Downloaded 108 times
![P R O Š I R E N J E S K U P A R E A L N I H B R O J E V A
Skup realnih brojeva proširuje se sa dva simbola −∞ i +∞ , tako da za svaki
a R∈ važi nejednakost: a−∞ < < +∞.
Za operacije sa ovim simbolima važe pravila ( )a R∈ :
( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ , ( )a + +∞ = +∞ ;
( ) ( )−∞ + −∞ = −∞ , ( )a + −∞ = −∞ .
Za 0a > imamo:
( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ , ( )a⋅ +∞ = +∞ ;
( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = +∞ , ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ , ( )a⋅ −∞ = −∞ .
Izrazi ( ) ( )+∞ − +∞ i
±∞
∞∓
nisu definisani.
I N T E R V A L
Ako su ,a b R∈ takvi da je a b< sledeći podskupovi nazivaju se:
otvoren interval:
( ) { },a b x a x b= < < ,
zatvoren interval:
[ ] { },a b x a x b= ≤ ≤ ,
polu-otvoren interval ili polu-zatvoren interval:
[ ) { },a b x a x b= ≤ < , ( ] { },a b x a x b= < ≤ .
- 7 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-16-320.jpg)
![DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA MA KOG UGLA
Jedinični krug sa centrom u koordinatnom početku naziva se trigonometrijski
krug.
Uopšteni ugao [ ]2 , 0,2kϕ α π α π= + ∈ je ugao čiji je početni krak pozitivni
deo x – ose, a krajnji krak orijentisana duž OA.
Neka je α proizvoljan ugao. Trigonometrijske funkcije ugla α , tj. sinα ,
cosα , tgα i ctgα definišu:
Ordinata tačke A , duž OB predstavlja sinus ugla α , a apscisa, duž OC
predstavlja kosinus ugla α .
- 16 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-25-320.jpg)
![Znak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima:
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE NEGATIVNOG UGLA
( )sin sinα α− = − , ( )cos cosα α− = ,
( )tg tgα α− = − , ( )ctg ctgα α− = − .
sinα , tgα i ctgα su neparne funkcije.
cosα je parna funkcija.
PERIODIČNOST TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
( ) [ ]sin 2 sin , 0,2k k Zα π α α π+ = ∈ ∈ ,
( )cos 2 coskα π α+ = ,
( )tg k tgα π α+ = ,
( )ctg k ctgα π α+ = .
Funkcije sinα i cosα su periodične sa osnovnom periodom 2T π= , a
tgα i ctgα sa osnovnom periodom T π= .
SVOĐENjE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA MA KOG UGLA
NA OŠTAR UGAO
Ako je 2 , 2 2k kα π π α π π= ± = ± trigonometrijska funkcija se ne
menja, a znak funkcije određuje se pomoću trigonometrijskog kruga.
- 17 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-26-320.jpg)
![( ) ( )( )1
sin sin cos cos
2
α β α β α β= − − + ,
( ) ( )( )1
cos cos cos cos
2
α β α β α β= + + − .
Trigonometrijske funkcije: sin , cos , tg , ctgy x y x y x y x= = = = .
Domen funkcija siny x= i cosy x= je skup svih realnih brojeva R , a kodomen
[ ]1,1− . Domen funkcija tgy x= i ctgy x= je , ,
2
x R x k k R
π
π∈ ≠ + ∈ odnosno,
,x R x kπ∈ ≠ , a kodomen je skup svih realnih brojeva R .
Funkcije sin , tg , ctgy x y x y x= = = su neparne, a cosy x= parna.
Funkcije sin , cosy x y x= = su periodične sa periodom 2 ,k k Zπ ∈ , a
tg , ctgy x y x= = sa periodom π .
( ) ( )
( ) ( )
sin 2 sin , cos 2 cos ;
tg tg , ctg ctg .
x k x x k x
x k x x k x
π π
π π
+ = + =
+ = + =
π
2ππ−
siny x=
y
x
2
π
cosy x=
π−
2
π
−
y
x
2
π 3
2
π
2
π
−
π
y tgx=
x
- 19 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-28-320.jpg)
![x
y
-1 1
2
π
2
π
−
arcsiny x=
π
3
2
π
2
π
2π
y ctgx=
• Inverzne trigonometrijske funkcije:
arcsiny x= , arccos , arctg , arcctgy x y x y x= = = .
Za funkciju arcsiny x= domen je [ ]1,1x∈ − , a kodomen je ,
2 2
y
π π⎡ ⎤
∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
;
za arccosy x= domen je [ ]1,1x∈ − , a kodomen je [ ]0,y π∈ ;
za arctgy x= domen je ( ),x∈ −∞ ∞ , a kodomen je ,
2 2
y
π π⎡ ⎤
∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
;
za arcctgy x= domen je ( ),x∈ −∞ ∞ , a kodomen je ( )0,y π∈
- 20 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-29-320.jpg)
![2.
MATRICE
2.1.POJAM MATRICE I OPERACIJE
Matrica je pravougaona šema sa nm× elemenata raspoređenih u m vrsta i n
kolona:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
…
…
21
22221
11211
Matrice se označavaju velikim slovima latinice: A , B , C , ...
Proizvoljni element matrice ija pripada i -toj vrsti i j -toj koloni, pa matricu možemo
označiti kao nmija ×][ .
Za matricu sa m vrsta i n kolona kažemo da ima dimenziju nm× .
Dve matrice [ ]ij m nA a ×= i nmijbB ×= ][ su jednake, tj. A B= ako i samo ako je:
( ), , , 1,2, , ; 1,2, ,ij ija b i j i m j n= ∀ = =… … .
Matrica vrste je matrica kod koje je nmija ×][ 1, 1m n= > , tj.
][][ 112111 nnij aaaa …=×
Matrica kolone je matrica kod koje je 1, 1m n> = , tj.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=×
1
21
11
1][
m
mij
a
a
a
a
- 27 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-36-320.jpg)
![Nula matrica je ona matrica čiji su svi elementi jednaki nula.
Kvadratna matrica je matrica kod koje je broj vrsta jednak broju kolona.
Elementi 11 22, ,..., nna a a leže na glavnoj dijagonali, dok elementi 1 2 1 1, ,...,n n na a a−
pripadaju sporednoj dijagonali kvadratne matrice.
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a elementi na
glavnoj dijagonali nisu svi nula, naziva se dijagonalna matrica.
Jedinična matrica je dijagonalna matrica kod koje je 11 22 1nna a a= = = i
označava se slovom I .
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
…
…
Transponovana matrica matrice nmijaA ×= ][ je matrica dobijena zamenom mesta
svih vrsta odgovarajućim kolonama ili obrnuto.
Obeležava se sa T
A i iznosi [ ]T
ji n mA a ×= .
Primer:
Za matricu
1 2 1
4 2 4
X
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
transponovana matrica matrica je
1 4
2 2
1 4
T
X
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
OPERACIJE SA MATRICAMA
Zbir matrica nmijaA ×= ][ i nmijbB ×= ][ , je matrica nmijcC ×= ][ ako i samo ako
je ( )1,2, , ; 1,2, ,ij ij ija b c i m j n+ = = =… … .
Operacija sabiranja matrica ima sledeće osobine:
A B B A+ = + , komutativnost;
( ) ( )A B C A B C+ + = + + , asocijativnost.
- 28 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-37-320.jpg)
![Zbir matrica različitih dimenzija nije definisan.
Primer:
Sabrati matrice
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
i
1 1 1
0 2 4
2 3 4
B
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Zbir je matrica
2 1 4
4 3 10
9 11 13
A B
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Proizvod broja Rλ ∈ i matrice nmijaA ×= ][ je matrica istih dimenzija oblika:
[ ] [ ] .ij m n ij m nA a aλ λ λ× ×= =
Operacija množenja matrice brojem ima sledeće osobine:
A Aλ λ= , komutativnost;
( ) ( ); , 0A Aαβ α β α β= ≠ , asocijativnost;
( ) A A Aα β α β+ = + , distributivnost s obzirom na zbir brojeva;
( )A B A Bα α α+ = + , distributivnost s obzirom na zbir matrica.
Primer:
Pomnožiti matricu
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
brojem 2λ = .
2 4 6
2 8 10 12
14 16 18
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Proizvod A B⋅ matrica [ ]ik m pA a ×= i [ ]kj p nB b ×= je matrica C , čiji se elementi
ijc formiraju po zakonu:
( )
1
1, , ; 1, , .
p
ij ik kj
k
c a b i m j n
=
= = =∑ … …
- 29 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-38-320.jpg)
![Neka je X tražena matrica, takva da je AX XA= .
Uzmimo da je matrica
a b
X
c d
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
, i dobijamo
1 0 1 0
, .
1 1 1 1
a b a b a b a b b
AX XA
c d a c b d c d c d d
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ = = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Iz uslova da je AX XA= , dobijamo sistem jednačina:
, , ,a a b b b a c c d a d d= + = + = + + = , odnosno 0 ,b a d= = odakle nalazimo
rešenje
0a
X
c a
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
9. Proveriti sledeće rezultate:
3 2 3 4 5 2
5 4 2 5 7 0
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
1
3 2 1 10
2
0 1 2 8
3
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
,
[ ] [ ]
1
2 1 3 2 13
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
,
5 8 4 3 1 5 23 39 29
6 9 5 4 1 3 24 48 32
4 7 3 6 9 5 58 24 56
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
- 43 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-52-320.jpg)
![NAČINI ZADAVANJA FUNKCIJA
Funkcije mogu biti zadate na različite načine u zavisnosti od primena. Najčešći
načini su:
Analitičkim izrazom, koji može biti eksplicitnog oblika ( )y f x= , ili implicitnog
oblika ( ), 0F x y = ,
tablicom,
grafikom,
parametarski.
Primer:
Funkcija u eksplicitnom obliku je 2 siny x x= + .
Funkcija u implicitnom obliku je 2
2y x= .
Funkcija u parametarskom obliku je 3 2
,x t y t= = , gde eliminacijom parametra
t dobijamo funkciju 3 2
y x=
REALNE FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE
Pod realnom funkcijom podrazumeva se svako preslikavanje kod koga su original i
slika realni brojevi.
Primer:
Odrediti domen funkcija:
a) ( )
2
3
x
f x
x
+
=
−
,
Iz uslova da je 3 0x − ≠ , dobijamo 3x ≠ . Prema tome domen funkcije je skup
{ } 3xD R= ili uobičajen je i zapis ( ) ( ),3 3,x∈ −∞ ∞∪ .
b) 2
4y x= − , [ ]2
4 0 2,2x x− ≥ ⇔ ∈ − .
- 81 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-90-320.jpg)
![c) ln
3
x
y
x
=
−
, ( )0 3 0,3
3
x
x x
x
> ∧ ≠ ⇔ ∈
−
.
d)
2
2
x
y e
−
= , x R= .
Primer: Odrediti kodomen funkcija:
a) siny x= , [ ]: 1,1yD y ∈ − ;
b) 2y x= − , yD R= ; c) 2
1y x= + , [ ): 1,yD y ∈ +∞
Napomena: Za svaku funkciju neophodno je odrediti domen. Kodomen je poželjno
odrediti, ali to nije uvek moguće bez poznavanja ostalih osobina funkcija.
INVERZNA FUNKCIJA
Neka je :f A B→ bijektivno preslikavanje (“1 1− ” i “na”). Tada postoji
jedinstvena funkcija 1
:f B A−
→ koju nazivamo inverzno preslikavanje ili inverzna
funkcija takva da je
( )( )1
f f x x−
= .
Za datu funkciju :f A B→ može da postoji samo jedna inverzna funkcija
1
:f B A−
→ .
Primer:
Odrediti inverznu funkciju funkcije ( ) 2 1f x x= − .
Prvo treba dokazati da je preslikavanje bijekcija.
Ako je ispunjeno ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2,x x R x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ preslikavanje je “1 1− ”.
Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije je koristiti
kontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ = , dakle
1 2 1 22 1 2 1x x x x− = − ⇒ = , čime smo dokazali da je preslikavanje “1 1− ”.
- 82 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-91-320.jpg)
![ZADACI
Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija:
1. a)
1
2
2
−
=
x
x
y ; b)
( )
2
1 2
1
x
y
x
−
=
−
; c) 2
9 xy −= ; d) 2
4 xxy −= ;
e)
x
xx
y
−
−−
=
2
168 2
f) ( ) 2
2
1
2
3 2
f x x x
x x
= − − +
+ −
.
Rešenje:
a) ( ) ( ) ( )2
1 0 1, , 1 1,1 1,x x x− ≠ ⇔ ≠ ± ∈ −∞ − − +∞∪ ∪ ;
b) { } 1xD R= .
c) ( )( ) [ ]2
9 0 3 3 0 , 3,3x x x x− ≥ ⇔ − + ≥ ∈ − ;
d) ( ) [ ]2
4 0 4 0 , 0,4x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ∈ ;
e) ( )2 0 2 , ,2x x x− > ⇔ < ∈ −∞ ;
f) ( )( ) ( ] [ )2
1 2 0 2 1 0 , 1 2,x x x x x− − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ∈ −∞ − +∞∪ ;
( )( ) ( )( ) ( )2
2 3 2 0 1 3 0 1 3 0 1,3x x x x x x x+ − > ⇔ − + − > ⇔ + − > ⇔ ∈ −
Rešenje je presek dobijenih rešenja [ )2,3x∈ .
2. a)
x
x
y
−
=
3
ln ; b) ( )xxy 6ln 2
−= ; c) ( )
2
5
ln
4
x x
f x
−
= .
Rešenje:
a) ( )0 , 0,3
3
x
x
x
> ∈
−
;
b) ( ) ( )2
6 0 , ,0 6,x x x− > ∈ −∞ +∞∪ ;
c)
- 100 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-109-320.jpg)
![[ ]
2 2
5 5
1 ln 0 1 1,4
4 4
x x x x
x
− −
≥ ⇔ ≥ ⇔ ∈
( )
2
5
2 0 0,5
4
x x
x
−
> ⇔ ∈ .
Rešenje je presek dobijenih rešenja [ ]1,4x∈ .
3. Odrediti kodomen funkcija:
a) 1
2
1 2
−−= xy ; b) 92
−= xy ; c) 2 1x
y = + .
Rešenje:
a) ( ], 1y ∈ −∞ − ;
b) [ )9,y ∈ − +∞ ;
c) ( )1,y ∈ +∞ .
4. Date su funkcije.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 3 4, , ,
x
f x x f x f x x f x x
x
= = = = .
Da li među njima ima istih?
Rešenje:
( )
( ) { }
( )
( ) ( )
1
2
2
2
3
2
4
, ,
, / 0 ,
, ,
, ,
x y
x y
x y
x y
f x x D R D R
x
f x x D R D R
x
f x x x D R D R
f x x x D R D R
+
+ +
= = =
= = = =
= = = =
= = = =
Sve funkcije su različite.
5. Date su funkcije
- 101 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-110-320.jpg)
![( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 2 3 42
ln
sin cos , , ,
x
x e x
f x x x f x f x f x
x xx
= + = = = .
Da li među njima ima istih?
Rešenje:
( )
( ) { }
( ) { }
( ) { }
2 2
1
2 2
3
3 3
4
sin cos 1,
1, / 0
ln
1, / 0
1, / 0
x
x
x
x
x
f x x x D R
x
f x D R
x
e
f x D R
x
x
f x D R
x
= + = =
= = ± =
= = =
= = =
Iste su funkcije 3 4f i f .
6. Odrediti domen i nule datih funkcija:
a)
1
103
2
2
+
−+
=
x
xx
y ; b) 2
1y x x= − ;
c) ( )2
4 x
y x e= − ; d) 2
ln1
x
x
y
+
= .
Rešenje:
a) Domen: xD R= .
Nule funkcije:
2
1 22
3 10
0 2 5
1
x x
x x
x
+ −
= ⇔ = ∨ = −
+
.
b) Domen: ( ] [ ), 1 1,x∈ −∞ − +∞∪ . Nule funkcije: 1,20 1y x= ⇔ = ± .
c) Domen je skup R . Nule funkcije: ( )2
1,24 0 2 , 0x x
x e x e− = ⇔ = ± ≠ .
d) Domen: ( )0,x∈ +∞ . Nule funkcije: 1
1 ln 0x x e−
+ = ⇔ = .
- 102 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-111-320.jpg)
![Rešenje:
a) ( ) ( )2sin 2 2sin 2 sin 2 sin 2 0x x T x x T= + ⇔ − + =
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2sin cos 0
2 2
2sin cos 2 0 sin 0 , cos 2 0 ;
x x T x x T
T x T T x T T π
− + + −
⇔ ⋅ =
⇔ ⋅ − = ⇔ = − ≠ ⇔ =
Napomena: Osnovni period funkcija siny bx= i cosy bx= je
2
T
b
π
= , a za
funkcije tgy bx= i ctgy bx= je T
b
π
= .
b) 2
1
2
T
π
π= = ;
c) ( )2 1
sin 1 cos2
2
y x x= = − , T π= ;
d) 1 2 3
2
2 , ,
3
T T T
π
π π= = = , pa je ( )1 2 3, , 2T NZS T T T π= = .
13. Ispitati ograničenost sledećih funkcija:
a) 2
4 xy −= ; b) 4y x= − ; c) xy 2sin2= .
Rešenje:
a) Funkcija je neograničena [ )0,y ∈ ∞ ;
b) Funkcija je neograničena;
c) Funkcija je ograničena [ ]2,2y ∈ − .
- 106 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-115-320.jpg)
![7. Koristeći Maklorenov polinom odgovarajućeg stepena funkcije
2
x
e izračunati
2
2
40
1
lim
x
x
e x
x→
− −
.
Rešenje:
Kako je
2 3 4
1
2! 3! 4!
x x x x
e x≈ + + + + dobijamo da je
2
4 6 8
2
1
2! 3! 4!
x x x x
e x≈ + + + + , pa
je
2
4 6 8 4 6 8
2 2
2
4 4 40 0 0
1 1
1 12! 3! 4! 2 6 24lim lim lim
2
x
x x x
x x x x x x
x x
e x
x x x→ → →
+ + + + − − + +
− −
= = = .
8. Primenom Maklorenovog razvoja datih funkcija izračunati granične vrednosti
a) 3
22
0
221sin
lim
x
xxexx x
x
−−−+−
→
, b) 30
sin cos 2
lim
x
x
e x x
x→
− + −
.
Rezultat: a)
3
2
; b)
1
3
.
Cilj procene greške je da se nađe gornja granica greške gde x ima datu vrednost, a
( )0,1θ ∈ . Kod procene greške obično se koriste jednostavne nejednakosti, traženjem
“najgoreg slučaja” u kome oba faktora dostižu maksimalnu apsolutnu vrednost. Zbog
toga, stvarna greška je znatno manja od procenjene.
9. Kolika je greška aproksimacije sin x x≈ , na intervalu
1 1
,
10 10
⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎣ ⎦
?
Rešenje:
2sin x x R= + , gde je
3
2 cos
3!
x
R xθ= .
33
2 3 3
1 1
cos cos
3! 6 10 6 10 2
xx
R x xθ θ= < < <
⋅ ⋅
, greška je na trećoj decimali.
10. Funkciju ( ) ( )ln 1f x x= + razviti u Maklorenov polinom trećeg stepena, uz
procenu greške za računanje vrednosti ove funkcije na intervalu [ ]0,1 .
- 151 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-160-320.jpg)
![Rešenje:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 4
1 1 2 6
, , , ,
1 1 1 1
IV
f x f x f x f x
x x x x
′ ′′ ′′′= = − = = −
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )0 ln1 0, 0 1, 0 1, 0 2f f f f′ ′′ ′′′= = = = − = .
( )
2 3
3ln 1
2 3
x x
x x R+ = − + + .
( )
( ) ( )
4 4
3 4 4
6
4! 1 4 1
x x
R x
x xθ θ
−
= = −
+ +
.
Za ( )0,1θ ∈ i [ ]0,1x∈ imamo procenu greške
( )
( ) ( ) ( )
4 4
3 4 4 4
1
0,25
4 1 4 1 4 0 1 1
x x
R x
x xθ θ
= − = ≤ =
+ + ⋅ +
.
11. Funkciju ( ) ( )ln 1f x x= + razviti u Maklorenov polinom četrvtog stepena,
približno izračunati ln1,5 uz procenu greške.
Rešenje:
( )
( )
2 3 4 5
5
1
ln 1
2 3 4 5 1
x x x x
x x
xθ
+ = − + − + ⋅
+
.
( )
2 3 4
1 1 1
1 2 2 2
ln1,5 ln 1 0,5 0,4010
2 2 3 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ≈ − + − ≈ .
( )
( )
55
4 5 5 55 5
1 1 1 1 1
0,5 0,00625
5 5 2 5 2 51 1
1
2
xx
R
x xθ θ θ
= ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ < =
⋅ ⋅+ + ⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
12. Aproksimirati funkciju ( ) x
f x e= Maklorenovim polinomom i izračunati približnu
vrednost broja e za 10n = .
Rešenje:
( )
2
1
1
1! 2! ! 1 !
n x
x nx x x e
e x
n n
θ
+
= + + + +
+
…
- 152 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-161-320.jpg)
![5.4. OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Među najvažnije teoreme diferencijalnog računa spadaju teoreme srednje
vrednosti. One pokazuju da se iz same egzistencije izvoda funkcije može mnogo
zaključiti o osobinama funkcije.
Fermaova teorema: Neka funkcija ( )f x dostiže svoju ekstremnu vrednost u nekoj
tački ( ),c a b∈ i neka je diferencijabilna u tački c . Tada je ( ) 0f c′ = .
Geometrijsko tumačenje Fermaove teoreme: Kako je ( ) 0f c′ = , to znači da je
tg 0α = , tj 0α = , gde je α ugao koji tangenta u tački ( )( ),M c f c grafika
funkcije zaklapa sa x osom.
To znači da ako diferencijabilna funkcija u tački ( ),c a b∈ dostiže svoju najveću ili
najmanju vrednost, onda je tangenta na njen grafik u tački ( )( ),M c f c paralelna sa
x osom.
y
xa c b
M
Rolova teotema: Neka je funkcija ( )f x
1. definisana i neprekidna na [ ],a b ,
2. diferencijabilna na ( ),a b ,
3. ( ) ( )f a f b= .
Tada postoji bar jedna tačka ( ),c a b∈ , takva da je ( ) 0f c′ = .
- 154 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-163-320.jpg)
![y
xa 1c 2c
( ) ( )f a f b=
b
Geometrijsko tumačenje Rolove teoreme: Postoji bar jedna tačka ( )( ),M c f c ,
( ),c a b∈ u kojoj je tangenta grafika funkcije paralelna sa x osom.
Primer:
Dokazati da funkcija ( ) 3
4 1f x x x= − + na intervalu [ ]2,2− ispunjava uslove Rolove
teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost nezavisno promennjive c .
1. Data funkcija je definisana za x R∈ , pa je definisana i neprekidna i na
intervalu [ ]2,2− .
2. Kako je ( ) 2
3 4f x x′ = − , zaključujemo da je funkcija diferencijabilna na
intervalu ( )2,2− .
3. Kako je ( ) ( )2 2 1f f− = = ,
Znači, funkcija ispunjava uslove Rolove teoreme na [ ]2,2− .
Dakle, postoji bar jedana tačka ( )2,2c∈ − takva da je ( ) 0.f c′ =
Rešavanjem jednačine ( ) 2
3 4 0f c c′ = − = dobijamo 1,2
2
3
c = ± . Kako obe
vrednosti pripadaju intervalu ( )2,2− , zaključujemo da postoje dve tačke koje
pripadaju datom intervalu za koje je ( ) ( )1 2 0f c f c′ ′= = .
Košijeva teorema: Neka su funkcije ( )f x i ( )g x definisane i neprekidne na
[ ],a b , a diferencijabilne na ( ),a b , i neka je ( ) 0g x′ ≠ , ( ),x a b∈ .
Tada postoji bar jedna tačka ( ),c a b∈ takva da je
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
f b f a f c
g b g a g c
′−
=
′−
.
- 155 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-164-320.jpg)
![Lagranžova teorema: Neka je funkcija ( )f x :
1. definisana i neprekidna na [ ],a b ,
2. diferencijabilna na ( ),a b .
Tada postoji bar jedna tačka ( ),c a b∈ takva da je
( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b a′− = ⋅ − .
Lagranžova teorema je specijalan slučaj Košijeve teoreme za ( )g x x= .
y
xa c b
M
A
Bt
t AB
Geometrijsko tumačenje Lagranževe teoreme: Postoji bar jedna tačka
( )( ),M c f c , ( ),c a b∈ u kojoj je tangenta grafika funkcije paralelna sa sečicom
AB , čiji je koeficijent pravca
( ) ( )f b f a
b a
−
−
.
Primer:
Odrediti tačku ( )( ),c f c grafika funkcije ( ) 3 2
4 12 9f x x x x= − + takvu da
( )0,1c∈ , u kojoj je tangenta paralelna sa sečicom koja prolazi kroz tačke ( )( )0, 0f
i ( )( )1, 1f .
Funkcija ( ) 3 2
4 12 9f x x x x= − + je definisana i neprekidna za x R∈ pa i na
intervalu [ ]0,1 .
Kako je ( ) 2
12 24 9f x x x′ = − + , funkcija je diferencijabilna za svako x R∈ pa i za
( )0,1x∈ .
Na osnovu Lagranžove teoreme imamo:
- 156 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-165-320.jpg)
![ZADACI
1. Ispitati da li funkcija ( )
2
3
f x x= na intervalu [ ]1,1− ispunjava uslove Rolove
teoreme.
Rešenje:
Data funkcija je definisana i neprekidna za x R∈ , pa prema tome i na intervalu
[ ]1,1− .
Osim je ( ) ( )1 1 1f f− = = .
Kako je ( ) 3
2
3
f x
x
′ = , funkcija nije diferencijabilna u tački ( )0 1,1∈ − , pa
funkcija ne ispunjava uslove Rolove teoreme na [ ]1,1− .
2. Dokazati da jednačina 3 2
4 3 2 1 0x x x− − + = ima bar jedno rešenje na
intervalu [ ]0,1 .
Rešenje:
Uočimo funkciju 3 2
4 3 2 1y x x x= − − + . Ona je definisana i neprekidna na [ ]0,1 .
Pored toga ( ) ( )0 1 0f f= = . Prema tome, na osnovu Rolove teoreme postoji tačka
( )0,1c∈ takva da je ( ) 0f c′ = .
Kako je 2
12 6 2y x x′ = − − , 2
1,2
3 35
6 3 1 0
12
c c c
±
− − = ⇔ = .
Tačka ( )1
3 35
0,1
12
c
+
= ∈ i ta vrednost je rešenje jednačine.
3. Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju ( )
1
,
1
x
f x
x
−
=
+
[ ]0,3x∈ i
odrediti odgovarajuće c .
- 159 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-168-320.jpg)
![Rešenje:
Data funkcija je definisana i neprekidna za 1x ≠ − , a to znači i za [ ]0,3 .x∈ Kako je
( )
( )
2
2
,
1
f x
x
′ =
+
biće ( )f x diferencijabilna za sve 1x ≠ − pa dakle i za
( )0,3 .x∈
Na osnovu Langranžove teoreme postoji ( )0,3 ,c∈ tako da je
( ) ( )
( )
3 0
,
3 0
f f
f c
−
′=
−
odnosno
( )
( )
2
1
1
22 .
3 1c
− −
=
+
Rešenja ove jednačine su
1 23, 1c c= − = pa kako ( )3 0,3 ,− ∉ biće 2 1c = tražena vrednost.
4. Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju ( ) 3 2
5 3 ,f x x x x= − − za
[ ]1,3x ∈ i odrediti c .
Rešenje:
7
3
c = .
5. Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju za funkciju ( ) 3
f x x= za
[ ]1,2x∈ − i odrediti c .
Rešenje:
Data funkcija je definisana i neprekidna [ ]1,2 .x∈ − Izvod ( ) 2
3f x x′ = , pa je
diferencijabilna za ( )1,2x∈ − .
Prema Langranžovoj teoremi postoji ( )1,2c∈ − tako da
( ) ( )
( )
22 1
3
2 1
f f
c
− −
=
− −
,
odakle je 1c = ± . Kako ( )1 1,2 ,− ∈ − tražena vrednost je 1c = .
6. Napisati Langranžovu formulu za funkciju ( )f x x= na odsečku [ ]1,4 i
odrediti c . Objasniti i geometrijski.
- 160 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-169-320.jpg)
![Rešenje:
Data funkcija je definisana i neprekidna [ ]1,4 .x∈ Izvod ( )
1
2
f x
x
′ = je takođe
definisan za ( )1,4x ∈ .
Znači ( )f x je diferencijabilna na ( )1,4 , pa prema Langranžovoj teoremi važi
jednakost
( ) ( )
( ) ( )
4 1
, 1,4
4 1
f f
f c c
−
′= ∈
−
.
( ) ( ) ( )
1
4 2, 1 1, ,
2
f f f x
x
′= = = pa je
1 1 9
2 3 .
3 42
c c
c
= ⇔ = ⇔ =
S obzirom da ( )
9
1,4 ,
4
∈ to je tražena vrednost c .
y
x1 9
4
4
t
Geometrijski gledano, postoji tangenta grafika funkcije koja je paralelna sa sečicom
koja prolazi kroz tačke ( ) ( )1,1 , 4,2 i njena dodirna tačka ima apscisu
9
4
.
• Primenom Lopitalove teoreme odrediti granične vrednosti:
Neodređenost tipa “
0
0
” ili “
∞
∞
”.
7. a)
2
2
8 5
lim
2 6x
x x
x x→+∞
− +
+
; b) 30
sin
lim
x
x x
x→
−
; c)
2
3
lim
x
x
e
x→∞
; d) 20
cos 1
lim
x
x
x+→
−
.
- 161 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-170-320.jpg)
![5 . 5 . I S P I T I V A N J E F U N K C I J A P O M O Ć U I Z V O D A
MONOTONOST FUNKCIJE
Neka je funkcija ( )f x neprekidna na [ ],a b , a diferencijabilna na ( ),a b .
Tada, ako je za ( ),x a b∈ :
( ) 0f x′ ≥ , funkcija je rastuća,
( ) 0f x′ ≤ , funkcija je opadajuća,
( ) 0f x′ > , funkcija je strogo rastuća,
( ) 0f x′ < , funkcija je strogo opadajuća.
Dokaz:
Neka je za ( ),x a b∀ ∈ ispunjeno ( ) 0f x′ ≥ . Uzmimo proizvoljne vrednosti 1 2,x x
takve da je 1 2a x x b≤ < ≤ . Na osnovu Lagranžove teoreme imamo da je
( ) ( ) ( )( )1 2 0 1 2f x f x f x x x′− = − , za neko 1 0 2x x x< < .
Znajući da je 1 2 0x x− < i ( ) 0f x′ ≥ , dobijamo da je ( ) ( )1 2 0f x f x− < , tj.
funkcija ( )f x je rastuća.
Dokaz u preostalim slučajevima je identičan.
Primer:
Ispitati monotonost sledećih funkcija:
a) ( ) 3
f x x= ; b) ( )
1
f x
x
= ; c) ( ) 2
2 3f x x x= − + .
a) Izvod funkcije ( ) 3
f x x= je ( ) 2
3f x x′ = . Kako je ( ) 0f x′ ≥ za x R∈ , funkcija
je rastuća.
b) Izvod funkcije ( )
1
f x
x
= je ( ) 2
1
f x
x
′ = − . Kako je ( ) 0f x′ < za 0x ≠ , funkcija
je opadajuća.
c) Izvod funkcije ( ) 2
2 3f x x x= − + je ( ) 2 2f x x′ = − . Kako je za 1x >
( ) 0f x′ ≥ , a za ( ) 0f x′ < , zaključujemo da je funkcija je rastuća. za 1x > , a
opadajuća za 1x < .
- 165 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-174-320.jpg)
![EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE
y
x
a 1x 2x b
Funkcija ( )f x definisana na ( ),a b ima maksimum u tački ( )1 ,x a b∈ ako i
samo ako je ( ) ( )1f x f x< za svako x koje pripada nekoj okolini tačke 1x , a
minimum u tački ( )2 ,x a b∈ ako i samo ako je ( ) ( )2f x f x> za svako x koje
pripada nekoj okolini tačke 2x .
Maksimum i minimum funkcije ( )f x nazivaju se ekstremnim vrednostima date
funkcije.
Napomena: Prethodne dve definicije odnose se na lokalni maksimum i minimum,
koji su vezani za neku dovoljno malu okolinu datih tačaka. Ovako definisani
maksimum i minimum ne moraju istovremeno predstavljati najveću ili najmanju
vrednost date funkcije na celom intervalu [ ],a b .
Potreban uslov za ekstrem: Ako diferencijabilna funkcija ( )f x ima u tački 1x x=
ekstrem (maksimum ili minimum), tada je u toj tački ( )1 0f x′ = .
Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija ( )f x diferencijabilna, tada ona
može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan
zaključak ne važi. Naime, ako je ( )1 0f x′ = , ne mora značiti da u toj tački
funkcija ima ekstrem.
Tačke u kojima funkcija ( )f x nema izvod, kao i tačke u kojima je ( ) 0f x′ = ,
nazivaju se kritične tačke funkcije ( )f x .
- 166 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-175-320.jpg)
![6.2.ODREĐENI INTEGRALI
Kao što smo već naglasili, pojam integrala istorijski je vezan sa problemom merenja
površine dela ravni ograničenog nekom krivom linijom. Iz tog razloga u definisanje
određenog integrala krenućemo od pojma krivolinijskog trapeza i izračunavanja
njegove površine.
POJAM ODREĐENOG INTEGRALA
Neka je funkcija ( )f x nenegativna, neprekida i ograničena na intervalu [ ],a b .
Krivolinijski trapez predstavlja figuru ograničenu osom Ox , grafikom
funkcije ( )f x na intervalu [ ],a b , pravama x a= i x b= .
( )y f x=
x a= x b=
Da bismo izračunali njegovu površinu, podelimo interval [ ],a b na n proizvoljnih
delova tačkama 0 1 1n na x x x x b−= < < < =… , tako da je
1 0 1 2 1 2 1, , , n n nx x x x x x x x x−− = Δ − = Δ − = Δ… .
U svakom intervalu [ ]1,i ix x− , 1, ,i n= … izaberimo proizvoljnu tačku iξ i
formirajmo proizvode ( )i ix f ξΔ . Ovaj proizvod predstavlja površinu bilo kog
pravougaonika stranica ixΔ i ( )if ξ .
Uočimo zbir površina svih ovako dobijenih pravougaonika:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
1
n
n n n i i
i
S f x f x f x f xξ ξ ξ ξ
=
= Δ + Δ + + Δ = Δ∑ .
- 240 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-249-320.jpg)
![0a x= nb x=
1x1ξ
( )1f ξ
( )y f x=
Ako postoji granična vrednost, nezavisno od podele intervala [ ],a b na n delova i
izbora tačaka iξ , tj.
( ) ( )max 0 max 0
1
lim lim
i i
bn
n i i
x x
i an n
S f x f x dxξ
Δ → Δ →
=→∞ →∞
= Δ =∑ ∫
onda je ona je površina krivolinijskog trapeza
DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA
Neka je funkcija ( )f x definisana i ograničena na intervalu [ ],a b . Ako interval
[ ],a b podelimo tačkama 0 1 1n na x x x x b−= < < < =… na n delova takvih da je
1 0 1 2 1 2 1, , , n n nx x x x x x x x x−− = Δ − = Δ − = Δ… . U svakom intervalu [ ]1,i ix x− ,
1, ,i n= … izaberimo proizvoljnu tačku iξ i formirajmo sumu
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
1
n
n n n i i
i
S f x f x f x f xξ ξ ξ ξ
=
= Δ + Δ + + Δ = Δ∑ .
Ovaj zbir zove se integralna suma funkcije ( )f x na intervalu [ ],a b .
Ako postoji granična vrednost
- 241 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-250-320.jpg)
![( )max 0 max 0
1
lim lim
i i
n
n i i
x x
in n
S f x Iξ
Δ → Δ →
=→∞ →∞
= Δ =∑ ,
ona se zove određeni integral funkcije ( )f x na intervalu [ ],a b .
Određeni integral funkcije ( )f x simbolički obeležavamo sa
( )
b
a
I f x dx= ∫ .
Funkciju ( )f x zovemo podintegralnom funkcijom.
Broj a je donja, a broj b gornja granica integrala.
Primer:
Izračunati povšinu ograničenu grafikom funkcuje ( )f x x= na intervalu [ ],a b i
ordinatama ( )f a i ( )f b , ( )0, 0a b> > .
xΔ
Rešenje:
Podelimo interval [ ],a b na n jednakih delova,
b a
x
n
−
Δ = .
Zbir površina svih pravougaonika čije su osnovice xΔ , a visine redom a x+ Δ ,
2a x+ Δ , , a n x+ Δ je
- 242 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-251-320.jpg)
![( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 3nS x a x x a x x a n x x na x n= Δ + Δ + Δ + Δ + + Δ + Δ = Δ + Δ + + + +
( )( ) ( )1
1 2 3
2
n n
x na x n x na x
+⎛ ⎞
= Δ + Δ + + + + = Δ + Δ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
( )2
22 1 1 1
2 2 2
n n n n nb a b a
xna x na b a a b a
n n n
+ + +− −⎛ ⎞
= Δ + Δ = + = − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( ) 2 2
2 1
lim lim
2 2
n
n n
n b a
S S b a a b a
n→∞ →∞
⎛ ⎞+ −
= = − ⋅ + − ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Po definiciji određenog integrala imamo da je
2 2
2
b
a
b a
P x dx
−
= =∫ .
Napomena:
Ovaj primer pokazuje koliko je složeno izračunavati određeni integral koristeći pojam
integralne sume čak i kod najjednostavnijih funkcija.
OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL
Ako funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b ima određeni integral, kažemo da je ona na
tom intervalu integrabilna.
Neprekidna funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b je integrabilna na tom intervalu.
Integrabilna funkcija na intervalu [ ],a b mora biti ograničena na tom intervalu. (
obrnuto ne važi).
Ograničena funkcija na intervalu [ ],a b sa konačnim brojem prekida je integrabilna
na tom intervalu.
Ako je funkcija ( )f x nenegativna i integrabilna, onda izraz ( )
b
a
f x dx∫
predstavlja površinu ograničenu lukom krive, x-osom i pravama x a= i x b= .
- 243 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-252-320.jpg)
![OSNOVNE OSOBINE ODREĐENOG INTEGRALA
( ) 0
a
a
f x dx =∫ ;
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ ;
( ) ( )
b b
a a
C f x dx C f x dx⋅ = ⋅∫ ∫ C const= ;
( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ ;
Ako tačka c pripada intervalu [ ],a b tj. a c b< < , tada važi
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .
VEZA ODREĐENOG I NEODREĐENOG INTEGRALA
NJUTN-LAJBNICOVA FORMULA
Njutn i Lajbnic su dokazali da postoji veza između određenog i neodređenog
integrala. Na taj način dobijena je opšta metoda za rešavanje određenih integrala i
mogućnost njihove primene u različitim oblastima nauke i prakse.
Ako je funkcija ( )f x neprekidna na intervalu [ ],a b , a ( )F x njena primitivna
funkcija, tj ( ) ( )F x f x′ = tada je
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫ .
Dokaz:
Neka je 1( )F x tako]e primitivana funkcija funkcije ( )f x , takva da je
- 244 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-253-320.jpg)
![( ) ( )1
x
a
F x f x dx= ∫ , [ ],x a b∈ .
Kako su ( )F x i 1( )F x dve primitivne funkcije iste funkcije, one se razlikuju za neku
konstantu C, pa je
( ) ( )
x
a
F x f x dx C= +∫ .
Za x a= dobijamo ( ) ( ) 0
a
a
F a f x dx C C C= + = + =∫ , čime je određena konstanta
C, pa je ( ) ( ) ( )
x
a
F x f x dx F a= +∫ .
Uzmimo sada da je x b a= > . Iz predhodne relacije dobijamo
( ) ( ) ( )
b
a
F b f x dx F a= +∫ , odnosno ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫ .
Primer:
2 2
0
0
sin cos cos cos0 1
2
I x dx x
π π
π⎛ ⎞
= = − = − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ .
METODA SMENE KOD ODREĐENOG INTEGRALA
Neka je ( )f x složena, neprekidna funkcija na intervalu [ ],a b . Uvedimo smenu
( )x g t= . Ako funkcija ( )g t ima neprekidan izvod na intervalu [ ],α β gde je
( )g aα = , ( )g bβ = i inverznu funkciju, tada je
( ) ( )( ) ( )
b
a
f x dx f g t g t dt
β
α
′=∫ ∫
Uvođenjem smene ( )x g t= menjaju se granice integracije.
- 245 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-254-320.jpg)
![Ako su polazne granice integracije bile a i b , onda su nove granice ( )1
g aα −
= i
( )1
g bβ −
= .
Primer:
1
2 262 2 6
2 0
0 0
arcsin , ,
arcsin 1
2 7211
0, 0; ,
2 6
dx
x t dt
x txI dx t dt
x
x t x t
π π
π
π
⎧ ⎫
= =⎪ ⎪⎪ ⎪−= = = = =⎨ ⎬
− ⎪ ⎪= = = =
⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫ .
METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE KOD ODREĐENOG
INTEGRALA
Ako su ( )u x i ( )v x diferencijabilne funkcije na intervalu [ ],a b , a vdu je
integrabilna, tada je
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
b
a
a a
u x dv x u x v x v x du x= −∫ ∫ .
Dokaz je sličan kao kod pravila za neodređene integrale.
Primer:
0 0
0 0
sin cos cos cos sinI x xdx x x xdx x
π ππ π
π π π= = − + = − + =∫ ∫ .
6.3.NESVOJSTVENI INTEGRALI
Integrali kod kojih granice integracije nisu konačne ili podintegralna funkcija nije
ograničena na intervalu [ ],a b , nazivaju se nesvojstveni integrali.
INTEGRALI SA BESKONAČNIM GRANICAMA
Neka je funkcija ( )f x neprekidna na intervalu [ ),a +∞ .
- 246 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-255-320.jpg)
![Ako postoji granična vrednost ( )lim
t
t
a
f x dx
→+∞ ∫ , onda se ona naziva nesvojstvenim
integralom funkcije ( )f x na intervalu [ ),a +∞ , tj.
( ) ( )lim
t
t
a a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
=∫ ∫ .
Ako je ova granična vrednost konačna, nesvojstveni integral konvregira, inače divergira.
Analogno se definiše nesvojstveni integral funkcije ( )f x na intervalu ( ],b−∞ , tj.
( ) ( )lim
b b
t
t
f x dx f x dx
→−∞
−∞
=∫ ∫ .
Ako su obe granice integracije beskonačne tada je
( ) ( ) ( )
a
a
f x dx f x dx f x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= +∫ ∫ ∫ .
Primer:
3
1
dx
I
x
+∞
= ∫ .
3 2 21
1
1 1 1 1
lim lim lim
2 2 2 2
t t
t t a
dx
I
x x t→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ .
INTEGRALI NEOGRANIČENIH FUNKCIJA
Neka je ( )y f x= neprekidna funkcija na intervalu ( ],a b i ( )f x → ∞ za x a→ .
Ako postoji granična vrednost ( )0
lim , 0
b
a
f x dx
ε
ε
ε
→
+
>∫ , onda se ona naziva
nesvojstvenim integralom funkcije ( )f x na intervalu ( ],a b , tj
- 247 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-256-320.jpg)
![( ) ( )0
lim
b b
a a
f x dx f x dx
ε
ε
→
+
=∫ ∫ .
Neka je ( )y f x= neprekidna funkcija na intervalu [ ),a b i ( )f x → ∞ za x b→ .
Ako postoji granična vrednost ( )0
lim , 0
b
a
f x dx
ε
ε
ε
−
→
>∫ , onda se ona naziva
nesvojstvenim integralom funkcije ( )f x na intervalu [ ),a b , tj
( ) ( )0
lim
b b
a a
f x dx f x dx
ε
ε
−
→
=∫ ∫ .
Neka je funkcija ( )y f x= neograničena u okolini tačke [ ],c a b∈ . Tada se
nesvojstveni integral definiše sa
( ) ( ) ( )0 0
lim lim , 0
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
ε
ε ε
ε
ε
−
→ →
+
= + >∫ ∫ ∫ .
Primer:
1
0
dx
I
x
= ∫ .
( )
1
1
0 0 0
lim lim 2 2 lim 1 2
dx
I x
x
ε
ε ε ε
ε
ε
→ + → + → +
= = = − =∫ .
- 248 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-257-320.jpg)
![6.4. PRIMENE INTEGRALNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE POVRŠINA
RAVNIH FIGURA
Ako je ( )f x neprekidna i nenegativna funkcija na intervalu [ ],a b , onda površina
ograničena osom x , grafikom funkcije ( )f x , pravama x a= i x b= iznosi
( )
b
a
P f x dx= ∫ .
( )y f x=
x b=x a=
Ako je funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b negativna onda je
( )y f x=
x a= x b=
( ) ( )
b b
a a
P f x dx f x dx= − =∫ ∫ .
- 258 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-267-320.jpg)
![Ako funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b menja znak onda se površina koju ova
funkcija obrazuje sa x osom i pravama x a= i x b= dobija tako što se interval
podeli na podintervale u kojima je ( ) 0f x ≥ i na podintervale u kojima je
( ) 0f x ≤ . Površina će biti zbir vrednosti integrala
( ) ( ) ( )
c d b
a c d
P f x dx f x dx f x dx= + +∫ ∫ ∫
ili
( ) ( ) ( )
c d b
a c d
P f x dx f x dx f x dx= − +∫ ∫ ∫ .
( )y f x=
x a=
x c=
x d=
x b=
Ako je oblast ograničena graficima neprekidnih funkcija ( )f x i ( )g x ,
( ) ( )f x g x≥ na intervalu [ ],a b i pravama x a= i x b= , tada je površina
razlika površina dva krivolinijska trapeza, tj.
( ) ( ) ( ) ( )( )
b b b
a a a
P f x dx g x dx f x g x dx= − = −∫ ∫ ∫ .
( )y f x=
( )y g x=
x a= x b=
- 259 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-268-320.jpg)
![Primer:
Izračunati površinu ograničenu linijama cosy x= , 0x = i x π= .
cosy x=
π
2
π0
2 2
0
0 2
2
cos cos sin sin sin sin 0 sin sin 2
2 2
P x dx x dx x x
π π
π π
π
π
π π
π= − = − = − − + =∫ ∫ .
IZRAČUNAVANJE ZAPREMINA OBRTNIH TELA
Neka je funkcija ( )f x neprekidna i stalnog znaka na intervalu [ ],a b .
Zapremini obrtnog tela koje nastaje rotacijom grafika funkcije oko x ose je:
( )2
b
a
V f x dxπ= ∫ .
Dokaz:
kxΔ
- 260 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-269-320.jpg)
![Ako interval [ ],a b podelimo tačkama 1 2 3, , , , na x x x x b= =… na n delova, tada
svaki od upisanih pravougaonika ima osnovicu 1k k kx x x+Δ = − i visinu
( )k ky f x= , 1,2,k n= … .
Pri obrtanju pravougaonika oko x ose obrazuje po jedan valjak zapremine
2
k k kV y xπ= ⋅Δ
gde je ky poluprečnik osnove valjka , kxΔ njegova visina.
Zbir zapremina svih tih valjaka je
2
1
n
k k
k
y xπ
=
⋅Δ∑ .
Zapremina obrtnog tela jednaka je sledećoj graničnoj vrednosti
( )2 2
max 0
1
lim
k
bn
k k
x
k an
V y x f x dxπ π
Δ →
=→∞
= ⋅Δ =∑ ∫ .
Zapremina obrtnog tela koje se dobije rotacijom grafikom funkcije oko y ose dobija
se po obrascu
( )2
d
c
V x y dyπ= ∫ .
Primer:
Izračunati zapreminu lopte poluprečnika r .
2 2 2
x y r+ =
Lopta se dobija rotacijom kruga jednačine 2 2 2
x y r+ = oko x - ose.
( ) ( )2 2 2 2 3 3
0
0 0
4
2 2 2
3
r r r
V y dx r x dx r x x rπ π π π= = − = − =∫ ∫ .
- 261 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-270-320.jpg)
![DUŽINA LUKA KRIVE
Neka je ( )f x neprekidna funkcija, sa neprekidanim izvodom ( )f x′ , na intevalu
[ ],a b
Dužina luka krive je:
( )( )
2
1
b
a
l f x dx′= +∫ .
Dokaz:
Podelimo luk AB krive ( )y f x= tačkama iM 1,i n= … na n delova. Tetive
1i i it M M−Δ = koje odgovaraju parcijalnim lukovima obrazuju poligonalnu liniju
1 2 1nAM M M B−… čija je dužina
1
n
n i
i
l t
=
= Δ∑ .
1x 1ix − ix
1iM −
1M iM
A
B
a b
( )y f x=
1ix − ix
1iM −
iM
iξ
ixΔ
itΔ
iyΔ
x
y
( )y f x=
Odredimo dužinu tetive 1i iM M− .
Na osnovu Pitagorine imamo
2 2
2 2 1
1
1 1i i i
i i i i i
i i i
y y y
t x y x x
x x x
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ −
Δ = Δ + Δ = Δ + = Δ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Δ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
a na osnovu Lagranžove teoreme imamo postoji tačka [ ]1,i i ix xξ −∈ za koju je
- 262 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-271-320.jpg)
![( ) 1
1
i i
i i
y y
f
x x
ξ −
−
−
′ =
−
.
Prema tome itΔ = ( )2
1i ix f ξ′Δ + .
( ) ( )2 2
max 0 max 0
1 1
lim lim 1 1
i i
bn n
i i i
x x
i i a
t x f f x dx lξ
Δ → Δ →
= =
′ ′Δ = Δ + = + =∑ ∑ ∫
( )2
1
b
a
l f x dx′= +∫
Primer:
Izračunati dužinu luka krive
5
3
x x
y = , [0,1]x∈ .
3 1
2 2
5 5 5 3 5
, '
3 3 3 2 2
x x
y x y x x= = = ⋅ = ,
2
1 1 3 3
2 3
2
0 0 2
4 5
5 1 1 1 19
1 4 5 2
4 2 5 15 15
5
x t
l xdx xdx t dt t
dx tdt
⎧ ⎫+ =
⎪ ⎪
= + = + = = = =⎨ ⎬
=⎪ ⎪
⎩ ⎭
∫ ∫ ∫ .
- 263 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-272-320.jpg)
![25. siny x= , 0x = i x π= oko x ose. Rešenje:
2
2
V
π
=
26. 2 2
4x y+ = i 2
3 0y x− = oko x ose. Rešenje:
19
6
V π=
27. 2 2
4x y− = i 2
3 0y x− = oko x ose. Rešenje:
40
3
V π= .
28.
2
2
4
x
y
x
−
=
+
, 0x = , 1x = , 0y = oko x ose.
Rešenje:
4
1 2ln
5
V π
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
29. Površina ograničena krivom 2 2
16x y+ = , pravom 2x = i tangentoma u
presečnim tačkama date prave i krive rotira oko x ose. Naći zapreminu
obrtnog tela.
Rešenje:
32
3
V π= .
Izračunati dužinu luka sledećih krivih na zadatom intervalu.
30. x
x
y ln
2
1
4
2
−= , za ],1[ ex ∈
Rešenje:
( )
2
1 1
'
2 2 2
x x
f x y
x x
−
′ = = − = ,
x
x
x
xx
x
x
y
2
1
4
12
2
1
1'1
2
2
2422
2 +
=
++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+=+ ,
( )
2 2
2
1
1 1
1 1 1 1 1
ln 1
2 2 2 2 4
e e ex x
l dx x dx x e
x x
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞
= = + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ .
31. Izračunati obim kruga 2 2 2
x y r+ = .
Rešenje:
2 2
y r x= − ,
2 2
x
y
r x
′ = −
−
- 272 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-281-320.jpg)
![2
2 2 2 2 0
0 0
1
4 1 4 4 arcsin 2
r r rx x
l dx r dx r r
r x rr x
π= ⋅ + = ⋅ = ⋅ =
− −
∫ ∫ .
32. ( )ln siny x= , ,
3 2
x
π π⎡ ⎤
∈⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Rešenje:
1
cos
sin
y x ctgx
x
′ = = , 2 2
2
1
1 1
sin
y ctg x
x
′+ = + = ,
1 12 12
3
3 3
323 3 3
2
3 11 ln ln1 ln ln3.
2sin 3 2
1
dt
dx dttl t
tx t
t
π
π
+= = = = = − =
+
∫ ∫ ∫
33. ( )2
2ln 4y x= − , [0,1]x∈ .
Rešenje:
2
4
'
4
x
y
x
=
−
,
22 2
2
2 2
4 4
1 ' 1
4 4
x x
y
x x
⎛ ⎞+⎛ ⎞
+ = + = ⎜ ⎟⎜ ⎟
− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
1 12 1
2 2 0
0 0
4 8 2
1 8ln 1 ln3
4 4 2
x x
l dx dx x
x x x
+ ⎛ − ⎞⎛ ⎞
= = + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ .
34. ( )2 1 1x x
y e arctg e= − − − za [ ]0,x α∈ .
Rešenje:
( )
2
1 1
2 1
2 1 2 1 11 1
x x x
x
x x xx
e e e
y e
e e ee
⎛ ⎞
⎜ ⎟ −
′ = − ⋅ = = −⎜ ⎟
− − −⎜ ⎟+ −
⎝ ⎠
,
( )
2
2 2 2
0
0 0
1 1 2 2 2
x x
x
l e dx e dx e e
α α α
α
= + − = = = −∫ ∫ .
35. ( )xxxxx
eeeeey 21ln2 22
+++++= , ],0[ α∈x
Rešenje
2 2
2
2 2 2
1
2
2 1 2 2
x x x x
x x x
x x x x x x x
e e e e
y e e e
e e e e e e e
⎛ ⎞+ +
′ = + + = +⎜ ⎟
+ + + + +⎝ ⎠
,
- 273 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-282-320.jpg)
![( ) ( ) ( )2
0
0 0
1 2 1 1x x x x
l e e dx e dx x e e
α α
α α
α= + + = + = + = + −∫ ∫ .
36. [ ]
1
ln , , , , 0
1
x
x
e
y x a b a b
e
+
= ∈ ≠
−
.
Rešenje
2
2
,
1
x
x
e
y
e
−
′ =
−
2
2
2
1
1
1
x
x
e
y
e
+
′+ =
−
,
( )
2
2 2 2
1 2
1 2 2
1 1 1
b b bx b
x x xa
a a a
e dx
l dx dx x b a I
e e e
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞
= = + = + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − −⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ .
( )
2 2
2
2
2 2
2
2 2
, 2 ln , 1 1 1
ln2
1 1
, ; ,
b b
b
a
a a
e ex e
ea b e e
dt
e t x t dx dt t
I dtt
t t t t t
x a t e x b t e
⎧ ⎫
= = = −⎪ ⎪ ⎛ ⎞
= = = − = =⎨ ⎬ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠⎪ ⎪= = = =⎩ ⎭
∫ ∫
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 1
ln ln ln 1 2 ln 1 2 ln .
b a b b
b a
b a a a
e e e e
e b e a
e e e e
−
−
− − −
− = − − − − + =
−
37. ( ))1ln(1
2
1 22
−+−−= xxxxy , [1, 1], 0x a a∈ + >
Rešenje
1
1
1
1
1
1
1
2
1
' 2
222
2
2
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−+
−
−
+−= x
x
x
xxx
x
xy ,
( )1 1 2 1
2
1
1 1
2
1 1
2 2
a a a a ax
l x dx x dx
+ + + +
= + − = = =∫ ∫ .
38. lny x= , ]
5
12
,
4
3
[∈x .
Rešenje:
1
'y
x
= ,
2
2
2
1 1
1 ' 1
x
y
x x
+
+ = + = ,
- 274 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-283-320.jpg)
![U narednim primerima funkcija ili njen izvod u krajevima intervala definisanosti ima
prekide. Iz tih razloga izračunavanje luka svodi se na nesvojstveni integral.
40. [ ], 0,9
3
x
y x x x= − ∈ .
Rešenje
1
2
1 1 3 1 3 1 9
,
3 2 22 6 6
x x
y x
x x x
−
′ = ⋅ − = − =
( )
22 2
2
1 91 9 1 18 81 1 9
1 1
36 366 6
xx x x x
y
x xx x
+⎛ ⎞− + + +
′+ = + = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
9 9 1 1 1 3 9
2 2 2 2
0 0
0
1 9 1 1
lim 9 lim 2 6 28.
6 66
x
l dx x x dx x x
x ε ε ε
ε
−
→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+
= = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
41. ( ) [ ]2
ln 1 , 1,2y x x x= + − ∈ .
Rešenje
2
1
,
1
y
x
′ =
−
2
2
2 2 2
1
1 1 ,
1 1 1
x x
y
x x x
′+ = + = =
− − −
2 2
2 2
2
2 21
1
1 ,
2
lim , 1
1 1
2 , 3
dt
x t xdx
xdx xdx
l x t
x x
x t
ε
ε
ε ε
→
⎧ ⎫
− = =⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪
= = = = = − =⎨ ⎬
− − ⎪ ⎪
= =⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫
2
2
3 3
2
1 1 11
1
lim lim 3 lim 1 3dt t
ε ε εε
ε
ε
→ → →−
−
⎛ ⎞
= = − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
42. 2
arcsiny x x x= − − .
Rešenje:
Data kriva je definisana za [ ]0,1x ∈ .
- 276 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-285-320.jpg)
![2
,
x
y
x x
′ =
−
2 1
1 ,
1
y
x
′+ =
−
( )
( )
( )
1
1 1 2
2
1 0 1 0 1 0
0 0
0
11
lim 1 lim 2 lim 1 1 2 .
11
2
t
t
t t t
x
l dx x dx t
x
−
→ − → − → −
−
= = − = − = − − − =
−∫ ∫
43. a) [ ]2 1
2 ln , 1,2
16
y x x x= − ∈ ; b) ( ) [ ]
1
, 0,1
2
x x
y e e x−
= + ∈ ;
c) ( )2 1
ln 1 , 0,
2
y x x
⎡ ⎤
= − ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
; d)
2
, 0,
cos 4
y x
x
π⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
;
Rešenje:
a)
1
6 ln 2
16
l = + , b)
1 1
2
l e
e
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
c)
1
ln3
2
l = − , d) 2
4
l
π
= − ,
- 277 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-286-320.jpg)
![VEŽBA 2 MATRICE I OPERACIJE
1. MATRICE I VEKTORI
Već smo naglasili, da su u MATLAB - u, promenljive polja brojeva, koje mogu da se
tumače kao matrice u uobičajenom smislu. Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa
1x1. Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone.
Matrica se definiše sa dva indeksa m i n, gde prvi indeks m označava broj vrsta, a
drugi, n broj kolona. Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [ , ]
ograničavaju listu elemenata. U okviru liste elementi se razdvajaju zarezom ili
razmakom. Taster Enter ili ; se koriste za odvajanje vrsta matrice.
PRIMER 1: Uneti matricu
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
247
586
421
A .
>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2]
A =
1 -2 4
-6 8 5
7 -4 2
Druga mogućnost upisa je:
>> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2]
A =
1 -2 4
-6 8 5
7 -4 2
Vektori su matrice vrste ili kolone i unose se na isti način. Ako su vrednosti
elemenata ekvidistantne (sa istim korakom) koristi se simbol : .
PRIMER 2: Uneti vektor x=(1, 2, ... , 10).
>> x=1:10
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 292 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-301-320.jpg)
![Naredba length() izračunava dužinu vektora.
>> length(x)
ans =
10
PRIMER 3: Uneti vektor x.
>> x=1:10 ; x=[x x+2]
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ako želimo proizvoljan korak, a ne 1, kao u predhodnom primeru, koristimo
naredbu h=a:k:b, gde su a i b početna i krajnja vrednost, a k je korak.
PRIMER 4: Uneti vektor x=(1, 3, 5,7), sa korakom dužine 2.
>> x=1:2:8
x =
1 3 5 7
Matrice sa kompleksnim elementima možemo da unosimo na dva načina.
PRIMER 5:
Uneti matricu ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−+−
=
ii
ii
Z
8473
6251
, tako što prvo unosimo realne, a zatim
imaginarne delove zadatih kompleksnih brojeva.
>> A=[-1, 2; 3, 4] ; V=[5, -6; 7, 8] ; Z=A+V*i
Z =
-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000
PRIMER 6:
Uneti matricu Z iz prethodnog primera tako što elemente matrice unosimo kao
kompleksne brojeve.
>> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i]
Z =
-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
Element matrice A koji se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone može se dobiti
primenom naredbe A(i,j).
- 293 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-302-320.jpg)
![PRIMER 7: Izdvojiti element 2,3a matrice
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−=
654
132
321
A .
>> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ;
>> A(2 , 3)
ans =
1
Ako želimo da izdvojimo celu vrstu ili kolonu koristimo komande A(k,:),
A(:,k), gde k predstavlja traženu vrstu, odnosno kolonu.
Dimenzije matrice određuju se naredbama:
size(A)
[m,n]=size(A).
PRIMER 8: Odrediti dimenzije date matrice A, koristeći naredbu size.
>> size(A)
ans =
3 3
PRIMER 9: Odrediti dimenzije matrice A koristeći naredbu [m,n]=size(A).
>> [m, n]=size(A)
m =
3
n =
3
2. MATRICE SPECIJALNIH STRUKTURA
Naredba eye daje jediničnu matricu.
Naredba Opis
eye(n) Jedinična matrica dimenzija nxn
eye(m,n) Jedinična matrica dimenzija mxn
eye(size(A)) Jedinična matrica dimenzija date matrice A
PRIMER 10: Formirati matricu X dimenzija 2 3× , čiji su elementi na glavnoj dijagonali
jednaki 1, a ostali su jednaki 0.
>> X=eye(2,3)
X =
1 0 0
0 1 0
- 294 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-303-320.jpg)
![PRIMER 11: Odrediti jediničnu matricu dimenzija date matrice A.
>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; X=eye(size(A))
X =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Naredba ones daje matricu čiji su svi elementi jedinice.
Naredba Opis
ones(n)
Matrica dimenzije nxn čiji su svi elementi
jedinice
ones(m,n)
Matrica dimenzije mxn čiji su svi elementi
jedinice
ones(size(A))
Matrica dimenzije date matrice A čiji su svi
elementi jedinice
PRIMER 12: Formirati kvadratnu matricu reda 2 čiji su svi elementi jednaki 1.
>> X=ones(2)
X =
1 1
1 1
Naredba zeros daje matricu čiji su svi elementi nule.
Naredba Opis
zeros(n) Matrica dimenzije nxn čiji su svi elementi nule
zeros(m,n) Matrica dimenzije mxn čiji su svi elementi nule
zeros(size(A))
Matrica dimenzija date matrice A čiji su svi
elementi nule
PRIMER 13: Formirati matricu dimenzija 2 3× čiji su elementi jednaki 0.
>> X=zeros(2,3)
X =
0 0 0
0 0 0
Naredba magic(n) daje matricu sa celobrojnim elementima između 1 i n2,
dimenzija nxn, sa osobinom da je zbir elemenata po vrstama i kolonama
konstantan (čarobni kvadrat).
- 295 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-304-320.jpg)
![PRIMER 14: Formirati magičnu matricu trećeg reda.
>> X3=magic(3)
X3=
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Naredbom diag(A) dobijamo dijagonalnu matricu date matrice A.
PRIMER 15: Napisati matrice diag(A).
>> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A))
A =
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6
X1 =
1
-3
-6
3. OPERACIJE SA MATRICAMA
Osnovne operacije sa matricama su:
sabiranje, oduzimanje, množenje, stepenovanje i transponovanje.
3.1. Sabiranje i oduzimanje matrica
Sabiranje i oduzimanje matrica vrši se tako što se sabiraju, odnosno oduzimaju
odgovarajući elementi matrica. Tom prilikom moramo voditi računa da matrice
budu istih dimenzija.
PRIMER 16: Sabrati matrice A i B.
>> A , B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B
A =
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6
B =
2 3 -4
- 296 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-305-320.jpg)
![PRIMER 19: Pomnožiti matrice A i A1.
>> A ;A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1
A1 =
1 2
2 -3
1 6
P=
8 14
-3 19
-20 -29
PRIMER 20: Pomnožiti matrice A1 i A.
>> A1*A
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
Napomena: Matrično množenje nije komutativna operacija i dimenzije matrica
A i A1 moraju da budu usklađene.
3.3. Transponovanje matrica
Transponovanje matrica sa realnim koeficijentima, je zamena vrsta i kolona. Vrši
se pomoću operatora ' .
PRIMER 21: Transponovati datu matricu A.
>> A , E=A'
A =
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6
E =
1 2 -4
2 -3 -5
3 1 -6
- 298 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-307-320.jpg)
![PRIMER 22: Transponovati vektore x, y.
>> x=[-1 3 8]' , y=[-1;-2;4]'
x =
-1
3
8
y =
-1 -2 4
3.4. Determinanta matrice
Determinanta kvadratne matrice je broj koji se u MATLAB-u izračunava pomoću
naredbe det() .
PRIMER 23: Izračunti determinantu kvadratne matrice A.
>> A ; D=det(A)
D=
-27
3.5. Inverzna matrica
Inverzna matrica date matrice A računa se po obrascu adjA
A
A
)det(
11
=−
.
U MATLAB-u inverzna matrica 1−
A , određuje se korišćenjem naredbe inv(A).
PRIMER 24: Naći inverznu matricu, zadate matrice A.
>> A ; inv(A)
-0.8519 0.1111 -0.4074
-0.2963 -0.2222 -0.1852
0.8148 0.1111 0.2593
- 299 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-308-320.jpg)
![PRIMER 25: Naći inverznu matricu, matrice
1 2 3
4 5 6
7 8 9
S
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.
>> S=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]
>> inv(S)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate.
Napomena: Kako je matrica S singularna (determinanta matrice je jednaka nuli),
inverzna matrica ne postoji.
3.6. Stepenovanje matrica
Ako je A kvadratna matrica, a p N∈ , matrični stepen definišemo kao:
p
p
A AAAA AAAA= .
Stepenovanje može da se vrši i ako p nije ceo broj, ali to razmatranje
prevazilazi ovaj kurs.
Stepenovanje matrice matricom, davaće poruku o grešci.
Za regularnu matricu (determinanta različita od nule) A, važi ( )pp
AA 1−−
= .
Stepenovanje matrica vrši se pomoću operatora ^ .
PRIMER 26:
Za datu matricu A odrediti 2 2
,A A−
i proveriti da li važi da je IAA =⋅ −22
,
gde je I jedinična matrica.
>> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M
J =
-7 -19 -13
-8 8 -3
10 37 19
M =
0.3608 -0.1646 0.2209
0.1674 -0.0041 0.1139
-0.5158 0.0947 -0.2853
I =
1.0000 0.0000 -0.0000
-0.0000 1.0000 0.0000
-0.0000 -0.0000 1.000
- 300 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-309-320.jpg)
![3.7. Deljenje matrica
U matričnom računu operacija deljenja nije definisana, ali u MATLAB - u postoje
dve naredbe za deljenja:
označava “deljenje” sa leva, / označava “deljenje” sa desna.
Neka je A kvadratna regularna matrica, tada je
1
*A B A B−
= , 1
/ *A B B A−
= .
Rezultati se dobijaju direktno, bez računanja inverzne matrice.
PRIMER 27: Rešiti matričnu jednačinu AX B= gde su date matrice.
1 2
2 2
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
i
1 2
3 4
B
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Da bismo rešili matričnu jednačinu AX B= , kako za množenje matrica ne važi
zakon komutacije, postupak je sledeći:
AX B=
BAAXA 11 −−
=
BAX
BAIX
1
1
−
−
=
=
U MATLAB–u poslednja jednačina se može napisati pomoću simbola deljenja X=AB.
Zadati problem može zato rešiti na dva načina.
