Equalization in digital communication

2
一般估計算一般估計算一般估計算一般估計算法法法法
• Match Filter (MF)
• Zero Forcing (ZF)
• Minimum Mean Square Error (MMSE)
數字均衡技術數字均衡技術數字均衡技術數字均衡技術
• Time domain equalization
• Frequency domain equalization
信道信道信道信道估計估計估計估計 Channel Estimation
• 導頻導頻導頻導頻(pilot)設計設計設計設計

3

4
1. 匹配濾波(match filter)算法
• Max SNR.
• If 只有一個符號需要估計, 匹配濾波是最好的算法.
• If 存在多個符號, 彼此間互相干擾,匹配濾波算法假設其他符號的干擾都是噪聲.(不太合理)
2
2
2
2
1
1 0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ...
ˆ
Nx Nx
Nx
H
MF
a
a
a
−
×
 
 
 
= ∈ 
 
 
 
=
ℂ
y = Ax + z
Λ
x Λ A y

5
2. 迫零(zero forcing)算法
• 建構一個損失函數L = |y – Ax|2. 讓L → min, 可獲得一個對x的最優估計.
• 這就是最小二乘(Least-squares)準則.
• If z是複高斯分布, 此處最小二乘準則等價於最大似然(Maximum-likelihood).
• 這估計當中只有一個噪聲項, 沒有符號間互相干擾, 且
• 這在信號估計中叫無偏估計.
• 通信叫迫零, 把干擾逼迫到0.
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
1 2
1
1
...
...
... ... ... ...
...
, ,
ˆ
ˆ ( )
( ) .
H H
Nx
H H
Nx NxNx
H H
Nx Nx Nx
H
H
Z
ZF
F
a a a a a
a a a a a
a a a a a
×
−
−
 
 
 
= ∈ 
 
 
 
= +
=
ℂ
是一個方陣也是共軛對稱矩陣相關矩陣
H
H
H
H
y = Ax + z
A A
x A A A
A A
x x A A
y
A z
ˆ[ ]ZFE =x x

6
3. 最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)算法
2 2
2
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
1
2
1
2
2
, 0,
ˆ , mean square error.
...
...
... ... ... ...
...
ˆ ( )
x z
H H
Nx
H H
Nx
H H
Nx Nx Nx
Nx Nx
z
MMSE
x
x z
L E x x L
a a a a a
a a a a a
a a a a a
σ σ
σ
σ
×
−
= +
 = −
 
 
 
 
=  
 
 
 
∈
i
i
ℂ
已知信號和噪聲都是高斯分布均值為方差和
建構損失函數稱
H
H
H
H
x A A I
y = Ax + z
A
A
A
y
A
A
2 2
ˆ .
/
H
MMSE
z xσ σ
+
=
+
H
H
A Ax A z
x
A A
1
2 2
2 2
2 2
2 2
ˆ ( ) .
ˆ .
/
MMSE:
1. SNR : / MMSE ZF.
2. SNR : / ZF MMSE
BUT
ˆMMSE . . [ ] ,
/
H
H
ZF
H
MMSE
z x
z x
z x
MMSE
z x
i e E
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
− +
= + =


+ =
 +
⇒ ≈
< ⇒ ⇒
= ≠
+
≫
比較討論
討論
好
差分子有個較大的噪聲項好
是有偏估計
低信躁比的條件下以有
H
H
H
H
H
H
H
H
H
A Ax A z
x x A A A z
A A
A Ax A z
x
A A
A A
A A
A Ax
x x
A A
2 2 2 2
ˆ[ ] .
3. SNR : / , /
MMSE MF.
MMSE
z x z x
E
σ σ σ σ
↑↑ ∋ →
+
⇒ ≈
≪
偏的代價換取抑制躁聲
需要
極差基本上分母近似對角矩陣
H
H H
A A x x
A A A A

