Each month, join us as we highlight and discuss hot topics ranging from the future of higher education to wearable technology, best productivity hacks and secrets to hiring top talent. Upload your SlideShares, and share your expertise with the world!
Not sure what to share on SlideShare?
SlideShares that inform, inspire and educate attract the most views. Beyond that, ideas for what you can upload are limitless. We’ve selected a few popular examples to get your creative juices flowing.
2. Циљ данашњег часа је:
- дефинисати пирамиду;
- дефинисати њене основне елементе;
- упознати врсте пирамиде;
- дефинисати правилну пирамиду;
- дефинисати мрежу пирамиде.
3. Пирамида
Пирамида је полиедар чију површ чине
један многоугао A1A2...An и n троуглова
VA1A2, VA2A3, VA3A4, ..., VAnA1.
A1
A2 A3
A4
A5
V
A1
A2 A3
A4
A6
V
A5
A1
A2 A3
A4
V
4. Елементи пирамиде
A1
A2 A3
A4
A5
V
Многоугао A1A2...An назива се основа или
база пирамиде (B), а троуглови A1A2V,
A2A3V, A3A4V, ..., AnA1V су бочне стране
пирамиде. Бочне стране пирамиде чине
омотач пирамиде (М).
база (B)
бочне стране
5. Елементи пирамиде
A1
A2 A3
A4
A5
V
Странице основе пирамиде називају се
основне ивице пирамиде (а), а странице
бочних страна које нису основне ивице
називају се бочне ивице или изводнице
пирамиде (s). Заједничка тачка бочних
ивица назива врх пирамиде (V).
основне
ивице (а)
бочне ивице (s)врх (V)
6. Висина пирамиде
A1
A2 A3
A4
A5
V
Растојање врха пирамиде од равни основе
пирамиде назива се висина пирамиде (H).
Растојање врха пирамиде од основних
ивица пирамиде назива се висина бочне
стране пирамиде или апотема пирамиде
(h).
висина бочне
стране
пирамиде (h)
висина
пирамиде (H)
7. Врсте пирамиде
Према броју страница базе пирамиде
могу бити: тростране, четворостране,
петостране, шестостране, ...
A1
A2 A3
A4
A5
V
A1
A2 A3
A4
A6
V
A5
A1
A2
A3
A4
V
A1 A2
A3
V
петострана
пирамида
тространа
пирамида
четворострана
пирамида
шестострана
пирамида
8. Пирамида је правилна ако је:
- њена основа правилни многоугао и
- ако се подножје висине пирамиде
поклапа са центром описане кружнице
основе пирамиде.
Правилна пирамида
A1
A2 A3
A4
A5
V
правилна
пирамидa
9. Правилна пирамида
Све бочне стране правилне пирамиде су
подударни једнакокраки троуглови!
Пирамида чије су све ивице једнаке
назива се једнакоивична пирамида.
Правилна тространа
једнакоивична пирамида
назива се тетраедар.
10. Мрежа пирамиде
Ако основу и бочне стране призме
представимо у једној равни, добићемо
мрежу пирамиде.
пирамида
мрежа
пирамиде
11. Пример 1: Израчунај апотему правилне:
а) четворостране,
б) тростране,
в) шестостране пирамиде
ако је обим основе 24cm и једнак је
обиму једне бочне стране пирамиде.
12. Пример 2: Нека је VABCD правилна
четворострана пирамида основне ивице
10cm и бочне ивице 13cm. Израчунај обим
и површину пресека пирамиде и равни
VMN, где су М и N средишта ивица:
а) AB и BC, б) AB и CD.
13. Поновимо:
- шта је пирамида,
- који су њени елементи,
- шта су висина и апотема пирамиде,
- које врсте пирамиде постоје,
- шта је правилна пирамида,
- шта је мрежа пирамиде.
14. Површина пирамиде
Ако са B означимо површину основе, а са M
површину омотача пирамиде, онда се
површина пирамиде израчунава по формули
P=B+M
Посматрајући
мрежу пирамиде
можемо доћи до
следећег
закључка…
16. Површина правилне четворостране
пирамиде
База ове пирамиде је квадрат странице а, а
омотач чине четири подударна
једнакокрака троугла чије су основице а и
висине h.
A B
CD
V
ahaP
ah
aP
МBP
2
2
4
2
2
+=
⋅+=
+=
H h
а
17. Пример 1: Израчунај површину
правилне четворостране
пирамиде ако је основна ивица
а=10cm, a апотема h=12cm.
A B
CD
V
12cm
10cm
Поставља се питање:
како израчунати површину
пирамиде ако нису дати
основна ивица и апотема,
већ неки други елементи?
Како наћи везу између елемената
пирамиде?
18. Подсетимо се на тренутак квадрата ...
r
R
a
2
a
2
a
r =
2
2
2
a
R
d
R
=
=
aO 4=
2
aP =
20. Дијагонални пресек правилне
четворостране пирамиде
2
2
2
2
1
Hа
P
HaP
dp
dp
=
⋅⋅=
Површина дијагоналног
пресека израчунава се по
формули:
Висина дијагоналног пресека
пирамиде једнака је висини пирамиде.
21. Површина пирамиде чија је основа
правоугаоник
База је правоугаоник страница а и b, а
омотач чине два подударна једнакокрака
троугла основице а и висине hа и два
подударна једнакокрака троугла
основице b и висине hb.
ba
ba
bhahabP
bhah
abP
МBP
++=
⋅+⋅+=
+=
2
2
2
2
22. Пример 2: Израчунај
површину правилне
четворостране пирамиде ако
су основне ивице дужине
10cm и 8cm, а њима
одговарајуће апотеме
12cm и 15cm.
23. Подсетимо се сада правоугаоника...
R
a 2
2
22
bа
R
d
R
+
=
=
baO 22 +=
baP ⋅=
b
26. Дијагонални пресек пирамиде чија
је основа правоугаоник
2
2
1
22
22
Hba
P
HbaP
dp
dp
⋅+
=
⋅+⋅=
Површина дијагоналног
пресека израчунава се по
формули:
Висина дијагоналног пресека
пирамиде једнака је висини пирамиде.
27. Пример 3: Израчунај површину пирамиде
чија је основа
правоугаоник са
страницама
18cm и 10cm,
а изводнице
су дужине 15cm.
Пример 4: Збир свих ивица
правилне четворостране
једнакоивичне пирамиде је
96cm. Одреди њену површину.
28. Површина правилне тростране
пирамиде
База ове пирамиде је једнакостранични
троугао странице а, а омотач чине три
подударна једнакокрака троугла чије су
основице а и висине h.
A B
C
V
MBP
аh
M
a
B
+=
=
=
2
3
4
32
H
а
О
A1
29. Подсетимо се сада
једнакостраничног троугла...
R
a
aO 3=
4
32
a
P =
r
A B
C
О
A1
6
3
2
3
3
1
3
1
3
3
2
3
3
2
3
2
aa
hr
аа
hR
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
2
3a
h =
32. H h
а
Површина правилне шестостране
пирамиде
База ове пирамиде је правилни шестоугао
странице а, а омотач чини шест
подударних једнакокраких троуглова чије
су основице а и висине h.
MBP
аh
аh
M
аa
B
+=
=⋅=
=⋅=
3
2
6
2
33
4
3
6
22
а а
s s
А
F E
D
B C
V
33. Подсетимо се сада правилног
шестоугла...
R
a
aO 6=
2
33
4
3
6
22
аa
P =⋅=
r
2
3a
r
aR
=
=
