fbgdfgdh

1. ПРОПОРЦИЈЕ
Размера бројева а и b је, у ствари, њихов количник a : b.
Пример 1: a=8½ b=3⅖
a : b = 8½ : 3⅖ = 17/2 : 17/5 = 17/2 · 5/17 = 5/2 = 5 : 2
ПРОПОРЦИЈА је једнакост две размере:
a : b = c : d
a c
b d
c
d
= k k = 0
a = b · k = b · a · d = b · c
Најважнија особина пропорције:
ПРОИЗВОД СПОЉАШЊИХ ЧЛАНОВА ПРОПОРЦИЈЕ ЈЕДНАК ЈЕ
ПРОИЗВОДУ УНУТРАШЊИХ ЧЛАНОВА

2. ПРОПОРЦИЈЕ
2. Одредити непознати члан х ако је
3 : 2 = (х – 1) : 6
2 · (х – 1) = 3 · 6
2·х + 2·(-1) = 18
2х -2 = 18
2х = 18 + 2
2х = 20
х = 20 : 2
х = 10
1. Ако су три члана пропорције 18,
48 и 27, одреди четврти члан
пропорције
18 : 48 = 27 : х
18 · х = 48 · 27
18 · х = 1296
х = 1296 : 18
х = 72
3. Користећи бројеве 2, 3, 4 и 6
сачинити пропорцију.
2 · 6 = 3 · 4
2 : 3 = 4 : 6
2 : 4 = 3 : 6
6 : 3 = 4 : 2
6 : 4 = 3 : 2
4. Проверити да ли је дата једнакост
пропорција.
132 : 11 = 182 : 14
132 · 14 = 182 · 11
1848 = 2002
Дата једнакост није пропорција.

3. ПРОПОРЦИЈЕ
6. Из услова a : b = 7 : 2 и b : c = 8 : 3
направити продужену пропорцију
а : b : с.
a : b = 7 : 2
b : c = 8 : 3
NZS (2, 8) = 8
a : b = 7 : 2·⁴
a : b = 28 : 8
b : c = 8 : 3
a : b : c = 28 : 8 : 3
5. Из продужене пропорције
a : b : 2 = 9 : 7 : 5
израчунати a и b.
a : b : 2 = 9 : 7 : 5
a b 2
9 7 5
a 2 b 2
9 5 7 5
a · 5 = 9 · 2 b · 5 = 7 · 2
a · 5 = 18 b · 5 = 14
a = 18 : 5 b = 14 : 5
a = 3,6 b = 2,8
7. Одреди непознати члан.
0,5 : 2,5 = 0,2 : у
у · 0,5 = 2,5 · 0,2
у · 0,5 = 0,5
у = 0,5 : 0,5
х = 1

4. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
1. Три колача коштају 450 динара. Колико кошта 7 колача?
Прво постављамо табелу (број колача испод броја колача и цена испод цене):
Колачи Цена
3 колача кошта 450 динара
7 колача кошта х динара
Затим одређујемо врсту зависности (директна или обрнута): Седам је веће од
три, закључујемо да ће нам за више колача сигурно требати и више
динара што значи да је ова зависност директна пропорционалност.
У случају директне пропорционалности постављамо стрелице у истом смеру
(без обзира на смер) и постављамо пропорцију пратећи стрелице.
3 : 7 = 450 : х
3 · х = 7 · 450
3х = 3150
х = 3150 : 3
х = 1050 динара

5. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
2. Када се пуни из 2 идентичне цеви, базен се напуни за 2 дана. За колико
дана би се напунио овај базен са 3 такве цеви?
Прво постављамо табелу (број цеви испод броја цеви и број дана испод броја
дана):
Број цеви Број дана
2 цеви пуне базен за 2 дана
3 цеви пуне базен за х дана
Затим одређујемо врсту зависности (директна или обрнута): Три цеви је више
од две цеви, закључујемо да ће нам са више цеви сигурно требати мање
дана да напунимо базен, што значи да је ова зависност обрнута
пропорционалност.
У случају обрнуте пропорционалности постављамо стрелице у супротним
смеровима (без обзира на смер) и постављамо пропорцију пратећи
стрелице. 2 : 3 = х : 2
3 · х = 2 · 2
х = 4 : 3
х = 4/3 дана = 4/3 · 24 сата = 4·24/3 сата = 32 сата = 1 дан 8 сати

6. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
3. 120 зидара заврше један посао за 16 дана радећи по 6 сати. Колико би
требало зидара да заврше исти посао за 6 дана радећи по 10 сати?
Прво постављамо табелу (број зидара испод броја зидара и време потребно за
рад испод времена):
Број зидара Време рада
120 зидара заврши посао за 16 дана х 6 сати = 96 сати
х зидара заврши посао за 6 дана х 10 сати = 60 сати
Затим одређујемо врсту зависности (директна или обрнута): 96 сати је више
од 60 сати, закључујемо да ће за мање сати рада требати више радника
да заврше исти посао, што значи да је ова зависност обрнута
пропорционалност.
У случају обрнуте пропорционалности постављамо стрелице у супротним
смеровима (без обзира на смер) и постављамо пропорцију пратећи
стрелице. 120 : х = 60 : 96
60 · х = 120 · 96
60х = 11520
х = 11520 : 60 = 192 радника

7. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
4. Од 1,2 метара материјала може се сашити 45 украсниј машни. Колико би
се машни могло направити од 2 метра истог материјала?
Прво постављамо табелу (дужина материјала испод дужине материјала и број
машни које се од тог материјала могу добити испод броја машни):
Дужина платна Број машни
1,2 метра може да се направи 45 машни
2 метра може да се направи х машни
Затим одређујемо врсту зависности (директна или обрнута): 2 метра је више
од 1,2 метра, закључујемо да се од више материјала може направити
више машни да заврше исти посао, што значи да је ова зависност
директна пропорционалност.
У случају обрнуте пропорционалности постављамо стрелице у истим
смеровима (без обзира на смер) и постављамо пропорцију пратећи
стрелице. 1,2 : 2 = 45 : х
1,2 · х = 2 · 45
1,2х = 90
х = 90 : 1,2 = 900 : 12 = 75 машни

8. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
5. Осветљеност свечане сале школе обезбеђује 12 сијалица од 75 W. Колико
сијалица од 100 W може да их замени а да осветљеност остане иста?
Табела (број сијалица испод броја сијалица и снага сијалице испод снаге
сијалица):
Број сијалица Снага сијалице
12 сијалица снаге по 75 W
x сијалица снаге по 100 W
Затим одређујемо врсту зависности (директна или обрнута): 100 W је више
од 75 W, закључујемо да ће сијалице више снаге требати мањи број да
би обезбедиле исту осветљеност, што значи да је ова зависност обрнуто
пропорционална.
У случају обрнуте пропорционалности постављамо стрелице у супротним
смеровима (без обзира на смер) и постављамо пропорцију пратећи
стрелице. х : 12 = 75 : 100
100 · х = 12 · 75
100х = 900
х = 900 : 100 = 9 сијалица

9. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
6. Растојање између два места на карти је 3,7 cm. Колико је растојање у
природи између та два места, ако је размера карте 1 : 200000?
Табела (растојање на карти испод растојања на карти и растојање у природи
испод растојања у природи):
Растојање на карти Растојање у природи
1 cm одговара 200000 cm
3,7 cm одговара х cm
Затим одређујемо врсту зависности (директна или обрнута): 3,7 cm је веће од
1 cm, закључујемо да веће растојање на карти значи и веће растојање у
природи, што значи да је ова зависност директно пропорционална.
У случају обрнуте пропорционалности постављамо стрелице у истим
смеровима (без обзира на смер) и постављамо пропорцију пратећи
стрелице. 1 : 3,7 = 200000 : x
1 · х = 3,7 · 200000
х = 740000cm = 740000 : 100m = 7400m
х = 7,4 km

10. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
7. Један посао може 55 радника да заврши за 80 дана. Међутим, после 8
дана, 15 радника напусти посао. За колико је дана цео посао завршен?
Табела : Број радника Време завршетка посла
55 радника завршава посао за 80 дана
После 8 дана, остаје посао који би ових 55 радника завршили за 72 дана.
Али, пошто је отишло 15 радника остало је њих 40 који треба да заврше тај
исти посао:
Број радника Време завршетка посла
55 радника завршава посао за 72 дана
40 радника завршава посао за х дана
Мање радника завршиће исти посао за више дана - обрнута
пропорционалност (стрелице у супротним смеровима)
40 : 55 = 72 : x
40 · х = 55 · 72
40х = 3960
х = 3960 : 40 = 99 дана

11. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРИМЕНА -
8. Углови четвороугла су 96º, 144º, 36º и 84º. Одреди продужену пропорцију
ових углова
α : β : γ : δ = 96 : 144 : 36 : 84
= 96˸⁶ : 144˸⁶ : 36˸⁶ : 84˸ ⁶
= 16 : 24 : 6 : 14
= 16˸² : 24˸² : 6˸² : 14˸²
= 8 : 12 : 3 : 7
9. Ана и Марко упоређују број својих петица. Ана има 72, а Марко 48.
Одреди у којој размери је број њихових петица.
а – број Аниних петица
m – број Маркових петица
a : m = 72 : 48
= 72˸⁸ : 48˸⁸
= 9 : 6
= 9˸³ : 6˸³
= 3 : 2
: 6
: 2
: 3
: 8

12. ПРОПОРЦИЈЕ
- РАЧУН ПОДЕЛЕ -
1. Број 22 подели на два сабирка који су уразмери 5 : 6.
х : у = 5 : 6 х + у = 22
х у 5k + 6k = 22
5 6 11 k = 22
x = 5k k = 22 : 11
y = 6k k = 2
x = 5 · k = 5 · 2 x = 10
y = 6 · k = 6 · 2 y = 12
2. Два комплементарна угла су у размери 2 : 7. Одреди мере тих углова.
α : β = 2 : 7 α + β = 180º
α = 2k 2k + 7k = 180º
β = 7k 9k = 180º
k = 180º : 9 = 20º
α = 2k = 2 · 20º α = 40º
β = 7k = 7 · 20º β = 140º
k

13. ПРОПОРЦИЈЕ
- РАЧУН ПОДЕЛЕ -
3. Дарко, Марко и Жарко треба да поделе 56 кликера у односу 2 : 2 : 3.
Колико кликера ће добити Марко?
d – број кликера које има Дарко
m – број кликера које има Марко
z – број кликера које има Жарко
d : m : z = 2 : 2 : 3
d m z
2 2 3
d = 2k d + m + z = 56
m = 2k 2k + 2k + 3k = 56
z = 3k 7k = 56
k = 56 : 7 = 8
m = 2 · k
m = 2 · 8
m = 16 кликера
k

14. ПРОПОРЦИЈЕ
- РАЧУН ПОДЕЛЕ -
4. Ана, Бојана и Цеца треба да поделе награду од 377000 динара, сразмерно
броју сати рада на пројекту. Однос Цециног броја уложених сати рада и
Аниних је 5 : 2, а Аниних према Бојаниним сатима је 3 : 4. Колико новца
је добила Ана?
а – новац који има Ана
b – новац који има Бојана
c – новац који има Цеца
c : a = 5 : 2 ⁽˙³ a + b + c = 377000
a : b = 3 : 4 ⁽˙²
c : a = 15 : 6
a : b = 6 : 8
c : a : b = 15 : 6 : 8
c = 15k 6k + 8k + 15k = 377000
a = 6k 29k = 377000
b = 8k k = 377000 : 29
a = 6 · k = 6 · 13000 k = 13000
a = 78000 динара

15. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРОЦЕНТИ -
Проценат (%) је стоти део неке целине.
1
100
Једно цело (или једна целина нечега) увек чини 100% а зависност процента
од неке величине је увек директна пропорција.
Пример 1: Израчунати 5%, 27% и 128% од 5000 динара.
I НАЧИН II НАЧИН
Динари Проценти 5% од 5000 динара =
5000 динара 100% = 5000 · 5/100 = 5000 · 0,05 =
х динара 5% = 250 динара
х : 5000 = 5 : 100 27% од 5000 динара =
х · 100 = 5000 · 5 = 5000 · 0,27 = 1350 динара
х · 100 = 25000 128% од 5000 динара =
х = 25000 : 100 = 5000 · 128/100 = 5000 · 1,28 =
х = 250 динара = 6400 динара
1 % = = 0,01

16. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРОЦЕНТИ -
1. Од 950 ученика једне школе, 40% је постигло одличан успех на крају
школске године, а од њих 15% је са свим петицама. Колико ученика има
све петице?
Прво ћемо одредити
колико ученика је постигло На крају ћемо одредити колико
одличан успех (х). Ученика има све петице (у)
Број ученика Проценат Број ученика Проценат
950 ученика 100% 380 ученика 100%
х ученика 40% у ученика 15%
х : 950 = 40 : 100 у : 380 = 15 : 100
х · 100 = 950 · 40 у · 100 = 380 · 15
х · 100 = 38000 у · 100 = 5700
х = 38000 : 100 у = 5700 : 100
х = 380 одличних ученика у = 57 ученика са свим петицама

17. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРОЦЕНТИ -
2. Цена хаљине је 3200 динара. Колико ће коштати хаљина ако поскупи за
30%?
Цена хаљине Проценат
3200 динара 100% 3200 : х = 100 : 130
х динара 130% х · 100 = 3200 · 130
х · 100 = 416000
х = 416000 : 100
х = 4160 динара
3. Цена кошуље је повећана са 1600 динара на 1800 динара. За колико
процената је поскупела кошуља?
Кошуља је поскупела за 1800 – 1600 = 200 динара, а њена почетна цена је
1600 динара (100%).
Цена кошуље Проценат 200 : 1600 = х : 100
1600 динара 100% х · 1600 = 200 · 100
200 динара х % х = 20000 : 1600 = 12,5%

18. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРОЦЕНТИ -
4. Књига је снижена 10%, а затим за 20% и сада износи 288 динара. Колика
је цена била пре првог снижења?
-10% -20%
Цена књиге Проценат Цена књиге Проценат
х динара 100% у=0,9х динара 100%
у динара 90% 288 динара 80 %
у : х = 90 : 100 288 : 0,9х = 80 : 100
у · 100 = 90 · х 0,9х · 80 = 288 · 100
у = 90х / 100 72 · х = 28800
у = 0,9х х = 28800 : 72
х = 400 динара
х
Почетна
цена
у = 90% од х
Цена после
првог снижења
288 динара
80% од у
Крајња цена

19. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРОЦЕНТИ -
5. Компанија ’’Бебико’’, која се бави производњом дечије хране, произвела је
током прошле године 120 тона хране. Компанија је успела да извезе 15%
укупне производње, тако да је ове године планирано повећање производње
за 30%. Колико је тона хране компанија извезла прошле године?
Цена књиге Проценат х : 120 = 15 : 100
120 тона 100% х · 100 = 120 · 15
х тона 15% х · 100 = 1800
х = 1800 : 100
х = 18 тона
6. Паковање прашка за веш од 8kg кошта 1320 динара. Следеће недеље ће у
понуди бити исти прашак по истој цени, али са масом већом за 20%.
Колико динара је нова цена прашка нижа од старе цене по килограму?
Маса прашка Проценат 8 : x = 100 : 120 a = 1320 : 8 = 165
8 kg 100% х · 100 = 8 · 120 b = 1320 : 9,6 = 137,5
х kg 120% х = 960 : 100 a – b = 165 – 137,5
х = 9,6 kg a – b = 27,5 din/kg

20. ПРОПОРЦИЈЕ
- ПРОЦЕНТИ -
7. У кутији се налазе коцке плаве, црвене и жуте боје. Плаве чине 20%
укупног броја коцки, док су 70% преосталих жуте боје. Колики је укупан
број коцака у кутији, ако у њој има 60 црвених коцки?
х – укупан број коцака у кутији
p – број плавих коцака у кутији
c = 60 – број црвених коцака у кутији
z – број жутих коцака у кутији
Плавих коцака је 20% од укупног броја х: p = 0,2 x
Осталих коцака (црвених и жутих) је 80% од укупног броја х: c + z = 0,8 x
Од тог броја 0,8 х жутих је 70% (0,7·0,8х), а црвених 30% (0,3·0,8х = 60)
0,3 · 0,8 х = 60
0,24 · х = 60
х = 60 : 0,24 = 6000 : 24 х = 250 коцака ИЛИ:
Број коцака Проценат c : 0,8x = 30 : 100
0,8 х 100% 0,8x · 30 = c · 100
с 30% 24 · x = 60 · 100
x = 6000 : 24 x = 250 коцака

21. ПРОПОРЦИЈЕ
8. Андреј треба да напуни базен дужине 3m, ширине 2m и дубине 1,5m. Како
би проценио време потребно за пуњење базена на истој чесми је напунио
балон од 6l за 30s. Пуњење базена започео је у 8 сати ујутру. У колико сати
најкасније треба да затвори воду, да се не би прелила преко ивице базена?
t = ? – време пуњења базена
a = 3m – дужина базена
b = 2m – ширина базена
c = 1,5m – дубина базена
Запремина базена се рачуна као запремина квадра: V = a · b · c
V = 3 · 2 · 1,5 = 9 m³
Ако је 1 l = 1 dm³ запреминa ће бити V = 9·1000dm³ = 9000dm³ = 9000l
Запремина Време пуњења 6 : 9000 = 30 : t
6 l 30 s 6 · t = 9000 · 30
9000 l t s t = 270000 : 6
t = 45000 s = 45000 : 3600 h = 12,5 h
Воду треба затворити најкасније у 20.30 h (8 + 12,5 = 20,5 h)