1. 第17章 量子物理基础
§17.1 黑体辐射与普朗克的能量子假设
§17.2 光的粒子性
§17.3 玻尔的氢原子理论
§17.4 电子的波动性
§17.5 波函数的统计解释
§17.6 不确定关系
§17.7 薛定谔方程
§17.8 一维定态问题
§17.9 氢原子和角动量
§17.10 多电子原子

2. 微观粒子具有波动性，并且
λ
ν
h
phE ==
自由粒子的德布罗意波的波函数
)(
0
Etrp
i
e
−⋅
=
rr
h
Ψ)(
0
trki
e ω
ΨΨ −⋅
=
rr
量子力学的一项基本假设是，微观粒子的运动状态可
以用 波函数来描述。
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3. §17.5 波函数的统计解释
波恩（Max Born）于1926年提出了波函数的统计解释
物质波是一种概率波
)( t,r
r
Ψ 概率幅
复共轭
)()()(
2
t,rt,rt,r
rrr ∗
= ΨΨΨ 概率密度
在t 时刻 附近单位体积内找到粒子的概率r
r
Vt,r d)(
2r
Ψ
粒子在t 时刻、出现在 附近 体积元内的概率r
r
Vd
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4. xx d)(
2
Ψ 在 间隔内发现粒子的概率xx d附近
∫
2
1
d)(
2
x
x
xxΨ 在 间隔内发现粒子的概率21 xx 到
自由粒子的波函数
)(
)(
tErp
i
Aet,r
−⋅
=
rr
h
r
Ψ
2
)()(2
)( AAeAet,r
tErp
i
tErp
i
=⋅=
−⋅
−
−⋅
rr
h
rr
h
r
Ψ
在空间各点发现自由粒子的概率相同
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5. 波恩的理论赋予波函数以下基本性质：
标准条件： 波函数是单值、连续和有限的
∫ =
Ω
dVt,r 1)(
2r
Ψ )( 全空间−Ω归一化条件：
Max Born shared the 1954 Nobel Prize for his
fundamental research in quantum mechanics，
especially for his statistical interpretation of the
wave function. (Copenhagen interpretation)
哥本哈根学派
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6. 电子双缝衍射实验 约恩孙(C. Jonsson) 1961年
在20世纪80年代用电子全息术
做出来双路衍射的结果
概率波
到达电子数最多的地方形成干涉极大值
∗
∝ΨΨ找到电子的概率
CAI
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7. 2
22
)(
x
exf
α
−
=
例：将波函数 归一化)x(f
设归一化因子为C，则归一化的波函数为
2
22
)(
x
Cex
α
Ψ
−
=
∫
+∞
∞−
= 1)(
2
dxxΨ
计算积分得
取 δ＝0，则归一化的波函数为
21
2
/
C
π
α
= δ
π
α i/
/
eC 21
21
)(=
22/1
2/1
22
)()(
x
ex
α
π
α
Ψ
−
=
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8. §17.6 不确定关系
由于微观粒子的波动性
λ
h
p =
波长 不可能是坐标x 的函数
坐标x 和动量p 在原则上不可能同时确定
λ
说“在x 处的波长”是没有意义的
动量p 不可能由x 值来完全确定
问“在x 处的的动量是多少”是毫无意义的
不可能同时正确地确定微观粒子的坐标和动量
只能给出微观粒子的坐标x 和动量 p 的一个不确定范围
px ∆∆ 和 退出返回

9. ϕsin0 ppx ≤≤
λϕ∆ =sinx
x
h
x
pppx
∆∆
λ
ϕ∆ ==≈ sin
x∆
λ
ϕ =sin
hpx x ≥∆∆ 不确定关系
电子的单缝衍射
电子x坐标的不确定范围 x∆
动量 的不确定范围xp
将在下述范围内被测定xp
x∆ ϕ
x
p
v
xp
v
∆
忽略衍射次极大
若把衍射次极大也考虑进来
hpx x ≈∆∆ hpx x ≥∆∆ 退出返回

10. hpz z ≥∆∆hpy y ≥∆∆
不确定关系中的不确定范围并不是由实验误差引起的
随着科学的发展，测量精度越来越高，但这丝毫也不
影响不确定关系所规定的原则。
htE ≥∆∆
能级自然宽度和平均寿命
t∆设体系处于某能量状态的平均寿命为
t
h
E
∆
∆ ≥能级宽度
用不确定关系作数量级估算
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11. 例1. 原子中电子运动不存在“轨道”
设电子的动能 T =10 eV，平均速度
速度的不确定范围
m/s10
2 6
==
m
T
v
m/s1037 6
×≈≥= .
xm
h
m
p
v
∆
∆
∆
m10 10−
≈x∆
∆v ~ v 轨道概念不适用!
例2. 假定原子中的电子在某激发态的存留时间为 s10 8−
=τ
eV1014 7−
×≈≥ .
h
E
τ
∆则该激发态的能级宽度为
由于能级有一定宽度，所辐射的光谱也存在一定宽度
h
E∆
ν∆ =谱线的自然宽度
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12. 例3.一原子的激发态发射波长为 600 nm 的光谱线，
假设测量波长的精度为 , 试问该原子态的寿
命为多长？
7
10−
=
λ
λ∆
λ
ch
E =辐射光子的能量
对上式两边取微分，可得能量的变化量(均取绝对值)
λ∆
λ
∆ 2
hc
E =
由上式可得波长的相对变化量
ch
E∆λ
λ
λ∆
=
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13. ch
E∆λ
λ
λ∆
=
假设该原子态的寿命为 ，则根据不确定关系可得
能量的不确定量（即能级宽度)
t∆
t
h
E
∆
∆ =
tc∆
λ
λ
λ∆
=
s102
10103
10600 8
78
9
−
−
−
×≈
××
×
==
λ
λ∆
λ
∆
c
t
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14. 例4. 用不确定关系估算氦原子基态能量
氦原子能量是两个电子在氦核库仑场中的势能、两个
电子的动能以及两个电子之间的库仑相互作用势能之
和, 即
eer
e
r
e
m
p
E
0
2
0
22
4
)
4
2
2
(2
πεπε
+−=
(设两电子排斥, 趋于远离)rree 2≈
xp ∆∆ ⋅ ~ ~ hrp⋅由不确定关系
r
e
r
e
mr
h
p,rE
24
)
4
2
2
(2)(
0
2
0
2
2
2
⋅
+−=
πεπε
)(rE=
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15. 0
d
d
=
r
E
基态能量为E 最小值
0
24
72
2
0
2
3
2
=+−
r
e
mr
h
πε
2
2
0
7
16
me
h
r
πε
=
2
0
2
4
)4(16
49
πεh
me
Emin −≈ eV84−=
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16. §17.7 薛定谔方程
1926 薛定谔 ( E. Schrodinger ) 微观粒子 低速
实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，它
的正确性只能靠实验来检验。
处于势场V 中的非自由粒子
)()(
2
)( 2
2
t,rt,rV
m
t,r
t
i
vrhv
h ΨΨ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∇−=
∂
∂
薛定谔方程
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 2
2
2
2
2
2
2
zyx
拉普拉斯算符
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