Подударност троуглова, ставови подударности

1. Подударност
троуглова

2. Да ли си се у детињству играо/играла са
оваквом играчком? Циљ је сваку од датих
фигура убацити у одговарајући отвор кутије.
Пример: Са ког места је из
дате дрвене табле исечен сваки
од ових троуглова?
1 – C
2 - B
3 - D
4 - A

3. Две фигуре су подударне ако се померањем без
деформација могу довести у положај потпуног
поклапања.
Ако су фигуре F и F1 подударне, то означавамо
са F≅F1 (читамо „ еф подударно са еф један”).
Подударност, као однос међу геометријским
фигурама, поседује следеће особине:
* Свака фигура је подударна сама себи.
F≅F
* Ако је F≅F1, онда је и F1≅ F.
* Ако је F≅F1 и F1≅F2, онда је и F≅F2.

4. Дефиниција: Троугао ABC је подударан
троуглу A1B1C1, у ознаци ABC≅ A1B1C1, ако се
неким померањем без деформација могу
довести у положај потпуног преклапања.
Из ове дефиниције следе јако битни
закључци...

5. Ако су троуглови ABC и A1B1C1 подударни,
тада је свака страница једног троугла једнака
одговарајућој страници другог троугла и
сваки угао једног троугла једнак
одговарајућем углу другог троугла.
1аa =
1bb =
1cc =
1αα =
1ββ =
1γγ =
и⇒∆≅∆ 111 CBAABC

6. Ако два троугла ABC и A1B1C1 имају једнаке
одговарајуће странице и једнаке одговарајуће
углове, тада су они подударни.
1аa =
1bb =
1cc =
1αα =
1ββ =
1γγ =
и 111 CBAABC ∆≅∆⇒

7. Пример 1: Некa је права p(C,S) оса симетрије
једнакокраког ΔABC. Знамо да је она симетрала
основице и симетрала угла при врху овог
троугла. Посматрајмо ΔASC и ΔBSC:
AC = BC (једнакокраки троугао)
АS = BS (CS je симетрала дужи AB)
CS = CS (заједничка страница)
CAS = CBS (углови на основици)
АSC = BSC (=90º)
АCS = BCS (CS је симетрала
угла при врху)
⇒ΔASC≅ΔBSC
A
C
BS

8. Пример 2: Некa је дат квадрат ABCD. Доказати
да је ΔАBC подударан ΔACD.
AB = CD (странице квадрата)
BC = AD (странице квадрата)
АC = АC (заједничка страница)
BAC = ACD (=45º)
BCA = CAD (=45º)
АBC = CDA (=90º)
⇒ΔABC≅ΔACD
A
C
B
D
45º
45º
45º
45º
•
•

9. Ставови подударности
троуглова

10. На срећу, да бисмо доказали да су два троугла
подударна, не морамо да утврђујемо да ли су
све странице и сви одговарајући углови
међусобно једнаки, већ је, као што ћемо видети,
довољно да проверимо једнакост само неких
елемената троугла. Ово нам омогућавају
такозвани ставови подударности троуглова.
Постоје четири става подударности: СУС, УСУ,
ССС и ССУ.

11. 1α
Став страница-угао-страница (СУС):
Ако два троугла имају једнаке по две
странице и њима захваћене углове, онда су
ти троуглови подударни.
A
C
β
аb
c
α
γ
B A1
C1
1β
аb
c
1γ
B1

12. Решење: Посматрајмо ΔАCS и ΔBDS.
AS = SB (S je средиште дужи AC)
CS = SD (S је средиште дужи BD)
АSC = BSD (унакрсни углови)
B
Пример 1: Ако дужи AB и CD имају заједничко
средиште S, тада су дужи AC и BD једнаке.
Доказати.
A
C
D S
⇒ΔACS≅ΔBDS
⇒AC=BD
СУС

13. Решење: Посматрајмо ΔАBC и ΔABD.
AB = AB (заједничка страница)
BC = AD (странице квадрата)
АBC = BAD (=90º)
B
Пример 2: Доказати да су дијагонале квадрата
међусобно једнаке.
⇒ΔABC≅ΔABD
⇒AC=BD
СУС
CD
А

14. 1β1α
Став угао-страница-угао (УСУ):
Ако два троугла имају једнаку по једну
страницу и једнаке углове који належу на ту
страницу, онда су ти троуглови подударни.
A
C
β
аb
c
α
γ
B A1
C1
аb
c
1γ
B1

15. Решење: Посматрајмо ΔАBO и ΔACO.
AO = AO (заједничка страница)
АОB = AOC (половине угла α)
ОАB = OAC (90º- )
B
Пример 3: Из произвољне тачке А симетрале
угла α повучене су нормале на краке овог угла,
које их секу у тачкама B и C. Доказати да је
AB=AC.
A
C
O
⇒ΔABO≅ΔACO
⇒AB=AC
УСУ
2
α
2
α
•
•
2
1

16. Решење: Посматрајмо ΔАBC и ΔDEF.
AB = DE (= 4cm)
CАB = FDE (=25º)
АBC = DEF (=65º)
D
Пример 4: Доказати да су троуглови ABC и DEF
са слике подударни.
⇒ΔABC≅ΔDEF
УСУ
•
F
E
B
C А
•
25º
25º4cm
4cm

