Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Φράκταλς

315 views

Published on

  • Login to see the comments

Φράκταλς

  1. 1. FRACTALS Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΝΟΕΜΒΡΗΣ 2014 Η ΑΛΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ … Ένα κείμενο που φιλοδοξεί να γίνει μία καλή ευκαιρία για την αρχή μιας νέας αναζήτησης … καλή ευκαιρία για την αρχή μιας νέας αναζήτησης …
  2. 2. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 1 1. Οι πρώτες προσπάθειες … Η ιστορία ξεκινά το 1904 όπου ο Σουηδός μαθηματικός Helge von Koch κατασκευάζει ένα περίεργο σχήμα αυτό που αργότερα θα γίνει γνωστό ως νιφάδα του Koch. Πρόκειται για μία γεωμετρική κατασκευή που βασίζεται σε μία σειρά βημάτων, όπως περιγράφονται στο παρακάτω σχήμα Ξεκινά από ένα ευθύγραμμο τμήμα ( επίπεδο 0) μετά στο μεσαίο 1/3 του τμήματος κατασκευάζεται μία γωνία αποτελούμενη από δύο τμήματα ίσα με το 1/3 του αρχικού (επίπεδο 1). Η ακολουθία αυτή συνεχίζεται για το κάθε ένα από τα τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα μήκους ίσου με το 1/3 του αρχικού. Οπότε στο επόμενο βήμα (επίπεδο 2) θα σχηματισθούν δεκαέξι τμήματα, συνθέτοντας ένα αγκαθωτό πλέγμα με πλευρά ίση με το 1/9 του αρχικού. Αν αντί να ξεκινήσουμε από ένα ευθύγραμμο τμήμα αρχίσουμε από ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ακολουθήσουμε τα βήματα κατασκευής για την κάθε μία από τις τρεις ίσες πλευρές του τριγώνου το αποτέλεσμα θα είναι θεαματικό. Θα προσομοιάζει της νιφάδας του χιονιού, γι’ αυτό και έχει επικρατήσει να λέγεται η κατασκευή αυτή νιφάδα του Koch. Η ιστορία συνεχίζεται το 1915. Τότε ο Πολωνός Μαθηματικός Waclaw Sierpinski (1882-1969) κατασκευάζει μία ακολουθία σχημάτων με μία συγκεκριμένη ακολουθία βημάτων. 1ο βήμα : Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο 2ο βήμα : Παίρνουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το σχηματιζόμενο ισόπλευρο τρίγωνο. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τρία ισόπλευρα τρίγωνα με μία τρύπα σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου στο κέντρο του αρχικού σχήματος.
  3. 3. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 2 3ο βήμα : Παίρνουμε τα μέσα των τριών ισοπλεύρων τριγώνων και αφαιρούμε το κεντρικό σχηματιζόμενο ισόπλευρο τρίγωνο . Με τη διαδοχική επανάληψη των βημάτων ένα δαντελωτό γεμάτο από τρύπες από ισόπλευρα τρίγωνα θα σχηματισθεί. Το περίεργο στην όλη κατασκευή είναι ότι δημιουργείται μία ακολουθία σχημάτων όπου για τα βασικά στοιχεία Περίμετρος και Εμβαδόν ισχύει ότι η μεν περίμετρος αυξάνει συνεχώς ενώ το εμβαδόν ελαττώνεται. Για παράδειγμα ας σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα που αποτυπώνονται ανά βήμα οι τιμές των δύο αυτών βασικών μεγεθών. Για τον υπολογισμό έχουμε θεωρήσει ότι το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά ίση με 1 μονάδα μήκους. Βήμα ν 1ο 2ο 3ο 4ο … νο Περίμετρος 1 3 1 3 2 1 9 4 1 27 8 … 1 1 1 3 3 ( ) 2 2 Εμβαδόν 1 3 4 1 3 4 1 9 16 1 27 64 …. 1 1 3 ( ) 4 Παρατηρήστε τις τιμές της Περιμέτρου ( μπλε σημεία) πως αυξάνονται από βήμα σε βήμα , ενώ οι αντίστοιχες τιμές του Εμβαδού ( κόκκινα σημεία) συνεχώς ελαττώνονται.
  4. 4. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 3 Παρόμοια γεωμετρική κατασκευή είναι και το παρακάτω, κατασκεύασμα επίσης του Sierpinski Μπορείτε να βρείτε το μοτίβο που ακολουθεί η κατασκευή αυτή; Αλλά και το λεγόμενο απειρόδενδρο ή tree bender (δένδρο που κάμπτεται – λυγίζει) Όπου αρχίζουμε από ένα ευθύγραμμο κατακόρυφο τμήμα μετά διακλαδίζονται δύο κλαδιά με μήκος ίσο με το μισό του αρχικού τμήματος. Στο επόμενο βήμα το κάθε κλαδί διακλαδίζεται σε δύο άλλα μήκους ίσο με το 1/4 του αρχικού. Αν η διαδικασία αυτή συνεχιστεί κατασκευάζεται ένα σύμπλεγμα που προσομοιάζει με δένδρο και τα κλαδιά του. Το όλο σχήμα καθώς εξελίσσεται είναι θεαματικό ! Αν μάλιστα οι διακλαδώσεις δεν γίνουν συμμετρικά αλλά με διαφορετικά μήκη ή να σχηματίζουν διαφορετική γωνία σε σχέση με την κατακόρυφο τότε σου δίνεται η αίσθηση ενός δένδρου που λυγίζει από τον άνεμο.