7
Conclusion:
1
1
2
1
2
:
3 MF, ZF, MMSE
ˆ
ˆ ( )
ˆ ( )
H
MF
H
ZF
z
MMSE
x
σ
σ
−
−
−
=
=
= +
對於線性方程組
種估計分別為:
H
H H
x Λ A
y = Ax + z
y
x A A A y
x A A I A y
2 2
2 2
2 2
2 2 2
MMSE:
1. SNR : / MMSE ZF.
2. SNR : / ZF MMSE
BUT
ˆMMSE . . [ ] ,
/
ˆ[ ] .
3. SNR : / , /
z x
z x
MMSE
z x
MMSE
z x z
i e E
E
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ σ
⇒ ≈
< ⇒ ⇒
= ≠
+
↑↑ ∋ →
+
≫
≪
討論
好
差分子有個較大的噪聲項好
是有偏估計
低信躁比的條件下以有偏的代價換取抑制躁聲
需要
極差基本上分母
H
H
H
H
H
H H
A A
A A
A Ax
x x
A A
A A x x
A A A A 2
MMSE MF.
xσ
⇒ ≈
近似對角矩陣
2 2
1 1 1 2 1
2 2
2 2 1 2 2
2 2
1 2
0 ... 0 ...
0 ... 0 ...
,
0 0 ... 0 ... ... ... ...
0 0 ... ...
H H
Nx
H H
Nx Nx Nx NxNx
H H
Nx Nx Nx Nx
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
× ×
   
   
   
= ∈ = ∈   
   
   
   
ℂ ℂH
Λ A A

8
2
2
3
2
2
2
:
ZF, MMSE :
ˆ: ( )
1. Gaussian Elimination, computational complexity ~ ( )
2. Cholesky decomposition, computational complexity ~ ( )
( )
z
x
x
x
z
x
solve
O N
O N
σ
σ
σ
σ
+ =
+ =
對於線性方程組
算法要解這樣的一個線性方程組
為一個上三
H H
H H
y = Ax + z
A A I x A y
A A I ∆ ∆
∆
11
21 22
31 32
1 2
2
2
0 ... 0
... 0
,
... 0
...
ˆ ˆ( ) .
x x x x
Nx Nx
N N N N
z
x
a
a a
a a
a a a
σ
σ
×
 
 
 = ∈
 
 
  
+ = ⇒ =
ℂ角矩陣
解H H H H
∆
A A I x A y ∆ ∆x A y
ZF and MMSE快速算法:

9

10
數字均衡數字均衡數字均衡數字均衡
[ ]
1
0
1
, equalization.
: .
[ ], [ ], [ ] , , 1
[ ] [ ] [ ] [ ]
, :
[0], [1],..., [ 1]
[0
x
x
x h y x h
N
k
T N
x
y
y x h
x n h n y n N N N N N
y n x k h n k z n
x x x N
y
−
=
×
= + −
= − +
= − ∈
=
∑
ℂ
在中存在符號間干擾和躁聲把符號間干擾去掉的技術叫
在離散域接收信道是發射符號與信道的卷積
設長度分別是
在有限長度情況下離散線性系統可用矩陣表示 y = Hx + z
x
y
1
1
], [1],..., [ 1]
[0], [1],..., [ 1]
y
y
T N
y
T N
y
y y N
z z z N
×
×
 − ∈ 
 = − ∈ 
ℂ
ℂz
where H是卷積矩陣.

11
時域時域時域時域均衡均衡均衡均衡
一般採用MMSE/ZF算法:
HHH特點: 共軛對稱, 與主對角線平行的元素都相等.
窄帶系統: Nh比較小.
• 城市環境時延擴展(time spread) = 5 μs.
• GSM系統帶寬 = 180 kHz, 符號長度 = 1/180 kHz = 5.56 μs.
• 一般取Nh = 2就夠了.
2
1
2
ˆ ( )z
MMSE
x
σ
σ
−
= +H H
x A A I A y
1
*
0
: [ ] [ ] [ ]
hN
h
i
define r n h i h i n
−
=
= +∑