>> A=[1,2;2,2]; B=[1,2;3,4];
>> X=AB
X =
2.0000 2.0000
-0.5000 0
>> X=inv(A)*B
X =
2.0000 2.0000
-0.5000 0
PRIMER 28:
Rešiti matričnu jednačinu XA B= koristeći matrice A i B iz prethodnog primera.
Jednačinu XA B= , odnosno njeno rešenje 1−
= BAX možemo rešiti matričnim
deljenjem s’ desna X=A/B.
- 301 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-310-320.jpg)
![>> A;B;
>> X=B*inv(A)
X =
1 0
1 1
>> X=A/B
X =
1 0
-1 1
3.8. Operacije nad poljem brojeva
Za množenje, stepenovanje i deljenje u polju brojeva ne važe pravila matričnog
računa, već se množenje vrši po principu član po član. U zapisu ove operacije
sadrže decimalnu tačku ispred operatora .* , ./, .^.
PRIMER 29: Uočiti razliku između množenja * i .*
>> A=[1 2; 2 3]; B=[1 0; 2 3];
>> A*B
ans =
5 6
8 9
>> A.*B
ans =
1 0
4 9
Napomena: U prvom slučaju imamo matrično množenje , a u drugom množe se
element po element.
- 302 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-311-320.jpg)
![VEŽBA:
1. Dati su elementi , , 2eπ . Formirati matricu 3x3, čiju prvu vrstu čine dati brojevi,
drugu vrstu njihovi tangensi, a treću vrstu kvadratni koreni datih brojeva.
2. Koristeći datu matricu A odrediti:
a) član na mestu (3,1), b) drugu vrstu matrice A,
c) determinantu matrice 2
A , d) transponovanu matricu matrice 1−
A .
3. Ukucati i objasniti:
A(:) , A(:,:) , A(1:2,3) , A(:,3:-1:1) , A([1 3],[2 3]).
4. Izračunati
( )2 1
4 det
T
A A
A
−
+
+
koristeći datu matricu A .
5. Izračunati ( )( )A I A I+ − ako je
1 3 2
1 2 1
0 0 1
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.
6. Rešiti matričnu jednačinu CXBA =2
ako je:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
01
21
A , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
12
30
B , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
118
178
C .
- 303 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-312-320.jpg)
![VEŽBA 3 GRAFIKA
U MATLAB-u postoji mnogo komandi za crtanje grafika. Izgled grafika može se
podešavati proizvoljnim izborom boje, debljine i vrste linija, unošenjem mreže, naslova,
komentara i slično. U ovoj vežbi obrađeno je crtanje dvodimenzionih grafika.
3.1. GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE
Najjednostavniji način za grafičko predstavljanje, sa linearnom podelom na osama,
je korišćenjem naredbe plot. Prilikom crtanja otvara se grafički prozor za koji važe ista
pravila kao kod Windows prozora.
Naredba ima oblik
plot(x,y)
Argumenti x i y su vektori, koji moraju imati isti broj elemenata.
PRIMER 1: Nacrtati vektor (1,2,4,8,16)x = .
>> x=[1,2,4,8,16];plot(x)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Iz ovog primera možemo videti da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive x
uzeo redni broj elementa, a njihove slike, su vrednosti vektora x , tj. tačke nacrtanog
grafika imaju koordinate )16,5(),8,4(),4,3(),2,2(),1,1( .
U opštem slučaju naredba plot(x) crta grafik spajajući tačke
(i, x(i)), i=1, 2, 3,…, N, gde je N dužina vektora.
- 304 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-313-320.jpg)
![PRIMER 2:
Nacrtati vektor dat koordinatama (1,2,4,8,16)x = i ( 1,2, 4,8,16)y = − − .
>> x=[1,2,4,8,16]; y=[-1,2,-4,8,16]; plot(x,y)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Naredba plot se koristi i za crtanje funkcija jedne promenljive. U ovom slučaju
mora unapred da se definiše domen promenljive x u kome će funkcija biti
nacrtana.
PRIMER 3: Nacrtati funkciju 2 x
y e= u domenu [ ]1,1x∈ −
>> x=-1:1
x =
-1 0 1
>> y=2*exp(x)
y =
0.7358 2.0000 5.4366
>> plot(x,y)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
- 305 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-314-320.jpg)
![>> x=-1:.5:1
x =
-1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000
>> y=2*exp(x)
y =
0.7358 1.2131 2.0000 3.2974 5.4366
>> plot(x,y)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
>> x=-1:.1:1;
>> y=2*exp(x);
>>plot(x,y)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Napomena:
U prvom slučaju koristili smo domen [ ]1,1− i MATLAB je za vrednosti nezavisno
promenljive x uzeo tri uzastopne vrednosti 1,0,1− , a funkcija je nacrtana kao
izlomljena linija kroz 3 tačke. U drugom i trećem slučaju smo definisali korak 0,5
i 0,1, pa je nezavisno promenljiva x imala 5 i 20 vrednosti , a funkcija je
nacrtana kao izlomljena linija kroz 5, odnosno 20 tačaka.
- 306 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-315-320.jpg)
![PRIMER 4:
U istom koordinatnom sistemu nacrtati funkcije 1 2y x= i 2 2 x
y e= , u domenu
[ ]1,1x∈ − , sa korakom 0.1.
>> x=-1:.1:1; y1=2*x ;y2=2*exp(x); plot(x,y1,x,y2)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
3.2. IZBOR VRSTE I OBLIKA LINIJE
Naredbom plot u mogućnosti smo da biramo izbor oblika i boje linija.
Nareba ima oblik
plot( x,y,'vrsta linije boja').
Simbol
linije
Opis
. Tačka
o Krug
x x-znak
+ Plus
* Zvezda
- Puna linija
-. Tačka – crta
: Tačkasta
-- Isprekidana linija
- 307 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-316-320.jpg)
![PRIMER 6:
Nacrtati funkciju 92
−= xy u domenu [ ]3,3x∈ − .
>> y='x^2-9'; fplot(y,[-3,3])
-3 -2 -1 0 1 2 3
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
3.4. OZNAČAVANJE GRAFIKA I OSA
MATLAB nudi mogućnosti označavanja osa, pisanje različitog teksta i razne druge
mogućnosti.
Oznaka Opis
title() naziv grafika
xlabel() naziv x ose
ylabel() naziv y ose
text() naziv teksta na grafiku
gtext() tekst na poziciji označenoj mišem
grid crtanje linija mreže
Tekst u predhodnim naredbama piše se u zagradi pod navodnicima.
Naredba hold on zadržava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off .
U naredbi gtext korisnik naknadno sam određuje mišem mesto na koje želi da
smesti tekst.
PRIMER 7:
Nacrtati funkciju siny x= na domenu [ ]2 ,2x π π∈ − i koristeći naredbe iz
tabele obeležiti sliku.
>> y='sin(x)';fplot(y,[-2*pi,2*pi])
>> hold on
>> grid
>> title('sinusna funkcija')
- 309 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-318-320.jpg)
![>> xlabel('x osa')
>> ylabel('y osa')
>> gtext('max')
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sinusna funkcija
x osa
yosa
max
Naredba subplot(m, n, p) formira više grafika na ekranu. Ekran se deli na m n×
delova, a grafik se crta u p -tom delu ekrana.
PRIMER 8:
Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije: [ ], 1,1y x x= ∈ − ;
[ ], 0,1x
y xe x= ∈ ; [ ]2
, 2,2y x x= ∈ − ; [ ]cos , ,y x x π π= ∈ − .
>> x1=-1:1:1; y1=x1;
>> x2=0:0.5:1; y2=x2.*exp(x2);
>> x3=-2:.1:2; y3=x3.^2;
>> x4=-pi:pi/16:pi; y4=cos(x4);
>> subplot(2,2,1),plot(x1,y1)
>> subplot(2,2,2),plot(x2,y2)
>> subplot(2,2,3),plot(x3,y3)
>> subplot(2,2,4),plot(x4,y4)
-4 -2 0 2 4
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.5 1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
- 310 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-319-320.jpg)
![3.5. SKALIRANJE OSA
Ose x i y automatski se postavljaju na osnovu minimalne i
maksimalne vrednosti koordinata.
PRIMER 9: Nacrtati funkciju siny x= za -2 2xπ π≤ ≤ , a zatim postaviti da
domen po x osi bude - xπ π≤ ≤ , a po y osi bude 2,2− .
>> x=-2*pi:pi/16:2*pi; y=sin(x);plot(x,y),grid
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
>> axis([-pi,pi,-2,2])
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Oznaka Opis
axis('equal')
Provera se da li je priraštaj po osama
isti
axis(xmin,xmax,ymin,ymax)
Zadaju se granice u kojima će biti
nacrtan grafik
axis('normal')
Vraćanje na prvobitne dimnezije
grafika
axis('axis') Vraćanje na prvobitno skaliranje
axis
Dobija se informacija o trenutnim
dimenzijama
- 311 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-320-320.jpg)
![VEŽBA:
1. Nacrtati funkcije siny x= i cosy x= u domenu od 0,2π , sa korakom
16
π
.
2. Nacrtati funkciju 2
5 6y x x= − + u proizvoljnom domenu i opisati je tekstom.
3. Koristeći naredbu subplot nacrtati sledeće funkcije:
xy 21 = ; 3
2 xy = ; )sin(3 xy = ;
xy =4 za:
a) [ ]1,0∈x ,
4. Nacrtati funkciju 2
2
1
x
y
x
=
+
u domenu x∈[-2,2]
5. Nacrtati funkciju 0.5
3.5 cos6x
y x−
= u domenu x∈[-2,4] sa korakom 0,01.
- 312 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-321-320.jpg)
![PRIMER 1:
Napisati fajl za određivanje zbira kvadrata prvih deset prirodnih brojeva i
sačuvati fajl pod imenom zbir.
Prvo je potrebno iz menija File komandnog prozora izabrati komandu New, a
zatim opciju M-file. U novootvorenom prozoru ukucati program za izračunavanje
traženog zbira.
% ime ovog m fajla je zbir
x=1:10;
x=[x.^2];
z=sum(x)
Fajl mora da se snimi naredbom Save As iz menija File. U ovom primeru snima se
pod imenom zbir.
Svaki put kada nam je potreban ovaj rezultat, dovoljno je samo otkucati reč zbir,
pod kojim smo upamtili ovaj fajl i pritisnuti taster Enter. Kao rezultat dobijamo:
z =
385
Napomena:
Ukoliko želimo da promenimo vrednosti u fajlu, moramo ga otvoriti, promeniti
željene vrednosti i ponovo snimiti ovako izmenjeni fajl.
- 322 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-331-320.jpg)
![PRIMER 2:
Izmeniti fajl pod imenom zbir tako da broj sabiraka bude proizvoljan.
Vrednost promenljive uneti naredbom input.
x=input('unesi broj željenih sabiraka ')
y=1:x;
y=[y.^2];
S=sum(y)
Svaki put kada nam je potreban zbir kvadrata proizvoljno mnogo brojeva,
dovoljno je samo otkucati reč zbir pod kojom smo upamtili ovaj fajl i uneti broj
željenih sabiraka.
>> zbir
unesi broj željenih sabiraka: 33
x =
33
S =
12529
2. FUNKCIJSKI FAJLOVI
Funkcijski fajl omogućava korisniku MATLAB-a da stvara nove funkcije.
Funkcijski fajlovi se pišu i uređuju isto kao i skript fajlovi.
Osnovna osobina funkcijskog fajla je da ima ulaz i izlaz.
Funkcijski fajlovi moraju u prvoj liniji da sadrže naredbu function .
Naredba je oblika:
function [ izlazni argumenti y1, y2,…] = ime funkcije (ulazni argumenti x1, x2,…)
function ime funkcije (x1, x2,…)
function [y1, y2,…] = ime funkcije
Posle ovoga izraza sledi niz MATLAB - ovih komandi i izraza.
PRIMER 3:
Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija ( ) sinx
f x e x= + i
zapamtimo ga pod imenom fi.
% funkcijski fajl
% ime nove funkcije je fi
function y=fi(x)
y=exp(x)+sin(x);
- 323 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-332-320.jpg)
![Ako želimo da izračunamo vrednost ove funkcije, dovoljno je da pozovemo
funkciju fi i definišemo vrednost promenljive, na primer
2
x
π
= .
>> fi(pi/2)
ans =
5.8105
PRIMER 4:
Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija ( ) sinx
f x e x= + pod
imenom fa, a da se vrednost nezavisno promenljive unesi korišćenjem naredbe
input
% ime nove funkcije je fa
function y=fa
x=input('unesi promenljivu x= ')
y=exp(x)+sin(x);
Pozivanjem funkcije fa i odgovorom na postavljeno pitanje dobićemo odgovor:
>> fa
unesi promenljivu x=3
x =
3
ans =
20.2267
PRIMER 5:
Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim se određuje broj slova u nekom
imenu.
% funkcijski fajl ime kojim se određuje broj slova u imenu
function br(x)
x=input('unesi svoje ime:','s')
% oznaka s u naredbi označava da se unose stringovi
n=length(x);
disp(['broj slova u imenu je',num2str(n)])
>> ime
unesi svoje ime: ivana
x =
ivana
broj slova u imenu je 5
U naredbi disp, tekst je definisan kao dvodimenzioni vektor, čija je prva
komponenta znak (string), a druga koja kao rezultat programa daje broj koji
mora da se naredbom num2str prebaci u znak (string).
- 324 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-333-320.jpg)
![VEŽBA 6 JEDNAČINE I SISTEMI ALGEBARSKIH JEDNAČINA
1. SREĐIVANJE POLINOMA
Za izračunavanje rešenja, korena, odnosno nula polinoma koristi se
naredba roots.
Naredba ima oblik r = roots (p)
r je vektor koji sadrži rešenja polinoma, a p vektor koji sadrži koeficijente
polinoma.
PRIMER 1: Odrediti nule polinoma 2
5 6 0x x− + = .
>> p=[1 -5 6];
>> r=roots(p)
r =
3.0000
2.0000
Sa druge strane, kada su poznata rešenja polinoma, pomoću naredbe poly mogu
se odrediti koeficijenti polinoma, odnosno napisati polinom.
Naredba ima oblik p=poly (r)
r je vektor koji sadrži rešenja polinoma, a p je vektor koji sadrži koeficijente
polinoma.
PRIMER 2:
Odrediti polinom čija su rešenja 2x = i 3x = .
>> r=[2 3];
>> p=poly(r)
p =
1 -5 6
Dakle, traženi polinom je 2
5 6x x− + .
- 327 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-336-320.jpg)
![Vrednost polinoma u tački x može se izračunati pomoću funkcije polyval.
Naredba ima oblik: polyval (p,x)
gde je p vektor koji sadrži koeficijente polinoma, a x je broj, promenljiva kojoj je
dodeljena vrednost ili izraz koji se može računati.
PRIMER 3:
Za polinom:
( ) 88.3595.71015.1759.401.12 2345
+−−+−= xxxxxxf izračunati ( )9f i
nacrtati grafik polinom za 7.65.1 ≤≤− x .
>> p=[1 -12.1 40.59 -17.015 -71.95 35.88]
p =
1.0000 -12.1000 40.5900 -17.0150 -71.9500 35.8800
>> polyval(p,9)
ans =
7.2611e+003
>> x=-1.5:0.1:6.7;
>> y=polyval(p,x);
>> plot(x,y)
- 328 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-337-320.jpg)
![2. OPERACIJE SA POLINOMIMA
Polinomi se sabiraju i oduzimaju tako što se saberu, odnosno oduzmu koeficijenti
polinoma (odgovarajućih monoma).
PRIMER 4:
Sabrati polinome ( ) 3 2
1 3 2 4 6p x x x x= − − + i
( ) 4 3 2
2 2 7 3 1p x x x x x= + − − + .
>> p1=[3 -2 -4 6];
>> p2=[1 2 -7 -3 1];
>> p=[0 p1]+p2
p =
1 5 -9 -7 7
Kako polinomi nisu istog stepena kraći vektor se mora dopuniti nulama da bi bio
iste veličine kao duži vektor.
Polinomi se množe pomoću naredbe conv.
Naredba ima oblik c=conv (a,b)
c je vektor koeficijenata polinoma rezultata, a a i b su vektori koeficijenta
polinoma koji se množe.
PRIMER 5:
Pomnožiti polinome 1p i 2p .
>> c=conv(p1,p2)
c =
3 4 -29 3 49 -32 -22 6
Dakle, rešenje je polinom 7 6 5 4 3 2
3 4 29 3 49 32 22 6x x x x x x x+ − + + − − +
Polinomi se dele pomoću naredbe deconv.
Naredba ima oblik [q,r]=deconv (a,b)
q je vektor koeficijenata polinoma količnika, r vektor koeficijenata polinoma
ostatka, a je vektor koeficijenta polinoma brojioca, b je vektor koeficijenta
polinoma imenioca.
- 329 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-338-320.jpg)
![PRIMER 6:
Podeliti polinome ( ) 3 2
1 2 9 7 6p x x x x= + + − i ( )2 3p x x= + .
>> p1=[2 9 7 -6];
>> p2=[1 3];
>> [q r]=deconv(p1,p2)
q =
2 3 -2
r =
0 0 0 0
Dobijamo da je količnik polinom 2
2 3 2x x+ − , bez ostatka.
3. REŠAVANJE JEDNAČINA SA JEDNOM PROMENLJIVOM
Jednačina sa jednom promenljivom ima oblik ( ) 0f x = .
Za izračunavanje nula funkcije koristi se naredba fzero.
Naredba ima oblik x=fzero('funkcija',x0)
x je skalarna vrednost.
Funkcija se unosi u obliku znakovnog niza ( string ). Funkcija se prethodno može
definisati u funkcijskom fajlu, a ime funkcije se zadaje u obliku znakovnog niza.
0x je vrednost promenljive x u blizini mesta gde funkcija preseca x osu.
0x može biti skalar čija je vrednost bliska tački preseka funkcije sa x osom ili
vektor sa dva elementa čije su vrednosti tačke na suprotnim stranama rešenja.
Ako ima više rešenja svako se izračunava za sebe.
Početno rešenje 0x se može odrediti grafičkim putem.
Funkcija fzero pronalazi samo rešenja u kojima funkcija preseca x osu.
PRIMER 7:
Naći rešenja jednačine 0.2x
xe−
=
Približna rešenja određujemo grafički.
>> fplot('x*exp(-x)-0.2',[0 8]);grid
- 330 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-339-320.jpg)
![PRIMER 8:
Kreirati fajl Cramer za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina
koristeći Kramerovo pravilo.
% Novi fajl pod imenom Cramer
%Rešavanje sistema AX=B- Cramerovim pravilom
% m,n su dimenzije matrice A
% samo kvadratni sistemi se mogu rešavati ovom metodom
function X=Cramer(A,B)
%određivanje dimenzija matrice A
[m,n]=size(A);
if m ~= n,
error('Matrica nije kvadratna-ne moze da se primeni Kramerova metoda'),
end
if det(A)==0,
error('Matrica je singularna-determinanta joj je nula'),
end
for j=1:n,
C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A);
end
X=X';
PRIMER 9:
Koristeći kreirani fajl Cramer rešiti sistem jednačina
2 4 0
2 2 6
3 6 6
x y z
x y z
x y
− − =
− + + =
+ =
>> A=[2 –4 –1 ; –1 2 2 ; 3 6 0];
>> B=[0 ; 6 ; 6];
>> Cramer(A , B)
ans =
2
0
4
PRIMER 10:
Koristeći kreirani fajl Cramer rešiti sistem jednačina
2 3 1
3 2 1
6 3
x y z
x y z
x y z
− + + =
+ − =
− + =
.
- 332 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-341-320.jpg)
![>> A1=[–2 3 1;1 3 –2;1 –6 1]
A1 =
-2 3 1
1 3 -2
1 -6 1
>> B1=[1;1;3]
B1 =
1
1
3
Cramer(A1,B1)
??? Error using ==> cramer
Matrica je singularna
4.2. Matrična metoda
Matričnom metodom, sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih, mora da
se napiše u obliku AX B= , gde je A matrica sistema, X matrica nepoznatih,
a B matrica slobodnog člana.
Rešenje dobijamo iz jednačine 1
X A B−
= , samo ako postoji inverzna matrica
1
A−
, odnosno ako je njena determinanta različita id nule.
PRIMER 11:
Rešiti sistem jednačina matričnom metodom
2 3 1
3 2 1
6 3
x y z
x y z
x y z
− + + =
+ − =
− + =
.
>> A=[-2 3 1;1 3 -2;1 -6 -1]
A =
-2 3 1
1 3 -2
1 -6 -1
>> B=[1;1;3]
B =
1
1
3
>> X=inv (A)*B
X =
-2.5000
-0.5000
-2.5000
- 333 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-342-320.jpg)
![PRIMER 12:
Rešiti sistem jednačina matričnom metodom i koristeći kreirani fajl Cramer.
Uporediti ovako dobijena rešenja.
2 3 11
3 5 2 19
2 3 14
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
>> M=[2, 3, 1 ; 3, 5, 2 ; 1, 2, 3]
M =
2 3 1
3 5 2
1 2 3
>> N=[11 ; 19 ; 14]
N =
11
19
14
>> X1=inv(M)*N
X1 =
1.0000
2.0000
3.0000
>> X2=Cramer(M,N)
X2 =
1
2
3
- 334 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-343-320.jpg)
![Napomena:
Ako računamo sa simboličkim promenljivama rezultat je tačna brojna vrednost i
vidi se na ekranu bez uvlake, a u drugom slučaju rezultat je približna numerička
vrednost.
2. REŠAVANJE JEDNAČINA
Rešavanje jednačina i sistema jednačina vrši se naredbom solve().
Naredba ima oblik :
s=solve(jednačina)
s=solve(jednačina, promenljiva )
PRIMER 4:
Rešiti jednačinu 2 5 0x − =
> syms x
>> y=solve(2*x-5)
y =
5/2
Jednačina sadrži jednu ulaznu simboličku promenljivu x , a rešenje je broj, dat
kao simbolička promenljiva.
PRIMER 5:
Rešiti jednačinu 2
0ax bx c+ + = .
>> syms x a b c
>> solve(a*x^2+b*x+c)
ans =
[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
Jednačina sadrži više ulaznih simboličkih promenljivih , , ,x a b c, a rešenje je
simbolička promenljiva u funkciji ulaznih parametara , ,a b c .
3. REŠAVANJE SISTEMA JEDNAČINA
Naredbe imaju oblik :
[r1,r2,...]=solve (jednačina 1, jednačina 2,....)
rezultat=solve(jednačina 1, jednačina 2,..., promenljiva1 promenljiva2,.....,)
- 338 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-347-320.jpg)
![PRIMER 6:
Rešiti sistem jednačina 5 3x y+ = i 2 4x y− = .
>> [x,y]=solve( 'x+5*y-3','2*x-y-4')
x =
23/11
y =
2/11
Napomena:
Kako je sistem saglasan i ima jednoznačno rešenje, mi ga vidimo na ekranu kao
par simboličkih brojeva.
PRIMER 7:
Rešiti sistem jednačina 5 3x yz+ = i 2 4x y− = .
>> [x,y]=solve( 'x+5*y*z-3','2*x-y-4')
x =
(20*z+3)/(1+10*z)
y =
2/(1+10*z)
Napomena:
Kako je sistem saglasan, a ima beskonačno mnogo rešenja, mi rešenje vidimo na
ekranu kao simboličku promenljivu izraženu u funkciji promenljive z .
PRIMER 8:
Odrediti presek kruga 2 2
41x y+ = i prave 1 0y x− − = .
>> syms x y
> [x y]=solve('x^2+y^2-41','y-x-1')
x =
4
-5
y =
5
-4
4. CRTANJE GRAFIKA KRIVE SIMBOLIČKOG IZRAZA
Crtanje grafika simboličkog izraza se radi korišćenjem naredbe ezplot.
Naredba ima oblik :
ezplot(S)
ezplot(S,[xmin,xmax,ymin,ymax])
- 339 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-348-320.jpg)
![S je simbolički izraz krive koja se crta. U prvoj naredbi ezplot(S) grafik se crta u
domenu ( )2 ,2π π− , a u drugoj sami zadajemo domen promenljive x i
promenljive y .
PRIMER 9:
Nacrtati grafik funkcije 2
2 1y x x= + + .
>> syms x
>> y=x^2+2*x+1;
>> ezplot(y)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
10
20
30
40
50
x
x2
+2 x+1
PRIMER 10:
Nacrtati grafik funkcije cosy x= , na intervalu ( )0,4π
>> syms x
>> y=cos(x);
>> ezplot(y,[0,4*pi])
0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(x)
- 340 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-349-320.jpg)
![PRIMER 9:
Odrediti Tejlorov polinom šestog stepena funkcije u okolini tačke
2
π
=x .
>> syms x
>> taylor(sin(x),pi/2,7)
ans =
1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4-1/720*(x-1/2*pi)^6
>> pretty(ans)
2 4 6
1 - 1/2 (x - 1/2 pi) + 1/24 (x - 1/2 pi) - 1/720 (x - 1/2 pi)
PRIMER 10:
Odrediti Maklorenove polinome prvog trećeg i petog stepena funkcije xy sin=
i grafički predstaviti.
% Maklorenovim polinomima prvog, treceg i petog stepena aproksimirati
% funkciju sin(x) i graficki predstaviti.
syms x
y=sin(x);
t1=taylor(y,3),t3=taylor(y,5),t5=taylor(y,7)
t1 =
x
t3 =
x-1/6*x^3
t5 =
x-1/6*x^3+1/120*x^5
% crtanje funkcije i njenih polinoma
ezplot(y,[-3,3]),grid,hold on,
ezplot(t1,[-3,3]),ezplot(t3,[-3,3]),ezplot(t5,[-3,3])
%obelezavanje slike
gtext('y'),gtext('t1'),gtext('t3'),gtext('t5')
title('aproksimacija funkcije polinomima prvog, treceg i petog stepena')
- 348 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-357-320.jpg)
![-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.5
0
0.5
1
x
aproksimacija funkcije polinomima, prvog, treceg i petog stepena
y
t1 t3
t5
3.3. Lagranžova teorema
Ako je funkcija definisana na intervalu [ ]ba, , neprekidna i diferencijabilna na
( )ba, onda postoji tačka ( ),c a b∈ takva da je ( ) ( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
=' .
Geometrijski to znači da će u tački c tangenta funkcije biti paralelna sa pravom
koja prolazi kroz tačke ( )( )afa, i ( )( )bfb, .
PRIMER 11:
Definisati fajl pod imenom lagr kojim se određuje tačka c na intervalu [ ]4,1∈x
koja zadovoljava uslove Lagranžove teoreme za funkciju ( ) xxf = .
% fajl pod imenom lagr
% Lagranzova teorema srednje vrednosti
% interval [a,b]
syms x
a=input ('a=');
b=input ('b=');
y=sqrt(x)
k=(sqrt(b)-sqrt(a))/(b-a);
% izvod funkcije
df=diff(y)
% nule prvog izvoda funkcije
c=solve(df-k);
yc=sqrt(c);
pretty (c)
c,yc
- 349 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-358-320.jpg)
![>> lagr
a=1
b=4
y =
x^(1/2)
df =
1/2/x^(1/2)
c =
9/4
yc =
3/2
U ovom primeru tačka c je pripadala traženom intervalu [ ]1,4 , pa su bili
ispunjeni uslovi teoreme.
PRIMER 12:
Odrediti tačku c na intervalu [ ]1,1x∈ − koja zadovoljava uslove Lagranžove
teoreme za funkciju ( ) arcsinf x x= .
Formirati fajl pod imenom lagr1 kojim se definiše teorema. Grafički predstaviti
i tekstom opisati sliku.
% Lagranzova teorema za funkciju y=arcsin(x)
% interval (-1,1) sa grafickim prikazom
syms x
a=-1;b=1;
k=(asin(b)-asin(a))/(b-a);
df=diff(asin(x))
% tražena tačka
c=solve(df-k);
c=double(c);
n=length(c)
% provera da li tacka pripada datom intervalu
for i=1:n
if c(i)<a | c(i)>b
disp(['uslovi teoreme nisu zadovoljeni za c=' num2str(c(i))])
else
disp(['odgovor c=' num2str(c(i))])
end
end
% graficko predstavljanje teoreme
y=asin(x);
% grafik funkcije
ezplot(y,[-1.5,1.5]),hold on
title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme')
xlabel('x osa')
- 350 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-359-320.jpg)
![ylabel('y osa')
x12=[a,b]
y12=[asin(a),asin(b)]
% grafik secice kroz tacke sa apsicisama a i b
plot(x12,y12,'m')
% dodirne tacke tangenti i krive
plot(c(i),asin(c(i)),'b*')
% k je koeficijent pravca secice
% p1,2 su tangente kroz dve dodirne tacke
for i=1:n
p(i)=k*((x)-c(i))+asin(c(i));
% grafik tangenti
ezplot(p(i),[-1.5,1.5])
title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme')
xlabel('x osa')
ylabel('y osa')
end
gtext('tangenta u prvom dodiru')
gtext('tangenta u drugom dodiru')
gtext('secica')
>> lagr1
df =
1/(1-x^2)^(1/2)
n =
2
odgovor c=0.77118
odgovor c=-0.77118
x12 =
-1 1
y12 =
-1.5708 1.5708
- 351 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-360-320.jpg)
![-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x osa
graficko predstavljanje Lagranzove teoreme
yosa
tangenta u prvom dodiru
tangenta u drugom dodiru
secica
VEŽBA:
1. Izračunati 2
lim
1x
x
x→∞ −
.
2. Izračunati 21
lim
1x
x
x→ −
.
3. Naći prvi izvod funkcije x
xey = .
4. Naći deseti izvod funkcije xn
exy = .
5. Funkciju ( ) )1ln( 2
xxxf ++= razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena
i nactrati sliku.
6. Dokazati da funkcija ( ) xxxxf 35 23
−−= na segmentu [ ]1,3 zadovoljava
uslove Lagranžove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost c . Grafički
predstaviti.
7. Nacrtati i opisati sliku funkcije x
xey = .
8. Nacrtati i opisati sliku funkcije 2
1
x
y
x
=
−
.
- 352 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-361-320.jpg)
![VEŽBA 10 INTEGRALI PRIMENA
1. Dužina luka krive
Ako je zadata funkcija ( )xfy = , neprekidna i diferencijabilna na segmentu
[ ]bax ,∈ , dužina luka krive l izračunava se po obrascu
2
1
b
a
l y dx′= +∫ .
PRIMER 1:
Izračunati dužinu luka krive )1ln( 2
xy −= na intervalu ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−∈
2
1
,
2
1
x .
>> syms x
>> y=log(1-x.^2);
>> f=sqrt(1+diff(y).^2);
>> l=int(f,-1/2,1/2)
l =
-1+2*log(3)
>> double(l)
ans =
1.1972
PRIMER 2:
Izračunati dužinu luka parabole 2
xy = između tačaka A(0,0) i B(2,4).
>> syms x
>>% granice integracije su x=0 i x=2
>> y=x.^2;
>> f=sqrt(1+diff(y).^2);
>> l=int(f,0,2)
l =
17^(1/2)-1/4*log(-4+17^(1/2))
>> double(l)
ans =
4.6468
- 359 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-368-320.jpg)
![PRIMER 3 :
Izračunati dužinu luka krive xy ln= na intervalu ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
5
12
,
4
3
x .
>> syms x
>> y=log(x);
>> f=sqrt(1+diff(y).^2);
>> l=int(f,3/4,12/5)
l =
27/20-atanh(5/13)+atanh(4/5)
>> double(l)
ans =
2.0431
2. Izračunavanje površina
Funkcija fill se koristi za obelezavanje površine na dobro poznatom objektu.
Naredba ima oblik fill(x, y,’boja’)
Funkcija koju posmatramo uzima tri ulazna parametra: dva polja, ovde
imenovanih x i y. Oni sadrže x i y koordinate ivica poligona koje treba popuniti i
definišemo ih u obliku ([xp x xk],[yp y yk]), gde je xp, yp početna tačka ivice
poligona, a xk, yk krajnja tačka ivice poligona koji tražimo. Treći parametar je
boja koju korisnik odabire da bi popunio objekt.
Naredba fill će popuniti sav prostor između zadate krive y i prave koja prolazi
kroz tačke, (xp, yp) , (xk, yk).
PRIMER 4:
Data je funkcija 2
y x= na intervalu 5 5x− ≤ ≤ . Obeležiti oblast ograničenu
datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala.
- 360 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-369-320.jpg)
![>> x=-5:5;
>> xp=-5;yp=-5;
>> xk=5;yk=5;
>> y=x.^2;
>> fill([-5,x,5],[-5,y,-5],'b')
Napomena: Površina koju senčimo mora da bude zatvorena.
PRIMER 5:
Data je funkcija 2
y x= na intervalu 10 ≤≤ x . Obeležiti oblast ograničenu
datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala i
izračunati brojnu vrednost površine.
>> % domen nezavisno promenljive x je (0,1)
>> x=0:0.001:1;
>> % (xp,yp) je početna tačka zadatog intervala
>> % (xk,yk) je krajnja tačka zadatog intervala
>> xp=0;yp=0;
>> xk=1;yk=1;
>> y=x.^2;
>> fill([0,x,1],[0,y,1],'r')
- 361 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-370-320.jpg)
![Prava koja prolazi kroz tačke ( )0,0 i ( )1,1 ima jednačinu y x= , pa tražena
površina ima vrednost:
>> P=int('x',0,1)-int('x^2',0,1)
P =
1/6
>> double(P)
ans =
0.1667
PRIMER 6:
Data je funkcija 2
y x= na intervalu 10 ≤≤ x . Obeležiti oblast ograničenu
datom funkcijom i x -osom i izračunati brojnu vrednost te površine.
Napomena:
Već smo naglasili da oblast koju računamo mora biti zatvorena. U ovom slučaju mi
tražimo oblast koju zahvata polazna funkcuja 2
y x= i prava 0y = .
>> %domen nezavisno promenljive x
>> x=0:0.001:1;
>> % (xp,yp) je početna tačka zadatog intervala
>> xp=0;yp=0;
>> % (xk,yk) je krajnja tačka zadatog intervala
>> xk=1;yk=0;
>> y=x.^2;
>> fill([0,x,1],[0,y,0],'r')
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
- 362 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-371-320.jpg)
![>> % tražena površina
>> P=int('x^2',0,1)
P =
1/3
>> double(P)
ans =
0.3333
PRIMER 7:
Izračunti površinu ograničenu lukom krive 2
9y x= − i x osom i obeležiti traženu
površinu.
>> syms x
>>y=x.^2-9;
% presečne tačke funkcije sa osom x dobijaju se rešavanjem jednačine
y=0
>> a=solve(y)
a =
[ 3]
[ -3]
% granice integracije su dakle -3 i 3
>>I= int(y,-3,3)
I =
-36
% površina mora biti pozitivna
>> abs(I)
ans =
36
>>% obeležavanje oblasti integracije u datom domenu
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
- 363 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-372-320.jpg)
![>> x=-3:0.1:3;
>> y=x.^2-9;
>> fill([-3,x,3],[0,y,0],'r')
PRIMER 8:
Obeležiti površinu ograničenu funkcijom 2
1y x= + i x osom na intervalu
0 1x≤ ≤ i izračunati površinu
>> x=0:0.001:1;
>> y=x.^2+1;
>> fill([0,x,1],[0,y,0],'g')
>> syms x
>> y=x.^2+1;
>> P=int(y,0,1)
P =
4/3
>> double(P)
ans =
1.3333
-3 -2 -1 0 1 2 3
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
- 364 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-373-320.jpg)
![PRIMER 9:
Obeležiti površinu ograničenu funkcijama 2
1( )f x x= i ( )2f x x= i izračunati
površinu obeležene figure.
>> syms x
>> f1=x.^2;
>> f2=sqrt(x);
>> % računamo presečne tačke krivih
>> f3=f1-f2;
>> x=solve(f3)
x =
0
1
>> % presečne tačke krivih su 0 i 1
>> % vrednosti funkcija u tim tačkama su takođe 0 i 1
>> x=0:0.001:1;
>> fill([0,x,1],[0,x.^2,1],'g',[0,x,1],[0,sqrt(x),1],'r')
>> % izračunavanje površine
>> syms x
>> f1=x.^2;f2=sqrt(x);
>> P=int(f2,0,1)-int(f1,0,1)
P =
1/3
>> double(P)
ans =
0.3333
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
- 365 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-374-320.jpg)
![3. Izračunavanje zapremine
PRIMER 10:
Izračunati zapreminu lopte poluprečnika r.
Lopta se dobija rotacijom kruga jednačine 222
ryx =+ oko x-ose.
>> syms x r
>> f=2*pi*(r^2-x^2)
f =
2*pi*(r^2-x^2)
>> z=int(f,0,r)
z =
4/3*pi*r^3
>> pretty(z)
3
4/3 pi r
PRIMER 11:
Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose površi ograničene
linijama 2
xy = i 1
4
3 2
+= xy .
>> syms x y
>> %Presečne tačke funkcija su rešenje sistema y=x^2 i y=3/4x^2+1.
>> [x y]=solve('x^2-y','3/4*x^2+1-y')
x =
-2
2
y =
4
4
>> f=2*pi*((3/4*x^2+1)^2 - (x^2)^2)
f =
2*pi*((3/4*x^2+1)^2-x^4)
>> z=int(f,0,2)
z =
32/5*pi
>> pretty(z)
z =
32/5 pi
>> double(z)
ans =
20.1062
- 366 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-375-320.jpg)
![PRIMER 12:
Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površine koju čine krive xy
= 4, x = 2, x = 4, y = 0, rotira oko x-ose.
>> syms x
>> f=pi*(16/(x^2))
f =
16*pi/x^2
>> z=int(f,2,4)
z =
4*pi
>> pretty(z)
4 pi
VEŽBA:
1. Izračunati površinu koju ograničava x osa i grafik funkcije ( ) 2
4f x x x= − i
obeležiti traženu površinu.
2. Izračunati površinu koju ograničava x osa i grafik funkcije ( ) sinf x x= na
intervalu 0,
2
π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
i obeležiti traženu površinu.
3. Izračunati površini koju ograničavaju grafici datih funkcija
( ) ( )2 2
8 18 2 18f x x x f x x= − + ∧ = − + .
(nacrtati sliku i obeležiti datu površinu).
4. Izračunati dužinu luka krive ( )2
2ln 4y x= − , na intervalu [0,1]x∈ .
5. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x - ose površi ograničene
linijama 2 2
4x y− = i 2
3 0y x− = oko x ose.
- 367 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-376-320.jpg)
![ZADACI ZA VEŽBANJE
1. Koristeći naredbu subplot nacrtati 6 funkcija koje predstavljaju opštu jednačinu
drugog reda 022
=+++++ feydxcybxyax za različite vrednosti
parametara tako da se dobiju krug, elipsa, 2 hiperbole i 2 parabole.
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
2
5 4x x
y
x
+ +
= . Tekstom opisati sliku.
3. Rešiti matričnu jednačinu
1 2 0 1 2
1 1 1 0 2
0 1 3 1 0
X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
4. Razviti funkciju 1y x= + u Maklorenovu formulu za 2n = i grafički
predstaviti.
5. Odrediti dužinu luka krive ln cosy x= između njenih nula..
6. Odrediti dužinu luka krive ( )
1
3
3
y x x= − na [ ]0, ,
2
a a
π
< .
7. Odrediti dužinu luka krive 2
2y x x= + koji se nalazi ispod x ose.
8. Primenom integralnog računa izračunati dužinu obima elipse.
9. Primenom integralnog računa izračunati dužinu obima kruga.
10. Date su matrice
1 3 2 2 3 1
1 2 1 , 1 1 1
0 0 1 0 0 1
A M
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. Rešiti jednačinu
2 1
X A AM −
+ = .
11. Ispitati i grafički prikazati funkciju ( )2
2 3x
y e x x= − . Tekstom opisati sliku.
12. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2
cos cosy x x= − . Tekstom opisati sliku.
- 368 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-377-320.jpg)
![13. Rešiti jednačinu AX BC D+ = , gde je
2 0 1 2 0 11
5
1 1 0 , 0 2 , , 6
3
3 1 2 0 1 9
A B C D
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
14. Ispitati i grafički prikazati funkciju
1
1
x
y
x
−
=
+
. Tekstom opisati sliku.
15. Ispitati i grafički prikazati funkciju
2
3
1
x
y
x
−
=
+
. Tekstom opisati sliku.
16. Ispitati i grafički prikazati funkciju
1
x
y x
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Tekstom opisati sliku.
17. Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije [ ], 1,6n
y x n= ∈ .
18. Odrediti sva rešenja jednačine ( )2
0
cos sin
a
x a dx a+ =∫ na intervalu [ ]2,3
19. Odrediti skup svih pozitivnih rešenja jednačine ( )2 3
0
3 4 5 2
a
x x dx a+ − = −∫
20. Izračunati integral
2
0,25
0
x
e dx−
∫ sa tačnošću do 4
10−
.
21. Izračunati površinu figure ograničene linijama 2
y x= i 23
1
4
y x= + .i grafički
predstaviti. Traženu površinu obeležiti.
22. Izračunati površinu figure ograničene linijama 2 2
4 20x y+ = i 4xy = . i
grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti.
23. Izračunati površinu figure ograničene linijama ( )( )1 2y x x x= − − i x osom. i
grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti.
24. Izračunati površinu figure ograničene linijom 2
2
1
x
y
x
=
+
, ordinatom
maksimuma i x osom. i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti.
- 369 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-378-320.jpg)
![25. Dokazati da sistem jednačina
0
2 6 5 2
6 5 6 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
ima jedinstveno rešenje, a zatim rešiti sistem matričnom metodom.
26. Odrediti površinu koja je ograničena lukom krive x
y e−
= , njenom asimptotom
i tangentom u tački ( )01,M y− . i grafički predstaviti. Traženu površinu
obeležiti.
27. Rešiti sistema jednačina primenom Kramerovog pravila
2 3 1
6
3 2 1
x y z
x y z
x y z
− + = −
+ + =
+ − = −
28. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije ( )
1
2 x
y x e= + .
Tekstom opisati sliku.
29. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju ( ) x
f x xe−
= i 4n = . i grafički
predstaviti.
30. Izračunati dužinu luka krive ( )2
ln 1y x= − na [ ]3 , 4 . i grafički predstaviti.
31. Izračunati dužinu luka krive 2
arcsiny x x x= − − od tačke ( )( )0 , 0A f
do tačke ( )( )1, 1B f . i grafički predstaviti.
32. Rešiti jednačinu
ln2
61
x
t
dt
e
π
=
−
∫ .
33. Dokazati da funkcija ( ) 2
f x x x= − na segmentu [ ]2,1− ispunjava uslove
Lagranžove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost ξ . i grafički predstaviti.
34. Funkciju ( ) x
f x e= razviti u Tejlorovu formulu po stepenima binoma 1x + do
člana koji sadrži ( )
3
1x + . i grafički predstaviti.
- 370 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-379-320.jpg)
![35. Izračunati površinu ograničenu krivim linijama ( )
2 2
4 , 16y x y x= − = − . i
grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti.
36. Dat je polinom ( ) 2
9P x x x= + − i matrica
1 2 2
2 1 2
2 2 1
A
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎣ ⎦
. Odrediti
( )P A i ( )rang A .
37. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije ( ) ( )2
2 3 12 3 2y x x x= − − −
na intervalu [ ]3,6− . Slika
38. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije
3
3
x
y
x
= + na intervalu
[ ]5, 1− − Slika.
39. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije 15 3cos cos3y x x= − + na
intervalu 0,
2
π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
Slika.
40. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije
3
3
x
y
x
= + na intervalu
[ ]5, 1− − Slika.
41. Izračunati sumu reda ( )2
2
1
1
1
n
∞
−∑ uzimajući sve članove koji su po apsolutnoj
vrednosti veći od 0.0001
42. Izračunati približnu vrednost funkcije siny x= razvojem u red sa tačnošću
0.0001
43. Dat je red ( )
1
1
1
1
k
k k
∞
+
=
−∑ . Izračunati zbir reda sa tačnošću do 0.1.
- 371 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-380-320.jpg)
![SPISAK KOMANDI I FUNKCIJA
KOMANDE ZA UPRAVLJANJE
help pomoć u radu sa Matlabom.
demo osnovni demonstracioni programi.
clc briše se sadržaj komandnog prozora.
clear briše sve promenljive i funkcije iz memorije.
who lista tekućih promenljivih.
whos lista tekućih promenljivih, duža forma .
size veličina promenljive.
format izlazni format.
load učitavanje promenljivih sa diska.
save snimanje promenljivih na disk.
delete brisanje fajlova.
home skok na početak ekrana.
quit završetak rada.
exit završetak rada.
pause pauza do pritiska na neki taster.
disp prikaz rezultata na ekranu
input zahteva da korisnik unese podatke
ZNAKOVI, ARITMETIČKI, RELACIJSKI I LOGIČKI OPERATORI
+ plus.
- minus.
* množenje.
.* množenje element po element.
^ stepenovanje.
.^ stepenovanje element po element.
/ deljenje udesno.
deljenje ulevo.
(,) za pozivanje funkcija i redosled operacija.
[,] definišu vektore i matrice.
. decimalni zarez.
... nastavlja red.
, razmak između elemenata i argumenata funkcije.
; kraj reda ili isključuje prikazivanje rezultata.
% komentar.
= dodeljivanje vrednosti.
= = jednakost.
- 373 -](https://image.slidesharecdn.com/us-matematika-140813212008-phpapp02/85/Us-matematika-382-320.jpg)
More Related Content
Us matematika
- 2. UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc. drIvana KovaĀeviþ MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 2010.
- 3. MATEMATIKA SA ZBIRKOMZADATAKA Autor: Doc. dr Ivana KovaĀeviþ Recenzent: Prof. dr. Nenad Cakiþ Izdavaÿ: UNIVERZITET SINGIDUNUM Beograd, Danijelova 32 www.singidunum.ac.rs Za izdavaÿa: Prof. Dr Milovan Stanišiþ Tehniÿka obrada: Novak Njeguš Dizajn korica: Aleksandar Mihajloviþ Godina izdanja: 2010 Tiraž: 300 primeraka Štampa: Mladost Grup Loznica ISBN 978-86-7912-276-6 Copyright: ” 2010 Univerzitet Singidunum IzdavaĀ zadržava sva prava. Reprodukcija pojedinih deloa ili celine ove publikacije nije dozvoljena.
- 4. “Lakše je matematikunau«iti nego živeti bez nje” H. Baus
- 6. PEDGOVOR Ovaj udžbenik napisanje za studente prve godine Univerziteta Singidunum u Beogradu, koji slušaju jednosemestralni kurs matematike, na svim fakultetima. PrilagoĄen je planu i programu ovog predmeta. Udžbenik objedinjuje teoriju i zadatke, što je standard u savremenoj literaturi. Ideja autora je bila da se izloži kratak pregled teorije, odnosno najvažnije definicije i teoreme koje su neophodne studentima. Dokazi su lišeni Āesto optereþujuþih detalja, sa željom da ovaj naĀin izlaganja bude prihvatnjiv za što širi krug Āitalaca. Osim teorije udžbenik sadrži veliki broj zadataka koji pomažu da se izložena teorija lakše savlada. U posebnom poglavlju nalaze se vežbe za rad u laboratoriji, korišþenjem programskog paketa MATLAB. MATLAB je prvenstveno bio namenjen inženjerima, ali je za kratko vreme postao standardni programski paket na univerzitetima, školama i institutima. MATLAB je jednostavan za korišþenje. Problemi i rešenja se izražavaju na naĀin sliĀan kao u standardnim matematiĀkim izraĀunavanjima, bez potrebe tradicionalnog progra- miranja. Broj funkcija koje nudi MATLAB je ogroman. U svakoj novoj verziji taj broj se poveþava. Mi nismo imali potrebe, ali ni moguþnosti da sve funkcije pomenemo. Zadržali smo se na najvažnijim. Mnogi zadaci koji su se pojavljivali na ispitima u okviru predmeta matematika, obraĄeni su korišþenjem MATLAB -a . Na taj naĀin studentima je pružena moguþnost da se upoznaju sa savremenim moguþnostima realizacije programa predmeta matematika. Autor poziva sve studente, Āitaoce i druge korisnike ovog udženika da daju svoje sugestije, da bi naredna izdanja bila kvalitetnija i sadržajnija. U Beogradu AUTOR 15.07.2010
- 8. SADRŽAJ 1. UVOD 3 1.1.TEORIJABROJEVA 3 1.2.ELEMENTARNE FUNKCIJE 11 1.3.ARITMETIÿKI I GEOMETRIJSKI NIZ 22 1.4.ANALITIÿKA GEOMETRIJA 23 2. MATRICE 27 2.1.POJAM MATRICE I OPERACIJE 27 2.2.DETERMINANTE 30 2.3.RANG MATRICE 35 2.4.INVERZNA MATRICA 37 3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAÿINA 57 3.1.GAUSOVA METODA 57 3.2. KRAMEROVA METODA 60 3.3. KRONEKER KAPELIJEVA TEOREMA 62 3.4. HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAÿINA 64 3.5. MATRIÿNA METODA 65 4. POJAM FUNKCIJE 79 4.1. POJAM FUNKCIJE 80 4.2. NIZOVI 88 4.3. GRANIÿNA VREDNOST FUNKCIJE 93
- 9. 5. DIFERENCIJALNI RAÿUN127 5.1. IZVOD FUNKCIJE 128 5.2. DIFERENCIJAL FUNKCIJE 134 5.3. TEJLOROVA I MALORENOVA FORMULA 145 5.4. OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAÿUNA 154 5.5. ISPITIVANJE FUNKCIJA 165 6. INTEGRALNI RAÿUN 203 6.1. NEODREăENI INTEGRALI 204 6.2. ODREăENI INTEGRALI 240 6.3. NESVOJSTVENI INTEGRALI 246 6.4. PRIMENE INTEGRALNOG RAÿUNA 258 7. LABORATORIJSKE VEŽBE – PRIMENA MATLAB-A 279 7.1. OSNOVNE FUNKCIE 281 7.2. MATRICE 292 7.3. GRAFIKA 304 7.4. UPRAVLJANJE PROGRAMOM 313 7.5. M-FAJLOVI 321 7.6. REŠAVANJE SISTEMA JEDNAÿINA 327 7.7. SIMBOLIÿKA MATEMATIKA 336 7.8. IZVODI 342 7.9. INTEGRALI 353 7.10. PRIMENE INTEGRALA 359 7.11. ZADACI ZA VEŽBANJE 368 7.12. DODACI 373 8. LITERATURA 376
- 10. UVOD 1. TEORIJA BROJEVA 2.ELEMENTARNE FUNKCIJE 3. ARITMETIČKI I GEOMETRIJSKI NIZ 4. ANALITIČKA GEOMETRIJA - 1 -
- 11.
- 12. 1. UVOD U uvodnom deludati su osnovni obrasci, definicije i teoreme sa kojima se srećemo u srednjoj školi, a koji su neophodni u daljem radu. 1.1.TEORIJA BROJEVA Broj je jedan od osnovnih pojmova matemake koji se ne definiše, već se intuitivno shvata. P R I R O D N I B R O J E V I Prirodni brojevi su oblika { }1,2,3, , , 1,N n n= +… … . Za svaki broj n N∈ postoji broj 1n N+ ∈ . Brojevi n i 1n + su uzastopni ili sukcesivni brojevi. Prirodan broj čiji su jedini činioci on sam i broj 1 nazivamo prostim brojem, na primer 2,3,5,7,11,…. Uzajamno prostim brojevima nazivamo dva prirodna broja ako im je jedini zajednički činilac broj 1. Prirodni broj je paran ako mu je bar jedan prost činilac broj 2 . Ako to nije slučaj broj je neparan. Parne brojeve obeležavamo sa 2k , a neparne sa 2 1k + ili 2 1k − , gde je k N∈ . - 3 -
- 13. Skup prirodnih brojevaje zatvoren u odnosu na operacije sabiranja i množenja, tj. rezultat sabiranja i množenja dva prirodna broja uvek je priprodan broj. Za operacije sabiranja i množenja prirodnih brojeva važe zakoni: ,a b b a ab ba+ = + = komutacije; ( ) ( ) ( ) ( ),a b c a b c ab c a bc+ + = + + = asocijacije; ( ) ( ),a b c ac bc a b c ab ac+ = + + = + distribucije. Stepen prirodnog broja definišemo kao n n puta a a a a= ⋅ ⋅ ⋅… , n N∈ . Na osnovu definicije stepena zaključujemo: n m n m a a a + ⋅ = , n n m m a a a − = , ( ) m n n m a a ⋅ = . C E L I B R O J E V I Skup celih brojeva sadrži sve prirodne brojeve, nulu i brojeve oblika n− , gde n N∈ . { }2, 1,0,1,2, , , 1,Z n n= − − +… … … . Oduzimanje celih brojeva se definiše na sledeći način: , , ,a b c Z a b c a b c∀ ∈ − = ⇔ = + . Skup Z je nadskup skupa N i zadržava sva pravila koja smo definisali u skupu N , dodajući neka nova koja važe samo u njemu. Ovaj princip koristićemo i u definisanju naredih proširenja skupova brojeva i zove se princip permanencije. - 4 -
- 14. R A CI O N A L N I B R O J E V I Skup racionalnih brojeva je oblika: : p Q p Z q N q ⎛ ⎞ = ∈ ∧ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Deljenje celih brojeva definiše se na sledeći način: , , 0 , a a b c Z b c a b c b ∀ ∈ ∧ ≠ = ⇔ = ⋅ . Skup raconalnih brojeva je prebrojiv skup tj. imeđu tog skupa i skupa prirodnih brojeva može se uspostaviti obostrano jednoznačno preslikavanje. Svaki racionalni broj se može predstaviti u obliku konačnog ili periodičnog decimalnog broja. I R A C I O N A L N I B R O J E V I Broj koji se ne može predstaviti u obliku razlomka nazivamo iracionalnim brojem, na primer 2 , 3 , log 2 , , ,eπ …. Svaki iracionalan broj može se predstaviti u obliku beskonačnog neperiodičnog razlomka. Skup iracionalnih brojeva obeležavamo sa I . Skup iracionalnih brojeva, kao i skup racionalnih brojeva je neograničen. R E A L N I B R O J E V I Svi racionalni i iracionalni brojevi obrazuju skup realnih brojeva, tj. R Q I= ∪ . Skup realnih brojeva je neprebrojiv skup. - 5 -
- 15. Skup realnih brojevaje uređen skup, tj. između svaka dva realna broja postoji samo jedan od sledećih odnosa , ,a b a b a b> = < . Na skupu realnih brojeva za nejednakosti važe sledeće osobine: ( ) ( )a b b a> ⇔ < ; ( ) ( )a b a c b c> ⇔ + > + ; ( ) ( ) ( ) ( ), 0 , , 0a b c ac bc a b c ac bc> > ⇒ > > < ⇒ < . Realni brojevi se mogu predstaviti kao tačke na brojnoj pravoj. A P S O L U T N A V R E D N O S T B R O J A Ako je a proizvoljan realan broj, tada je apsolutna vrednost broja a : , 0 0 , 0 , 0 a a a a a a >⎧ ⎪ = =⎨ ⎪− <⎩ Napomena: Apsolutna vrednost broja uvek je nenegativan broj, tj. 0a ≥ . Za apsolutnu vrednost broja a važe sledeća pravila: a a= − , a b b a b< ⇔ − < < , ( ) ( )a b a b a b> ⇔ > ∧ < − . a b a b+ ≤ + , a b a b− ≤ + , a b a b− ≥ − . a b a b⋅ = ⋅ , , 0 aa b b b = ≠ . - 6 -
- 16. P R OŠ I R E N J E S K U P A R E A L N I H B R O J E V A Skup realnih brojeva proširuje se sa dva simbola −∞ i +∞ , tako da za svaki a R∈ važi nejednakost: a−∞ < < +∞. Za operacije sa ovim simbolima važe pravila ( )a R∈ : ( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ , ( )a + +∞ = +∞ ; ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞ , ( )a + −∞ = −∞ . Za 0a > imamo: ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ , ( )a⋅ +∞ = +∞ ; ( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = +∞ , ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ , ( )a⋅ −∞ = −∞ . Izrazi ( ) ( )+∞ − +∞ i ±∞ ∞∓ nisu definisani. I N T E R V A L Ako su ,a b R∈ takvi da je a b< sledeći podskupovi nazivaju se: otvoren interval: ( ) { },a b x a x b= < < , zatvoren interval: [ ] { },a b x a x b= ≤ ≤ , polu-otvoren interval ili polu-zatvoren interval: [ ) { },a b x a x b= ≤ < , ( ] { },a b x a x b= < ≤ . - 7 -
- 17. KOMPLEKSNI BROJEVI ALGEBARSKI OBLIKKOMPLEKSNOG BROJA Poznato je da neke kvadratne jednačine nemaju rešenja u skupu realnih brojeva, na primer jednačina 2 1 0x + = . Da bismo rešili ovu veoma jednostavnu jednačinu, moramo skup realnih brojeva proširiti. Tako dolazimo do skupa imaginarnih i kompleksnih brojeva. Imaginarna jedinica je po definiciji 1i = − . Rešenje pomenute jednačine postaje sada 1x i= ± − = ± . Imaginarni brojevi su oblika , 2 ,i i i obeležava se sa I. Skup svih uređenih parova realnih brojeva ( ),x y u kojem je z x iy= + , tj. ( ),z x y= naziva se skupom kompleksnih brojeva C , gde je 1i = − . z x iy= + x y Kompleksni brojevi mogu se grafički predstaviti kao tačke u kompleksnoj ili Gausovoj ravni. Realni deo kompleksnog broja je ( )Re z x= , a imaginarni deo ( )Im z y= . Dva kompleksna broja 1 1 1z x iy= + i 2 2 2z x iy= + su jednaka ako su im jednaki realni delovi za sebe, a imaginarni za sebe; 1 2x x= i 1 2y y= . - 8 -
- 18. Svakom kompleksnom brojuz x iy= + odgovara konjugovano kompleksni broj u oznaci z x iy= − . Moduo kompleksnog broja z definiše se kao 2 2 z x yρ = = + . OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA U ALGEBARSKOM OBLIKU Neka su data dva kompleksna broja 1 1 1z x iy= + i 2 2 2z x iy= + . Sabiranje: ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x i y y+ = + + + . Oduzimanje: ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x i y y− = − + − . Množenje: ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z x x y y i x y x y⋅ = − + + . Deljenje: 1 1 2 2 2 2 z z z z z z = ⋅ . Stepenovanje kompleksnog broja prirodnim brojem se definiše kao skraćeno množenje n n puta z z z z= ⋅ ⋅ ⋅… , n N∈ . Napomena: Kako je 2 3 2 4 2 2 1, , 1i i i i i i i i= − = ⋅ = − = ⋅ = , možemo uopštiti da je: 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1,n n n n i i i i i i+ + + = = = − = − . Primer: ( ) 5022010 2008 2 4 2 1i i i i+ = = ⋅ = . - 9 -
- 19. EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA Eksponencijalnioblik kompleksnog broja je oblika i z eϕ ρ= ⋅ , Ojlerova formula: cos sini e iϕ ϕ ϕ= + . Gde je zρ = je moduo, a ϕ je argument kompleksnog broja gde je tg b a ϕ = i obeležava se Arg zϕ = . Argument kompleksnog broja nije jednoznačno određen. Imajući u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija, argument je svaki realni broj oblika 2kϕ π+ , gde je k Z∈ . Specijalno, broj ϕ koji zadovoljava uslov π ϕ π− < ≤ naziva se glavni argument i obeležava sa arg z OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA U EKSPONENCIJALNOM OBLIKU Neka su dati kompleksni brojevi 1 1 1 i z eϕ ρ= ⋅ i 2 2 2 i z eϕ ρ= ⋅ . Množenje: ( )1 2 1 2 1 2 i z z e ϕ ϕ ρ ρ + ⋅ = ⋅ ⋅ . Deljenje: ( )1 21 1 2 2 iz e z ϕ ϕρ ρ − = ⋅ . Logaritam: ln lnz iρ ϕ= + . Napomena: Korišćenjem poslednje formule u mogućnosti smo da definišemo logaritam negativnog realnog broja. Primer: ( )ln 2 ln 2 iπ− = + - 10 -
- 20. 1.2.ELEMENTARNE FUNKCIJE Stepena funkcija( ), , 0,n y x n R x= ∈ ∈ +∞ . Eksponencijalna funkcija , 0 , 1,x y a a a x R= > ≠ ∈ . Logaritamska funkcija ( )log , 0 , 1, 0,ay x a a x= > ≠ ∈ +∞ . Trigonometrijske funkcije: sin , cos , tg , ctgy x y x y x y x= = = = . Inverzne trigonometrijske funkcije: arcsin , arccos , arctg , arcctgy x y x y x y x= = = = . Elementarnim funkcijama nazivaju se funkcije koje se mogu zadati pomoću osnovnih elementarnih funkcija, konstanti i konačno mnogo operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicije funkcija. Ponovićemo neke od najvažnijih osnovnih funkcija sa kojima ćemo se sretati u radu. Apsolutna vrednost: ( ) , 0 , 0 x x f x x x x ≥⎧ = = ⎨ − <⎩ Funkcija je definisana za x R∈ i ( ) 0f x ≥ . y x y x= - 11 -
- 21. Funkcija znaka: 1, 0 sgn0, 0 1, 0 x y x x x − <⎧ ⎪ = = =⎨ ⎪ >⎩ y x sgny x= 1 1− Stepena funkcija: ,n y x n R= ∈ . Ako je n N∈ funkcija predstavlja stepene realnog broja n y x= i ta funkcija će za 2n k= paran broj biti parna i ograničena, a za 2 1n k= + neparan broj biti neparna i neograničena . y x , 2n y x n k= = y x , 2 1n y x n k= = + Ako je stepen oblika 1 n k = , funkcija predstavlja korenu funkciju. - 12 -
- 22. Eksponencijalna funkcija: ,0 , 1x y a a a= > ≠ . Domen funkcije je skup svih realnih brojeva R , a kodomen ( )0,∞ . Funkcija nema nula jer je 0x a ≠ i na celom domenu je pozitivna, tj. 0y > . Ukoliko je 0 1a< < funkcija stalno opada, a kada je 1a > funkcija stalno raste i samim tim nema ekstrema. y x 1a > x y a= 0 1a< < POJAM I OSOBINE LOGORITAMA Definicija logaritma log x a b x a b= ⇔ = ako je a ,b , x R∈ , 0a > , 1a ≠ , 0b> . loga b a b= za , , 0 , 0x y R x y∈ > > . log log loga a axy x y= + , log log loga a a x x y y = − . log log ;s a ax s x s R= ∈ . log 1 0a = , log 1a a = . 1 log log b a a b = , log log log c a c b b a = . 1 log logs aa x x s = , log log s s a a x x= . - 13 -
- 23. 10log logx x=(dekadni logaritam). log lne x x= , 2,718e ≈ (prirodni logaritam). Logaritamska funkcija: log , 0 , 1ay x a a= > ≠ . Domen funkcije je ( )0,∞ , a kodomen je R . Funkcija ima nulu za 1x = jer je log 1 0a = . Ukoliko je 0 1a< < funkcija stalno opada, a kada je 1a > funkcija stalno raste i samim tim nema ekstrema. y x 1a > logay x= 0 1a< < TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Osnovne trigonometrijske funkcije oštrog ugla u pravouglom trouglu su sinus, kosinus, tangens i kotangens, koje se definišu: a b c A B C α sin , cos , , a b a b tg ctg c c b a α α α α= = = = - 14 -
- 24. MERENjE UGLOVA RADIJANOM Radijanje uz stepen i grad jedinica za merenje uglova. Radijan je ustvari centralni ugao čiji je kružni luk jednak poluprečniku kruga i njegova brojna vrednost se uzima kao jedinica za merenje lukova i uglova. Pun ugao iznosi 2π radijana. 1 0,017 180 rad π = ≈ 180 1 57 17'45''rad π = ≈ OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 2 2 sin cos 1α α+ = , sin cos tg α α α = , cos sin ctg α α α = , 1tg ctgα α⋅ = . VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA NEKIH UGLOVA α 0 =0 90 = 2 π 180 =π 3 270 2 π = 360 2π= 30 6 π = 45 4 π = 60 3 π = sinα 0 1 0 1− 0 1 2 2 2 3 2 cosα 1 0 1− 0 1 3 2 2 2 1 2 tgα 0 ±∞ 0 ±∞ 0 3 3 1 3 ctgα ∞∓ 0 ∞∓ 0 ∞∓ 3 1 3 3 - 15 -
- 25. DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJAMA KOG UGLA Jedinični krug sa centrom u koordinatnom početku naziva se trigonometrijski krug. Uopšteni ugao [ ]2 , 0,2kϕ α π α π= + ∈ je ugao čiji je početni krak pozitivni deo x – ose, a krajnji krak orijentisana duž OA. Neka je α proizvoljan ugao. Trigonometrijske funkcije ugla α , tj. sinα , cosα , tgα i ctgα definišu: Ordinata tačke A , duž OB predstavlja sinus ugla α , a apscisa, duž OC predstavlja kosinus ugla α . - 16 -
- 26. Znak trigonometrijskih funkcijapo kvadrantima: TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE NEGATIVNOG UGLA ( )sin sinα α− = − , ( )cos cosα α− = , ( )tg tgα α− = − , ( )ctg ctgα α− = − . sinα , tgα i ctgα su neparne funkcije. cosα je parna funkcija. PERIODIČNOST TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA ( ) [ ]sin 2 sin , 0,2k k Zα π α α π+ = ∈ ∈ , ( )cos 2 coskα π α+ = , ( )tg k tgα π α+ = , ( )ctg k ctgα π α+ = . Funkcije sinα i cosα su periodične sa osnovnom periodom 2T π= , a tgα i ctgα sa osnovnom periodom T π= . SVOĐENjE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA MA KOG UGLA NA OŠTAR UGAO Ako je 2 , 2 2k kα π π α π π= ± = ± trigonometrijska funkcija se ne menja, a znak funkcije određuje se pomoću trigonometrijskog kruga. - 17 -
- 27. Ako je 3 2 ,2 2 2 k k π π α π α π= ± = ± trigonometrijska funkcija se menja u svoju kofunkciju, a znak funkcije određuje se pomoću trigonometrijskog kruga. ADICIONE TEOREME ( )sin sin cos sin cosα β α β β α± = ± , ( )cos cos cos sin sinα β α β α β± = ∓ , ( ) 1 tg tg tg tg tg α β α β α β ± ± = ∓ , ( ) 1ctg ctg ctg ctg ctg α β α β α β ± = ± ∓ . TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG I POLOVINSKOG UGLA sin 2 2sin cosα α α= , 2 2 cos2 cos sinα α α= − , 2 2 2 1 tg tg tg α α α = − , 2 1 2 2 ctg ctg ctg α α α − = . 2 2sin 1 cos 2 α α= − , 2 2cos 1 cos 2 α α= + . OSNOVNE TRANSFORMACIJE sin sin 2sin cos 2 2 α β α β α β ± ± = ∓ , cos cos 2cos cos 2 2 α β α β α β + − + = , cos cos 2sin sin 2 2 α β α β α β + − − = − , ( ) ( )( )1 sin cos sin sin 2 α β α β α β= + + − , - 18 -
- 28. ( ) ()( )1 sin sin cos cos 2 α β α β α β= − − + , ( ) ( )( )1 cos cos cos cos 2 α β α β α β= + + − . Trigonometrijske funkcije: sin , cos , tg , ctgy x y x y x y x= = = = . Domen funkcija siny x= i cosy x= je skup svih realnih brojeva R , a kodomen [ ]1,1− . Domen funkcija tgy x= i ctgy x= je , , 2 x R x k k R π π∈ ≠ + ∈ odnosno, ,x R x kπ∈ ≠ , a kodomen je skup svih realnih brojeva R . Funkcije sin , tg , ctgy x y x y x= = = su neparne, a cosy x= parna. Funkcije sin , cosy x y x= = su periodične sa periodom 2 ,k k Zπ ∈ , a tg , ctgy x y x= = sa periodom π . ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2 sin , cos 2 cos ; tg tg , ctg ctg . x k x x k x x k x x k x π π π π + = + = + = + = π 2ππ− siny x= y x 2 π cosy x= π− 2 π − y x 2 π 3 2 π 2 π − π y tgx= x - 19 -
- 29. x y -1 1 2 π 2 π − arcsiny x= π 3 2 π 2 π 2π yctgx= • Inverzne trigonometrijske funkcije: arcsiny x= , arccos , arctg , arcctgy x y x y x= = = . Za funkciju arcsiny x= domen je [ ]1,1x∈ − , a kodomen je , 2 2 y π π⎡ ⎤ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ; za arccosy x= domen je [ ]1,1x∈ − , a kodomen je [ ]0,y π∈ ; za arctgy x= domen je ( ),x∈ −∞ ∞ , a kodomen je , 2 2 y π π⎡ ⎤ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ; za arcctgy x= domen je ( ),x∈ −∞ ∞ , a kodomen je ( )0,y π∈ - 20 -
- 30. x y -1 1 π 2 π arccosy x= x y 2 π 2 π − yarctgx= 2 π y arcctgx= π y x - 21 -
- 31. 1.3. ARITMETIČKI IGEOMETRIJSKI NIZ Aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika svaka dva uzastopna člana konstanta d , koju nazivamo diferencija niza. Opšti član niza: ( )1 1 , 0na a n d d= + − ≠ . Zbir prvih n članova niza: ( ) ( )( )1 2 1 1 1 . 2 2 n n n n n S а а а a a a n d= + + + = + = + −… Svaki član niza je aritmetička sredina simetričnih članova. . 2 n k n k n a a a − ++ = Geometrijski niz je niz brojeva takvih da je količnik svaka dva uzastopna člana konstanta q , koju nazivamo količnik niza. Opšti član niza: 1 1 , 1.n na a q q− = ⋅ ≠ . Zbir prvih n članova niza: 1 2 1 1 . 1 n n n q S а а а a q − = + + + = ⋅ − … Svaki član niza je geometrijska sredina simetričnih članova. 2 .n n k n ka a a− += ⋅ - 22 -
- 32. 1.4. ANALITIČKA GEOMETRIJA Dužinaduži AB gde je ( ),A AA x y , ( ),B BB x y : ( ) ( ) 2 2 A B A BAB x x y y= − + − . Koordinate tačke ( ),s sS x y , središta duži AB : , 2 2 A B A B s s x x y y x y + + = = . Opšti (implicitni) oblik jednačine prave je: 0ax by c+ + = . Eksplicitni oblik jednačine prave je: y kx n= + ; gde je tgk α= koeficijent pravca prave, a n je odsečak na y osi. Jednačina prave kroz jednu tačku ( ),A AA x y je: ( )A Ay y k x x− = − . Jednačina prave kroz dve tačke ( ),A AA x y i ( ),B BB x y je: ( )B A A A B A y y y y x x x x − − = ⋅ − − ; gde je B A B A y y k x x − = − koeficijent pravca prave. Ugao između pravih 1 1y k x n= + i 2 2y k x n= + je: 2 1 1 2 tg 1 k k k k ϕ − = + . 1 2k k= je uslov paralelnosti pravih. 1 2 1 k k = − je uslov normalnosti pravih. Jednačina kruga sa centrom u tački ( ),C p q , poluprečnika r je: ( ) ( ) 2 2 2 x p y q r− + − = . 2 2 0x y dx ey f+ + + + = , 2 2 , , 2 2 d e p q r p q f= − = − = + − . Jednačina elipse: 2 2 2 2 2 2 b x a y a b+ = ili 2 2 2 2 1 x y a b + = . Jednačina hiperbole: 2 2 2 2 2 2 b x a y a b− = ili 2 2 2 2 1 x y a b − = . Jednačina parabole: 2 2y px= . - 23 -
- 33.