  5. 5. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 4 Η συνέχεια συναρπαστική … Fractals σε τρεις διαστάσεις όπως το ονομαστό σφουγγάρι του Karl Menger που μοιάζει με το χαλί του Sierpinski αλλά σε κύβο. Δημιουργείται από έναν κύβο όπου αφαιρούμε διαδοχικά κύβους πλευράς ίσης με το 1/3 της αρχικής. Fractals πιο θεαματικά που μοιάζουν να έχουν δημιουργηθεί από κόσμους επιστημονικής φαντασίας … Τελικά τι είναι τα Fractals ; Ένας απλοϊκός – πρώτος ορισμός είναι ο παρακάτω : Το fractal είναι μία "μαγική εικόνα" που όσες φορές και αν μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Δηλαδή ένα βασικό χαρακτηριστικό του είναι η αυτό – ομοιότητα που παρουσιάζει. Για παράδειγμα ας προσέξουμε καλύτερα … Το τρίγωνο του Sierpiński, παρατηρήστε πως το ίδιο το σχήμα υπάρχει άπειρες φορές μέσα στον εαυτό του.
  6. 6. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 5 Την χιονονιφάδα του Koch, παρατηρήστε ότι αναπτύσσεται σαν ένας ζωντανός οργανισμός δημιουργώντας τον ίδιο του τον εαυτό συνεχώς και συνεχώς – ατελείωτα. Τέτοια σχήματα μπορούμε να παρατηρήσουμε και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση. Αφήστε λίγο την φαντασία σας και παρατηρήστε … Ο όρος Fractal προτάθηκε το 1975 από τον Γαλλοαμερικανό μαθηματικό Benoît Mandelbrot (1924 - 2010). Προέρχεται από τη Λατινική λέξη fractus που σημαίνει κατακερματισμένος.
  7. 7. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 6 2. Ιδιότητες … Οι βασικές ιδιότητες των σχημάτων αυτών μπορούν να συνοψιστούν στις παρακάτω τέσσερεις : 1. Έχουν λεπτομέρεια σε οσοδήποτε μικρή κλίμακα. Για παράδειγμα παρατηρήστε τα παρακάτω σχήματα , όπου στο ορθογώνιο πλαίσιο παρουσιάζεται η λεπτομέρεια του αρχικού σχήματος αν κάνουμε zoom σε αυτό με κλίμακα Χ6 , Χ100 , Χ2000 αντίστοιχα. 2. Προσδιορίζονται με απλές περιοδικά επαναλαμβανόμενες διαδικασίες. Για παράδειγμα παρατηρήστε τα βήματα κατασκευής του τριγώνου του Sierpinski Αρχικό στάδιο 1ο στάδιο 2ο στάδιο 3ο στάδιο 3. Κάθε μέρος ενός fractal σχήματος περιέχει σε μικρότερη κλίμακα ένα ακριβές αντίγραφο της ίδιας της εικόνας. Ουσιαστικά πρόκειται γι’ αυτό που αναφέραμε προηγουμένως ως αυτοομοιότητα. Δηλαδή οι κατασκευές αυτές μας δίνουν την αίσθηση ότι το ίδιο το σχήμα αναπαράγεται από μόνο του και αυτή η διαδικασία συμβαίνει συνεχώς. 4. Είναι μεγέθη με κλασματική διάσταση . Δηλαδή ;
  8. 8. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 7 3. Τι ονομάζουμε διάσταση ; Υπάρχουν αρκετοί ορισμοί της έννοιας αυτής που ουσιαστικά περιγράφουν το ίδιο πράγμα. Ας δούμε μερικές προσεγγίσεις της έννοιας αυτής, προσεγγίσεις που παρουσιάζουν την έννοια λογοτεχνικά ή καλλιτεχνικά αλλά και αυστηρά μαθηματικά. Στο κλασικό βιβλίο “ Flatland a romance of many dimensions “ του Edwin Abbott , έκδοση του 1885, περιγράφεται ένας κόσμος από γεωμετρικά σχήματα που ζουν και κινούνται στο επίπεδο. Έτσι ένα τρίγωνο ή ένας κύκλος φαίνονται στους κατοίκους της χώρας αυτής ως απλά ευθύγραμμα τμήματα, ενώ η κατώτερη τάξη – τα ευθύγραμμα τμήματα ανάλογα με την γωνία που φαίνονται μπορεί και αυτά να παρουσιάζονται ως τμήματα αλλά και ως ένα απλό σημείο. Για να διαπιστώσει κάποιος το πραγματικό σχήμα του θα πρέπει να πετάξει έξω από το επίπεδο – να ανέβει δηλαδή μία διάσταση ακόμα και έτσι στις τρεις διαστάσεις θα μπορεί να διαπιστώσει ότι τα σχήματα του κόσμου αυτού είναι δυσδιάστατα και να διακρίνει τις όποιες διαφορές τους, Κάποια στιγμή στον φανταστικό αυτό κόσμο της Flatland εμφανίζεται μία σφαίρα. Ο τρόπος που παρουσιάζεται στους κατοίκους είναι με την μορφή ομόκεντρων κύκλων οι οποίοι ουσιαστικά είναι η τομές της σφαίρας καθώς αυτή κινούμενη τέμνει σε διαδοχικές χρονικές στιγμές το επίπεδο κόσμο. Η σφαίρα ζει στο χώρο των τριών διαστάσεων έτσι μπορεί να δει τους κατοίκους και τις ιδιότητες τους. Έτσι πάνω κάτω είμαστε και εμείς. Ζούμε σε ένα τρισδιάστατο κόσμο και όλα τα σχήματα – πράγματα που μας περιβάλλουν τα βλέπουμε όσο και αν σας φαίνεται περίεργο δυσδιάστατα ! Την μπάλα του ποδοσφαίρου την βλέπουμε ως κύκλο. Γνωρίζουμε όμως το πραγματικό της σχήμα επειδή έχουμε πιάσει μία μπάλα πολλές φορές, την έχουμε κοιτάξει από πολλές γωνίες και έτσι είναι πεποίθησή μας ότι το πραγματικό σχήμα της είναι σφαιρικό και τρισδιάστατο. Για να μπορέσει κάποιος να «δει» πραγματικά το τρισδιάστατο της σφαίρας πρέπει να πετάξει στο χώρο των τεσσάρων διαστάσεων. Πως άραγε είναι ένας τέτοιος κόσμος;