12
頻域均衡頻域均衡頻域均衡頻域均衡
窄帶系統: 相關矩陣內有大量的0, 時域均衡效率高. BUT 寬帶通信是目前趨勢.
寬帶通信: LTE 20 MHz, GSM BW的100倍 so Nh = 200, computation ~ O(NhNx), 時域均衡計算量大!!
21
0
21
0
2
[ ] ( 0,1,..., 1),
ˆ: [ ] [ ] 1,2,..., 1.
1
ˆ: [ ] [ ] 1,2,..., 1.
ˆ:
ˆ:
where ,
N j kn
N
n
N j kn
N
k
j kn
kn N
N
x n n N
DFT x k x n e k N
IDFT x n x k e n N
N
matrix
DFT
IDFT
N DFT w e
π
π
π
− −
=
−
=
−
= −
= = −
= = −
≡
∑
∑
一個信號
表示
為點的矩陣
N
-1
N
N
x = W x
x = W x
W
PS.
• 計算一次DFT, computational complexity ~ O(N2)
• 計算一次FFT, computational complexity ~ O(N log2N)
• If N = 1024, FFT效率提高100倍.

13
0
2
0
21
1
: [ ] [ ] 1,2,..
1
: [ ] [ ] 1,2
.,
,..., 1
.
.
1
N j kn
N j k
N
k
N
n
n
ID
DFT X k x n e k
FT x n X k e n
N
N
N
π
π− −
=
−
=
=
= = −
= −∑
∑
0
2
0
21
1
: [ ] [ ] 1,2,..
1
: [ ] [ ] 1,2
.,
,..., 1
.
.
1
N j kn
N j k
N
k
N
n
n
ID
DFT X k x n e k
FT x n X k e n
N
N
N
π
π− −
=
−
=
=
= = −
= −∑
∑

14
卷積與循環卷積卷積與循環卷積卷積與循環卷積卷積與循環卷積: 反摺反摺反摺反摺, 平移平移平移平移, 相乘相乘相乘相乘, 求和求和求和求和
循環卷循環卷循環卷循環卷積積積積:
先先先先將將將將y序列序列序列序列週期週期週期週期拓展拓展拓展拓展(週期補好補滿週期補好補滿週期補好補滿週期補好補滿)
之後之後之後之後步驟步驟步驟步驟跟卷積相同跟卷積相同跟卷積相同跟卷積相同!!
這個很重要!!
GSM的midamble設計
TD-SCDMA的midamble設計
LTE的循環前綴的設計
都是應用了循環卷積.

15
循環卷積循環卷積循環卷積循環卷積: 反摺反摺反摺反摺, 平移平移平移平移(週期補滿週期補滿週期補滿週期補滿), 相乘相乘相乘相乘, 求和求和求和求和

16
H是卷積矩陣
先把卷積矩陣變成循環卷積矩陣.
方法: 不管h[n]有多長把他切成長度Nx段然後累加.
[ ] [ ] 0,1,2,..., 1.
[ ] [ ] 0,1,2,..., 1.
[ ] [ ] 0,1,2,..., 1.
[ ] [ ] [ ] [ ]
:
x x
i
x x
i
x x
i
h n h n iN n N
y n y n iN n N
z n z n iN n N
y n x n h n z n
matrix form
∞
=−∞
∞
=−∞
∞
=−∞
= + = −
= + = −
= + = −
= ⊗ +
∑
∑
∑
ɶ
ɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶɶ ɶy = Hx + z
1
1
:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
DFT −
−
⇒
⇒
ɶɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
頻域循環卷積矩陣方程
兩邊做
引入下列符號
頻域卷積矩陣方程
x x x x x
x
x
x
x x
N N N N N
N
N
N
N N
y = Hx + z
W y = W HW W x +W z
x = W x
y = W y
z = W z
Λ = W HW
y = Λx + z
x xN N×
∈ℂ

