Il documento dimostra che l'insieme dei numeri razionali è denso nell'insieme dei numeri reali, affermando che tra due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale. Utilizzando l'infinità dei numeri naturali, si costruisce una successione di razionali che converge a un numero reale dato. Inoltre, viene confermata l'esistenza di una successione di numeri razionali che convergono a qualsiasi numero reale scelto.

1. Prof. Santi Caltabiano
Q è denso in R
Si vuole dimostrare che l’insieme dei numeri razionali Q è denso in IR e questo equivale ad
affermare che comunque presi due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale
compreso tra di essi, cioè:
∀ , ∈ < ∃ ∈ . . < <
Siano , ∈ con a<b ⇒ per l’infinità dei numeri naturali sicuramente ∃ ∈ n>1/(b-a) quindi:
− > 1 (1)
Scegliamo il più piccolo ∈ t.c. na<m segue:
− 1 ≤ (2)
Dalla (1) e dalla (2) otteniamo:
< = − 1 + 1 ≤ + 1 < + − =
Segue:
< <
Dividendo per n:
< <
c.v.d.
Corollario (esistenza di una successione di razionali convergente da un reale)
Per ogni numero reale esiste una successione di numeri razionali convergente ad esso, cioè:
∀ ∈ ∃{ } ∈ ! . . lim
→&
=
Dimostrazione
Fissato ∈ per il teorema precedente si ha:
∀ ∈ ≠ 0 ∃ ∈ . . −
1
< < +
1
Si costruisce così una successione { } ∈ ! tale che:
| − | <
1
∀ ∈ ≠ 0
c.v.d.