  9. 9. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 8 Υπάρχει και ένας ορισμός της διάστασης περισσότερο αξιωματικός . Θεωρεί οποιαδήποτε νέα διάσταση ως μία αυθαίρετη μεταφορά του σχήματος της προηγούμενης διάστασης κατά ένα διάνυσμα. Δηλαδή ας φανταστούμε το αδιάστατο σημείο. Αν το μεταφέρουμε κατά ένα διάνυσμα τότε σχηματίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει διάσταση 1. Αν το τμήμα αυτό το μεταφέρουμε κατά ένα άλλο διάνυσμα τότε σχηματίζεται ένα τετράγωνο που έχει διάσταση 2. Όμοια σχηματίζουμε έναν κύβο με διάσταση 3, αλλά και έναν υπερκύβο με διάσταση 4. Την διαδικασία αυτή μπορούμε να συνεχίσουμε όσο θέλουμε και να ορίσουμε σχήματα με όσες διαστάσεις θέλουμε. Ένας πιο οικίος τρόπος για να καταλάβουμε την έννοια της διάστασης είναι να μετρήσουμε το μήκος ή το εμβαδόν ή τον όγκο ενός μονοδιάστατου – δυσδιάστατου – τρισδιάστατου σχήματος αντίστοιχα. Φανταστείτε ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος π.χ. 1 μονάδα, αν το διπλασιάσουμε τότε το μήκος του νέου ευθυγράμμου τμήματος είναι διπλάσιο του αρχικού. Αν έχουμε ένα τετράγωνο και αποφασίσουμε να διπλασιάσουμε τις πλευρές του τότε το εμβαδόν του τετραπλασιάζεται. Ενώ αν έχουμε ένα κύβο και διπλασιάσουμε τις ακμές του τότε ο όγκος του νέου κύβου είναι οκταπλάσιος του αρχικού. Δηλαδή στο ευθύγραμμο τμήμα θα ισχύει η ισότητα 1 ' 2 2M όπου Μ’ το νέο μήκος και Μ το αρχικό. Στο τετράγωνο θα ισχύει 2 ' 2 4 όπου Ε’ και Ε τα εμβαδά των τετραγώνων , ενώ στον κύβο 3 V' 2 V 8 V, όπου V’ και V οι όγκοι των σχηματιζόμενων κύβων. Οι εκθέτες 1,2,3 δηλώνουν αντίστοιχα και τις διαστάσεις των τριών σχημάτων, ευθύγραμμο τμήμα , τετράγωνο και κύβο. Το μειονέκτιμα της προσέγγισης αυτής είναι ότι αδυνατούμε να βρούμε γεωμετρικό ισοδύναμο για τέσσερεις ή περισσότερες διαστάσεις.
  10. 10. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 9 Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση σμύκρινσης. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι προσπαθούμε να βρούμε το πραγματικό μήκος της απόστασης δύο σημείων διαβάζοντας έναν χάρτη. Τι κάνουμε σε αυτή την περίπτωση; Μετράμε την απόσταση όπως εμφανίζεται στον χάρτη και μετά πολλαπλασιάζουμε την μέτρησή μας με την κλίμακα με την οποία έχει φτιαχτεί ο χάρτης. Για παράδειγμα αν η κλίμακα του διπλανού χάρτη είναι 1:100.000 αυτό σημαίνει ότι απόσταση 1 cm στο χάρτη αντιστοιχεί 100.000 cm ή 1Km στην πραγματικότητα. Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μετρήσουμε μία ευθύγραμμη ακτογραμμή μήκους 512m και χρησιμοποιούμε ως «μονάδα» μέτρησης μήκος 64m. Υπάρχει όμως και η δυνατότητα της μεγέθυνσης χρησιμοποιώντας το εργαλείο κλίμακα - zoom έτσι για την τιμή zoom=4 η «μονάδα» μέτρησης θα γίνει 64:4=16m, για τιμή zoom=16 η «μονάδα» θα γίνει 64:16=4m κ.ο.κ. Οι μετρήσεις που θα κάνουμε παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Μονάδα μέτρησης 64m 16m 4m 1m Τιμή zoom (x) 1 4 16 64 Αριθμός βημάτων Αποτέλεσμα μέτρησης ( y) 8 32 128 512 Μήκος ακτογραμμής 512m 512m 512m 512m Τι παρατηρούμε ; Η σχέση ανάμεσα στο αποτέλεσμα της μέτρησης και την τιμή zoom που επιλέγουμε είναι : y 8 x . Επειδή ο παράγοντας χ εμφανίζεται στη δύναμη 1, λέμε ότι η ακτογραμμή ( ως μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος ) έχει διάσταση 1. Στην πραγματικότητα είναι έτσι τα πράγματα; Ή μήπως είναι πιο σύνθετα;
