
6 −3 1 −4 | 7
4 −2 14 −31 | 18

 (1)
∼


2 −1 3 −7 | 5
0 0 −8 17 | −8
0 0 8 −17 | 8

 (2)
∼
(2)
∼


2 −1 3 −7 | 5
0 0 8 −17 | 8
0 0 0 0 | 0

 = Q
(1) Od treće vrste oduzme se prva pomnožena sa 2. Od druge vrste oduzme se prva
pomnožena sa 3.
(2) Trećoj vrsti doda se druga. Druga vrsta se pomnoži sa (−1).
rangA = rangP = 2.
Kako je broj nepoznatih 4, po Kroneker-Kapelijevoj teoremi sistem je neodred̄en i mogu se
izračunati dve nepoznate. Ekvivalentan sistem čija je matrica Q (redukovan sistem) glasi
2x − y + 3z − 7u = 5
8z − 17u = 8.
Za x = α ∧ y = β, α, β ∈ R, rešenja sistema su

α, β,
34α − 17β − 29
5
,
16α − 8β − 16
5

,
α, β ∈ R.
x + 2y + z + u = 2
2x + 5y + z + 5u = 3
3x + 8y + z + 9u = 4.
Rešenje.
P =


1 2 1 1 | 2
2 5 1 5 | 3
3 8 1 9 | 4

 (1)
∼


1 1 2 1 | 2
1 2 5 5 | 3
1 3 8 9 | 4

 (2)
∼
(2)
∼


1 1 2 1 | 2
0 1 3 4 | 1
0 1 3 4 | 1

 (3)
∼


1 1 2 1 | 2
0 1 3 4 | 1
0 0 0 0 | 0


(1) Kolone zamene mesta. Novi raspored nepoznatih je: z, x, y, u.
(2) Od treće vrste oduzme se druga. Od druge vrste oduzme se prva.
(3) Od treće vrste oduzme se druga.
rangA = rangP = 2.
Kako je broj nepoznatih 4, po Kroneker-Kapelijevoj teoremi sledi da je sistem neodred̄en
i da se mogu izračunati dve nepoznate. Ekvivalentan sistem glasi
4videti poglavlje Matrice

Primena Kroneker-Kapelijeve teoreme 55
z + x + 2y + u = 2
x + 3y + 4u = 1.
Za y = α ∧ u = β, α , β ∈ R, rešenja sistema su (1−3α−4β, α, 1+α+3β, β), α, β ∈ R.
x + 2y + 3z = 2
x − y + z = 0
x + 3y − z = −2
3x + 4y + 3z = 0.
Rešenje.
P =




1 2 3 | 2
1 −1 1 | 0
1 3 −1 | −2
3 4 3 | 0




(1)
∼




1 2 3 | 2
0 −3 −2 | −2
0 1 −4 | −4
0 −2 −6 | −6




(2)
∼




1 2 3 | 2
0 1 −4 | −4
0 −2 −6 | −6
0 −3 −2 | −2




(3)
∼
(3)
∼




1 2 3 | 2
0 1 −4 | −4
0 1 3 | 3
0 3 2 | 2




(4)
∼




1 2 3 | 2
0 1 −4 | −4
0 0 7 | 7
0 0 −7 | −7




(5)
∼




1 2 3 | 2
0 1 −4 | −4
0 0 1 | 1
0 0 0 | 0




(1) Od četvrte vrste se oduzme prva vrsta pomnožena sa 3. Od treće vrste se oduzme prva.
Od druge vrste se oduzme prva.
(3) Treća vrsta se podeli sa (−2), a četvrta se pomnoži sa (−1).
(4) Od četvrte vrste se oduzme treća vrsta pomnožena sa 3. Od treće vrste se oduzme druga.
(5) Četvrtoj vrsti se doda treća i treća vrsta se podeli sa 7.
rangA = rangP = 3.
Kako je broj nepoznatih 3, sledi da sistem ima jedinstveno rešenje. Ekvivalentan
(redukovan) sistem glasi
x + 2y + 3z = 2
y − 4z = −4
z = 1.
Rešenje sistema je (−1, 0, 1).
2x + 3y − 4z + u = −2
x + y = 1
y − 3z = −5
2x + 2y − 2z − 2u = −8
z + 2u = 8.
Rešenje.
P =