17
1
1
21
0
:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ[ ] [ ] 1,2,..., 1.
ZF or MMSE .
x
x
N j kn
N
x
n
DFT
h k h n e k N
π
−
−
− −
=
⇒
⇒ ⇒
= = −∑
ɶɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
兩邊做
引入下列符號
頻域卷積矩陣方程
卷積定理時域循環卷積對應頻域乘積為一對角矩陣
降就可以在頻域內採用算法
x x x x x
x
x
x
x x
N N N N N
N
N
N
N N
y = Hx + z
W y = W HW W x +W z
x = W x
y = W y
z = W z
Λ = W HW
y = Λx + z
Λ
1 1
1
ˆ ˆ ˆEx. ( ) .
, , ZF
ˆ[ ]
ˆ: [ ] 0,1,2,..., 1.
ˆ[ ]
ˆ, IDFT : .
H
ZF
x
y k
x k k N
h k
− −
−
= =
∃
= = −
為一個對角方陣逆矩陣估計較為簡單
分量為
得到頻域估計後在通過得到時域結果 x
H
N
x Λ Λ Λ y Λ y
Λ
x = W x
2
1
2
*
2
2 2
1
ˆ ˆEx. ( ) .
ˆ ˆ[ ] [ ]
ˆ: [ ] 0,1,2,..., 1.
ˆ[ ] /
ˆ, IDFT : .
z
MMSE
x
x
z x
h k y k
x k k N
h k
σ
σ
σ σ
−
−
= +
= = −
+
分量為
得到頻域估計後在通過得到時域結果 x
H H
N
x Λ Λ I Λ y
x = W x

18

19
信道信道信道信道估計估計估計估計
在均衡技術裡, 無論是時域或是頻域, 我們都須知道信道的沖激響應h[n].
在實際系統中要如何獲得, 這就需要靠信道估計技術.
所以發射機可以發射事先約定的已知信號, 來幫助接收機事先對信道的估計.
• 事先約定的已知信號叫pilot(導頻).
[ ]
1
0
1
1
1
[ ] [ ] [ ].
, :
[0], [1],..., [ 1]
[0], [1],..., [ 1]
[0], [1],..., [ 1]
x
h
y
y
N
k
T N
x
T N
y
T N
y
y n x k h n k
h h h N
y y y N
z z z N
−
=
×
×
×
= −
= − ∈
 = − ∈ 
 = − ∈ 
∑
ℂ
ℂ
ℂ
在有限長度情況下離散線性系統也可表示為
信道沖激響應
接收觀測信號
複高斯躁聲
y = Xh+ z
h
y
z

20
數據D 保護時間G導頻P
信道會有時延, 使的接收信號比發送數據符號多出一截拖尾, 保護時間G用來容納這個拖尾.
一般假設信道在一個frame內保持不變, 用導頻P估計信道, 用作前後兩塊數據D的解調.
上圖導頻P位在兩塊數據D之間, 叫midamble(中導).
midamble 結構使的導頻離使用他的兩個數據塊D盡量接近, 保證信道估計的即時性.
TD-SCDMA屬於此結構.

21
導頻導頻導頻導頻(pilot)設計設計設計設計
1
1
1
2
0
1
ZF :
ˆ ( )
: ( )
, [ ]
: , ( ) , .
: , , .
: .
Ex : 4 1, [ ] 2 1
xN
n
x h
x n
pros
cons
N N
h n
−
−
−
=
−
=
× ×
∑
≫
以估計為例
噪聲項
又相關矩陣為相關矩陣對角線上元素為導頻總能量
導頻越長越小噪聲抑制越好
導頻越長占用資源越多發送數據資源越少
一般情況導頻長度信道響應的長度
假設導頻長度長度
H H
ZF
H H
H
H H
h = h+ X X X z
X X X z
X X
X X X z
導頻導頻導頻導頻 X XHX
Case1
導頻序列ACF太差
Case2
導頻序列
Case3
優化後導頻序列
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
1 0
1 1
1 1
1 1
0 1
 
 
 
 
 
 
  
4 3
3 4
 
 
 
主對角線4
非對角線3, 與主對角線太接近了
解方程式不易
非對角線最好都是0.
1
1
1
1
 
 
 
 −
 
 
1 0
1 1
1 1
1 1
0 1
 
 
 
 −
 
− 
  
4 1
1 4
− 
 − 
1
1
0.5
1
 
 
 
 −
 
 
1 0
1 1
0.5 1
1 0.5
0 1
 
 
 
 −
 
− 
  
3.25 0
0 3.25
 
 
 
若導頻自相關函數是δ function
相關矩陣式對角矩陣.
實際應用中, 一般採白躁聲性質
的序列作為導頻序列.