- 34. MATRICE 1. POJAM MATRICEI OPERACIJE 2. DETERMINANTE 3. RANG MATRICE 4. INVERZNA MATRICA - 25 -
- 35.
- 36. 2. MATRICE 2.1.POJAM MATRICE IOPERACIJE Matrica je pravougaona šema sa nm× elemenata raspoređenih u m vrsta i n kolona: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = mnmm n n aaa aaa aaa A … … 21 22221 11211 Matrice se označavaju velikim slovima latinice: A , B , C , ... Proizvoljni element matrice ija pripada i -toj vrsti i j -toj koloni, pa matricu možemo označiti kao nmija ×][ . Za matricu sa m vrsta i n kolona kažemo da ima dimenziju nm× . Dve matrice [ ]ij m nA a ×= i nmijbB ×= ][ su jednake, tj. A B= ako i samo ako je: ( ), , , 1,2, , ; 1,2, ,ij ija b i j i m j n= ∀ = =… … . Matrica vrste je matrica kod koje je nmija ×][ 1, 1m n= > , tj. ][][ 112111 nnij aaaa …=× Matrica kolone je matrica kod koje je 1, 1m n> = , tj. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =× 1 21 11 1][ m mij a a a a - 27 -
- 37. Nula matrica jeona matrica čiji su svi elementi jednaki nula. Kvadratna matrica je matrica kod koje je broj vrsta jednak broju kolona. Elementi 11 22, ,..., nna a a leže na glavnoj dijagonali, dok elementi 1 2 1 1, ,...,n n na a a− pripadaju sporednoj dijagonali kvadratne matrice. Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a elementi na glavnoj dijagonali nisu svi nula, naziva se dijagonalna matrica. Jedinična matrica je dijagonalna matrica kod koje je 11 22 1nna a a= = = i označava se slovom I . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ … … Transponovana matrica matrice nmijaA ×= ][ je matrica dobijena zamenom mesta svih vrsta odgovarajućim kolonama ili obrnuto. Obeležava se sa T A i iznosi [ ]T ji n mA a ×= . Primer: Za matricu 1 2 1 4 2 4 X ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ transponovana matrica matrica je 1 4 2 2 1 4 T X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ OPERACIJE SA MATRICAMA Zbir matrica nmijaA ×= ][ i nmijbB ×= ][ , je matrica nmijcC ×= ][ ako i samo ako je ( )1,2, , ; 1,2, ,ij ij ija b c i m j n+ = = =… … . Operacija sabiranja matrica ima sledeće osobine: A B B A+ = + , komutativnost; ( ) ( )A B C A B C+ + = + + , asocijativnost. - 28 -
- 38. Zbir matrica različitihdimenzija nije definisan. Primer: Sabrati matrice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ i 1 1 1 0 2 4 2 3 4 B −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Zbir je matrica 2 1 4 4 3 10 9 11 13 A B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Proizvod broja Rλ ∈ i matrice nmijaA ×= ][ je matrica istih dimenzija oblika: [ ] [ ] .ij m n ij m nA a aλ λ λ× ×= = Operacija množenja matrice brojem ima sledeće osobine: A Aλ λ= , komutativnost; ( ) ( ); , 0A Aαβ α β α β= ≠ , asocijativnost; ( ) A A Aα β α β+ = + , distributivnost s obzirom na zbir brojeva; ( )A B A Bα α α+ = + , distributivnost s obzirom na zbir matrica. Primer: Pomnožiti matricu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ brojem 2λ = . 2 4 6 2 8 10 12 14 16 18 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Proizvod A B⋅ matrica [ ]ik m pA a ×= i [ ]kj p nB b ×= je matrica C , čiji se elementi ijc formiraju po zakonu: ( ) 1 1, , ; 1, , . p ij ik kj k c a b i m j n = = = =∑ … … - 29 -
- 39. Napomena: Matrica Cima onoliko vrsta koliko ih ima matrica A i onoliko kolona koliko ih ima matrica B . Napomena: Dakle element ijc matrice C koji se nalazi u preseku i -te vrste i j -te kolone, obrazuje se tako što se elementi i -te vrste matrice A pomnože odgovarajućim elementima j -te kolone matrice B i dobijeni proizvodi saberu. Operacija množenja matrica ima sledeće osobine: ( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , asocijativnost; A B B A⋅ ≠ ⋅ , ne važi zakon komutacije; A I I A A⋅ = ⋅ = . Primer: Pomnožiti matrice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ i 1 1 3 2 0 1 B −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . 7 2 19 8 31 14 A B −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . Proizvod B A⋅ nije definisan zato što dimenzije matrica nisu odgovarajuće. 2.2. DETERMINANTE Svakoj kvadratnoj matrici pridružujemo realni broj koji zovemo determinanta. Determinanata je kvadratna šema brojeva od n n× elemenata raspoređenih u n vrsta i n kolona. ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 det n n n n nn a a a a a a D A a a a = = … … Napomena: Determinanta je broj, za razliku od matrice koja je samo šema proizvoljnih elemenata. - 30 -
- 40. Broj 11 11aa= naziva se determinanta prvog reda. Broj 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a = − naziva se determinanta drugog reda. Broj 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a naziva se determinanta trećeg reda. IZRAČUNAVANJE DETERMINANTI SARUSOVO PRAVILO (SARRUS, 1798-1861) Pravilo se odnosi samo na determinante trećeg reda i glasi: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + ± − − = + + − − − Dakle, dopišu se prve dve kolone i determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali i dvema pomoćnim paralelnim dijagonalama i razlici proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali i dvema pomoćnim paralelnim dijagonalama. Primer: Izračunati vrednost determinante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . - 31 -
- 41. 1 2 31 2 4 5 6 4 5 1 5 9 2 6 7 3 4 8 2 4 9 1 6 8 3 5 7 0 . 7 8 9 7 8 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = LAPLASOVO PRAVILO P. LAPLACE (1749-1827) Francuski matematičar Laplas dao je značajan doprinos u teoriji diferencijalnih jednačina, verovatnoći, analizi, astronomiji i nebeskoj mehanici. Mada skromnog porekla Napoleon ga je proizveo u grofa zbog njegovih zasluga u konstruisanju oružja, a nakon njegovog pada kralj Luj 18. u markiza. Engleski prevodilac njegovih dela napisao je “Uvek kada sam kod Laplasa nalazio izjavu, lako je videti; znao sam da mi treba nekoliko sati napornog rada dok se ne dosetim i ne dokažem kako je to lako videti”. Za razliku od Sarusovog pravila koje se koristi za izračunavanje samo determinanti trećeg reda, Laplasovo pravilo važi za determinante bilo kog reda. Osnovna ideja ovog pravila je da se izračunavanje determinante n -tog reda svodi na izračunavanje determinante 1n − reda, determinanta 1n − reda svodi se na izračunavanje determinante 2n − reda i taj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do determinante prvog reda. Da bismo objasnili ovu metodu prvo je potrebno da definišemo pojam minora i kofaktora. - 32 -
- 42. Neka je Ddeterminanta n -tog reda 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = … … Determinanta koja se dobija iz determinante D odbacivanjem i -te vrste i j -te kolone naziva se minor elementa ija i obeležava se sa ijM . Kofaktor elementa ija je broj ( )1 i j ij ijA M + = − . Primer: Detreminanta trećeg reda ima onoliko minora koliko i elemenata, tj. 9. Na primer, elementima 11a , 12a i 13a odgovaraju minori 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 , , . a a a a a a M M M a a a a a a = = = a kofaktori su 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 , , . a a a a a a A A A a a a a a a = + = − = + LAPLASOVO PRAVILO Vrednost determinante je jednaka zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste (odnosno kolone) i odgovarajućih kofaktora tj. - 33 -
- 43. 1 1 22 1 , 1,2, , n i i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n = = + + + = =∑ … (razvoj po elementima i -te vrste). 1 1 2 2 1 , 1,2, , n j j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n = = + + + = =∑ … . (razvoj po elementima j -te kolone). Primer: Izračunati vrednost determinante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . Determinanta se može izračunati razvojem po bilo kojoj vrsti ili koloni. Razvojem po prvoj vrsti dobiće se: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 6 4 6 4 5 4 5 6 1 2 3 8 9 7 9 7 8 7 8 9 1 5 9 6 8 2 4 9 6 7 3 4 8 5 7 0 = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = OSOBINE DETERMINANTI Ako dve susedne vrste (kolone) uzajamno promene mesta vrednost determinanata je suprotnog znaka. 1 1 2 2 2 2 1 1 . a b a b D D a b a b = = = − Determinanta se množi brojem 0k ≠ , ako se svi elementi prpizvoljne vrste (kolone) pomnože tim brojem. 1 1 2 2 2 2 1 1 . ka kb a kb k D a b a kb ⋅ = = - 34 -
- 44. Ako su svielementi bilo koje vrste (kolone) jednaki nula, vrednost determinanta je jednaka nula. Ako su dve vrste (kolone) jednake ili proporcionalne, tada je vrednost determinante jednaka nula. ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 . a b a b k k a b a b k ka kb a b = = − = ⋅ = Vrednost determinante se ne menja ako se svakom elementu jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste (kolone) pomnoženi jednim istim brojem. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 . a b c a b c ma a b c a b c ma a b c a b c ma + = + + Ako su elementi jedne vrste (kolone) date determinante zbirovi od dva ili više sabiraka, tada se determinanta može razložiti na zbir od dve ili više determinanata. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 . a b c a b a c a b c a b a c + = + + Napomena: Determinante su istorijski nastale u vezi proučavanja sistema jednačina i predstavljaju značajno sredstvo za njihovo računanje. 2.3.RANG MATRICE Matrica A ima rang ( )rang A r= , ako ima bar jedan minor reda r različit od nule, a svi minori reda 1r + , i višeg, su jednaki nuli. - 35 -
- 45. Primer: Odrediti rangmatrice 2 3 16 1 1 6 2 3 . 1 3 2 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Kako su svi minori trećeg reda su jednaki nuli: 2 3 16 2 3 1 2 16 1 3 16 1 1 6 2 0 , 1 6 3 0 , 1 2 3 0 , 6 2 3 0 , 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 − − − − = = − = − = a postoji minor drugog reda koji je različit od nule 2 3 0 1 6 − ≠ , zaključujemo da je rang matrice A jednak 2. Elementarne transformacije matrica su: Množenje svih elemenata bilo koje vrste (kolone) matrice jednim istim realnim brojem 0λ ≠ . Uzajamna promena mesta dve vrste (kolone). Transponovanje matrice. Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) odgovarajućih elemenata neke druge vrste ( kolone ) pomnoženih proizvoljnim brojem. Elementarne transformacije konačno mnogo puta primenjene na matricu ne menjaju rang matrice. Matrice A i ,B su ekvivalentne, (pišemo ~A B ), ako i samo ako se mogu trans- formisati jedna u drugu pomoću konačno mnogo uzastopnih elementarnih trans- formacija, tj. ako je ( ) ( )rang A rang B= . Primer: Odrediti rang matrice: 1 1 1 1 2 3 1 1 . 3 4 0 2 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Primenom elementarnih transformacija prevešćemo matricu A u ekvivalentnu matricu: - 36 -
- 46. (1) Prva kolonapomnožena je sa –1 i redom dodata drugoj, trećoj i četvrtoj koloni. (2) Prva vrsta pomnožena je sa –2, odnosno –3 i dodata drugoj odnosno trećoj vrsti. (3) Druga vrsta je pomnožena sa –1 i dodata trećoj vrsti. (4) Druga kolona pomnožena je sa 3 i dodata trećoj koloni, odnosno druga kolona je dodata četvrtoj koloni. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 4 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 1 2 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 3 4 0 2 3 1 3 1 0 1 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 . 0 0 0 0 A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ Rang matrice jednak je broju ne nultih članova na glavnoj dijagonali, tj ( ) 2rang A = . 2.4. INVERZNA MATRICA Da bi se mogla definisati inverzna matrica potrebno je uvesti sledeće pojmove: Za kvadratnu matricu A kažemo da je je regularna ako je det 0A ≠ , a singularna ako je det 0A = . Adjungovana matrica matrice A u oznaci adj A je transponovana matrica, matrice kofaktora, matrice A , tj - 37 -
- 47. 11 21 1 1222 2 1 2 adj . n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ … … … Inverzna matrica regularne kvadratne matrice A je matrica 1 A− , koja ima osobinu da je 1 1 A A A A I− − ⋅ = ⋅ = , gde je I jedinična matrica. Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A je matrica koje je 1 adjA . detA A− = Za regularne matrice A i B istog reda važe pravila: ( ) 1 1 1 A B B A − − − ⋅ = ⋅ , ( ) 11 A A −− = , ( )1 1 det det A A − = . Primer: Naći inverznu matricu date matrice 2 1 3 5 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Kako je 11 211 12 22 1 det A A A A AA − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , a 2 1 det 7 0 3 5 A = = ≠ , onda postoji matrica 1 A− . Kofaktori matrice A su 11 12 21 225 , 3 , 1, 2A A A A= = − = − = . Nalazimo da je: 1 5 11 3 27 A− −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . - 38 -
- 48. Primer: Naći inverznu matricudate matrice ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 114 131 211 A . 1 1 2 det 1 3 1 17 0 4 1 1 A = = − ≠ . Kofaktori matrice A su: 11 21 31 12 22 32 13 23 33 3 1 1 2 1 2 2 , 1, 5, 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 2 3 , 7 , 1, 4 1 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 11, 3, 2 . 4 1 4 1 1 3 A A A A A A A A A = = = − = = = − = − = = = − = − = = = − = − = = = 1 2 1 5 1 3 7 1 . 17 11 3 2 A− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ Primer: Naći inverznu matricu date matrice 2 1 2 1 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Kako je 2 1 det 0 2 1 A = = , onda ne postoji matrica 1 A− . - 39 -
- 49. ZADACI 1. Naći zbiri razliku matrica 2 1 3 2 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i 1 2 1 2 B −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Rešenje: ( )2 1 1 2 3 12 1 1 2 3 2 1 2 4 43 1 2 2 A B − −⎡ ⎤+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + = + = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ . ( )2 1 1 2 1 32 1 1 2 3 2 1 2 2 03 1 2 2 A B − ⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − = − = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 2. Naći matricu 2C A B= − , ako su date matrice 2 1 3 2 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i 1 2 1 2 B −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Rešenje: 2 1 1 2 4 2 1 2 3 4 2 2 3 2 1 2 6 4 1 2 5 2 C A B − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ − = ⋅ − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 3. Izračunati ( )2 3A B C− , ako je 0 1 1 0 2 2 0 1 , 1 3 0 2 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0 0 1 0 1 2 2 , 2 3 1 0 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0 1 2 1 1 1 3 C −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ - 40 -
- 50. Rešenje: 1 0 10 0 2 2 0 3 0 0 3 3 2 2 3 1 2 1 2 4 4 0 2 0 3 6 6 4 7 6 8 1 1 1 1 2 6 0 4 6 9 3 0 4 3 3 4 1 3 1 3 0 3 1 16 8 3 − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − = − − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. Naći proizvode A B⋅ i B A⋅ matrica, 2 1 3 2 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i 1 2 3 1 1 2 B −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Rešenje: ( ) ( ) 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 3 8 . 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 2 5 4 13 A B A B −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −⎡ ⎤ ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ Proizvod B A⋅ ne postoji jer dimenzije matrica A i B nisu odgovarajuće. 5. Dokazati da za matrice 1 1 2 1 A −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ i 1 1 4 1 B ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ važi ( ) 2 2 2 A B A B+ = + . Rešenje: ( ) 21 1 1 1 2 0 2 0 2 0 4 0 ; . 2 1 4 1 6 2 6 2 6 2 0 4 A B A B −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + = + = + = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ - 41 -
- 51. 2 21 11 1 1 0 1 1 1 1 5 0 ; . 2 1 2 1 0 1 4 1 4 1 0 5 A B − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ = = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) 2 2 24 0 1 0 5 0 0 4 0 1 0 5 A B A B −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + = = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 6. Ako je , a b A c d ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ izračunati ( ) ( )2 A a d A ad bc I− + + − . Rešenje: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 0 1 a b a b a b A a d A ad bc I a d ad bc c d c d c d ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − + + − = ⋅ − + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 2 2 2 0 0 0 . 0 0 0 ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bcac cd bc d ac cd ad d −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ + − − − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Rezultat je nula matrica. 7. Ako je 3 2 4 5 6 5 A −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , naći njenu transponovanu matricu T A . Rešenje: 3 5 2 6 4 5 T A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ . 8. Ako je 1 0 1 1 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , naći sve matrice koje su komutativne sa matricom A . Rešenje: Mada množenje matrica nije komutativna operacija, postoje neke matrice koje u specijalnom slučaju ispunjavaju taj uslov. - 42 -
- 52. Neka je Xtražena matrica, takva da je AX XA= . Uzmimo da je matrica a b X c d ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , i dobijamo 1 0 1 0 , . 1 1 1 1 a b a b a b a b b AX XA c d a c b d c d c d d +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ = = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Iz uslova da je AX XA= , dobijamo sistem jednačina: , , ,a a b b b a c c d a d d= + = + = + + = , odnosno 0 ,b a d= = odakle nalazimo rešenje 0a X c a ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 9. Proveriti sledeće rezultate: 3 2 3 4 5 2 5 4 2 5 7 0 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , 1 3 2 1 10 2 0 1 2 8 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ , [ ] [ ] 1 2 1 3 2 13 3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , 5 8 4 3 1 5 23 39 29 6 9 5 4 1 3 24 48 32 4 7 3 6 9 5 58 24 56 − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , - 43 -
- 53. 1 2 31 2 4 0 0 0 2 4 6 1 2 4 0 0 0 3 6 9 1 2 4 0 0 0 − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 10. Dat je polinom ( ) 2 3 2 5P x x x= − + i matrica 1 2 3 2 4 1 3 5 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , naći ( )P A . Rešenje: ( ) 2 3 2 5P A A A I= − + . ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0 3 2 4 1 2 4 1 2 2 4 1 5 0 1 0 3 5 2 3 5 2 3 5 2 0 0 1 6 9 7 2 4 6 5 0 0 3 3 7 4 4 8 2 0 5 0 1 4 8 6 10 4 0 0 5 18 27 21 2 4 9 21 12 3 12 24 P A − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − ⋅ − − ⋅ − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 6 5 0 0 21 23 15 4 8 2 0 5 0 13 34 10 . 6 10 4 0 0 5 9 22 25 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 11. Dat je polinom ( ) 2 2 3 5P x x x= + + i matrica 1 1 2 1 3 1 4 1 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , naći ( )P A . Rešenje: ( ) 28 15 16 19 36 15 . 30 19 28 P A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ - 44 -
- 54. 12. Izračunati vrednostideterminante a) 1 3 4 1 ; b) 2 1 3 5 3 2 1 4 3 ; c) 2 1 3 5 3 2 1 4 3 ; d) 1 0 3 3 2 1 1 3 5 − − ; e) 1 0 3 3 2 1 1 3 5 − − . Rešenje: a) 1 3 1 1 3 4 1 12 11 4 1 = ⋅ − ⋅ = − = − . b) Koristeći Sarusovo pravilo dobijamo: 2 1 3 2 1 5 3 2 5 3 2 3 3 1 2 1 3 5 4 3 3 1 2 2 4 1 5 3 40 1 4 3 1 4 + + ± − − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = . c) Koristeći Laplasovo pravilo, razvijanjem po prvoj vrsti dobijamo: ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 2 5 2 5 3 5 3 2 2 1 3 2 9 8 15 2 3 20 3 40 4 3 1 3 1 4 1 4 3 = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − − − + ⋅ − = c) Koristeći Laplasovo pravilo, razvijanjem po drugoj vrsti dobijamo: ( ) ( ) ( ) 1 0 3 0 3 1 3 1 0 3 2 1 3 2 1 3 9 2 2 1 3 34 3 5 1 5 1 3 1 3 5 − − = − − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅ − ⋅ = − - 45 -
- 55. d) Koristeći jednuod osobina determinanti, možemo prvu kolonu da pomnožimo sa 3− i dodamo trećoj koloni. Determinantu sada razvijamo po prvoj vrsti koja sadrži dve nule. 1 0 3 1 0 0 2 10 3 2 1 3 2 10 1 34 3 2 1 3 5 1 3 2 − − − = − − = ⋅ = − . 13. Izračunati determinantu: 1 2 4 3 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 Rešenje: Determinante viših redova se najjednostavnije rešavaju tako što se primenom osobina napravi što više nula, pa se onda primeni Laplasovo pravilo. 1 2 4 3 1 2 4 3 0 3 2 1 2 1 1 0 0 3 2 1 1 2 1 1 3 1 0 1 1 2 1 3 1 1 1 1 4 0 1 3 1 0 3 2 3 2 1 1 2 5 2 3 0 2 3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = − − − ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ 14. Izračunati determinante: a) 1 0 0 5 3 0 7 6 9 , b) 5 3 4 1 3 0 2 1 0 − , c) 1 1 1 a b c b c a c a b + + + , d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a . - 46 -
- 56. Rešenje: a) 27; b)20; c) 0; d) ( ) 3 1a − . R A N G M A T R I C E 15. Odrediti rang datih matrica: a) 2 3 16 1 1 6 2 3 4 9 12 7 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ; b) 1 2 3 2 4 1 3 5 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ; c) 1 1 1 1 2 3 1 1 . 3 4 0 2 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Rešenje: a) Svi minori trećeg reda su jednaki nuli. 2 3 16 2 3 1 2 16 1 3 16 1 1 6 2 1 6 3 1 2 3 6 2 3 0 . 4 9 12 4 9 7 4 12 7 9 12 7 − − − − = = − = − = Kako postoji bar jedan minor drugog reda koji je različit od nule: 2 3 0 1 6 − ≠ , zaključujemo da je rang ove matrice ( ) 2rang A = . b) Izračunajmo determinantu date matrice A . 1 2 3 4 1 2 1 2 4 2 4 1 1 2 3 3 2 6 5 0 5 2 3 2 3 5 3 5 2 − − − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + = ≠ − − − . Zaključujemo da je rang ove matrice ( ) 3rang A = . c) Primenom elementarnih transformacija prevešćemo matricu A u ekvivalentnu matricu. Jedan od načina je: - 47 -
- 57. (1) Prva vrstase množi sa 1− i 2− i redom dodaje drugoj i trećoj vrsti. (2) Druga vrsta se množi sa 1− i dodaje trećoj vrsti. (3) Druga vrsta je pomnožena sa 1− i dodata trećoj vrsti. (4) Prva vrsta se množi sa 1− i dodaje drugoj vrsti. (5) Prva kolona se množi sa 1− i redom dodaje drugoj, trećoj i četvrtoj koloni. (6) Druga kolona je pomnožena sa 3 i dodata trećoj koloni, odnosno sabrana sa četvrtom kolonom. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 0 1 2 2 0 3 4 0 2 1 2 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 . A rang A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ = ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ Rang matrice je jednak broju nenultih članova na glavnoj dijagonali matrice. 16. Proveriti rezultate: a) 1 4 1 1 2 1 4 3 3 1 10 0 0 rang ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥− =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ; b) 1 2 1 1 2 0 1 1 3 0 0 2 0 rang ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥− =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ . - 48 -
- 58. I N VE R Z N A M A T R I C A 17. Naći inverznu matricu matrica: a) 2 1 3 1 A −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ; b) 2 1 2 2 3 1 0 2 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Rešenje: a) Kako je det 1 0A = − ≠ , postoji matrica 1 A− . Kofaktori matrice A su: 11 12 21 221, 3 , 1, 2A A A A= = = = . Nalazimo da je: 1 1 1 1 1 3 2 3 2 A− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . b) ( ) 2 1 2 det 2 3 1 4 0 0 2 2 A − = − = ≠ . Kofaktori matrice A su: 11 21 31 12 22 32 13 23 33 3 1 1 2 1 2 8 , 6 , 5 , 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 2 4, 4 , 2 , 0 2 0 2 2 1 2 3 2 1 2 1 4 , 4 , 4 . 0 2 0 2 2 3 A A A A A A A A A − − − = = = − = − = = − − − − = − = − = = = − = − − = = = − = − = = 1 8 6 5 1 4 4 2 4 4 4 4 A− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . - 49 -
- 59. 18. Proveriti rešenje: a) 1 34 5 8 29 11 2 3 1 5 18 7 3 5 1 1 3 1 − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ; b) 1 2 0 4 1 2 3 3 2 1 − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ne postoji. c) 1 1 2 3 5 0 2 3 9 0 1 3 4 0 1 3 8 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 19. Rešiti matrične jednačine : ,XA B= gde je 2 2 3 1 1 0 1 2 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ i 1 0 2 0 1 3 B −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . Rešenje: Rešenje date matrične jednačine je 1 1 1 1 XA B XAA BA XI BA X BA− − − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . Kako je 2 2 3 det 1 1 0 1 0 1 2 1 A = − = − ≠ − postoji 1 A− i iznosi ( )1 1 4 3 1 4 3 1 1 5 3 1 5 3 1 6 4 1 6 4 A− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . - 50 -
- 60. Znači, 1 4 3 10 2 3 16 11 1 5 3 . 0 1 3 4 23 15 1 6 4 X − −⎡ ⎤ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦ 20. 1 2 0 1 2 1 1 1 0 2 0 1 3 1 0 X ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Rešenje: Matrična jednačina glasi AX B= , gde je 1 2 0 1 2 1 1 1 , 0 2 . 0 1 3 1 0 A B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Rešenje date matrične jednačine je 1 .X A B− = Kako je 1 2 6 2 1 3 3 1 4 1 1 1 A− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − ⋅ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ , dobijamo 2 6 2 1 2 4 8 1 2 1 1 3 3 1 0 2 4 0 1 0 . 4 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 X − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − ⋅ = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 21. 0=−+⋅ BXXA , ako je ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 113 120 241 A i ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 030 212 101 B . - 51 -
- 61. Rešenje: ( ) () ( ) ( ) 1 1 0 det 4 0 5 6 2 7 12 7 1 1 3 2 2 ; 1 8 1 . 4 4 9 10 6 11 28 11 AX X B A I X B X A I B A I A I X − − + − = ⇔ + = ⇔ = + ⋅ + = ≠ − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = ⋅ − − = − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 22. T AXXA =+ ako je ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 111 102 011 A . Rešenje: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 2 1 1 , det 3 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 3 5 . 3 3 0 1 1 1 3 4 0 3 6 T T T XA X A X A I A X A A I A I A I X − + = ⇔ + = ⇔ = + −⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ = + = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ − − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 23. ( ) ,A I X A I+ = − ako je 1 3 2 1 2 1 0 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Rešenje: Neka je 2 3 2 0 3 2 1 3 1 , 1 1 1 . 0 0 2 0 0 0 B A I C A I ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Tada jednačina postaje BX C= . - 52 -
- 62. Kako je 1 66 3 1 2 4 0 6 0 0 3 B− − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , rešenje date matrične jednačine je 1 X B C− = 1 2 1 6 6 3 0 3 2 1 2 1 2 4 0 1 1 1 0 6 3 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 X −⎡ ⎤ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − ⋅ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 24. a) ( )3 ,X A I A I− = + ako je 1 3 2 1 2 1 0 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ; b) ,AX B= ako je 1 2 3 1 2 3 5 6 , 2 3 7 12 16 3 4 A B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ; c) 2AX X A I− − = gde je 0 1 2 2 3 4 1 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Rešenje: a) 5 12 10 4 9 8 0 0 1 X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ; b) 7 16 7 15 2 4 X − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ; c) 3 3 6 1 18 6 36 6 3 3 6 X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ . - 53 -
- 63.
- 64. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA 1. GAUSOVAMETODA 2. KRAMEROVA METODA 3. KRONEKER KAPELIJEVA TEOREMA 4. HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA 5. MATRIČNA METODA - 55 -
- 65.
- 66. 3 . S IS T E M I L I N E A R N I H J E D N AČ I N A 3.1.GAUSOVA METODA ILI ALGORITAM Dat je sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih. 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = … … … gde je m n> , m n= ili m n< . Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da sistem nema rešenja. Pretpostavimo da je koeficijent 11 0a ≠ . Isključimo nepoznatu 1x iz svih jednačina sistema osim prve. Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednačinu pomnožiti sa 21 11a a− i dodati je drugoj jednačini, zatim prvu jednačinu pomnožiti sa 31 11a a− i dodati je trećoj jednačini, itd. Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem: 11 1 12 2 1 1 (1) (1) (1) 22 2 2 2 (1) (1) (1) 2 2 n n n n m mn n m a x a x a x b a x a x b a x a x b + + + = + + = + + = … … … - 57 -
- 67. Ako sada pretpostavimoda je (1) 22 0a ≠ , primenićemo isti postupak za isključivanje promenljive 2x iz poslednjih 2m − jednačina sistema i dobićemo ekvivalentan sistem jednačina: 11 1 12 2 13 3 1 1 (1) (1) (1) (1) 22 2 23 3 2 2 (2) (2) (2) 33 3 3 3 (2) (2) (2) 3 3 n n n n n n m mn n m a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x a x b + + + + = + + + = + + = + + = … … … … Ako bi produžili isti postupak 1k − puta dobili bi sistem: 11 1 12 2 1 1 (1) (1) (1) 22 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n k k k kk k kn n k a x a x a x b a x a x b a x a x b− − − + + + = + + = + + = Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni član nije nula, sistem je nesaglasan i nema rešenja. Ako je k n= , sistem ima jedinstveno rešenje. Ako je k n< sistem ima beskonačno rešenja. Tada su 1, ,k nx x+ … slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se određuju vezane promenljive 1 1, , ,k kx x x−… . - 58 -
- 68. Primer: Gausovom metodom rešitisistem jednačina: 2 3 4 2 3 2 2 6 x y z x y z x y z + − = − − + = − + + = Nakon množenja prve jednačine redom sa 2− i 2 i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem: 2 3 4 5 7 11 5 4 2 x y z y z y z + − = − − + = − = − Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo sistem: 2 3 4 5 7 11 3 9 x y z y z z + − = − − + = = Ovo je sistem trougaonog oblika iz kojeg se neposredno dobija jedinstveno rešenje ( ) ( ), , 1,2,3x y z = . Primer: Gausovom metodom rešiti sistem jednačina: 2 10 2 6 10 3 2 x y z x y z x y z + + = + + = − + = Nakon množenja prve jednačine redom sa 2− i 10− i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem: 2 10 3 14 21 7 98 x y z y z y z + + = − − = − − − = − Množenjem druge jednačine sa 7− i dodavanjem trećoj dobijamo sistem: - 59 -
- 69. 2 10 3 14 00 x y z y z z + + = − − = − ⋅ = Ovo je neodređen sistem. Stavljajući z t R= ∈ neposredno se dobija rešenje ( ) 2 14 , , , , 3 3 t t x y z t − −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 3.2. KRAMEROVA METODA - (Kramer, 1704-1752) Dat je sistem od n jednačina sa n promenljivih: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = … … … Uočimo sledeće determinante: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 k n k n n n nk nn a a a a a a a a D a a a a = … … … … … … determinanta sistema. 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n k n n n nn a a b a a a b a D a a b a = … … … … … … determinanta koja odgovara nepoznatoj kx ; 1,k n= . - 60 -
- 70. Ako je determinantasistema 0D ≠ , tada sistem ima jedinstveno rešenje. , 1,2, , .k k D x k n D = = … Ako je determinanta sistema 0D = , a bar jedna od determinanti 0kD ≠ , 1,2, ,k n= … , sistem nema rešenja. Ako je determinanta sistema 0D = , i sve determinante 0kD = , 1,2, ,k n= … , sistem je neodređen i ako ima rešenja može ih imati samo beskonačno mnogo. Primer: Rešiti sistem jednačina: 3 2 1 2 3 2 7 x y z x y z x z + − = − + = + = Determinanta sistema je: 1 3 2 2 1 1 13 0 . 1 0 2 D − = − = − ≠ Determinante xD , yD , zD dobijamo kada u determinanti D zamenimo redom prvu, drugu i treću kolonu, kolonom slobodnih članova. 13 207 113 231 −=− − =xD , 26 271 132 211 −= − =yD , 39 701 312 131 −=−=zD . Rešenje sistema je: 13 1 13 xD x D − = = = − , 26 2 13 yD y D − = = = − , 39 3 13 zD z D − = = = − . - 61 -
- 71. Napomena: Kramerovo praviloskoro i da nema praktični značaj. Algoritamska složenost tog pravila je velika, a zato se za rešavanje sistema reda 3n > uvek koristi Gausov metod. Danas u okviru savremenih numeričkih metoda rešavanja sistema linearnih jednačina razvijene su mnoge praktične računarski algoritmi, prikladni za rešavanje sistema jednačina primenom računara. 3.3. KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA – (Kronecker 1823-1891, Capelli 1855-1910) Neka je dat sistem 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = … … … 11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n p m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ gde je A je matrica sistema, a pA je proširena matrica sistema. KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA: Ako je n je broj nepoznatih, tada: Dati sistem je saglasan i ima jednoznačno rešenje ako je ( ) ( )rang rang pA A n= = . - 62 -
- 72. Sistem je saglasani ima beskonačno mnogo rešenja ako je ( ) ( )rang rang pA A n= < . Sistem je protivrečan i nema rešenja ako je ( ) ( )rang rang pA A< . Primer: Rešiti sistem jednačina: 3 2 2 2 3 5 8 5 1 x y z x y z x y z − − = + + = − + + = ( ) 3 2 1 rang rang 2 1 1 2 5 8 5 A − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , a ( ) 3 2 1 2 rang rang 2 1 1 3 3 5 8 5 1 pA − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , zaključujemo da je sistem protivrečan i nema rešenja. Primer: Rešiti sistem jednačina: 6 2 3 2 5 x y z x y z x y z − + = + + = + + = Kako je ( ) 1 1 1 rang rang 2 1 1 3 1 1 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , a ( ) 1 1 1 6 rang rang 2 1 1 3 3 1 1 2 5 pA −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , zaključujemo da je sistem saglasan i ima jedinstveno rešenje koje možemo dobiti nekom od već izloženih metoda. - 63 -
- 73. 3.4. HOMOGENI SISTEMLINEARNIH JEDNAČINA Dat je sistem od m jednačina sa n promenljivih: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = … … … U homogenom sistemu je 1 2 0mb b b= = = =… . Homogeni sistem je uvek saglasan, jer je ( ) ( )rang rang pA A= . Homogeni sistem ima samo trivijalno rešenje 1 2 0nx x x= = = =… ako i samo ako je ( )rang A jednak broju nepozantih n . Homogeni sistem ima i netrivijalno rešenje ako i samo ako je ( )rang A manji od broja nepozantih n . Napomena: Prethodni stav o saglasnosti i broju rešenja homogenog sistema, je posledica Kroneker-Kapelijeve teoreme. Primer: Homogeni sistem jednačina 2 3 0 0 4 0 x y z x y x y z − + = − = + + = ima samo trivijalno rešenje ( )0,0,0 , jer je, ( )rang 3A = . - 64 -
- 74. Primer: 4 0 3 0 50 x y z x y z x y z + − = − + = − + = Kako je ( )rang 2A = , a 3n = sistem jednačina ima i netrivijalnih rešenja i svodi se na sistem od dve jednačine sa dve nepoznate: 4 0 3 0 x y z x y z + − = − + = čije je rešenje ( ) ( ), , , 7 , 2 ; .x y z t t t t R= ∈ 3.5.MATRIČNI METOD ZA REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Dat je sistem od n jednačina sa n promenljivih: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = Sistem se može napisati u matričnom obliku kao: AX B= gde je 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , . n n n m nn n n a a a x b a a a x b A X B a a a x b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj. da joj je determinanta različita od nule, sistem ima ekvivalentan oblik 1 X A B− = , odakle dobijamo rešenje sistema - 65 -
- 75. Primer: Matričnom metodom rešitisistem jednačina: 2 3 7 3 2 3 2 6 x y z x y z x y z − + = − − = − + = Ako uzmemo da je 2 3 1 7 3 2 1 , 3 , 1 1 2 6 x A B X y z −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , dati sistem se može napisati u matričnom obliku kao AX B= . Kako je 1 1 1 1 1 5 5 5 1 det 10 0 , 7 3 5 . 10 1 1 5 AX B A AX A B IX A B X A B A A − − − − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⋅ −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ≠ = ⋅ − ⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) 1 5 5 5 7 10 1 1 1 7 3 5 3 10 1 10 10 1 1 5 6 20 2 , , 1, 1,2 . X A B x y z − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = − ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = − - 66 -
- 76. ZADACI 1. Gausovom metodomrešiti sisteme jednačina: a) 6 2 3 13 5 2 3 x y z x y z x y z + + = + + = − + − = b) 2 8 3 2 7 3 2 1 4 3 15 x y z x y z x y z x y z − + = + − = − + − = − + = c) 2 2 1 2 3 0 1 x y z x y z ax y z + + = + + = + − = Rešenje: a) 6 2 3 13 5 2 3 x y z x y z x y z + + = + + = − + − = Ako se prva jednačina pomnoži sa 2− i doda drugoj jednačini i prva jednačina doda trećoj dobićemo sistem: 6 1 6 9 x y z y z y z + + = − + = − = Množenjem druge jednačine sa 6 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem: 6 1 5 10 x y z y z y + + = − + = = Ovo je sistem trougaonog oblika iz kojeg se neposredno dobijamo jedinstveno rešenje ( ) ( ), , 1,2,3x y z = . b) Ako u polaznom sistemu prvu jednačinu pomnoženu redom sa 2 , 1 i 3− dodamo drugoj, trećoj, u četvrtoj jednačini, dobijamo ekvivalentan sistem: - 67 -
- 77. 2 8 5 9 59 5 9 x y z x y x y x y − + = + = + = − − = − ⇔ 2 8 5 9 x y z x y − + = + = Ovo je sistem od dve jednačine sa tri nepoznate koji ne može da ima jedinstveno rešenje. Neka je x t R= ∈ proizvoljno. Tada iz druge jednačine sistema dobijamo 9 5y t= − i zamenom obe vrednosti u prvu jednačinu dobijamo 17 7z t= − . Dakle skup rešenja je ( ) ( ), , , 9 5 ,17 7x y z t t t= − − . c) ( ) 2 3 0 3 4 1 2 4 1 x y z x y a x y + + = − − = + + = ⇔ ( ) 2 3 0 3 4 1 1 2 x y z x y a x + + = − − = − = Skup rešenja zadatog sistema jednačina glasi: Za 1a ≠ imamo ( ) ( ) ( ) 2 5 3 1 , , , , , 1 4 1 4 1 a a x y z a a a ⎛ ⎞− − − = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ .( ) ( ), , 1,2,3x y z = ; ( ) ( ), , 1,2,3x y z = ; Za 1a = sistem nema rešenja. 2. Matričnom metodom rešiti sisteme jednačina: a) 2 6 13 2 5 4 24 3 10 26 x y z x y z x y z + − = − + + = + + = b) 2 3 5 2 3 5 8 5 8 7 x y z x y z x y z + − = + − = + − = Rešenje a) - 68 -
- 78. 1 2 613 2 5 4 , 24 , , 3 10 1 26 x A B X y AX B z − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , ( ) ( ), , 1,2,3x y z = ; b) ( ) ( ), , 1,2,0x y z = ; 3. Kramerovom metodom rešiti sisteme jednačina: a) 3 2 5 2 3 1 2 3 11 x y z x y z x y z + + = + + = + + = b) 2 10 2 6 10 3 2 x y z x y z x y z + + = + + = − + = c) 3 2 2 1 2 3 4 x y z x y z x y z + + = − + = − + − = d) 2 1 2 3 3 2 4 1 x y z x y z x y z + + = − − + + = + + = Rešenje: a) 3 2 1 2 3 1 12 2 1 3 D = = , 5 2 1 1 3 1 24 11 1 3 xD = = , 3 5 1 2 1 1 24 2 11 3 yD = = − , 3 2 5 2 3 1 36 2 1 11 zD = = . Kako je 0D ≠ sistem ima jedinstveno rešenje: 24 2 12 xD x D = = = , 24 2 12 yD y D − = = = − , 36 3 12 zD z D = = = , ( ) ( ), , 2, 2,3x y z = − . - 69 -
- 79. b) 0 ,0x y zD D D D= = = = . Zaključujemo da je sistem neodređen. Sistem se transformiše u ekvivalentni sistem: 2 10 3 14 x y z y z + + = − − = − čije je rešenje ( ) 2 14 , , , , 3 3 t t x y z t + −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , gde je t R∈ . c) 0 , 32xD D= = , pa prema Kramerovoj teoremi sistem nema rešenja. d) ( ) ( ), , 1,0,1x y z = − . 4. Diskutovati i rešiti sisteme jednačina u zavisnosti od realnog parametra a : a) 1 2 2 2 0 ax y z x ay z x y z + + = + + = + + = b) 3 2 0 2 2 0 x y z x y z ax y z − + = − + − = − − = c) 1 1 1 x y az x ay z ax y z + + = + + = + + = d) 2 2 1 2 ax y z x ay z a x y z a + + = + + = + + = Rešenje: a) ( ) ( ) 22 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 4 4 2 ; a a a D a a D a a a a a = = − + = = − + + = − + = − 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2; 2 2 2 0 1 1 xD a a a = = − + = − - 70 -
- 80. 1 1 1 11 1 2 2 2 2 1; 2 2 1 2 2 0 1 y a a D a= = + = − 1 1 1 1 1 1 2 2 5 4 . 2 1 2 2 1 0 z a a D a a a = = − = − Za ( ) 2 0 2 0 2D a a≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ sistem ima jedinstveno rešenje: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 5 4 , , . 2 2 2 yx z DD Da a x y z D a D Da a − − = = = = = = − − − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 5 4 , , , , 2 2 2 a a x y z a a a ⎛ ⎞− − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ . Za 0D = ,odnosno za 2a = dobijamo 3 0,yD = ≠ pa je sistem nemoguć. b) ( )3 2D a= − , 6xD = − , ( )2 3yD a= − + , ( )2 2 3zD a= − − . Za ( )3 2D a= − , tj. za 2a ≠ imamo jedinstveno rešenje: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 32 , , , , 2 3 2 3 2 a a x y z a a a ⎛ ⎞− + − −− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ . Za 0D = , tj. za 2a = , 0, 0, 0x y zD D D≠ ≠ ≠ sistem je nemoguć i nema rešenja. c) ( ) ( ) 2 1 2D a a= − − + , ( ) 2 1xD a= − − , ( ) 2 1yD a= − − , ( ) 2 1zD a= − − . Za 0,D ≠ odnosno za 1 2a a≠ ∧ ≠ − sistem ima jedinstveno rešenje: ( ) 1 1 1 , , , , 2 2 2 x y z a a a ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ . - 71 -
- 81. 0D = za1 2a a= ∨ = − . Za 2a = − je 0 , 0 , 0x y zD D D≠ ≠ ≠ sistem je nemoguć i nema rešenja. Za 1a = je 0 , 0 , 0x y zD D D= = = sistem je neodređen i svodi se na tri iste jednačine: 1, 1, 1x y z x y z x y z+ + = + + = + + = . Ako uvedemo smenu da je x t R= ∈ i y r R= ∈ , dobijamo 1z t r= − − , pa je rešenje oblika ( ) ( ), , , ,1x y z t r t r= − − . d) ( )( )2 2 3 1 1 2 1 ,D a a a a= − + = − − ( )( )( )3 2 2 2 1 1 1 2 1 ,xD a a a a a a= − + + − = − − + − ( )( ) ( ) 23 2 2 2 4 2 1 1 3 1 , 1y zD a a a a a a D a= − + − − = − − − − = − . Za 0D ≠ , odnosno za 1 1 2 a a≠ ∧ ≠ sistem ima jedinstveno rešenje: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 1 1 1 , , 1 , , 2 1 2 1 a a a a x y z a a a ⎛ ⎞− − − + − ⎜ ⎟= − + ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ . 0D = za 1 1 2 a a= ∨ = . Za 1a = sistem se svodi na: 2 1 0 , 1 1 x y z z y x x y z + + = ⎫ ⇔ = = −⎬ + + = ⎭ , pa je ( ) ( ), , ,1 ,0 ,x y z t t t R= − ∈ . Za 1 2 a = , 0zD ≠ sistem nema rešenja. - 72 -
- 82. 5. Rešiti sistemejednačina: a) 2 1 1 x y az x ay z ax y z + + = + + = − + + = − b) ( ) ( ) 1 2 1 0 x y z a x a y z a x y a z + + = + + + = + − + = c) 3 0 0 x y az x ay z ax y z + + = + + = + + = d) 1 1 1 x y az x ay az ax ay az + + = + + = + + = . Rešenje: a) ( ) ( ) 2 1 2D a a= − − + , ( )( )1 2xD a a= − + , ( )( )1 2yD a a= − + , ( )( )2 1 2zD a a= − − + . Za 0D ≠ , tj. za 1 2a a≠ ∧ ≠ − sistem ima jedinstveno rešenje ( ) 1 1 2 , , , , 1 1 1 x y z a a a ⎛ ⎞ = − −⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ . 0D = za 2 1a a= − ∨ = . Za 2a = − je 0, 0, 0x y zD D D= = = i sistem se svodi na: 2 2 2 1 2 1 x y z x y z x y z + − = − + = − − + + = − Rešavanjem bilo kojom od poznatih metoda dobijamo rešenje: ( ) ( ), , 1, 1,x y z t t t= + + . Za 1a = , 0, 0, 0x y zD D D= = = , sistem je kontradikcija. 2 , 1, 1x y z x y z x y z+ + = + + = − + + = − i nema rešenja. - 73 -
- 83. b) ( )( )2 2 , 2xD a a D a a= − + = − + ( ) 2 2 ,y zD a a D a= − + = − . Za 0D ≠ , tj. za 0 2a a≠ ∧ ≠ − sistem ima jedinstveno rešenje: ( ) 2 2 , , ,1, 2 2 a a x y z a a ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ . 0D = za 2 0a a= − ∨ = . Za 2a = − sistem je nemoguć. Za 0a = sistem je neodređen i rešenje je ( ) ( ), , , ,0x y z t t t R= − ∈ . c) Za 0,D ≠ odnosno za 1 2a a≠ ∧ ≠ − , sistem ima jedinstveno rešenje ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 3 13 3 , , , , 1 2 1 2 1 2 a x y z a a a a a a ⎛ ⎞+ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠ . Za 0D = , odnosno za 2a = − sistem nije moguć i nema rešenja. Za 0D = , odnosno za 1a = sistem nije moguć i nema rešenja. d) ( ) ( ) 2 2 1 , 0 , 0 , 1x y zD a a D D D a= − = = = − . Za 0D ≠ , odnosno za 0 1a a≠ ∧ ≠ je ( ) 1 , , 0,0,x y z a ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Za 0D = , odnosno za 1a = je ( ) ( ), , 1 , , , ,x y z t r t r t r R= − − ∈ . Za 0D = , odnosno za 0a = sistem nije moguć i nema rešenja. 6. U zavisnosti od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina: a) 2 1 3 2 0 5 2 1 x y z x y z x y az − + = + + = − + = b) 3 2 1 2 2 6 x y z x ay z x y az + + = − + = + − = c) 2 0 2 2 0 2 3 0 x y z u x y z u x y z u + + + = − + − = − − − = - 74 -
- 84. Rešenje: a) Korišenjem Kroneker-Kapelijeve teoreme imamo da je A matrica sistema, a pA proširena matrica sistema. 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2 1 0 0 8 2 3 0 8 2 3 5 2 1 0 8 5 4 0 0 3 1a a a ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∼ ∼ Ako je 3a ≠ , onda rang rang 3pA A= = . Kako je broj nepoznatih u sistemu 3n = , sistem ima jedinstveno rešenje, ( ) 2 1 8 2 3 3 1 x y z y z a z − + = − = − − = − , ( ) ( ) ( ) 1 7 3 1 , , , , 4 3 8 3 3 a a x y z a a a ⎛ ⎞− − = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ . Ako je 3a = , onda je rang 3pA = , a rang 2A = , pa sistem nema rešenja. b) Ako je 1 2a a≠ − ∧ ≠ − , onda je rang rang 3pA A= = i tada sistem ima jedinstveno rešenje ( ) 2 2 , , 3 , ,0 1 1 x y z a a ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ . Ako je 2a = − , onda je rang rang 2 3pA A= = < i tada sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( ) ( ), , 5, 2 , ,x y z t t t R= − − ∈ . Ako je 1a = − onda je rang 2 rang 3pA A= ≠ = i tada sistem nema rešenja. c) Kako je ( )rang 2A = , a 3n = sistem jednačina ima i netrivijalnih rešenja i svodi se na sistem od dve jednačine sa dve nepoznate: 2 2 2 x y z u x y z u + = − − − = − + - 75 -
- 85.
- 86. POJAM FUNKCIJE 1. FUNKCIJEJEDNE PROMENLJIVE 2. NIZOVI 3. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE - 77 -
- 87.
