Ανδρέας Λύκος

1. Το Στομάχιον του Αρχιμήδη:
παιχνίδι παζλ ή πρόβλημα
Συνδυαστικής Ανάλυσης;
Ανδρέας Λύκος
Ιστορίες Αγνώστων – Πόρος 2023
Παρασκευή 7 Ιουλίου

2. ένα παιχνίδι με επίπεδα σχήματα
Στομάχιον…

3. Ποια «αντικείμενα» μπορώ να κατασκευάσω;
• μια περικεφαλαία
• μια χήνα που πετάει
• έναν πύργο
• μια κολόνα
• έναν ελέφαντα
• ένα αγριογούρουνο
• ένα σκυλί που γαβγίζει
• έναν κυνηγό που παραμονεύει
• έναν αρματωμένο πολεμιστή
Αυσόνιος (310 – 395 μ. Χ.)
Μπορεί να έφτιαξε αυτό το παιχνίδι ο Αρχιμήδης για να
ενεργοποιήσει τη φαντασία των μαθητών του;

4. 14 σχήματα άπειρα «αντικείμενα»
Ο Marius Victorinus στο Grammatici Latini συγκρίνει την πολυµορφία των
ποιητικών µορφών που προκύπτουν από εννέα ποιητικά µέτρα µε τις
αναρίθµητες µορφές που προκύπτουν από το κουτί του Αρχιµήδη το οποίο
αποτελείται από 14 ελεφάντινα ελάσµατα.
(Σταµάτης, 1970, τόµος Α, µέρος Α, µαρτυρία 244)

5. Πώς έμαθαν οι σύγχρονοι ιστορικοί της επιστήμης για το Στομάχιον;
 Αραβικό χειρόγραφο: μεταφράστηκε στα γερμανικά και εκδόθηκε από τον Suter το 1899
 Παλίμψηστο του Αρχιμήδη (Kώδικας C): «διαβάστηκε» από τον Heiberg to 1906

6. Μια διαφορετική προσέγγιση
«Σχεδιάζουµε ένα τετράγωνο, το ABGD. ∆ιχοτοµούµε
την BG στο Ε, φέρνουµε την ΕΖ κάθετη στη BG,
τραβάµε τις διαγωνίους AG, BZ και ZG. ∆ιχοτοµούµε
οµοίως την ΒΕ στο Η, και φέρνουµε την ΗΤ κάθετη
στην ΒΕ. Τοποθετούµε τον χάρακα στο Η ώστε να
διέρχεται από το Α και φέρνουµε την ΗΚ.
∆ιχοτοµούµε την ΑL στο Μ και φέρνουµε τη ΒΜ. Έτσι
το ορθογώνιο ΑΒΕΖ είναι χωρισµένο σε εφτά
κοµµάτια.
Κατόπιν διχοτοµούµε την GD στο Ν, επίσης την ZG
στο C. Τραβάµε την EC. Τοποθετούµε το χάρακα στα
B, C και στην ευθεία αυτή ορίζεται η CO. Τραβάµε
επίσης την CN, οπότε και το ορθογώνιο ZEGD είναι
χωρισµένο σε εφτά κοµµάτια, αλλά µε άλλο τρόπο
από το προηγούµενο και ολόκληρο το τετράγωνο σε
14 κοµµάτια.»
(κείμενο από το αραβικό χειρόγραφο)

7. Μια διαφορετική προσέγγιση
«Σχεδιάζουµε ένα τετράγωνο, το ABGD. ∆ιχοτοµούµε
την BG στο Ε, φέρνουµε την ΕΖ κάθετη στη BG,
τραβάµε τις διαγωνίους AG, BZ και ZG. ∆ιχοτοµούµε
οµοίως την ΒΕ στο Η, και φέρνουµε την ΗΤ κάθετη
στην ΒΕ. Τοποθετούµε τον χάρακα στο Η ώστε να
διέρχεται από το Α και φέρνουµε την ΗΚ.
∆ιχοτοµούµε την ΑL στο Μ και φέρνουµε τη ΒΜ. Έτσι
το ορθογώνιο ΑΒΕΖ είναι χωρισµένο σε εφτά
κοµµάτια.
Κατόπιν διχοτοµούµε την GD στο Ν, επίσης την ZG
στο C. Τραβάµε την EC. Τοποθετούµε το χάρακα στα
B, C και στην ευθεία αυτή ορίζεται η CO. Τραβάµε
επίσης την CN, οπότε και το ορθογώνιο ZEGD είναι
χωρισµένο σε εφτά κοµµάτια, αλλά µε άλλο τρόπο
από το προηγούµενο και ολόκληρο το τετράγωνο σε
14 κοµµάτια.»
(κείμενο από το αραβικό χειρόγραφο)