23
Digital Modulation
碼間串擾(ISI)
兩種誤碼原因：
1. 碼間串擾
2. 信道加性雜訊
• 碼間串擾原因: 系統傳輸總特性不理想, 導致前後碼元的波形畸變並使前面波形出現很長
的拖尾, 從而對當前碼元的判決造成干擾
• 碼間串擾嚴重時, 會造成錯誤判決, 如下圖所示:
預備知識預備知識預備知識預備知識

( )y t
( )C ω
{ }na
( )d t
24
Digital Modulation
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
2
n s
n
T n T s
n
j t
T T
T R
j t
d t a t nT
s t d t g t a g t nT
g t G e d
H G C G
h t H e d
ω
ω
δ
ω ω
π
ω ω ω ω
ω ω
π
∞
=−∞
∞
=−∞
∞
−∞
∞
−∞
= −
= ∗ = −
=
=
=
∑
∑
∫
∫
s(t)
[ ]0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
R n S R
n
s k n s R s
n k
r t d t h t n t a h t nT n t
r kT t a h t a h k n T t n kT t
∞
=−∞
≠
= ∗ + = − +
+ = + − + + +
∑
∑
r(t) 0( )sr kT t+⊕
{ }na′0,1,0,1 or -1,1,-1,1
對應的BB signal
gT(t): impulse response
分析前先把model建好
nR(t)是加性雜訊n(t)經過接
收濾波器後輸出的雜訊
為了確定第k個碼元 ak 的取值, 首先應
在t = kTs + t0 時刻上對r(t)進行抽樣, 以確
定r(t)在該樣點上的值

25
第一項akh(t0)是第k個接收碼元波形的抽樣值, 它是確定ak的依據.
第二項(Σ項)是除第k個碼元以外的其它碼元波形在第k個抽樣時刻上的總和(代數和), 它對當
前碼元ak的判決起著干擾的作用, 所以稱之為碼間串擾值(ISI).
由於ak是以概率出現的, 故ISI通常是一個隨機變數.
第三項nR(kTB + t0)是輸出雜訊在抽樣瞬間的值, 它是一種隨機干擾, 也會影響對第k個碼元的正
確判決.
[ ]0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )s k n s R s
n k
r kT t a h t a h k n T t n kT t
≠
+ = + − + + +∑
Digital Modulation
ISI

26
( )h t
0t 0sT t+
( )h t
0t 02 sT t+0sT t+
[ ]0(ISI )n s
n k
a h k n T t
≠
= − +∑
( ) 0+ =0n s
n k
a h k n T t
≠
−  ∑
若能使若能使若能使若能使:
, 則無則無則無則無ISI
怎麼做怎麼做怎麼做怎麼做？？？？
做不到做不到做不到做不到關注抽樣時刻關注抽樣時刻關注抽樣時刻關注抽樣時刻
等等等等Ts的零的零的零的零點點點點
由於an是隨機的，要想通過各項相互抵消使碼間串擾為0是不行的
這就需要對h(t)的波形提出要求。
若讓h [(k-n)Ts +t0] 在Ts+ t0 、2Ts +t0等後面碼元抽樣判決時刻上正好為0，就能消除碼間串擾
這就是消除碼間串擾的基本思想