2 3 −4 1 | −2
1 1 0 0 | 1
0 1 −3 0 | −5
2 2 −2 −2 | −8
0 0 1 2 | 8






(1)
∼






1 1 0 0 | 1
2 3 −4 1 | −2
0 0 1 2 | 8
2 2 −2 −2 | −8
0 1 −3 0 | −5






(2)
∼

(2)
∼






1 1 0 0 | 1
0 1 −4 1 | −4
0 0 1 2 | 8
0 0 −2 −2 | −10
0 1 −3 0 | −5






(3)
∼






1 1 0 0 | 1
0 1 −4 1 | −4
0 0 1 2 | 8
0 0 −2 −2 | −10
0 0 1 −1 | −1






(4)
∼
(4)
∼






1 1 0 0 | 1
0 1 −4 1 | −4
0 0 1 2 | 8
0 0 0 2 | 6
0 0 0 −3 | −9






(5)
∼






1 1 0 0 | 1
0 1 −4 1 | −4
0 0 1 2 | 8
0 0 0 1 | 3
0 0 0 −3 | −9






(6)
∼
(6)
∼






1 1 0 0 | 1
0 1 −4 1 | −4
0 0 1 2 | 8
0 0 0 1 | 3
0 0 0 0 | 0






(2) Od četvrte vrste se oduzme prva vrsta pomnožena sa 2. Od druge vrste se oduzme prva
pomnožena sa 2.
(3) Od pete vrste se oduzme druga.
(4) Od pete vrste se oduzme treća. Četvrtoj vrsti se doda treća pomnožena sa 2.
(5) Četvrta vrsta se podeli sa 2.
(6) Petoj vrsti se doda četvrta pomnožena sa 3.
rangA = rangP = 4.
Kako je broj nepoznatih 4, po Kroneker-Kapelijevoj teoremi sledi da sistem ima jedin-
stveno rešenje. Ekvivalentan sistem glasi
x + y = 1
y − 4z + u = −4
z + 2u = 8
u = 3.
Rešenje sistema je (0, 1, 2, 3).
x + y + z + u = 6
2x − y + z − u = 3
x + 2z = 7.
Rešenje.
P =


1 1 1 1 | 6
2 −1 1 −1 | 3
1 0 2 0 | 7

 (1)
∼


1 1 1 1 | 6
0 −3 −1 −3 | −9
0 −1 1 −1 | 1

 (2)
∼
(2)
∼


1 1 1 1 | 6
0 −1 1 −1 | 1
0 −3 −1 −3 | −9

 (3)
∼


1 1 1 1 | 6
0 −1 1 −1 | 1
0 0 −4 0 | −12

 (4)
∼
(4)
∼


1 1 1 1 | 6
0 −1 −1 1 | 1
0 0 0 −4 | −12

 (5)
∼


1 1 1 1 | 6
0 −1 −1 1 | 1
0 0 0 1 | 3



(1) Od treće vrste oduzme se prva. Od druge vrste oduzme se prva pomnožena sa 2.
(2) Druga i treća vrsta zamene mesta.
(3) Trećoj vrsti se doda druga pomnožena sa (−3).
(4) Treća i četvrta kolona zamene mesta. Novi raspored nepoznatih je: x, y, u, z.
(5) Treća vrsta se podeli sa (−4).
rangA = rangP = 3.
Kako je broj nepoznatih 4, po Kroneker-Kapelijevoj teoremi sledi da je sistem neodred̄en
i da se mogu izračunati tri nepoznate. Ekvivalentan sistem glasi
x + y + u + z = 6
−y − u + z = 1
z = 3.
Ako se z = 3 zameni u prve dve jednačine, posle njihovog sabiranja, dobija se x = 1. Za
u = α, α ∈ R, rešenja sistema su (1, 2 − α, 3, α), α ∈ R.
x + y − 3z = −1
2x + y − 2z = 1
3x + 3y + z = 3
x + 2y − 3z = 4.
Rešenje.
P =




1 1 −3 | −1
2 1 −2 | 1
3 3 1 | 3
1 2 −3 | 4




(1)
∼




1 1 −3 | −1
0 −1 4 | 3
0 0 10 | 6
0 1 0 | 5




(2)
∼




1 1 −3 | −1
0 −1 4 | 3
0 1 0 | 5
0 0 10 | 6




(3)
∼
(3)
∼




1 1 −3 | −1
0 −1 4 | 3
0 0 4 | 8
0 0 10 | 6




(4)
∼




1 1 −3 | −1
0 −1 4 | 3
0 0 1 | 2
0 0 5 | 3




(5)
∼




1 1 −3 | −1
0 −1 4 | 3
0 0 1 | 2
0 0 0 | −7




(1) Od četvrte vrste oduzme se prva. Od treće vrste oduzme se prva pomnožena sa 3.
Od druge vrste oduzme se prva pomnožena sa 2.
(2) Treća i četvrta vrsta zamene mesta.
(3) Trećoj vrsti se doda druga.
(4) Treća vrsta se podeli sa 4. Četvrta vrsta se podeli sa 2.
(5) Od četvrte vrste se oduzme treća pomnožena sa 5.
rangA = 3, rangP = 4.
Kako je rangA 6= rangP, po Kroneker-Kapelijevoj teoremi, sistem je nemoguć.
m i rešiti ga:
3x + y − z − u = 2
x − y + z − u = 0
x + 3y − 3z + u = 2
x − 5y + 5z − 3u = m.