8. Στομάχιον, Οστομάχιον, Συντεμάχιον ή
Αρχιμήδειο Κουτί;
Οστομάχιον = οστούν και μάχη
Αυσόνιος (310 – 395 μ. Χ.)
η μάχη των οστών
«It comes from stomach turner. If you get
involved with it, that's what happens.»
H. Suter (1848 – 1922)
Λατινικές πηγές: loculus Archimedius (Αρχιµήδειο κουτί)
Συντεμάχιον: η φύση του παιχνιδιού είναι
ο συνδυασµός κοµµατιών (τεµαχίων)
Persi Diaconis (1945 - …)
Ελληνικό κείμενο (Κώδικας C): Στομάχιον

9. Κώδικας C… 2,5 αιώνες πριν το Παλίμψηστο
τέλη 10ου αιώνα: ένας γραφέας αντιγράφει (από παλαιότερο
χειρόγραφο) σε περγαμηνή κείμενα του Αρχιμήδη
• Περί επιπέδων ισορροπιών (τελευταίο μέρος)
• Περί οχουμένων
• Μέθοδος
• Περί ελίκων
• Περί σφαίρας και κυλίνδρου
• Κύκλου μέτρησις
• Στομάχιον (ένα μόνο δίφυλλο)
Άλλα χειρόγραφα που επιβίωσαν στη
2η χιλιετηρίδα και περιείχαν έργα του
Αρχιμήδη…
 Κώδικας Α (αγνοείται από το 1564)
 Κώδικας Β (αγνοείται από το 1311)

10. Οδηγίες κατασκευής ενός παλίμψηστου ή… πώς να καταστρέψετε τον Κώδικα C
Χρόνος: 1229 μ. Χ.
Τόπος: Σκήτη Αγίου Σάββα (Παλαιστίνη)
Βήμα 1ο: Ο γραφέας-μοναχός παίρνει τον Κώδικα C από
το ράφι, αφαιρεί τα εξώφυλλα και κόβει τις ραφές μεταξύ
των δεκαεξασέλιδων.
Βήμα 2ο: Σβήνει μ’ ένα σφουγγάρι που περιέχει κάποιο
φυσικό οξύ (π.χ. χυμό πορτοκαλιού) το κείμενο. Καρφώνει
τα υγρά δίφυλλα σε πινακίδες και τα αφήνει να στεγνώσουν
και να συρρικνωθούν. Μόλις στεγνώσουν τα δίφυλλα τα
τρίβει με ένα γυαλόχαρτο.
Βήμα 3ο: Κόβει το κάθε δίφυλλο στην τσάκιση
δημιουργώντας δύο ανεξάρτητα φύλλα. Στρέφει το κάθε
φύλλο κατά 90 μοίρες και τα διπλώνει στη μέση
δημιουργώντας δύο νέα δίφυλλα.
Βήμα 4ο: Γράφει στο κάθε νέο φύλλο (που έχει το μισό
μέγεθος από το αρχικό) τις προσευχές.