  11. 11. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 10 4. Κλασματική διάσταση. Αν η ακτογραμμή δεν είναι ευθύγραμμη και έχει όρμους, κόλπους , ακρωτήρια … Τότε οι αντίστοιχες μετρήσεις είναι : Μονάδα μέτρησης 64m 16m 4m 1m Τιμή zoom (x) 1 4 16 64 Α ρ ι θ μ ό ς β η μ ά τ ω ν Αποτέλεσμα μέτρησης (y) 8 64 512 4096 Μήκος ακτογραμμής 512m 1024m 2048m 4096m Παρατηρούμε λοιπόν ότι : Α) Το μήκος της ακτογραμμής εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης. Β) Όσο μικρότερη είναι η μονάδα μέτρησης τόσο μεγαλύτερο το μήκος της ακτογραμμής. Για το παράδειγμά μας η σχέση ανάμεσα στο αποτέλεσμα της μέτρησης y και της τιμής χ zoom που επιλέγουμε είναι : Στην Βικιπαίδεια μορούμε να βρούμε δύο διαφορετικούς πίνακες που αναφέρονται στη ακτογραμμή της Ελλάδας που οι μετρήσεις όμως είναι διαφορετικές ! 1,5 8y x
  12. 12. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 11 Ας υπολογίσουμε τις διαστάσεις κάποιου από τα Fractals που έχουμε αναφέρει : Α) Για την νιφάδα του Koch Για τις πέντε πρώτες φάσεις της νιφάδας έχουμε : Γενικά θα ισχύει : Μονάδα μέ τρησης 1 1/3 1/9 1/3ν - 1 Τιμή zoom (x) 1 3 9 3ν - 1 Αριθμός βημάτων (y) 3 12 48 3∙4ν - 1 Περίμετρος σχήματος 3 4 5,33… 3∙(4/3) ν - 1 Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στα ψ και χ ; Η σχέση είναι της μορφής : δηλαδή οπότε α=3 και άρα η διάσταση του σχήματος είναι κλασματική και ίση με 1,2618… αφού : Μονάδα μέ τρησης 1 1/3 1/9 1/27 1/81 Τιμή zoom (x) 1 3 9 27 81 Αριθμός βημάτων (y) 3 12 48 192 768 Περίμετρος σχήματος 3 4 5,33… 7,11.. 9.481.. k x 1 1 3 4 (3 )k a 1 1 ln4 4 (3 ) 4 3 1,2618... ln3 k k k k 1,2628... 3 x
  13. 13. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 12 Β) Για τρίγωνο του Sierpiński Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα ; Αναζητούμε μία σχέση ανάμεσα στη τιμή (χ) zoom και τον αριθμό (ψ) των βημάτων, της μορφής ψ=αχκ οπότε … Άρα α=3 και Δηλαδή το τρίγωνο του Sierpiński έχει διάσταση 1,584 1 1 1 3 (2 ) 3 3 (2 )k k k x a a 1 1 ln3 3 (2 ) 3 2 1,584 ln2 k k k k
  14. 14. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 13 Γ) Για το χαλί του Sierpiński Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα : Τι συμβαίνει στο 5 ο – στο 6 ο – στο 7 ο βήμα ; Τι συμβαίνει γενικά ; Για τη τιμή χ του zoom δεν υπάρχει ιδιαίτερο πρόβλημα στο νο βήμα η τιμή είναι 3ν-1 Για τη τιμή του y αριθμό βημάτων, ας υπολογίσουμε μερικά ακόμα … Στάδια Αριθμός βημάτων (y) 1 ο 4 2 ο 4(3+1) 3 ο 4(3 2 +3+8) 4 ο 4(3 3 +3 2 +3.8+8 2 ) 5 ο 4(3 4 +3 3 +3 2 .8+3.8 2 +8 3 ) 6 ο 4(3 5 +3 4 +3 3 .8+3 2 .8 2 +3.8 3 +8 4 ) 7 ο 4(3 6 +3 5 +3 4 .8+3 3 .8 2 +3 2 .8 3 +3.8 4 +8 5 )
  15. 15. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 14 στο νο στάδιο ο αριθμός των βημάτων είναι : Η σχέση που ψάχνουμε θα είναι της μορφής Άρα Οπότε Τελικά έχουμε Δηλαδή η διάσταση είναι κλασματική αφού : Δ) Για το σπόγγο του Menger … που μοιάζει περισσότερο σε στερεό η διάστασή του πλησιάζει το 3 είναι 2,727… Βέβαια μην περιμένετε να υπολογίσουμε με παρόμοιο τρόπο την διάστασή του ! 1 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 8 3 4 (3 3 3 8 ... 3 8 8 ) 4 (3 ) 8 3 8 3 4 4 (3 ) (4 3 8 ) 5 5 k y ax b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 (4 3 8 ) (3 ) 5 16 4 3 8 (3 ) 5 5 16 4 8 ( ) (3 ) 5 5 3 k k k a b a b a b 16 4 ... 5 5 b 1 1 1 1 1 1 1 8 8 ( ) (3 ) ( ) (3 ) 3 3 8 ln( ) 8 ln8 ln333 1 1 3 ln3 ln3 ln8 1,8928 ln3 k k k 1,89284 16 5 5 y x
  16. 16. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 15 Ε) Για την ακτογραμμή της Αγγλίας … Στο πρώτο σχήμα η μονάδα μέτρησης είναι 200Km με αποτέλεσμα 2.400Km, στο δεύτερο η μονάδα είναι 100Km με μήκος ακτογραμμής 2.800Km , στο τρίτο σχήμα η μονάδα είναι 50Km με μήκος 3.400Km Η ακτογραμμή της Αγγλίας είναι σχήμα Fractal με διάσταση 6. Γενικός τύπος Στην βιβλιογραφία υπάρχει ένας τύπος που δίνει γρήγορα την διάσταση οποιουδήποτε σχήματος , ο τύπος αυτός είναι όπου r η κλίμακα zoom και Μ το πλήθος των μικρότερων αυτοόμοιων σχημάτων που παράγονται με την επίδραση της σμίκρυνσης. Για παράδειγμα : ln ln(1/ ) M D r
  17. 17. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 16 Σε ένα ευθύγραμμο τμήμα αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε το μήκος του είναι 1. Αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/2μ τότε η νέα μέτρηση για το μήκος είναι 2. Άρα για r=1/2 έχουμε Μ=2 ( φτάχνονται 2 τμήματα ) οπότε η διάσταση του ευθυγράμμου τμήματος είναι ln 2 1 1 ln( ) 1 2 D Σε ένα τετράγωνο αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε το εμβαδόν του είναι 1. Αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/2μ τότε η νέα μέτρηση για το εμβαδόν είναι 4 (φτιάχνονται 4 τετράγωνα). Άρα για r=1/2 έχουμε Μ=4, οπότε η διάσταση του τετραγώνου είναι ln 4 ) 2 1 ln( 1 2 D Σε έναν κύβο, αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε ο όγκος του είναι 1. Αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/2 μ τότε η νέα μέτρηση για τον όγκο είναι 8 (φτιάχνονται 8 κύβοι) . Άρα για r=1/2 έχουμε Μ=8, οπότε η διάσταση του κύβου είναι ln8 3 1 ln( ) 1 2 D Στην νιφάδα του Koch , αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε η περίμετρός της είναι Π=3, αν η μονάδα μέτρης γίνει μ’=1/3μ τότε η νέα μέτρηση δίνει αποτέλεσμα 4 (φτιάχνονται 4 τμήματα) . Άρα για r=1/3 έχουμε Μ=4 οπότε η διάσταση της νιφάδας του Koch είναι ln 4 1,2618... 1 ln( ) 1 3 D Στο τρίγωνο του Sierpiński, αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε το εμβαδόν είναι Ε, αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/2μ τότε η νέα μέτρηση δίνει αποτέλεσμα 3Ε’ ( φτιάχνονται 3 τρίγωνα) , οπότε η διάσταση του τριγώνου του Sierpiński είναι ln3 1,584... 1 ln( ) 1 2 D Στο χαλί του Sierpiński, αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε το εμβαδόν του είναι Ε, αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/3μ τότε η νέα μέτρηση δίνει αποτέλεσμα 8Ε’ ( φτιάχνονται 8 τετράγωνα) , οπότε η διάσταση του χαλιού του Sierpiński είναι ln8 1,8928... 1 ln( ) 1 3 D
  18. 18. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 17 Στον σπόγγο του Menger , αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε ο όγκος του είναι V, αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/3μ τότε χωρίζουμε τον κύβο σε 27 μικρότερους όπου αφαιρούμε τον κεντρικό κύβο και από ένα κύβο από την κάθε έδρα – συνολικά 7. Οπότε η νέα μέτρηση δίνει αποτέλεσμα 20V’ (φτιάχνονται 20 κύβοι) , οπότε η διάσταση του κύβου του Menger είναι ln 20 2,727... 1 ln( ) 1 3 D Για την ακτογραμμή της Αγγλίας με βάση τις μετρήσεις που δίνονται έχουμε ότι, αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1=200Km τότε το μήκος είναι 2400:200=12, αν η μονάδα μέτρησης γίνει το μ’=1/2μ δηλαδή το μισό της αρχικής άρα 100Km τότε η νέα μέτρηση δίνει 2800:100=28 δηλαδή (28:12)Π’, οπότε η διάσταση της ακτογραμμής είναι 728 lnln 312 1,2224... 1 ln 2ln( ) 1 2 D Αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ”=1/4μ δηλαδή το 1/4 της αρχικής άρα 50m τότε η νέα μέτρηση 3400:50=68 δηλαδή (68:12)Π”, οπότε η διάσταση της ακτογραμμής είναι 1768 ln( )ln( ) 312 1,2513 1 ln 4ln( ) 1 4 D Από τα παραπάνω αποτελέσματα ανακαλύπτουμε μία σημαντική διαφορά ανάμεσα σε ένα γεωμετρικό Fractal και ένα φυσικό σχήμα που μοιάζει με Fractal. Ανάμεσα σε ένα ιδεατό μαθηματικό σχήμα με απείρως πολύπλοκη δομή και μια πραγματική ακτή. Μία ακτογραμμή δεν είναι στην πραγματικότητα μία απείρως πολύπλοκη γραμμή. Απλώς η ομοιότητα ανάμεσα στις δύο αυτές καταστάσεις είναι αρκετή να μας δώσει μία εκτίμηση της κλασματικής διάστασης μιας πραγματικής ακτής. Η μελέτη διάφορων χαρτών διαφορετικής κλίμακας μας δείχνει ότι οι θαλάσσιες ακτές διαφέρουν στις διαστάσεις τους, συνήθως η κλασματική διάστασή τους κυμαίνεται ανάμεσα στο 1,15 και το 1,25.
  19. 19. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 18 7. Από τη Γεωμετρία στις συναρτήσεις Στις αρχές του 1980 οι μαθηματικοί με την βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών κατόρθωσαν να αποδώσουν όλα τα προηγούμενα γεωμετρικά σχήματα με αρκετή ακρίβεια και μεγάλη λεπτομέρια. Συγχρόνως πειραματίστηκαν … Για παράδειγμα ας πάρουμε την συνάρτηση και δίνουμε μία αρχική τιμή για το χ. Υπολογίζουμε την τιμή του ψ. Σημειώνουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων το σημείο (χ,ψ). Την τιμή αυτή του ψ την αντικαθιστούμε στην εξίσωση στη θέση του χ βρίσκοντας μία νέα τιμή του ψ. Σημειώνουμε το νέο σημείο. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία συνεχώς. Ένα σύνολο από σημεία (χ,ψ) παράγονται. Αν ξεκινήσουμε από μία αρκετά μικρή τιμή για το αρχικό χ , για παράδειγμα χ=0,001 τότε μπροστά στα μάτια μας εμφανίζεται ένα σχήμα όπως αυτό που παρουσιάζεται δίπλα. Αν κάνουμε zoom σε ένα οποιοδήποτε μέρος του σχήματος θα παρατηρήσουμε ότι το σχέδιο συνεχώς υπάρχει το ίδιο σε οποιαδήποτε σμίκρυνση σε οποιοδήποτε σημείο του αρχικού σχεδίου. Ανάλογα την αρχική τιμή για την μεταβλητή χ μπορούμε να πάρουμε διάφορα παρόμοια σχήματα , όπως το διπλανό που ονομάζεται fractal χιονάνθρωπος με κρεατοελιές. Αν αντί για συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής πειραματιστούμε με μιγαδικούς τότε τα αποτελέσματα είναι ακόμα πιο αξιοπερίεργα. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση όπου c ένας δεδομένος μιγαδικός αριθμός. Ακολουθούμε παρόμοια διαδικασία όπως στο προηγούμενο παράδειγμα οπότε δίνουμε μία αρχική τιμή του z και υπολογίζουμε τον μιγαδικό q. Τον αριθμό αυτόν τον αντικαθιστούμε στη σχέση στη θέση του z και βρίσκουμε μία νέα τιμή του q. Κάθε επανάληψη θα μας δίνει και έναν νέο μιγαδικό αριθμό ο οποίος θα απεικονίζεται σε ένα σημείο στο επίπεδο. Το σύνολο όλων αυτών των σημείων αποδίδουν ένα κλασματικό σχήμα. 2 3y x x 2 p z c
  20. 20. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 19 Ανάλογα την αρχική τιμή του μιγαδικού z τον σταθερό μιγαδικό c αλλά και του τύπου της μιγαδικής συνάρτησης που δουλεύουμε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια σειρά από σχήματα. Αν επιλέξουμε δε και χρωματισμό διαφόρων περιοχών του επιπέδου τότε το αποτέλεσμα τουλάχιστον αισθητικά θα μας δικαιώσει. Ας δούμε μερικά από τα σχήματα αυτά : 8. Fractals σε συνθήκες τυχαιότητας Τα σχήματα που είδαμε είτε γεωμετρικά είτε ως αποτέλεσμα απεικονίσεων μέσω γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων είναι τελικά κατασκευάσματα που προκύπτουν μέσα από μία προκαθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων κινήσεων. Οι κινήσεις αυτές είναι τελικά εκείνες που δημιουργούν την αυτοομοιότητα – ιδιότητα βασική για να χαρακτηριστεί τελικά ένα σήμα ως Fractal. Τελικά τα σχήματα αυτά όσο ωραίο αισθητικά, αποτέλεσμα και αν παρουσιάζουν είναι τελικά δημιουργήματα εργαστηρίου, το πολύ - πολύ αρκούμαστε να βρούμε μια απλή ομοιότητα με αντίστοιχα σχήματα στη φύση για να τους δώσουμε κάποια αξία – πέραν της ιδιαιτερότητα που παρουσιάζουν ως καθαρά μαθηματικά αντικείμενα στο θέμα της κλασματικής διάστασης. Δίνεται η αίσθηση λοιπόν ότι ένα τέτοιο σχήμα δεν μπορεί να προκύψει από μία τυχαία διαδικασία. Κι’ όμως υπάρχει ένα παιχνίδι το « chaos game » που ανέτρεψε την αντίληψη αυτή. Ακούστε τους κανόνες του παιχνιδιού.
  21. 21. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 20 Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο Σ. Στην κάθε κορυφή του τριγώνου αντιστοιχίζουμε δύο αριθμούς. Συγκεκριμένα στην κορυφή Α τους αριθμούς 1 και 2, στην κορυφή Β τους αριθμούς 3 και 4 και τέλος στην κορυφή Γ τους αριθμούς 5 και 6. Ρίχνουμε ένα ζάρι ( τυχαιότητα) Αν το ζάρι δείξει 1 ή 2 ενώνουμε το σημείο Σ με την κορυφή Α και κατασκευάζουμε το μέσο Σ1 του ευθυγράμμου τμήματος ΣΑ Αν το ζάρι δείξει 3 ή 4 ενώνουμε το σημείο Σ με την κορυφή Β και κατασκευάζουμε το μέσο Σ1 του ευθυγράμμου τμήματος ΣΒ Αν το ζάρι δείξει 5 ή 6 ενώνουμε το σημείο Σ με την κορυφή Γ και κατασκευάζουμε το μέσο Σ1 του ευθυγράμμου τμήματος ΣΓ Με τους ίδιους κανόνες ρίχνουμε ξανά το ζάρι (απόλυτη τυχαιότητα) και ορίζουμε το σημείο Σ2 ξεκινώντας από το σημείο Σ1 στη θέση του Σ. Με τον ίδιο τρόπο σχηματίζουμε τα σημεία Σ2,Σ3,Σ4,Σ5,… Πως θα είναι διασκορπισμένα τα σημεία αυτά στο επίπεδο του τριγώνου; Η τυχαιότητα την οποία επιβάλλει το ρίξιμο του ζαριού κάθε φορά μας οδηγεί στη διαίσθηση ότι τα σημεία θα αποτελούν ένα τυχαίο και χαώδες σύνολο σημείων διαφορετικό για κάθε παρτίδα. Κι’ όμως μετά από 30.000 ριξίματα καταγράφεται από τα σημεία με απόλυτη σαφήνεια το σύνολο fractal του sierpinnski. Η παραγωγή τάξης από το χάος στο παιχνίδι είναι μεμονωμένο φαινόμενο ή ο κανόνας;
  22. 22. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 21 Τελικά τα περίεργα αυτά αντικείμενα είναι απλώς ωραία κατασκευάσματα ή βρίσκουν και κάποια χρησιμότητα; Ή αλλιώς 9. « η παράλογη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών στις Φυσικές επιστήμες …» E. Wigner νόμπελ Φυσικής 1963 Κατά τη διάρκεια μιας ραδιοφωνικής εκπομπής ακούγεται μερικές φορές ένας ακανόνιστος θόρυβος. Πρόκειται για ηλεκτρονικές ενοχλήσεις που διακόπτουν και μπερδεύουν τη ροή των δεδομένων σε τηλεφωνικές γραμμές. Η Αμερικάνικη εταιρεία τηλεπικοινωνιών ανέθεσε στο μαθηματικό τμήμα ερευνών της να εξετάσει το πρόβλημα αυτό. Το τμήμα μαθηματικών ερευνών με τη σειρά προσκάλεσε τον διάσημο Μαθηματικό Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) να ηγηθεί της ερευνητικής ομάδας. Κοιτάζοντας τη μορφή των παρεμβολών όταν τα δεδομένα μεταβιβάζονται ηλεκτρονικά , ο Mandelbrot παρατήρησε ότι τα λάθη εμφανίζονται ομαδοποιημένα. Εξετάζοντας την ομαδοποίηση αυτή ανακάλυψε ότι κάθε ομάδα ήταν διακοπτόμενη. Το κάθε διακοπτόμενο μέρος και τα αντίστοιχα κενά τους είχαν παρόμοια δομή. Υπήρχε δηλαδή μια μορφή αυτό-ομοιότητας . Το καλύτερο μαθηματικό μοντέλο για αυτές της ομάδες ήταν το σύνολο Cantor. σύνολο Cantor θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1 Αποσπούμε το 1/3 από το μέσο του Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή στα δύο τμήματα που απομένουν Το σχήμα αυτό έχει κλασματική διάσταση.
  23. 23. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 22 Διότι : Βήμα Σχήμα Μονάδα Zoom(χ) Βήματα(ψ) Μήκος 1ο 1 1 1 1 2ο 1/3 3 2 2/3 3ο 1/9 9 4 4/9 4ο 1/27 27 8 8/27 5ο … … … … 6ο … … … … νο … 1/3ν-1 3ν-1 2ν-1 2ν-1 /3ν-1 Η διάστασή του είναι : 1 1 2 (3 )k k x a , άρα α=1 και 1 1 ln2 2 (3 ) 2 3 0,6309 ln3 k k k Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε και αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αναφέραμε στο 6ο μέρος της εργασίας. Δηλαδή, αν η μονάδα μέτρησης είναι μ=1 τότε το μήκος είναι Μ, αν η μονάδα μέτρησης γίνει μ’=1/3μ τότε χωρίζεται το τμήμα σε δύο μικρότερα. Άρα η διάσταση του σχήματος είναι ln 2 0,6309... 1 ln( ) 1 3 D Οι φυσικοί και άλλοι ερευνητές άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι πολλά ακατανόητα πειραματικά αποτελέσματα στην πραγματικότητα αντικατοπτρίζουν διαστάσεις κλασματικών γεωμετρικών αντικειμένων. Για παράδειγμα η σχέση ανάμεσα στην ένταση ηχητικών που διαφεύγουν από μία μεταλλική επιφάνεια και τη συχνότητα των κυμάτων. Αρχικά η θεωρία προέβλεπε ότι η ένταση πρέπει να είναι ανάλογη με το τετράγωνο της συχνότητας. Όμως σε πολλά πειράματα οι εκθέτες που εκφράζουν την αναλογία είναι αριθμοί σαν τον 2,79 αντί για ακεραίους.
  24. 24. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 23 Η δουλειά του ερευνητή είναι να βρει το κατάλληλο μοντέλο που πρέπει να είναι απλό ώστε να μπορεί να μελετηθεί μαθηματικά αλλά να είναι ρεαλιστικό ώστε να αποδίδει το φαινόμενο που μοντελοποιεί. Η έννοια της κλασματικής διάστασης αρχίζει να βρίσκει εφαρμογή πέρα από την ομορφιά που έτσι και αλλιώς εκφράζει μέσα από τα σχήματα που παράγονται. 10. Τα Fractals στην ερμηνεία των φυσικών φαινομένων Τα πειραματικά δεδομένα που αναφέρονται στη διάδοση του ηλεκτρικού ρεύματος διαμέσου αγωγών μπορούν να ερμηνευθούν καλύτερα αν το μοντέλο των αγωγών έχει μορφή fractal σχήματος. Η κεραία εκπομπής ραδιοσυχνοτήτων είναι αποτελεσματικότερη αν σχεδιαστεί με τη βοήθεια ενός fractal σχήματος αντί του κλασικού σχήματος μαιάνδρου.
  25. 25. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 24 Η κεραία «Μονόπολο του Sierpinski» Η γεωμετρία της παρουσιάζει πέντε διαφορετικά υποτμήματα, πανομοιότυπα, το κάθε ένα σε έναν διαφορετικό κύκλο. Η κεραία αυτή έχει το πλεονέκτημα να συντονίζεται σε πέντε δυνατές μπάντες συχνοτήτων. Στο δεξιό μέρος της εικόνας παρουσιάζεται μία χρονοσειρά με χαρακτηριστικά fractal. Πρόκειται για την καρδιακή και αναπνευστική συχνότητα, οι οποίες περιέχουν διακυμάνσεις σε διαφορετικές χρονικές κλίμακες, και διαθέτουν στατιστικές ιδιότητες που διέπονται από το φαινόμενο της αυτό-ομοιότητας. (Απόσπασμα από την αναφορά του Goldberger Al. Non-linear dynamics for clinicians : chaos theory, fractals, and complexity at the bedsid. Lancet 1996) Η δημιουργία εικόνων στον υπολογιστή Τα περίεργα κατασκευάσματα που αντιμετωπίσαμε προηγουμένως μας προσφέρουν έναν αποτελεσματικό τρόπο σχεδιασμού φυσικών αντικειμένων στην οθόνη του υπολογιστή. Για παράδειγμα ο σχεδιασμός ενός κλασματικού βουνού μπορεί να αρχίσει με ένα δίκτυο τριγώνων και να συνεχιστεί δημιουργώντας πλέγματα καταλήγοντας σε μία ακανόνιστη επιφάνεια που να προσομοιάζει σε ένα βουνό. Το πλέγμα αυτό ξεκινά από ένα τρίγωνο. Ο υπολογιστής προγραμματίζεται να βρίσκει τα μέσα των πλευρών και να τα μετατοπίζει κατά μία απόσταση που καθορίζεται με τυχαίο τρόπο.
  26. 26. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 25 Η ένωση των μετατοπισμένων σημείων και των κορυφών του τριγώνου δημιουργεί ένα νέο σχήμα που αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα Η διαδικασία εφαρμόζεται στο κάθε ένα από τα τέσσερα αυτά τρίγωνα δημιουργώντας 16 τρίγωνα που με τη σειρά τους δημιουργούν ένα σχήμα με 64 τρίγωνα κ.τ.λ. Ενώ ο αλγόριθμος που εφαρμόζουμε για τη δημιουργία των τριγώνων είναι αρκετά απλός το αποτέλεσμα μετά από μερικά βήματα είναι μία πολύπλοκη πολυγωνική επιφάνεια, όπου με πρόσθεση χρωμάτων και σκιάς μετατρέπει το τελικά σχήμα σε ένα ρεαλιστικό ομοίωμα ενός βουνού. 11. Τα Fractals στην τέχνη Στα διακοσμητικά μοτίβα
  27. 27. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 26 Στην αρχιτεκτονική Ο Charles Jencks στην αρχιτεκτονική τοπίου λέει ότι επηρεάζεται από τα fractals, την γεννητική και την θεωρία τους χάους.
  28. 28. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 27 Ο Michael Batty (καθηγητής Χωρικής Ανάλυσης και Σχεδιασμού στο Πανεπιστήμιο του Λονδίνου) είναι πρωτοπόρος σε αυτό που λέμε “fractal πόλεις” οι οποίες σύνφωνα με τις πρόσφατες αστικές αναλύσεις ανήκουν στο μοντέλο των χαοτικών πόλεων. Στην γλυπτική
  29. 29. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 28 Στην ζωγραφική
  30. 30. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 29 Ένας Ολλανδός ζωγράφος – λιθογράφος – ξυλογράφος ο Maurits Cornelis Escher στις αρχές του 20 αιώνα άρχισε να κατασκευάζει γραφήματα ανθρώπων – ζώων – κτηρίων . έξω από τα συνηθισμένα πλαίσια του ρεαλισμού ή ακόμα και της αφαιρετικής απεικόνισης που όμως απέδιδε λογικά τη πραγματικότητα. Οι κατασκευές του Escher δημιουργούν την ψευδαίσθηση του άπειρου μέσα από μία λογική ατελείωτης συνεχούς κάλυψης του καμβά με πανομοιότυπα σχήματα. Η ιδιαιτερότητα των σχεδίων του οφείλεται στην επιρροή που δέχτηκε από τα μαθηματικά - με τα οποία παραδόξως δεν τα πήγε ποτέ καλά στο σχολείο. Παρατηρείστε τα παρακάτω σχέδια, αναγνωρίζετε fractal σύνολα, υπάρχει στα σχέδια του το στοιχείο της αυτό ομοιότητας;
  31. 31. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 30 Σας προτρέπω να αναζητήσετε στο google οποιαδήποτε από τις επιστήμες ή τέχνες που σας ενδιαφέρουν αρχιτεκτονική μαθηματικά φυσική πολεοδομία γλυπτική ζωγραφική πολιτική οικονομία θεολογία βιολογία χημεία οτιδήποτε αρκεί να πληκτρολογήσετε και την φράση fractal . Θα εντυπωσιαστείτε από την πληθώρα των πληροφοριών αλλά και των εφαρμογών των γεωμετρικών αυτών σχημάτων στις επιστήμες και στις τέχνες. Για το τέλος σας προτρέπω επίσης να παρακολουθήσετε ένα video διάρκειας 4-5 λεπτών όπου ο πατέρας των fractals Benoît Mandelbrot θυμάται …
  32. 32. FRACTALS Η άλλη Γεωμετρία … Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 31 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ivars Peterson (1989) Ταξίδι στο κόσμο των μαθηματικών, εκδόσεις Freeman- Γιαλλελής – Μανωλάκης Edwin Abbott (1885) Flatland a romance of many dimensions, εκδόσεις Boston Roberts Brothers Περιοδικό Focus Μάιος 2012 Περιοδικό Science Illustrated Σεπτέμβριος 2010 Richard Mankiewicz (2002) Η ιστορία των μαθηματικών, εκδόσεις Αλεξάνδρεια M.C. Escher (2004) the graphic work, έκδοση Μουσείο Ηρακλειδών Robert Osserman (1998) Η ποίηση του σύμπαντος – μία μαθηματική εξερεύνηση του κόσμου, εκδόσεις Κάτοπτρο Ian Stewart (2002) Φλάτερλαντ η περιπέτεια των πολλών διαστάσεων Wikipedia – ηλεκτρονική on the cloud εγκυκλοπαίδεια Ορφανόπουλος Γιώργος (2012) Fractal μέτρο τάξης και αταξίας στον χώρο – Παρουσίαση.

×