- 88. 4. F U NK C I J E J E D N E P R O M E N L J I V E Prelazak od fiksnih ka promenljivim veličinama, kao apstrakciji višeg stepena, vezan je za period od 13. do 16. veka. Prekretnica u razvoju bila je Dekartova metoda koordinata, koja je omogućila definisanje funkcionalne zavisnosti i dalji razvoj matematike. Tek u 19. veku nemački matematičar L. Dirichlet (1805-1859) napravio je odlučijući korak u uopštavanju pojma funkcije, prekinuvši tradicionalna shvatanja kojim se pojam funkcije izjednačavao sa pojmom analitičkog izraza i daje definiciju koju mi danas modifikovano koristimo . Moderna teorija skupova otišla je još dalje i oslobodila pojam funkcije ograničenja vezanih za domen i kodomen. R Descartes (1596-1650) Dekart je bio veliki francuski matematičar i filozof, ali se danas u matematici, njegovo ime prvenstveno pamti po vezi koju je uspostavio između algebre i geometrije. Na taj način stvorio je novu naučnu disciplinu, analitičku geometriju, koja je omogućila dalji napredak matematike. U filozofiji zastupao je metodu kritičke sumnje i poznata je njegova misao “cogito egro sum”( mislim dakle postojim). - 79 -
- 89. 4.1.POJAM FUNKCIJE Neka suA i B proizvoljni skupovi. Preslikavanje ili funkcija :f A B→ predstavlja zakon pridruživanja pomoću koga se proizvoljnom elementu x A∈ dodeljuje element y B∈ takav de je ( )y f x= . A ( )y f x= B Skup A naziva se oblast definisanosti ili domen funkcije i obeležava sa xD . Skup B naziva se oblast vrednosti ili kodomen obeležava sa yD . Element x A∈ naziva se original, a y B∈ njegova slika. Za funkciju :f A B→ kažemo da je jednoznačna ako bilo kojem elementu x A∈ odgovara najviše jedan element y B∈ . Funkcija :f A B→ se naziva preslikavanje “1 1− ” ili injektivnom ako ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ . Funkcija :f A B→ se naziva preslikavanje “na” ili surjektivnim ako ( ) ( ),y B x A y f x∀ ∈ ∃ ∈ = . Ako je preslikavanje :f A B→ “1 1− ” i “na” zovemo ga bijektivnim ili obostrano jednoznačnim preslikavanjem. Primer: ( ) 3 2f x x= + , A B R= = , jeste bijekcija. ( ) 2 3 2f x x= + , A R= , [ )2,B = +∞ , nije “1-1 ”, a jeste “na”, nije bijekcija. - 80 -
- 90. NAČINI ZADAVANJA FUNKCIJA Funkcijemogu biti zadate na različite načine u zavisnosti od primena. Najčešći načini su: Analitičkim izrazom, koji može biti eksplicitnog oblika ( )y f x= , ili implicitnog oblika ( ), 0F x y = , tablicom, grafikom, parametarski. Primer: Funkcija u eksplicitnom obliku je 2 siny x x= + . Funkcija u implicitnom obliku je 2 2y x= . Funkcija u parametarskom obliku je 3 2 ,x t y t= = , gde eliminacijom parametra t dobijamo funkciju 3 2 y x= REALNE FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE Pod realnom funkcijom podrazumeva se svako preslikavanje kod koga su original i slika realni brojevi. Primer: Odrediti domen funkcija: a) ( ) 2 3 x f x x + = − , Iz uslova da je 3 0x − ≠ , dobijamo 3x ≠ . Prema tome domen funkcije je skup { } 3xD R= ili uobičajen je i zapis ( ) ( ),3 3,x∈ −∞ ∞∪ . b) 2 4y x= − , [ ]2 4 0 2,2x x− ≥ ⇔ ∈ − . - 81 -
- 91. c) ln 3 x y x = − , ()0 3 0,3 3 x x x x > ∧ ≠ ⇔ ∈ − . d) 2 2 x y e − = , x R= . Primer: Odrediti kodomen funkcija: a) siny x= , [ ]: 1,1yD y ∈ − ; b) 2y x= − , yD R= ; c) 2 1y x= + , [ ): 1,yD y ∈ +∞ Napomena: Za svaku funkciju neophodno je odrediti domen. Kodomen je poželjno odrediti, ali to nije uvek moguće bez poznavanja ostalih osobina funkcija. INVERZNA FUNKCIJA Neka je :f A B→ bijektivno preslikavanje (“1 1− ” i “na”). Tada postoji jedinstvena funkcija 1 :f B A− → koju nazivamo inverzno preslikavanje ili inverzna funkcija takva da je ( )( )1 f f x x− = . Za datu funkciju :f A B→ može da postoji samo jedna inverzna funkcija 1 :f B A− → . Primer: Odrediti inverznu funkciju funkcije ( ) 2 1f x x= − . Prvo treba dokazati da je preslikavanje bijekcija. Ako je ispunjeno ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2,x x R x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ preslikavanje je “1 1− ”. Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije je koristiti kontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ = , dakle 1 2 1 22 1 2 1x x x x− = − ⇒ = , čime smo dokazali da je preslikavanje “1 1− ”. - 82 -
- 92. Da bismo dokazalida je preskikavanje “na” rešimo polaznu jednačinu po y . Dobićemo izraz 1 1 2 2 x y= + . Onda ( ) 1 1 , 2 2 y R x R x y∀ ∈ ∃ ∈ = + i zaključujemo da je preslikavanje “na”. Pošto je preslikavanje “1 1− ” i “na”, odnosno bijekcija, postoji inverzno preslikavanje 1 f − . Zamenom vrednosti x i y u izrazu 1 1 2 2 x y= + dobijamo ( )1 1 1 2 2 f x y x− = = + . Grafici funkcija f i 1 f − su simetrični u odnosu na pravu y x= . y x = ( )y f x= ( )1 y f x− = Primer: Odrediti inverznu funkciju funkcije ( ) 2 f x x= . Pošto je preslikavanje ( ) 2 f x x= , :f R R+→ nije “1 1− ”, odnosno bijekcija, ne postoji inverzno preslikavanje 1 f − . SLAGANJE-PROIZVOD FUNKCIJA Proizvodom dve funkcije :f A B→ i :g B C→ naziva se funkcija :g f A C→ , za koju važi: ( )( )( ) ( )( )x A g f x g f x∀ ∈ = . - 83 -
- 93. Primer: Date su funkcije( ) 3f x x= + i ( ) 2g x x x= − . Odrediti f g , g f i f f . ( ) ( )( ) 2 3f g x f g x x x= = + − , ( ) ( )( ) 2 6 3g f x g f x x x= = + − + . ( ) ( )( ) 6f f x f f x x= = + . OSOBINE FUNKCIJA Funkcija ( )f x je ograničena na skupu A ako važi: ( )( ) ( ),m M R x A m f x M∃ ∈ ∀ ∈ < < . Grafik funkcije se nalazi između dve prave y m= i y M= . Ako brojevi m i M ne postoje, za funkciju ( )f x kažemo da je neograničena. Primer: Ispitati ograničenost funkcije ( ) 2 1 1 f x x = + . Kako je za ( ) 2 1 0 1 1 x R x ∀ ∈ < ≤ + , funkcija je ograničena. Nula funkcije je onaj broj xDα ∈ za koji je ( ) 0f α = . Nule funkcije su tačke preseka grafika funkcije sa Ox osom. - 84 -
- 94. Primer: Odrediti nule funkcija: a) 2 3 4 8 x y x − = + ;2 0 4 0 2y x x= ⇔ − = ⇔ = ± . Kako funkcija nije definisana za 2x = − , nula funkcije je samo 2x = . b) 1 ln x y x + = ; 1 0 1 ln 0 ln 1y x x x e− = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = . c) 1 x e y x = + ; 0 ,y x R≠ ∀ ∈ i funkcija nema nula. Funkcija ( )f x je pozitivna na domenu A ako ( ) ( ) 0x A f x∀ ∈ > , a negativna ako ( ) ( ) 0x A f x∀ ∈ < . Pojmovi pozitivan i negativan predstavljaju znak funkcije. Funkcija ( )f x je parna ako je ( ) ( ) ( ),xx D f x f x∀ ∈ − = . Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na osu Oy . Funkcija ( )f x je neparna ako je ( ) ( ) ( ),xx D f x f x∀ ∈ − = − . Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak O . Primer: Ispitati parnost i neparnost funkcija: a) ( ) 2 2f x x= − ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2f x x x f x− = − − = − = , funkcija je parna. b) ( ) 3 2 sinf x x x x= − + ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 sin 2 sin 2 sinf x x x x x x x x x x f x− = − − − + − = − + − = − − + = − , funkcija je neparna. c) ( ) 2 3 2 1f x x x= − + ; ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 1 2 1f x x x x x− = − − − + = + + , funkcija nije ni parna ni neparna. - 85 -
- 95. Funkcija ( )fx je periodična ako postoji broj 0T ≠ za koji je ispunjena jednakost ( ) ( ) ( )x A f x T f x∀ ∈ + = . Broj T nazivamo periodom funkcije. Najmanji pozitivni period zovemo osnovnim periodom funkcije. Primer: Trigonometrijske funkcije su periodične. Funkcije ( ) sinf x x= i ( ) cosf x x= imaju osnovni period 2T π= , a funkcije ( ) tgf x x= i ( ) ctgf x x= imaju osnovni period T π= . Primer: ( ) 1, 1 0 , 0 1 x f x x x − ≤ ≤⎧ = ⎨ ≤ ≤⎩ i ( ) ( )2f x f x+ = . Funkcija je periodična sa perodom 2T = . Funkcija ( )f x je rastuća (označavamo ( )f x ) na domenu A ako ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≤ , a strogo rastuća ( ( )f x ↑ ) ako ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ < . Funkcija ( )f x je opadajuća (označavamo ( )f x ) na domenu A ako ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≥ , a strogo opadajuća ( ( )f x ↓ ) ako ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ > . Rastuće i opadajuće funkcije jednim imenom zovemo monotone funkcije. - 86 -
- 96. 1x 2x ( )1fx ( )2f x 1x 2x ( )1f x ( )2f x Primer: Ispitati monotonost sledećih funkcija: a) x y e= ; Funkcija je strogo rastuća jer 1 2 1 2 x x x x e e< ⇒ < , x R∈ b) lny x= ; Funkcija je strogo rastuća za ( )0,x∈ ∞ . c) 3 y x= − ; Funkcija je strogo opadajuća za x R∈ . d) 582 2 +−= xxy ; Ako 1 2x x< , onda je ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 , 2 0 , 2 2 8 5 2 8 5 2 8 0 , ; 2 4 0 , . x x x x x x x x x x x x raste x x x x opada < > > < < − + − − − = − + − − = < = − + − > Funkcija ( )f x ima maksimum u tački x a= ako postoji broj 0ε > , takav da je ( ) ( )f a f x≥ za ( ),x a aε ε∈ − + . Funkcija ( )f x ima minimum u tački x a= ako postoji broj 0ε > , takav da je ( ) ( )f a f x≤ za ( ),x a aε ε∈ − + . Mininum i maksimum funkcije nazivamo ekstremnim vrednostima funkcije. - 87 -
- 97. Primer: Odrediti ekstreme funkcija: a)2 1y x= − ; Tačka ( )0, 1− predstavlja minimum funkcije. b) 2x y = ; Funkcija nema ekstrema, jer je strogo rastuća. Funkcija ( )f x na domenu A , za 1 2,x x A∈ i 1 2x x≠ je konveksna ako ( ) ( )1 2 1 2 2 2 f x f x x x f + +⎛ ⎞ < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i konkavna ako ( ) ( )1 2 1 2 2 2 f x f x x x f + +⎛ ⎞ > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Primer: Funkcija 2 y x= je konveksna, što zaključujemo iz ( ) 22 2 21 2 1 2 1 2 0 2 2 x x x x x x + +⎛ ⎞ < ⇔ − >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , za 1 2x x≠ . 4 . 2 . N I Z O V I Uređeni skup 1 2, , , ,na a a… … obrazuje niz ako se svakom prirodnom broju n N∈ po nekom zakonu pridruži jedan i samo jedan element na R∈ . Niz je preslikavanje :f N R→ . Niz je određen svojim opštim članom na . Primer: 1,2,3,… predstavlja niz prirodnih brojeva. - 88 -
- 98. Primer: Ako je opštičlan niza 1 ,na n N n = ∈ , onda su članovi niza 1 2 3 1 1 1, , , 2 3 a a a= = = …. Niz 1 2, , , ,na a a… … je: rastući ako je 1n na a+ > , opadajući ako je 1n na a+ < , neopadajući ako je 1n na a+ ≥ , nerastući ako je 1n na a+ ≤ , za n N∈ . Ovakvi nizovi zovu se monotoni nizovi. Za niz se kaže da je ograničen ako postoje realni brojevi m i M takvi da je nm a M< < , n N∈ . Broj m je donja granica, dok je M gornja granica niza. Najveća donja granica naziva se infimum niza, a najmanja gornja granica naziva se supremum niza. Primer: Niz sa opštim članom ( )1 n na n − = je ograničen. Donja granica je 1m = − , a gornja granica je 1 2 M = , tj. svi članovi niza zadovoljavaju relaciju 1 1 2 na− ≤ ≤ . Napomena: Treba naglasiti da m i M nisu jedinstveni, naime ima neprebrojivo mnogo drugih granica. Tačne su i sledeće nejednakosti 1 1na− ≤ < ili 2 2na− < < itd. U ovom primeru su navedeni upravo infimum i supremum skupa vrednosti niza. - 89 -
- 99. GRANIČNA VREDNOST NIZA Idejagranične vrednosti bila je poznata još u antičkom dobu. Starogrčki matematičari Eudoks (408-355),Arhimed (287-212) i mnogi drugi, bavili su se problemom kvadrature ravnih figura i kubature geometrijskih tela i te probleme uspešno rešavali metodom iscrpljivanja ali preciznu definiciju granične vrednosti funkcije dao je Koši 1821. god. Broj a se naziva granična vrednost niza, ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj ε , postoji prirodni broj 0n , takav da je ( )0 nn n a a ε∀ > − < , što označavamo sa lim n n a a →∞ = , ili ,na a n→ → ∞. Niz koji ima graničnu vrednost naziva se konvergentnim nizom, a koji je nema naziva se divergentnim nizom. Granična vrednost konvergentnog niza je jedinstvena. Primer: Dat je niz , 2 1 n n a n N n = ∈ + . Pokazati da je njegova granična vrednost 1 2 . Odrediti 0n za 0,01ε = . Kako je 1 1 2 1 2 4 2 n n a a n n ε− = − = < + + za 0ε∀ > , pa zaključujemo da je 1 2 granična vrednost niza. Za 0,01ε = imamo 1 0,01 4 2n < + , odakle je 98 24,5 4 n > = tj. 0 25n ≥ . Dakle, van ε okoline broja 1 2 nalazi se 24 člana niza, a u ε okolini počev od člana 25a , svi ostali članovi niza, njih beskonačno mnogo. - 90 -
- 100. OSOBINE KONVERGENTNIH NIZOVA Svakikonvergentan niz je ograničen. Monoton i ograničen niz je konvergentan. Primer: Niz 1 n n a n + = , n N∈ , odnosno 3 4 1 2 , , , , , 2 3 n n +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … je monotono opadajući, 1n na a +> , a ograničen je 1 1 2 n n + < < , što znači da postoji granična vrednost ovog niza, tj. 1 lim 1 n n n→∞ + = . OPERACIJE SA GRANIČNIM VREDNOSTIMA NIZOVA Neka je lim n n a a →∞ = i lim n n b b →∞ = . Tada važi: lim ,n n c a c a c R →∞ ⋅ = ⋅ ∈ ; ( )lim lim limn n n n n n n a b a b a b →∞ →∞ →∞ ± = ± = ± ; ( )lim lim limn n n n n n n a b a b a b →∞ →∞ →∞ ⋅ = ⋅ = ⋅ ; ( ) lim lim , 0 lim n n n n n n n aa a b b b b →∞ →∞ →∞ = = ≠ . Primer: 11 lim 11 1 1 lim lim 1 12 1 22 lim 2 n n n n n nn n n n →∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ ++ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = = + ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - 91 -
- 101. TAČKA NAGOMILAVANJA NIZA Tačkaa na brojnoj pravoj u čijoj se svakoj proizvoljno maloj okolini nalazi beskonačno mnogo članova niza naziva se tačka nagomilavanja niza. Broj a je tačka nagomilavanja niza ako je za 0ε∀ > i n I∀ ∈ na a ε− < , gde je I jedan beskonačni podskup skupa prirodnih brojeva Niz može imati jednu, dve, uopšte konačno ili beskonačno mnogo tačaka nagomilavanja. Ograničen niz koji ima samo jednu tačku nagomilavanja je konvergentan. Primer: a) Niz sa opštim članom na n= nema tačku nagomilavanja. b) Niz sa opštim članom 1 na n = ima jednu tačku nagomilavanja 0a = koja ne pripada nizu i on je konvergentan. c) Niz sa opštim članom ( )1 1 1 n n n a n − + = + ima dve tačke nagomilavanja 1 1a = , koja pripada nizu i 2 1a = − , koja ne pripada nizu. Niz je divergentan. BROJ e Granična vrednost niza sa opštim članom 1 1 n na n ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ je broj 2,718281e = … odnosno: 1 lim 1 n n e n→∞ ⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Napomena: Može se dokazati da je niz sa opštim članom 1 1 n na n ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ monoton i ograničen, pa samim tim i konvergentan. - 92 -
- 102. Primer: Naći graničnu vrednostniza: 3 1 n na n ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Ako uvedemo smenu 3 1 3n t n t = ⇔ = i za n → ∞ dobijamo t → ∞ , onda je 33 33 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 n t t n t t e n t t→∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ . 4.3.GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Ako posmatramo funkciju 2 1 1 x y x − = − , uočavamo da je funkcija nije definisana za 1x = . Dakle ponašanje funkcije u toj vrednosti, kao i u beskonačnosti ne možemo ispitati koristeći dosadašnje znanje o osobinama funkcija. Jedino možemo se tim vrednostima u beskonačno približavati i posmatrati promene funkcije. Na taj način dolazimo do pojma granične vrednosti funkcije, uopštavajući pojam granične vrednosti niza. Broj A je granična vrednost funkcije ( )f x kada x a→ , ako za svaki 0ε > postoji broj 0δ > , takav da je za xx D∀ ∈ za koje važi uslov x a δ− < , ispunjena nejednakost ( )f x A ε− < i pišemo ( )lim x a f x A → = . Navedenu definiciju možemo zapisati i na sledeći način: ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 , ,x x a a f x A Aε δ δ δ ε ε∀ > ∃ > ∀ ∈ − + ⇒ ∈ − + - 93 -
- 103. a δ− aδ+a A ε− A ε− A ( )y f x= Napomena: Prethodna definicija znači da ako se na y osi zada ε okolina tačke A , tada postoji δ okolina tačke a na x osi, tako da kada ( ),x a aδ δ∈ − + , onda ( ) ( ),f x A Aε ε∈ − + , tj. ako nezavisno promenljiva x teži a , vrednosti funkcije ( )f x teže A . Napomena: Funkcija u tački a može, a ne mora biti definisana, ali tačka a mora biti tačka nagomilavanja funkcije. Primer: Dokazati da je ( )2 lim 3 1 7 x x → + = . Polazeći od definicije granične vrednosti, ako je 3 1 7x ε+ − < , dobijamo 3 2x ε− < , tj. 2 3 x ε − < . Dovoljno je uzeti da je 3 ε δ = , pa da gornja formula bude tačna. - 94 -
- 104. LEVA I DESNAGRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Broj A je desna granična vrednost funkcije ( )f x u tački a , tj. ( )0 lim x a f x A → + = , ako i samo ako je (akko) ( )( )( ) ( )( )0 0 x a x a f x Aε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ < < + ⇒ − < . Broj A je leva granična vrednost funkcije ( )f x u tački a tj. ( )0 lim x a f x A → − = , akko ( )( )( ) ( )( )0 0 x a x a f x Aε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ − < < ⇒ − < . Funkcija ( )f x ima graničnu vrednost A kada x a→ ako leva i desna granična vrednost postoje i jednake su A . Primer: Odrediti graničnu vrednost funkcije ( ) 2 1 1 x f x x − = − u tački 1x = . Imamo da je ( ) 2 1 0 1 0 1 lim lim 1 2 1x x x x x→ + → + − = + = − , ( ) 2 1 0 1 0 1 lim lim 1 2 1x x x x x→ − → − − = + = − . Pošto leva i desna granična vrednost funkcije u tački 1x = postoje i imaju istu vrednost, funkcija ima graničnu vrednost koja iznosi 2. Primer: Odrediti graničnu vrednost funkcije ( ) 2 2 x f x x x − = − u tački 2x = . Kako je ( ) 2 , 2 2 2 , 2 x x x x x − ≥⎧ − = ⎨ − − <⎩ , dobijamo: 2 0 2 0 2 lim lim 2 2x x x x x x→ + → + − ⋅ = = − , ( ) ( )2 0 2 0 2 lim lim 2 2x x x x x x→ − → − − − ⋅ = − = − − . Levai desna granična vrednost funkcije u tački 2x = postoje, ali nisu jednake, funkcija pa nema graničnu vrednost u toj tački. - 95 -
- 105. ( )lim x f xA →+∞ = ako: ( )0ε∀ > ( )0M∃ > ( )x∀ ( )x M f x A ε> ⇒ − < . ( )lim x f x A →−∞ = ako: ( )0ε∀ > ( )0M∃ < ( )x∀ ( )x M f x A ε< ⇒ − < Ako je ( )lim 0 x a f x → = , kažemo da je ( )f x beskonačno mala kad x a→ . ( )lim x a f x → = +∞ ako: ( )0M∀ > ( )0δ∃ > ( )x∀ x a δ− < ( )f x M> . ( )lim x a f x → = −∞ ako: ( )0M∀ < ( )0δ∃ > ( )x∀ x a δ− < ( )f x M< . Ako je ( )lim x a f x → = +∞ , kažemo da je ( )f x beskonačno velika kad x a→ . Ako je funkcija ( )f x beskonačno mala kad x a→ , tada je ( ) 1 f x beskonačno velika x a→ . OSOBINE GRANIČNIH VREDNOSTI FUNKCIJA Ako funkcije ( )f x i ( )g x imaju granične vrednosti kad x a→ , tj. ( )lim x a f x A → = i ( )lim x a g x B → = , tada je: ( ) ( )lim lim x a x a c f x c f x c A → → = = ; ( ) ( )( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x A B → → → ± = ± = ± ; ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x A B → → → ⋅ = ⋅ = ⋅ , ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x a x a x a f xf x A g x g x B → → → = = za ( )( )0 , 0g x B≠ ≠ . - 96 -
- 106. NEPREKIDNOST FUNKCIJE Funkcija ()f x je neprekidna u tački xa D∈ , ako ( )0ε∀ > ( )0δ∃ > ( )x∀ ( ) ( )x a f x f aδ ε− < ⇒ − < . Funkcija ( )f x je neprekidna u tački xa D∈ , ako je ( ) ( )lim x a f x f a → = . Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakoj tački tog intervala . Ako funkcija nije neprekidna u tački a , onda je a to tačka prekida funkcije. Napomena: Definicija neprekidnosti ima sličnosti sa definicijom granične vrednosti u tački. Razlika je u tome što definicija granične vrednosti ne zahteva definisanost funkcije u tački a , a neprekidnosti zahteva. Ako su funkcije ( )f x i ( )g x neprekidne u tački xa D∈ , onda su u toj tački funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0 f x c f x f x g x f x g x g x g x ⋅ ± ⋅ ≠ . Primer: a) Ispitati neprekidnost funkcije ( ) 3 , 1 3 ,1 x x f x x x − ∞ < ≤⎧ = ⎨ − < < +∞⎩ . Funkcija je neprekidna u svakoj tački osim za 1x = . 1 0 lim 3 3 x x → − = , a ( )1 0 lim 3 2 x x → + − = , znači da ne postoji ( )1 lim x f x → , pa u toj tački funkcija ima prekid. Ovaj prekid se zove prekid prve vrste. b) Ispitati neprekidnost funkcije ( ) 1 f x x = funkcija nije definisana u tački 0x = , odnosno u njoj ima prekid druge vrste - 97 -
- 107. ASIMPTOTE FUNKCIJE Asimptota funkcijeje prava ili kriva kojoj se zadata funkcija približava u beskonačno. Prava x a= je vertikalna asimptota funkcije ( )f x ako je ( )lim x a f x → = ±∞ . Prava y b= je horizontalna asimptota funkcije ( )f x ako je ( )lim x f x b →±∞ = . Prava y kx n= + je kosa asimptota funkcije ( )f x ako je: ( )( )lim 0 x f x kx n →±∞ − − = . Odavde je ( )( )lim x f x kx n →±∞ − = . Ako podelimo poslednju vezu sa x dobićemo: ( ) ( ) ( ) lim 0 lim 0 lim x x x f x kx f x f x k k x x x→±∞ →±∞ →±∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⇔ − = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , pa je ( )lim x f x k x→±∞ = , a ( )( )lim x n f x kx →±∞ = − . lnvetrika a lnhorizonta a kosa - 98 -
- 108. Primer: Odrediti asimptotefunkcija: a) ( ) 2 3 1 f x x = − . Funkcija ima prekide za 1x = ± i te prave mogu da budu njene vertikalne asimptote. Kako je 2 21 0 1 0 3 3 lim , lim 1 1x xx x→ ± →− ± = ±∞ = ∞ − − ∓ ,funkcija ima dve vertikalne asimptote 1x = ± . Pošto je 2 3 lim 0 1x x→±∞ = − , postoji i horizontalna asimptota, x - osa, tj. prava 0y = . Funkcija koja ima horizontalnu nema kosu asimptotu. b) ( ) 2 3 1 x f x x = − . Funkcija ima prekid za 1x = , a ( ) ( )1 0 1 0 lim , lim x x f x f x → + → − = +∞ = −∞ , i prava 1x = je vertikalna asimptota. Pošto je ( )lim x f x →±∞ = ±∞ , funkcija nema horizontalnu asimptotu i može da ima kosu. Kako je ( ) 2 2 3 lim lim 3 x x f x x k x x x→±∞ →±∞ = = = − , ( )( ) 3 lim lim 3 1x x x n f x kx x→±∞ →±∞ = − = = − , kosa asimptota je prava 3 3y x= + . c) ( ) 1 x f x e= . Funkcija ima prekid za 0x = , a 1 1 0 0 lim , lim 0x x x x e e →+ →− = +∞ = , i prava 0x = je vertikalna asimptota s desna. Pošto je 1 lim 1x x e →±∞ = , funkcija ima horizontalnu asimptotu pravu 1y = . - 99 -
- 109. ZADACI Odrediti oblast definisanostisledećih funkcija: 1. a) 1 2 2 − = x x y ; b) ( ) 2 1 2 1 x y x − = − ; c) 2 9 xy −= ; d) 2 4 xxy −= ; e) x xx y − −− = 2 168 2 f) ( ) 2 2 1 2 3 2 f x x x x x = − − + + − . Rešenje: a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1, , 1 1,1 1,x x x− ≠ ⇔ ≠ ± ∈ −∞ − − +∞∪ ∪ ; b) { } 1xD R= . c) ( )( ) [ ]2 9 0 3 3 0 , 3,3x x x x− ≥ ⇔ − + ≥ ∈ − ; d) ( ) [ ]2 4 0 4 0 , 0,4x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ∈ ; e) ( )2 0 2 , ,2x x x− > ⇔ < ∈ −∞ ; f) ( )( ) ( ] [ )2 1 2 0 2 1 0 , 1 2,x x x x x− − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ∈ −∞ − +∞∪ ; ( )( ) ( )( ) ( )2 2 3 2 0 1 3 0 1 3 0 1,3x x x x x x x+ − > ⇔ − + − > ⇔ + − > ⇔ ∈ − Rešenje je presek dobijenih rešenja [ )2,3x∈ . 2. a) x x y − = 3 ln ; b) ( )xxy 6ln 2 −= ; c) ( ) 2 5 ln 4 x x f x − = . Rešenje: a) ( )0 , 0,3 3 x x x > ∈ − ; b) ( ) ( )2 6 0 , ,0 6,x x x− > ∈ −∞ +∞∪ ; c) - 100 -
- 110. [ ] 2 2 55 1 ln 0 1 1,4 4 4 x x x x x − − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ∈ ( ) 2 5 2 0 0,5 4 x x x − > ⇔ ∈ . Rešenje je presek dobijenih rešenja [ ]1,4x∈ . 3. Odrediti kodomen funkcija: a) 1 2 1 2 −−= xy ; b) 92 −= xy ; c) 2 1x y = + . Rešenje: a) ( ], 1y ∈ −∞ − ; b) [ )9,y ∈ − +∞ ; c) ( )1,y ∈ +∞ . 4. Date su funkcije. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 4, , , x f x x f x f x x f x x x = = = = . Da li među njima ima istih? Rešenje: ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 2 4 , , , / 0 , , , , , x y x y x y x y f x x D R D R x f x x D R D R x f x x x D R D R f x x x D R D R + + + = = = = = = = = = = = = = = = Sve funkcije su različite. 5. Date su funkcije - 101 -
- 111. ( ) () ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 3 42 ln sin cos , , , x x e x f x x x f x f x f x x xx = + = = = . Da li među njima ima istih? Rešenje: ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } 2 2 1 2 2 3 3 3 4 sin cos 1, 1, / 0 ln 1, / 0 1, / 0 x x x x x f x x x D R x f x D R x e f x D R x x f x D R x = + = = = = ± = = = = = = = Iste su funkcije 3 4f i f . 6. Odrediti domen i nule datih funkcija: a) 1 103 2 2 + −+ = x xx y ; b) 2 1y x x= − ; c) ( )2 4 x y x e= − ; d) 2 ln1 x x y + = . Rešenje: a) Domen: xD R= . Nule funkcije: 2 1 22 3 10 0 2 5 1 x x x x x + − = ⇔ = ∨ = − + . b) Domen: ( ] [ ), 1 1,x∈ −∞ − +∞∪ . Nule funkcije: 1,20 1y x= ⇔ = ± . c) Domen je skup R . Nule funkcije: ( )2 1,24 0 2 , 0x x x e x e− = ⇔ = ± ≠ . d) Domen: ( )0,x∈ +∞ . Nule funkcije: 1 1 ln 0x x e− + = ⇔ = . - 102 -
- 112. 7. Odrediti domen,nule i znak funkcija: a) ( )ln 1y x= − ; b) 4 ln 1 x y x − = − . Rešenje: a) Domen: 1 0x− > , ( ),1x∈ −∞ . Nule funkcije: 1 1 0x x− = ⇔ = . Znak funkcije: ( )0 0 1 1 0,1y x x< ⇔ < − < ⇔ ∈ , ( )0 1 1 ,0y x x> ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ . b) Domen: 4 0 1 x x − > − , ( )1,4x∈ . Nule funkcije: 5 2 x = . Znak funkcije: 0y < za 1 1 4 0 < − − < x x , 5 ,4 2 x ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i 0y > za 1 1 4 > − − x x za 5 1, 2 x ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 8. Dokazati da funkcije nisu ni parne ni neparne: a) 2 2 2x y x − = ; b) 1− = x e y x . Rešenje: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1x x y x xx − − − + − = = − ; ( ) ( )y x y x− ≠ i ( ) ( )y x y x− ≠ − ; b) ( ) ( ) 1 1 1 x x e y x x e x − − = = − − − + , ( ) ( )y x y x− ≠ i ( ) ( )y x y x− ≠ − . - 103 -
- 113. 9. Dokazati dasu funkcije parne: a) 2 4 xy −= ; b) 2 2 x ey − = ; c) ( ) 2 2 1 x y x e− = − ; d) xxy cos312 −−= . Rešenje: a) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4y x x x y x− = − − = − = ; b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x y x e e y x − − − − = = = ; c) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 1x x y x x e x e y x− − − − = − − = − = ; d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3cos 1 3cosy x x x x x y x− = − − − − = − − = . 10. Dokazati da su funkcije neparne: a) xxy 23 −= ; b) x x y 2 2 −= ; c) ( ) 1 1 x x e f x e + = − ; d) 12 12 + − = x x y . Rešenje: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2y x x x x x y x− = − − − = − − = − ; b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x y x y x x x − ⎛ ⎞ − = − = − − = −⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ; c) ( ) ( ) 1 1 1 1 11 11 x xx x x x e eey x y x e e e − − + + + − = = = − = − − −− ; - 104 -
- 114. d) ( )( ) 1 1 2 1 2 12 12 1 2 11 2 x xx x x x y x y x − − − − − − = = = − = − + ++ . Ispitati sve poznate osobine funkcija: 11. a) ( )1ln 2 −= xy ; b) x x y ln1 ln1 − + = . Rešenje: a) Domen: ( )( )1 1 0x x− + > , ( ) ( ), 1 1,x∈ −∞ − +∞∪ . Nule: 2 11 1 2x x− = ⇔ = ± . Znak funkcije: ( ) ( ) ( )2 0 0 2 0 2, 1 1, 2y x x x< ⇔ < − < ⇔ ∈ − − ∪ ( ) ( ) ( )2 0 2 0 , 2 2,y x x x> ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − +∞∪ . ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 ln 1 ln 1y x x x y x− = − − = − = , funkcija je parna. b) Domen:1 ln 0 0 0x x x e x− ≠ ∧ > ⇔ ≠ ∧ > , ( ) ( )0, ,x e e∈ +∞∪ . Nule: 1 1 ln 0x x e− + = ⇔ = . ( ) 0y x < , ( ) ( )1 0, ,x e e− ∈ +∞∪ , ( ) 0y x > , ( )eex ,1− ∈ . Funkcija nije ni parna ni neparna, jer ( )ln x R− ∉ i ne može da se izračuna. 12. Odredi osnovni period sledećih funkcija: a) 2sin 2y x= ; b) tg 2 x y = ; c) xy 2 sin= ; d) xxxy 3cos 3 1 2cos3cos −+= . - 105 -
- 115. Rešenje: a) ( )( )2sin 2 2sin 2 sin 2 sin 2 0x x T x x T= + ⇔ − + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos 0 2 2 2sin cos 2 0 sin 0 , cos 2 0 ; x x T x x T T x T T x T T π − + + − ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ − = ⇔ = − ≠ ⇔ = Napomena: Osnovni period funkcija siny bx= i cosy bx= je 2 T b π = , a za funkcije tgy bx= i ctgy bx= je T b π = . b) 2 1 2 T π π= = ; c) ( )2 1 sin 1 cos2 2 y x x= = − , T π= ; d) 1 2 3 2 2 , , 3 T T T π π π= = = , pa je ( )1 2 3, , 2T NZS T T T π= = . 13. Ispitati ograničenost sledećih funkcija: a) 2 4 xy −= ; b) 4y x= − ; c) xy 2sin2= . Rešenje: a) Funkcija je neograničena [ )0,y ∈ ∞ ; b) Funkcija je neograničena; c) Funkcija je ograničena [ ]2,2y ∈ − . - 106 -
- 116. 14. Ispitati monotonostsledećih funkcija: a) 32 += xy ; b) x y 2= . Rešenje a) 1 2 1 22 3 2 3x x x x< ⇒ + < + , što znači da funkcija strogo raste. b) 1 2 1 2 2 2x x x x< ⇒ < , što znači da funkcija raste. 15. Ispitati konveksnost, konkavnost funkcije ( ) xxf 2log= . Rešenje ( ) ( )2 1 2 21 2 2 log log log 2 2 x xx x ++⎛ ⎞ ≥ ⇔⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 1 1 1 2 1 22 2 2 2 1 2 1 2log log 2 2 x x x x x x x x + +⎛ ⎞ ≥ ⇔ ≥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , pa je funkcija konveksna. 16. Ako je ( ) 2 2f x x x= + + naći ( ) ( ) ( )( )1 , ,f f a f f x . Rešenje ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 1 1 2 4 2 2 2 2 f f a a a f f x x x x x = + + = = + + = + + + + + + 17. Ako je ( ) 2 1 2f x x x+ = + + naći ( ) ( ) ( )( )1 , ,f f a f f x . Rešenje Ako stavimo da je 1x t+ = , dobijamo da je 1x t= − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2f t t t t t= − + − + = − + , odnosno ( ) 2 2f x x x= − + . - 107 -
- 117. ( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 f f a a a f f x x x x x = − + = = − + = − + + − + + 18. Napisati nekoliko članova niza čiji je opšti član: a) 1 1 na n = + ; b) ( ) 1 1 n na n = − . Rešenje: a) 1 1 1 , , , 2 3 4 …; b) 1 1 1, , , 2 3 − − … . 19. Naći opšti član niza, zadatog sa nekoliko prvih članova: a) 1 1 1 , , , 2 4 8 …; b) 1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5 − − …. Rešenje: a) 1 2 n n a = ; b) ( ) 1 1 1 n n n a n + = − + . 20. Naći tačke nagomilavanja i ispitati konvergenciju sledećih nizova: a) 1 1 na n = + ; b) ( ) 1 1 n na n = − ; c) 1 n n a n + = ; d) ( ) 2 1 n n n a n + = − . Rešenje: a) tačka nagomilavanja je 0 , lim 0n n a →∞ = i niz je konvergentan, b) tačka nagomilavanja je 0 , lim 0n n a →∞ = i niz je konvergentan, c) tačka nagomilavanja je 1 , lim 1n n a →∞ = i niz je konvergentan, - 108 -
- 118. d) niz imadve tačke nagomilavanja, 1− i 1, i niz ne konvergira. 21. Dat je niz 1 n n a n = + . Izračunati njegovu graničnu vrednost. Odrediti 0n za 0,01ε = . Rešenje: 1 lim lim 1 11 1 n n n n n →∞ →∞ = = + + . Kako je 1 granična vrednost niza, onda je 1 1 1 0,01 1 1 1 n n n n − − = = < + + + odakle je 99n > tj. 0 99n = . Prema tome 99 članova niza je van ε okoline tačke 1 širine 0,01, a počev od 100a svi ostali, tj.njih beskonačno mnogo nalaze u ε okolini tačke 1. 22. Odrediti granične vrednosti nizova: a) 2 2 2 2 3 lim 3 1n n n n→∞ + + + ; b) 2 2 lim 3 1n n n→∞ + ; c) 2 2 lim 3 1n n n→∞ + , d) ( ) ( ) 2 1 3 5 2 1 lim 1n n n→∞ + + + + − + … ; e) 2 1 1 1 lim 1 2 2 2nn→∞ ⎛ ⎞ + + + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Rešenje: a) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 lim lim 13 1 33 n n n n n n n n →∞ →∞ + + + + = = + + ; b) 2 2 2 2 lim lim 0 13 1 3 n n n n n n →∞ →∞ = = + + ; - 109 -
- 119. c) 2 2 2 2 lim lim 313 1n n n n n n →∞ →∞ = = ∞ + + ; d) Po formuli za zbir prvih n članova aritmetičkog niza ( )( )12 1 2 n n S a n d= + − , gde je 1 1, 2a d= = , dobijamo ( ) 22 2 lim lim 1 11n n n n nn→∞ →∞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠+ . e) Po formuli za zbir prvih n članova geometrijskog niza 1 1 1 n n q S a q − = ⋅ − , gde je 1 1 1, 2 a q= = dobijamo: 1 2 1 1 1 1 1 2 lim 1 lim 2 12 2 2 1 2 n nx x + →∞ →∞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ + + + = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − … . 23. Odrediti granične vrednosti nizova: a) ( )2 lim 1 n n n →∞ + − ; b) ( )2 lim 1 n n n n →∞ + − ; c) 2 lim n n n n n→∞ + − ; d) lim 1n n n n→∞ + − . Rešenje: a) ( ) ( )( )2 2 2 2 1 1 lim 1 lim 1n n n n n n n n n n→+∞ →+∞ + − + + + − = + + ( )2 2 2 2 1 1 lim lim 0 . 1 1n n n n n n n n→+∞ →+∞ + − = = = + + + + b) ( ) ( )( )2 2 2 2 1 1 lim 1 lim 1n n n n n n n n n n n n→∞ →∞ + − + + + − = + + - 110 -
- 120. ( )2 2 22 2 1 1 1 lim lim lim . 211 1 1 1 n n n n n n n n n n n n →∞ →∞ →∞ + − = = = + + + + + + c) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 lim lim n n n n n nn n n n n n n n n n→∞ →∞ + + = + − + − + + 2 1 1 lim lim 1 1. n n n n n n n n→∞ →∞ ⎛ ⎞+ + = = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d) ( ) ( )( ) 1 lim lim 1 1 1n n n n nn n n n n n n→∞ →∞ + + = + − + − + + ( ) ( ) 1 lim lim 1 . 1n n n n n n n n n→∞ →∞ + + = = + + = ∞ + − 24. Odrediti granične vrednosti nizova: a) ( ) ( ) ! 1 ! lim ! 1 !n n n n n→∞ + + − + ; b) 3 5 lim 3 5 n n n nn→∞ + − ; c) ( ) 1 1 1 lim 1 2 2 3 1n n n→∞ ⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎝ ⎠ . Rešenje: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ! 1 ! ! ! 1 ! 1 1 2 lim lim lim lim 2 . ! 1 ! ! ! 1 ! 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n→∞ →∞ →∞ →∞ + + + + + + + = = = = − − + − + −− + b) 3 1 3 5 5 lim lim 1. 3 5 3 1 5 n n n nn nn n→∞ →∞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = − − ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - 111 -
- 121. c) ( ) 1 11 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 2 2 3 1 2 2 3 1n nn n n n→∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + = − + − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ … … 1 lim 1 1 1n n→∞ ⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ . 25. Odrediti granične vrednosti nizova: a) 32 lim 1 n n n→∞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; b) 2 lim 1 n n n n→∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ; c) 23 lim n n n n→∞ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Rešenje: a) 2 3 2 2 3 2 lim 233 3 2 2 lim 1 lim 1 n n n n n n n n n e e e n n →∞ ⋅ →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; b) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 lim 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n − − + + →∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 lim 21 2 1 .n n n e e e →∞ − −+ = = = c) 3 2 3 2 3 2 3 3 lim lim 1 . n n n n n e n n − − − →∞ →∞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 26. Odrediti graničnu vrednost niza ( )( )lim ln 2 ln n n n n →∞ + − . Rešenje: 2 2 22 2 2 lim ln limln 1 ln lim 1 ln 2 n n n n n n n e n n n→∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Dokazati sledeće rezultate: - 112 -
- 122. a) 2 1 lim 1 1n n n→∞ + = + ; b) () ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 lim 0 1 1n n n n n→∞ + − − = + + − ; c) ( )1 4 7 3 2 1 lim 3 1 2 3n n n n→∞ + + + + −⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ +⎝ ⎠ … ; d) ( ) 2 1 lim 2 1 2 3 1n n n→∞ + = + + + + −… ; e) 4 2 lim 2 2 2 2 n n→∞ ⋅ ⋅ ⋅ =… ; i) 1 1 2 1 lim 0 2 1 n n n →∞ − = + ; j) 1 1 2 3 lim 3 2 3 n n n nn + + →∞ + = + ; k) 2 lim 0 n n n n n→∞ + − = ; l) ( ) 1 lim 1 2n n n n →∞ + − = ; m) 3 62 lim 1 n n e n − →∞ ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n) 2 1 21 lim 2 n n n e n + − →∞ +⎛ ⎞ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ . 27. Na osnovu definicije granične vrednosri pokazati da je: a) ( )1 lim 2 1 1 x x → − = ; b) 2 2 4 lim 4 2x x x→ − = − . Rešenje: a) Po definiciji broj 1 će biti granična vrednost funkcije ako 0ε∀ > , 0δ∃ > , tako da ako je 1x δ− < , onda je ( )2 1 1x ε− − < . Kako je ( )2 1 1 2 1 1 2 x x x ε ε− − = − < ⇒ − < , i ako uzmemo da je 2 ε δ = , biće ( )2 1 1x ε− − < , za 1x δ− < . Zanači, 1 je granična vrednost funkcije. b) 2 4 4 2 4 2 2 x x x x ε − − = + − = − < − , za svaki 2x δ ε− < = . - 113 -
- 123. 28. Odrediti graničnevrednosti funkcija: a) 22 2 1 lim 2x x x→+∞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ; b) 2 2 1 lim 2 1x x x x→+∞ + + + ; c) 2 2 1 lim 2 1x x x x→+∞ + − + ; d) ( ) 2 2 1 lim 2 2 1x x x x→+∞ + − + . Rešenje: a) 2 2 2 1 1 lim 1 2 1 x x x →+∞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; b) 2 2 2 2 1 1 2 1 lim lim 2 12 1x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + + + + = = ∞ + + ; c) 0 ; d) 1 2 . 29. Izračunati: a) 2 23 5 6 lim 7 12x x x x x→− + + + + ; b) 4 2 3 23 6 27 lim 3 3x x x x x x→− − − + + + ; c) 2 33 2 lim 4 3x x x x x→− + − − + ; d) 5 22 16 lim 2 4 16x x x x x→ − + − . Rešenje: a) ( )( ) ( )( ) 2 23 3 3 3 25 6 2 lim lim lim 1 7 12 3 4 4x x x x xx x x x x x x x→− →− →− + ++ + + = = = − + + + + + ; b) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 24 2 3 2 223 3 3 9 3 3 36 27 36 lim lim lim 3 3 1 53 1x x x x x x xx x x x x xx x→− →− →− − + − +− − = = = − + + + ++ + ; c) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 3 3 21 1 1 2 1 2 12 lim lim lim 4 3 3 3 1 3 1x x x x x x xx x x x x x x x x x→ → → + − + −+ − = = − + − − + − − − 21 2 lim 3 3x x x x→ + = = − + − ; - 114 -
- 124. d) 16 3 . 30. Izračunati: a) ()2 lim 1 x x x →∞ + − ; b) 21 3 2 lim 1x x x→ + − − ; c) 0 1 1 lim 4x x x x→ + − − ; d) 3 3 lim 1 2x x x→ − + − . Rešenje: a) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim lim 1 1x x x x x x x x x x x x→∞ →∞ + − + + + − = + + + + 2 2 2 2 1 1 lim lim 0 . 1 1x x x x x x x x→∞ →∞ + − = = = + + + + b) ( ) ( )( ) 2 2 21 1 3 43 2 3 2 lim lim 1 3 2 1 3 2x x xx x x x x x→ → + −+ − + + ⋅ = − + + − + + ( )( ) ( )( )21 1 1 1 1 lim lim . 81 3 2 1 3 2x x x x x x x→ → − = = = − + + + + + c) 1 4 ; d) 4 31. Izračunati granične vrednosti : a) 2 20 1 1 lim 16 4x x x→ + − + − ; b) 3 2 20 1 1 lim x x x→ + − ; c) 3 1 1 lim 1x x x→ − − ; d) 3 1 1 lim 1x x x→ − − e) 4 4 lim x a x a x a→ − − - 115 -
- 125. Rešenje: a) 2 2 22 2 2 2 20 0 2 20 1 1 1 1 1 1 16 4 lim lim 16 4 16 4 1 1 16 4 16 4 lim 4; 1 1 x x x x x x x x x x x x x → → → + − + − + + + + = ⋅ ⋅ + − + − + + + + + + = = + + b) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 22 20 0 3 2 3 2 1 1 11 1 1 1 lim lim 1 1 1 x x x xx x x x x x → → + + + ++ − + − = ⋅ + + + + ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 20 0 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 lim lim ; 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x → → + − = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) 1 3 − ; d) 2 3 ; e) 4 2 a . 32. Dokazati 0 sin lim 1 x x x→ = . Rešenje: Za 0, 2 x π⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , dobijamo sin x x tgx< < . sin 1 sin 1 cos sin cos x x x x x x x < < ⇔ < < sin cos 1 x x x ⇔ ≤ ≤ . kako je funkcija siny x= , neparna. Znajući da je 0 limcos 1 x x → = , zaključujemo da je 0 sin lim 1 x x x→ = - 116 -
- 126. 33. a) 0 sin 4 lim x x x→ ;b) 0 sin 2 lim sin3x x x→ ; c) 0 tg lim x x x→ ; d) 0 2 sin lim 2 sinx x x x x→ − + . Rešenje: a) 0 0 sin 4 sin 4 lim 4 lim 4 4x x x x x x→ → = ⋅ = ; b) 0 0 2sin 2 sin 2 22lim lim 3sin3sin3 3 3 x x x x x xx x → → = = ; c) 1; d) 1 3 . 34. a) 0 1 cos2 lim sinx x x x→ − ; b) 20 1 cos lim x x x→ − ; Rešenje: a) 2 0 0 0 1 cos2 2sin 2sin lim lim lim 2 . sin sinx x x x x x x x x x x→ → → − = = = b) 2 2 2 220 0 2 sin sin sin 1 1 12 2 2lim lim lim . 2 2 2 22 x x x x x x xx x→ → →∞ ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ = = =⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 35. a) 0 sin 4 lim 4 2x x x→ + − ; b) 0 9 3 lim sin3x x x→ + − ; c) ( ) 3 1 1 lim sin 1x x x→− + + . Rezultat: a) 16; b) 1 18 ; c) 3. - 117 -
- 127. Odrediti granične vrednostifunkcija ako je: 1 lim 1 x x e x→∞ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ odnosno ( ) 1 0 lim 1 x x e x → = + 36. a) 1 lim 1 2 x x x→∞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; b) ( ) 3 0 lim 1 2 x x x → + ; c) 1 lim 1 x x x x→∞ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ; d) 2 2 2 1 lim 2 x x x x→∞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ . Rešenje: a) 2 1 2 2 1 1 1 lim 1 lim 1 2 2 x x x x e x x e − →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; b) ( ) ( ) ( ) 3 3 6 62 0 0 0 lim 1 2 lim 1 2 lim 1 2x x x x x x x x x e → → → + = + = + = ; c) 1 2 2 2 1 lim 21 1 2 2 lim 1 1 lim 1 lim 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x e e x x x →∞ − ⋅ ⋅ − − →∞ →∞ →∞ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − = + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; d) 3 e . 37. a) 2 lim 2 x x x x→∞ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ; b) 2 2 5 4 lim 3 7 x x x x x x→∞ ⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ; c) ( ) 1 2 1 1 lim 3 3 x x x x + →− + + . Rezultat: a) 4 e ; b) 8 e ; c) e . 38. a) ( ) 3 ln 4 lim 3x x x→ − − ; b) ( ) 0 ln 6 ln 6 lim x x x→ + − . - 118 -
- 128. Rešenje: a) ( ) ( )( )( ) 11 133 3 3 3 ln 4 lim limln 4 ln lim 1 3 ln 1 3 xx x x x x x x e x −−− → → → ⎛ ⎞− = − = − − = = −⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ; b) 1 6 . 39. a) ( ) 1 sin 0 lim 1 x x x → − ; b) ( ) 2 ctg2 0 lim 1 2tg x x x → + ; c) ( ) 2 1 sin 0 lim cos x x x → ; d) ( ) 2 tg 2 4 lim sin 2 x x x π → . Rešenje: a) ( ) 0 1 lim 1sinsin 0 1 lim 1 x xx xx x x x e e e → −⋅ − → − = = = ; b) ( ) ( ) 2 2 2 ctg2 2 22tg 0 0 lim 1 2tg lim 1 2tg x x x x x x e → → + = + = ; c) ( ) ( ) ( )( )( )( )2 2 11 1 1 cos 1 cossin 1 cos 0 0 0 lim cos lim 1 cos 1 lim 1 1 cos x xx x x x x x x x − +− → → → = + − = − − 0 1 lim 1 1 cos 2 1 ;x x e e e → − −+ = = = d) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 2 4 sin 2 lim 1sin 2 1 sin2tg 2 21 sin2 1 sin2 4 4 lim sin 2 lim 1 sin 2 1 . x x x xx x x x x x x e e π π π → − + − − + → → = + − = = 40. a) ( ) 0 ln 1 lim x x x→ + ; b) 0 1 lim x x e x→ − ; c) 0 1 lim x x a x→ − ; - 119 -
- 129. Rešenje: a) ( ) ( )( ) 1 1 0 0 0 ln 1 lim limln 1 ln lim 1 ln 1x x x x x x x x e x→ → → + = + = + = = ; b) ( ) ( )0 0 11 lim lim 1 ln 1ln 1 xx x t t ee t x tx t→ → ⎧ ⎫= −− ⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ += +⎪ ⎪⎩ ⎭ ; c) ln a . 41. a) 2 20 cos lim x x e x x→ − ; b) 3 0 1 lim x x e x − → − ; c) 0 1 lim sin x x e x→ − . Rešenje: a) 2 2 2 2 22 2 2 20 0 0 2sin cos 1 1 cos 1 32lim lim lim 2 4 4 x x x x x x x e x e x e xx x x x→ → → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞− − − − = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; b) 2 2 0 0 1 1 lim 2 lim 2 2 x x x x e e x x − − → → − − = − ⋅ = − − ; c) 1. 42. Odrediti asimptote funkcija: a) 1 1 y x = − ; b) 3 1 x y x + = + ; c) 2 6 4 1 x x y x − + = − ; d) 3 2 2 1 4 x y x − = − . Rešenje: a) Funkcija ima prekid za 1x = . Kako je 1 0 1 0 1 1 lim , lim 1 1x xx x→ + → − = +∞ = −∞ − − , funkcija ima vertikalnu asimptotu 1x = . Kako je 1 lim 0 1x x→±∞ = − , funkcija ima i horizontalnu asimptotu, pravu 0y = , tj. x - osu. Funkcija koja ima horizontalnu asimptotu nema kosu. - 120 -
- 130. b) Prava 1x= − je vertikalna asimptota. Prava 1y = je horizontalna asimptota. Funkcija nema kosu akimptotu. c) Prava je 1x = je vertikalna asimptota. Kako je 2 6 4 lim 1x x x x→∞ − + = ∞ − , funkcija nema horizontalnu asimptotu. 2 2 2 6 4 6 41lim lim 1; x x x x x xxk x x x→∞ →∞ − + − +−= = = − 2 6 4 5 4 lim lim 5 1 1x x x x x n x x x→∞ →∞ ⎛ ⎞− + − + = − = = −⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ , pa je 5y x= − kosa asimptota. d) 2x = ± . Prave 2x = ± su vertikalne asimptote. Horizontalnih asimptota nema. Kosa asimptota je prava 2y x= . 43. a) x e y x = ; b) 1 x y xe= ; c) 2 ln x y x = ; d) 2 ln 1 x y x − = + . Rešenje: a) 0 0 lim , lim x x x x e e x x→ + → − = +∞ = −∞ , vertikalna asimptota je prava 0x = . lim , lim 0 x x x x e e x x→+∞ →−∞ = +∞ = , funkcija ima horizontalnu asimptotu pravu 0y = kada x → −∞ . Nema kosih asimptota. b) 1 1 0 0 lim , lim 0x x x x xe xe → + → − = +∞ = , funkcija ima vertikalna asimptotu 0x = kada 0x +→ . 1 lim x x xe →±∞ = ±∞ pa funkcija nema horizontalnu asimptotu. - 121 -
- 131. 1 1 lim lim 1 x x xx xe k e x→±∞ →±∞ = = = , 1 1 1 lim lim 1 1 x x x x e n xe x x →±∞ →±∞ ⎛ ⎞ − = − = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , pa je kosa asimptota je prava 1y x= + . c) Kako je ( )0,x∈ +∞ , imamo: 20 ln lim x x x→ + = −∞ , funkcija ima vertikalnu asimptotu 0x = kada 0x +→ . 2 ln lim 0 x x x→+∞ = , horizontalna asimptota je prava 0y = . Nema kosih asimptota. d) Kako je ( ) ( ), 1 2,x∈ −∞ − +∞∪ , imamo: 1 2 2 2 lim ln , lim ln 1 1x x x x x x→− − → + − − = +∞ = −∞ + + , funkcija ima vertikalne asimptote 1x = − i 2x = . 2 lim ln 0 1x x x→±∞ − = + , horizontalna asimptota je prava 0y = . Nema kosih asimptota. 44. Ispitati neprekidnost sledećih funkcija: a) ( ) sin , 0 0, 0 x x f x x x ⎧ ≠⎪ = ⎨ ⎪ =⎩ ; b) ( ) 2 3 4, 1 6, 1 x x f x x x + ≤⎧ = ⎨ + >⎩ ; c) ( ) sin2 , 0 3 2 , 0 3 x x x f x x ⎧ ≠⎪⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪⎩ ; d) ( ) 1 1, 1 1 0, 1 x x x f x x x −⎧ + ≠⎪ = −⎨ ⎪ =⎩ Rešenje: a) 0 sin lim 1 x x x→ = , a ( )0 0 1f = ≠ , zakjučujemo da funkcija ima prekid za - 122 -
- 132. 0x = . b)( )1 lim 3 4 7 x x → − + = , ( )2 1 lim 6 7 x x → + + = , zaključujemo da je funkcija neprekidana za 1x = . c) 0 sin2 2 lim 3 3x x x→ = , a ( ) 2 0 3 f = , zakjučujemo da je funkcija neprekidna za 0x = . d) ( ) 1, 11 1, 1 1 , 11 0, 1 0, 1 x xx x x f x x xx x x + >⎧−⎧ + ≠⎪ ⎪ = = − <−⎨ ⎨ ⎪ ⎪= =⎩ ⎩ , ( ) ( )1 1 lim 2, lim 0 x x f x f x → + → − = = , funkcija u tački 1x = je prekidna. - 123 -
- 133.
- 134. DIFERENCIJALNI RAČUN 1. IZVOD FUNKCIJE 2.DIFERENCIJAL FUNKCIJE 3. TEJLOROVA I MAKLORENOVA FORMULA 4. TEOREME SREDNJE VREDNOSTI 5. ISPITIVANJE FUNKCIJA PRIMENOM IZVODA - 125 -
- 135.
- 136. 5. I Z VO D F U N K C I J E Problemi tangente i brzine, kao i problemi ekstrema, tj. minimuma i maksimuma postepeno su podsticali nastajanje pojma izvoda. Mnogi matematičari još od antičke Grčke uspevali su da reše neke od ovih problema u pojedinačnim slučajevima. Tek sa pojavom Dekartove metode koordinata omogućeno je da se krive predstavljaju jednačinama i tako je stvoren osnovni preduslov za pojavu opšte metode za analitičko rešavanje problema tangente, odnosno za definisanje pojma izvoda. Problem tangente prvi je rešio nemački matematičar i filozof Lajbnic definišući novu oblast matematike pod nazivom diferencijalni račun. U isto vreme Njutn je definisao izvod kao posledicu istrživanja fenomena kretanja. To su bile dve idejno i metodolški različite koncepcije koje su dovele do istog rezultata. Danas, diferencijalni račun, predstavlja nezaobilazno sredstvo u rešavanju mnogih problema savremene nauke i tehnike. G. Leibniz (1646-1716) I. Newton (1642-1727) Najpoznatiji spor u istoriji matematike vođen je između Njutna i Lajbnica oko otkrića diferencijalnog računa. Njutn je ima samo 23 godine kada je 1666. otkrio metod, koji je nazvao metod fluksije. On je prvi shvatio da su integracija i diferenciranje dve inverzne operacije. Međutim oklevao je sa objavljivanjem svojih rezultata. U međuvremenu 1675. Lajbnic je samostalno došao do istog metoda koji je nazvao diferencijalni račun. On je svoje rezultate odmah publikovao i zadobio sva priznanja. Sukob ovih matematičara se nastavljao tako da je Londonsko kraljevsko društvo formiralo komitet koji je 1713. dalo prioritet Njutnu. Međutim simbolika koju je uveo Lajbnic bila je mnogo jednostavnija i opšte je prihvaćena. - 127 -
- 137. 5 . 1. D E F I N I C I J A I Z V O D A F U N K C I J E Neka je funkcija ( )f x definisana u okolini tačke x . Proizvoljnu malu veličinu xΔ nazivamo priraštaj argumenta x . Kada se nezavisna promenljiva, argument, promeni od x do x x+ Δ , tada se vrednost funkcije promeni od ( )f x do ( )f x x+ Δ , tj. za veličinu ( ) ( ) ( )y f x f x x f xΔ = Δ = + Δ − , koja se naziva priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrednost ( ) ( ) ( )0 0 lim lim x x f x x f xy y f x x xΔ → Δ → + Δ −Δ ′ ′= = = Δ Δ tada kažemo da je ( )f x′ prvi izvod funkcije ili izvod funkcije ( )f x u datoj tački x . Postupak nalaženja izvoda naziva se diferenciranje. Ako je ( )f x′ konačna vrednost, tada kažemo da je funkcija diferencijabilna u datoj tački x . Primer: Odrediti izvod funkcije ( ) 2 f x x= po definiciji. ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 lim lim lim lim 2 2 . x x x x x x x x x xy y x x x x x xΔ → Δ → Δ → Δ → + Δ − Δ + ΔΔ ′ = = = = + Δ = Δ Δ Δ Ako postoji granična vrednost ( ) ( ) ( ) 0 lim x f x x f x f x x − Δ → − + Δ − ′ = Δ ona se naziva levi izvod funkcije, a granična vrednost ( ) ( ) ( ) 0 lim x f x x f x f x x + Δ → + + Δ − ′ = Δ naziva se desni izvod funkcije u tački x . Funkcija ( )f x je diferencijabilna u tački x ako i samo ako postoji levi i desni izvod funkcije i jednaki su: ( ) ( )f x f x+ − ′ ′= . - 128 -
- 138. Funkcija ( )fx je diferencijabilna na intervalu ako i samo ako je diferencijabilna u svakoj tački tog intervala. Ako je funkcija ( )f x diferencijabilna u nekoj tački, onda je ona i neprekidna u toj tački. Obrnuto tvrđenje nije tačno. Primer: Ispitati diferencijabilnost funkcije ( )f x x= u tački 0x = . Funkcija je neprekidna u tački 0x = , ali nije diferencijabilna jer je ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim 1 x x x x f x x + Δ → + Δ → + + Δ − Δ ′ = = = Δ Δ , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim 1 x x x x f x x − Δ → − Δ → − − + Δ − −Δ ′ = = = − Δ Δ , tj. ( ) ( )0 0f f+ − ′ ′≠ pa zaključujemo da ( )0f ′ ne postoji. OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIRANJA Ako su funkcije ( )f x i ( )g x diferencijabilne u tački x , tada je: ( )( ) ( ) ( ), .C f x C f x C const′ ′⋅ = ⋅ = ; ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′± = ± ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = + ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 , 0 f x f x g x g x f x g x g x g x ′⎛ ⎞ ′ ′− = ≠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - 129 -
- 139. TABLICA OSNOVNIH IZVODA ()f x ( )f x′ C 0 xα , Rα ∈ 1 xα α − x 1 2 x x a , , 0 1a R a∈ < ≠ lnx a a x e x e loga x , , 0 1a R a∈ < ≠ 1 loga e x ln x 1 x sin x cos x cos x sin x− tgx 2 1 cos x ctgx 2 1 sin x − arcsin x 2 1 1 x− arccos x 2 1 1 x − − arctgx 2 1 1 x+ arcctgx 2 1 1 x − + - 130 -
- 140. Primer: Naći izvod sledećihfunkcija po definiciji: a) ( ) ,f x C C const= = , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim lim 0 0 , x x x x x f x x f xy C C y x x x xΔ → Δ → Δ → Δ → Δ → + Δ −Δ − ′ = = = = = = Δ Δ Δ Δ . b) ( ) sinf x x= , ( ) 0 0 0 0 0 2cos sin sin sin 2 2 lim lim lim sin sin 2 2lim cos cos lim cos . 2 2 2 x x x x x x x x x x xy y x x x x x x x x x x x Δ → Δ → Δ → Δ → Δ → Δ Δ⎛ ⎞ + ⋅⎜ ⎟+ Δ −Δ ⎝ ⎠′ = = = Δ Δ Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ = + ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ Δ Δ⎝ ⎠ c) ( ) x f x a= . ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 lim lim lim lim ln . x x xx x x x x x x x x a a ay a a y a a a x x x x Δ Δ+Δ Δ → Δ → Δ → Δ → − −Δ − ′ = = = = ⋅ = ⋅ Δ Δ Δ Δ Primer: Naći prvi izvod sledećih funkcija: a) 1 3 3 y x x= = , 1 2 1 3 3 3 2 1 1 1 3 3 3 y x x x − − ′ = = = ; b) 3 3 2 3y x x= + − , ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 9 2y x x x′ ′ ′′ = + − = + ; c) lnx y e x= , ( ) ( )ln ln ln x x x x e y e x e x e x x ′ ′′ = + = + ; d) 2 2 1 x y x = − , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x y x x x ′ ′− − − ⋅ − − ⋅ ′ = = = − − − − ; e) ln ln 1 x y x = − ; ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 x x x xy x x x − − ′ = = − − − - 131 -
- 141. GEOMETRIJSKO TUMAČENJE IZVODA Nekaje funkcija ( )f x neprekidna u tački x i definisana u nekoj njenoj okolini. A B x y x x+ Δx xΔ ( )f xΔ α t β Koeficijent pravca sečice koja je povučena kroz tačke A i B je ( )tgs f x k x α Δ = = Δ , gde je α ugao koji sečica zaklapa sa x - osom. Sa druge strane kada pustimo da 0xΔ → , odnosno kada se tačka B po krivoj približava tački A , sečica AB postepeno postaje tangenta krive u tački A . Koeficijent pravca tangente koja je povučena kroz tačku A iznosi tgtk β= . Kako tg tgα β→ , kada 0xΔ → dobijamo ( ) ( )0 limt x f x k f x xΔ → Δ ′= = Δ , a to je izvod funkcije ( )f x u tački x . Koeficijent pravca tangente grafika funkcije u tački A , jednak je vrednosti prvog izvoda u toj tački. Jednačina tangente grafika funkcije u tački A glasi ( )( )A A Ay y f x x x′− = − . Jednačina normale grafika funkcije u tački A glasi ( ) ( ) 1 A A A y y x x f x − = − − ′ . - 132 -
- 142. Primer: Naći jednačinu tangentegrafika funkcije 2 1y x= + u njenoj tački ( )1,2A . Kako je 2y x′ = dobijamo ( ) 2 1 2tk y A′= = ⋅ = . Tangenta je prava koja prolazi kroz tačku A , a koeficijent pravca je 2tk = . Njena jednačina je ( )2 2 1y x− = − , odnosno 2y x= . IZVOD INVERZNE FUNKCIJE Neka je funkcija ( )f x monotona i neprekidna u okolini tačke x , a diferencijabilna u tački x , tj. postoji ( ) 0f x′ ≠ . Neka je ( )1 x f y− = njena inverzna funkcija. Izvod inverzne funkcije je: ( )( ) ( ) 1 1 f y f x − ′ = ′ . Primer: x y e= Kako je lnx y= inverzna funkcija funkcije x y e= dobijamo: ( ) ( ) 1 1 1 ln x x e y e y y ′ = = = = ′ . IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE Ako je data složena funkcija ( ) ( )( )F x f g x= gde je funkcija ( )g x diferencijabilna u tački x , a funkcija ( )f u diferencijabilna u tački ( )u g x= , onda je: ( ) ( )( ) ( )F x f g x g x′ ′ ′= ⋅ . - 133 -
- 143. Primer: Naći izvod sledećihsloženih funkcija: a) ( ) 332 3 2y x= + , ( ) ( ) ( ) ( ) 32 32 32 2 2 2 2 33 3 2 3 2 33 3 2 4 132 3 2y x x x x x x′′ = + + = + ⋅ = + b) 2 x y e= , ( ) 2 2 2 2x x y e x xe′′ = = ; c) ( )ln tgy x= , ( ) 2 1 1 1 1 tg sintg cos sin cos cos y x xx x x x x ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ . 5.2.DIFERENCIJAL FUNKCIJE Ako je funkcija ( )f x diferencijabilna u tački x , onda se izraz ( )f x x′ Δ naziva diferencijalom funkcije u tački x i obeležava dy : ( )dy f x x′= Δ . x x+ Δx xΔ α t d y Diferencijal funkcije y x= je d 1y x= ⋅Δ , tj. dx x= Δ . Izvod funkcije se može izraziti preko diferencijala kao ( ) d d y f x x ′ = . - 134 -
- 144. Diferencijal funkcije proporcionalanje priraštaju funkcije: dy yΔ ≈ ( ) ( ) ( )y f x x f x f x x′Δ = + Δ − ≈ Δ ( ) ( ) ( )f x x f x f x x′+ Δ ≈ + Δ . Kako je diferencijal funkcije linearna funkcija priraštaja xΔ , mnogo je jednostavnije odrediti diferencijal date funkcije nego njen priraštaj yΔ . Ta činjenica se koristi u približnom računanju. Za diferencijal funkcije važe slična pravila kao za izvode funkcija: ( ) ( )d d , .Cf C f C const= = ; ( ) ( ) ( )d d df g f g± = ± ; ( ) ( ) ( )d d df g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅ ; ( ) ( ) 2 d d d f g f gf g g ⋅ − ⋅⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Primer: Naći diferencijal funkcije 3 2 3y x x= + . ( )2 d d 6 3 dy y x x x′= = + . IZVODI I DIFERENCIJALI VIŠEG REDA Neka je ( )f x diferencijabilna funkcija, tj. postoji njen izvod ( )f x′ . Ako postoji izvod funkcije ( )f x′ , on se definiše kao drugi izvod funkcije ( )f x i obeležava sa ( )f x′′ . Na sličan način se definišu ( )f x′′′ , ( ) ( )4 f x ,... izvod. Diferencijal od diferencijala dy , zove se diferencijal drugog reda i označava se sa 2 d y . Dakle, ( )( )2 2 d y d d y y dx′′= = . Izvodi višeg reda funkcije definišu se kao: ( )0 f f= , ( ) ( ) ( )1n n f f+ ′ = , 0,1,2n = … - 135 -
- 145. Diferencijali višeg redafunkcije ( )f x definišu se kao: 0 d y y= , ( )1 d d dn n y y+ = , 0,1,2n = … Za funkciju kažemo da je n puta diferencijabilna u tački x , ako postoji konačan k - ti izvod ( ) ( )k f x , za svako 0,1,2, ,k n= … . Primer: Odrediti drugi izvod funkcija: a) ( ) 2 1f x x= + ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 1 11, 11 1 1 x x x xf x f x xx x x + − +′ ′′= = = ++ + + . b) ( ) 2 x f x e− = ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 , 2 2 4 2x x x x f x xe f x e x e e x− − − − ′ ′′= − = − + − = − . Primer: Odrediti treći izvod funkcija: a) ( ) 2 cosf x x= ; ( ) ( ) ( ) ( )2cos sin sin 2 , 2cos2 , 4sin 2 ;f x x x x f x x f x x′ ′′ ′′′= − = − = − = b) ( ) 2 lnf x x x= ; ( ) ( ) ( ) 2 2 ln , 2ln 3 , .f x x x x f x x f x x ′ ′′ ′′′= + = + = - 136 -
- 146. ZADACI Koristeći tablicu izvodanaći prvi izvod sledećih funkcija: 1. a) 3 2 y x= ; b) 3 2 4 2 3y x x x= + − + ; c) 3 3 5 3 1 1 4 5 y x x x x = + − − − ; d) 2 2 53 6 5y x x x x= + . Rešenje: a) 2 2 1 1 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 y x x x x − − ′⎛ ⎞ ′ = = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; b) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 1 2 1 21 1 4 2 3 4 3 2 2 12 4 2 2 y x x x x x x x x x − −′′ ′ ′′ = + − + = ⋅ + ⋅ + = + + ; c) 1 1 15 3 3 3 2 3 5 3 1 1 4 3 4 , 5 5 x y x x x x x x x − − − = + − − − = + − − − 2 4 3 63 3 2 63 2 3 4 3 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 y x x x x xx x x − − − − ′ = − + + = − + + ; d) 2 7 11 2 53 6 5 6 5 6 5 ,y x x x x x x= ⋅ + ⋅ = + 7 11 1 1 6 56 5 7 11 6 5 7 11 6 5 y x x x x x − − ′ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ . 2. a) ( ) ( )2 4 2 7y x x x= − ⋅ + ; b) ( )( )2 2y x x= + + ; c) 2 cosy x x= ; d) sin cosy x x x= − . Rešenje: a) ( ) ( ) ( )4 2 3 5 4 2 2 7 2 4 6 10 14 14y x x x x x x x x′ = − ⋅ + + − ⋅ = − + − b) ( ) 1 1 2 2 2 22 x y x x x x x ′ = + + + = + + + ; - 137 -
- 147. c) 2 2 cossiny x x x x′ = − ; d) ( )2 2 2 1 cos sin 2siny x x x′ = − − = . 3. a) 2 2 1 1 x y x − = + ; b) 3 1 x y x = − ; c) 1 1 x x e y e − = + ; d) tg 1 tg x y x = − . Rešenje: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 1 1 x x x x x y x x + − − ′ = = + + ; b) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 3 1 2 3 1 1 x x x x x y x x − − − ′ = = − − ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x e e e e e y e e + − − ′ = = + + ; d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 11 tg tg 1cos cos cos . cos sin1 tg cos sin cos x x x x xy x xx x x x ⎛ ⎞ ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠′ = = = −− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4. a) 2 2 1 1 x x y x x − + = + + b) 1 ln x y x + = ; c) sin 1 cos x y x = − ; d) 2 arctg 1 x y x x = − + . Rezultat: a) ( ) 2 2 2 2 2 1 x y x x − ′ = + + ; b) 2 ln x y x ′ = − ; c) 1 cos 1 y x ′ = − ; d) ( ) 2 2 2 2 1 x y x ′ = − + . Naći izvod složenih funkcija: 5. a) ( ) 13 1 2y x= − ; b) 3sin 4y x= ; c) 4 siny x= . - 138 -
- 148. Rešenje: a) ( )( ) ( ) 12 12 13 1 2 1 2 26 1 2y x x x′′ = − ⋅ − = − − ; b) ( )3cos4 4 12cos4y x x x′′ = ⋅ = ; c) ( )3 3 4sin sin 4sin cosy x x x x′′ = ⋅ = . 6. a) 2 2 2x x y e − + = ; b) 2 2x x y xe − = . Rešenje: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x x x y e x x x e− + − +′′ = ⋅ − + = − . b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2x x x x x x y e xe x e x x− − − ′ = + − = + − . 7. a) 1 ln 1 x y x + = − ; b) ( )ln 1y x x= − − ; c) 2 ln 1 x y x = − . Rešenje: a) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 11 1 x x y x x x xx x ′+ −⎛ ⎞ ′ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠ − − ; b) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 y x x x x x x ⎛ ⎞ ′ = ⋅ − = −⎜ ⎟ − − − −⎝ ⎠ ; c) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 22 1 21 1 11 x xx x y x x xx − +− + ′ = ⋅ = −− . 8. a) sin ln 1 cos x y x = − ; b) 1 sin ln 1 sin x y x + = − ; c) 1 sin 1 sin x y x − = + . Rešenje: a) ( )11 1 sin 1 cos sin 1 cos y x x x x − ′ = ⋅ = − − − ; - 139 -
- 149. b) ( ) () ( ) ( )2 2 cos 1 sin 1 sin cos1 sin 2cos 2 1 sin cos1 sin1 sin x x x xx x y x xxx − + +− ′ = ⋅ = = + −− ; c) ( ) ( ) ( ) 2 cos 1 sin cos 1 sin1 1 sin 2 1 sin 1 sin x x x xx y x x − ⋅ + − ⋅ −+ ′ = ⋅ − + ( ) ( ) 2 2 4 1 sin cos 1 sin cos 1 1 sin 1 sin 1 sin1 sin 1 sin x x x x x x xx x + + = − ⋅ = − ⋅ = − − − ++ + . 9. a) arcsin x y a = ; b) 1 arcsiny x = . Rešenje: a) 2 2 2 2 1 1a y aa x a x ′ = ⋅ = − − ; b) 22 2 2 1 1 1 1 1 arcsin 1 11 1 x y x x xx x x x ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = = ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 10. a) ( )2 4 ln 1x x y e e= + + ; b) ( )2 ln 2y x a x ax= + + + . Rešenje: a) 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 1 4 2 2 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x e e e y e e e e e e e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 4 2 2 2 4 4 4 2 1 2 ; 1 1 1 x x x x x x x x e e e e e e e e ⎛ ⎞+ + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ b) 2 1 2 y x ax ′ = + 11. sin 2 ln 1 sin 2 x y x = − ; Rešenje: ctg2 1 sin 2 x y x ′ = − . - 140 -