11. Πώς θα διαβάσω την πρόταση 14 της Μεθόδου;
• Στρέφω το φύλλο 110 του παλίμψηστου κατά 90 μοίρες και
διαβάζω ανάμεσα στις προσευχές το σβησμένο κείμενο.
Σταματώ το διάβασμα μόλις διαπιστώνω ότι το κείμενο
κρύβεται μέσα στη ράχη.
• Ανακαλύπτω ότι εμφανίζεται ξανά στο πίσω μέρος του φύλλου
105. Διαβάζω μερικές σειρές.
• Γυρνάω το φύλλο κατά 180 μοίρες και διαβάζω το μπροστά
μέρος του φύλλου 110.
• Το στρέφω ξανά κατά 180 μοίρες και διαβάζω το μπροστά
μέρος του φύλλου 105.
• Συνεχίζω πηγαίνοντας στο φύλλο 158…

12. Η ιστορία του Παλίμψηστου του Αρχιμήδη: Κωνσταντινούπολη
Αρχές του 19ου αιώνα: μεταφέρεται στο Μετόχι του Παναγίου Τάφου της Ιερουσαλήμ στην Κωνσταντινούπολη
Konstantin von
Tischendorf
(1815 – 1874)
1846: αναγνωρίζει ότι πρόκειται για
παλίμψηστο που περιέχει μαθηματικά
σκίζει ένα δίφυλλο (σήμερα
βρίσκεται στη βιβλιοθήκη του
Πανεπιστημίου του Κέμπριτζ)
Αθανάσιος
Παπαδόπουλος-
Κεραμεύς
(1856 – 1912)
1899: αρχειοθετεί το χειρόγραφο 355,
καταγράφει και ένα μικρό μέρος του
σβησμένου κειμένου πάνω στο οποίο
είχαν γραφεί οι προσευχές
Johan Ludwig Heiberg
(1854 – 1928)
1906: αναγνωρίζει ότι το σβησμένο
κείμενο είναι έργο του Αρχιμήδη
και κρατάει εκτενείς σημειώσεις
δημοσιεύει τη Μέθοδο σε
επιστημονικό περιοδικό

13. Η ιστορία του Παλίμψηστου του Αρχιμήδη: Παρίσι
1921-1922: ήττα της Ελλάδας στον
ελλληνοτουρκικό πόλεμο
1925: ο Πατριάρχης απελαύνεται από τον
Μουσταφά Κεμάλ (Ατατούρκ)
τα βιβλία του Μετοχίου μεταφέρονται κρυφά στην Αθήνα
Το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη
περνάει στη κατοχή του Μαρί
Λουί Σιριέξ
1960+: η Ανν Γκερσάν προσπαθεί να μάθει
τι ακριβώς περιέχει το βιβλίο που έχει
κληρονομήσει
1971: πηγαίνει το χειρόγραφο στο ίδρυμα
Μαλέ για να συντηρηθεί με σκοπό να μπορέσει
να το πουλήσει

14. Η ιστορία του Παλίμψηστου του Αρχιμήδη: Νέα Υόρκη
Οκτώβριος 1998: Το χειρόγραφο βγαίνει
σε πλειστηριασμό από τον οίκο Christie’s
στη Νέα Υόρκη
τιμή πώλησης: 2.200.000 δολάρια
«Ο αγοραστής είναι
Αμερικανός πολίτης, αλλά
δεν είναι ο Μπιλ Γκέιτς»

15. Η ιστορία του Παλίμψηστου του Αρχιμήδη: Μουσείο Τέχνης Walters (Βαλτιμόρη)
William Noel: «… όταν το άνοιξα διαπίστωσα
ότι οι σελίδες ήταν γεμάτες καφετιούς
λεκέδες. Κυματιστές γραμμές που είχαν
προκληθεί από το νερό είχαν σχηματιστεί
αντικριστά στις άκρες των σελίδων. Οι σελίδες
ήταν πιο ανοιχτόχρωμες προς το κέντρο τους
παρά κοντά στα περιθώρια όπου οι λεκέδες
ήταν πιο βαθιοί. Στα περιθώρια οι σελίδες
ήταν κατάμαυρες σαν να είχαν καεί. Η
μονοτονία των σελίδων έσπαγε μόνο από τα
κόκκινα κεφαλαία γράμματα στην αρχή των
παραγράφων και ενίοτε από πορφυρά ίχνη
μούχλας.»