27
無碼間串擾無碼間串擾無碼間串擾無碼間串擾(ISI)的時域條件的時域條件的時域條件的時域條件
Digital Modulation
1, 0
( )
0,
s
k
h kT
k
=
= 
 為其他整數 ( )
( )
( )
(2 1) /
(2 1) /
/
2
/
/
/
1
( ) ( )
2
1
( )
2
1
( )
2
2
1 2
( )
2
1 2
( )
2
( )
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
j t
j kT
S
i T
j kT
S i T
i
s
T
j kT j ik
S T
i S
T
j kT
T
i S
h t H e d
h kT H e d
h kT H e d
i
T
i
h kT H e e d
T
i
H e d
T
F f
ω
ω
π ω
π
π ω π
π
π ω
π
ω ω
π
ω ω
π
ω ω
π
π
ω ω
π
ω ω
π
π
ω ω
π
ω
∞
−∞
∞
−∞
+
−
′
−
′
−
=
=
=
′ = −
′ ′= +
′ ′= +
=
∫
∫
∑∫
∑∫
∑∫
/
/
( )
2
S
S
S
S
jn T
n
n
T
jn TS
n T
e
T
f F e d
ω
π ω
π
ω ω
π
−
−
=
∑
∫
無碼間串擾無碼間串擾無碼間串擾無碼間串擾(ISI)的的的的頻頻頻頻域條件域條件域條件域條件
2
( ) ,S
i S S
i
H T
T T
π π
ω ω+ = ≤∑
抽樣脈衝
分段分段分段分段
積分積分積分積分
求和求和求和求和

28
2
( ) ,S
i S S
i
H T
T T
π π
ω ω+ = ≤∑
Ts Ts
2
Ts
3
i=1(d)
Ts
H( )
Ts
3
- Ts
2
-
Ts
-
Ts Ts
2
Ts
3
(a)
檢驗或設計H(ω)能否消除ISI的理論依據
物理物理物理物理含義含義含義含義:
切割切割切割切割, 平移平移平移平移, 對折對折對折對折, 疊加成理想疊加成理想疊加成理想疊加成理想LPF
以以以以Rs = 1/Ts的速率傳輸的速率傳輸的速率傳輸的速率傳輸
則無則無則無則無ISI !!

29
Digital Modulation
( )H ω
ST
π
−
ST
π0 ω
,
( )
0,
S
S
S
T
T
H
T
π
ω
ω
π
ω

≤

= 
 >

sin
( ) sinc( / )S
S
S
t
T
h t t T
t
T
π
π
π
= =
FT
若輸入資料以RB = 1/TB波特的速率進行傳輸, 則在抽樣時刻上不存在碼間串擾.
• 若以高於1/TB波特的碼元速率傳送時, 將存在碼間串擾.
• 通常將此頻寬B = 1/(2TB)稱為Nyquist頻寬頻寬頻寬頻寬fN, 將RB稱為Nyquist速率速率速率速率.
此基帶系統所能提供的最高頻帶利用率η為 RB/B = 2, 這種特性陡峭在物理上是無法實現的
• 並且h(t)的振盪衰減慢, 使之對定時精度要求很高, 故不能實用。
How to solve ? 在fN奇對稱波形進行”圓滑”+”滾降”
Nyquist最窄頻寬無ISI最高Baud Nyquist rate
無ISI BB最高頻帶利用率

30
Digital Modulation
raised-cosine filter minimize ISI
(1 )
, 0
(1 ) (1 )
( ) [1 sin ( )],
2 2
(1 )
0,
S
S
S S
S S S
S
T
T
T T
H
T T T
T
α π
ω
π α π α π
ω ω ω
α
α π
ω
 −
≤ <

 − +
= + − ≤ <

 +
≥

( ) 2 2 2
sin / cos /
/ 1 4 /
S S
S S
t T t T
h t
t T t T
π απ
π α
= ⋅
−
FT
/ Nf fα ∆≡
引入滾降係數
描述滾降程度
( )0 ~1
1
2
N
B N
B
f
f
R f
T
α ∆
=
= =
(1 )N NB f f fα∆= + = +

31
(1 )
, 0
(1 ) (1 )
( ) [1 sin ( )],
2 2
(1 )
0,
S
S
S S
S S S
S
T
T
T T
H
T T T
T
α π
ω
π α π α π
ω ω ω
α
α π
ω
 −
≤ <