Rešenje.
P =




3 1 −1 −1 | 2
1 −1 1 −1 | 0
1 3 −3 1 | 2
1 −5 5 −3 | m




(1)
∼




1 3 −3 1 | 2
1 −1 1 −1 | 0
1 −5 5 −3 | m
3 1 −1 −1 | 2




(2)
∼
(2)
∼




1 3 −3 1 | 2
0 −4 4 −2 | −2
0 −4 4 −2 | m
0 4 −4 2 | 2




(3)
∼




1 3 −3 1 | 2
0 2 −2 1 | 1
0 0 0 0 | m + 2
0 0 0 0 | 0




(1) Promeni se redosled vrstama.
(2) Od četvrte vrste oduzme se druga pomnožena sa 3, od treće vrste oduzme se druga, od
druge vrste oduzme se prva.
(3) Četvrtoj vrsti doda se druga, a od treće vrste oduzme se druga vrsta i druga vrsta se
podeli sa (−2).
Ako je m 6= −2, rangA = 2, a rangP = 3, pa sledi da je sistem nemoguć.
Ako je m = −2, rangA = rangP = 2, a kako nepoznatih ima 4, sledi da je sistem neo-
dred̄en i da se mogu izračunati dve nepoznate. Za m = −2 redukovan sistem glasi
x + 3y − 3z + u = 2
2y − 2z + u = 1.
Za x = α ∧ y = β, α , β ∈ R, rešenja sistema su
(α, β, α + β − 1, 2α − 1) , α, β ∈ R.
m i rešiti ga:
x + 2y + 2z + 3u = 5
x + 2y + z + 2u = 1
x + 2y + mz + 5u = 13
x + 2y + 3z + mu = 9.
Rešenje.
P =




1 2 2 3 | 5
1 2 1 2 | 1
1 2 m 5 | 13
1 2 3 m | 9




(1)
∼




1 2 2 3 | 5
0 0 −1 −1 | −4
0 0 m − 2 2 | 8
0 0 1 m − 3 | 4




(2)
∼
(2)
∼




1 2 2 3 | 5
0 0 −1 −1 | −4
0 0 0 4 − m | 4(4 − m)
0 0 0 m − 4 | 0




(3)
∼




1 2 2 3 | 5
0 0 1 1 | 4
0 0 0 4 − m | 4(4 − m)
0 0 0 0 | 4(4 − m)




(4)
∼
(4)
∼




2 2 3 1 | 5
0 1 1 0 | 4
0 0 4 − m 0 | 4(4 − m)
0 0 0 0 | 4(4 − m)




(1) Od četvrte, pa od treće, pa od druge vrste oduzme se prva vrsta.
(2) Četvrtoj vrsti se doda druga, a trećoj vrsti se doda druga vrsta pomnožena sa (m − 2).

(3) Četvrtoj vrsti doda se treća.
(4) Kolone zamene mesta tako da prva kolona ide iza četvrte. Novi raspored nepoznatih je
y, z, u, x.
Ako je m 6= 4, rangA = 3, a rangP = 4, pa sledi da je sistem nemoguć.
Ako je m = 4, rangA = rangP = 2, a kako nepoznatih ima 4, sledi da je sistem neodred̄en
i da se mogu izračunati dve nepoznate. Za m = 4 redukovan sistem glasi
2y + 2z + 3u + x = 5
z + u = 4.
Za x = α ∧ y = β, α, β ∈ R, rešenja sistema su
(α, β, α + 2β + 7, −α − 2β − 3) , α, β ∈ R.
m i rešiti ga:
x + 3y − z + 4u = 2
−x + (m − 1)y + z + (m − 2)u = m
2x + 6y − 2z + 8u = m2
.
Rešenje.
P =