16. Η ιστορία του Παλίμψηστου του Αρχιμήδη: Μουσείο Τέχνης Walters (Βαλτιμόρη)
 Συντηρητές χειρογράφων
 Μελετητές του έργου του Αρχιμήδη
 Τεχνικοί της απεικόνισης
1999 – 2003: διαβάζεται
ένα μεγάλο μέρος του
κώδικα C
2008: εκδίδεται το κείμενο
που αποκαλύφθηκε (περίπου
95% του κώδικα C)

18. φύλλο 177 (πίσω όψη) φύλλο 177 (πίσω όψη) με χρήση της
τεχνολογίας του ψευδοχρώματος

19. Οι (ελάχιστες) γνώσεις μας για το
Στομάχιον τον Σεπτέμβριο του 2003
Παζλ 14 κομματιών διαφόρων
σχημάτων τα οποία συνδυάζονται για
να κατασκευαστούν προκαθορισμένα
σχήματα μεταξύ των οποίων και ένα
τετράγωνο.
Πηγές
 αραβικό χειρόγραφο
 δίφυλλο που περιέχεται στο Παλίμψηστο

20. «Επειδή το ονοµαζόµενο Στοµάχιον έχει µια πλούσια θεωρία γύρω από τις µεταθέσεις των
σχηµάτων που το απαρτίζουν, θεώρησα αναγκαίο να εκθέσω σε ποια µέρη διαιρείται το όλον σχήµα
και κάθε ένα από αυτά από ποιόν αριθµό µετριέται. Επιπλέον θέλω να βεβαιώσω ποιες γωνίες
λαµβανόµενες ανά δυο σχηµατίζουν µια ευθεία γωνία (δυο ορθές), ώστε να ανακαλυφθούν οι τρόποι
με τους οποίους συνταιριάζονται τα παραγόµενα σχήµατα, αν βρίσκονται σε ευθεία ή αποκλίνουν
λίγο από την ευθεία ώστε να µην φαίνεται (η απόκλιση). Υπάρχει όχι µικρό πλήθος από αυτά τα
σχήµατα, διότι είναι δυνατό να αλλάξουν κάποια από αυτά παίρνοντας τη θέση ενός άλλου σχήµατος
µε το οποίο είναι ίσα και ισογώνια. Ενίοτε δε και από δυο σχήµατα τα οποία µαζί είναι ίσα και όµοια
µε ένα άλλο σχήµα, ή και δυο σχήµατα τα οποία µαζί είναι ίσα και όµοια µε δυο άλλα σχήµατα,
σχηµατίζονται περισσότερα σχήµατα εκ των µεταθέσεων τους.»
Δύο σημαντικές πληροφορίες σε ένα (κατά τα άλλα) ασαφές κείμενο…
Ο Αρχιμήδης ενδιαφέρεται…
1. για τις μετρήσεις τμημάτων και γωνιών
2. για τους διάφορους τρόπους που μπορούν τα σχήματα να συνδυαστούν

21. William Noel κατά τη μελέτη του δίφυλλου:
… και αν δεν υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να
σχηματιστεί το τετράγωνο από τα 14 κομμάτια;
Μπορεί ο Αρχιμήδης να
ασχολήθηκε με τη Συνδυαστική;
Βαρέθηκα τα διαγράμματα.
Ας ψάξω να βρω με πόσους
τρόπους μπορώ να φτιάξω
ένα τετράγωνο με αυτά τα 14
κομμάτια!

22. Εναλλαγή του ΖΒΕ (που αποτελείται από 4 κομμάτια)
με το ΖDG (που αποτελείται από 3 κομμάτια)
Στροφή του ΑΒG (που αποτελείται από 7
κομμάτια) γύρω από τον άξονα FΒ
Μπορούμε να μετρήσουμε όλες τις δυνατές
αντικαταστάσεις και στροφές και στη συνέχεια
να τις πολλαπλασιάσουμε, για να βρούμε
όλους τους δυνατούς συνδυασμούς;

23. Αρχική διαπίστωση: Οι μαθηματικές μέθοδοι
φαίνεται να μην αρκούν!
Επόμενο βήμα… ας θέσουμε το πρόβλημα
στους επιστήμονες της πληροφορικής!
Ο Bill Cutler καταφέρνει να ορίσει
αλγοριθμικά το πρόβλημα και δημιουργεί
το λογισμικό που εξετάζει όλους τους
δυνατούς συνδυασμούς!
Βρίσκει 536 βασικές λύσεις του
προβλήματος!

24. στροφές και ανακλάσεις (4x2=8)
ισότητες σχημάτων (2x2x2=8)
Υπάρχουν 17.152 διαφορετικοί τρόποι
να συνδυαστούν τα 14 κομμάτια για να
δημιουργηθεί τετράγωνο!
Πλήθος λύσεων = βασικές λύσεις x 8 x 8
= 536 x 8 x 8 = 17.152
Κι αν υπάρχει κάποιο λάθος στον αλγόριθμο;

25. Λίγες εβδομάδες αργότερα…
Persi Diaconis, Susan Holmes,
Ron Graham και Fan Chung
Απλοποίηση του προβλήματος:
από το Στομάχιον στο Stomach

26. Απέδειξαν ότι υπάρχει διάταξη των
κομματιών του Stomach ώστε να
σχηματίζονται 4 βασικά τρίγωνα.
Ο πυρήνας αποτελείται από 24
τετράγωνα από αυτά τα 4 βασικά
τρίγωνα.
(η σήμανση καθορίζεται από τη σειρά με την οποία
τοποθετούνται τα βασικά τρίγωνα καθώς πηγαίνουμε
από πάνω προς τα κάτω και το x' υποδηλώνει ότι το
τρίγωνο x έχει υποστεί ανάκλαση)

27. Για κάθε βασικό σχηµατισµό του
πυρήνα υπάρχουν τουλάχιστον 6 και
έως 17 επιµέρους σχηµατισµοί που
αποτελούν την αντίστοιχη συστάδα.
Συνολικά υπάρχουν 242 επιμέρους
σχηματισμοί.
2 επιπλέον σχηματισμοί
(δεν προκύπτουν από καμία συστάδα)
Συνολικά έχουμε:
24 + 242 + 2 = 268
σχηματισμούς

28. Από το STOMACH στο Στοµάχιον
Θα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε µε τον παράγοντα 2 γιατί ένα κοµµάτι του STOMACH
προκύπτει από δυο κοµµάτια του Στοµαχίου.
Άρα: 268 x 2 = 536 σχηματισμοί

29. Ανασύνθεση της δεύτερης (τελευταίας)
παραγράφου της εισαγωγής από το Στομάχιον
«Συνεπώς δεν είναι μικρός ο αριθμός των σχημάτων που
μπορούν να δημιουργηθούν, επειδή είναι δυνατόν με
στροφή να τα μεταφέρουμε σε μια άλλη θέση ενός ίσου
και ισογώνιου σχήματος που μετατίθεται για να
καταλάβει μια άλλη θέση∙ και πάλι, αν δύο σχήματα
ληφθούν μαζί ώστε να είναι ίσα και όμοια προς ένα ενιαίο
σχήμα, και δύο σχήματα αν ληφθούν μαζί ώστε να είναι ίσα
και όμοια προς δύο σχήματα που λαμβάνονται μαζί – τότε,
μέσω της μετατόπισης, πολλά σχήματα συνδυάζονται.»

30. Σάββατο 8 Ιουλίου
18:30

31. Όμιλος Μαθηματικών
Εργασία (αντί για διαγώνισμα τετραμήνου) στη Β΄ Λυκείου
Πολιτιστικό πρόγραμμα (εκδρομή στις Συρακούσες;)

32. Συνδυαστική Ανάλυση
Τα μαθηματικά του απείρου
(μέθοδος της εξάντλησης)
Εφαρμογή μαθηματικών μοντέλων στον
φυσικό κόσμο
(κοχλίας, αρπάγη, αρχή του Αρχιμήδη κ.ά.)
Archimedes Thoughtful
(Domennico Fetti. 1620)

33. ευχαριστώπολύ!
κατεβάστε το
powerpoint που μόλις
παρακολουθήσατε
Ανδρέας Λύκος
Ιστορίες Αγνώστων – Πόρος 2023
Παρασκευή 7 Ιουλίου