 − +
= + − ≤ <

 +
≥

( ) 2 2 2
sin / cos /
/ 1 4 /
S S
S S
t T t T
h t
t T t T
π απ
π α
= ⋅
−
FT
/ Nf fα ∆≡
Digital Modulation
root-raised-cosine (RRC) filter
實際應用中1個在Tx, 1個在Rx, raised-cosine RRC RRC= ⋅
√￣
√￣￣￣￣￣￣
余弦滾降濾波器特點
1. 特性易實現
2. Response曲線拖尾收斂快, 擺幅較小
BUT代價
1. BW↑
2. 頻帶利用率η↓

32
filter α η(Baud/Hz) H(ω)程度程度程度程度 h(t)曲線尾部曲線尾部曲線尾部曲線尾部
理想低通 0 2 (Max) 難實現收斂慢
升餘弦 1 1 易實現收斂快
Q: 能否把這兩種filter優點集於一身 ?
A:
部分響應技術 → 提高頻譜利用率
時域均衡 → ISI↓

33
部分響應技術部分響應技術部分響應技術部分響應技術 → 提高頻譜利用率提高頻譜利用率提高頻譜利用率提高頻譜利用率單個sinx/x波形: 拖尾收斂慢
2個相距Ts sinx/x波形相加: 拖尾衰減快
( ) 2 2
sin ( ) sin ( )
2 2 cos /4
1 4 /( ) ( )
2 2
S S
S S S
S S S
S S
T T
t t
T T t T
T T t Tt t
T
g t
T
π π
π
π π π
+ −
 
= + =  
− + −
sin ( )
2
( )
2
B
B
B
B
T
t
T
T
t
T
π
π
+
+
sin ( )
2
( )
2
B
B
B
B
T
t
T
T
t
T
π
π
−
−
( )
2 cos ,
2
0,
S
S
S
S
T
T
T
G
T
ω π
ω
ω
π
ω

≤

= 
 >

FT
1
2
1 1
/ / 2 ( /
Ny
)
2
quist
S
B
S S
B
T
R B B Hz
T T
η
=
= = =
頻寬
• 若g(t)為傳送信號的波形且發送碼元的間隔為Ts
• 則本碼元的抽樣值僅受前一碼元相同幅值的串擾

34
時域均衡時域均衡時域均衡時域均衡 → ISI↓
( )H ω′
有有有有 ISI
‫ݔ‬‫ݔ‬‫ݔ‬‫ݔ‬(‫)ݐ‬
( )H ω ( )T ω
無無無無 ISI
‫ݕ‬‫ݕ‬‫ݕ‬‫ݕ‬(‫)ݐ‬有有有有誤差誤差誤差誤差
( ) ( ) ( ) ( )if equalizer
ISI
then ( ) ISIy t
HT THω ωωω =′∋插入
滿足無的頻域條件
在抽樣時刻上無
( )
1
,
2 2
) ) ,
2 /
,
( ) ( )
(
( )
( )
( ) (
2
( )
( ) [ ] ( )
22
2
(
(
)
)
B
B
i B
B
i B B B
B
B
B
i B
jnT
n T n B
n n
jnB B
n
i B
B
T
T
i i
T
T T T
T
T
i TH
T
C e
i
T
T
T
T
h t F C t nT
T T
C e
i
H
T
H
H
H
T
T
H
T ω
ω
ω
ω
π
ω
π π π
ω
ω
ω
π
ω
π
π
ω
π
ω
δ
ω
ω
ω
π
ω
π
ω
ω
∞ ∞
− −
=−∞ =−∞
 
+ 
 
′ = ≤
+ ⋅ + = ≤
= ≤
+
= ⇔ = = −
=
+
=′
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
帶入
是為週期的函數
BB
B
TT
T
d
π
π ω−∫
由hT(t)構造出equalizer的結構: 橫向濾波器
( ) ( )T n B
n
h t C t nTδ= −∑

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