- 150. 12. 31 tg tg 23 2 x x y = + ; Rešenje: 4 1 2cos 2 y x ′ = . 13. ( )sin cosx y e x x− = + ; Rešenje: 2 sinx y e x− ′ = − . 14. 2 arcsin x y a = ; Rešenje: 2 4 2x y a x ′ = − . 15. 31 sin sin 3 y x x= − ; Rešenje: 3 cosy x′ = 16. 1 ln 1 x y x + = − ; Rešenje: 2 1 1 y x ′ = − . 17. ( )2 arctg ln 4 2 x y x x= ⋅ − + ; Rešenje: arctg 2 x y′ = . 18. Data je parabola 21 4 y x= i tačka ( )4,A y na njoj. Napisati jednačinu tangente i normale parabole u datoj tački. Rešenje: Kako tačka ( )4,A y pripada paraboli, zamenom koordinate 4x = jednačinu parabole dobijamo koordinatu 4y = . Izvod date funkcije je 1 2 y x′ = . Znajući da je koeficijent pravca tangente jednak vrednosti prvog izvoda funkcije u datoj tački dobijamo ( )4 2tk y′= = , a 1 1 2 n t k k = − = − . Jednačine tangente i normale su: ( ) ( ) 1 1 : 4 2 4 2 4 , : 4 4 6 . 2 2 t y x y x n y x y x− = − ⇔ = − − = − − ⇔ = − + - 141 -
- 151. 19. U tački( )1,M y krive 3 1 y x x x− = + + napisati jednačinu njene tangente i normale. Rešenje: Za 1x = je 3y = , pa su kordinate tačke ( )1,3M . Izvod date funkcije je 2 2 1 3 1y x x ′ = + − , pa dobijamo ( )1 3tk y′= = , a 1 1 3 n t k k = − = − . Jednačine tangente i normale su: ( ) ( ) 1 1 10 : 3 3 1 3 , : 3 1 . 3 3 3 t y x y x n y x y x− = − ⇔ = − = − − ⇔ = − + 20. Odrediti parametre a i b tako da parabola baxxy ++= 2 dodiruje pravu xy = u tački ( )1,1A . Rešenje: Kako tačka ( )1,1A pripada grafiku parabole zamenom koordinata tačke u njenu jednačinu dobijamo jednakost 0a b+ = . Data prava xy = je tangenta parabole sa koeficijentom pravca 1k = . Kako je 2y x a′ = + , dobijamo ( )1 1k y′= = , tj. 1 2 1a a= + ⇔ = − i 1b = . Jednačina parabole glasi 2 1y x x= − + . 21. U kojoj tački parabole 21 3 4 2 y x x= − + njena tangenta ima koeficijent pravca 1? Rešenje: Kako je 3y x′ = − , a koeficijent pravca tangente je 1, dobijamo 1 3x= − , tj. 4x = . Kako je tačka sa apscisom 4 , dodirna tačka parabole i tangente, zamenom ove vrednosti u jednačinu parabolu dobijamo ordinatu dodirne tačke 0y = . Dakle, tražena tačka ima koordinate ( )4,0 . - 142 -
- 152. 22. U kojojtački parabole 2 2y x x= − + + je njena tangenta paralelna x osi? Rešenje: Prvi izvod date funkcije je 2 1y x′ = − + . Kako je tangenta paralelna x osi njen koeficijent pravca je 0 . Iz uslova de je 2 1 0x− + = , dobijamo 1 2 x = , odnosno tačka ima koordinate 1 9 , 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 23. Odrediti tačke u kojima su tangente krivih 3 1y x x= − − i 2 3 4 1y x x= − + paralelne. Rešenje: ( )1, 1− i ( )1,0 . 24. Pod kojim uglom parabola 2 y x x= − seče x-osu? Rešenje: 4 π i 3 4 π . 25. U kojoj tački je tangenta krive 2 7 3y x x= − + paralelna pravoj 5 3y x= − + ? Rešenje: ( )1, 3− 26. Primenom diferencijala izračunti približnu vrednost izraza 3 26,19 . Rešenje: Za diferencijabilnu funkciju ( )f x važi formula ( ) ( ) ( )f x x f x f x x′+ Δ ≈ + Δ . Ako uzmemo da je ( ) 3 f x x= , 27x = , 0,81xΔ = − , i kako je ( ) 2 3 1 3 f x x − ′ = , dobijamo ( ) 2 3 3 3 1 3 x x x x x − + Δ ≈ + ⋅ ⋅ Δ , ( ) ( ) 2 3 33 3 1 1 26,19 27 0,81 27 27 0,81 3 0,81 2,97 3 27 − = + − ≈ + ⋅ ⋅ − ≈ − ⋅ ≈ . - 143 -
- 153. 27. Primenom diferencijalaizračunati približnu vrednost funkcije ( ) 3 3 7f x x x= + u tački 1,02x = . Rešenje: Izvod date funkcije je ( ) ( ) ( ) 2 3 23 1 7 3 7 3 f x x x x − ′ = + + . Za 1x = i 0,02xΔ = dobijamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 23 2 3 3 1 1,02 1 0,02 1 7 1 1 7 1 3 1 7 0,02 3 1 8 8 10 0,02 2,0167 3 f f − − = + ≈ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ ≈ 28. Primenom diferencijala izračunti približnu vrednost izraza cos59 . Rešenje: Ako uzmemo da je ( ) cosf x x= , 59x = , 1xΔ = − i ( ) sinf x x′ = − , dobijamo ( ) 1 3 cos59 cos60 sin 60 180 2 180 2 π π ≈ − ⋅ − ⋅ ≈ + ⋅ ≈ 0,515. 29. Naći približnu vrednost: a) 4 17 ; b) 3 1,02 ; c) sin 29°; d) arctg1,05. Rešenje: a) Ako je ( ) 4 f x x= , 16x = , 1xΔ = , i ( ) 3 4 34 1 1 4 4 f x x x − ′ = = , dobijamo 4 4 1 17 16 1 2 1 2,031 32 = + ≈ + ⋅ ≈ . b) Ako je ( ) 3 f x x= , 1x = , 0,02xΔ = i ( ) 2 3 3 2 1 1 3 4 f x x x − ′ = = , dobijamo 3 3 1 1,02 1 0,02 1 0,02 1,0066 3 = + ≈ + ⋅ ≈ . c) ( ) 1 3 sin 29 sin 30 1 sin30 cos30 0,484 180 2 2 180 π π ° = °− ° ≈ °− °⋅ = − ⋅ ≈ . d) ( ) 2 0,05 arctg1,05 arctg 1 0,05 arctg1 0,025 0,81 1 1 4 π = + ≈ + = + ≈ + . - 144 -
- 154. 5 . 3. T E J L O R O V A I M A K L O R E N O V A F O R M U L A Kod trigonometrijskih, eksponencijalnih ili logaritamskih funkcija, kada je potrebno izračunati vrednost funkcije za neku konkretnu vrednost nezavisno promenljive, npr. x a= , srećemo se često sa složenim računima . Kako su polinomi funkcije koje se najjednostavnije izračunavaju, vrednost funkcije u tački može se približno izračunati aproksimacijom date funkcije polinomom. Ako funkciju ( )f x aproksimiramo polinomom ( )P x činimo neku grešku ( )R x , koja iznosi ( ) ( ) ( )R x f x P x= − . Cilj aproksimacije je da greška bude minimalna. Aproksimacija je bolja ukoliko je tačka x bliža tački a . Postoje različiti postupci aproksimacije funkcije polinomom, a jedan od njih je Teljorov polinom. Ako je funkcija ( )f x u nekoj okolini tačke a , ( )1n + -puta diferencijabilna tada je Tejlorova formula: ( ) ( ) ( )n nf x P x R x= + , gde je polinom ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 21 1 ' 2 ! nn nP x f a f a x a f a x a f a x a n ′′= + − + − + + −… , a greška ili ostatak je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 ! n n nR x x a f c n + + = − + , ( ),c x a∈ ili ( ),c a x∈ . Ako se uzme da je ( )c a x aθ= + − , gde je 10 << θ , greška ima oblik ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 11 1 ! n n nR x x a f a x a n θ + + = − + − + . Ovo je Lagranžov oblik greške. Polinom ( )nP x se naziva Tejlorov polinom u tački a . Za slučaj kada je tačka 0a = dobija se Maklorenova formula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 0 0 0 0 2 ! 1 ! n nn n f x f f x f x f x f x x n n θ′ ′′= + + + + + + … . - 145 -
- 155. Primer: Razviti u Tejlorovuformulu funkciju ( ) 1 1 f x x = + po stepenima 2x + , odnosno u okolini tačke 2a = − , polinomom drugog stepena. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 4 2 1, 1 2 1, 1 2 2 2 , 1 6 6 , 0 1. 1 1 f f x f x f x f x f x f x x x θ θ θ − = − ′ ′= − ⇒ − = − + ′′ ′′= ⇒ − = − + − − ′′′ ′′′= ⇒ = < < + + Tejlorova formula date funkcije glasi: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 4 21 1 2 2 1 2 2 x x x x xθ + = − − + − + − + + − , 0 1θ< < . Primer: Razviti funkciju ( ) 1f x x= + u Maklorenovu formulu za 2n = , tj. zaključno sa kvadratnim članom. ( ) ( ) ( ) 0 1, 1 1 0 , 22 1 f f x f x = ′ ′= ⇒ = + ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 0 , 4 4 f x x f − ′′ ′′= − + ⇒ = − ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2 2 3 3 1 1 , 0 1, 8 8 f x x f x xθ θ θ − − ′′′ ′′′= + ⇒ = + < < ( ) 2 3 5 21 1 1 . 2 8 16 x x x x xθ − + = + − + + - 146 -
- 156. MAKLORENOVI RAZVOJI NEKIHVAŽNIJIH FUNKCIJA: ( ) 1 0 ! 1 ! k xn x n k x e e x k n θ + = = + + ∑ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 cos sin 1 2 1 ! 2 1 ! nkn k n k xx x x k n θ− − + = − = − + − + ∑ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 2 0 1 cos cos 1 2 ! 2 2 ! nkn k n k xx x x k n θ + + = − = − + + ∑ ; ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 n nk n k x x x x k n α αα α θ − − + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ; ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 1 1 1 1 nn k kk n k x x x xθ + + + = = − + − + + ∑ ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 k nn k n n k x x x k n xθ + − + = + = − + − + + ∑ . Primer: Dokazati Maklorenovu formulu za funkcije a) ( ) x f x e= ; b) ( ) sinf x x= ; c) ( ) ( )1f x x α = + . a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 0 1, n x n f x f x f x f x e f f f f ′ ′′ ′′′= = = = = ′ ′′ ′′′= = = = = … … ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, . 1 ! x n x n n e f x e R x x n θ + + += = + ( ) 2 3 1 1 1! 2! 3! ! 1 ! n x x nx x x x e e x n n θ + = + + + + + + + … . b) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 0 1, sin cos 0 0 , 2 f x x f f x x x f π ′ ′= ⇒ = ⎛ ⎞′′ ′′= − = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - 147 -
- 157. ( ) () ( ) ( ) ( ) cos cos 2 0 1, 2 cos 1 sin , 2 2 n f x x x f f x n x n x π π π ⎛ ⎞′′′ ′′′= − = ⋅ + ⇒ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⋅=+ xnxf n 2 cos1 π . Korisno je uočiti da je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 0 0 , 0 1 nn n f f + = = − . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 cos . 2 1 ! n n n x R x x n θ + + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 13 5 2 1 2 11 1 cos sin 3! 5! 2 1 ! 2 1 ! n n n nxx x x x x x n n θ − − +− − = − + + + + − + … , 0 1θ< < . c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 , 1 1 0 1 , f x x f f x x f α α α α α α α α − − ′ ′= + ⇒ = ′′ ′′= − + ⇒ = − ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 3 1 2 1 0 1 2 , 1 2 1 1 , nn f x x f f x n x α α α α α α α α α α α α − − ′′′ ′′= − − + ⇒ = − − = − − ⋅ ⋅ − − +… ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 2 1 , 1 2 1 . 1 ! nn n n n f x n x n R x x x n α α α α α α α α α α θ − ++ − − + + = − − ⋅ ⋅ − + − − ⋅ ⋅ − = + + … … ( ) ( ) 12 1 0 1 1 1 1 2 1 n nk n k x x x x x x k n α αα α α α θ − − + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + + + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑… . - 148 -
- 158. ZADACI 1. Napisati Tejlorovpolinom trećeg stepena funkcije ( )f x x= u tački 1a = . Rešenje: ( )1 1f = , ( ) ( ) 1 2 1 1 1 , 2 2 f x x f − ′ ′= ⇒ = ( ) ( ) 3 2 2 1 1 1 , 2 4 f x x f − ′′ ′′= − ⇒ = − ( ) ( ) 5 2 3 1 3 3 1 , 2 8 f x x f −⋅ ′′′ ′′′= ⇒ = pa je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2! 3! x x P x f x f f f − − ′ ′′ ′′′= + − + + ( ) ( ) ( ) 2 31 1 1 1 1 1 1 . 2 8 16 x x x= + − − − + − 2. Napisati Maklorenov polinom trećeg stepena za funkciju ( ) 1 cos f x x = . Rešenje: ( ) ( )11 cos , 0 1; cos f x x f x − = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 4 3 2 cos sin , 0 0 ; 2cos sin cos , 0 1; 6cos sin 5cos sin , 0 0 . f x x x f f x x x x f f x x x x x f − − − − − ′ ′= = ′′ ′′= + = ′′′ ′′′= + = ( ) 2 3 1 2 x P x = + . 3. Dokazati formulu sin 2 41 1 1 2 8 x e x x x≈ + + − . Rešenje: Kako je ( ) sin x f x e= , tada je: - 149 -
- 159. ( )0 1f= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin 2 sin 3 sin 4 2 2 2 cos 0 1, cos sin 0 1, cos 3sin cos cos 0 0 , cos 4cos 3sin sin 6sin cos 0 3 , x x x IV x IV f x e x f f x e x x f f x e x x x x f f x e x x x x x x f ′ ′= ⇒ = ′′ ′′= − ⇒ = ′′′ ′′′= − − ⇒ = = − + + − ⇒ = − pa je ( ) 2 41 1 1 2 8 f x x x x≈ + + − . 4. Date funkcije razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena: a) ( ) ( )ln 1 sinf x x= + ; b) ( ) ( )2 ln 1f x x x= + + . Rezultat: a) ( ) 2 3 4 4 2 6 12 x x x P x x= − + − ; b) ( ) 2 3 4 4 1 2 1 2 3 4 P x x x x x= + − + . 5. Funkciju ( ) sinf x x x= razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena. Rešenje: Znajući razvoj funkcije 3 sin 3! x x x≈ − , dobijamo 3 4 2 sin 3! 3! x x x x x x x ⎛ ⎞ ≈ − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 6. Koristeći Maklorenov polinom odgovarajućeg stepena funkcije sin x izračunati 30 sin lim x xx x − → . Rešenje: Kako je 3 5 3 5 sin 3! 5! 6 120 x x x x x x x≈ − + = − + dobijamo 3 5 3 5 3 30 0 3! 5! 16 120lim lim 6x x x x x xx x x x→ → ⎛ ⎞ − − +⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = . - 150 -
- 160. 7. Koristeći Maklorenovpolinom odgovarajućeg stepena funkcije 2 x e izračunati 2 2 40 1 lim x x e x x→ − − . Rešenje: Kako je 2 3 4 1 2! 3! 4! x x x x e x≈ + + + + dobijamo da je 2 4 6 8 2 1 2! 3! 4! x x x x e x≈ + + + + , pa je 2 4 6 8 4 6 8 2 2 2 4 4 40 0 0 1 1 1 12! 3! 4! 2 6 24lim lim lim 2 x x x x x x x x x x x x e x x x x→ → → + + + + − − + + − − = = = . 8. Primenom Maklorenovog razvoja datih funkcija izračunati granične vrednosti a) 3 22 0 221sin lim x xxexx x x −−−+− → , b) 30 sin cos 2 lim x x e x x x→ − + − . Rezultat: a) 3 2 ; b) 1 3 . Cilj procene greške je da se nađe gornja granica greške gde x ima datu vrednost, a ( )0,1θ ∈ . Kod procene greške obično se koriste jednostavne nejednakosti, traženjem “najgoreg slučaja” u kome oba faktora dostižu maksimalnu apsolutnu vrednost. Zbog toga, stvarna greška je znatno manja od procenjene. 9. Kolika je greška aproksimacije sin x x≈ , na intervalu 1 1 , 10 10 ⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ? Rešenje: 2sin x x R= + , gde je 3 2 cos 3! x R xθ= . 33 2 3 3 1 1 cos cos 3! 6 10 6 10 2 xx R x xθ θ= < < < ⋅ ⋅ , greška je na trećoj decimali. 10. Funkciju ( ) ( )ln 1f x x= + razviti u Maklorenov polinom trećeg stepena, uz procenu greške za računanje vrednosti ove funkcije na intervalu [ ]0,1 . - 151 -
- 161. Rešenje: ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 1 2 6 , , , , 1 1 1 1 IV f x f x f x f x x x x x ′ ′′ ′′′= = − = = − + + + + ( ) ( ) ( ) ( )0 ln1 0, 0 1, 0 1, 0 2f f f f′ ′′ ′′′= = = = − = . ( ) 2 3 3ln 1 2 3 x x x x R+ = − + + . ( ) ( ) ( ) 4 4 3 4 4 6 4! 1 4 1 x x R x x xθ θ − = = − + + . Za ( )0,1θ ∈ i [ ]0,1x∈ imamo procenu greške ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 4 4 4 1 0,25 4 1 4 1 4 0 1 1 x x R x x xθ θ = − = ≤ = + + ⋅ + . 11. Funkciju ( ) ( )ln 1f x x= + razviti u Maklorenov polinom četrvtog stepena, približno izračunati ln1,5 uz procenu greške. Rešenje: ( ) ( ) 2 3 4 5 5 1 ln 1 2 3 4 5 1 x x x x x x xθ + = − + − + ⋅ + . ( ) 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 ln1,5 ln 1 0,5 0,4010 2 2 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ≈ − + − ≈ . ( ) ( ) 55 4 5 5 55 5 1 1 1 1 1 0,5 0,00625 5 5 2 5 2 51 1 1 2 xx R x xθ θ θ = ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ < = ⋅ ⋅+ + ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 12. Aproksimirati funkciju ( ) x f x e= Maklorenovim polinomom i izračunati približnu vrednost broja e za 10n = . Rešenje: ( ) 2 1 1 1! 2! ! 1 ! n x x nx x x e e x n n θ + = + + + + + … - 152 -
- 162. Iz ove formuleza 1x = , dobijamo 1 1 1 1 2,71828176 1! 2! 10! e ≈ + + + =… , a apsolutna vrednost greške je ( ) 1 7 7 3 3 10 1 ! 11! 3 10 x n n e R x n θ + − = ≤ < = + ⋅ . 13. Aproksimirati funkciju ( ) x f x e= Maklorenovim polinomom i izračunati približnu vrednost broja e sa greškom ne većom od 9 10− . Rešenje: ( ) 2 1 1 1! 2! ! 1 ! n x x nx x x e e x n n θ + = + + + + + … . 1 1 1 1 1! 2! ! ne R n = + + + +… , a apsolutna vrednost greške je ( ) ( ) ( )1 9 93 10 1 ! 3 10 1 ! 1 ! x n n e R x n n n θ + − − = ≤ < ⇒ + > ⋅ + + . Zamenom redom za 1,2,3,n = … dobijamo da je 9 13! 3 10− > ⋅ , što znači da je 12n = . 14. Aproksimirati funkciju ( ) 1f x x= + Maklornovim polinomom drugog stepena. Izračunati 1,2 i oceniti grešku . Rešenje: ( ) 2 21 1 2 8 x x x R x+ = + − + i ( ) ( ) 2 5 2 1 8 1 R x xθ = + , ( ) 2 0,20,2 1,2 1 1,095 2 8 ≈ + − = . Apsolutna vrednost greške je ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 5 5 2 2 1 0,2 1 0.2 0.2 0,2 0.0005 16 16 16 1 0,2 1 0 0.2 R θ = ⋅ ≤ ⋅ < = + ⋅ + ⋅ . - 153 -
- 163. 5.4. OSNOVNE TEOREMEDIFERENCIJALNOG RAČUNA Među najvažnije teoreme diferencijalnog računa spadaju teoreme srednje vrednosti. One pokazuju da se iz same egzistencije izvoda funkcije može mnogo zaključiti o osobinama funkcije. Fermaova teorema: Neka funkcija ( )f x dostiže svoju ekstremnu vrednost u nekoj tački ( ),c a b∈ i neka je diferencijabilna u tački c . Tada je ( ) 0f c′ = . Geometrijsko tumačenje Fermaove teoreme: Kako je ( ) 0f c′ = , to znači da je tg 0α = , tj 0α = , gde je α ugao koji tangenta u tački ( )( ),M c f c grafika funkcije zaklapa sa x osom. To znači da ako diferencijabilna funkcija u tački ( ),c a b∈ dostiže svoju najveću ili najmanju vrednost, onda je tangenta na njen grafik u tački ( )( ),M c f c paralelna sa x osom. y xa c b M Rolova teotema: Neka je funkcija ( )f x 1. definisana i neprekidna na [ ],a b , 2. diferencijabilna na ( ),a b , 3. ( ) ( )f a f b= . Tada postoji bar jedna tačka ( ),c a b∈ , takva da je ( ) 0f c′ = . - 154 -
- 164. y xa 1c 2c () ( )f a f b= b Geometrijsko tumačenje Rolove teoreme: Postoji bar jedna tačka ( )( ),M c f c , ( ),c a b∈ u kojoj je tangenta grafika funkcije paralelna sa x osom. Primer: Dokazati da funkcija ( ) 3 4 1f x x x= − + na intervalu [ ]2,2− ispunjava uslove Rolove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost nezavisno promennjive c . 1. Data funkcija je definisana za x R∈ , pa je definisana i neprekidna i na intervalu [ ]2,2− . 2. Kako je ( ) 2 3 4f x x′ = − , zaključujemo da je funkcija diferencijabilna na intervalu ( )2,2− . 3. Kako je ( ) ( )2 2 1f f− = = , Znači, funkcija ispunjava uslove Rolove teoreme na [ ]2,2− . Dakle, postoji bar jedana tačka ( )2,2c∈ − takva da je ( ) 0.f c′ = Rešavanjem jednačine ( ) 2 3 4 0f c c′ = − = dobijamo 1,2 2 3 c = ± . Kako obe vrednosti pripadaju intervalu ( )2,2− , zaključujemo da postoje dve tačke koje pripadaju datom intervalu za koje je ( ) ( )1 2 0f c f c′ ′= = . Košijeva teorema: Neka su funkcije ( )f x i ( )g x definisane i neprekidne na [ ],a b , a diferencijabilne na ( ),a b , i neka je ( ) 0g x′ ≠ , ( ),x a b∈ . Tada postoji bar jedna tačka ( ),c a b∈ takva da je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c ′− = ′− . - 155 -
- 165. Lagranžova teorema: Nekaje funkcija ( )f x : 1. definisana i neprekidna na [ ],a b , 2. diferencijabilna na ( ),a b . Tada postoji bar jedna tačka ( ),c a b∈ takva da je ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b a′− = ⋅ − . Lagranžova teorema je specijalan slučaj Košijeve teoreme za ( )g x x= . y xa c b M A Bt t AB Geometrijsko tumačenje Lagranževe teoreme: Postoji bar jedna tačka ( )( ),M c f c , ( ),c a b∈ u kojoj je tangenta grafika funkcije paralelna sa sečicom AB , čiji je koeficijent pravca ( ) ( )f b f a b a − − . Primer: Odrediti tačku ( )( ),c f c grafika funkcije ( ) 3 2 4 12 9f x x x x= − + takvu da ( )0,1c∈ , u kojoj je tangenta paralelna sa sečicom koja prolazi kroz tačke ( )( )0, 0f i ( )( )1, 1f . Funkcija ( ) 3 2 4 12 9f x x x x= − + je definisana i neprekidna za x R∈ pa i na intervalu [ ]0,1 . Kako je ( ) 2 12 24 9f x x x′ = − + , funkcija je diferencijabilna za svako x R∈ pa i za ( )0,1x∈ . Na osnovu Lagranžove teoreme imamo: - 156 -
- 166. ( ) () ( ) ( ) 1 0 , 0,1 , 1 0 f f f c c − ′= ∈ − odnosno 2 1 12 24 9c c= − + ili 2 3 6 2 0c c− + = . Odavde je 1,2 3 3 3 c ± = . Kako ( ) 3 3 0,1 , 3 − ∈ a ( ) 3 3 0,1 , 3 + ∉ tražena vrednost je 3 3 3 c − = . Tražena tačka je 3 3 3 3 , 3 3 f ⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ . Lopitalova teorema: Ako su funkcije ( )f x i ( )g x diferencijabilne u nekoj okolini tačke a , pri čemu je ( ) ( )lim lim 0 x a x a f x g x → → = = ili ( )±∞ i ( ) 0g a′ ≠ , tada je: ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x g x g x→ → ′ = ′ . Ako funkcije ( )f x i ( )g x imaju n - te izvode koji su neprekidni u tački x a= i ako je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0n n f a g a f a g a f a g a− − ′ ′= = = = = = =… i ( ) ( ) 0n g a ≠ , onda je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim n nx a x a x a f x f x f x g x g x g x→ → → ′ = = = ′ … . Napomena: Lopitalova teorema se koristi za određivanje graničnih vrednosti neodređenih izraza tipa “ 0 0 ” i ∞ ∞ ”. U slučaju neodređenosti tipa “ 0⋅∞ ” i “∞ − ∞”, one se moraju transformisati oblik 0 0 “” ili “ ∞ ∞ ”. U slučaju neodređenosti tipa“ 0 0 , “1∞ ” ili “ 0 ∞ ”, izaraz se prvo logaritmuje čime se svodi na jedan od pomenutih slučajeva. Primer: Primenom Lopitalove teoreme odredimo granične vrednosti: a) ( ) 0 0 0 sinsin lim lim limcos 1 L x x x xx x x x→ → → ′ = = = ′ ; - 157 -
- 167. b) 2 2 2 62ln 1 lim lim lim 0 2 L L x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ − − = =− = ; c) 0 0 0 0 1 cos 1 cos sin cos sin cos lim ctg lim lim lim sin sin sin cos L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→ → → → − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 sin sin cos lim lim 0 sin cos 2cos sin L x x x x x x x x x x x x x→ → − − − = = = + − . d) 0 0 0 0 2 1 ln lim ln lim lim lim 0 1 1 L x x x x x xx x x x x →+ →+ →+ →+ = = = − = − . e) 0 lim ln ln 0 0 0 lim lim 1 x x x x x x x x x e e e→ + + +→ → = = = = . - 158 -
- 168. ZADACI 1. Ispitati dali funkcija ( ) 2 3 f x x= na intervalu [ ]1,1− ispunjava uslove Rolove teoreme. Rešenje: Data funkcija je definisana i neprekidna za x R∈ , pa prema tome i na intervalu [ ]1,1− . Osim je ( ) ( )1 1 1f f− = = . Kako je ( ) 3 2 3 f x x ′ = , funkcija nije diferencijabilna u tački ( )0 1,1∈ − , pa funkcija ne ispunjava uslove Rolove teoreme na [ ]1,1− . 2. Dokazati da jednačina 3 2 4 3 2 1 0x x x− − + = ima bar jedno rešenje na intervalu [ ]0,1 . Rešenje: Uočimo funkciju 3 2 4 3 2 1y x x x= − − + . Ona je definisana i neprekidna na [ ]0,1 . Pored toga ( ) ( )0 1 0f f= = . Prema tome, na osnovu Rolove teoreme postoji tačka ( )0,1c∈ takva da je ( ) 0f c′ = . Kako je 2 12 6 2y x x′ = − − , 2 1,2 3 35 6 3 1 0 12 c c c ± − − = ⇔ = . Tačka ( )1 3 35 0,1 12 c + = ∈ i ta vrednost je rešenje jednačine. 3. Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju ( ) 1 , 1 x f x x − = + [ ]0,3x∈ i odrediti odgovarajuće c . - 159 -
- 169. Rešenje: Data funkcija jedefinisana i neprekidna za 1x ≠ − , a to znači i za [ ]0,3 .x∈ Kako je ( ) ( ) 2 2 , 1 f x x ′ = + biće ( )f x diferencijabilna za sve 1x ≠ − pa dakle i za ( )0,3 .x∈ Na osnovu Langranžove teoreme postoji ( )0,3 ,c∈ tako da je ( ) ( ) ( ) 3 0 , 3 0 f f f c − ′= − odnosno ( ) ( ) 2 1 1 22 . 3 1c − − = + Rešenja ove jednačine su 1 23, 1c c= − = pa kako ( )3 0,3 ,− ∉ biće 2 1c = tražena vrednost. 4. Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju ( ) 3 2 5 3 ,f x x x x= − − za [ ]1,3x ∈ i odrediti c . Rešenje: 7 3 c = . 5. Dokazati da važi Langranžova teorema za funkciju za funkciju ( ) 3 f x x= za [ ]1,2x∈ − i odrediti c . Rešenje: Data funkcija je definisana i neprekidna [ ]1,2 .x∈ − Izvod ( ) 2 3f x x′ = , pa je diferencijabilna za ( )1,2x∈ − . Prema Langranžovoj teoremi postoji ( )1,2c∈ − tako da ( ) ( ) ( ) 22 1 3 2 1 f f c − − = − − , odakle je 1c = ± . Kako ( )1 1,2 ,− ∈ − tražena vrednost je 1c = . 6. Napisati Langranžovu formulu za funkciju ( )f x x= na odsečku [ ]1,4 i odrediti c . Objasniti i geometrijski. - 160 -
- 170. Rešenje: Data funkcija jedefinisana i neprekidna [ ]1,4 .x∈ Izvod ( ) 1 2 f x x ′ = je takođe definisan za ( )1,4x ∈ . Znači ( )f x je diferencijabilna na ( )1,4 , pa prema Langranžovoj teoremi važi jednakost ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 , 1,4 4 1 f f f c c − ′= ∈ − . ( ) ( ) ( ) 1 4 2, 1 1, , 2 f f f x x ′= = = pa je 1 1 9 2 3 . 3 42 c c c = ⇔ = ⇔ = S obzirom da ( ) 9 1,4 , 4 ∈ to je tražena vrednost c . y x1 9 4 4 t Geometrijski gledano, postoji tangenta grafika funkcije koja je paralelna sa sečicom koja prolazi kroz tačke ( ) ( )1,1 , 4,2 i njena dodirna tačka ima apscisu 9 4 . • Primenom Lopitalove teoreme odrediti granične vrednosti: Neodređenost tipa “ 0 0 ” ili “ ∞ ∞ ”. 7. a) 2 2 8 5 lim 2 6x x x x x→+∞ − + + ; b) 30 sin lim x x x x→ − ; c) 2 3 lim x x e x→∞ ; d) 20 cos 1 lim x x x+→ − . - 161 -
- 171. Rešenje: a). 2 2 8 5 28 1 lim lim 2 6 4 6 2 L x x x x x x x x→+∞ →+∞ − + − = = + + ; b) 3 20 0 0 0 sin 1 cos sin cos 1 lim lim lim lim 3 6 6 6 L L L x x x x x x x x x x x x→ → → → − − = = = = ; c) 2 2 2 2 3 2 2 4 8 lim lim lim lim 3 6 6 x x x xL L L x x x x e e e e x x x→∞ →∞ →∞ →∞ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ∞ ; d) 20 0 0 1 sin cos 1 1 sin 1 12 coslim lim lim 2 4 4cos L x x x x x xx x x x x+ + +→ → → − ⋅ − = = = − ⋅ = − . 8. a) 0 lim sin ax bx x e e x→ − ; b) 3 22 0 221sin lim x xxexx x x −−−+− → ; c) 30 arcsin lim sinx x x x→ − ; d) 0 2 lim sin x x x e e x x x − → − − − . Rešenje: a) 0 0 lim lim sin cos ax bx ax bxL x x e e ae be a b x x→ → − − = = − ; b) 2 2 2 3 20 0 sin 1 2 2 1 cos 2 2 4 lim lim 3 x xL x x x x e x x x e x x x→ → − + − − − − + − − = 2 2 0 0 sin 4 4 cos 8 3 lim lim ; 6 6 2 x xL L x x x e x e x→ → + − + = = = c) 2 3 20 0 1 1 arcsin 1lim lim sin 3sin cos L x x x x x x x x→ → − − −= = ⋅ ( ) 3 2 22 20 0 0 1 1 11 11lim lim lim 3sin cos 6sin cos 6 L x x x x xx x x x x − → → → − −− ⋅ = = ⋅ ; d) 2 ; - 162 -
- 172. Neodređenost tipa “∞− ∞”. 9. a) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 11 lim 0 xx ex ; b) 20 1 1 lim sinx x x→ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; c) 21 2 1 lim 1 1x x x→ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ; d) 2 lim ctg 2cosx x x xπ π → ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Rešenje: a) ( )0 0 0 0 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 2 21 x x xL L x x x x xxx x x x e x e e e xe e e xe xx e→ → → → − − − = = = = − + + + +− ; b) 2 2 2 20 0 0 1 1 sin 2 cos lim lim lim ; sin sin 2 sin cos L x x x x x x x x x x x x x x x→ → → − −⎛ ⎞ − = = = ∞⎜ ⎟ ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠ c) ∞ ; d) 1− . Neodređenost tipa “0⋅∞ ”. 10. a) 2 0 lim ln x x x → ; b) 0 lim ctg2 x x x → ; c) ( )2 0 lim 1 ctgx x e x → − . Rešenje: a) 2 2 20 0 0 0 3 1 ln lim ln lim lim lim 0 2 2 L x x x x x xxx x x x −→ → → → = = = − = − ; b) 0 0 0 2 1 1 lim ctg2 lim lim 2tg2 2 cos 2 L x x x x x x x x → → → = = = ; c) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 1 2 lim 1 ctg lim limcos lim 2 sin cos x xL x x x x x e e e x x x x→ → → → − − − = ⋅ = = − . - 163 -
- 173. Neodređenost tipa “0 0 ”, “1∞ ” ili “ 0 ∞ ”. 11. a) ( ) 2 1 0 lim cos x x x → ; b) ( ) 1 lim ln x x x →+∞ ; c) sin 0 lim x x x +→ . Rešenje: a) ( ) ( )1 2 20 0 0 1 sinlncos sin 1coslim lim limln cos 2 2 cos 2 0 1 lim xx x x xx xxL x x x x x x e e e e e e → → → ⋅ − − − → = = = = = ; b) 1 1 1 ln(ln ) lnlim lim ln(ln ) 01 lim 1 x x x x x xL x x x e e e e→ +∞ → +∞ ⋅ → +∞ = = = = ; c) sin 10 0 2 0 2 0 0 ln lim sin ln lim ln sin 0 1 lim sincos lim lim 2sin cos 0sin lim 1 x x x x x x x Lx x x x x x xx L x x xx e e e e e e e −→ →+ + + → + → →+ + ⋅ → − −− = = = = = = = ; - 164 -
- 174. 5 . 5. I S P I T I V A N J E F U N K C I J A P O M O Ć U I Z V O D A MONOTONOST FUNKCIJE Neka je funkcija ( )f x neprekidna na [ ],a b , a diferencijabilna na ( ),a b . Tada, ako je za ( ),x a b∈ : ( ) 0f x′ ≥ , funkcija je rastuća, ( ) 0f x′ ≤ , funkcija je opadajuća, ( ) 0f x′ > , funkcija je strogo rastuća, ( ) 0f x′ < , funkcija je strogo opadajuća. Dokaz: Neka je za ( ),x a b∀ ∈ ispunjeno ( ) 0f x′ ≥ . Uzmimo proizvoljne vrednosti 1 2,x x takve da je 1 2a x x b≤ < ≤ . Na osnovu Lagranžove teoreme imamo da je ( ) ( ) ( )( )1 2 0 1 2f x f x f x x x′− = − , za neko 1 0 2x x x< < . Znajući da je 1 2 0x x− < i ( ) 0f x′ ≥ , dobijamo da je ( ) ( )1 2 0f x f x− < , tj. funkcija ( )f x je rastuća. Dokaz u preostalim slučajevima je identičan. Primer: Ispitati monotonost sledećih funkcija: a) ( ) 3 f x x= ; b) ( ) 1 f x x = ; c) ( ) 2 2 3f x x x= − + . a) Izvod funkcije ( ) 3 f x x= je ( ) 2 3f x x′ = . Kako je ( ) 0f x′ ≥ za x R∈ , funkcija je rastuća. b) Izvod funkcije ( ) 1 f x x = je ( ) 2 1 f x x ′ = − . Kako je ( ) 0f x′ < za 0x ≠ , funkcija je opadajuća. c) Izvod funkcije ( ) 2 2 3f x x x= − + je ( ) 2 2f x x′ = − . Kako je za 1x > ( ) 0f x′ ≥ , a za ( ) 0f x′ < , zaključujemo da je funkcija je rastuća. za 1x > , a opadajuća za 1x < . - 165 -
- 175. EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE y x a1x 2x b Funkcija ( )f x definisana na ( ),a b ima maksimum u tački ( )1 ,x a b∈ ako i samo ako je ( ) ( )1f x f x< za svako x koje pripada nekoj okolini tačke 1x , a minimum u tački ( )2 ,x a b∈ ako i samo ako je ( ) ( )2f x f x> za svako x koje pripada nekoj okolini tačke 2x . Maksimum i minimum funkcije ( )f x nazivaju se ekstremnim vrednostima date funkcije. Napomena: Prethodne dve definicije odnose se na lokalni maksimum i minimum, koji su vezani za neku dovoljno malu okolinu datih tačaka. Ovako definisani maksimum i minimum ne moraju istovremeno predstavljati najveću ili najmanju vrednost date funkcije na celom intervalu [ ],a b . Potreban uslov za ekstrem: Ako diferencijabilna funkcija ( )f x ima u tački 1x x= ekstrem (maksimum ili minimum), tada je u toj tački ( )1 0f x′ = . Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija ( )f x diferencijabilna, tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zaključak ne važi. Naime, ako je ( )1 0f x′ = , ne mora značiti da u toj tački funkcija ima ekstrem. Tačke u kojima funkcija ( )f x nema izvod, kao i tačke u kojima je ( ) 0f x′ = , nazivaju se kritične tačke funkcije ( )f x . - 166 -
- 176. Funkcija može imatiekstrem samo u svojim kritičnim tačkama, dok svaka kritična tačka ne mora biti tačka ekstrema funkcije. Primer: Odrediti ekstreme funkcije ( ) 3 2 f x x= . Izvod funkcije je ( ) 3 2 3 f x x ′ = . Mada je ( ) 0f x′ ≠ , a ( ) 0f x′ > za 0x > i ( ) 0f x′ < za 0x < , zaključujemo da funkcija ima minimum u tački 0x = . Primer: Odrediti ekstreme funkcije ( ) 3 f x x= . Izvod funkcije je ( ) 2 3f x x′ = . ( ) 0f x′ = za 0x = . Kako je ( ) 0f x′ ≥ , znači da funkcija uvek raste i ona nema ekstrem u tački 0x = . Tačke u kojima je ( ) 0f x′ = nazivaju se stacionarnim tačkama. Dovoljan uslov za ekstrem: Neka je funkcija ( )f x neprekidna u nekom intervalu koji sadrži stacionarnu tačku 1x tog intervala i diferencijabilna u tom intervalu. Ako je: ( ) 0f x′ > za 1x x< i ( ) 0f x′ < za 1x x> , tada je ( ) ( )1 maxf x f x= ; ( ) 0f x′ < za 1x x< i ( ) 0f x′ > za 1x x> , tada je ( ) ( )1 minf x f x= . Napomena: Predhodna teorema kaže da ako izvodna funkcija ( )f x′ menja znak pri prolasku kroz tačku 1x tada funkcija ( )f x ima ekstrem u tački 1x . Pri ispitivanju ekstrema funkcije pomoću prvog izvoda određujemo: 1. ( )f x′ , 2. stacionarne tačke, tj.rešavamo jednačinu ( ) 0f x′ = , 3. određujemo znak izvoda, ( )f x′ , sa obe strane stacionarnih tačaka, 4. vrednost funkcije ( )f x za svaku od stacionarnih tačaka. - 167 -
- 177. ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJEPOMOĆU DRUGOG IZVODA Pretpostavimo da je ( )1 0f x′ = i da je ( )f x′′ neprekidna funkcija u nekoj okolini tačke 1x . Ako je: ( )1 0f x′′ < tada funkcija ( )f x ima maksimum u tački 1x , ( ) ( )1 maxf x f x= ; ( )1 0f x′′ > , tada funkcija ( )f x ima minimum u tački 1x , ( ) ( )1 minf x f x= . Primer: Odrediti ekstreme funkcije ( ) 3 2 3 9 5f x x x x= − − + . Prvi izvod funkcije je ( ) 2 3 6 9f x x x′ = − − . Nule izvoda su 3 , 1x x= = − . Drugi izvod funkcije je ( ) 6 6f x x′′ = − . Kako je ( )3 12 0f ′′ = > , a ( )1 12 0f ′′ − = − < , funkcija za 3x = ima minimum ( )min 3 22f f= = − , a za 1x = − ima maksimum ( )max 1 10f f= − = . - 168 -
- 178. KONVEKSNOST I KONKAVNOST FUNKCIJE Funkciju( )f x je konkavna na ( ),a b ako sve tačke grafika funkcije leže ispod bilo koje njene tangente na tom intervalu. y x a 0x b A B M Funkcija ( )f x je konveksna na ( ),a b ako sve tačke grafika funkcije leže iznad proizvoljne tangente na intervalu. y x a 0x b A B M Neka je funkcija ( )f x dva puta diferencijabilna na ( ),a b . Ako je za ( ),x a b∈ , ( ) 0f x′′ ≥ , tada je funkcija konveksna na ( ),a b . Ako je ( ),x a b∈ , ( ) 0f x′′ ≤ , tada je funkcija konkavna na( ),a b . PREVOJNE TAČKE FUNKCIJE Prevojna tačka grafika funkcije ( )f x je tačka koja razdvaja konveksni i konkavni deo (tangenta u toj tački postoji i preseca grafik, jer je sa jedne strane prevojne tačke iznad, a sa druge strane ispod grafika). - 169 -
- 179. Potreban uslov zapostojanje prevojne tačke: Ako je 0x x= prevojna tačka funkcije ( )f x , onda ili ( )0f x′′ ne postoji ili je ( )0 0f x′′ = . Dovoljan uslov za postojanje prevojne tačke: Ako je funkcija ( )f x dva puta diferencijabilna na ( ),a b , a pri prolasku kroz tačku ( )0 ,x a b∈ drugi izvod ( )f x′′ menja znak, tada je tačka ( )( )0 0,x f x prevojna tačka. Primer: Odrediti prevojne tačke funkcije 3 2 3 9 5y x x x= − − + . Prvi izvod funkcije je ( ) 2 3 6 9f x x x′ = − − . Drugi izvod funkcije je ( ) 6 6f x x′′ = − . ( ) 0f x′′ = za 1x = . Za 1x > , ( ) 0f x′′ > i u toj oblasti funkcija je konveksna, a za 1x < , ( ) 0f x′′ < i u toj oblasti funkcija je konkavna. Prevojna tačka je ( )1, 6− . ISPITIVANJE TOKA FUNKCIJE Ispitivanje funkcija vršićemo kroz sledeće korake: 1. Određivanje domena funkcije; 2. Određivanje nula i ispitivanje znaka funkcije; 3. Ispitivanje parnosti odnosno neparnosti i periodičnosti funkcije; 4. Ispitivanje ponašanja funkcije na krajevima oblasti definisanosti i određivanje asimptota funkcije; 5. Ispitivanje monotonosti i određivanje ekstrema funkcije primenom prvog izvoda funkcije; 6. Ispitivanje konveksnosti i određivanje prevojnih tačaka funkcije primenom drugog izvoda funkcije; 7. Skiciranje grafika funkcije. - 170 -
- 180. ZADACI Ispitati i grafičkiprikazati sledeće funkcije: 1. a) 3 2 6 9y x x x= + + ; b) 4 2 2 3y x x= − + ; c) 3 2 6 9 4y x x x= − + − ; d) ( )2 3y x x= − . Rešenje: a) Domen: x R∈ . Nule funkcije: ( ) 23 2 0 6 9 0 3 0 0 3y x x x x x x x= ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = ∨ = − . Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u koordinatnom početku. Znak funkcije: Za ( ),0 , 0x y∈ −∞ < , za ( )0, , 0x y∈ ∞ > . Asimptote: Funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 3 12 9y x x′ = + + za 0 1 3y x x′ = ⇔ = − ∨ = − . ( ), 3−∞ − ( )3, 1− − ( )1,− ∞ 2 3 12 9x x+ + - + - y′ - + - y Za ( ) ( ), 3 1,x∈ −∞ − − +∞∪ 0y′ < i y , a za ( )3, 1x∈ − − 0y′ > i y . ( ) ( )min max3 0 , 1 4y y− = − = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 6 12y x′′ = + . 0y′′ = za 2x = − . Za ( ), 2 , 0x y′′∈ −∞ − < i y ∩ , a za ( )2, , 0x y′′∈ − ∞ > i y ∪ . Funkcija ima prevojnu tačku ( )2, 2P − − . - 171 -
- 181. y x3− 2− 1− b)Domen: x R∈ . Nule funkcije: Funkcija nema realnih nula. Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački ( )0,3 . Znak funkcije: 0y > za xx D∀ ∈ . Parnost, neparnost: ( ) ( )y x y x= − funkcija je parna. Asimptote: Funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 3 4 4y x x′ = − , 0 0 1y x x′ = ⇔ = ∨ = ± . ( ), 1−∞ − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,∞ 2 1x − + - - + x - - + + y′ - + - + y ( ) ( )max min0 3 , 1 2y y= ± = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 2 12 4y x′′ = − . 0y′′ = za 3 3 x = ± . 3 , 3 ⎛ ⎞ −∞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 , 3 3 ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 , 3 ⎛ ⎞ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 12 4x − + - + y′′ + - + y ∪ ∩ ∪ - 172 -
- 182. Funkcija ima dveprevojne tačke 1/2 3 22 , 3 9 P ⎛ ⎞ ±⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . y x 3 11− 2 c) Domen: x R∈ . Nule funkcije: ( ) ( ) 23 2 0 6 9 4 1 4 1 4y x x x x x x x= ⇔ − + − = − − ⇔ = ∨ = . Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački ( )0, 4− . Znak funkcije: Za ( ),4 , 0x y∈ −∞ < , a za ( )4, , 0x y∈ ∞ > . Asimptote: lim x y →±∞ = ±∞ funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 3 12 9 0y x x′ = − + = za 0 1 3y x x′ = ⇔ = ∨ = . Za ( ) ( ),1 3, , 0x y′∈ −∞ +∞ >∪ i y , a za ( )1,3 , 0x y′∈ < i y . ( ) ( )max min1 0 , 3 4y y= = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 6 12y x′′ = − . 0y′′ = za 2x = . Za ( ),2 , 0x y′′∈ −∞ < i y ∩ , a za ( )2, , 0x y′′∈ ∞ > i y ∪ . Funkcija ima prevojnu tačku ( )2, 2P − . - 173 -
- 183. y x 31 2 4 4− 2− d)Domen: x R∈ . Nule funkcije: 0 0 3y x x= ⇔ = ∨ = . Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački ( )0,0 . Znak funkcije: Za ( ),3x∈ −∞ 0y > , a za ( )3,x∈ ∞ 0y < . Asimptote: lim x y →±∞ = ∞∓ funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 6 3y x x′ = − za 0 0 2y x x′ = ⇔ = ∨ = . Za ( ) ( ),0 2, , 0x y′∈ −∞ +∞ <∪ i y , a Za ( )0,2 , 0x y′∈ > i y . ( ) ( )max min2 4 , 0 0y y= = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 6 12y x′′ = − . 0y′′ = za 1 2 x = . Za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ −∞ >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∪ , a za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ ∞ <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∩ . Funkcija ima prevojnu tačku 1 5 , 2 8 P ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - 174 -
- 184. y x 321 2 4 2. a) 2 1 2 x x y + =; b) 1 3 2 − = x y ; c) ( ) 2 2 1 1 x y x − = − ; d) 2 2 4 1 x y x − = − ; e) 2 2 2 3 2 x x y x x − − = − ; f) 2 4 4 x y x = − . Rešenje: a) Domen: 2 1 0 ,x x R+ > ∈ . Parnost, neparnost: ( ) ( )y x y x= − − funkcija je neparna. Nule funkcije: 0 0y x= ⇔ = . Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u koordinatnom početku. Znak funkcije: Za ( ),0 , 0x y∈ −∞ < , a za ( )0, , 0x y∈ ∞ > . Asimptote: lim 0 x y →±∞ = pa je 0y = ( x -osa) horizontalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) ( )22 2 1 12 x x y + − =′ . 0 1 1y x x′ = ⇔ = ∨ = − . Za ( ) ( ), 1 1, , 0x y′∈ −∞ − +∞ <∪ i y , a za ( )1,1 , 0x y′∈ − > i y . ( ) ( )min max1 1, 1 1y y− = − = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 2 32 4 3 1 x x y x − ′′ = + , - 175 -
- 185. 0 0 3yx x′′ = ⇔ = ∨ = ± . Za ( ) ( )3,0 3, , 0x y′′∈ − +∞ >∪ i y ∪ , a za ( ) ( ), 3 0, 3 , 0x y′′∈ −∞ − <∪ i y ∩ . Funkcija ima tri prevojne tačke ( )1 2 3 3 3 3, , 0,0 , 3, 2 2 P P P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . y x1− 1 3 3− 1 1− b) Domen: ( ) ( ) ( ), 1 1,1 1,x∈ −∞ − − +∞∪ ∪ . Parnost, neparnost: Funkcija je parna. Nule funkcije: Funkcija nema nule. Znak funkcije: Za ( ) ( ), 1 1, , 0x y∈ −∞ − +∞ >∪ , a za ( )1,1 0x y∈ − < . Asimptote funkcije: Kako je, 1 lim x y →− ± = ∞∓ , Prave 1x = ± su vertikalne asimptote. lim 0 x y →±∞ = , pa je prava 0y = , tj. x - osa horizontalna asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) 22 6 1 x y x − ′ = − . 0 0y x′ = ⇔ = . Za ( ),0 , 0x y′∈ −∞ > i y , a za ( )0, , 0x y′∈ +∞ < i y . ( )max 0 3y = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 2 32 6 3 1 1 x y x + ′′ = − . Za ( ) ( ), 1 1, , 0x y′′∈ −∞ − ∞ >∪ i y ∪ , a za ( )1,1 , 0x y′′∈ − < i y ∩ . Funkcija nema prevojne tačke. - 176 -
- 186. y 3− 1− 1 x c)Domen: ( ) ( ),1 1,x∈ −∞ +∞∪ . Nule funkcije: 1 0 2 1 0 2 y x x= ⇔ − = ⇔ = . Presek sa y osom: ( )0 1y = − . Znak funkcije: Za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ∈ +∞ >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , a za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ∈ −∞ <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Asimptote: lim 0 x y →±∞ = pa je prava 0y = horizontalna asimptota. 1 lim x y → ± = +∞ , pa je prava 1x = vertikalna asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) 3 2 1 x y x − ′ = − , 0 0y x′ = ⇔ = . Za ( ) ( ),0 1, , 0x y′∈ −∞ +∞ <∪ i y , a za ( )0,1 , 0x y′∈ < i y . ( )min 0 1y = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 4 2 2 1 1 x y x + ′′ = − . 1 0 2 y x′′ = ⇔ = − . Za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ −∞ − <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∩ , a za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ − +∞ >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∪ . Prevojna tačka je tačka 1 8 , 2 9 P ⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - 177 -
- 187. y x 1 2 − 1 1− 1 2 d) Domen: () ( )( ), 1 1,1 1,x∈ −∞ − − +∞∪ . Parnost, neparnost: ( ) ( )y x y x= − funkcija je parna. Nule funkcije: 0 2y x= ⇔ = ± . Presek sa y osom: ( )0 4y = . Znak funkcije: Za ( ) ( ) ( ), 2 1,1 2, , 0x y∈ −∞ − − +∞ >∪ ∪ , a za ( ) ( )2, 1 1,2 , 0x y∈ − − <∪ . Asimptote: lim 1 x y →±∞ = pa je prava 1y = horizontalna asimptota. 1 lim x y →− ± = ±∞ , 1 lim x y → = ±∞ ∓ , pa su prave 1x = ± vertikalne asimptote. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) 22 6 1 x y x ′ = − , 0 0y x′ = ⇔ = . Za ( ),0 , 0x y′∈ −∞ < i y , a za ( )0, , 0x y′∈ +∞ > i y . ( )min 0 4y = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 2 32 6 3 1 1 x y x − + ′′ = − . Za ( ) ( ), 1 1, , 0x y′′∈ −∞ − +∞ <∪ i y ∩ , a za ( )1,1 , 0x y′′∈ − > i y ∪ . Funkcija nema prevojne tačke. - 178 -
- 188. y 4 1− 1 x 22− 1 e) Domen:( ) ( ) ( ),0 0,2 2,x∈ −∞ +∞∪ ∪ . Nule funkcije: 2 0 2 3 0 1 3y x x x x= ⇔ − − = ⇔ = − ∨ = . Presek sa y osom: Funkcija ne seče y - osu. Znak funkcije: Za ( ) ( )1,0 2,3 , 0x y∈ − >∪ , za ( ) ( ) ( ), 1 0,2 3, , 0x y∈ −∞ − ∞ <∪ ∪ . Parnost neparnost: Funkcija nije ni parna ni neparna. Asimptote: lim 1 x y →±∞ = − pa je 1y = − horizontalna asimptota. 0 lim x y → = ±∞ ∓ , 2 lim x y → ± = ±∞ , pa su 0x = i 2x = vertikalne asimptote. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) ( ) 22 6 1 2 x y x x − ′ = − , 0 1y x′ = ⇔ = . Za ( ),1 , 0x y′∈ −∞ > i y , a za ( )1, , 0x y′∈ +∞ < i y . ( )max 1 4y = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 2 32 6 3 6 4 2 x x y x x − − + ′′ = − Za ( ) ( ),0 2, , 0x y′′∈ −∞ +∞ >∪ i y ∪ , a za ( )0,2 , 0x y′∈ < i y ∩ . Funkcija nema prevojne tačke. - 179 -
- 189. e) x y 22− 3. a) 2 6 3 3 xx y x − + = − ; b) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 x y x − = + ; c) 2 4 4 1 x x y x − − = − ; d) ( ) 3 2 2 1 x y x = + ; e) 2 3 4 x x y x − = − f) 3 2 10 4 9 6 y x x x = − + . Rešenje: a) Domen: ( ) ( ),3 3,x∈ −∞ +∞∪ . Nule funkcije: 2 1 20 6 3 0 3 6 3 6y x x x x= ⇔ − + = ⇔ = − ∨ = + . Znak funkcije: Za ( ) ( )3 6,3 3 6, , 0x y∈ − + +∞ >∪ , za ( ) ( ),3 6 3,3 6 , 0x y∈ −∞ − + <∪ . Asimptote: lim x y →±∞ = ±∞ , funkcija nema horizontalnu asimptotu. 3 lim x y → ± = ∞∓ , prava 3x = je vertikalna asimptota funkcije. Kosa asimptota funkcije je prava y kx n= + : ( ) 2 2 2 6 3 6 3 lim lim 1, lim lim 3 3x x x x y x x x x k n y kx x x x x x→∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞− + − + = = = = − = − =⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ - 180 -
- 190. 3 3 lim 3 3x x k x→∞ −+ = = − − pa je prava 3y x= − kosa asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) 2 2 6 15 0 3 x x y x − + ′ = > − pa je funkcija je stalno rastuća. Funkcija nema ekstremnih vrednosti. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) 3 12 3 y x − ′′ = − . Za ( ),3 , 0x y′′∈ −∞ > i y ∪ , a za ( )3, , 0x y′′∈ ∞ < i y ∩ . Funkcija nema prevojnih tačaka. x y 3 3 6+ 3 6− b) Domen: ( ) ( ), 1 1,x∈ −∞ − − +∞∪ . Nule funkcije: 0 1y x= ⇔ = . Presek sa y osom: ( ) 1 0 2 y = − . Znak funkcije: Za ( ),1 , 0x y∈ −∞ < , a za ( )1, , 0x y∈ ∞ > . Asimptote: lim x y →±∞ = ±∞ pa funkcija nema horizontalnu asimptotu. 1 lim x y → ± = −∞ , pa je prava 1x = − je vertikalna asimptota funkcije. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 11 1 5 2 1 5 lim , lim lim 2 2 2 4 2 22 1 2 1x x x x x x x k n x x xx x x→∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞− − − + − = = = − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ++ +⎝ ⎠ , - 181 -
- 191. prava 1 5 2 2 yx= − je kosa asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 5 2 1 x x y x − + ′ = + . 0 1 5y x x′ = ⇔ = ∨ = − . ( ) ( ), 5 1,1 , 0x y′∈ −∞ − − >∪ i y , a za ( ) ( )5, 1 1, , 0x y′∈ − − +∞ <∪ i y . ( )max 27 5 4 y − = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 4 12 1 1 x y x − ′′ = + . 0 1y x′′ = ⇔ = Za ( ),1 , 0x y′′∈ −∞ < i y ∩ , a za ( )1, , 0x y′′∈ ∞ > i y ∪ . Prevojna tačka funkcije je ( )1,0P . x y 11−5− 27 4 − c) Domen: ( ) ( ),1 1,x∈ −∞ +∞∪ . Nule funkcije: 0 2y x= ⇔ = . Znak funkcije: Za ( ),1 , 0x y∈ −∞ > , a za ( )1, , 0x y∈ +∞ < . Asimptote: Funkcija nema horizontalne asimptote. Prava 1x = vertikalna asimptota, a prava 3y x= − + je kosa asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) 2 2 2 1 x x y x − + ′ = − . 0 0 2y x x′ = ⇔ = ∨ = . Za ( ) ( ),0 2, , 0x y′∈ −∞ +∞ <∪ i y , a za ( )0,2 , 0x y′∈ > i y . ( )max 2 0y = i ( )min 0 4y = . - 182 -
- 192. Konveksnost, konkavnost iprevojne tačke: ( ) 3 2 1 y x − ′′ = − . Za ( ),1 , 0x y′′∈ −∞ > i y ∪ , a za ( )1, , 0x y′′∈ +∞ < i y ∩ . Nema prevojnih tačka. x y 2 4 31 d) Domen: ( ) ( ), 1 1,x∈ −∞ − − +∞∪ . Nule funkcije: 0y = za 0x = . Znak funkcije: 0y < za ( ) ( ), 1 1,0x∈ −∞ − −∪ , 0y > za ( )0,x ∈ +∞ . Asimptote: Funkcija nema horizontalnu asimptotu, prava 1x = − je vertikalna asimptota, a prava 1 1 2 y x= − je kosa asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) ( ) 2 3 3 2 1 x x y x + ′ = + . 0 0 3y x x′ = ⇔ = ∨ = − . Za ( ) ( ), 3 1, , 0x y′∈ −∞ − − +∞ >∪ i y , a za ( )3, 1 , 0x y′∈ − − < i y . ( )max 27 3 8 y − = − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) 4 3 1 x y x ′′ = + . 0 0y x′′ = ⇔ = . Za ( ),0 , 0x y′′∈ −∞ < i y ∩ , a za ( )0, , 0x y′′∈ +∞ > i y ∪ . Prevojna tačka funkcije je ( )0,0P . - 183 -
- 193.
- 194. 4. a) 2x y x e− = ; b) 3 x y x e= ; c) ( )2 2x y e x− = − ; d) 2 x y xe− = . Rešenje: a) Domen: ( ),x∈ −∞ +∞ . Nule funkcije: 0x = . Znak funkcije: 0y ≥ za x R∈ . Asimptote: 2 2 1 lim , lim lim 2 lim 0 L L x x xx x x x x x y e e e→−∞ →+∞ →+∞ →+∞ = +∞ = = = + , pa je 0y = ( x -osa) horizontalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( )2x y e x x− ′ = − , 0 0 2y x x′ = ⇔ = ∨ = . Za ( ) ( ),0 2,x∈ −∞ +∞∪ 0y′ < i y , a za ( )0,2x∈ 0y′ > i y . ( ) ( ) 2 min max0 0 , 2 4 0,54y y e− = = ≈ . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( )2 4 2x y e x x− ′′ = − + , 2 1/20 4 2 0 2 2y x x x′′ = ⇔ − + = ⇔ = ± . Za ( )2 2,2 2 , 0x y′′∈ − + < i y ∩ , a za ( ) ( ),2 2 2 2, , 0x y′′∈ −∞ − + +∞ >∪ i y ∪ . Prevojne tačke date funkcije, tj. njihove približne koordinate su ( )1 0,59;0,19P i ( )2 2,41;0,52P . - 185 -
- 195. y x 2 2P1P b) Domen: (),x∈ −∞ +∞ . Nule funkcije: 0x = . Znak funkcije: 0y < za 0x < , 0y > za 0x > . Asimptote: 3 2 3 6 6 lim lim lim lim 0 L L L x x x xx x x x x x x e e e e− − − −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ = = = = − − − , lim x y →+∞ = +∞ , pa je 0y = ( x - osa) horizontalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( )2 3 x y x x e′ = + , 0 0 3y x x′ = ⇔ = ∨ = − . Za ( ), 3 , 0x y′∈ −∞ − < i y , a za ( )3, , 0x y′∈ − +∞ > i y . ( ) ( ) 3 3 min 3 27 3 3 1,34y e e − − = − = − ≈ − . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke : ( )2 6 6 x x x ey x + +′′ = . 1 2 30 0 3 3 4,73 3 3 1,27y x x x′′ = ⇔ = ∨ = − − ≈ − ∨ = − + ≈ − . Za ( ) ( ), 3 3 3 3,0 , 0x y′′∈ −∞ − − − + <∪ i y ∩ , a za ( ) ( )3 3, 3 3 0, , 0x y′′∈ − − − + +∞ >∪ i y ∪ . Prevojne tačke funkcije su ( ) ( ) ( )1 2 33 3, 0,73 , 3 3, 0,8 , 0,0P P P− − − − + − . - 186 -
- 196. y x3− 2P1P 3P c) Domen:( ),x∈ −∞ +∞ . Nule funkcije: 2x = ± . Presek sa y osom: ( )0 2,y = Znak funkcije: Za ( ) ( ), 2 2, , 0x y∈ −∞ − ∪ +∞ < , a za ( )2, 2x ∈ − 0y > . Asimptote: 2 2 2 2 lim , lim lim lim 0, L L L x x xx x x x x x y e e e→−∞ →+∞ →+∞ →+∞ − − − = −∞ = = =− pa je 0y = horizontalna asimptota. Funkcija nema vertikalnu asimptotu. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( )2 2 2x y e x x− ′ = − − , 0 1 3y x′ = ⇔ = ± . y za ( ) ( ),1 3 1 3,x∈ −∞ − + ∞∪ , y za ( )1 3,1 3x∈ − + . ( ) ( )max 1 1 min 2 22,3; 0,9y y x y y y x y= = ≈ = = ≈ . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( )2 4x y e x x− ′′ = − 0 0 4y x x′′ = ⇔ = ∨ = . Za ( )0,4 , 0x y′′∈ > i y ∪ , a za ( ) ( ),0 4, , 0x y′′∈ −∞ ∞ <∪ i y ∩ . ( ) ( ) ( )4 4 0 2, 4 14 14 0,26y y e e− − = = ⋅ − = − ≈ su prevojne tačke funkcije. - 187 -
- 197. y x 1 3− 2P 1P 1 3+ d)Domen: ( ),x∈ −∞ +∞ . Nule funkcije: 0 0y x= ⇔ = . Znak funkcije: Za ( ),0x∈ −∞ 0y < , a za ( )0,x∈ ∞ 0y > . Parnost, neparnost: funkcija je neparna. Asimptote: lim 0 x y →±∞ = pa je prava 0y = horizontalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 2 1 2 x x y e − ′ = , 2 0 2 y x′ = ⇔ = ± . Za 2 2 , , 0 2 2 x y ⎛ ⎞ ′∈ − >⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y , a za 2 2 , , 0 2 2 x y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′∈ −∞ − ∞ <⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ i y max min 2 1 2 1 ; 2 22 2 y y y y e e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) 2 2 2 2 3 x x x y e − ′′ = 3 0 0 2 y x x′′ = ⇔ = ∨ = ± . Za 3 3 , 0, , 0 2 2 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′∈ −∞ − >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∪ i y ∪ , a za 3 3 ,0 , , 0 2 2 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′∈ − +∞ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∪ i y ∩ . - 188 -
- 198. ( ) 3 3 22 3 3 3 3 0 0, , 2 2 2 2 y y e y e − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⋅ − = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ su prevojne tačke funkcije. y x 2 2 − 2P 1P 2 2 5. a) 1 x y e= ; b) 2 1 x y xe − = ; c) 1 1x y e − + = ; d) ( ) 1 2 x y x e= + ;e) 1 x y xe= . Rešenje: a) Domen: ( ) ( ),0 0,x∈ −∞ ∞∪ . Nule funkcije: Funkcija nema nula. Znak funkcije: 0y > za xx D∈ . Asimptote: lim 1 x y →±∞ = , funkcija ima horizontalnu asimptotu 1y = . 0 0 lim 0 , lim x x y y → − → + = = +∞, funkcija ima vertikalnu asimptotu 0x = , kada 0x +→ . Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 1 2 1 x y e x ′ = − , xx D∈ , 0y′ < i y . Funkcija nema ekstremnih vrednosti. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke : 1 4 1 2x x y e x + ′′ = ⋅ , 1 0 2 y x′′ = ⇔ = − . Za 1 0, , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ − <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∩ , a za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ − +∞ <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∪ . Prevojna tačke je 21 , 2 P e−⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - 189 -
- 199. y x 1 P b) Domen: () ( ),0 0,x∈ −∞ ∞∪ . Nule funkcije: Funkcija nema nula. Znak funkcije: Za ( ),0 , 0x y∈ −∞ < , a za ( )0,x∈ +∞ 0y > . Parnost, neparnost: funkcija je neparna. Asimptote: lim x y →±∞ = ±∞ , funkcija nema horizontalnu asimptotu. 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 lim 1, lim lim lim 0 1 1 x xL x x x x x x e e k e n xe x x x x − − − − →∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ − − ⎛ ⎞ = = = − = = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − pa je y x= kosa asimptota funkcije. 0 lim 0 x y → ± = ± , pa funkcija nema vertikalnih asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 1 2 2 1x y e x − ⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , xx D∈ , 0y′ > i y .Funkcija nema ekstremnih vrednosti. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 2 1 2 5 2 2 x x y e x − − ′′ = ⋅ , 0 2y x′′ = ⇔ = ± . Za ( ) ( ), 2 0, 2 , 0x y′′∈ −∞ − >∪ i y ∪ , za ( ) ( )2,0 2, , 0x y′′∈ − +∞ <∪ i y ∩ . ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 0,86 ; 2 2 0,86y e y e − − − = − ≈ − = ≈ su prevojne tačke. - 190 -
- 200. y x1P 2P c) Domen: () ( ), 1 1,x∈ −∞ − ∪ − +∞ . Nule funkcije: funkcije nema nula. Znak funkcije: 0y > za xx D∈ . Presek sa y osom: ( ) 1 1 0y e e − = = . Asimptote: 1 01 lim 1x x e e − ++ →±∞ = = , prava 1y = je horizontalna asimptota. 1 1 1 1 1 1 lim , lim 0x x x x e e e e − − +∞ −∞+ + →− − →− + = = +∞ = = + , prava 1x = − je vertikalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( ) 1 2 1 1 ;x y x e −− +′ = + xx D∈ 0y′ > y .Funkcija nema ekstremnih vrednosti. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) 1 1 4 2 1 1 ; 0 21 x x y e y x x − + + ′′ ′′= − = ⇔ = − + . Za 1 0, , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ − >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∪ , a za 1 , , 0 2 x y ⎛ ⎞ ′′∈ − +∞ <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∩ . Prevojna tačke funkcije je 21 , 2 P e−⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - 191 -
- 201. y x P 1 1− d) Domen: () ( ),0 0,x∈ −∞ ∞∪ . Nule funkcije: 2x = − . Znak funkcije: Za ( ), 2 , 0x y∈ −∞ − < , a za ( )2,x∈ − +∞ , 0y > . Asimptote: lim x y →±∞ = ±∞ , funkcija nema horizontalnu asimptotu. ( ) 1 1 1 1 1 2 lim lim 1, 1 lim 2 lim 1 2 lim 2 3 , 1 x x x x x x x x x x y x k e x x e n x e x x e e x →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ + = = ⋅ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⋅ − = − + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ pa je 3y x= + kosa asimptota funkcije. 0 0 lim 0 , lim x x y y →− →+ = = +∞ . Funkcija ima vertikalnu asimptota kada 0x +→ . Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 1 2 2 2x x x y e x − − ′ = ⋅ , 0y′ = za 1 2x x= − ∨ = . Za ( ) ( ), 1 2, , 0x y′∈ −∞ − ∞ >∪ i y , a za ( )1,2 , 0x y′∈ − < i y . ( ) ( ) 3 max min 1 1 ; 2 3y y y y e e = − = = = Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 1 4 3 2x x y e x + ′′ = ⋅ , 2 0 3 y x′′ = ⇔ = − . Za 2 , , 0 3 x y ⎛ ⎞ ′′∈ −∞ − <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∩ , a za 2 , , 0 3 x y ⎛ ⎞ ′′∈ − +∞ >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - 192 -
- 202. i y ∪. 3 2 2 8 3 3 y e ⎛ ⎞ − = ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ je prevojna tačka funkcije. y xP 21− 2− e) Domen: ( ) ( ),0 0,x∈ −∞ +∞∪ . Nule funkcije: 0x = . Znak funkcije: Za ( ),0x∈ −∞ , 0y < , a za ( )0,x∈ +∞ , 0y > . Asimptote: lim x y →±∞ = ±∞ , funkcija nema horizontalnu asimptotu. 0 0 lim 0 , lim x x y y → − → + = − = +∞ , pa je prava 0x = vertikalna asimptota kad 0x → + . 1 1 1 1 1 1 lim lim 1, lim lim 1 lim 1, 1 x x x x x x x x x x xe e k e n xe x x e x x x →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = = = = − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ pa je 1y x= + kosa asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 1 1 x x y e x − ′ = ⋅ , 0 1y x′ = ⇔ = . Za ( ) ( ),0 1, , 0x y′∈ −∞ +∞ >∪ i y . a za ( )0,1 , 0x y′∈ < i y . ( )min 1y e= . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke : 1 3 1 x y e x ′′ = , Za ( ),0 0x y′′∈ −∞ < i y ∩ . a za ( )0, , 0x y′∈ +∞ > i y ∪ . Nema prevojne tačke. - 193 -
- 203. y x 1 6. a) ln x y x =; b) 2 2 lny x x= ; c) ( )2 1 2lny x x= − ; d) 3 lny x x= . Rešenje: a) Domen: ( )0,x∈ +∞ . Nule funkcije: 1x = . Znak funkcije: Za ( )0,1x∈ 0y < , a za ( )1,x ∈ +∞ 0y > . Asimptote: 0 lim x y →+ = −∞ , pa je prava 0x = vertikalna asimptota. lim 0 x y →+∞ = + , pa je prava 0y = horizontalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 1 ln x y x − ′ = , 0 1 ln 0y x x e′ = ⇔ − = ⇔ = . Za ( )0, , 0x e y′∈ > i y , a za ( ), , 0x e y′∈ +∞ < y . ( )max 1 y e e = Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: 3 2ln 3x y x − ′′ = , 3 2 0y x e′′ = ⇔ = . Za 3 2 0, , 0x e y ⎛ ⎞ ′′∈ <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∩ , a za 3 2 , , 0x e y ⎛ ⎞ ′′∈ ∞ >⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i y ∪ . 3 2 3 2 3 2 y e e ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ je prevojna tačka. - 194 -
- 204. y x e 3 e1 b) Domen:( )0,x∈ +∞ . Nule funkcije: 0 1y x= ⇔ = . Znak funkcije: 0 , xy x D≥ ∈ . Asimptote: 0 lim 0 x y →+ = + , lim x y →+∞ = +∞ , funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( )2 ln 1 lny x x x′ = + , 1 0 1y x x e− ′ = ⇔ = ∨ = . Za ( ) ( )1 0, 1, , 0x e y− ′∈ +∞ >∪ i y , a za ( )1 ,1 , 0x e y− ′∈ < y . ( ) ( )1 2 max min0,14 , 1 0y e e y− − = ≈ = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( )2 2 ln 3ln 1y x x′′ = + + , 0y′′ = ⇔ 3 5 3 5 2 2 1 20,07 0,68x e x e − − − + = ≈ ∨ = ≈ . Za ( )0.07,0.68 , 0x y′′∈ < i y ∩ , a za ( ) ( )0,0.07 0.68, , 0x y′′∈ +∞ >∪ i y ∪ . Funkcija ima dve prevojne tačke: ( ) ( )1 20.07 , 0.03 , 0.68 , 0,07P P . - 195 -
- 205. y x 1 e− 1 1P 2P c) Domen: ( )0,x∈ +∞ . Nule funkcije: x e= . Znak funkcije: Za ( )0, , 0x e y∈ > , a za ( ),x e∈ +∞ , 0y < . Asimptote: ( )2 2 20 0 0 1 2ln lim 1 2ln lim lim 0, L x x x x x x x x−→+ →+ →+ − − = = = + ( )lim , lim lim 1 2ln . x x x y y x x x→+∞ →+∞ →+∞ = −∞ = − = +∞ Funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 4ln ,y x′ = − pa je 0 1y x′ = ⇔ = . Za ( )0,1 ,x ∈ 0y′ > i y , a za ( )1, ,x ∈ +∞ 0y′ < i y . ( )max 1 1y y= = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke ( )4 ln 1y x′′ = − + , 1 0y x e− ′′ = ⇔ = . Za ( )1 0, ,x e− ∈ 0y′′ > i y ∪ , a za ( )1 , ,x e− ∈ +∞ 0y′′ < i y ∩ . ( )1 2 3y e e− − = je prevojna tačka. y xe 1 P - 196 -
- 206. d) Domen ()0,x∈ +∞ . Nule funkcije: 1x = . Znak funkcije: Za ( )0,1 , 0x y∈ < , a za ( )1,x ∈ +∞ , 0y > . Asimptote: 3 3 40 0 0 1 ln 1 lim lim lim 0, lim , 3 3 L x x x x x x x y x x− −→+ →+ →+ →+∞ ⎛ ⎞ = = − = − = +∞⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2 lim lim ln , x x y x x x→+∞ →+∞ = = +∞ pa funkcija nema asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: ( )2 3ln 1 ,y x x′ = + 1 3 0 0,7y x e − ′ = ⇔ = ≈ . Za 1 3 0, ,x e −⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0y′ < i y , a za 1 3 , ,x e −⎛ ⎞ ∈ +∞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0y′ > i y . 31 1 3 3 min 1 ln 0,1. 3 y e e e − −⎛ ⎞ = = ≈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( )6ln 5y x x′′ = + 5 6 0 0,2y x e − ′′ = ⇔ = ≈ . Za 5 6 0, ,x e −⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0y′′ < i y ∩ a za 5 6 ,x e −⎛ ⎞ ∈ +∞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0y′′ > i y ∪ . Prevojna tačka funkcije 5 5 6 2 5 , 6 P e e − −⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . y x3 1 e− 1 P - 197 -
- 207. 7. a) 1 ln 1 y x = − ;b) 1 ln x y x + = ; c) 1 ln 1 ln x y x − = + d) 2 ln 4ln 3y x x= − + . Rešenje: a) Domen: ( ) ( )0 ln 1 0 0 0, ,x x x x e x e e> ∧ − ≠ ⇔ > ∧ ≠ ⇔ ∈ +∞∪ . Nule funkcije: Funkcija nema nula. Znak funkcije: Za ( )0,x e∈ 0y < ,a za ( ),x e∈ +∞ 0y > . Asimptote: 0 lim 0 x y → + = − , lim x e y → ± = ±∞ , pa je prava x e= vertikalna asimptota. lim 0 x y →+∞ = + , pa je prava 0y = horizontalna asimptota funkcije. Intervali monotonosti: i ekstremne vrednosti: ( ) 2 1 ln 1 y x x ′ = − − , 0y′ < , y . Funkcija nema ekstremnih vrednosti. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) 3 ln 1 ln 1 x y x x + ′′ = − , 1 0y x e− ′′ = ⇔ = .Za ( )1 ,x e e− ∈ , 0y′′ < i y ∩ a za ( ) ( )1 0, ,x e e− ∈ +∞∪ , 0y′′ > i y ∪ , pa je 1 1 , 2 P e−⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ prevojna tačka funkcije. y x e P - 198 -
- 208. b) Domen: ()0 ,x ∈ + ∞ . Nule funkcije: 1 x e− = . Znak funkcije: Za ( )1 0,x e− ∈ 0y < , a za ( )1 ,x e− ∈ +∞ , 0y > . Asimptote: 0 lim , lim 0, x x y y →+ →+∞ = −∞ = + pa su prave 0x = , odnosno 0y = vertikalna i horizontalna asimptota. Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti: 2 ln , x y x ′ = − 0 1y x′ = ⇔ = . Za ( )0,1x∈ , 0y′ < i y , a za ( )1,x∈ ∞ , 0y′ > i y . ( )max 1 1y y= = . Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke 3 2ln 1 , x y x − ′′ = pa je 0y x e′′ = ⇔ = . Za ( )0,x e∈ , 0y y′′ < ⇔ ∩ , a za ( ),x e∈ ∞ , 0y y′′ > ⇔ ∪ ( ) 3 2 y e e = . Prevojna tačka je 3 , 2 y e e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . y x 1 e− P 1 c) Domen: ( ) ( )1 1 0, ,x e e− − ∈ +∞∪ . Nule funkcije: x e= . Znak funkcije: Za ( ) ( )1 0, ,x e e− ∈ +∞∪ , 0y < a za ( )1 ,x e e− ∈ 0y > . Asimptote: Prava 1 x e− = je vertikalna, a 1y = − horizontalna asimptota. - 199 -
- 209. Intervali monotonosti iekstremne vrednosti: ( ) 2 2 1 ln y x x − ′ = + , 0y′ < i y . Nema ekstrema. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke: ( ) ( ) 32 2 3 ln , 1 ln x y x x + ′′ = + 3 0y x e− ′′ = ⇔ = . Za ( ) ( )3 1 0, , , 0x e e y− − ′′∈ ∪ +∞ > i y ∪ , a za ( )3 1 , , 0x e e y− − ′′∈ < i y ∩ . Prevojna tačka je ( )3 , 2P e− − . y x1 e− P 1 1− e d) y x 2 e P e - 200 -
- 210. INTEGRALNI RAČUN 1. NEODREĐENIINTEGRALI 2. ODREĐENI INTEGRALI 3. PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA - 201 -
- 211.