1 3 −1 4 | 2
−1 m − 1 1 m − 2 | m
2 6 −2 8 | m2

 (1)
∼


1 3 −1 4 | 2
0 m + 2 0 m + 2 | m + 2
0 0 0 0 | m2
− 4


(1) Od treće vrste se oduzme prva pomnožena sa 2. Drugoj vrsti se doda prva.
m2
− 4 = 0 ∧ m + 2 = 0 ⇐⇒ m = −2 ∨ m = 2
Ako je m 6= −2 ∧ m 6= 2, rangA = 2, a rangP = 3, pa sledi da je sistem nemoguć.
Ako je m = −2, rangA = rangP = 1, a kako nepoznatih ima 4, sledi da je sistem
neodred̄en i da se može izračunati jedna nepoznata. Za m = −2 redukovan sistem glasi
x + 3y − z + 4u = 2.
Za x = α ∧ y = β ∧ u = γ, α , β, γ ∈ R, rešenja sistema su
(α, β, α + 3β + 4γ − 2, γ) , α, β, γ ∈ R.
Ako je m = 2, rangA = rangP = 2, a kako nepoznatih ima 4, sledi da je sistem neodred̄en
i da se mogu izračunati dve nepoznate. Za m = 2 redukovan sistem glasi
x + 3y − z + 4u = 2
y + u = 1.
Za x = α ∧ y = β, α , β ∈ R, rešenja sistema su (α, β, α − β + 2, 1 − β) , α, β ∈ R.
p i rešiti ga:
(1 + p)x + y + z = 1
x + (1 + p)y + z = p
x + y + (1 + p)z = p2
.
Rešenje.
P =


1 + p 1 1 | 1
1 1 + p 1 | p
1 1 1 + p | p2

 (1)
∼


1 1 1 + p | 1
1 1 + p 1 | p
1 + p 1 1 | p2

 (2)
∼

(2)
∼


1 1 1 + p | 1
0 p −p | p − 1
0 −p −p(p + 2) | p2
− p − 1

 (3)
∼


1 1 1 + p | 1
0 p −p | p − 1
0 0 −p(p + 3) | p2
− 2


(1) Prva i treća kolona zamene mesta. Novi raspored nepoznatih je z, y, x.
(2) Od treće vrste oduzme se prva pomnožena sa (1 + p). Od druge vrste oduzme se prva.
(3) Trećoj vrsti se doda druga vrsta.
p 6= 0 ∧ −p(p + 3) 6= 0 ⇐⇒ p 6= 0 ∧ p 6= −3.
Ako je p 6= 0 ∧ p 6= −3, onda je rangA = rangP = 3, pa sistem jednačina ima jedinstveno
rešenje koje se lako dobija iz redukovanog sistema. Rešenje je

2 − p2
p(p + 3)
,
2p − 1
p(p + 3)
,
p3
+ 2p2
− p − 1
p(p + 3)

.
Za p = 0, rangA = 1, a rangP = 2, pa sledi da je sistem nemoguć.
Za p = −3, rangA = 2, a rangP = 3, pa sledi da je sistem nemoguć.
p i rešiti ga:
(1 + p)x + y + z = p2
+ 3p
x + (1 + p)y + z = p3
+ 3p2
x + y + (1 + p)z = p4
+ 3p3
.
Rešenje.
P =


1 + p 1 1 | p2
+ 3p
1 1 + p 1 | p3
+ 3p2
1 1 1 + p | p4
+ 3p3

 (1)
∼


1 1 1 + p | p2
+ 3p
1 1 + p 1 | p3
+ 3p2
1 + p 1 1 | p4
+ 3p3

 (2)
∼
(2)
∼


1 1 1 + p | p(p + 3)
0 p −p | p(p − 1)(p + 3)
0 −p −p(p + 2) | p(p + 3)(p2
− p − 1)

 (3)
∼
(3)
∼


1 1 1 + p | p(p + 3)
0 p −p | p(p − 1)(p + 3)
0 0 −p(p + 3) | p(p + 3)(p2
− 2)


(1) Prva i treća kolona zamene mesta. Novi raspored nepoznatih je z, y, x.
(2) Od treće vrste oduzme se prva pomnožena sa (1 + p). Od druge vrste oduzme se prva.
(3) Trećoj vrsti se doda druga vrsta.
p 6= 0 ∧ −p(p + 3) 6= 0 ⇐⇒ p 6= 0 ∧ p 6= −3.
Ako je p 6= 0 ∧p 6= −3, onda je rangA = rangP = 3, pa jednačina ima jedinstveno rešenje
koje se lako dobija iz redukovanog sistema. Rešenje je 2 − p2
, 2p − 1, p3
+ 2p2
− p − 1

.
Za p = 0, rangA = rangP = 1, pa sledi da je sistem neodred̄en i da se može izračunati
jedna nepoznata. Za x = α ∧ y = β, α , β ∈ R, rešenja sistema su
(α, β, −α − β) , α, β ∈ R.
Za p = −3, rangA = rangP = 2, pa sledi da je sistem neodred̄en i da se mogu izračunati
dve nepoznate. Za x = α, α ∈ R, rešenja sistema su (α, α, α) , α ∈ R.

Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf

Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf

Similar to Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (14)

Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf