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- RAZONES
- APLICACIÓN DE LAS RAZONES
ARITMÉTICA
Razón
En matemáticas, una razón
es la comparación de dos
cantidades.
Ésta comparación puede
realizarse por medio de la
sustracción o la división.
2 L 3 L
S/ 7.00 S/ 9.00
Razón Aritmética
Si las longitudes de los ríos Rímac y Chillón son 204 km y 126
km respectivamente. Halle la razón aritmética de sus
longitudes
Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción, en dicha comparación se determina en cuanto
excede una de las cantidades a la otra.
Ejemplo
204 126
− = 78
razón aritmética valor de la razón
aritmética
“La longitud del rio Rímac excede a la longitud
del rio Chillón en 78 km”
a b
− = r
antecedente consecuente valor de la razón
aritmética
En General
El puntaje obtenido por Alex
excede en 300 puntos al obtenido
por Beto; mientras que el puntaje
de Carlos es excedido por el de
Beto en 200 puntos. ¿Cuál es el
puntaje obtenido por Beto, si la
suma de puntajes de Alex y Carlos
es 2500?
Resolución
Aplicación 1
Sean:
• A: puntaje de Alex
• B: puntaje de Beto
• C: puntaje de Carlos
De los datos, tenemos que:
A B
− = 300
∴ Beto obtuvo 1200 puntos
2B
−
= 2400
A C
−
= 2500
A 300 +
= B
B C
− = 200 C B
= 200
Además, se sabe que:
+
( 300 + B ) + ( B 200 ) = 2500
B = 1200
Si P excede a Q en 12
unidades, tendremos:
P Q
− = 12
Si P es excedido por Q en 12
unidades, tendremos:
Q P
− = 12
Nota
Piden: Puntaje de Beto (B)
Razón Geométrica
Los precios de un medicamento comercial y genérico son
S/60 y S/20. Halle la razón geométrica de estos precios.
Es la comparación de dos cantidades mediante la división, en dicha comparación se determina cuantas veces
está contenido una cantidad en la otra.
Ejemplo
60
20
____ = 3
razón
geométrica
valor de la razón
geométrica
“El costo de un medicamento comercial es 3
veces el costo de un genérico”
antecedente
consecuente
a
b
____ = k
valor de la razón
geométrica
En General
Observaciones referentes a la razón geométrica
A es dos veces B, se expresa:
A = 2B
A es dos veces más que B, se expresa:
Observación 1
A = B + 2B
A = 3B
Observación 3
Si dos números A y B son entre como 7 es a 3, tendremos:
A
B
___ =
7
3
__ 14
6
21
9
A
B
. . .
. . .
7 k
3 k
x2
x2
x3
x3
Observación 2
De los dos tipos de razones, la que tiene mayor
aplicación es la razón geométrica. Entonces, si en
problema se indica la palabra razón, se entenderá
que hace referencia a la razón geométrica.
Aplicaciones
de las razones
Con el tema de razones
podemos resolver diversas
situaciones, como problemas
de edades, móviles,
reuniones, mezclas, etc.
A continuación detallaremos
algunas de ellas.
Razones en problemas de edades
Sandra y Valeria actualmente tienen 24 y 18 años
respectivamente. ¿Cuáles eran sus edades hace 4 años y
que edad tendrán dentro de 8 años?
Sandra
Valeria
Presente Futuro
Pasado
24
18
32
26
20
14
4 años 8 años
Diferencia de
edades
6 6
6
En conclusión, cuando comparemos las edades de dos
personas se deberá tener en cuenta que la diferencia de
las edades de estas es siempre la misma.
La diferencia de las edades
siempre es la misma
Aplicación 2
Las edades de José y Eduardo están en la relación de 7 a 3
respectivamente y dentro de 20 años sus edades estarán en la
relación de 3 a 2. ¿Cuál es la edad de José?
José
Eduardo
Presente Futuro
3b
2b
7a
3a
20 años
Diferencia de edades 4a 1b
iguales
De la tabla tenemos:
Toma el
valor de 5a
5a = 20
a = 4
∴ José tiene: 7 a = 28
Resolución
= 4a
= 8a
= 12a
Razones en problemas de mezcla
En conclusión, cuando tengamos una mezcla, los
volúmenes de los ingredientes que hay al inicio, en lo que
se extrae y en lo que queda siempre se encuentran en la
misma relación
Aplicación 3
De una mezcla de 70 L de agua y 30 L de alcohol, se extraen 40 L.
¿Cuánto de alcohol se le debe agregar a lo que queda de la mezcla,
para que la relación inicial de agua y alcohol se invierta?
Luego
En un recipiente se tiene una mezcla de 30 litros de agua
con 20 litros de vino. Si se extrae 15 litros de la mezcla,
¿cuánto de agua y vino quedará?
agua
vino
Inicio Extrae Queda
(3k)
(2a)
(3a)
(2k)
5k = 15
K= 3
9L
6L
21L
14L
(3b)
(2b)
15 L
Resolución
70L
30L
agua
alcohol
Inicio Extrae Queda
(7b)
(3a)
(7a)
(3b)
9L
40 L 60 L
42L
18 L
100 L
42
18 + x
_____ =
3
7
__
(14)
(14)
18 + x = 98
x = 80
∴ Se debe agregar 80 L de alcohol.
30L
20L
Se agrega x
litros de
alcohole
10b = 40
b= 4
12 L
28 L
Razones en problemas de reuniones
A una fiesta asistieron 80 personas, de los cuales 48 eran
varones. Si en un determinando momento estaban
bailando 15 mujeres, ¿cuántos varones no bailan?
Mujeres
Varones (32)
En conclusión:
• Se asume que la cantidad de varones que bailan y
mujeres que bailan son iguales
• Total de personas = n° varones + n° mujeres
• Total de personas = +
Aplicación 4
En una fiesta se observa que por cada 5 varones hay 7 mujeres y
la relación de las personas que bailan y no bailan es de 1 a 2.
¿Cuántas mujeres no bailan, si de los varones 50 bailan?
Resolución
Bailan
No bailan
(48)
(30)
15
(50)
33
15
17
Total (80)
n° personas
que bailan
n° personas
que no bailan
Mujeres
Varones (7a)
Bailan
No bailan
(5a)
(1b)
50
(2b)
50
X
Total
b = 100
(Total) = 12a = 300
a = 25
Entonces:
X = 7a − 50 = 125
∴ 125 mujeres no bailan.
Además:
(3b) 3b = 300
2b = 200
Razones en problemas de móviles
Dos móviles A y B parten simultáneamente a su encuentro
con velocidades de 20 km/h y 30 km/h. ¿En que relación
estarán las distancias recorridas después de t horas?
En conclusión, cuando el tiempo que transcurre sea igual
para ambos móviles, la relación de las velocidades será el
mismo que la relación de sus distancias recorridas.
Aplicación 5
Luis y Erick están separados cierta distancia y parten a su
encuentro con velocidades que están en la relación de 5 a 7. Si al
cabo de cierto tiempo aún están separados 500 m y hasta ese
momento Erick avanzó 140 m, ¿cuál es la separación inicial de las
personas?
Resolución
∴ La distancia inicial de separación es 740 m.
𝑉𝐴= 20 km/h 𝑉𝐵 = 30 km/h
t h t h
𝑑𝐴 = 20t 𝑑𝐵 = 30t
Donde:
___ =
2
3
__
𝑉𝐴
𝑉𝐵
___ =
2
3
__
𝑑𝐴
𝑑𝐵
𝑉𝐿 = 5a 𝑉𝐸 = 7a
140 m
500 m
Luis Erick
X m
𝑑𝐿
Donde:
___ =
5
7
__
𝑑𝐿
140 (20)
(20)
Entonces:
X = 100 + 500 + 140 = 740
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  • 1.
  • 2. - RAZONES - APLICACIÓN DE LAS RAZONES ARITMÉTICA
  • 3. Razón En matemáticas, una razón es la comparación de dos cantidades. Ésta comparación puede realizarse por medio de la sustracción o la división. 2 L 3 L S/ 7.00 S/ 9.00
  • 4. Razón Aritmética Si las longitudes de los ríos Rímac y Chillón son 204 km y 126 km respectivamente. Halle la razón aritmética de sus longitudes Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción, en dicha comparación se determina en cuanto excede una de las cantidades a la otra. Ejemplo 204 126 − = 78 razón aritmética valor de la razón aritmética “La longitud del rio Rímac excede a la longitud del rio Chillón en 78 km” a b − = r antecedente consecuente valor de la razón aritmética En General
  • 5. El puntaje obtenido por Alex excede en 300 puntos al obtenido por Beto; mientras que el puntaje de Carlos es excedido por el de Beto en 200 puntos. ¿Cuál es el puntaje obtenido por Beto, si la suma de puntajes de Alex y Carlos es 2500? Resolución Aplicación 1 Sean: • A: puntaje de Alex • B: puntaje de Beto • C: puntaje de Carlos De los datos, tenemos que: A B − = 300 ∴ Beto obtuvo 1200 puntos 2B − = 2400 A C − = 2500 A 300 + = B B C − = 200 C B = 200 Además, se sabe que: + ( 300 + B ) + ( B 200 ) = 2500 B = 1200 Si P excede a Q en 12 unidades, tendremos: P Q − = 12 Si P es excedido por Q en 12 unidades, tendremos: Q P − = 12 Nota Piden: Puntaje de Beto (B)
  • 6. Razón Geométrica Los precios de un medicamento comercial y genérico son S/60 y S/20. Halle la razón geométrica de estos precios. Es la comparación de dos cantidades mediante la división, en dicha comparación se determina cuantas veces está contenido una cantidad en la otra. Ejemplo 60 20 ____ = 3 razón geométrica valor de la razón geométrica “El costo de un medicamento comercial es 3 veces el costo de un genérico” antecedente consecuente a b ____ = k valor de la razón geométrica En General
  • 7. Observaciones referentes a la razón geométrica A es dos veces B, se expresa: A = 2B A es dos veces más que B, se expresa: Observación 1 A = B + 2B A = 3B Observación 3 Si dos números A y B son entre como 7 es a 3, tendremos: A B ___ = 7 3 __ 14 6 21 9 A B . . . . . . 7 k 3 k x2 x2 x3 x3 Observación 2 De los dos tipos de razones, la que tiene mayor aplicación es la razón geométrica. Entonces, si en problema se indica la palabra razón, se entenderá que hace referencia a la razón geométrica.
  • 8. Aplicaciones de las razones Con el tema de razones podemos resolver diversas situaciones, como problemas de edades, móviles, reuniones, mezclas, etc. A continuación detallaremos algunas de ellas.
  • 9. Razones en problemas de edades Sandra y Valeria actualmente tienen 24 y 18 años respectivamente. ¿Cuáles eran sus edades hace 4 años y que edad tendrán dentro de 8 años? Sandra Valeria Presente Futuro Pasado 24 18 32 26 20 14 4 años 8 años Diferencia de edades 6 6 6 En conclusión, cuando comparemos las edades de dos personas se deberá tener en cuenta que la diferencia de las edades de estas es siempre la misma. La diferencia de las edades siempre es la misma Aplicación 2 Las edades de José y Eduardo están en la relación de 7 a 3 respectivamente y dentro de 20 años sus edades estarán en la relación de 3 a 2. ¿Cuál es la edad de José? José Eduardo Presente Futuro 3b 2b 7a 3a 20 años Diferencia de edades 4a 1b iguales De la tabla tenemos: Toma el valor de 5a 5a = 20 a = 4 ∴ José tiene: 7 a = 28 Resolución = 4a = 8a = 12a
  • 10. Razones en problemas de mezcla En conclusión, cuando tengamos una mezcla, los volúmenes de los ingredientes que hay al inicio, en lo que se extrae y en lo que queda siempre se encuentran en la misma relación Aplicación 3 De una mezcla de 70 L de agua y 30 L de alcohol, se extraen 40 L. ¿Cuánto de alcohol se le debe agregar a lo que queda de la mezcla, para que la relación inicial de agua y alcohol se invierta? Luego En un recipiente se tiene una mezcla de 30 litros de agua con 20 litros de vino. Si se extrae 15 litros de la mezcla, ¿cuánto de agua y vino quedará? agua vino Inicio Extrae Queda (3k) (2a) (3a) (2k) 5k = 15 K= 3 9L 6L 21L 14L (3b) (2b) 15 L Resolución 70L 30L agua alcohol Inicio Extrae Queda (7b) (3a) (7a) (3b) 9L 40 L 60 L 42L 18 L 100 L 42 18 + x _____ = 3 7 __ (14) (14) 18 + x = 98 x = 80 ∴ Se debe agregar 80 L de alcohol. 30L 20L Se agrega x litros de alcohole 10b = 40 b= 4 12 L 28 L
  • 11. Razones en problemas de reuniones A una fiesta asistieron 80 personas, de los cuales 48 eran varones. Si en un determinando momento estaban bailando 15 mujeres, ¿cuántos varones no bailan? Mujeres Varones (32) En conclusión: • Se asume que la cantidad de varones que bailan y mujeres que bailan son iguales • Total de personas = n° varones + n° mujeres • Total de personas = + Aplicación 4 En una fiesta se observa que por cada 5 varones hay 7 mujeres y la relación de las personas que bailan y no bailan es de 1 a 2. ¿Cuántas mujeres no bailan, si de los varones 50 bailan? Resolución Bailan No bailan (48) (30) 15 (50) 33 15 17 Total (80) n° personas que bailan n° personas que no bailan Mujeres Varones (7a) Bailan No bailan (5a) (1b) 50 (2b) 50 X Total b = 100 (Total) = 12a = 300 a = 25 Entonces: X = 7a − 50 = 125 ∴ 125 mujeres no bailan. Además: (3b) 3b = 300 2b = 200
  • 12. Razones en problemas de móviles Dos móviles A y B parten simultáneamente a su encuentro con velocidades de 20 km/h y 30 km/h. ¿En que relación estarán las distancias recorridas después de t horas? En conclusión, cuando el tiempo que transcurre sea igual para ambos móviles, la relación de las velocidades será el mismo que la relación de sus distancias recorridas. Aplicación 5 Luis y Erick están separados cierta distancia y parten a su encuentro con velocidades que están en la relación de 5 a 7. Si al cabo de cierto tiempo aún están separados 500 m y hasta ese momento Erick avanzó 140 m, ¿cuál es la separación inicial de las personas? Resolución ∴ La distancia inicial de separación es 740 m. 𝑉𝐴= 20 km/h 𝑉𝐵 = 30 km/h t h t h 𝑑𝐴 = 20t 𝑑𝐵 = 30t Donde: ___ = 2 3 __ 𝑉𝐴 𝑉𝐵 ___ = 2 3 __ 𝑑𝐴 𝑑𝐵 𝑉𝐿 = 5a 𝑉𝐸 = 7a 140 m 500 m Luis Erick X m 𝑑𝐿 Donde: ___ = 5 7 __ 𝑑𝐿 140 (20) (20) Entonces: X = 100 + 500 + 140 = 740
  • 13. w w w. aduni. edu. pe