Polinomi

1. 1. Упрости израз:
8 7 9
а)(а а ):а 
7 2 8 3 5 2 2 3
17 3 6 4 2 3
(х ) х (х ) х :(х )
б) в) =
х : х х :(х : х )
 

Решење: У овом задатку користиш формуле за степен, тј.
Дакле,
а) а8
· а7
се прво ради и то је а15
, а онда иде а15
:а9
= а15-9
= а6
б) Не заборави, предност има заграда
***********
2. Упрости и израчунај вредност израза:
6 67 3
6 2 22 : 4 32 5 1
а) б) 13 в) 18 +2 18 12 12 =
16 13 5
    
           
   
Решење: У првом примеру морамо прво направити да све има исту основу, тј да све буде 2 на
нешто. Знамо да је
4 = 22
, 32 = 25
, 16 = 24
па пишемо,
 
37 2 57 3 7 6 5 1 5 6
2
4 4 4 4
2 : 2 22 : 4 32 2 : 2 2 2 2 2
= редом рачунамо = = =2 = 4
16 2 2 2 2
  
 
б) Како је код сва три броја исти степен (6), примењујући четврто правило (уоквирено на почетку)
ставићемо у једну заграду сва три броја, па онда све „на 6“
66 6
6
6
6
5 1 5 1
13 13 = скраћујемо све што може ( 5 са 5 и 13 са 13)
13 5 13 5
1 1
= 1 = (+1) = 1
1 1
        
                
        
    
       
    
в) овде ћемо користити формулу за квадрат бинома, тј.   
         
Погледај и видећеш да је наш први члан 18, а други 12, па ће бити
 
n n
nn m n+m n m n-m n m n m n n
n
a a
а а =а а :а =а (а ) =а a b =а b =
b b
  
   
 

 
3 5 2 2 3 15 2 6 15 2 6
36 4 2 3 6 66 2
прво ово рачунам
17 6 11
11
0 0
(х ) х :(х ) х х : х х х : х
в) = како дељење и множење имају исту важност, рачунамо редом
х :(х : х ) х : хх : х
х : х х
х
х х
  
 
  
7 2 8 14 8 22
17 3 14 14
22 14 8
(х ) х x х х
= = разломачка црта замењује дељење, па је
х : х х х
= х = х
 


2.  
22 2 2
18 +2 18 12 12 = 18 12 30 900     
***********
3. Ако је М = 3х2
-2х+5, N = х2
+3х-14, P = - 2 х2
+ х – 17, одреди полином M – N + P и среди га
по опадајућим степенима.
Решење: Овде мораш запамтити да се могу сабирати само слични мономи, тј. они који имају исти
степен х-а. Значи,
3х2
+ 2х НЕ МОЖЕ
3х2
+ 2х2
= (3+2)х2
= 5х2
ОБАВЕЗНО пиши сваки полином у загради, па се тек после ослободи заграде, водећи рачуна да
знак испред заграде утиче на све у загради.
Сети се и,
испред зараде МАЊЕ, настаје МЕЊАЊЕ свих знакова у загради
испред зараде ВИШЕ, заграда се БРИШЕ
M – N + P = (3х2
-2х+5) – (х2
+3х-14) + (- 2 х2
+ х – 17)..................ослобађамо се заграде
= 3х2
-2х+5– х2
-3х+14 - 2 х2
+ х – 17........... одређујем истом бојом шта могу да сабирам
= 3х2
- 2х + 5 – х2
-3х + 14 - 2 х2
+ х – 17 (уместо подвлачења)!
= (3х2
– х2
- 2 х2
) + ( - 2х -3х + х ) + (+ 5 + 14 – 17 )
= 0·х2
– 4х + 2
= – 4х + 2
***********
4. Реши једначину: (6а - 1) + (-3а+5) – (- 4а - 4) = 15.
Решење: Једначину ћеш решавати врло слично претходном задатку, само што ћеш имати да је то
на крају = 15.
Значи, прво се ослобађамо заграде и водимо рачуна где се мења знак
(6а - 1) + (-3а+5) – (- 4а - 4) = 15
6а - 1 -3а +5 + 4а + 4 = 15 смемо да сабирамо само оно што је слично, па је
6а - 1 -3а +5 + 4а + 4 = 15
(6а – 3а + 4а) + (-1 +5 +4) = 15 ЗАПАМТИ да је између ових заграда + увек
7а + 8 = 15
7а = 15 – 8
7а = 7
а = 7 : 7
а = 1
***********
5. Упрости израз:
а) х·(5х2
- 8) =
б) (2х-6)·(-3х+5) =
*в) (3х+1)(х2
-2х+1) – (х+2)х,
*г) (х-3)2
- (х-3)(х+3) и израчунај вредност (пример г) за за х = -1.
Решење: У овим примерима ослобађамо се заграде, али тако што ћемо множити „сваки са
сваким“, или се сети приче – мама даје деци џепарац. Па, на посао...

3. а) 2
х (5х 8)  = х · 5х2
+ х·8 = 5х3
+ 8х крај, даље не може
б) овог пута имамо „маму и тату са двоје деце“
(2х-6)·(-3х+5) = 2х· (-3х) + 2х·(+5) – 6· (-3х) – 6· (+5) = множење има предност, али прво одреди
= - 6х2
+ 10х + 18х - 30 знак!
= - 6х2
+ 28х - 30
В и Г имају * јер су мало тежи и важили су за бонус задатак. И код њих имамо множење „сваки
са сваким“
*в) (3х+1)·(х2
-2х+1) – (х+2)·х = ( 3х·х2
+ 3х·(-2х) + 3х·(+1) + 1· х2
+ 1·(-2х) + 1·(+1) ) – (х· х+2·х)
= ( 3х3
– 6х2
+ 3х + 1х2
– 2х + 1) – ( х2
+ 2х) ослобађамо се заграде
= 3х3
– 6х2
+ 3х + 1х2
– 2х + 1 – х2
- 2х сабирамо сличне (по боји)
= 3х3
– 4х2
- х + 1
*г) (х-3)2
- (х-3)(х+3) и израчунај вредност (пример г) за за х = -1.
Лакше је да гледаш део по део:
(х-3)2
је квадрат бинома, тј. (х-3)2
= х2
– 2·х·3 + 32
= х2
– 6х + 9
(х-3)(х+3) је разлика квадрата, тј. (х-3)(х+3) = х2
– 32
= х2
– 9
Сада ћу све то убацити у задатак, наравно, са заградама:
(х-3)2
- (х-3)(х+3) = (х2
– 6х + 9) – (х2
– 9) и наравно, ослобађамо се заграда
= х2
– 6х + 9 – х2
+ 9
= (х2
– х2
) - 6х + (+ 9 + 9)
= 0· х2
– 6х + 18
= -6х + 18
Тек сада убаци да је х = -1. Биће,
-6х + 18 = -6 · (-1) + 18 = +6 + 18 = 24
************