17. 1β1α
Став страница-страница-страница (ССС):
Ако два троугла имају једнаке све три
странице, онда су ти троуглови подударни.
A
C
β
аb
c
α
γ
B A1
C1
аb
c
1γ
B1

18. Решење: Посматрајмо ΔO1O2A и ΔO102B.
O1O2 = O1O2 (заједничка страница)
О1А = O1B (=r1)
О2A = O2B (=r2)
B
Пример 5: Две кружнице k1(O1,r1) и k2(O2,r2)
секу се у тачкама А и B. Доказати да је
ΔО1О2A≅ΔО1О2B.
O1
⇒ΔO1О2А≅ΔO1О2B
ССС
O2
A
r1 r2
k1 k2

19. Решење: Посматрајмо ΔАBD и ΔBCD.
AB = CD (=9cm)
АD = BC (=4cm)
BD = BD (заједничка страница)
D
Пример 6: Доказати да су троуглови ABD и BCD
са слике подударни.
⇒ΔABD≅ΔBCD
ССС
B
C
А
4cm
4cm
9cm
9cm

20. 1β1α
Став страница-страница-угао (ССУ):
Ако два троугла имају једнаке по две
странице и углове наспрам веће странице,
онда су ти троуглови подударни.
A
C
β
аb
c
α
γ
B A1
C1
аb
c
1γ
B1

21. D
Решење: Посматрајмо ΔАBC и ΔDEF.
АCB = DFE (=90º)
AB = DE (услов задатка)
АC = DF (услов задатка)
АB>AC и DE>DF (хипотенуза је највећа
страница правоуглог троугла)
Пример 7: Доказати да су подударна два
троугла која имају једнаке хипотенузе и по
једну катету.
⇒ΔABC≅ΔDEF
ССУ
•
B
AC
•
E
F

22. Решење: Посматрајмо ΔOSA и ΔOSB.
OA = OB (=r)
ОS = OS (заједничка страница)
ОSA = OSB (=90º)
ОА>ОС и ОB>OS
(хипотенуза је највећа
страница правоуглог троугла)
B
Пример 8: На тетиву AB кружнице k(O,r)
повучена је нормала из центра кружнице.
Докажи да нормала дели тетиву на два једнака
дела.
O
⇒ΔOSА≅ΔOSB
⇒AS=BS
ССУ
A
r
k
S
r

23. Неке битне теореме

24. Доказ: Посматрајмо ΔАBD и ΔBCD.
ADB = CBD (углови са паралелним крацима)
АBD = BDC (углови са паралелним крацима)
BD = BD (заједничка страница)
D
Теорема 1: Ако један пар паралелних правих
a и b сече други пар паралелних правих c и
d у тачкама А, B, C и D као на слици, тада
је AB=CD и BC=AD.
⇒
УСУ
B
C
А
ΔABD≅ΔBCD
d
c
b
а
⇒
AB=CD и BC=AD

25. Доказ: Нека је C1 средиште странице AB и праве
p и q које пролазе кроз C1 и паралелне су са BC
и AC. Показаћемо да су троуглови AC1B1 и C1BA1
подударни. C
Дефиниција: Дуж која спаја средишта две
странице троугла назива се средња линија
троугла.
Теорема 2: Средња линија троугла паралелна
је наспрамној страници троугла и два пута је
краћа од ње.
B
C1
А
A1
B1

26. На основу претходне теореме важи B1C=C1A1 и
B1C1=CA1. Дакле, важи АB1=B1C и CA1=А1B, тј.
B1 је средиште странице AC, а C1 је средиште
странице AB, па су А1C1 и B1C1 средње линије
ΔАBC и важи
AC1=C1B (C1 је средиште странице AB)
B1AC1= A1C1B (углови са паралелним крацима)
AC1B1= C1BA1 (углови са паралелним крацима)
C
B
C1
А
A1
B1
⇒
УСУ
⇒ AB1=C1A1 и B1C1=A1BΔAC1B1≅ΔC1BA1
А1C1= АC1
2
B1C1= BC1
2
А1B1= АB1
2

27. C
На основу претходне теореме јасно је да је
сваки троугао својим средњим линијама
подељен на четири међусобно подударна
троугла.
BC1А
A1
B1

28. Доказ: Нека је C1 средиште хипотенузе AB
правоуглог ΔАBC.
Према теореми 2 ако права
p садржи тачку C1 и pllAC
она мора да садржи и
средиште странице BC.
Теорема 3: Симетрале катета било ког
правоуглог троугла секу се у средишту
хипотенузе.
Слично, ако q садржи C1 и qllBC, q је sАC.
Дакле, обе симетрале катета садрже
средиште хипотенузе овог троугла.
•
B
AC
C1 p
q
Како је p⊥BC (јер је pllAC и AC⊥BC), p je sBC.

29. Хвала на пажњи!Хвала на пажњи!
Презентацију израдила Мирјана Митић,Презентацију израдила Мирјана Митић,
наставник математикенаставник математике