- 212. 6. I N TE G R A L I Aristotel (287-212) Problemi kvadrature, kubature i rektifikacije rešavani su od Aristotela do Lajbnica i Njutna uglavnom metodom ekshaustije (iscrpljivanja) i metodom nedeljivih delova (matematički atomizam). Obe metode bazirale su se na beskonačnim sumama i kao takve predstavljale nadahnuće u postepenom i dugotrajnom nastajanju pojma integrala. Njutn i Lajbnic, uz pomoć Dekartovih koordinata, učinili su onaj kvalitativni skok koji se zove otkriće integralnog računa. Tokom 18. i prve polovine 19. veka integralni račun se razvijao pod dominantnim uticajem primena u geometriji, mehanici i fizici. - 203 -
- 213. 6.1.NEODREĐENI INTEGRALI Jedan odosnovnih zadataka diferencijalnog računa je određivanje izvoda ili diferencijala date funkcije. Ako se postavi obrnuti problem, određivanje funkcije kojoj je poznat izvod ili diferencijal, dolazimo do integralnog računa. Pitanja koja sada možemo postaviti i potražiti odgovor su sledeća: • da li svaka funkcija može biti izvod neke druge funkcije, • ako ta funkcija postoji da li je jednoznačna i • ako ta funkcija postoji, kako da je odredimo. Neka je neprekidna funkcija ( )f x definisana na intervalu ( )ba, . Funkcija ( )F x zove se primitivna ili prvobitna funkcija funkcije ( )f x akko je ( ) ( )F x f x′ = ili ( ) ( )d dF x f x x= . Ako je ( )F x primitivna funkcija funkcije ( )f x na intervalu ( )ba, , tada je i bilo koja funkcija oblika ( )F x C+ takođe primitivna funkcija funkcije ( )f x , pri čemu je C proizvoljna konstanta. ( )( ) ( )F x C f x′+ = . 1C 2C 3C Napomena: Primitivna funkcija nije jednoznačno određena već je u pitanju familija krivih koje se međusobom razlikuju za konstantu C . - 204 -
- 214. Primer: Funkcija ( )sinF x x= je primitivna funkcija funkcije ( ) cosf x x= jer je ( )sin cosx C x′+ = , tj. ( )sin cosd x C x dx+ = ⋅ Skup svih primitivnih funkcija funkcije ( )f x na intervalu ( )ba, zove se neodređeni integral i obeležava se: ( )df x x∫ odnosno ( ) ( )df x x F x C= +∫ . Funkcija ( )f x zove se podintegralana funkcija, a sam postupak izračunavanja integrala zove se integracija. Oznaku ∫ za integral, kao skraćenicu od latinske reči integralis, koja znači potpun, uveo je Lajbnic. Oznaka predstavlja modifikovano slovo S koje predstavlja zbir i potiče iz definicije određenog integrala. Primer: cos d sinx x x C= +∫ . OSOBINE NEODREĐENOG INTEGRALA Svaka neprekidna funkcija ( )f x na intervalu ( )ba, ima na tom intervalu primitivnu funkciju ( )F x . Diferencijal neodređenog integrala jednak je podintegralnom izrazu. ( ) ( )d d df x x f x x=∫ , ( )( ) ( )df x x f x ′ =∫ . Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je podintegralnoj funkciji: ( )( ) ( )d f x f x C= +∫ ( ) ( )f x dx f x C′ = +∫ . Nasuprot izračunavanju izvoda koje nije predstavljalo problem ni kod veoma složenih funkcija, ne postoji opšti postupak za izračunavanje primitivne funkcije, - 205 -
- 215. odnosno izračunavanje neodređenogintegrala. Na osnovu uvedenih pravila, tablice integrala i definisanjem specifičnih metoda mogu se izračunati neki tipovi neodređenih integrala. Međutim, postoje relativno jednostavne funkcije čiju je primitivnu funkciju nemoguće odrediti pomoću elementarnih funkcija, mada postoje: (na primer 2 x y e− = , x x y sin = , 1 ln y x = ). OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE Ako funkcije ( )f x i ( )g x imaju primitivne funkcije na nekom intervalu onda važi: ( ) ( )d d , , 0C f x x C f x x C R C⋅ = ⋅ ∈ ≠∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )d d df x g x x f x x g x x± = ±∫ ∫ ∫ . TABLICA OSNOVNIH INTEGRALA ( ) ( ) 1 2 2 2 * 2 2 2 1. d 2. d , 1 1 1 3. d ln 4. d , 0 ln 5. d 6. sin d cos 1 7. cos d sin 8. d tg cos 1 1 9. d ctg 10. d arctg sin 1 1 1 x 1 11 . d arctg 12. d a 1 n n x x x x x x x C x x C n n a x x C a x C a x a e x e C x x x C x x x C x x C x x x C x x C x x x C x ax a x + = + = + ≠ − + = + = + > = + = − + = + = + = − + = + + = + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * * 2 2 2 2 2 2 * 2 2 arcsin 1 1 13 . d arcsin 14 . d ln 1 15 . d ln x C x x C x x x a C aa x x a x a x C x ax a = + = + = + ± + − ± − = + +− ∫ ∫ ∫ - 206 -
- 216. Tablica osnovnih integraladobija se iz tablice osnovnih izvoda. Integrali obeleženi sa * su polutablični integrali. Oni se računaju pomoću osnovne tablice integrala, primenom neke od metoda integracije. Primeri: 3 2 d 3 x x x C= +∫ , zato što je 3 2 3 x C x ′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 3 1 2 2 2 d 3 x x x x dx C= = +∫ ∫ , 3sin d 3 sin 3cosx x x dx x C= = − +∫ ∫ , ( )2 2 32 2 d 2 3 x x x e x x e dx x dx e x C+ = + = + +∫ ∫ ∫ . METODE INTEGRACIJE METODA SMENE U nekim slučajevima i pored toga što znamo da postoji primitivna funkcija funkcije ( )f x ne možemo metodom neposredne integracije izračunati njen neodređeni integral. U ovakvim slučajevima se često koristi metoda smene. Neka je ( )f x složena funkcija promenljive t , tj. ( ) ( )( )f x f g t= . Smenom ( )x g t= gde je funkcija ( )g t neprekidna sa neprekidnim izvodom i inverznom funkcijom ( )1 t g x− = , dobijamo ( ) ( )( ) ( )d df x x f g t g t t′= ⋅∫ ∫ . - 207 -
- 217. Primer: Izračunati 2x+3 dIx= ∫ . Ako uvedemo smenu 2 3x t+ = , diferencijal je 2dx dt= , odnosno 1 2 dx dt= , pa zadati integral postaje tablični integral oblika 3 1 2 32 1 1 1 1 t dt dt 32 2 2 3 2 t t C t C= = ⋅ + = +∫ ∫ . Ako se vratimo na promenljivu x , rešenje zadatog integrala je ( ) 31 2 3 3 I x C= + + . Primer: Izračunati dx x+2 I = ∫ . 2 dt ln ln 2 d t x t I t C x C dx t + =⎧ ⎫ = = = + = + +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ . METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE Neka su ( )u u x= i ( )v v x= diferencijabilne funkcije. Jednakost: d du v uv v u= −∫ ∫ nazivamo formulom parcijalne integracije. Dokaz: Na osnovu formule za diferencijal proizvoda funkcija dobijamo da je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d d d du v u v x u v u v x u v x v u x u v v u′ ′ ′ ′ ′⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + = + . Integracijom ove veze dobijamo ( ) ( )d d du v u v v u⋅ = +∫ ∫ odakle je: ( ) ( )d du v u v v u⋅ = +∫ ili d du v uv v u= −∫ ∫ , pod uslovom da postoji dv u∫ . Napomena: Kod parcijalne integracije najveći praktični problem je odrediti šta je funcija u , a šta je diferencijal dv . U radu, korisno je držati se sledećih pravila : - 208 -
- 218. a) Kod proizvodapolinoma i eksponencijalne funkcije ili trigonometrijske funkcije, u je uvek polinom. b) Kod proizvoda polinoma i logaritamske funkcije ili inverzne trigonometrijske funkcije u je uvek logaritamska funkcija, odnosno inverzna trigonometrijska funkcija. c) Kod proizvoda inverzne trigonometrijske i eksponencijalne funkcije svejedno je šta je u . Primer: Izračunati cos dI x x x= ∫ , d d sin sin d sin cos d cos d , sin u x u x I x x x x x x x C v x x v x = =⎧ ⎫ = = ⋅ − = ⋅ + +⎨ ⎬ = =⎩ ⎭ ∫ . Napomena: Konstanta integracije za funkciju v može se izostaviti i proizvoljnu konstantu dodajemo na kraju postupka integracije. INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA Neka je ( ) ( ) ( ) n m P x f x Q x = racionalna funkcija, gde su n i m stepeni datih polinoma . Ako je n m≥ , tj. funkcija ( )f x neprava racionalna funkcija, tada deljenjem polinoma ( )nP x sa polinomom ( )mQ x , funkciju ( )f x možemo prikazati kao zbir polinoma i prave racionalne funkcije u obliku ( ) ( ) ( ) ( ) . m R x f x P x Q x = + P r i m e r : Izračunati 2 d 1 x I x x = −∫ . - 209 -
- 219. Podintegralnu funkciju možemonapisati u obliku 2 1 1 , 1 1 x x x x = + + − − pa je 2 1 1 d ln 1 . 1 2 x I x x x x C x ⎛ ⎞ = + + = + + − +⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫ Ako je ( ) ( ) ( ) n m P x f x Q x = prava racionalna funkcija ( )n m< tada se ona može rastaviti kao zbir parcijalnih razlomaka oblika ( ) k A x a− , ( )2 k Ax B x bx c + + + pri čemu prvi tip razlomka potiče od realnih, a drugi tip od kompleksnih nula polinoma ( )mQ x u imeniocu funkcije ( )f x . Prema tome, problem se svodi na rešavanje integrala oblika ( ) dk A x x a− ∫ i ( )2 dk Ax B x x bx c + + + ∫ gde su A i B realne konstante koje treba odrediti , k N∈ , a kvadratni trinom 2 x bx c+ + ima konjugovano kompleksno nule. SLUČAJ KADA POLINOM U IMENIOCU IMA REALNE I JEDNOSTRUKE NULE Ako su kod funkcije ( ) ( ) ( ) n m P x f x Q x = realni međusobno različiti brojevi 1 2 3, , , mx x x x nule polinoma ( )mQ x , onda se funkcija ( )f x može napisati u obliku ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 n m m P x f x a x x x x x x = − − − . Ovaj izraz se može rastaviti kao ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 n m m m m P x AA A a x x x x x x x x x x x x = + + + − − ⋅ ⋅ − − − −… , - 210 -
- 220. gde se posleodreživanja koeficijenata 1 2, , mA A A , izračunavanje integrala svodi na zbirova integrala oblika d , 1k k A x k m x x ≤ ≤ −∫ . Primer: 2 3 d x I x x x + = −∫ Rastavićemo podintegralnu funkciju na parcijalne razlomke ( )2 3 3 1 1 x x A B x x x x x x + + = = + − − − . Metodom neodređenih koeficijenata odredićemo nepoznate koeficijente A i B . Iz predhodne veze, uklanjanjem razlomaka dobijamo: ( ) ( )3 1 3 3x A x Bx x Ax A Bx x A B x A+ = − + ⇔ + = − + ⇔ + = + − . Upoređujući koeficijente uz promenljive sa leve i desne strane jenakosti, dobijamo sistem jednačina 1A B+ = i 3A− = . Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo tražene koeficijente, tj. 3, 2A B= − = . Traženi integral je: 3 2 3ln 2ln 1 1 dx x x C x x ⎛ ⎞ − + = − + − +⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫ . Napomena: Koeficijente A i B mogli smo izračunati ako redom zamenimo vrednosti 0, 1x x= = u jednakost ( )3 1x A x Bx+ = − + . Za 0x = , dobijamo 3A = − , za 1x = , dobijamo 2B = . SLUČAJ KADA POLINOM U IMENIOCU IMA I VIŠESTRUKE NULE Ako su kod funkcije ( ) ( ) ( ) n m P x f x Q x = nule polinoma ( )mQ x višestruke, 1x x= reda 1k , 2x x= reda 2k ... mx x= reda mk , onda se funkcija ( )f x može napisati u obliku: - 211 -
- 221. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 11 1 2 2 2 1 22 2 1 .m m k k k k m m m k k mm m A B C f x x xx x x x A B C x xx x x x A B B x xx x x x − − − = + + + + −− − + + + + + −− − + + + + −− − Integral se svodi na izračunavanje zbira integrala . Primer: ( )2 1 dx I x x = −∫ Kako je 0x = dvostruka nula imenioca, njoj odgovaraju dva parcijalna razlomka: ( )2 2 1 1 1 A B C x x x x x = + + − − , 2 1 ( 1) ( 1)Ax x B x Cx= − + − + , ( ) ( )2 1 A C x A B x B= + + − + − , 1, 1, 1A B C= − = − = , 1 ln ln 1I x x C x = − + + − + . SLUČAJ KADA POLINOM U IMENIOCU IMA I KOMPLEKSNE NULE Ako su kod funkcije ( ) ( ) ( ) n m P x f x Q x = nule polinoma ( )mQ x komleksne bez višestrukosti, onda se funkcija ( )f x može napisati u obliku ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 1 1 2 2 n m m P x f x x a x b x a x b x a x b = + + + + + + . Ovaj izraz se može rastaviti kao ( ) 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 m m m m A x BA x B A x B f x x a x b x a x b x a x b ++ + = + + + + + + + + , Integrali oblika 2 d Ax B x x bx c + + +∫ se rešavaju metodom smene. - 212 -
- 222. Primer: ( )2 1 1 x I dx xx − = +∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 , 1 1 , 11 1 , 1, 1 , 1. x A Bx C x A x Bx C x x xx x x x A B Cx A A C B − + = + − = + + + ++ − = + + + = − = = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln 1 . 2 dx x dx x dx I dx dx x x x x x x x arctgx C + = − + = − + + + + + = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ - 213 -
- 223. ZADACI Izračunati sledeće integrale: 1.a) dx I x = ∫ ; b) ( )3 4 3 5 8 dI x x x x= + − +∫ ; c) 3 d x x x I x x ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ; d) 2 2 d 1 x I x x = +∫ . Rešenje: a) 1 1 2 2 d 2 1 2 x I x x C x C − = = + = +∫ ; b) 1 3 3 2 4 d 3 d 5 d 8d 5 d 3 d 5 d 8 dI x x x x x x x x x x x x x x= + − + = + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 34 2 32 4 2 3 10 4 3 5 8 8 14 2 2 31 2 x x x x x C x x x C + = ⋅ + ⋅ − ⋅ + + = + − + + + ; c) 21 112 11 332 3 32 2 2 d 3 1 2 31 1 2 3 x x I x x x C x x C − ++ −⎛ ⎞ = + = + + = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − + ∫ ; d) 2 2 2 1 1 1 d 1 d arctg 1 1 x I x x x x C x x + − ⎛ ⎞ = = − = − +⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ∫ ∫ . 2. a) 2 tg dI x x= ∫ ; b) 2 2 d sin cos x I x x = ⋅∫ ; c) 2 2 cos2 d sin cos x I x x x = ⋅∫ ; d) 2 sin cos d 2 2 x x x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . Rešenje: a) 2 2 2 2 2 sin 1 cos 1 d d 1 d tg cos cos cos x x I x x x x x C x x x − ⎛ ⎞ = = = − = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ; - 214 -
- 224. b) 2 2 2 22 2 sin cos 1 1 d d tg ctg sin cos cos sin x x I x x x x C x x x x + ⎛ ⎞ = = + = − +⎜ ⎟ ⋅ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ; c) 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 1 d d ctg tg sin cos sin cos x x I x x x x C x x x x − ⎛ ⎞ = = − = − − +⎜ ⎟ ⋅ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ; d) ( )2 2 sin 2sin cos cos d 1 sin d cos 2 2 2 2 x x x x I x x x x x C ⎛ ⎞ = + + = + = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . 3. a) 23 2 2 sin 3 d 1 x I x e x xx ⎛ ⎞ = + − −⎜ ⎟+⎝ ⎠ ∫ ; b) 2 2 2 3 4 d 1 1 I x x xx ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ + −⎝ ⎠ ∫ ; c) 2 2 d cos x x e I e x x − ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ; d) 2 5 4cos d 9 9 I x x x ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫ . Rešenje: a) 1 2 3 3 2 2 2 sin 3 d 3 cos 3 2arc 1 x x I x x e x x x e tgx C x −⎛ ⎞ = + − − = − − − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ ; b) 2arctg 3arcsin 4lnI x x x C= − + + ; c) 2 1 2 d 2 tg cos x x I e x e x C x ⎛ ⎞ = + = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ; d) 2 5 5 4cos d 4sin arcsin 33 1 I x x x x C x ⎛ ⎞ = − = − +⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫ . 4. a) 2 sin d x x x e e x I x e + = ∫ ; b) 4 d 2 x I x x − = + ∫ ; c) 2 18 2 d 3 1 x I x x − = −∫ ; d) ( )( )1 1 dI x x x x= + − +∫ . - 215 -
- 225. Rezultat: a) cosx I ex C= − + ; b) 2 2 3 I x x x C= − + ; c) 2 3 2I x x C= + + ; d) 2 2 5 x x I x C= + + . Rešiti sledeće integrale metodom smene: 5. a) ( ) 8 5 2 dI x x= −∫ ; b) d 3 1 x I x = +∫ ; c) ( ) 22 3 3 dI x x x= +∫ ; Rešenje: a) ( ) 9 985 2 1 1 1 d 4 2 2 d 2 2 9 19 x t t I t t C x C dx t − =⎧ ⎫ = = − = − ⋅ + = − − +⎨ ⎬ − =⎩ ⎭ ∫ ; b) 3 1 1 d 1 1 ln ln 3 1 3d d 3 3 3 x t t I t C x C x t t + =⎧ ⎫ = = = + = + +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ c) ( ) 3 3 32 3 2 3 1 1 1 d 3 3 3 3 93 d d x t t I t t C x C x x t ⎧ ⎫+ = = = = ⋅ + = + +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ . 6. a) 2 d 1 x I x x = +∫ ; b) ( ) 22 d 1 x I x x = + ∫ ; c) 2 2 3 d 3 1 x I x x x + = + −∫ . Rešenje: a) 2 21 1 d 1 1 ln ln 1 2 2 22 d d x t t I t C x C tx x t ⎧ ⎫+ = = = = = + = + +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ ; b) ( ) 2 2 2 2 1 1 d 1 1 1 1 d 2 2 22 d d 2 1 x t t I t t C C t tx x t x −⎧ ⎫+ = = = = = − ⋅ + = − +⎨ ⎬ = +⎩ ⎭ ∫ ∫ ; c) ( ) 2 2 3 1 d ln ln 3 1 2 3 d d x x t t I t C x x C tx x t ⎧ ⎫+ − =⎪ ⎪ = = = + = + − +⎨ ⎬ + =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ . 7. a) 2 3 9 dI x x x= −∫ ; b) 3 3dI x x x= −∫ ; c) ( ) 3 2 d x I x x + = ∫ . - 216 -
- 226. Rešenje: a) ( ) 3 31 32 32 2 9 1 1 1 2 2 d d 9 3 3 3 3 93 d d x t t I t t t t C x C x x t ⎧ ⎫− =⎪ ⎪ = = = = ⋅ + = − +⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ; b) ( ) ( ) 3 3 3 3 6 3 2 3 , 3 3 3 3 3 3 x t x t I t t dt t t dt dx t dt ⎧ ⎫− = = +⎪ ⎪ = = + ⋅ = + =⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) ( ) 7 4 7 4 3 33 9 3 3 2 2 7 4 7 4 t t C x x C ⎛ ⎞ = + ⋅ + = − + − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; c) ( ) 4 3 4 2 2 1 2 d 2d 4 2d 2 x t I t x t C x Cx t x ⎧ ⎫+ = ⎪ ⎪ = = = + = + +⎨ ⎬ =⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ . 8. a) 2 dx I e x= ∫ ; b) 3 2 dx I e x x− = ∫ ; c) d x e I x x = ∫ ; d) d 1 x x e I x e = +∫ . Rešenje: a) 22 1 1 1 d 2d d 2 2 2 t t xx t I e t e C e C x t =⎧ ⎫ = = = + = +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ ; b) 3 3 2 1 1 d 3 33 d d t xx t I e t e C x x t − ⎧ ⎫− =⎪ ⎪ = = − = − +⎨ ⎬ − =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ; c) 2 d 2 2d d 2 t t x x t I e t e C e Cx t x ⎧ ⎫= ⎪ ⎪ = = = + = +⎨ ⎬ =⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ; d) 1 d ln ln 1 d d x x x e t t I t C e C te x t ⎧ ⎫+ = = = = + = + +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ . 9. a) 2 ln d x I x x = ∫ ; b) 1 d ln ln(ln ) I x x x x = ⋅ ⋅∫ . - 217 -
- 227. Rešenje: a) 3 3 2 ln ln dd 3 3d xt t x I t t C Cx t x =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = = + = +⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ; b) ( ) ln ln d d ln ln ln ln ln lnd d lnd d x t t s t s I s C t C xx t t t st s x t = =⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = = = = | | + = | | + = | |⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ∫ ∫ Dokazati a) d 1 ln , 0 x bx a C b bx a b = + + ≠ +∫ ; b) 1 d , 0ax ax e x e C a a = + ≠∫ ; c) 1 sin d cos , 0ax x ax C a a = − + ≠∫ ; d) 1 cos d sin , 0ax x ax C a a = + ≠∫ . Rešenje a) d 1 d 1 1 ln ln , 01 d bx a t x t t C bx a C b bx a b t b bdx t b + =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = = + = + + ≠⎨ ⎬ + =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ; b) 1 1 d d1 d d ax t ax ax t e x e t e C a ax t a =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = = +⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ; primeri pod c) i d) se dokazuju istom smenom kao u predhodnom slučaju. Napomena: Rezultate ovih integrala korisno je znati i koristi u rešavanju složenijih integrala. Često ih nazivamo polutablični integrali. 10. a) ( )1 dx I e x− = +∫ ; b) ( )2 dx x I e e x− − = +∫ ; c) ( )sin 2 cos3 dI x x x= +∫ . Rešenje a) x I e x C− = − + + ; b) 21 2 x x I e e C− − = − − + ; - 218 -
- 228. c) 1 1 cos2 sin3 23 I x x C= − + + . 11. a) 3 sin cos dI x x x= ∫ ; b) tg dI x x= ∫ ; c) 2 2 d sin 2 x I x x = ∫ ; d) sin d 1 3cos x I x x = +∫ . Rešenje: a) 3 4 4sin 1 1 d sin cos d d 4 4 x t I t t t C x C x x t =⎧ ⎫ = = = + = +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ ; b) cossin d d sin d dcos x tx t I x x x tx t =⎧ ⎫ = = = −⎨ ⎬ − =⎩ ⎭ ∫ ∫ 1 ln ln cos ln cos t C x C C x = − | | + = − | | + = + | | ; c) 2 2 2 2 1 d 1 1 ctg ctg2 4 sin 4 44 d d x t t I t C x C tx x t ⎧ ⎫= = = = − + = − +⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ ; d) 1 3cos 1 d 1 1 ln ln 1 3cos 3sin d d 3 3 3 x t t I t C x C x x t t + =⎧ ⎫ = = − = − + = − + +⎨ ⎬ − =⎩ ⎭ ∫ ; 12. a) 2 sin dI x x= ∫ ; b) 4 cos dI x x= ∫ ; Rešenje a) ( ) 1 1 1 1 cos2 d sin 2 2 2 2 I x x x x C ⎛ ⎞ = − = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ; b) ( ) ( ) 2 22 21 cos2 1 cos d d 1 2cos2 cos 2 d 2 4 x I x x x x x x +⎛ ⎞ = = = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 1 1 cos4 1 1 1 1 2cos2 d sin2 sin4 4 2 4 2 4 3 1 1 sin2 sin4 . 8 4 32 x x x x x x x C x x x C + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + + + ∫ - 219 -
- 229. 13. a) 3 sin dIx x= ∫ ; b) 3 3 sin cos dI x x= ⋅∫ . Rešenje: a) ( )2 2 cos sin sin d 1 cos sin d sin d d x t I x x x x x x x x t =⎧ ⎫ = = − = ⎨ ⎬ − =⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) 3 3 2 cos 1 d cos 3 3 t x t t t C x C= − − = − + + = − + +∫ ; b) ( ) ( )3 2 3 2sin sin 1 sin cos d 1 d cos d d x t I x x x x t t t x x t =⎧ ⎫ = − = = −⎨ ⎬ =⎩ ⎭ ∫ ∫ 4 6 4 6 sin sin 4 6 4 6 t t x x C C= − + = − + . 14. a) d sin x I x = ∫ ; b) ) 2 d arcsin 1 x I x x = − ∫ ; c) 2 1 1 ln d 1 1 x I x x x + = − −∫ . Rešenje: a) 2 2 cos d 1 d2 d 22sin cos 2sin cos tg cos 2 2 2 2 2 2 x x x I x x x x x x x = = =∫ ∫ ∫ 2 tg 2 d ln ln tgd d 2 2cos 2 x t t x t C Cx t t x ⎧ ⎫ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = = + = +⎨ ⎬ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ; b) 2 arcsin d ln ln arcsin1 d d 1 x t t I t C x C x t t x =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = = + = +⎨ ⎬=⎪ ⎪ −⎩ ⎭ ∫ ; c) 2 2 2 1 ln 1 1 1 11 d ln 2 2 4 4 1 d d 1 x t xx I t t t C C x t x x +⎧ ⎫ =⎪ ⎪ +⎪ ⎪− = = = + = +⎨ ⎬ −⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ∫ . - 220 -
- 230. 15. a) d 1x x I e = − ∫ ;b) ( ) arctg d 1 x I x x x = + ∫ ; c) 2 d , 1 1 x I x x x = > − ∫ . Rešenje: a) 2 2 2 2 1 , 1 d 2 2arctg 2arctg 12 d 1d 2 d ,d 1 x x x x e t e t t I t C e Ct t te x t t x t ⎧ ⎫− = = + ⎪ ⎪ = = = + = − +⎨ ⎬ += =⎪ ⎪ +⎩ ⎭ ∫ ; b) 2 2 arctg arctg 2 d dd 1 dd ,d 2 d 12 t sx t t I t tx t st x t t tx ⎧ ⎫ == ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ + == =⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎩ ⎭⎩ ⎭ ∫ 2 22 2 d arctg arctgs s s C t C x C= = + = + = +∫ ; c) 2 2 22 1 d d 1 arcsin arcsin 11 1d d1 t x tx I t C C xtx tx xx ⎧ ⎫ =⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = − = − + = − +⎨ ⎬ −⎪ ⎪− =− ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 1 1 arcsin arcsin . 1 C C t x = − + = − + − Dokazati a) 2 2 d 1 arctg 0 x x C a x a a a = + ; ≠ + ∫ . b) 2 2 d arcsin 0 x x C a aa x = + ; > − ∫ Rešenje: a) 22 2 2 2 d 1 d 1 d 1 1 arctg arctg 1 d d1 x tx x t x t Ca a x a a t a a ax x a t a ⎧ ⎫ =⎪ ⎪ = = = = + = +⎨ ⎬ + +⎛ ⎞ ⎪ ⎪=+ ⎩ ⎭⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ b) - 221 -
- 231. 2 2 22 d 1 d d arcsin arcsin 1d d1 x tx x t x t Ca a aa x tx x a t a ⎧ ⎫ =⎪ ⎪ = = = = + = +⎨ ⎬ − −⎪ ⎪⎛ ⎞ =⎩ ⎭−⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 16. a) 2 d 7 5 x I x = +∫ ; b) 4 d 2 x I x x = +∫ ; c) 2 cos d 4 sin x x I x = +∫ ; d) d x x x I e e− = +∫ ; e) 4 2 d 2 5 x I x x x = + +∫ . Rešenje: a) 2 2 d 1 d 1 1 1 2 arctg arctg 77 2 2 2 77 7 14 2 2 2 x x x I C x C x x = = = ⋅ + = ⋅ + + + ∫ ∫ ; b) 22 2 1 d 1 1 arctg arctg 2 2 4 2 22 d d x t t x I t C C tx x t ⎧ ⎫= ⎛ ⎞ = = = + = +⎨ ⎬ ⎜ ⎟ += ⎝ ⎠⎩ ⎭ ∫ ; c) 2 sin d 1 1 sin arctg arctg cos d d 4 2 2 2 2 x t t t x I C C x x t t =⎧ ⎫ = = = + = +⎨ ⎬ = +⎩ ⎭ ∫ ; d) 2 d arctg arctg 1d d x x x e t t I t C e C te x t ⎧ ⎫= = = = + = +⎨ ⎬ +=⎩ ⎭ ∫ ; e) ( ) 2 24 2 2 1 d 1 d d 2 5 2 2 5 22 d d 1 4 x tx t t I x x x t tx x t t ⎧ ⎫= = = = =⎨ ⎬ + + + += + +⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 1 arctg arctg 4 2 4 2 t x C C + + = + = + . 17. a) 2 d 3 4 x I x = − ∫ ; b) 2 cos d 2 sin x I x x = − ∫ ; c) 2 6 3 d 1 x I x x = − ∫ . Rešenje: - 222 -
- 232. a) 2 2 1 d 12 arcsin 2 2 33 2 x x I C x = = + ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ; b) 2 sin d sin arcsin arcsin cos d d 2 22 x t t t x I C C x x t t =⎧ ⎫ = = = + = +⎨ ⎬ = −⎩ ⎭ ∫ ; c) 3 3 2 2 d arcsin arcsin 3 d d 1 x t t I t C x C x x t t ⎧ ⎫= = = = + = +⎨ ⎬ = −⎩ ⎭ ∫ . Dokazati 2 2 2 2 d ln x x x a C x a = + ± + ± ∫ . Rešenje: Oba integrala rešavamo Ojlerovim smenama. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , d d , 2 2 2 t a t a t a a x t x x x t a t t t t − + + + = − ⇔ = = + = 2 2 2 2 2 2 22 2 d 1 d d ln ln 2 2 x t a t t t C x a x C t a t ta x t + = ⋅ = = + = + + + ++ ∫ ∫ ∫ . 18. a) 2 d 9 4 x I x = + ∫ ; b) 2 3 d 4 x I x x + = − ∫ ; c) 2 d 5 1 x I x = − ∫ . Rešenje: a) 2 2 2 1 d 1 9 1 1 ln ln 9 4 2 2 4 2 29 4 x I x x C x x C x = = ⋅ + + + = ⋅ + + + + ∫ ; b) 2 2 2 2 2 2 43 d d 3ln 4 d d4 4 4 x tx x I x x x x x x t tx x x ⎛ ⎞ ⎧ ⎫− = = + = + + − = ⎨ ⎬⎜ ⎟ =− − − ⎩ ⎭⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 2 2 2 d 3ln 4 3ln 4 4 3ln 4t x x t x x C x x x C+ + − = + + − + = − + + − +∫ c) 21 1 ln 55 I x x C= + − + . - 223 -
- 233. Dokazati: 2 2 d1 ln 2 x x a C a x ax a −= + +−∫ . Rešenje: ( )( )2 2 1 1d d 1 d 2 x x x ax a x ax a x a x a ⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟− −− − +⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ( )1 1ln ln ln . 2 2 x ax a x a C C a a x a −= − − + + = + + 19. a) 2 d 5 4 x I x = −∫ ; b) 2 d 7 x I x = −∫ . Rešenje: a) 2 5 1 d 1 1 1 2 52ln ln 54 4 5 5 4 5 2 5 2 4 2 2 x x x I C C xx x + + = = ⋅ + = ⋅ + −− ⋅ − ∫ ; b) 1 7 ln 2 7 7 x I C x − = + + . 20. a) 2 d 17 2 x I x x = + +∫ ; b) 2 d 2 3 x I x x = + +∫ ; c) 2 d 5 6 x I x x = − +∫ . Rešenje: a) ( ) 22 2 1d d d d2 1 16 1 4 x tx x I x tx x x + =⎧ ⎫ = = = ⎨ ⎬ =+ + + + + ⎩ ⎭ ∫ ∫ 2 2 d 1 1 1 arctg arctg ; 4 4 4 4 4 t t x C C t + = = + = + +∫ b) ( ) 2 2 1d d 2 2 1 arctg arctg d d 2 2 22 21 2 x tx t t x I C C x t tx + =⎧ ⎫ + = = = = + = +⎨ ⎬ = ++ + ⎩ ⎭ ∫ ∫ c) 1 5 ln 4 1 x I C x − = + − . - 224 -
- 234. 21. a) 2 d 27 6 x I xx = − + ∫ ; b) 2 d 2 6 5 x I x x = − + ∫ ; c) 2 d 1 x x x e I x e e = + + ∫ ; d) 2 d 1 4ln ln x I x x x = − − ∫ . Rešenje: a) ( ) 2 2 3d d 3 arcsin arcsin d d 6 63636 3 x tx t t x I C C x t tx − =⎧ ⎫ − = = = = + = +⎨ ⎬ = −⎩ ⎭− − ∫ ∫ b) 2 2 2 1 d 1 d 1 3 2 6 5 ln 2 22 5 2 23 13 2 2 4 x x x x I x C x x x − + = = = − + + ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ c) 2 2 2 1 d d d 2 d d 31 1 3 d d 42 4 x x t ue t t t t I e x t t t t u ut ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ + == ⎪ ⎪ = = = = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = + +⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎛ ⎞ = +⎩ ⎭+ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 2 2 23 1 1 3 1 ln ln ln 1 4 2 2 4 2 x x x u u C t t C e e e C ⎛ ⎞ + + + = + + + + + = + + + + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d) ( ) 2 2 ln d d 2 ln 2 arcsin arcsind d 5 51 4 5 2 x t t t t x I Cx t t t tx =⎧ ⎫ + +⎪ ⎪ = = = = + =⎨ ⎬ = − −⎪ ⎪ − +⎩ ⎭ ∫ ∫ Integrali oblika ( )sin ,cosR x x dx∫ , gde je R racionalna funkcija rešavaju se smenom 2 x tg t= , gde je 2 2 2 2 2 1 2 sin ,cos , 1 1 1 t t dt x x dx t t t − = = = + + + . - 225 -
- 235. 2 2 2 2 2 22 2 cos sin 1 12 2 2cos 1cos sin 1 2 2 2 x x x tg t x x x x ttg − − − = = = ++ + , 2 2 2 2 2sin cos 2 22 2 2sin 1sin cos 1 2 2 2 x x x tg t x x x x ttg = = = ++ + , 2 , , 2 2 2 1 x x dt tg t arctgt dx t = = = + . Izračunati integrale: 22. a) sin dx I x = ∫ ; b) cos dx I x = ∫ ; c) 1 sin dx I x = −∫ ; d) 1 5 sin 3cos I dx x x = + +∫ . Rešenje: a) 2 2 2 1 ln ln 2 2 1 dt dt xtI t C tg C t t t += = = + = + + ∫ ∫ ; b) ln ln2 sin 2 2 4 sin 2 x tdx dt t x I tg C tg C t x dx dt π π π ⎧ ⎫ + =⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = = = = + = + +⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎪ ⎪+ =⎜ ⎟ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ; c) ( ) 2 22 2 2 2 21 2 2 2 2 1 111 1 1 2 dt dttI dt C C t xt t tt tg t += = = = − + = + − + −−− − + ∫ ∫ ∫ ; d) 2 22 2 2 2 1 2 2 1 1 4 1 155 3 1 1 2 4 dt dt dt I t t t t t t t t = ⋅ = = − + + + ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ - 226 -
- 236. 1 2 1 2 22 1 22 2 15 15 15 15 15 15 2 x t tg t arctg C arctg C arctg C + + + = + = + = + . 23. a) 3 5 cos dx I x = +∫ ; b) 2 sin 2 cos x I dx x − = +∫ ; c) sin 1 sin x I dx x = −∫ ; d) 1 5 4sin 3cos I dx x x = − +∫ . Rešenje: a) 2 2 22 1 2 11 2ln ln 2 4 4 2 41 23 5 221 x tg dt ttI dt C C xt tt tg t + ++= = = + = + − −− −+ ⋅ + ∫ ∫ ; b) ( )( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 11 4 1 1 1 3 2 1 t dt t ttI dt t t t t t − − ++= ⋅ = = − + + + + + ∫ ∫ ( )( ) 2 2 22 2 1 1 1 , , 0, , 1 1 3 2 21 3 t t At B Ct D A B C D t tt t ⎧ ⎫− + + +⎪ ⎪ = + = − = = =⎨ ⎬ + ++ +⎪ ⎪⎩ ⎭ , ( )2 2 2 2 2 2 2 4 2 ln 1 4 1 3 3 3 t t t dt I dt dt t dt t t t t + = − + = − + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ . ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 4 ln 1 ln 3 ln 13 3 3 3 t t t t t arctg C arctg C t + = − + + + + + = + + + 2 2 2 3 42 2ln ; 3 31 2 x x tg tg arctg C x tg + = + + + c) 1 cos I x tgx C x = − + + + ; d) 1 2 2 I C x tg = + − . Integrali oblika 2 2 (sin ,cos )n m R x x dx∫ rešavaju smenom tgx t= - 227 -
- 237. 2 2 2 2 22 1 cos ,sin , 1 1 1 t dt x x dx t t t = = = + + + 24. a) 2 1 3sin dx I x = +∫ ; b) 2 2 4cos 9sin dx I x x = +∫ ; c) 2 2 4 3cos 5sin dx I x x = − +∫ ; d) 4 cos dx I x = ∫ . Rešenje: a) ( ) ( )22 22 2 1 1 2 11 4 4 23 1 1 41 dt dt dt I arctg tgx C tt tt t = = = = + +⎛ ⎞ ++ +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ; b) 2 2 2 2 2 1 3 3 1 31 1 4 9 9 2 2 6 2 4 9 1 1 dt dt t tgxtI arctg C arctg C t t t t += = = ⋅ + = ⋅ + + + + + ∫ ∫ ; c) ( ) 2 2 2 2 2 1 11 3 3 3 5 9 1 3 3 4 1 1 dt dttI arctg t C arctg tgx C t t t t += = = + = ⋅ + + − + + + ∫ ∫ ; d) ( ) 2 2 3 3 24 2 1 11 1 cos 3 31 1 dt dx tI t dt t t C tgx tg x C x t += = = + = + + = + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ . Integrali oblika ( )R tgx dx∫ rešavaju smenom tgx t= , x arctgt= i 2 1 dt dx t = + . 25. a) 1 2 dx I tg x = +∫ ; b) 2 I tg xdx= ∫ ; c) 3 I ctg x dx= ∫ ;d) ( ) 3 I tgx ctgx dx= +∫ . - 228 -
- 238. Rešenje: a) ( )( ) 2 2 2 1 211 ln 2 1 ln cos 1 2 5 5 51 2 1 dt xtI dt tg x x C t t t += = = + + + + + + + ∫ ∫ ; b) 2 2 2 1 1 1 1 t I dt dt t arctgt C tgx x C t t ⎛ ⎞ = = − = − + = − +⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ∫ ∫ ; c) 21 ln sin 2 I ctg x x C= − − + ; d) ( )2 21 2ln 2 I tg x ctg x tgx C= − + + . Rešiti integrale metodom parcijalne integracije: 27. a) dx I xe x= ∫ ; b) sin dI x x x= ∫ ; c) 2 dx I x x− = ⋅∫ ; d) 2 d sin x I x x = ∫ . Rešenje: a) , d d d d d , x x x x x x u x u x I x e e x x e e C v e x v e = =⎧ ⎫ = = ⋅ − = ⋅ − +⎨ ⎬ = =⎩ ⎭ ∫ ; b) , d d cos cos d cos sin d sin d , cos u x u x I x x x x x x x C v x x v x = =⎧ ⎫ = = − ⋅ + = − ⋅ + +⎨ ⎬ = = −⎩ ⎭ ∫ c) 2 , d d 2 1 2 2 2 d1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2d 2 d , 2 ln 2 x x x x x x u x u x x x I x C v x v − − − − − − = =⎧ ⎫ ⋅ ⋅⎪ ⎪ = = − + = − − +⎨ ⎬ = = −⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ d) 2 , d d cos ctg ctg d ctg d1 sind d , ctg sin u x u x x I x x x x x x x xv x v x x = =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = − ⋅ + = − ⋅ +⎨ ⎬ = = −⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ctg ln sin .x x x C= − ⋅ + + 28. a) 2 cos dI x x x= ∫ ; b) 2 dx I x e x= ∫ ; - 229 -
- 239. c) ( )22 2 dx I x x e x= + +∫ ; d) ( )2 5 6 cos2 dI x x x x= + +∫ . Rešenje: a) 2 2 2, d 2 d sin 2 sin d sin 2 d cos d , sin u x u x x I x x x x x x x J v x x v x ⎧ ⎫= = = = − = −⎨ ⎬ = =⎩ ⎭ ∫ 2 , d d cos cos d cos sin d sin d , cos sin 2 cos 2sin ; u x u x J x x x x x x x v x x v x I x x x x x C = =⎧ ⎫ = = − + = − +⎨ ⎬ = = −⎩ ⎭ = + − + ∫ Napomena: U ovakvim primerima parcijalna integracija se ponavlja onoliko puta koliki je stepen polinoma. b) 2 2 2, d 2 d 2 d 2 d d , x x x x x u x u x x I x e xe x x e J v e x v e ⎧ ⎫= =⎪ ⎪ = = − = −⎨ ⎬ = =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ 2 , 2 2 ;x x x x x J xe e I x e xe e C= − = − + + c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , d 2 1 d 1 1 2 2 1 d1 2 2d d , 2 x x x x u x x u x x I x x e x e x v e x v e ⎧ ⎫= + + = + ⎪ ⎪ = = + + − +⎨ ⎬ = =⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ( )2 21 1 2 ; 2 2 x x x e J= + + − ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 , d 2d 1 1 1 2 1 d 2 11 2 2 2d d , 2 x x x x x x x u u x J x e e x x e e v e x v e + = =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = + − = + −⎨ ⎬ = =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 1 2 2 4 4 2 x x x x I x x e x e e C x e C= + + − + + + = + + ; d) ( ) ( )21 1 2 10 11 sin 2 2 5 cos2 4 4 I x x x x x C= + + + + + . 29. a) ln dI x x= ∫ ; b) arctg dI x x= ∫ ; c) arcsin dI x x= ∫ ; d) ( )2 ln 1 dI x x= +∫ . - 230 -
- 240. Rešenje: a) 1 ln , dd 1 ln d ln d d , u x u x I x x x x x x x Cx x v x v x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ = = − ⋅ = − +⎨ ⎬ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ∫ ; b) ( )22 2 d arctg , d 1 arctg d arctg ln 11 1 2 d d , x u x u x I x x x x x xx x v x v x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ = = ⋅ − = − ++⎨ ⎬ +⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ∫ c) 2 2 d arcsin , d arcsin d arcsin1 1 d d , x u x u x I x x x x x Jx x v x v x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ = = ⋅ − = ⋅ −−⎨ ⎬ −⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ∫ 2 1 1 22 2 2 1 1 d 1 22 d d arcsin 1 ; x t J t t t x C x x t I x x x C −⎧ ⎫− = = = − = − = − − +⎨ ⎬ − =⎩ ⎭ = ⋅ + − + ∫ d) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 ln 1 , d d ln 1 2 d1 1 d d , x u x u x x I x x xx x v x v x ⎧ ⎫ = + =⎪ ⎪ = = + −+⎨ ⎬ +⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ∫ ( ) ( )2 2 2 1 ln 1 2 1 d ln 1 2 2arctg . 1 x x x x x x x C x ⎛ ⎞ = + − − = + − + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ 30. a) sin dx I e x x= ∫ ; b) cos dx I e x x= ∫ ; Rešenje: a) , d d sin d cos cos d d sin d , cos x x x x xu e u e x I e x x e x e x x v x x v x ⎧ ⎫= = = = = − + =⎨ ⎬ = = −⎩ ⎭ ∫ ∫ , d d cos sin sin d d cos d , sin cos sin x x x x x x x u e u e x e x e x e x x v x x v x e x e x I ⎧ ⎫= = =− + − =⎨ ⎬ = =⎩ ⎭ =− + − ∫ - 231 -
- 241. ( )( )1 2cos sin sin cos 2 x x x I e x e x C I e x x C= − + + ⇔ = − + ; b) ( )( )1 sin cos 2 x I e x x C= + + ; 31. a) arctg dI x x x= ⋅∫ ; b) 2 arctg d x I x x = ∫ ; c) arcsin dI x x x= ⋅∫ ; d) 2 3 dx I x e x− = ∫ . Rešenje: a) ( )( ) 2 22 22 2 2 2 2 1 arctg , d d 11 arctg d 2 2 1 d d , 2 1 1 1 1 arctg 1 d arctg arctg 2 2 1 2 2 2 1 1 arctg ; 2 u x u x x xx I x x xx v x x v x x x x x x x C x x x x C ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪+ = = −⎨ ⎬ +⎪ ⎪= = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎛ ⎞ = − − = − + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ = + − + ∫ ∫ b) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 d , d arctg d arctg 11 d 1 11 d , arctg 1 arctg ln ln 1 ln ; 2 1 x u arctgx u x x x xx I x x x x xx x v v x x xx x x x C C x x x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎛+ = = − + = − + −⎨ ⎬ ⎜ ++ ⎝⎪ ⎪= = − ⎪ ⎪⎩ ⎭ = − + − + + = − + + + ∫ ∫ c) ( )( )2 21 2 1 arcsin 1 4 x x x x C− + − + ; d) 2 2 1 2 xx e C−+ − + . - 232 -
- 242. 32. a) 2 1dI x x= +∫ ; b) 2 2 dI x a x= ±∫ ; c) ( )2 ln 1 dI x x x= −∫ ; d) 2 2 ln d x I x x = ∫ . Rešenje: a) 2 2 22 2 d 1 , d d 11 1 d d , x x u x u x x I x xx x v x v x ⎧ ⎫ = + =⎪ ⎪ = = + − =+⎨ ⎬ +⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 d 1 d 1 1 1 x x x x x x x x x x x ⎛ ⎞+ − + = + − = + − + =⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 d ln 1 1 ln 1 1 2 1 ln 1 1 ln 1 ; 2 2 x x x x x x x x I x x x I x x x x I x x x C = + − + + + + = + − + + + = + + + + ⇔ = + + + + + ∫ b) 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a x x a C± + + ± + ; c) ( ) ( )2 2 21 1 1 ln 1 2 2 I x x x C= − − − + ; d) ( )21 ln 2ln 2I x x C x = − + + + . 33. a) dx I e x= ∫ ; b) 1 3 d x e I x x = ∫ ; c) 2 ln d x x x∫ ; d) 2 arcsin d 1 x x I x x = − ∫ . Rešenje: a) ( ) ( ) 2 , 2 d 2 2 1 ; d 2 d t t t xx t x t I te t te e C e x C x t t ⎧ ⎫= =⎪ ⎪ = = = − + = − +⎨ ⎬ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ - 233 -
- 243. b) 1 1 11 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 , d d 1 d d d d , d x x x x x x x x u u x x xe e e e I x x e x x x x xe e v x v x e x x ⎧ ⎫ = = −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⋅ = = − − = − + +⎨ ⎬ ⎪ ⎪ = = = −⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ c) ln 1x I C x x = − − + ; d) 2 2 2 2 d arcsin , d arcsin 1 d 1 d , 1 1 x u x u x x x I x xx v x v x x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ −⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ − ⎪ ⎪= = − − ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ∫ ∫ 2 2 1 arcsin d 1 arcsinx x x x x x C− − ⋅ + = = − ⋅ + +∫ . Rešiti integrale racionalne funkcije: 34. a) 4 2 2 d 1 x I x x + = +∫ ; b) 3 d 3 x I x x = +∫ . Rešenje: a) 3 2 2 3 1 d 3arctg ; 1 3 x I x x x x C x ⎛ ⎞ = − + = − + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ b) 3 2 2 27 3 9 d 3 9 27ln 3 3 3 2 x x I x x x x x C x ⎛ ⎞ = − + − = − ⋅ + − + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ . 35. a) 3 3 d x I x x x − = −∫ ; b) 2 d ( 1)( 1) x I x x x x + = − +∫ ; c) ( )( ) dx xxx x I ∫ +− + = 23 1 ; d) ( )( ) d 2 3 x I x x x = + +∫ . - 234 -
- 244. Rešenje: a) ( )( ) () ( ) ( ) 3 2 3 3 1 1 1 1 3 1 1 1 0 3 1 1 1 2 x x A B C x x x x x x x x x A x Bx x Cx x x A x C x B − − = = + + − + − + − − = − + − + + = ⇒ = = ⇒ = − = − ⇒ = − 3 2 1 1 1 I dx x x x ⎛ ⎞ = − −⎜ ⎟ + −⎝ ⎠ ∫ ( )( ) 3 2 3ln 2ln 1 ln 1 ln 1 1 x x x x C C x x = − + − − + = + − + ; b) 2 ( 1)( 1) 1 1 x A B C x x x x x x + = + + − + − + 3 1 2, , 2 2 A B C= − = = 2 3 1 1 1 3 1 2ln ln 1 ln 1 2 1 2 1 2 2 I x x x C x x x −⎛ ⎞ = + + = − | | + | − | + | + | + =⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ∫ 3 2 1 1 ln ; x x C x + ⋅ − = + c) 1 4 1 ln ln 3 ln 2 6 15 10 I x x x C= − + − − + + ; d) 2ln 2 3ln 3I x x C= − + + + + . 36. a) 3 2 2 d 2 x I x x x + = −∫ ; b) 2 d 6 5 x I x x = − +∫ ; c) 2 d 6 13 x I x x = − +∫ . Rešenje: a) 1 2 ln x I C x x − = + + ; b) 1 5 ln 4 1 x I C x − = + + − ; c) 1 3 arctg 2 2 x I C − = + . - 235 -
- 245. 37. a) 32 2 1 4 4 x I dx x x x + = + +∫ ; b) 2 3 2 ( 2)( 1) x I dx x x + = − +∫ ; c) ( ) 2 3 2 1 x I dx x x + = + ∫ ; d) ( ) 23 1 dx I x x = − ∫ . Rešenje: a) ( ) 23 2 2 2 1 2 1 4 4 2 ( 2)2 x x A B C x x x x x xx x + + = = + + + + + ++ ( ) ( ) 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 2 1 4 2 4 1 1 3 , , 4 4 2 x A x Bx x Cx x x A B x A B C A A B C + = + + + + + = + + + + + = = − = ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 4 4 2 2( 2) 1 3 1 31ln ln 2 ln ; 24 2 4 2 2 2 I dx x x x x x x C C x x x ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ = | | − | + | − ⋅ + = − + + + + ∫ b) 2 3 2 3 2 ( 2)( 1) 2 1 ( 1) ( 1) x A B C D x x x x x x + = + + + − + − + + + 2 2 5 , , , 3 9 9 3 A B C D= − = = = − ( ) ( ) 2 3 2 2 2 5 3 9 2 9 1 3( 1) ( 1) 2 1 5 3 ln ; 9 2 3( 1) 2( 1) I dx x x x x x C x x x ⎛ ⎞ = − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟− + + +⎝ ⎠ + = − + + − + + ∫ c) ( ) 2 4 3 2ln 1 2 1 x x I C x x + = + + + + ; d) 2 1 2 1 3ln 2 1 1 x I C x x x x = − − − + + − − . - 236 -
- 246. 38. a) ( )()2 1 1 dx I x x = + +∫ ; b) 3 1 dx I x = +∫ ; c) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 x x I dx x x x − − = − +∫ . Rešenje: a) ( ) ( ) 22 1 1 11 1 1 1 , 2 2 A Bx C x xx x A C B + = + + ++ ⋅ + = = = − ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ; 2 4 2 dx x dx x dx I dx dx x x x x x x x arctgx C − = − = − − = + + + + + + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) 3 2 1 1 1 1 1 1 2 , , 3 3 3 A Bx C x x x x A B C + = + + + − + = = − = 12 1 1 2 1 1 ln 3 3 1 3 1 3 3 dx x I dx x I x x x − = − = + − = + − +∫ ∫ 1 2 2 31 2 22 31 3 42 4 tx tx I dx dt tdx dtx ⎧ ⎫ −− =− ⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ +=− + ⎩ ⎭⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 3 2 2 2 2 3 1 3 3 2 ln arctg 3 32 2 4 2 3 4 4 1 3 2 1 ln 1 arctg 2 3 3 t dt t dt dt Ct t t x x x C = − = + − ⋅ ⋅ + = + + − = − + − ⋅ + ∫ ∫ ( )21 1 3 2 1 ln 1 ln 1 arctg 3 6 3 3 x I x x x C − = | + | − − + + + ; - 237 -
- 247. c) 21 ln 13ln ln 1I x x x C x = − − + − − + + . 39. a) ( )( ) 2 2 3 2 1 1 1 x x I dx x x + − = − +∫ ; b) 3 3 1 x I dx x = +∫ ; c) ( )2 1 dx I x x = +∫ . Rešenje: a) ( )21 2ln 1 ln 1 3 2 I x x arctgx C= − + + + + ; b) 21 2 1 ln 1 ln 1 3 2 3 x I x x x arctg C − = − + + − + + + ; c) ( ) 22 1 x I C x = − + − . 40. a) ( ) 3 2 4 3 1 1 dx I x x x = −⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ ; b) 2 3x I dx x + = ∫ ; c) 3 3 1 1 1 1 x I dx x + − = − − ∫ . Rešenje: a) ( ) 3 1 4 4 4 34 2 3 1 1 1 3 1 4 4 1 41 x t x dt x I t dt t C C dx xtdt x − −⎧ ⎫ =⎪ ⎪+ −⎪ ⎪ = = = = + = +⎨ ⎬ +⎪ ⎪= +⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ; b) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 , 3 3 3 2 2 2 12 3 3 3 t x t x t t I dt dt dt t t t dx t dt ⎧ ⎫− + = = − +⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = = = = +⎨ ⎬ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠⎪ ⎪=⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ - 238 -
- 248. 1 3 23 3 2 3 ln 2 2 3 3ln ; 2 3 3 2 3 3 t x t C x C t x ⎛ ⎞− + − + ⋅ + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ c) ( ) ( ) 23 3 2 2 3 2 2 23 3 3 11 3 3 1 13 2 3 2 2 3 2 2ln 1 1 3 1 3( 1) 6 1 6ln 1 1 t tx t t t I dt dt t tdx t dt t t t dt t t t C t x x x x C ⎧ ⎫ +− = + = = = − =⎨ ⎬ − −=⎩ ⎭ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − + + + = − + + + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − − − − ⋅ − − − − + ∫ ∫ ∫ - 239 -
- 249. 6.2.ODREĐENI INTEGRALI Kao štosmo već naglasili, pojam integrala istorijski je vezan sa problemom merenja površine dela ravni ograničenog nekom krivom linijom. Iz tog razloga u definisanje određenog integrala krenućemo od pojma krivolinijskog trapeza i izračunavanja njegove površine. POJAM ODREĐENOG INTEGRALA Neka je funkcija ( )f x nenegativna, neprekida i ograničena na intervalu [ ],a b . Krivolinijski trapez predstavlja figuru ograničenu osom Ox , grafikom funkcije ( )f x na intervalu [ ],a b , pravama x a= i x b= . ( )y f x= x a= x b= Da bismo izračunali njegovu površinu, podelimo interval [ ],a b na n proizvoljnih delova tačkama 0 1 1n na x x x x b−= < < < =… , tako da je 1 0 1 2 1 2 1, , , n n nx x x x x x x x x−− = Δ − = Δ − = Δ… . U svakom intervalu [ ]1,i ix x− , 1, ,i n= … izaberimo proizvoljnu tačku iξ i formirajmo proizvode ( )i ix f ξΔ . Ovaj proizvod predstavlja površinu bilo kog pravougaonika stranica ixΔ i ( )if ξ . Uočimo zbir površina svih ovako dobijenih pravougaonika: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 n n n n i i i S f x f x f x f xξ ξ ξ ξ = = Δ + Δ + + Δ = Δ∑ . - 240 -
- 250. 0a x= nbx= 1x1ξ ( )1f ξ ( )y f x= Ako postoji granična vrednost, nezavisno od podele intervala [ ],a b na n delova i izbora tačaka iξ , tj. ( ) ( )max 0 max 0 1 lim lim i i bn n i i x x i an n S f x f x dxξ Δ → Δ → =→∞ →∞ = Δ =∑ ∫ onda je ona je površina krivolinijskog trapeza DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA Neka je funkcija ( )f x definisana i ograničena na intervalu [ ],a b . Ako interval [ ],a b podelimo tačkama 0 1 1n na x x x x b−= < < < =… na n delova takvih da je 1 0 1 2 1 2 1, , , n n nx x x x x x x x x−− = Δ − = Δ − = Δ… . U svakom intervalu [ ]1,i ix x− , 1, ,i n= … izaberimo proizvoljnu tačku iξ i formirajmo sumu ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 n n n n i i i S f x f x f x f xξ ξ ξ ξ = = Δ + Δ + + Δ = Δ∑ . Ovaj zbir zove se integralna suma funkcije ( )f x na intervalu [ ],a b . Ako postoji granična vrednost - 241 -
- 251. ( )max 0max 0 1 lim lim i i n n i i x x in n S f x Iξ Δ → Δ → =→∞ →∞ = Δ =∑ , ona se zove određeni integral funkcije ( )f x na intervalu [ ],a b . Određeni integral funkcije ( )f x simbolički obeležavamo sa ( ) b a I f x dx= ∫ . Funkciju ( )f x zovemo podintegralnom funkcijom. Broj a je donja, a broj b gornja granica integrala. Primer: Izračunati povšinu ograničenu grafikom funkcuje ( )f x x= na intervalu [ ],a b i ordinatama ( )f a i ( )f b , ( )0, 0a b> > . xΔ Rešenje: Podelimo interval [ ],a b na n jednakih delova, b a x n − Δ = . Zbir površina svih pravougaonika čije su osnovice xΔ , a visine redom a x+ Δ , 2a x+ Δ , , a n x+ Δ je - 242 -
- 252. ( ) () ( ) ( )( )2 1 2 3nS x a x x a x x a n x x na x n= Δ + Δ + Δ + Δ + + Δ + Δ = Δ + Δ + + + + ( )( ) ( )1 1 2 3 2 n n x na x n x na x +⎛ ⎞ = Δ + Δ + + + + = Δ + Δ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 1 2 2 2 n n n n nb a b a xna x na b a a b a n n n + + +− −⎛ ⎞ = Δ + Δ = + = − + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 lim lim 2 2 n n n n b a S S b a a b a n→∞ →∞ ⎛ ⎞+ − = = − ⋅ + − ⋅ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Po definiciji određenog integrala imamo da je 2 2 2 b a b a P x dx − = =∫ . Napomena: Ovaj primer pokazuje koliko je složeno izračunavati određeni integral koristeći pojam integralne sume čak i kod najjednostavnijih funkcija. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL Ako funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b ima određeni integral, kažemo da je ona na tom intervalu integrabilna. Neprekidna funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b je integrabilna na tom intervalu. Integrabilna funkcija na intervalu [ ],a b mora biti ograničena na tom intervalu. ( obrnuto ne važi). Ograničena funkcija na intervalu [ ],a b sa konačnim brojem prekida je integrabilna na tom intervalu. Ako je funkcija ( )f x nenegativna i integrabilna, onda izraz ( ) b a f x dx∫ predstavlja površinu ograničenu lukom krive, x-osom i pravama x a= i x b= . - 243 -
- 253. OSNOVNE OSOBINE ODREĐENOGINTEGRALA ( ) 0 a a f x dx =∫ ; ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= −∫ ∫ ; ( ) ( ) b b a a C f x dx C f x dx⋅ = ⋅∫ ∫ C const= ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ ; Ako tačka c pripada intervalu [ ],a b tj. a c b< < , tada važi ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ . VEZA ODREĐENOG I NEODREĐENOG INTEGRALA NJUTN-LAJBNICOVA FORMULA Njutn i Lajbnic su dokazali da postoji veza između određenog i neodređenog integrala. Na taj način dobijena je opšta metoda za rešavanje određenih integrala i mogućnost njihove primene u različitim oblastima nauke i prakse. Ako je funkcija ( )f x neprekidna na intervalu [ ],a b , a ( )F x njena primitivna funkcija, tj ( ) ( )F x f x′ = tada je ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = −∫ . Dokaz: Neka je 1( )F x tako]e primitivana funkcija funkcije ( )f x , takva da je - 244 -
- 254. ( ) ()1 x a F x f x dx= ∫ , [ ],x a b∈ . Kako su ( )F x i 1( )F x dve primitivne funkcije iste funkcije, one se razlikuju za neku konstantu C, pa je ( ) ( ) x a F x f x dx C= +∫ . Za x a= dobijamo ( ) ( ) 0 a a F a f x dx C C C= + = + =∫ , čime je određena konstanta C, pa je ( ) ( ) ( ) x a F x f x dx F a= +∫ . Uzmimo sada da je x b a= > . Iz predhodne relacije dobijamo ( ) ( ) ( ) b a F b f x dx F a= +∫ , odnosno ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= −∫ . Primer: 2 2 0 0 sin cos cos cos0 1 2 I x dx x π π π⎛ ⎞ = = − = − − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . METODA SMENE KOD ODREĐENOG INTEGRALA Neka je ( )f x složena, neprekidna funkcija na intervalu [ ],a b . Uvedimo smenu ( )x g t= . Ako funkcija ( )g t ima neprekidan izvod na intervalu [ ],α β gde je ( )g aα = , ( )g bβ = i inverznu funkciju, tada je ( ) ( )( ) ( ) b a f x dx f g t g t dt β α ′=∫ ∫ Uvođenjem smene ( )x g t= menjaju se granice integracije. - 245 -
- 255. Ako su polaznegranice integracije bile a i b , onda su nove granice ( )1 g aα − = i ( )1 g bβ − = . Primer: 1 2 262 2 6 2 0 0 0 arcsin , , arcsin 1 2 7211 0, 0; , 2 6 dx x t dt x txI dx t dt x x t x t π π π π ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪−= = = = =⎨ ⎬ − ⎪ ⎪= = = = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ . METODA PARCIJALNE INTEGRACIJE KOD ODREĐENOG INTEGRALA Ako su ( )u x i ( )v x diferencijabilne funkcije na intervalu [ ],a b , a vdu je integrabilna, tada je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a u x dv x u x v x v x du x= −∫ ∫ . Dokaz je sličan kao kod pravila za neodređene integrale. Primer: 0 0 0 0 sin cos cos cos sinI x xdx x x xdx x π ππ π π π π= = − + = − + =∫ ∫ . 6.3.NESVOJSTVENI INTEGRALI Integrali kod kojih granice integracije nisu konačne ili podintegralna funkcija nije ograničena na intervalu [ ],a b , nazivaju se nesvojstveni integrali. INTEGRALI SA BESKONAČNIM GRANICAMA Neka je funkcija ( )f x neprekidna na intervalu [ ),a +∞ . - 246 -
- 256. Ako postoji graničnavrednost ( )lim t t a f x dx →+∞ ∫ , onda se ona naziva nesvojstvenim integralom funkcije ( )f x na intervalu [ ),a +∞ , tj. ( ) ( )lim t t a a f x dx f x dx +∞ →+∞ =∫ ∫ . Ako je ova granična vrednost konačna, nesvojstveni integral konvregira, inače divergira. Analogno se definiše nesvojstveni integral funkcije ( )f x na intervalu ( ],b−∞ , tj. ( ) ( )lim b b t t f x dx f x dx →−∞ −∞ =∫ ∫ . Ako su obe granice integracije beskonačne tada je ( ) ( ) ( ) a a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ∫ . Primer: 3 1 dx I x +∞ = ∫ . 3 2 21 1 1 1 1 1 lim lim lim 2 2 2 2 t t t t a dx I x x t→+∞ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ . INTEGRALI NEOGRANIČENIH FUNKCIJA Neka je ( )y f x= neprekidna funkcija na intervalu ( ],a b i ( )f x → ∞ za x a→ . Ako postoji granična vrednost ( )0 lim , 0 b a f x dx ε ε ε → + >∫ , onda se ona naziva nesvojstvenim integralom funkcije ( )f x na intervalu ( ],a b , tj - 247 -
- 257. ( ) ()0 lim b b a a f x dx f x dx ε ε → + =∫ ∫ . Neka je ( )y f x= neprekidna funkcija na intervalu [ ),a b i ( )f x → ∞ za x b→ . Ako postoji granična vrednost ( )0 lim , 0 b a f x dx ε ε ε − → >∫ , onda se ona naziva nesvojstvenim integralom funkcije ( )f x na intervalu [ ),a b , tj ( ) ( )0 lim b b a a f x dx f x dx ε ε − → =∫ ∫ . Neka je funkcija ( )y f x= neograničena u okolini tačke [ ],c a b∈ . Tada se nesvojstveni integral definiše sa ( ) ( ) ( )0 0 lim lim , 0 b c b a a c f x dx f x dx f x dx ε ε ε ε ε − → → + = + >∫ ∫ ∫ . Primer: 1 0 dx I x = ∫ . ( ) 1 1 0 0 0 lim lim 2 2 lim 1 2 dx I x x ε ε ε ε ε ε → + → + → + = = = − =∫ . - 248 -
- 258. ZADACI Primenom Njutn –Lajbnicove formule izračunati sledeće integrale: 1. a) 27 3 8 dx I x = ∫ ; b) 4 2 4 1 sin cos I x dx x π π − ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ; c) 1 0 2 dx I x = +∫ ; d) 4 4 0 1 x I e dx ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . Rešenje: a) ( ) ( ) ( )( ) 27 2727 1 2 2 2 2 3 3 33 3 88 8 3 3 3 15 27 8 2 2 2 2 I x dx x x − = = = = − =∫ ; b) 4 4 4 4 cos cos cos 2 2 4 4 4 4 4 I tgx x tg tg tg π π π π π π π π π − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + = − − + − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; c) 3 ln 2 I = ; d) 4I e= . 2. a) 3 0 1I x dx= +∫ ; b) 2 1 2 1 dx I x x = + −∫ ; c) 9 4 1 x I dx x + = ∫ . Rešenje: a) ( ) 3 22 2 0 1 2 3 1 1 , 1, 2 1 2 0 , 1, 3 , 2 2 2 14 8 1 3 3 3 x t x t dx tdt I x dx t dt x t x t t ⎧ ⎫+ = = − =⎪ ⎪ = + = = =⎨ ⎬ = = = =⎪ ⎪⎩ ⎭ = = − = ∫ ∫ b) 2 1 12 2 2 1 0 0 1 , 2 2 2 2 2 2 1 2 11, 0; 2 , 12 1 x t dx t dtdx t t I dt dt t t t tx t x tx x ⎧ ⎫− = = + − = = = =⎨ ⎬ + + + += = = =+ − ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ - 249 -
- 259. ( ) ( ) 11 1 1 2 22 0 0 0 0 2 2 2 2 ln 1 2 ln 4 1. 2 1 11 t dt dt t t t t tt + = − = + + + = − + + ++ ∫ ∫ c) 7I = . 3. a) 2 3 0 sinI xdx π = ∫ ; b) 2 ln e dx I x x = ∫ ; c) 2 2 0 4 dx I x = +∫ . Rešenje a) ( ) 2 2 2 2 0 0 cos , sin sin sin 1 cos sin 0 , cos0 1 , cos 0 2 2 x t xdx dt I x x dx x xdx x t x t π π π π ⎧ ⎫ ⎪ ⎪= − = ⎪ ⎪ = ⋅ = − = = = =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = ⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) ( ) 10 1 3 12 2 0 1 0 0 2 1 1 3 3 t t dt t dt t= − − = − = − =∫ ∫ ; b) 1 1 ln2 ln2 ln , 2 , ln 2 ln ln1 ln ln 2 ln ln 2 , 1 dx x t dt x dt I x t t t x e t ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = = = = = − = −⎨ ⎬ ⎪ ⎪= = ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ; c) 8 I π = . 4. a) ln3 2 ln2 1 x x e I dx e = −∫ ; b) ( ) 3 22 4 cos 1 dx I x tgx π π = + ∫ ; c) 1 2 0 1 arctgx I dx x = +∫ . Rešenje: a) 3 3 2 2 2 , 1 1 1 1 1 1 3 ln 2 , 2 ln ln ln ln 1 2 1 2 2 3 2 2 ln3 , 3 x x e t e dx dt dt t I x t t t x t ⎧ ⎫= = −⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = = = = = = − =⎨ ⎬ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ∫ ; - 250 -
- 260. b) ( ) 32 3 21 1 , 1cos 11, 1; , 3 4 3 1 1 2 3 2 23 1 dx tgx t dt dtx I ttx t x t π π ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = − =⎨ ⎬ ++⎪ ⎪= = = = ⎪ ⎪⎩ ⎭ −⎛ ⎞ = − − =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ∫ c) 2 32 I π = . 5. a) 2 2 0 r I r x dx= −∫ . b) ln5 0 1 3 x x x e e I dx e − = +∫ ; c) ln2 0 1x I e dx= −∫ ; d) 2 2 2 0 sin cosI x x dx π = ⋅∫ . Rešenje: a) 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 sin , cos 1 cos2 cos 20 , 0, ; , 2 1 sin 2 2 2 4 x r t dx r t dt t I r t dt r dt x t x r t r r I t x π π π π π = =⎧ ⎫ +⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ = = = =⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎛ ⎞ = + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ b) 4I π= − ; c) 2 4 I π = − ; d) 16 I π = . 6. a) 1 0 x I xe dx= ∫ ; b) 2 0 cosI x x dx π = ∫ ; c) ( ) 2 2 0 sin 3I x x dx π = ∫ , Rešenje: a) 11 1 1 0 0 0 0 , 1 , x x x x x x u x du dx I xe e dx xe e dv e dx v e = =⎧ ⎫ = = − = − =⎨ ⎬ = =⎩ ⎭ ∫ ; - 251 -
- 261. b) 22 00 , sin sin cos ,sin u x du dx I x x xdx dv xdx v x ππ = =⎧ ⎫ = = − =⎨ ⎬ = =⎩ ⎭ ∫ 2 2 0 0 sin cos 1 2 x x x π π π + = − ; c) 2 22 2 0 0 , 2 1 2 cos3 cos31 3 3sin3 , cos3 3 u x du xdx I x x x x dx dv xdx v x ππ ⎧ ⎫= = ⎪ ⎪ = = − +⎨ ⎬ = = −⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ 2 22 0 0 0 , 2 1 1 cos3 sin3 sin31 3 3 3cos3 , sin3 3 u x du dx x x dx x x x dx dv x dx v x π ππ = =⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = = − =⎨ ⎬ = =⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 2 0 1 1 cos3 . 6 9 6 9 x π π π − + = − − 7. a) 3 1 ln e I x xdx= ∫ ; b) 1 3 0 I x arctgxdx= ∫ ; c) 1 0 arcsinI xdx= ∫ . Rešenje: a) 4 4 4 4 3 4 1 1 1 3 1 ln , 1 3 1 ln ln 4 4 4 16 16 , 4 ee e e dx u x du x x x ex I x x dx x x dv x dx v ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ +⎪ ⎪ = = − = − =⎨ ⎬ ⎪ ⎪= = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ; b) 44 42 1 24 0 3 2 , 11 4 4 1 , 4 dx u arctgx du x xx I arctgx dx xx dv x dx v ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪+ = = −⎨ ⎬ +⎪ ⎪= = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ 1 4 3 2 2 2 0 1 1 1 1 1 16 4 1 16 4 3 6 x x dx x arctgx x π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − + = − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ . c) 1 2 I π = − . - 252 -
- 262. 8. a) dxxI∫− += 1 1 2 1 ; b) 1 0 I xarctgxdx= ∫ ; c) 0 sin 2x I e x dx π = ∫ ; d) ( ) 1 2 0 ln 1I x x dx= +∫ . Rešenje: a) Kako je podintegralna funkcija parna možemo da napišemo 1 2 1 0 2 1 2I x dx I= + =∫ 2 1 21 22 1 20 0 1 1 1 12 2 12 2 2 0 0 0 0 1 , 11 1 , 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 xdx x u du x I x x dxx x dv dx v x x dx x dx dx I dx x x x ⎧ ⎫ + = =⎪ ⎪ = = + −+⎨ ⎬ +⎪ ⎪= =⎩ ⎭ + − = − = − + + = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) 1 2 1 1 0 1 2 2 ln 1 , 2 ln 1 2 2 I x x I= + + + = + + ( )ln 1 2 2I = + + ; b) 1 1 2 2 I π⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; c) ( )2 1 5 I eπ = − ; d) 1 ln 2 2 I = − . 9. a) 2 1 dx I x x ∞ = −∫ ; b) 2 2 1 dx I x x ∞ = − ∫ ; c) 2 2 ln dx I x x ∞ = ∫ . Rešenje a) ( ) 2 1 2 2 1 1 ; 2 2 lim lim 11 2, 1; , 1 a a a a x t dx tdtdx tdt I t tx x x t x a t a − →+∞ →+∞ ⎧ ⎫− = =⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ +− = = = = −⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) 1 1 2 1 1 2 lim 2 lim 2lim 1 1 1 2 a a a a a dt arctgt arctg a arctg t π− − →+∞ →+∞ →∞ = = = − − = +∫ ; - 253 -
- 263. b) 1 2 2 2 12 2 1 1 , limlim 1 11 12 , ; , 2 a a a a t dx dt dx dtx x I x x tx t x a t a →+∞ →+∞ ⎧ ⎫ = − =⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = −⎨ ⎬ − −⎪ ⎪= = = = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 1 1 2 1 1 lim arcsin lim arcsin arcsin 2 6 a a a t a π →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − = − + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . c) 1 ln 2 I = . 10. a) 2 0 x I xe dx ∞ − = ∫ ; b) 2 2 1 ln xdx I x +∞ = ∫ ; c) ( ) 22 1 2 1 x I dx x ∞ = + ∫ . Rešenje: a) 2 2 2 2 0 20 0 , 2 1 1 lim 0 , 0 lim lim 2 2 , a a a x t t a a a dt x t x dx I xe dx x t e dt e x a t a − − − →∞ →+∞ →+∞ ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = = = = = −⎨ ⎬ ⎪ ⎪= = ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ∫ ( )21 1 lim 1 2 2 a a e− →+∞ = − − = ; b) 2 2 1 ln lim a a x I dx x→+∞ = ∫ 2 2 2 1 2 21 1 1 2 2ln ln , ln ln ln 2 1 , a aa x u x du dx x x xx I dx dx dxx x x dv v x x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = − + =⎨ ⎬ ⎪ ⎪= = − ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 2 21 1 1 2 1 ln , ln ln l 2 1 , aa a u x du dx x xx dx dx x x x dv v x x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎪ = = − + − + =⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎪ ⎪= = − ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ - 254 -
- 264. 2 2 1 11 ln ln 1 ln ln 2 2 2 2 a a ax x a a x x x a a a ⎛ ⎞ − + − − = − − ⋅ − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 2 1 ln ln 2 lim lim 2 2 2 a a a a I I a a a→+∞ →+∞ ⎛ ⎞ = = − − − + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Zato što je 2 ln 2ln 2 lim lim lim 0 L a a a a a a a a→+∞ →+∞ →+∞ = = = i ln 1 lim lim 0 L a a a a a→+∞ →+∞ = = . c) 1 2 I = . 11. a) 0 sinx I e xdx ∞ − = ∫ b) 0 cosx I e x dx +∞ − = ∫ ; c) 2 1 lim a x arctgx I dx x→∞ = ∫ . Rešenje: lim sin a x a o I e xdx− →+∞ = ∫ . 1 0 0 0 0 0 , sin cos cos sin , cos , cos 1 sin sin cos , sin a ax x x x a x ax x a x a x u e du e dx I e xdx e x e xdx dv xdx v x u e du e dx e a e x e xdx dv xdx v x − − − − − − − − − − ⎧ ⎫= = − = = = − − =⎨ ⎬ = = −⎩ ⎭ ⎛ ⎞⎧ ⎫= = − = − + − +⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟= =⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 (cos sin ) 2 1 (cos sin ) 2 2 a a e a a I e a a I − − + = − + ⇔ = − . 2 1 lim 1 == ∞→ II a ; b) 1 2 I = , c) 2 1 lim a x arctgx I dx x→∞ = ∫ - 255 -
- 265. ( ) 2 1 22 2 , 1 1 1 , dx u arctgx du arctgx arctgx dxx I dx dxx x x x dv v x x ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪⎪ ⎪+ = = = − +⎨ ⎬ +⎪ ⎪= = − ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ( )2 2 2 1 1 ln ln 1 1 2 ln 1 arctgx x arctgx dx x x C x x x x arctgx x C x x ⎛ ⎞ = − + − = − + − + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ = − + + + ∫ 2 21 lim ln lim lim ln 1 ln 1 1 1 ln 2 4 2 a a a a arctgx x arctga a I arctg x ax a π →+∞ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − + = − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ = + Zato što je lim 0 a arctga a→+∞ = i da je 2 2 lim ln ln lim ln1 0 , 0 11 1 a a a a a a a a →+∞ →+∞ = = = > + + . 12. a) 1 2 1 dx I x− = ∫ ; b) 2 1 ln dx I x x = ∫ ; c) 1 0 3 1 x e I dx x− = ∫ . Rešenje a) 1 1 12 20 0 0 0 1 1 1 lim lim lim lim dx dx I x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε − − − → − → + → − → + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + = − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 0 0 1 1 lim 1 lim 1 ε εε ε→ − → + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − + = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; b) 2 ln2 0 0 1 ln , lim lim ln 1, 0; 2 , ln 2 dx x t dtdx dt I x x x t x t x t ε ε ε ε →+ →+ + ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎪ ⎪= = = =⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) ln2 0 0 lim ln lim ln ln 2 lnt ε ε ε ε →+ →+ = = − = +∞; - 256 -
- 266. c) 11 2 30 0 1 1 11 , lim lim 1 1, 1; , x t t dt dx e x x I dx te dt x x t x t ε ε ε ε ε ε → − → − − − ⎧ ⎫ = = −⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = −⎨ ⎬ ⎪ ⎪= − = − = = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 2 lim t t te e e e e e e ε ε ε ε ε→ − − ⎛ ⎞ = − − = − − + + = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; zato što je 1 0 1 1 1 lim lim lim lim 0 L t t tt t t t e t te e e ε ε ε ε − −→− →−∞ →−∞ →−∞ ⎧ ⎫ = = = = = − =⎨ ⎬ ⎩ ⎭ i 1 0 lim 0eε ε →− = . 13. a) 2 3 0 2sin cos x I dx x π = ∫ ; b) 1 0 1 dx I x = −∫ . Rešenje: a) I = ∞ ; b) 2I = . - 257 -
- 267. 6.4. PRIMENE INTEGRALNOGRAČUNA IZRAČUNAVANJE POVRŠINA RAVNIH FIGURA Ako je ( )f x neprekidna i nenegativna funkcija na intervalu [ ],a b , onda površina ograničena osom x , grafikom funkcije ( )f x , pravama x a= i x b= iznosi ( ) b a P f x dx= ∫ . ( )y f x= x b=x a= Ako je funkcija ( )f x na intervalu [ ],a b negativna onda je ( )y f x= x a= x b= ( ) ( ) b b a a P f x dx f x dx= − =∫ ∫ . - 258 -
- 268. Ako funkcija ()f x na intervalu [ ],a b menja znak onda se površina koju ova funkcija obrazuje sa x osom i pravama x a= i x b= dobija tako što se interval podeli na podintervale u kojima je ( ) 0f x ≥ i na podintervale u kojima je ( ) 0f x ≤ . Površina će biti zbir vrednosti integrala ( ) ( ) ( ) c d b a c d P f x dx f x dx f x dx= + +∫ ∫ ∫ ili ( ) ( ) ( ) c d b a c d P f x dx f x dx f x dx= − +∫ ∫ ∫ . ( )y f x= x a= x c= x d= x b= Ako je oblast ograničena graficima neprekidnih funkcija ( )f x i ( )g x , ( ) ( )f x g x≥ na intervalu [ ],a b i pravama x a= i x b= , tada je površina razlika površina dva krivolinijska trapeza, tj. ( ) ( ) ( ) ( )( ) b b b a a a P f x dx g x dx f x g x dx= − = −∫ ∫ ∫ . ( )y f x= ( )y g x= x a= x b= - 259 -
- 269. Primer: Izračunati površinu ograničenulinijama cosy x= , 0x = i x π= . cosy x= π 2 π0 2 2 0 0 2 2 cos cos sin sin sin sin 0 sin sin 2 2 2 P x dx x dx x x π π π π π π π π π= − = − = − − + =∫ ∫ . IZRAČUNAVANJE ZAPREMINA OBRTNIH TELA Neka je funkcija ( )f x neprekidna i stalnog znaka na intervalu [ ],a b . Zapremini obrtnog tela koje nastaje rotacijom grafika funkcije oko x ose je: ( )2 b a V f x dxπ= ∫ . Dokaz: kxΔ - 260 -
- 270. Ako interval [],a b podelimo tačkama 1 2 3, , , , na x x x x b= =… na n delova, tada svaki od upisanih pravougaonika ima osnovicu 1k k kx x x+Δ = − i visinu ( )k ky f x= , 1,2,k n= … . Pri obrtanju pravougaonika oko x ose obrazuje po jedan valjak zapremine 2 k k kV y xπ= ⋅Δ gde je ky poluprečnik osnove valjka , kxΔ njegova visina. Zbir zapremina svih tih valjaka je 2 1 n k k k y xπ = ⋅Δ∑ . Zapremina obrtnog tela jednaka je sledećoj graničnoj vrednosti ( )2 2 max 0 1 lim k bn k k x k an V y x f x dxπ π Δ → =→∞ = ⋅Δ =∑ ∫ . Zapremina obrtnog tela koje se dobije rotacijom grafikom funkcije oko y ose dobija se po obrascu ( )2 d c V x y dyπ= ∫ . Primer: Izračunati zapreminu lopte poluprečnika r . 2 2 2 x y r+ = Lopta se dobija rotacijom kruga jednačine 2 2 2 x y r+ = oko x - ose. ( ) ( )2 2 2 2 3 3 0 0 0 4 2 2 2 3 r r r V y dx r x dx r x x rπ π π π= = − = − =∫ ∫ . - 261 -
- 271. DUŽINA LUKA KRIVE Nekaje ( )f x neprekidna funkcija, sa neprekidanim izvodom ( )f x′ , na intevalu [ ],a b Dužina luka krive je: ( )( ) 2 1 b a l f x dx′= +∫ . Dokaz: Podelimo luk AB krive ( )y f x= tačkama iM 1,i n= … na n delova. Tetive 1i i it M M−Δ = koje odgovaraju parcijalnim lukovima obrazuju poligonalnu liniju 1 2 1nAM M M B−… čija je dužina 1 n n i i l t = = Δ∑ . 1x 1ix − ix 1iM − 1M iM A B a b ( )y f x= 1ix − ix 1iM − iM iξ ixΔ itΔ iyΔ x y ( )y f x= Odredimo dužinu tetive 1i iM M− . Na osnovu Pitagorine imamo 2 2 2 2 1 1 1 1i i i i i i i i i i i y y y t x y x x x x x − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ − Δ = Δ + Δ = Δ + = Δ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , a na osnovu Lagranžove teoreme imamo postoji tačka [ ]1,i i ix xξ −∈ za koju je - 262 -
- 272. ( ) 1 1 ii i i y y f x x ξ − − − ′ = − . Prema tome itΔ = ( )2 1i ix f ξ′Δ + . ( ) ( )2 2 max 0 max 0 1 1 lim lim 1 1 i i bn n i i i x x i i a t x f f x dx lξ Δ → Δ → = = ′ ′Δ = Δ + = + =∑ ∑ ∫ ( )2 1 b a l f x dx′= +∫ Primer: Izračunati dužinu luka krive 5 3 x x y = , [0,1]x∈ . 3 1 2 2 5 5 5 3 5 , ' 3 3 3 2 2 x x y x y x x= = = ⋅ = , 2 1 1 3 3 2 3 2 0 0 2 4 5 5 1 1 1 19 1 4 5 2 4 2 5 15 15 5 x t l xdx xdx t dt t dx tdt ⎧ ⎫+ = ⎪ ⎪ = + = + = = = =⎨ ⎬ =⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ . - 263 -
- 273. ZADACI Izračunati površinu kojuzaklapaju grafici datih krivih: 1. ( ) 2 4y x= − i 2 16y x= − . Rešenje Apscise presečnih tačaka grafika funkcija dobijaju se rešavanjem sistema jednačina: ( ) 2 2 4 16x x− = − i iznose 0 4x x= ∨ = . ( ) 2 4y x= − 2 16y x= − 4 16 Tražena površina iznosi: ( )( ) ( ) 4 4 4 3 22 2 2 0 0 0 16 4 2 4 2 2 3 64 64 2 32 3 3 x P x x dx x x dx x P ⎛ ⎞ = − − − = − = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . 2. 2 2 x y = i 2 1 1 y x = + . Rešenje Apscise presečnih tačaka grafika funkcija su: 1x = ± . Tražena površina iznosi: 11 12 2 3 2 2 1 0 0 1 1 1 2 2 1 2 1 2 6 1 1 2 4 6 2 3 x x P dx dx arctgx x x x P π π − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ - 264 -
- 274. 2 1 1 y x = + 2 y x= 11− 3. 2 2yx= − + i y x= . Rešenje Apscise presečnih tačaka grafika funkcija su 2 1x x= − ∨ = . y x= 2 2y x= − 1 2− Tražena površina iznosi: 1 1 1 3 2 2 2 2 2 9 ( 2) 2 3 2 2 x x P x dx xdx x − − − ⎛ ⎞ = − + − = − + − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . 4. 2 y x= i y x= Rešenje Apscise presečnih tačaka , uz uslov 0x > , su: 0 1x x= ∨ = . 2 y x= y x= 0x = 1x = - 265 -
- 275. ( ) 1 1 11 3 3 2 22 2 0 0 0 2 2 1 1 3 3 3 3 3 x P x x dx x x dx x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − = − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . 5. 2 y x= i 2 2y x= − . Rešenje ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 1 0 0 0 8 2 2 2 4 1 4 3 3 x P x x dx x x dx x dx x − ⎛ ⎞ = − − = − − = − = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ . 6. 2 5 4y x x= − + i 1y x= − Rešenje ( ) ( )( ) ( ) 5 5 2 2 1 1 32 1 5 4 6 5 3 P x x x dx x x dx= − − − + = − + − =∫ ∫ 7. Odrediti površinu ograničenu parabolom 2 2 3,y x x= − − + njenom tangentom u tački ( )2,M y i y - osom. Rešenje: Kako tačka ( )2,M y pripada paraboli, biće 5y = − . 2 2y x′ = − − , pa je ( )2 6k y′= = − . Jednačina tangente parabole u tački ( )2, 5M − glasi ( )5 6 2y x+ = − ⋅ − ili 7 6y x= − . 2 2 3y x x=− − + 2x= 5y = − Tražena površina iznosi: - 266 -
- 276. ( )( )( ) ( ) ( ) 232 2 2 22 2 0 0 0 0 2 7 6 2 3 4 4 2 3 8 3 x P x x x dx x x dx x dx P − = − − − − + = − + = − = = ∫ ∫ ∫ 8. Izračunati površinu figure ograničene grafikom funkcije ln x y x = nad odsečkom 2 1,e⎡ ⎤⎣ ⎦ . Rešenje: ln x y x = 1x = 2 x e= Tražena površina iznosi 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 1 1 1 12 ln , ln 2 ln 4 4 4 , 2 e ee e dx u x du xx P dx x x x dx e x dxx dv v x x − ⎧ ⎫ = =⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎪ = = = − = − =⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠= = ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 9. Odrediti površinu koja je ograničena lukom krive ,x y e− = njenom asimptotom i tangentom u tački ( )01,M y− . Rešenje: Koordinata 0y tačke M je ( )1 0 ,y e e − − = = pa jednačina tangente date krive u tački ( )1,M e− glasi ( )( )1 1y e y x′− = − + . Kako je ,x y e− ′ = − ( )1 ,y e′ − = − pa je y ex= − tražena jednačina tangente. Asimptota je x osa. - 267 -
- 277. y ex = − 1− y ex= − () ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 2 0 1 1 lim lim lim . 2 2 2 a x x a a x a a a P e dx ex dx e dx ex dx x e e e e e e +∞ − − →+∞ − − − − − − →+∞ − − →+∞ = − − = − − = − + ⋅ = − − − = ∫ ∫ ∫ ∫ Izračunati površinu ograničenu krivim linijama : 10. 2 2 1y x= + i 1 0x y− − = . Rešenje: 16 3 P = . 11. 2 8 18y x x= − + i 2 2 18y x= − + . Rešenje: 36P = . 12. 2 2y x= − i y x= . Rešenje: 7 3 P = . 13. x y e= , x y e− = i 2x = . Rešenje: 2 2 2P e e− = + − . 14. 2 1 2 x y − = , 1y x= + Rešenje: 16 3 P = . 15. 2 siny x= , 0y = , 0x = , x π= . Rešenje: 2 P π = . 16. 3 y x = i 4x y+ = . Rešenje: 4 3ln3P = − . 17. 2 8y x= i 2 3 8 0x y− + = . Rešenje: 4 3 P = . 18. Izračunati površinu ograničenu krivom 2 2 2,y x x= − + njenom tangentom u tački ( )3,M y i y - osom. Rešenje: 9P = . - 268 -
- 278. 19. Izračunati zapreminutela koje nastaje rotacijom oko x - ose površi ograničene linijama 2 y x= i 23 1 4 y x= + . Rešenje: Presečne tačke grafika funkcija su rešenja sistema 2 y x= i 23 1 4 y x= + . Dobijamo da se date krive seku u tačkama ( )2,4A − i ( )2,4B − . 23 1 4 y x= + 2 y x= 22− 4 ( ) 22 2 22 2 4 2 4 0 0 2 2 5 3 4 2 0 0 3 9 3 2 1 2 1 4 16 2 7 3 7 3 32 2 1 2 . 16 2 16 5 2 3 5 V x x dx x x x dx x x x x dx x π π π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − = + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − + + = − ⋅ + ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 20. Odrediti zapreminu tela nastalog rotacijom oko y - ose površi ograničene linijama 2 y x= i 23 1 4 y x= + . Rešenje: 1 2V V V= − 4 2 4 1 0 0 8 . 2 V ydy y π π π= = =∫ - 269 -
- 279. ( ) 4 2 4 21 1 4 4 4 9 1 6 . 3 3 2 3 2 y V y dy y π π π π ⎛ ⎞ = − = − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 2 2 .V V π− = 21. Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površina koju čine krive 3 , 8, 0y x y x= = = , rotira oko y ose. Rešenje 3 y x=8y= ( ) ( ) 88 8 2 52 3 3 00 0 3 96 5 5 V x y dy y dy y π π π π= = = =∫ ∫ . 22. Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površina koju čine krive 4, 2 , 4, 0xy x x y= = = = , rotira oko x ose. Rešenje 4 4 4 22 2 2 2 16 1 16 16 4 dx V dx x x x π π π π= = = − =∫ ∫ . 23. Izračunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada površina koju čine krive 3 , 4xy x y= + = , rotira oko x ose. Rešenje Apscise presečnih tačka krivih su 3 1x x= ∨ = . - 270 -
- 280. ( ) () 1 2 23 3 2 1 1 1 23 3 2 2 1 1 26 4 16 8 3 3 9 6 8 3 V V V V x dx x x dx dx V dx x x V π π π π π π = − = − = − + = ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ∫ ∫ ∫ 24. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x - ose krive linije ( ) 22 3 1x y+ − = . Rešenje: Data jednačina predstavlja krug sa centrom ( )0,3S i poluprečnikom 1r = . Iz nje je 2 3 1 ,y x= ± − pa su 2 1 3 1y x= + − i 2 2 3 1y x= − − jednačine gornjeg i donjeg polukruga tog kruga. ( ) 22 3 1x y+ − = Telo koje nastaje rotacijom date krive je torus čija je zapremina ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 1 2 2 0 2 2 3 1 3 1 24 1 24 6 . 4 V y y dx y y dx x x x dx π π π π π π π − ⎛ = − = − = + − − − −⎜ ⎝ = − = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ - 271 -
- 281. 25. siny x=, 0x = i x π= oko x ose. Rešenje: 2 2 V π = 26. 2 2 4x y+ = i 2 3 0y x− = oko x ose. Rešenje: 19 6 V π= 27. 2 2 4x y− = i 2 3 0y x− = oko x ose. Rešenje: 40 3 V π= . 28. 2 2 4 x y x − = + , 0x = , 1x = , 0y = oko x ose. Rešenje: 4 1 2ln 5 V π ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 29. Površina ograničena krivom 2 2 16x y+ = , pravom 2x = i tangentoma u presečnim tačkama date prave i krive rotira oko x ose. Naći zapreminu obrtnog tela. Rešenje: 32 3 V π= . Izračunati dužinu luka sledećih krivih na zadatom intervalu. 30. x x y ln 2 1 4 2 −= , za ],1[ ex ∈ Rešenje: ( ) 2 1 1 ' 2 2 2 x x f x y x x − ′ = = − = , x x x xx x x y 2 1 4 12 2 1 1'1 2 2 2422 2 + = ++ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +=+ , ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 2 2 2 2 4 e e ex x l dx x dx x e x x ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ = = + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . 31. Izračunati obim kruga 2 2 2 x y r+ = . Rešenje: 2 2 y r x= − , 2 2 x y r x ′ = − − - 272 -
- 282. 2 2 2 22 0 0 0 1 4 1 4 4 arcsin 2 r r rx x l dx r dx r r r x rr x π= ⋅ + = ⋅ = ⋅ = − − ∫ ∫ . 32. ( )ln siny x= , , 3 2 x π π⎡ ⎤ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ . Rešenje: 1 cos sin y x ctgx x ′ = = , 2 2 2 1 1 1 sin y ctg x x ′+ = + = , 1 12 12 3 3 3 323 3 3 2 3 11 ln ln1 ln ln3. 2sin 3 2 1 dt dx dttl t tx t t π π += = = = = − = + ∫ ∫ ∫ 33. ( )2 2ln 4y x= − , [0,1]x∈ . Rešenje: 2 4 ' 4 x y x = − , 22 2 2 2 2 4 4 1 ' 1 4 4 x x y x x ⎛ ⎞+⎛ ⎞ + = + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 1 12 1 2 2 0 0 0 4 8 2 1 8ln 1 ln3 4 4 2 x x l dx dx x x x x + ⎛ − ⎞⎛ ⎞ = = + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . 34. ( )2 1 1x x y e arctg e= − − − za [ ]0,x α∈ . Rešenje: ( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 11 1 x x x x x x xx e e e y e e e ee ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ′ = − ⋅ = = −⎜ ⎟ − − −⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠ , ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 2 2 x x x l e dx e dx e e α α α α = + − = = = −∫ ∫ . 35. ( )xxxxx eeeeey 21ln2 22 +++++= , ],0[ α∈x Rešenje 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x e e e e y e e e e e e e e e e ⎛ ⎞+ + ′ = + + = +⎜ ⎟ + + + + +⎝ ⎠ , - 273 -
- 283. ( ) () ( )2 0 0 0 1 2 1 1x x x x l e e dx e dx x e e α α α α α= + + = + = + = + −∫ ∫ . 36. [ ] 1 ln , , , , 0 1 x x e y x a b a b e + = ∈ ≠ − . Rešenje 2 2 , 1 x x e y e − ′ = − 2 2 2 1 1 1 x x e y e + ′+ = − , ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 b b bx b x x xa a a a e dx l dx dx x b a I e e e ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ = = + = + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ . ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 ln , 1 1 1 ln2 1 1 , ; , b b b a a a e ex e ea b e e dt e t x t dx dt t I dtt t t t t t x a t e x b t e ⎧ ⎫ = = = −⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = = = − = =⎨ ⎬ ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠⎪ ⎪= = = =⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 ln ln ln 1 2 ln 1 2 ln . b a b b b a b a a a e e e e e b e a e e e e − − − − − − = − − − − + = − 37. ( ))1ln(1 2 1 22 −+−−= xxxxy , [1, 1], 0x a a∈ + > Rešenje 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ' 2 222 2 2 −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + −+ − − +−= x x x xxx x xy , ( )1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 a a a a ax l x dx x dx + + + + = + − = = =∫ ∫ . 38. lny x= , ] 5 12 , 4 3 [∈x . Rešenje: 1 'y x = , 2 2 2 1 1 1 ' 1 x y x x + + = + = , - 274 -
- 284. ∫∫∫∫ += + + + = + + = + = 5 12 4 3 21 2 5 12 4 3 2 5 12 4 3 2 25 12 4 3 2 111 11 II xx dx x xdx dx xx x dx x x l 132 213 5 5 1 5 5 4 4 1 , 2 2 27 3 5 12 13 20, ; , 4 4 5 5 x t xdx tdt I dt t x t x t ⎧ ⎫+ = = ⎪ ⎪ = = = =⎨ ⎬ = = = =⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ 4 3 12 5 5 122 2 2 3 2 24 1 , 3 4 12 51 1, ; ,1 4 3 5 12 dx t dt dx dtx x I tx t x tx x ⎧ ⎫ = − =⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = − =⎨ ⎬ +⎪ ⎪= = = =+ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 5 12 2 4 3 3 ln 1 ln3 ln ln 2 2 t t− + + = − = 27 ln 2 20 l = + . 39. 2 3 , , sin 4 4 y x x π π⎡ ⎤ = ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ . Rešenje: 2 2cos ' sin x y x = − , ( ) ( ) 2 22 2 22 4 2 2 4 4 4 4 1 cos 4cos 1 cos4cos sin 4cos 1 ' 1 sin sin sin sin x x xx x x y x x x x − + ++ + = + = = = ( ) ( ) 3 3 3 22 2 24 4 4 4 2 2 4 4 4 3 3 4 4 2 4 4 1 cos 1 cos 2 sin sin sin sin 2 1 2 4 . sin 2 x x x l dx dx dx x x x dx ctgx x x π π π π π π π π π π π + + − = = = = ⎛ ⎞ − = − − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ - 275 -
- 285. U narednim primerimafunkcija ili njen izvod u krajevima intervala definisanosti ima prekide. Iz tih razloga izračunavanje luka svodi se na nesvojstveni integral. 40. [ ], 0,9 3 x y x x x= − ∈ . Rešenje 1 2 1 1 3 1 3 1 9 , 3 2 22 6 6 x x y x x x x − ′ = ⋅ − = − = ( ) 22 2 2 1 91 9 1 18 81 1 9 1 1 36 366 6 xx x x x y x xx x +⎛ ⎞− + + + ′+ = + = = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 9 9 1 1 1 3 9 2 2 2 2 0 0 0 1 9 1 1 lim 9 lim 2 6 28. 6 66 x l dx x x dx x x x ε ε ε ε − → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 41. ( ) [ ]2 ln 1 , 1,2y x x x= + − ∈ . Rešenje 2 1 , 1 y x ′ = − 2 2 2 2 2 1 1 1 , 1 1 1 x x y x x x ′+ = + = = − − − 2 2 2 2 2 2 21 1 1 , 2 lim , 1 1 1 2 , 3 dt x t xdx xdx xdx l x t x x x t ε ε ε ε → ⎧ ⎫ − = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ = = = = = − =⎨ ⎬ − − ⎪ ⎪ = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ 2 2 3 3 2 1 1 11 1 lim lim 3 lim 1 3dt t ε ε εε ε ε → → →− − ⎛ ⎞ = = − − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 42. 2 arcsiny x x x= − − . Rešenje: Data kriva je definisana za [ ]0,1x ∈ . - 276 -
- 286. 2 , x y x x ′ = − 21 1 , 1 y x ′+ = − ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 11 lim 1 lim 2 lim 1 1 2 . 11 2 t t t t t x l dx x dx t x − → − → − → − − = = − = − = − − − = −∫ ∫ 43. a) [ ]2 1 2 ln , 1,2 16 y x x x= − ∈ ; b) ( ) [ ] 1 , 0,1 2 x x y e e x− = + ∈ ; c) ( )2 1 ln 1 , 0, 2 y x x ⎡ ⎤ = − ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ ; d) 2 , 0, cos 4 y x x π⎡ ⎤ = ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ ; Rešenje: a) 1 6 ln 2 16 l = + , b) 1 1 2 l e e ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , c) 1 ln3 2 l = − , d) 2 4 l π = − , - 277 -
- 287.
- 288. L A BO R A T O R I J S K E V E Ž B E M A T - L A B 1. Vežba 1 Alati i osnovne funkcije 2. Vežba 2 Matrice -definicija 3. Vežba 3 Grafika 4. Vežba 4 Upravljanje tokom programa 5. Vežba 5 M – fajlovi (datoteke) 6. Vežba 6 Jednačine i sistemi linearnih algebarskih jednačina 7. Vežba 7 Simbolička matematika 8. Vežba 8 Granična vrednost i izvod funkcije 9. Vežba 9 Integrali 10. Vežba 10 Primena integrala 11. Zadaci za vežbanje 12. Spisak naredbi i funkcija - 279 -
- 289.
- 290. VEŽBA 1 ALATII OSNOVNE FUNKCIJE MATLAB (Matrix Laboratory) je viši programski jezik razvijen sredinom 80-ih godina. Prvenstveno je bio namenjen inžinjerima, ali je za kratko vreme postao standardni programski paket na Univerzitetima, fakultetima… 1. KAKO POČETI RAD U MATLAB –U MATLAB je jednostavan za korišćenje. Kada je program pozvan, pojavljuje se MATLAB - ov komandni prozor (slika 1. 1). slika 1. 1 Prvi red predstavlja liniju menija (Menu bar), koja sadrži uobičajene komande. Ako se na ekranu odmah ne pojavi prozor sa slike 1.1, dobićemo ga ako izaberemo View-Desktop Layout-Default. - 281 -
- 291. Na ekranu semogu videti manji prozori: Command window Command History window Launch Pad window Postoje takođe dugmad za dva nova prozora: Workspace window Current Directory window Command window je glavni deo MATLAB-ovog interaktivnog sistema. Iz tog prozora pristupamo MATLAB-ovim komandama i funkcijama. U radnom prostoru pojavljuje se znak >> , koji se naziva prompt, pored koga se nalazi kursor, vertikalna trepćuća linija, koja predstavlja spremnost računara da primi naredbu. Kada se u radnom delu otkuca naredba i pritisne taster Enter, naredba se odmah izvršava. Command History window čuva predhodne naredbe koje su bile korišćene u Command window. Launch Pad window je drugi način da se pristupi MATLAB-u. Treba kliknuti na ikonu na vrhu prozora i otvoriće se osnovni program ili toolbox-ovi, prema želji korisnika. Workspace window pokazuje promenljive koje su korišćene tokom rada, odnosno njihovu veličinu i vrstu. Ove informacije mogu biti od velike koristi kasnije u radu. Current Directory window pokazuje korišćene fajlove. 2. OPERATORI ZA POMOĆ U RADU Naredbom help obezbeđena je pomoć i informacije tokom rada. To je velika pogodnost za korisnike jer je teško memorisati veliki broj funkcija koje su definisane. Postoji nekoliko verzija ove naredbe. Ako otkucamo help i pritisnemo taster <Enter> na ekranu će se pojaviti spisak oblasti i uputsta za rad. Na ekranu će se pojaviti spisak svih opcija koje poseduje MATLAB. >> help HELP topics: matlabgeneral - General purpose commands. matlabops - Operators and special characters. Da bi se dobilo uputstvo za neku posebnu oblast, operator ili funkciju potrebno je uneti naredbu: - 282 -
- 292. >> help oblast Otkucatisledeće naredbe help i videti šta se dobija na ekranu. >> help * >> help i >> help sqrt Za ilustrovanje mogućnosti MATLAB-a, priređeni su uzorci raznih programa, koji se mogu pozvati naredbama demo. Aktiviranjem ove naredbe otvara se grafički prozor koji pokazuje meni demonstracionih datoteka. 3. UNOŠENJE PODATAKA - BROJEVI I ARITMETIČKI IZRAZI Osnovni objekat nad kojim se vrše operacije u MATLAB-u je polje brojeva. Ovo polje brojeva može da se tumači kao matrica u uobičajenom smislu, ali zavisno od komande, može se tumačiti i kao tabela podataka koje treba obraditi. Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa 1 1× . Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone. MATLAB je jezik izraza. Oni su sačinjeni od konstanti, promenljivih, operatora, specijalnih znakova i funkcija. Operacije i izrazi u MATLAB-u se pišu na uobičajen način, slično kao što pišemo na papiru. Rezultat izvršenja izraza je matrica. MATLAB operiše sa realnim i kompleksnim brojevima. Koristi se uobičajena decimalna notacija sa znakom i decimalnom tačkom. MATLAB može da se koristi za izračunavanje jednostavnih matematičkih izraza. Tada on radi slično kalkulatoru. MATLAB je veoma strog prema definisanoj sintaksi jezika. Na primer, izostavljena zagrada ili zarez mogu da utiču da ceo program ne funkcioniše. Sa druge stane, velika olakšica u radu je što se na ekranu ispisuje vrsta učinjene greške i olakšava se korisniku da se greške isprave. >> y=sin(x ??? y=sin(x Error: ")" expected, "end of line" found. MATLAB-ove promenljive mogu imati numeričke ili znakovne vrednosti (string). Znakovni tip podataka sastoji se iz niza ASCII znakova, a unose se pod jednostrukim apostrofima, na primer 'x'. PRIMER 1: Napisati reč student. >> rec='student' rec = student - 283 -
- 293. PRIMER 2: Odreditibroj slova u reči student. >> size(rec) ans = 1 7 U ovom primeru korišćena je naredba size(), koja određuje dimenziju unete promenljive. Napomena: (Odgovor 1 7 označava polje brojeva,tj. u jednom redu ima sedam elementa) Napomena: U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele. Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj Promenljiva= numerička vrednost ili izraz Imena promenljivih ili funkcija, moraju početi slovom, iza koga može slediti prizvoljan niz simbola, ali se samo prvih 31 karaktera iz imena pamti. MATLAB razlikuje velika i mala slova, tj. x i X su dve različite promenljive. Imena matrica obično se pišu velikim slovima, dok imena skalara i vektora malim slovima. Imena funkcija moraju se pisati malim slovima. 4. ARITMETIČKI OPERATORI Aritmetički izrazi se prave korišćenjem uobičajenih aritmeričkih operacija za koje koristimo sledeće simbole: + sabiranje - oduzimanje * množenje / deljenje ^ stepenovanje PRIMER 3: Izračunati vrednost izraza 2+4-6. >> 2+4-6 ans = 0 Iz ovog primera vidimo da MATLAB sam kreira promenljivu pod imenom ans (answer-odgovor) ukoliko korisnik sam ne dodeli ime promenljivoj ili vrednosti izraza. - 284 -
- 294. PRIMER 4: Izračunativrednost izraza ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅+= π 1 422x . >> x=2+(2*4-1/pi) x = 9.6817 Broj π je definisan kao stalna veličina MATLAB-a i dovoljno je ukucati samo pi. PRIMER 5: Izračunati vrednost izraza 3y x= , ako je 2 3x = . >> x=3^2; >> y=3*x y = 27 Napomena: Ako ne želimo da se rezultat ili međurezultat prikaže na ekranu, na kraju naredbe unesi se znak ; . Na ovaj način se ubrzava rad na računaru, jer se eliminiše ispisivanje velikog broja, često nepotrebnih međurezultata. 5. RELACIJSKI OPERATORI Relacijski operatori su binarni operatori i koriste se za poređenje izraza. Rezultat poređenja je tačno (true) u oznaci 1 ili netačno (false) u oznaci 0 . < Manje od ≤ Manje ili jednako od > Veće od ≥ Veće ili jednako od == Jednako =∼ Nejednako PRIMER 6: Izračunati vrednost izraza 5<3. >> 5<3 ans = 0 PRIMER 7: Izračunati vrednost izraza 5<(7= =8). >> 5<(7= =8) ans = 0 - 285 -
- 295. Zamenimo sada ==sa = >> 5<(7=8) ??? 5<(7=8) | Error: ")" expected, "=" found. Napomena: Operator == često se pogrešno zamenjuje sa =, jer == predstavlja jednakost, a = je pridruživanje. U prvom slučaju 7 8= = ima istinitosnu vrednost pogrešno, tj. 0 i zato 5 0< daje kao rezultat 0. U drugom slučaju greška se javlja zato što = predstavlja samo operaciju pridruživanja, a ne računanja vrednosti koja ima neku istinitosnu vrednost. 6. LOGIČKI OPERATORI Operacije ∼ Logičko ne & Logičko i | Logičko ili Vrednosti za logičke operacije A B ∼ A A&V A|B 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 - 286 -
- 296. 7. KOMPLEKSNI BROJEVI Imaginarnajedinica je definisana kao stalna veličina. Koristi se uobičajena definicija 1−=i ili 1−=j . PRIMER 8: Definisati imaginarnu jedinicu i . >> i=sqrt(-1) i = 0 + 1.0000i Kompleksni brojevi se mogu, kao i u matematici definisati na više načina: z x iy= + algebarski oblik, gde je x realni , a y imaginarni deo kompleksnog broja. ϕi rew = eksponencijalni oblik, gde je r moduo, a ϕ argument kompleksnog broja. PRIMER 9: Napisati broj 2 3z i= + . >> z=2+3*i z = 2.0000 + 3.0000i >> z=2+3i z = 2.0000 + 3.0000i Napomena: Jedino kada se definiše kompleksni broj, moguće je izostaviti operator * množenja. U ostalim slučajevima operator množenja mora da se piše. PRIMER 10: Napisati broj 6 2 πi ew = . >> w=2*exp(i*pi/6) w = 1.7321 + 1.0000i Moduo, argument, realni, imaginarni deo kompleksnog broja i konjugovano kompleksni broj dobijaju se korišćenjem naredbi abs, angle, real, imag, conj. - 287 -
- 297. 8. OSNOVNE FUNKCIJE Funkcijese pozivaju tako što se iza imena funkcije u maloj zagradi navede argument funkcije. Neke od elementarnih funkcija koje su ugrađene u MATLAB možemo videti u tabeli. Kao što smo već napomenuli funkcije se pišu malim slovima, a argumente navodimo u zagradama. abs() apsolutna vrednost sqrt() kvadratni koren sin() sinus cos() kosinus tan() tangens cot() kotangens exp() eksponencijalna funkcija osnove e log() logaritam osnove e log10() logaritam osnove 10 PRIMER 11: Izračunati 4 sin π . >> sin(pi/4) ans = 0.7071 PRIMER 12: Za 5x = i 59y = izračunati vrednost izraza lnz y x= + . >> x=5; >> y=59; >> z=log(y)+sqrt(x) z=6.0775 Napomena: Primetimo da vrednosti promenljivih x i y nisu prikazane na ekranu, jer se iza promenljivih nalazi znak ; PRIMER 13: Izračunati rešenja kvadratne jednačine 322 −− xx . >> % Kvadratna jednačina je oblika ax^2+bx+c : >> % Rešenja se dobijaju na osnovu formule a acbb x 2 42 2,1 −±− = : >> a=1;b=-2;c=-3; >> koren=sqrt(b^2-4*a*c); >> x1=(-b+koren)/(2*a) - 288 -
- 298. x1 = 3 >> x2=(-b-koren)/(2*a) x2= -1 PRIMER 14: Izračunati vrednost izraza 10logz x y= + , za vrednosti promenljivih x i y zadatih u predhodnom primeru ( primer 12). >> % x i y su vrednosti promenljivih iz predhodnog primera >> z=log10(x)+abs(y) z = 59.6990 Napomena: Treba imati u vidu da MATLAB pamti predhodno unete veličine pa ih nije potrebno ponovo definisati, ako nam kasnije trebaju u radu. Napomena: Oznaka % koristi se za pisanje komentara. 9. OSNOVNE KONSTANTE U MATLAB - U ans Vrednost izraza kada nije pridružen promenljivoj eps Dozvoljena tolerancija greške i , j Imaginarna jedinica, 1− pi π =3.14159265..... Inf ∞ , ili rezultat 1/0 (infinity) NaN Nije broj, ili rezultat 0/0 –(Not a Number) Napomena: Prednost rada u MATLAB-u je što deljenje nulom ne dovodi do prekida programa ili greške. Ispisuje se poruka upozorenja i specijalna veličina se ponaša korektno u kasnijim izračunavanjima. 10.IZLAZNI FORMAT Izlazni oblik prikazivanja rezultata može se kontrolisati naredbom format. Ova komanda utiče samo na prikaz na ekranu, a ne na to kako se šta izračunava ili smešta u memoriju. Postoje različiti izlazni formati: format short, format long, format long e, format short e, format rat. Ako nije definisan neki drugi format automatski se koristi format short, standardni format sa 4 značajnih cifara. - 289 -
- 299. PRIMER 15: Brojπ prikazati koristeći sve prethodne komande. % napomene % format short ima 4 decimalna mesta >> format short, pi ans = 3.1416 >> format long, pi ans = 3.14159265358979 >> format long e, pi ans =3.141592653589793e+000 >> format short e, pi ans = 3.1416e+000 >> format rat, pi ans = 355/113 >>% za ponovno koriscenje standardnog formata >> format short, pi Napomena: Sledeći broj sa kojim budemo radili biće u poslednjem formatu koji smo koristili. Da bi se vratili u uobičajeni format short, dovoljno je otkucati samo naredbu format. 11.BRISANJE I ČUVANJE PODATAKA clear Briše podatke iz radne memorije clear x Briše se promenljiva x save Čuva podatke u fajlu na disku za kasniju upotrebu save ime Pamti sve veličine iz radnog prostora pod zadatim imenom quit , exit Ostvaruje se prekid programa load Predstvlja obrnutu naredbu od save - 290 -
- 300. VEŽBA: 1. Utvrditi štaje veće π e ili e π ? (Voditi računa da e nije definisano kao konstanta MATLAB –a, već ga izračunavamo kao vrednost eksponencijalne funkcije za argument 1x = ). 2. Izračunati z , ako je ( ) ( ) ( )9896 100 11 1 iii i z +−− + = . 3. Za 0x = , izračunati 5 x . 4. Proveriti tačnost iskaza 2 sin cos 2 2 x tgx x tgx + = za 5 x π = . 5. Korišćenjem različitih izlaznih formata napisati broj 2 . 6. Ako je ,42.6,2.18 =−= ba )2(5.0,/ acbdbac +== izračunati vrednost ( ) abc da c ba d 2 + + + − . 7. Uneti svoje ime i prezime pa odrediti broj slova u njemu. - 291 -
- 301. VEŽBA 2 MATRICEI OPERACIJE 1. MATRICE I VEKTORI Već smo naglasili, da su u MATLAB - u, promenljive polja brojeva, koje mogu da se tumače kao matrice u uobičajenom smislu. Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa 1x1. Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone. Matrica se definiše sa dva indeksa m i n, gde prvi indeks m označava broj vrsta, a drugi, n broj kolona. Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [ , ] ograničavaju listu elemenata. U okviru liste elementi se razdvajaju zarezom ili razmakom. Taster Enter ili ; se koriste za odvajanje vrsta matrice. PRIMER 1: Uneti matricu ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 247 586 421 A . >> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2] A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Druga mogućnost upisa je: >> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2] A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Vektori su matrice vrste ili kolone i unose se na isti način. Ako su vrednosti elemenata ekvidistantne (sa istim korakom) koristi se simbol : . PRIMER 2: Uneti vektor x=(1, 2, ... , 10). >> x=1:10 x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 292 -
- 302. Naredba length() izračunavadužinu vektora. >> length(x) ans = 10 PRIMER 3: Uneti vektor x. >> x=1:10 ; x=[x x+2] x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ako želimo proizvoljan korak, a ne 1, kao u predhodnom primeru, koristimo naredbu h=a:k:b, gde su a i b početna i krajnja vrednost, a k je korak. PRIMER 4: Uneti vektor x=(1, 3, 5,7), sa korakom dužine 2. >> x=1:2:8 x = 1 3 5 7 Matrice sa kompleksnim elementima možemo da unosimo na dva načina. PRIMER 5: Uneti matricu ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ −+− = ii ii Z 8473 6251 , tako što prvo unosimo realne, a zatim imaginarne delove zadatih kompleksnih brojeva. >> A=[-1, 2; 3, 4] ; V=[5, -6; 7, 8] ; Z=A+V*i Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000 PRIMER 6: Uneti matricu Z iz prethodnog primera tako što elemente matrice unosimo kao kompleksne brojeve. >> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i Element matrice A koji se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone može se dobiti primenom naredbe A(i,j). - 293 -
- 303. PRIMER 7: Izdvojitielement 2,3a matrice ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −= 654 132 321 A . >> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ; >> A(2 , 3) ans = 1 Ako želimo da izdvojimo celu vrstu ili kolonu koristimo komande A(k,:), A(:,k), gde k predstavlja traženu vrstu, odnosno kolonu. Dimenzije matrice određuju se naredbama: size(A) [m,n]=size(A). PRIMER 8: Odrediti dimenzije date matrice A, koristeći naredbu size. >> size(A) ans = 3 3 PRIMER 9: Odrediti dimenzije matrice A koristeći naredbu [m,n]=size(A). >> [m, n]=size(A) m = 3 n = 3 2. MATRICE SPECIJALNIH STRUKTURA Naredba eye daje jediničnu matricu. Naredba Opis eye(n) Jedinična matrica dimenzija nxn eye(m,n) Jedinična matrica dimenzija mxn eye(size(A)) Jedinična matrica dimenzija date matrice A PRIMER 10: Formirati matricu X dimenzija 2 3× , čiji su elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a ostali su jednaki 0. >> X=eye(2,3) X = 1 0 0 0 1 0 - 294 -
- 304. PRIMER 11: Odreditijediničnu matricu dimenzija date matrice A. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; X=eye(size(A)) X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Naredba ones daje matricu čiji su svi elementi jedinice. Naredba Opis ones(n) Matrica dimenzije nxn čiji su svi elementi jedinice ones(m,n) Matrica dimenzije mxn čiji su svi elementi jedinice ones(size(A)) Matrica dimenzije date matrice A čiji su svi elementi jedinice PRIMER 12: Formirati kvadratnu matricu reda 2 čiji su svi elementi jednaki 1. >> X=ones(2) X = 1 1 1 1 Naredba zeros daje matricu čiji su svi elementi nule. Naredba Opis zeros(n) Matrica dimenzije nxn čiji su svi elementi nule zeros(m,n) Matrica dimenzije mxn čiji su svi elementi nule zeros(size(A)) Matrica dimenzija date matrice A čiji su svi elementi nule PRIMER 13: Formirati matricu dimenzija 2 3× čiji su elementi jednaki 0. >> X=zeros(2,3) X = 0 0 0 0 0 0 Naredba magic(n) daje matricu sa celobrojnim elementima između 1 i n2, dimenzija nxn, sa osobinom da je zbir elemenata po vrstama i kolonama konstantan (čarobni kvadrat). - 295 -
- 305. PRIMER 14: Formiratimagičnu matricu trećeg reda. >> X3=magic(3) X3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Naredbom diag(A) dobijamo dijagonalnu matricu date matrice A. PRIMER 15: Napisati matrice diag(A). >> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A)) A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 X1 = 1 -3 -6 3. OPERACIJE SA MATRICAMA Osnovne operacije sa matricama su: sabiranje, oduzimanje, množenje, stepenovanje i transponovanje. 3.1. Sabiranje i oduzimanje matrica Sabiranje i oduzimanje matrica vrši se tako što se sabiraju, odnosno oduzimaju odgovarajući elementi matrica. Tom prilikom moramo voditi računa da matrice budu istih dimenzija. PRIMER 16: Sabrati matrice A i B. >> A , B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 B = 2 3 -4 - 296 -
- 306. 1 -1 1 32 -1 C = 3 5 -1 3 -4 2 -1 -3 -7 Sabiranje i oduzimanje je izvodljivo i u slučaju kada je jedan činilac skalar. . PRIMER 17: Od date matrice A oduzeti skalar 1. >> D=A-1 D = 0 1 2 1 -4 0 -5 -6 -7 Napomena: U predhodnom primeru, skalar 1 MATLAB automatski shvata kao matricu istih dimenzija kao što je matrica A čiji su svi elementi jednaki 1. 3.2. Množenje matrica Množenje matrica skalarom se vrši tako što svaki element te matrice pomnožimo vrednošću datog skalara. Za množenje matrica skalarom važi zakon komutacije, tj. kA Ak= . PRIMER 18: Ako je 5k = , odrediti matricu 5A. Množenje matrica se u obavlja korišćenjem operatora * . >> A , F=5*A A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 F= 5 10 15 10 -15 5 -20 -25 -30 Množenje dve matrice: Proizvod matrica A={( ),i j m r a × } i B={( ),i j r nb × } je nova matrica ( ){ },i j m n C c × = čiji su elementi , , 1 r ij i k k j k c a b = = ∑ . - 297 -
- 307. PRIMER 19: Pomnožitimatrice A i A1. >> A ;A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1 A1 = 1 2 2 -3 1 6 P= 8 14 -3 19 -20 -29 PRIMER 20: Pomnožiti matrice A1 i A. >> A1*A ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Napomena: Matrično množenje nije komutativna operacija i dimenzije matrica A i A1 moraju da budu usklađene. 3.3. Transponovanje matrica Transponovanje matrica sa realnim koeficijentima, je zamena vrsta i kolona. Vrši se pomoću operatora ' . PRIMER 21: Transponovati datu matricu A. >> A , E=A' A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 E = 1 2 -4 2 -3 -5 3 1 -6 - 298 -
- 308. PRIMER 22: Transponovativektore x, y. >> x=[-1 3 8]' , y=[-1;-2;4]' x = -1 3 8 y = -1 -2 4 3.4. Determinanta matrice Determinanta kvadratne matrice je broj koji se u MATLAB-u izračunava pomoću naredbe det() . PRIMER 23: Izračunti determinantu kvadratne matrice A. >> A ; D=det(A) D= -27 3.5. Inverzna matrica Inverzna matrica date matrice A računa se po obrascu adjA A A )det( 11 =− . U MATLAB-u inverzna matrica 1− A , određuje se korišćenjem naredbe inv(A). PRIMER 24: Naći inverznu matricu, zadate matrice A. >> A ; inv(A) -0.8519 0.1111 -0.4074 -0.2963 -0.2222 -0.1852 0.8148 0.1111 0.2593 - 299 -
- 309. PRIMER 25: Naćiinverznu matricu, matrice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . >> S=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9] >> inv(S) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. Napomena: Kako je matrica S singularna (determinanta matrice je jednaka nuli), inverzna matrica ne postoji. 3.6. Stepenovanje matrica Ako je A kvadratna matrica, a p N∈ , matrični stepen definišemo kao: p p A AAAA AAAA= . Stepenovanje može da se vrši i ako p nije ceo broj, ali to razmatranje prevazilazi ovaj kurs. Stepenovanje matrice matricom, davaće poruku o grešci. Za regularnu matricu (determinanta različita od nule) A, važi ( )pp AA 1−− = . Stepenovanje matrica vrši se pomoću operatora ^ . PRIMER 26: Za datu matricu A odrediti 2 2 ,A A− i proveriti da li važi da je IAA =⋅ −22 , gde je I jedinična matrica. >> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M J = -7 -19 -13 -8 8 -3 10 37 19 M = 0.3608 -0.1646 0.2209 0.1674 -0.0041 0.1139 -0.5158 0.0947 -0.2853 I = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.000 - 300 -
- 310. 3.7. Deljenje matrica Umatričnom računu operacija deljenja nije definisana, ali u MATLAB - u postoje dve naredbe za deljenja: označava “deljenje” sa leva, / označava “deljenje” sa desna. Neka je A kvadratna regularna matrica, tada je 1 *A B A B− = , 1 / *A B B A− = . Rezultati se dobijaju direktno, bez računanja inverzne matrice. PRIMER 27: Rešiti matričnu jednačinu AX B= gde su date matrice. 1 2 2 2 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i 1 2 3 4 B ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Da bismo rešili matričnu jednačinu AX B= , kako za množenje matrica ne važi zakon komutacije, postupak je sledeći: AX B= BAAXA 11 −− = BAX BAIX 1 1 − − = = U MATLAB–u poslednja jednačina se može napisati pomoću simbola deljenja X=AB. Zadati problem može zato rešiti na dva načina. >> A=[1,2;2,2]; B=[1,2;3,4]; >> X=AB X = 2.0000 2.0000 -0.5000 0 >> X=inv(A)*B X = 2.0000 2.0000 -0.5000 0 PRIMER 28: Rešiti matričnu jednačinu XA B= koristeći matrice A i B iz prethodnog primera. Jednačinu XA B= , odnosno njeno rešenje 1− = BAX možemo rešiti matričnim deljenjem s’ desna X=A/B. - 301 -
- 311. >> A;B; >> X=B*inv(A) X= 1 0 1 1 >> X=A/B X = 1 0 -1 1 3.8. Operacije nad poljem brojeva Za množenje, stepenovanje i deljenje u polju brojeva ne važe pravila matričnog računa, već se množenje vrši po principu član po član. U zapisu ove operacije sadrže decimalnu tačku ispred operatora .* , ./, .^. PRIMER 29: Uočiti razliku između množenja * i .* >> A=[1 2; 2 3]; B=[1 0; 2 3]; >> A*B ans = 5 6 8 9 >> A.*B ans = 1 0 4 9 Napomena: U prvom slučaju imamo matrično množenje , a u drugom množe se element po element. - 302 -
- 312. VEŽBA: 1. Dati suelementi , , 2eπ . Formirati matricu 3x3, čiju prvu vrstu čine dati brojevi, drugu vrstu njihovi tangensi, a treću vrstu kvadratni koreni datih brojeva. 2. Koristeći datu matricu A odrediti: a) član na mestu (3,1), b) drugu vrstu matrice A, c) determinantu matrice 2 A , d) transponovanu matricu matrice 1− A . 3. Ukucati i objasniti: A(:) , A(:,:) , A(1:2,3) , A(:,3:-1:1) , A([1 3],[2 3]). 4. Izračunati ( )2 1 4 det T A A A − + + koristeći datu matricu A . 5. Izračunati ( )( )A I A I+ − ako je 1 3 2 1 2 1 0 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . 6. Rešiti matričnu jednačinu CXBA =2 ako je: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 01 21 A , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 12 30 B , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 118 178 C . - 303 -
- 313. VEŽBA 3 GRAFIKA UMATLAB-u postoji mnogo komandi za crtanje grafika. Izgled grafika može se podešavati proizvoljnim izborom boje, debljine i vrste linija, unošenjem mreže, naslova, komentara i slično. U ovoj vežbi obrađeno je crtanje dvodimenzionih grafika. 3.1. GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE Najjednostavniji način za grafičko predstavljanje, sa linearnom podelom na osama, je korišćenjem naredbe plot. Prilikom crtanja otvara se grafički prozor za koji važe ista pravila kao kod Windows prozora. Naredba ima oblik plot(x,y) Argumenti x i y su vektori, koji moraju imati isti broj elemenata. PRIMER 1: Nacrtati vektor (1,2,4,8,16)x = . >> x=[1,2,4,8,16];plot(x) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Iz ovog primera možemo videti da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive x uzeo redni broj elementa, a njihove slike, su vrednosti vektora x , tj. tačke nacrtanog grafika imaju koordinate )16,5(),8,4(),4,3(),2,2(),1,1( . U opštem slučaju naredba plot(x) crta grafik spajajući tačke (i, x(i)), i=1, 2, 3,…, N, gde je N dužina vektora. - 304 -
- 314. PRIMER 2: Nacrtati vektordat koordinatama (1,2,4,8,16)x = i ( 1,2, 4,8,16)y = − − . >> x=[1,2,4,8,16]; y=[-1,2,-4,8,16]; plot(x,y) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Naredba plot se koristi i za crtanje funkcija jedne promenljive. U ovom slučaju mora unapred da se definiše domen promenljive x u kome će funkcija biti nacrtana. PRIMER 3: Nacrtati funkciju 2 x y e= u domenu [ ]1,1x∈ − >> x=-1:1 x = -1 0 1 >> y=2*exp(x) y = 0.7358 2.0000 5.4366 >> plot(x,y) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 - 305 -
- 315. >> x=-1:.5:1 x = -1.0000-0.5000 0 0.5000 1.0000 >> y=2*exp(x) y = 0.7358 1.2131 2.0000 3.2974 5.4366 >> plot(x,y) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 >> x=-1:.1:1; >> y=2*exp(x); >>plot(x,y) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Napomena: U prvom slučaju koristili smo domen [ ]1,1− i MATLAB je za vrednosti nezavisno promenljive x uzeo tri uzastopne vrednosti 1,0,1− , a funkcija je nacrtana kao izlomljena linija kroz 3 tačke. U drugom i trećem slučaju smo definisali korak 0,5 i 0,1, pa je nezavisno promenljiva x imala 5 i 20 vrednosti , a funkcija je nacrtana kao izlomljena linija kroz 5, odnosno 20 tačaka. - 306 -
- 316. PRIMER 4: U istomkoordinatnom sistemu nacrtati funkcije 1 2y x= i 2 2 x y e= , u domenu [ ]1,1x∈ − , sa korakom 0.1. >> x=-1:.1:1; y1=2*x ;y2=2*exp(x); plot(x,y1,x,y2) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 3.2. IZBOR VRSTE I OBLIKA LINIJE Naredbom plot u mogućnosti smo da biramo izbor oblika i boje linija. Nareba ima oblik plot( x,y,'vrsta linije boja'). Simbol linije Opis . Tačka o Krug x x-znak + Plus * Zvezda - Puna linija -. Tačka – crta : Tačkasta -- Isprekidana linija - 307 -
- 317. Simbol boje Boja y Žuta m Ljubičasta sCijan r Crvena g Zelena b Plava k Crna w Bela PRIMER 5: U predhodnom primeru , proizvoljno, uvedimo oznake za vrstu i boju linije. >> x=-1:.1:1;y1=2*x; y2=2*exp(x); >> plot(x,y1,'g',x,y2,'m+') -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 3.3. CRTANJE GRAFIKA FUNKCIJA Za crtanje grafika funkcija možemo da koristimo i naredbu fplot. Nareba ima oblik fplot(f(x),xmin,xmax) ( )f x je funkcija koju crtamo, x je vektor čiji je prvi element xmin, a poslednji element xmax. U naredbi fplot funkcija se piše pod navodnicima ' f '. - 308 -
- 318. PRIMER 6: Nacrtati funkciju92 −= xy u domenu [ ]3,3x∈ − . >> y='x^2-9'; fplot(y,[-3,3]) -3 -2 -1 0 1 2 3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 3.4. OZNAČAVANJE GRAFIKA I OSA MATLAB nudi mogućnosti označavanja osa, pisanje različitog teksta i razne druge mogućnosti. Oznaka Opis title() naziv grafika xlabel() naziv x ose ylabel() naziv y ose text() naziv teksta na grafiku gtext() tekst na poziciji označenoj mišem grid crtanje linija mreže Tekst u predhodnim naredbama piše se u zagradi pod navodnicima. Naredba hold on zadržava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off . U naredbi gtext korisnik naknadno sam određuje mišem mesto na koje želi da smesti tekst. PRIMER 7: Nacrtati funkciju siny x= na domenu [ ]2 ,2x π π∈ − i koristeći naredbe iz tabele obeležiti sliku. >> y='sin(x)';fplot(y,[-2*pi,2*pi]) >> hold on >> grid >> title('sinusna funkcija') - 309 -
- 319. >> xlabel('x osa') >>ylabel('y osa') >> gtext('max') -6 -4 -2 0 2 4 6 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sinusna funkcija x osa yosa max Naredba subplot(m, n, p) formira više grafika na ekranu. Ekran se deli na m n× delova, a grafik se crta u p -tom delu ekrana. PRIMER 8: Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije: [ ], 1,1y x x= ∈ − ; [ ], 0,1x y xe x= ∈ ; [ ]2 , 2,2y x x= ∈ − ; [ ]cos , ,y x x π π= ∈ − . >> x1=-1:1:1; y1=x1; >> x2=0:0.5:1; y2=x2.*exp(x2); >> x3=-2:.1:2; y3=x3.^2; >> x4=-pi:pi/16:pi; y4=cos(x4); >> subplot(2,2,1),plot(x1,y1) >> subplot(2,2,2),plot(x2,y2) >> subplot(2,2,3),plot(x3,y3) >> subplot(2,2,4),plot(x4,y4) -4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 - 310 -
- 320. 3.5. SKALIRANJE OSA Osex i y automatski se postavljaju na osnovu minimalne i maksimalne vrednosti koordinata. PRIMER 9: Nacrtati funkciju siny x= za -2 2xπ π≤ ≤ , a zatim postaviti da domen po x osi bude - xπ π≤ ≤ , a po y osi bude 2,2− . >> x=-2*pi:pi/16:2*pi; y=sin(x);plot(x,y),grid -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 >> axis([-pi,pi,-2,2]) -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Oznaka Opis axis('equal') Provera se da li je priraštaj po osama isti axis(xmin,xmax,ymin,ymax) Zadaju se granice u kojima će biti nacrtan grafik axis('normal') Vraćanje na prvobitne dimnezije grafika axis('axis') Vraćanje na prvobitno skaliranje axis Dobija se informacija o trenutnim dimenzijama - 311 -
- 321. VEŽBA: 1. Nacrtati funkcijesiny x= i cosy x= u domenu od 0,2π , sa korakom 16 π . 2. Nacrtati funkciju 2 5 6y x x= − + u proizvoljnom domenu i opisati je tekstom. 3. Koristeći naredbu subplot nacrtati sledeće funkcije: xy 21 = ; 3 2 xy = ; )sin(3 xy = ; xy =4 za: a) [ ]1,0∈x , 4. Nacrtati funkciju 2 2 1 x y x = + u domenu x∈[-2,2] 5. Nacrtati funkciju 0.5 3.5 cos6x y x− = u domenu x∈[-2,4] sa korakom 0,01. - 312 -
- 322. VEŽBA 4 UPRAVLJANJEPROGRAMOM Računarski program je niz naredbi. Kada je program jednostavan naredbe se izvršavaju jedna za drugom, po redosledu kako su napisane. Međutim, postoje složeni programi kada se naredbe ne moraju tako izvršavati. MATLAB ima više naredbi koje omogućavju korisniku da upravlja tokom programa. To su naredbe: if, for, while, else, break, error, while... Uslovni iskaz je naredba koja omogućava MATLABu da se odluči da li će izvršiti grupu naredbi koje slede ili će ih preskočiti. U uslovnom izrazu mora se zadati uslov. 1. USLOVNI IZRAZ : IF Naredba if se koristi za uslovno izvršavanje programa. Prilikom izvršavanja programa prvo se dolazi na iskaz if . Ako je uslovni izraz u iskazu if tačan, program izvršava komande koje neposredno slede, sve do iskaza end. Ako je uslovni iskaz netačan, program preskače komande između if i end i nastavlja da izvršava komande iza iskaza end. Oblik petlje je if izraz naredbe end - 313 -
- 323. if izraz naredbe 1 else naredbe2 end if izraz 1 naredbe 1 elseif izraz 2 naredbe 2 else naredbe 3 end - 314 -
- 324. Za unošenje vrednostipromenljive može da se koristi naredba input. Naredba ima oblik ime promenljive=input (‘tekst koji će biti prikazan u prozoru‘). Za ispisivanje izlaznih rezultata koristi se naredba disp. Naredba ima oblik disp(‘tekts koji će biti prikazan u prozoru ’). PRIMER 1: Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od 21 na izlazu ispisati 'zabranjen alkohol', a u suprotnom izaći iz programa. >> godine=input('godine su:'); Godine su:12 >> if godine <21 disp('zabranjen alkohol') end zabranjen alkohol >> godine=input('godine su :'); Godine su :33 >> if godine <21 disp('zabranjen alkohol') end - 315 -
- 325. U prvom slučajuuneti broj godina je bio manji od 21, pa smo na ekranu dobili ispis zabranjen alkohol. U drugom slučaju je bio veći od 21 i na ekranu nije bilo ispisa. PRIMER 2: Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od 21 ispisati na izlazu 'zabranjen alkohol', a u suprotnom ispisati na izlazu 'dozvoljen alkohol'. >> godine =input ('godine su:'); godine su:23 >> if godine <21 disp( 'zabranjen alkohol' ) else disp( 'dozvoljen alkohol' ) end dozvoljen alkohol PRIMER 3: Za unapred zadatu vrednost promenljive x izračunati vrednost izraza y , tako da, ako je 2x < sledi da je 2y x= − , za 2x = je 2y = , inače je 2y x= . > x=input('x=') x=4 x = 4 >> if x<2 y=-2*x; - 316 -
- 326. elseif x= =2 y=2; else y=2*x; disp(y) end 8 Napomena: Trebaobratiti pažnju da u izrazu x= =2 koristi se oznaka = = , a ne =, zato što se u ovom izrazu koristi logički operator za upoređivanje veličina. 2. USLOVNI IZRAZ: FOR- PETLJA for petlja omogućava ponavljanje dela programa zadati broj puta. Završava se komandom end. Oblik petlje: for promenljiva=izraz naredbe end PRIMER 4: Za sve vrednosti promenljive { }1,2,3,4,5x∈ izračunati vrednost funkcije sin 2y x= . - 317 -
- 327. >> for x=1:5 y(x)=sin(2*x); end >> y y= 0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 -0.5440 PRIMER 5 : Napisati matricu 4 3A × čiji se elementi izračunavaju po zakonu ( ) 1 , 2 2 a i j i j = + − >> for i=1:4 for j=1:3 A(i,j)=1/(2*i+j-2); end end >> A A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1429 0.1250 0.1111 U ovom primeru korišćena je dupla for petlja. 3. USLOVNI IZRAZ: WHILE - PETLJA `While petlja koristi se za ponavljanje skupa naredbi dokle god je neki uslov tačan i kada nije poznat broj prolaza kroz petlju unapred. Uslov je obično neko poređenje u kome se koriste relacijski logički operatori. Oblik petlje: while izraz naredbe end PRIMER 6: Izračunavati vrednosti promenljive x , po zakonu 2x x= , dogod je 15x ≤ . >> x=1; >> while x <=15 x=2*x; end >> x x = 16 - 318 -
- 328. Napomena: Na početkuzadatka mora se definisati početna vrednost promenljive x . Kako funkcioniše nareba, preciznije se može videti, ako prikažemo sve među- rezultate promenljive x. >> x=1 >> while x <=15 x=2*x end x = 1 x = 2 x = 4 x = 8 x = 16 Deo programa između while i end izvršava se sve dok je izraz koji sledi posle while istinit. PRIMER 7: Izračunati zbir reda ( ) 2 1 1 1 1 1 1 4 9 16 n n s n ∞ = − = = − + − + −∑ …sa tačnošću 4 10− ( dogod je član veći od 4 10− ). >> s=0; >> n=1; >> while abs((-1)^n/n^2)>10^(-4) s=s+(-1)^n/n^2; n=n+1; end >> s s = -0.8225 - 319 -
- 329. PRIMER 8: Nekaje ! 1 ..... !3 1 !2 1 n sn +++= . Rešiti nejednačinu 7.0<ns . >> n=1 ; p=1 ; s=0 ; >> while s<0.7 n=n+1; p=p*n; s=s+1/p; end >> n-1 ans = 3 VEŽBA: 1. Formirati matricu dimenzija 5x5 čiji se elementi formiraju po zakonu jijia 2),( += . 2. Za unete godine starosti, u zavisnosti da li je taj broj manji od 21 ispisati na izlazu 'zabranjen alkohol', ako je broj godina veći od 65 ispisati 'alkohol zabranjen iz zdravstvenih razloga', inače, ispisati 'dozvoljeno piti umereno'. 3. Izračunati 5! koristeći petlje. 4. Neka je 1 1 1 2 3 na n = + + + . Rešiti nejednačinu 2na < . - 320 -
- 330. VEŽBA 5 M-FAJLOVI(DATOTEKE) Svi dosadašnji primeri bili su izvršavani u komandnom prozoru. Nedostatak ovakvog načina rada je gubljenje unetih podataka i svih dobijenih rezultata nakon završetka rada u MATLAB-u. Zato se nameće potreba za formiranjem fajlova u koje se mogu smestiti programi, numerički rezultati, grafici, strukture, itd., a koji će ostati trajno sačuvani i po potrebi biti pozivani od strane korisnika. Komande se upišu u fajlove, snime i zatim pokrenu. Pokretanjem takvog fajla komande se izvršavaju redom kojim su navedene. M fajlovi su specifičnost MATLAB-a. To su fajlovi koji sadrže tekst u ASCII kodu i u imenu imaju ekstenziju .m. Postoje dve vrste M fajlova: komandni (script) i funkcijski (function). 1. KOMANDNI ILI SKRIPT FAJLOVI Komandni ili skript fajl predstavlja niz MATLAB-ovih komandi snimljenih kao zaseban program, koje se izvršavaju kada se fajl pozove. Formiranje fajlova vrši se korišćenjem editora teksta koji se u MATLAB programskom paketu pokreće tako što se iz menija File komandnog prozora bira komanda New, a zatim opcija M-file. Tada se otvara nov prozor za pisanje programa. Komande se pišu red po red. MATLAB automatski dodeljuje broj novom redu kada se pritisne taster Enter. Skript fajl mora biti snimljen da bi se mogao pokrenuti. To se radi naredbom Save As iz menija File, posle čega bira se mesto gde će se snimiti fajl i ime pod kojim se snima. Pravila za imena su ista kao i za imena promenljivih (počinju slovom, mogu sadržati cifre i imaju najviše 63 znaka). Imena skript fajlova ne mogu biti imena MATLAB-ovih komandi ili imena promenljivih koje definišete. Fajl se poziva ukucavanjem njegovog imena u komandnoj liniji. Program se izvršava ukucavanjem imena fajla bez ekstenzije i pritiskom na taster Enter. - 321 -
- 331. PRIMER 1: Napisati fajlza određivanje zbira kvadrata prvih deset prirodnih brojeva i sačuvati fajl pod imenom zbir. Prvo je potrebno iz menija File komandnog prozora izabrati komandu New, a zatim opciju M-file. U novootvorenom prozoru ukucati program za izračunavanje traženog zbira. % ime ovog m fajla je zbir x=1:10; x=[x.^2]; z=sum(x) Fajl mora da se snimi naredbom Save As iz menija File. U ovom primeru snima se pod imenom zbir. Svaki put kada nam je potreban ovaj rezultat, dovoljno je samo otkucati reč zbir, pod kojim smo upamtili ovaj fajl i pritisnuti taster Enter. Kao rezultat dobijamo: z = 385 Napomena: Ukoliko želimo da promenimo vrednosti u fajlu, moramo ga otvoriti, promeniti željene vrednosti i ponovo snimiti ovako izmenjeni fajl. - 322 -
- 332. PRIMER 2: Izmeniti fajlpod imenom zbir tako da broj sabiraka bude proizvoljan. Vrednost promenljive uneti naredbom input. x=input('unesi broj željenih sabiraka ') y=1:x; y=[y.^2]; S=sum(y) Svaki put kada nam je potreban zbir kvadrata proizvoljno mnogo brojeva, dovoljno je samo otkucati reč zbir pod kojom smo upamtili ovaj fajl i uneti broj željenih sabiraka. >> zbir unesi broj željenih sabiraka: 33 x = 33 S = 12529 2. FUNKCIJSKI FAJLOVI Funkcijski fajl omogućava korisniku MATLAB-a da stvara nove funkcije. Funkcijski fajlovi se pišu i uređuju isto kao i skript fajlovi. Osnovna osobina funkcijskog fajla je da ima ulaz i izlaz. Funkcijski fajlovi moraju u prvoj liniji da sadrže naredbu function . Naredba je oblika: function [ izlazni argumenti y1, y2,…] = ime funkcije (ulazni argumenti x1, x2,…) function ime funkcije (x1, x2,…) function [y1, y2,…] = ime funkcije Posle ovoga izraza sledi niz MATLAB - ovih komandi i izraza. PRIMER 3: Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija ( ) sinx f x e x= + i zapamtimo ga pod imenom fi. % funkcijski fajl % ime nove funkcije je fi function y=fi(x) y=exp(x)+sin(x); - 323 -
- 333. Ako želimo daizračunamo vrednost ove funkcije, dovoljno je da pozovemo funkciju fi i definišemo vrednost promenljive, na primer 2 x π = . >> fi(pi/2) ans = 5.8105 PRIMER 4: Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija ( ) sinx f x e x= + pod imenom fa, a da se vrednost nezavisno promenljive unesi korišćenjem naredbe input % ime nove funkcije je fa function y=fa x=input('unesi promenljivu x= ') y=exp(x)+sin(x); Pozivanjem funkcije fa i odgovorom na postavljeno pitanje dobićemo odgovor: >> fa unesi promenljivu x=3 x = 3 ans = 20.2267 PRIMER 5: Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim se određuje broj slova u nekom imenu. % funkcijski fajl ime kojim se određuje broj slova u imenu function br(x) x=input('unesi svoje ime:','s') % oznaka s u naredbi označava da se unose stringovi n=length(x); disp(['broj slova u imenu je',num2str(n)]) >> ime unesi svoje ime: ivana x = ivana broj slova u imenu je 5 U naredbi disp, tekst je definisan kao dvodimenzioni vektor, čija je prva komponenta znak (string), a druga koja kao rezultat programa daje broj koji mora da se naredbom num2str prebaci u znak (string). - 324 -
- 334. PRIMER 6: Formirati funkcijskifajl pod imenom element, za izračunavanje elemenata matrice dimentija n m× , gde je ( )sin 2ija ij i= − za i j= , a ( ) 1 sin 2 2 ija ij i= − + za i j≠ . % izračunavanje elemenata matrice function a=element(i,j) if i= =j a=sin(2*i*j-i); else a=sin(2*i*j-i)+0.5; end Ako želimo da odredimo bilo koji element naše matrice, na primer element (2,3), pozvaćemo formirani fajl pod imenom element: >> element(2,3) ans = -0.0440 Koristeći formirane fajlove možemo formirati nove funkcijske fajlove. PRIMER 7: Formirati funkcijski fajl pod imenom matrica, za definisanje matrice prizvoljnog reda n m× , čiji su elementi dati funkcijskim fajlom pod imenom element. % formiranje matrice čiji su elementi sinusne funkcije iz fajla pod imenom element % ime novog fajla je matrica function A=matrica(m,n) for i=1:m for j=1:n A(i,j)=element(i,j); end,end Ako želimo da definišemo neku određenu matricu na primer matricu sa 2 vrste i 3 kolone možemo postupiti na sledeći način: >> matrica(2,3) ans = 0.8415 0.6411 -0.4589 1.4093 -0.2794 -0.0440 - 325 -
- 335. VEŽBA: 1. Napraviti skriptfajl za crtanje funkcije cosy x= , na intervalu ( ),π π− pod imenom funkcija. 2. Neka je 1 1 1 2 3 na n = + + + . Definisati fajl kojim se rešava nejednačina na k< , za razne vrednosti parametra k . 3. Formirati funkcijski fajl pod imenom si kojim se izračunava funkcija x x)sin( , zatim izračunati 2 si π⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ( )0si . 4. Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim svako unosi svoje ime i prezime, prebrojava broj slova i ako je taj broj manji od 15 određuje moduo i argument kompleksnog broja 1 3z i= + , ako je broj slova između 15 i 20 definiše jediničnu matricu 3 3× , a ako je veći od 20 izračunava sumu kvadrata prvih 100 prirodnih brojeva. 5. Napravite skrip fajl pod imenom kvadkoreni koji računa realna rešenja jednačine 02 =++ cbxax . Koefcijente a,b,c unosi korisnik, diskriminanta se računa po formuli acbd 42 −= . Ako je: i. 0>d prikazuje poruku „Jednačina ima 2 rešenja“ i izračunava 2,1x . ii. 0=d prikazuje poruku „Jednačina ima 1 rešenje“ i izračunava ga. iii. 0<d prikazuje poruku „Jednačina nema rešenje“ . Napomena rešenja se računaju po formuli a acbb x 2 42 2,1 −±− = . - 326 -
- 336. VEŽBA 6 JEDNAČINEI SISTEMI ALGEBARSKIH JEDNAČINA 1. SREĐIVANJE POLINOMA Za izračunavanje rešenja, korena, odnosno nula polinoma koristi se naredba roots. Naredba ima oblik r = roots (p) r je vektor koji sadrži rešenja polinoma, a p vektor koji sadrži koeficijente polinoma. PRIMER 1: Odrediti nule polinoma 2 5 6 0x x− + = . >> p=[1 -5 6]; >> r=roots(p) r = 3.0000 2.0000 Sa druge strane, kada su poznata rešenja polinoma, pomoću naredbe poly mogu se odrediti koeficijenti polinoma, odnosno napisati polinom. Naredba ima oblik p=poly (r) r je vektor koji sadrži rešenja polinoma, a p je vektor koji sadrži koeficijente polinoma. PRIMER 2: Odrediti polinom čija su rešenja 2x = i 3x = . >> r=[2 3]; >> p=poly(r) p = 1 -5 6 Dakle, traženi polinom je 2 5 6x x− + . - 327 -
- 337. Vrednost polinoma utački x može se izračunati pomoću funkcije polyval. Naredba ima oblik: polyval (p,x) gde je p vektor koji sadrži koeficijente polinoma, a x je broj, promenljiva kojoj je dodeljena vrednost ili izraz koji se može računati. PRIMER 3: Za polinom: ( ) 88.3595.71015.1759.401.12 2345 +−−+−= xxxxxxf izračunati ( )9f i nacrtati grafik polinom za 7.65.1 ≤≤− x . >> p=[1 -12.1 40.59 -17.015 -71.95 35.88] p = 1.0000 -12.1000 40.5900 -17.0150 -71.9500 35.8800 >> polyval(p,9) ans = 7.2611e+003 >> x=-1.5:0.1:6.7; >> y=polyval(p,x); >> plot(x,y) - 328 -
- 338. 2. OPERACIJE SAPOLINOMIMA Polinomi se sabiraju i oduzimaju tako što se saberu, odnosno oduzmu koeficijenti polinoma (odgovarajućih monoma). PRIMER 4: Sabrati polinome ( ) 3 2 1 3 2 4 6p x x x x= − − + i ( ) 4 3 2 2 2 7 3 1p x x x x x= + − − + . >> p1=[3 -2 -4 6]; >> p2=[1 2 -7 -3 1]; >> p=[0 p1]+p2 p = 1 5 -9 -7 7 Kako polinomi nisu istog stepena kraći vektor se mora dopuniti nulama da bi bio iste veličine kao duži vektor. Polinomi se množe pomoću naredbe conv. Naredba ima oblik c=conv (a,b) c je vektor koeficijenata polinoma rezultata, a a i b su vektori koeficijenta polinoma koji se množe. PRIMER 5: Pomnožiti polinome 1p i 2p . >> c=conv(p1,p2) c = 3 4 -29 3 49 -32 -22 6 Dakle, rešenje je polinom 7 6 5 4 3 2 3 4 29 3 49 32 22 6x x x x x x x+ − + + − − + Polinomi se dele pomoću naredbe deconv. Naredba ima oblik [q,r]=deconv (a,b) q je vektor koeficijenata polinoma količnika, r vektor koeficijenata polinoma ostatka, a je vektor koeficijenta polinoma brojioca, b je vektor koeficijenta polinoma imenioca. - 329 -
- 339. PRIMER 6: Podeliti polinome( ) 3 2 1 2 9 7 6p x x x x= + + − i ( )2 3p x x= + . >> p1=[2 9 7 -6]; >> p2=[1 3]; >> [q r]=deconv(p1,p2) q = 2 3 -2 r = 0 0 0 0 Dobijamo da je količnik polinom 2 2 3 2x x+ − , bez ostatka. 3. REŠAVANJE JEDNAČINA SA JEDNOM PROMENLJIVOM Jednačina sa jednom promenljivom ima oblik ( ) 0f x = . Za izračunavanje nula funkcije koristi se naredba fzero. Naredba ima oblik x=fzero('funkcija',x0) x je skalarna vrednost. Funkcija se unosi u obliku znakovnog niza ( string ). Funkcija se prethodno može definisati u funkcijskom fajlu, a ime funkcije se zadaje u obliku znakovnog niza. 0x je vrednost promenljive x u blizini mesta gde funkcija preseca x osu. 0x može biti skalar čija je vrednost bliska tački preseka funkcije sa x osom ili vektor sa dva elementa čije su vrednosti tačke na suprotnim stranama rešenja. Ako ima više rešenja svako se izračunava za sebe. Početno rešenje 0x se može odrediti grafičkim putem. Funkcija fzero pronalazi samo rešenja u kojima funkcija preseca x osu. PRIMER 7: Naći rešenja jednačine 0.2x xe− = Približna rešenja određujemo grafički. >> fplot('x*exp(-x)-0.2',[0 8]);grid - 330 -
- 340. 0 1 23 4 5 6 7 8 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Sa slike čitamo da su približna rešenja 0,3 i 2,8. >> x1=fzero('x*exp(-x)-0.2',0.3) x1 = 0.2592 >> x2=fzero('x*exp(-x)-0.2',2.8) x2 = 2.5426 4. REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Za rešavanje sistema od n linearnih jednačina sa n nepoznatih mogu da se koriste razne metode: Gausova , Kramerova, matrična . 4.1. Kramerova metoda Kramerova metoda ili metoda determinanti Promenljive se izračunavaju po formulama , ( 0, 1,2,..., )j j D x D j n D = ≠ = , gde je D determinanta tog sistema, a jD je pomoćna determinanta dobijena tako što su u D koeficijenti uz jx zamenjeni, redom, slobodnim članovima jb . Sistem ima jedinstveno rešenje ako je 0D ≠ . - 331 -
- 341. PRIMER 8: Kreirati fajlCramer za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina koristeći Kramerovo pravilo. % Novi fajl pod imenom Cramer %Rešavanje sistema AX=B- Cramerovim pravilom % m,n su dimenzije matrice A % samo kvadratni sistemi se mogu rešavati ovom metodom function X=Cramer(A,B) %određivanje dimenzija matrice A [m,n]=size(A); if m ~= n, error('Matrica nije kvadratna-ne moze da se primeni Kramerova metoda'), end if det(A)==0, error('Matrica je singularna-determinanta joj je nula'), end for j=1:n, C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A); end X=X'; PRIMER 9: Koristeći kreirani fajl Cramer rešiti sistem jednačina 2 4 0 2 2 6 3 6 6 x y z x y z x y − − = − + + = + = >> A=[2 –4 –1 ; –1 2 2 ; 3 6 0]; >> B=[0 ; 6 ; 6]; >> Cramer(A , B) ans = 2 0 4 PRIMER 10: Koristeći kreirani fajl Cramer rešiti sistem jednačina 2 3 1 3 2 1 6 3 x y z x y z x y z − + + = + − = − + = . - 332 -
- 342. >> A1=[–2 31;1 3 –2;1 –6 1] A1 = -2 3 1 1 3 -2 1 -6 1 >> B1=[1;1;3] B1 = 1 1 3 Cramer(A1,B1) ??? Error using ==> cramer Matrica je singularna 4.2. Matrična metoda Matričnom metodom, sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih, mora da se napiše u obliku AX B= , gde je A matrica sistema, X matrica nepoznatih, a B matrica slobodnog člana. Rešenje dobijamo iz jednačine 1 X A B− = , samo ako postoji inverzna matrica 1 A− , odnosno ako je njena determinanta različita id nule. PRIMER 11: Rešiti sistem jednačina matričnom metodom 2 3 1 3 2 1 6 3 x y z x y z x y z − + + = + − = − + = . >> A=[-2 3 1;1 3 -2;1 -6 -1] A = -2 3 1 1 3 -2 1 -6 -1 >> B=[1;1;3] B = 1 1 3 >> X=inv (A)*B X = -2.5000 -0.5000 -2.5000 - 333 -
- 343. PRIMER 12: Rešiti sistemjednačina matričnom metodom i koristeći kreirani fajl Cramer. Uporediti ovako dobijena rešenja. 2 3 11 3 5 2 19 2 3 14 x y z x y z x y z + + = + + = + + = >> M=[2, 3, 1 ; 3, 5, 2 ; 1, 2, 3] M = 2 3 1 3 5 2 1 2 3 >> N=[11 ; 19 ; 14] N = 11 19 14 >> X1=inv(M)*N X1 = 1.0000 2.0000 3.0000 >> X2=Cramer(M,N) X2 = 1 2 3 - 334 -
- 344. VEŽBA: 1. Rešiti jednačinu4 2 2 1 0x x− + = koristeći naredbu fzero. 2. Nacrtati grafik polinoma 25.1275.002.0 34 −+−= xxxy u opsegu 66 ≤≤− x . 3. 0=−+⋅ BXXA , ako je ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 113 120 241 A i ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 030 212 101 B . 4. Rešiti sistem jednačina matričnom metodom i koristeći kreirani fajl Cramer. Uporediti ovako dobijena rešenja. 3 2 1 2 3 2 7 x y z x y z x z + − = − + = + = 5. Napisati skript fajl kojim se za unete polinome: p(x)=x7+3x6+2x4-12x3-3x2+7x+3 i q(x)=x5-6x4+2x3 -3x -8, određuje proizvod , količnik i nule(koreni) zbira polinoma. - 335 -
- 345. VEŽBA 7 SIMBOLIČKAMATEMATIKA Sve matematičke operacije koje smo do sad koristili bile su numeričke. Zadati izrazi sadržali su brojeve i promenljive kojima su predhodno dodeljene numeričke vrednosti. Rezultat takvih operacija je numerička vrednost ( broj ili vektor brojeva). Sa druge strane, mnogi matematički problemi zadati su izrazima koji sadrže simboličke promenljive, koje nemaju numeričku vrednost u trenutku izvršenja. Rezultat takvih operacija je simbolički izraz. Symbolic Math Toolbox nam omogućava da radimo sa simboličkim promenljivim. Komande i funkcije za simboličke operacije imaju istu sintaksu i stil rada kao komande za numeričke operacije. 1. SIMBOLIČKI OBJEKTI I IZRAZI Simbolički objekti mogu biti promenljive ( kojoj nije dodeljena numerička vrednost ), brojevi ili izrazi sastavljeni od simboličkih promenljivih i brojeva . Naredbe za definisanje simboličkih promenljivih su sym ili syms. Naredba ima oblik ime objekta = sym ( ' znakovni izraz' ) >> a=sym('a') a= a PRIMER 1: Napisati 15 kao simboličku, a zatim kao numeričku promenljivu. > s=sym('15') s = 15 >> s=15 s = 15 - 336 -
- 346. Napomena: Rezultat u prvomslučaju je simbolička promenljiva i rezultat se prikazuje na ekranu sa uvlakom, nasuprot drugom rezultatu koji je numerički rezultat i na ekranu se prikazuje bez uvlake. Naredba syms koristi se za definisanje više simboličkih objekata. Syms ime promenljive ime promenljive ....... PRIMER 2: Napisati simbolički izraz 2 f ax bx c= + + . To možemo učiniti na dva načina: >>% Prvi nacin >> syms a b c x >> f=a*x^2+b*x+c f = a*x^2+b*x+c >>% PDrugi nacin >> f=’a*x^2+b*x+c’ f = a*x^2+b*x+c Napomena: Za razliku od predhodnog primera gde smo definisali sve ulazne promenljive i dobili simbolički izraz f, u drugom primeru nismo definisali ulazne promenljive i samim time sa simboličkim izrazom f ne možemo vršiti nove operacije u kojima učestvuju promenljive a,b,c,x, jer ih nismo posebno definisali. Na primer ne možemo sabrati izraz f i promenljivu x. PRIMER 3: Izračunati vrednost izraza 2 y b a = + za 3a = i 4b = . Prvo uzeti da su a i b simboličke promenljive, a zatim ih zadati kao numeričke vrednosti. > a=sym(3);b=sym(4); >> c=2/a+sqrt(b) c = 8/3 >> a=3;b=4; >> c=2/a+sqrt(b) c = 2.6667 - 337 -
- 347. Napomena: Ako računamo sasimboličkim promenljivama rezultat je tačna brojna vrednost i vidi se na ekranu bez uvlake, a u drugom slučaju rezultat je približna numerička vrednost. 2. REŠAVANJE JEDNAČINA Rešavanje jednačina i sistema jednačina vrši se naredbom solve(). Naredba ima oblik : s=solve(jednačina) s=solve(jednačina, promenljiva ) PRIMER 4: Rešiti jednačinu 2 5 0x − = > syms x >> y=solve(2*x-5) y = 5/2 Jednačina sadrži jednu ulaznu simboličku promenljivu x , a rešenje je broj, dat kao simbolička promenljiva. PRIMER 5: Rešiti jednačinu 2 0ax bx c+ + = . >> syms x a b c >> solve(a*x^2+b*x+c) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] Jednačina sadrži više ulaznih simboličkih promenljivih , , ,x a b c, a rešenje je simbolička promenljiva u funkciji ulaznih parametara , ,a b c . 3. REŠAVANJE SISTEMA JEDNAČINA Naredbe imaju oblik : [r1,r2,...]=solve (jednačina 1, jednačina 2,....) rezultat=solve(jednačina 1, jednačina 2,..., promenljiva1 promenljiva2,.....,) - 338 -
- 348. PRIMER 6: Rešiti sistemjednačina 5 3x y+ = i 2 4x y− = . >> [x,y]=solve( 'x+5*y-3','2*x-y-4') x = 23/11 y = 2/11 Napomena: Kako je sistem saglasan i ima jednoznačno rešenje, mi ga vidimo na ekranu kao par simboličkih brojeva. PRIMER 7: Rešiti sistem jednačina 5 3x yz+ = i 2 4x y− = . >> [x,y]=solve( 'x+5*y*z-3','2*x-y-4') x = (20*z+3)/(1+10*z) y = 2/(1+10*z) Napomena: Kako je sistem saglasan, a ima beskonačno mnogo rešenja, mi rešenje vidimo na ekranu kao simboličku promenljivu izraženu u funkciji promenljive z . PRIMER 8: Odrediti presek kruga 2 2 41x y+ = i prave 1 0y x− − = . >> syms x y > [x y]=solve('x^2+y^2-41','y-x-1') x = 4 -5 y = 5 -4 4. CRTANJE GRAFIKA KRIVE SIMBOLIČKOG IZRAZA Crtanje grafika simboličkog izraza se radi korišćenjem naredbe ezplot. Naredba ima oblik : ezplot(S) ezplot(S,[xmin,xmax,ymin,ymax]) - 339 -
- 349. S je simboličkiizraz krive koja se crta. U prvoj naredbi ezplot(S) grafik se crta u domenu ( )2 ,2π π− , a u drugoj sami zadajemo domen promenljive x i promenljive y . PRIMER 9: Nacrtati grafik funkcije 2 2 1y x x= + + . >> syms x >> y=x^2+2*x+1; >> ezplot(y) -6 -4 -2 0 2 4 6 0 10 20 30 40 50 x x2 +2 x+1 PRIMER 10: Nacrtati grafik funkcije cosy x= , na intervalu ( )0,4π >> syms x >> y=cos(x); >> ezplot(y,[0,4*pi]) 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.5 0 0.5 1 x cos(x) - 340 -
- 350. VEŽBA: 1. Rešiti jednačinu2 2 0x x− = . 2. Rešiti jednačinu 2 5 2 0ax bx+ − = . 3. Rešiti sistem jednačina 2 1 0x y− − = i 2 4 0x y+ + = . 4. Nacrtati funkciju 1x y e= + u različitim domenima. 5. Ispitati uzajamni položaj kruga 2 2 1x y+ = i pravih a) 4 0x y+ − = , b) 1 0x y+ − = , c) 2 0x y+ − = . Zadatak uraditi računski i grafički. - 341 -
- 351. VEŽBA 8 GRANIČNAVREDNOST I IZVOD FUNKCIJE 1. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Naredbom limit računa se granična vrednost simbolički zadate funkcije. Naredba ima oblik limit(f,a) gde je f funkcija, a vrednost kojoj teži nezavisno promenljiva x . PRIMER 1: Naći graničnu vrednost funkcije 2 21 1 lim 2 3x x x x→ − + − . >> syms x >> limit( (x.^2-1)/(x.^2+2*x-3),1) ans = 1/2 PRIMER 2: Naći graničnu vrednost funkcije 2 2 1 lim 2 3x x x x→∞ − + − . >> syms x >> limit( (x.^2-1)/(x.^2+2*x-3),inf) ans = 1 2. IZVOD FUNKCIJE Naredbom diff dobija se izvod simbolički zadate funkcije. Naredba ima oblik diff(f) prvi izvod funkcije, diff(f,n) n-ti izvod funkcije. - 342 -
- 352. PRIMER 3: Naći prviizvod funkcije xxy sin3 = . >> syms x >> y=x.^3*sin(x); >> diff(y) ans = 3*x^2*sin(x)+x^3*cos(x) >> pretty(ans) 2 3 3 x sin(x) + x cos(x) PRIMER 4: Naći drugi izvod zadate funkcije. >> syms x >> y=x.^3*sin(x); >> diff(y,2) ans = 6*x*sin(x)+6*x^2*cos(x)-x^3*sin(x) 3. PRIMENE IZVODA 3.1. Odeđivanje ekstremnih i prevojnih tačaka Ekstremne vrednosti funkcije dobijamo kao nule prvog izvoda funkcije, a prevojne tačke kao nule drugog izvoda funkcije. Naredba double pretvara simboličku promenljivu u numeričku, dvostruke preciznosti sa decimalnim zarezom. PRIMER 5: Odrediti ekstremne i prevojne tačke funkcije )23( 2 xxey x −= . >> syms x >> y=exp(x)*(3*x-2*x.^2) ; >>% izracunavanje ekstrema >> E=diff(y) E = exp(x)*(3*x-2*x^2)+exp(x)*(3-4*x) >>% nule prvog izvoda >> xe=solve(E) xe = - 343 -
- 353. 1 -3/2 >>% prebacivanje simbolickihvrednosti u numericke >> xed=double(xe) xed = 1.0000 -1.5000 >> y1=exp(1)*(3*1-2*1.^2) y1 = 2.7183 >> double(y1) >> y2=exp(-1.5)*(3*(-1.5)-2*(-1.5).^2) y2 = -2.008 >>% izracunavanje prevoja >> P=diff(y,2) P = exp(x)*(3*x-2*x^2)+2*exp(x)*(3-4*x)-4*exp(x) >>% nule drugog izvoda >> xp=solve(P) xp = -5/4+1/4*41^(1/2) -5/4-1/4*41^(1/2) >>% prebacivanje simbolickih vrednosti u numericke >> xp=double(xp) xp = 0.3508 -2.8508 >> yp1=exp( 0.3508)*(3*( 0.3508)-2* (0.3508).^2) yp1 = 1.1451 >> yp2=exp( -2.8508)*(3*( -2.8508)-2* ( -2.8508).^2) yp 2= -1.4338 U predhodnom primeru nismo bili dovoljno precizni. Nule prvog izvoda koje smo odredili predstavljaju samo stacionarne tačke, odnosno, moguće ekstreme. Da bismo odredili da li su izračunate stacionarne tačke zaista ekstremi, moramo ispitati promenu znaka pravog izvoda u njima, ili koristiti znak drugog izvoda. Ako je 0x dobijena stacionarna tačka i ( )0 0y x′′ > u toj tački funkcija ima minimum, - 344 -
- 354. ( )0 0yx′′ < u toj tački funkcija ima maksimum. Ako je ( )0 0y x′′ = , ne možemo odrediti vrstu ekstrema. PRIMER 6 : Odrediti ekstremne tačke funkcije x y xe= . Primer ćemo rešiti uz pomoć M fajla koji ćemo nazvati stacionarna_tacka i if iskaza. % M file nazvati stacionarna_tacka syms x y=input('Unesite funkciju') y1=diff(y) x1=solve(y1) y2=diff(y1) x0=input('Unesite nule prvog izvoda: ') y0= input ('Unesite drugi izvod u funkciji x0: ') if y0< 0 disp('Funkcija ima maksimum') elseif y0> 0 disp('Funkcija ima minimum') else disp('Ne moze se odrediti ekstrem') end Pozivamo fajl u komandnom prozoru >> stacionarna_tacka Unesite funkciju: x*exp(x) y = x*exp(x) y1 = exp(x)+x*exp(x) x1 = -1 y2 = 2*exp(x)+x*exp(x) Unesite nule prvog izvoda: -1 x0 = -1 - 345 -
- 355. Unesite drugi izvodu funkciji x0: 2*exp(x0)+x0*exp(x0) y0 = 0.3679 Funkcija ima minimum PRIMER 7 : Nacrtati funkciju 2 2 x y x = − i tekstom opisati sliku. >> syms x >> y=x.^2/(x-2); >> limit(y,2) ans = NaN >> limit(y,inf) ans = Inf >> solve(y) ans = 0 0 >> ezplot(y) >> grid, hold on >> gtext('nula(0,0)') >> d=diff(y) d = 2*x/(x-2)-x^2/(x-2)^2 >> s=solve(d) s = 0 4 >> y1=0.^2/(0-2) y1 = 0 >> y2=4.^2/(4-2) y2 = 8 >> gtext('max(0,0)') >> gtext('min(4,8)') >> xlabel('x osa') >> ylabel('y osa') - 346 -
- 356. -6 -4 -20 2 4 6 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 x osa x2 /(x-2) nula(0,0) max(0,0) min(4,8) yosa 3.2.Tejlorova formula Naredbom taylor određuje se Tejlorov odnosno Maklorenov polinom kojim se aproksimira data funkcija. Naredba ima oblik taylor(f) određuje se Maklorenov polinom petog stepena kojim se aproksimira data funkcija, taylor(f,n) određuje se Maklorenov polinom n-1 – vog stepena kojim se aproksimira data funkcija, taylor(f,a) određuje se Tejlorov polinom petog Stepena u okolini tačke a kojim se aproksimira data funkcija. PRIMER 8: Odrediti Maklorenov polinom funkcije x ey − = . >> syms x >> taylor(exp(-x)) ans = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5 >> pretty(ans) 2 3 4 5 1 - x + 1/2 x - 1/6 x + 1/24 x - 1/120 x - 347 -
- 357. PRIMER 9: Odrediti Tejlorovpolinom šestog stepena funkcije u okolini tačke 2 π =x . >> syms x >> taylor(sin(x),pi/2,7) ans = 1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4-1/720*(x-1/2*pi)^6 >> pretty(ans) 2 4 6 1 - 1/2 (x - 1/2 pi) + 1/24 (x - 1/2 pi) - 1/720 (x - 1/2 pi) PRIMER 10: Odrediti Maklorenove polinome prvog trećeg i petog stepena funkcije xy sin= i grafički predstaviti. % Maklorenovim polinomima prvog, treceg i petog stepena aproksimirati % funkciju sin(x) i graficki predstaviti. syms x y=sin(x); t1=taylor(y,3),t3=taylor(y,5),t5=taylor(y,7) t1 = x t3 = x-1/6*x^3 t5 = x-1/6*x^3+1/120*x^5 % crtanje funkcije i njenih polinoma ezplot(y,[-3,3]),grid,hold on, ezplot(t1,[-3,3]),ezplot(t3,[-3,3]),ezplot(t5,[-3,3]) %obelezavanje slike gtext('y'),gtext('t1'),gtext('t3'),gtext('t5') title('aproksimacija funkcije polinomima prvog, treceg i petog stepena') - 348 -
- 358. -3 -2 -10 1 2 3 -1 -0.5 0 0.5 1 x aproksimacija funkcije polinomima, prvog, treceg i petog stepena y t1 t3 t5 3.3. Lagranžova teorema Ako je funkcija definisana na intervalu [ ]ba, , neprekidna i diferencijabilna na ( )ba, onda postoji tačka ( ),c a b∈ takva da je ( ) ( ) ( ) ab afbf cf − − =' . Geometrijski to znači da će u tački c tangenta funkcije biti paralelna sa pravom koja prolazi kroz tačke ( )( )afa, i ( )( )bfb, . PRIMER 11: Definisati fajl pod imenom lagr kojim se određuje tačka c na intervalu [ ]4,1∈x koja zadovoljava uslove Lagranžove teoreme za funkciju ( ) xxf = . % fajl pod imenom lagr % Lagranzova teorema srednje vrednosti % interval [a,b] syms x a=input ('a='); b=input ('b='); y=sqrt(x) k=(sqrt(b)-sqrt(a))/(b-a); % izvod funkcije df=diff(y) % nule prvog izvoda funkcije c=solve(df-k); yc=sqrt(c); pretty (c) c,yc - 349 -
- 359. >> lagr a=1 b=4 y = x^(1/2) df= 1/2/x^(1/2) c = 9/4 yc = 3/2 U ovom primeru tačka c je pripadala traženom intervalu [ ]1,4 , pa su bili ispunjeni uslovi teoreme. PRIMER 12: Odrediti tačku c na intervalu [ ]1,1x∈ − koja zadovoljava uslove Lagranžove teoreme za funkciju ( ) arcsinf x x= . Formirati fajl pod imenom lagr1 kojim se definiše teorema. Grafički predstaviti i tekstom opisati sliku. % Lagranzova teorema za funkciju y=arcsin(x) % interval (-1,1) sa grafickim prikazom syms x a=-1;b=1; k=(asin(b)-asin(a))/(b-a); df=diff(asin(x)) % tražena tačka c=solve(df-k); c=double(c); n=length(c) % provera da li tacka pripada datom intervalu for i=1:n if c(i)<a | c(i)>b disp(['uslovi teoreme nisu zadovoljeni za c=' num2str(c(i))]) else disp(['odgovor c=' num2str(c(i))]) end end % graficko predstavljanje teoreme y=asin(x); % grafik funkcije ezplot(y,[-1.5,1.5]),hold on title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme') xlabel('x osa') - 350 -
- 360. ylabel('y osa') x12=[a,b] y12=[asin(a),asin(b)] % grafiksecice kroz tacke sa apsicisama a i b plot(x12,y12,'m') % dodirne tacke tangenti i krive plot(c(i),asin(c(i)),'b*') % k je koeficijent pravca secice % p1,2 su tangente kroz dve dodirne tacke for i=1:n p(i)=k*((x)-c(i))+asin(c(i)); % grafik tangenti ezplot(p(i),[-1.5,1.5]) title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme') xlabel('x osa') ylabel('y osa') end gtext('tangenta u prvom dodiru') gtext('tangenta u drugom dodiru') gtext('secica') >> lagr1 df = 1/(1-x^2)^(1/2) n = 2 odgovor c=0.77118 odgovor c=-0.77118 x12 = -1 1 y12 = -1.5708 1.5708 - 351 -
- 361. -1.5 -1 -0.50 0.5 1 1.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x osa graficko predstavljanje Lagranzove teoreme yosa tangenta u prvom dodiru tangenta u drugom dodiru secica VEŽBA: 1. Izračunati 2 lim 1x x x→∞ − . 2. Izračunati 21 lim 1x x x→ − . 3. Naći prvi izvod funkcije x xey = . 4. Naći deseti izvod funkcije xn exy = . 5. Funkciju ( ) )1ln( 2 xxxf ++= razviti u Maklorenov polinom četvrtog stepena i nactrati sliku. 6. Dokazati da funkcija ( ) xxxxf 35 23 −−= na segmentu [ ]1,3 zadovoljava uslove Lagranžove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost c . Grafički predstaviti. 7. Nacrtati i opisati sliku funkcije x xey = . 8. Nacrtati i opisati sliku funkcije 2 1 x y x = − . - 352 -
- 362. VEŽBA 9 INTEGRALI 1.Neodređeni integral Naredbom int izračunava se neodređeni integral simbolički zadate funkcije. Naredba ima oblik: int(f) int(f,’x') ukoliko je funkcija konstanta i vraća vrednost funkcije u odnosu na promenljivu x. PRIMER 1: Izračunati integral 2 3 5 2 2 x dx x x + + +∫ . >> syms x >> f=(3*x+5)/(x^2+2*x+2); >> int(f) ans = 3/2*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1) >> pretty(ans) 2 3/2 log(x + 2 x + 2) + 2 atan(x + 1) PRIMER 2: Izračunati integral 5 dx∫ . > % broj 5 se mora prebaciti u simboličku promenljivu >> y=sym('5') y = 5 >> % sada se može izračunati vrednost integrala >> int(y,'x') ans = 5*x - 353 -
- 363. PRIMER 3: Izračunati integral( )dxxxx∫ +−+ 9535 23 >> syms x >> f=(5*x^3 + 3*x^2 -5*(sqrt(x)) +9) f = 5*x^3+3*x^2-5*x^(1/2)+9 >> r =int(f) r = 5/4*x^4+x^3-10/3*x^(3/2)+9*x >> pretty(r) 4 3 3/2 5/4 x + x - 10/3 x + 9 x PRIMER 4 : Izračunati integral dx x xxx ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 3 >> syms x >> f=(x*sqrt(x) + x^(1/3)) / x f = (x^(3/2)+x^(1/3))/x >> r =int(f) r= 2/3*x^(3/2)+3*x^(1/3) >> pretty(r) 3/2 1/3 2/3 x + 3 x 2. Određeni integral Određeni integral ∫ b a dxxf )( izračunavamo naredbom int(f,a,b) gde su a i b granice integracije. PRIMER 5: Izračunati ∫ −− ++ 3 2 2 )2)(1( 1233 dx xxx xx . - 354 -
- 364. >> syms x >>f=(3*x^2+3*x+12)/x*(x-1)*(x-2); >> int(f,2,3) ans = 13/4+24*log(3)-24*log(2) >> pretty(ans) 13/4 + 24 log(3) - 24 log(2) >> double(ans) ans = 12.9812 PRIMER 6 : Izračunati integral ∫ 27 8 3 x dx >> syms x >> f=1/x^(1/3) f = 1/x^(1/3) >> r =int(f,8,27) r= 3/2*27^(2/3)-3/2*8^(2/3) >> pretty(r) 2/3 2/3 3/2 27 - 3/2 8 >> double(r) ans = 7.5000 PRIMER 7 : Izračunati integral ∫ −+ 2 1 12 xx dx >> syms x >> f=1/(x+2*sqrt(x-1)) f = 1/(x+2*(x-1)^(1/2)) >> r =int(f,1,2) r = -1+2*log(2) >> pretty(r) -1 + 2 log(2) >> double(r) ans = 0.3863 - 355 -
- 365. PRIMER 8: Izračunati integral∫ 9 3 sin xdxx >> syms x >> f=x*sin(x) f = x*sin(x) >> r =int(f,3,9) r = sin(9)-9*cos(9)-sin(3)+3*cos(3) >> pretty(r) sin(9) - 9 cos(9) - sin(3) + 3 cos(3) >> double(r) ans = 5.5012 3. Nesvojstveni Integral Nesvojstvene integrale izračunavamo istom naredbom kao i određene integrale. Oznaka za beskonačnu granicu je inf (infinity). PRIMER 9: Izračunati nesvojstveni integral ∫ ∞ − 1 2 dxxe x . >> syms x >> y=x*exp(-x.^2); >> int(y,1,inf) ans = 1/2*exp(-1) >> pretty(ans) 1/2 exp(-1) >> double(ans) ans = 0.1839 PRIMER 10 : Izračunati nesvojstveni integral ∫ + 1 0 2 1 x dx . - 356 -
- 366. >> syms x >>f= 1/(1+x^2) f = 1/(1+x^2) >> r =int(f,0,1) r = 1/4*pi >> pretty(r) 1/4 pi >> double(r) ans = 0.7854 PRIMER 11: Izračunati nesvojstveni integral ∫− + 1 1 2 1 x dx >> syms x >> f= 1/(1+x^2) f = 1/(1+x^2) >> r =int(f,-1,1) r = 1/2*pi >> pretty(r) 1/2 pi >> double(r) ans = 1.5708 PRIMER 12: Izračunati nesvojstveni integral ∫ +∞ ∞− + 2 1 x dx >> syms x >> f=1/(1+x^2) f = 1/(1+x^2) >> r =int(f,-inf,inf) r = pi - 357 -
- 367. VEŽBA: 1. Odrediti sledećeintegrale : a) neodređene dx xx x ∫ ++ + 22 53 2 , x xe dx∫ , b) određene 27 3 8 dx x∫ , ∫ + 2 0 2 cos35 π x dx , c) nesvojstvene 2 1 1 1 dx x ∞ +∫ , dx x x ∫ ∞ 1 2 2 ln . 2. Odrediti sledeće integrale : a) neodređene 2 2 cos2 d sin cos x x x x⋅∫ , 2 sin cos d 2 2 x x x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . b) određene 2 1 1 2 e x dx x + ∫ , 2 2 1 1 b x x a e dx e ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ∫ , c) nesvojstvene 2 0 x I xe dx ∞ − = ∫ , ( ) 22 1 2 1 x I dx x ∞ = + ∫ - 358 -
- 368. VEŽBA 10 INTEGRALIPRIMENA 1. Dužina luka krive Ako je zadata funkcija ( )xfy = , neprekidna i diferencijabilna na segmentu [ ]bax ,∈ , dužina luka krive l izračunava se po obrascu 2 1 b a l y dx′= +∫ . PRIMER 1: Izračunati dužinu luka krive )1ln( 2 xy −= na intervalu ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −∈ 2 1 , 2 1 x . >> syms x >> y=log(1-x.^2); >> f=sqrt(1+diff(y).^2); >> l=int(f,-1/2,1/2) l = -1+2*log(3) >> double(l) ans = 1.1972 PRIMER 2: Izračunati dužinu luka parabole 2 xy = između tačaka A(0,0) i B(2,4). >> syms x >>% granice integracije su x=0 i x=2 >> y=x.^2; >> f=sqrt(1+diff(y).^2); >> l=int(f,0,2) l = 17^(1/2)-1/4*log(-4+17^(1/2)) >> double(l) ans = 4.6468 - 359 -
- 369. PRIMER 3 : Izračunatidužinu luka krive xy ln= na intervalu ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ 5 12 , 4 3 x . >> syms x >> y=log(x); >> f=sqrt(1+diff(y).^2); >> l=int(f,3/4,12/5) l = 27/20-atanh(5/13)+atanh(4/5) >> double(l) ans = 2.0431 2. Izračunavanje površina Funkcija fill se koristi za obelezavanje površine na dobro poznatom objektu. Naredba ima oblik fill(x, y,’boja’) Funkcija koju posmatramo uzima tri ulazna parametra: dva polja, ovde imenovanih x i y. Oni sadrže x i y koordinate ivica poligona koje treba popuniti i definišemo ih u obliku ([xp x xk],[yp y yk]), gde je xp, yp početna tačka ivice poligona, a xk, yk krajnja tačka ivice poligona koji tražimo. Treći parametar je boja koju korisnik odabire da bi popunio objekt. Naredba fill će popuniti sav prostor između zadate krive y i prave koja prolazi kroz tačke, (xp, yp) , (xk, yk). PRIMER 4: Data je funkcija 2 y x= na intervalu 5 5x− ≤ ≤ . Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala. - 360 -
- 370. >> x=-5:5; >> xp=-5;yp=-5; >>xk=5;yk=5; >> y=x.^2; >> fill([-5,x,5],[-5,y,-5],'b') Napomena: Površina koju senčimo mora da bude zatvorena. PRIMER 5: Data je funkcija 2 y x= na intervalu 10 ≤≤ x . Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala i izračunati brojnu vrednost površine. >> % domen nezavisno promenljive x je (0,1) >> x=0:0.001:1; >> % (xp,yp) je početna tačka zadatog intervala >> % (xk,yk) je krajnja tačka zadatog intervala >> xp=0;yp=0; >> xk=1;yk=1; >> y=x.^2; >> fill([0,x,1],[0,y,1],'r') - 361 -
- 371. Prava koja prolazikroz tačke ( )0,0 i ( )1,1 ima jednačinu y x= , pa tražena površina ima vrednost: >> P=int('x',0,1)-int('x^2',0,1) P = 1/6 >> double(P) ans = 0.1667 PRIMER 6: Data je funkcija 2 y x= na intervalu 10 ≤≤ x . Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i x -osom i izračunati brojnu vrednost te površine. Napomena: Već smo naglasili da oblast koju računamo mora biti zatvorena. U ovom slučaju mi tražimo oblast koju zahvata polazna funkcuja 2 y x= i prava 0y = . >> %domen nezavisno promenljive x >> x=0:0.001:1; >> % (xp,yp) je početna tačka zadatog intervala >> xp=0;yp=0; >> % (xk,yk) je krajnja tačka zadatog intervala >> xk=1;yk=0; >> y=x.^2; >> fill([0,x,1],[0,y,0],'r') 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 - 362 -
- 372. >> % traženapovršina >> P=int('x^2',0,1) P = 1/3 >> double(P) ans = 0.3333 PRIMER 7: Izračunti površinu ograničenu lukom krive 2 9y x= − i x osom i obeležiti traženu površinu. >> syms x >>y=x.^2-9; % presečne tačke funkcije sa osom x dobijaju se rešavanjem jednačine y=0 >> a=solve(y) a = [ 3] [ -3] % granice integracije su dakle -3 i 3 >>I= int(y,-3,3) I = -36 % površina mora biti pozitivna >> abs(I) ans = 36 >>% obeležavanje oblasti integracije u datom domenu 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 - 363 -
- 373. >> x=-3:0.1:3; >> y=x.^2-9; >>fill([-3,x,3],[0,y,0],'r') PRIMER 8: Obeležiti površinu ograničenu funkcijom 2 1y x= + i x osom na intervalu 0 1x≤ ≤ i izračunati površinu >> x=0:0.001:1; >> y=x.^2+1; >> fill([0,x,1],[0,y,0],'g') >> syms x >> y=x.^2+1; >> P=int(y,0,1) P = 4/3 >> double(P) ans = 1.3333 -3 -2 -1 0 1 2 3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 - 364 -
- 374. PRIMER 9: Obeležiti površinuograničenu funkcijama 2 1( )f x x= i ( )2f x x= i izračunati površinu obeležene figure. >> syms x >> f1=x.^2; >> f2=sqrt(x); >> % računamo presečne tačke krivih >> f3=f1-f2; >> x=solve(f3) x = 0 1 >> % presečne tačke krivih su 0 i 1 >> % vrednosti funkcija u tim tačkama su takođe 0 i 1 >> x=0:0.001:1; >> fill([0,x,1],[0,x.^2,1],'g',[0,x,1],[0,sqrt(x),1],'r') >> % izračunavanje površine >> syms x >> f1=x.^2;f2=sqrt(x); >> P=int(f2,0,1)-int(f1,0,1) P = 1/3 >> double(P) ans = 0.3333 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 - 365 -
- 375. 3. Izračunavanje zapremine PRIMER10: Izračunati zapreminu lopte poluprečnika r. Lopta se dobija rotacijom kruga jednačine 222 ryx =+ oko x-ose. >> syms x r >> f=2*pi*(r^2-x^2) f = 2*pi*(r^2-x^2) >> z=int(f,0,r) z = 4/3*pi*r^3 >> pretty(z) 3 4/3 pi r PRIMER 11: Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose površi ograničene linijama 2 xy = i 1 4 3 2 += xy . >> syms x y >> %Presečne tačke funkcija su rešenje sistema y=x^2 i y=3/4x^2+1. >> [x y]=solve('x^2-y','3/4*x^2+1-y') x = -2 2 y = 4 4 >> f=2*pi*((3/4*x^2+1)^2 - (x^2)^2) f = 2*pi*((3/4*x^2+1)^2-x^4) >> z=int(f,0,2) z = 32/5*pi >> pretty(z) z = 32/5 pi >> double(z) ans = 20.1062 - 366 -
- 376. PRIMER 12: Izračunati zapreminuobrtnog tela koje se dobija kada površine koju čine krive xy = 4, x = 2, x = 4, y = 0, rotira oko x-ose. >> syms x >> f=pi*(16/(x^2)) f = 16*pi/x^2 >> z=int(f,2,4) z = 4*pi >> pretty(z) 4 pi VEŽBA: 1. Izračunati površinu koju ograničava x osa i grafik funkcije ( ) 2 4f x x x= − i obeležiti traženu površinu. 2. Izračunati površinu koju ograničava x osa i grafik funkcije ( ) sinf x x= na intervalu 0, 2 π⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ i obeležiti traženu površinu. 3. Izračunati površini koju ograničavaju grafici datih funkcija ( ) ( )2 2 8 18 2 18f x x x f x x= − + ∧ = − + . (nacrtati sliku i obeležiti datu površinu). 4. Izračunati dužinu luka krive ( )2 2ln 4y x= − , na intervalu [0,1]x∈ . 5. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x - ose površi ograničene linijama 2 2 4x y− = i 2 3 0y x− = oko x ose. - 367 -
- 377. ZADACI ZA VEŽBANJE 1.Koristeći naredbu subplot nacrtati 6 funkcija koje predstavljaju opštu jednačinu drugog reda 022 =+++++ feydxcybxyax za različite vrednosti parametara tako da se dobiju krug, elipsa, 2 hiperbole i 2 parabole. 2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 2 5 4x x y x + + = . Tekstom opisati sliku. 3. Rešiti matričnu jednačinu 1 2 0 1 2 1 1 1 0 2 0 1 3 1 0 X ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 4. Razviti funkciju 1y x= + u Maklorenovu formulu za 2n = i grafički predstaviti. 5. Odrediti dužinu luka krive ln cosy x= između njenih nula.. 6. Odrediti dužinu luka krive ( ) 1 3 3 y x x= − na [ ]0, , 2 a a π < . 7. Odrediti dužinu luka krive 2 2y x x= + koji se nalazi ispod x ose. 8. Primenom integralnog računa izračunati dužinu obima elipse. 9. Primenom integralnog računa izračunati dužinu obima kruga. 10. Date su matrice 1 3 2 2 3 1 1 2 1 , 1 1 1 0 0 1 0 0 1 A M −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Rešiti jednačinu 2 1 X A AM − + = . 11. Ispitati i grafički prikazati funkciju ( )2 2 3x y e x x= − . Tekstom opisati sliku. 12. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2 cos cosy x x= − . Tekstom opisati sliku. - 368 -
- 378. 13. Rešiti jednačinuAX BC D+ = , gde je 2 0 1 2 0 11 5 1 1 0 , 0 2 , , 6 3 3 1 2 0 1 9 A B C D −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 14. Ispitati i grafički prikazati funkciju 1 1 x y x − = + . Tekstom opisati sliku. 15. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2 3 1 x y x − = + . Tekstom opisati sliku. 16. Ispitati i grafički prikazati funkciju 1 x y x x ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Tekstom opisati sliku. 17. Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije [ ], 1,6n y x n= ∈ . 18. Odrediti sva rešenja jednačine ( )2 0 cos sin a x a dx a+ =∫ na intervalu [ ]2,3 19. Odrediti skup svih pozitivnih rešenja jednačine ( )2 3 0 3 4 5 2 a x x dx a+ − = −∫ 20. Izračunati integral 2 0,25 0 x e dx− ∫ sa tačnošću do 4 10− . 21. Izračunati površinu figure ograničene linijama 2 y x= i 23 1 4 y x= + .i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti. 22. Izračunati površinu figure ograničene linijama 2 2 4 20x y+ = i 4xy = . i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti. 23. Izračunati površinu figure ograničene linijama ( )( )1 2y x x x= − − i x osom. i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti. 24. Izračunati površinu figure ograničene linijom 2 2 1 x y x = + , ordinatom maksimuma i x osom. i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti. - 369 -
- 379. 25. Dokazati dasistem jednačina 0 2 6 5 2 6 5 6 1 x y z x y z x y z + + = + + = + + = ima jedinstveno rešenje, a zatim rešiti sistem matričnom metodom. 26. Odrediti površinu koja je ograničena lukom krive x y e− = , njenom asimptotom i tangentom u tački ( )01,M y− . i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti. 27. Rešiti sistema jednačina primenom Kramerovog pravila 2 3 1 6 3 2 1 x y z x y z x y z − + = − + + = + − = − 28. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije ( ) 1 2 x y x e= + . Tekstom opisati sliku. 29. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju ( ) x f x xe− = i 4n = . i grafički predstaviti. 30. Izračunati dužinu luka krive ( )2 ln 1y x= − na [ ]3 , 4 . i grafički predstaviti. 31. Izračunati dužinu luka krive 2 arcsiny x x x= − − od tačke ( )( )0 , 0A f do tačke ( )( )1, 1B f . i grafički predstaviti. 32. Rešiti jednačinu ln2 61 x t dt e π = − ∫ . 33. Dokazati da funkcija ( ) 2 f x x x= − na segmentu [ ]2,1− ispunjava uslove Lagranžove teoreme i odrediti odgovarajuću vrednost ξ . i grafički predstaviti. 34. Funkciju ( ) x f x e= razviti u Tejlorovu formulu po stepenima binoma 1x + do člana koji sadrži ( ) 3 1x + . i grafički predstaviti. - 370 -
- 380. 35. Izračunati površinuograničenu krivim linijama ( ) 2 2 4 , 16y x y x= − = − . i grafički predstaviti. Traženu površinu obeležiti. 36. Dat je polinom ( ) 2 9P x x x= + − i matrica 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ . Odrediti ( )P A i ( )rang A . 37. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije ( ) ( )2 2 3 12 3 2y x x x= − − − na intervalu [ ]3,6− . Slika 38. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije 3 3 x y x = + na intervalu [ ]5, 1− − Slika. 39. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije 15 3cos cos3y x x= − + na intervalu 0, 2 π⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Slika. 40. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije 3 3 x y x = + na intervalu [ ]5, 1− − Slika. 41. Izračunati sumu reda ( )2 2 1 1 1 n ∞ −∑ uzimajući sve članove koji su po apsolutnoj vrednosti veći od 0.0001 42. Izračunati približnu vrednost funkcije siny x= razvojem u red sa tačnošću 0.0001 43. Dat je red ( ) 1 1 1 1 k k k ∞ + = −∑ . Izračunati zbir reda sa tačnošću do 0.1. - 371 -
- 381. 44. Izračunati zbirkvadrata prvih 1000 prirodnih brojeva. 45. Za funkciju ( )sin x y x= i naći Maklorenove polinome prvog, trećeg i petog stepena. Grafički predstaviti. - 372 -
- 382. SPISAK KOMANDI IFUNKCIJA KOMANDE ZA UPRAVLJANJE help pomoć u radu sa Matlabom. demo osnovni demonstracioni programi. clc briše se sadržaj komandnog prozora. clear briše sve promenljive i funkcije iz memorije. who lista tekućih promenljivih. whos lista tekućih promenljivih, duža forma . size veličina promenljive. format izlazni format. load učitavanje promenljivih sa diska. save snimanje promenljivih na disk. delete brisanje fajlova. home skok na početak ekrana. quit završetak rada. exit završetak rada. pause pauza do pritiska na neki taster. disp prikaz rezultata na ekranu input zahteva da korisnik unese podatke ZNAKOVI, ARITMETIČKI, RELACIJSKI I LOGIČKI OPERATORI + plus. - minus. * množenje. .* množenje element po element. ^ stepenovanje. .^ stepenovanje element po element. / deljenje udesno. deljenje ulevo. (,) za pozivanje funkcija i redosled operacija. [,] definišu vektore i matrice. . decimalni zarez. ... nastavlja red. , razmak između elemenata i argumenata funkcije. ; kraj reda ili isključuje prikazivanje rezultata. % komentar. = dodeljivanje vrednosti. = = jednakost. - 373 -
- 383. < manje. > veće. >=veće ili jednako. <= manje ili jednako. ~= nije jednako. & logičko i. | logičko ili. ~ logičko ne. UNAPRED DEFINISANE PROMENLJIVE ans rezultat. pi π = 3.14..... i,j kompleksna jedinica , 1− . NaN nije numerička vrednost. inf beskonačno. MATEMATIČKE FUNKCIJE abs apsolutna vrednost. sqrt kvadratni koren. sin sinus. cos kosinus. tan tangens. cot kotangens. exp eksponencijalna funkcija osnove e. log prirodni logaritam. log 10 dekadni logaritam. conj konjugovano kompleksni broj. imag imaginrni deo kompleksnog broja. real realni deo kompleksnog broja. fzero rešava jednačinu sa jednom promenljivom CRTANJE I FORMATIRANJE 2 D GRAFIKONA plot crta se kriva funkcije. fplot crta se kriva funkcije. subplot crta se više grafikona na istoj stranici. hist formira se histogram. hold on drži se otvoren tekući grafik. hold off suprotno od hold on. - 374 -
- 384. axis podešavanje osa. colormappodešavaju se boje na grafikonu. grid dodaje se ili oduzima rešetka na grafikonu. gtext dodaje se tekst na grafikon. text dodaje se tekst na grafikon. title grafikonu se dodaje naslov. xlabel dodaje se natpis na osu x. ylabel dodaje se natpis na osu y. KOMANDE ZA UPRAVLJANJE TOKOM PROGRAMA break prekidanje izvršavanja petlje. else uslovno izvršavanje komandi. elseif uslovno izvršavanje komandi. end kraj uslovnog iskaza ili petlje. for ponavljanje izvršavanja grupe komandi. if uslovno izvršavanje komandi. while ponavlja izvršavanje grupe komandi. FUNKCIJE ZA RAD SA POLINIMIMA roots izračunava nule polinoma. poly izračunava koeficijente polinoma. conv množi polinome. deconv deli polinome SIMBOLIČKA MATEMATIKA diff diferenciranje. Int integraljenje dsolve rešavanje obične diferencijalne jednačine double pretvara broj simboličkog oblika u numerički. ezplot crtanje krive koja predstavlja izraz. pretty prikazuje se izraz u matematičkom formatu. simple uprošćavanje izraza. solve rešavanje jednačina ili sistema jednačina. subs promenljive u zadatom izrazu zamenjuje vrednostima. sym formira se simbolički objekat. syms formira se simbolički objekat. - 375 -
- 385. LITERATURA 1. I. Kovacevic,Z. Mišković, A. Savić , MATEMATIKA ZA INŽENJERE, Visoka škola elektrotehnike i računarstva, Beograd 2008. 2. O. Nikolić, M.Žižović, I. Kovačević, KVANTITATIVNE METODE, Univerzitet Singidunum, Beograd, 2009. 3. B. Boričić, M. Ivović, MATEMATIKA, Ekonomski fakultet Beograd 2003. 4. B. Boričić, M. Ivović D. Azdeljković, I. Spasić, ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE, Ekonomski fakultet Beograd 2003. 5. M. Merkle MATEMATIČKA ANALIZA teorija i hiljadu zadataka, Akademska misao, Beograd 2005. - 376 -
- 386. Odlukom Senata Univerziteta“Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008, ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”. CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 51(075.8) КОСТИЋ Ковачевић, Ивана, 1952- Matematika : sa zbirkom zadataka / Ivana Kovačević. - 1. izd. - Beograd : #Univerzitet #Singidunum, 2010 (Loznica : Mladost grup). - 376 str. : graf. prikazi, tabele ; 21 cm Tiraž 300. - Bibliografija: str. 376. ISBN 978-86-7912-276-6 a) Математика COBISS.SR-ID 177913868 © 2010. Sva prava zadržana. Ni jedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan u bilo kom vidu i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglasnosti izdavača.