Công thức lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản
Cung Liên Kết
Cung hơn kém 2π: α và (α ± 2π) Cung hơn kém π: α và (α ± π)
• sin (α ± k2π) = sin α • cos (α ± k2π) = cos α • sin (α ± π) = − sin α • cos
π
2
+ α = − sin α
• tan (α ± k2π) = tan α • cot (α ± k2π) = cot α • tan (α ± π) = tan α • cot (α ± π) = cot α
Cung đối nhau: α và −α Cung bù nhau: α và π − α
• cos(−α) = cos α • sin(−α) = − sin α • sin(π − α) = sin α • cos(π − α) = − cos α
• tan(−α) = − tan α • cot(−α) = − cot α • tan(π − α) = − tan α • cot(π − α) = − cot α
Cung phụ nhau: α và
π
2
− α Cung hơn
π
2
: α và
π
2
+ α
• sin
π
2
− α = cos α • cos
π
2
− α = sin α • sin
π
2
+ α = cos α • cos
π
2
+ α = − sin α
• tan
π
2
− α = cot α • cot
π
2
− α = tan α • tan
π
2
+ α = − cot α • cot
π
2
+ α = − tan α
Công Thức Lượng Giác Cơ Bản
• sin2
x + cos2 x = 1 ⇔
sin2
x = 1 − cos2
x
cos2
x = 1 − sin2
x
• tan x cot x = 1 ⇔ tan x =
1
cot x
⇔ cot x =
1
tan x
• tan x =
sin x
cos x
⇔ sin x = tan x. cos x • cot x =
cos x
sin x
⇔ cos x = cot x. sin x
•1 + tan2 x =
1
cos2 x
⇔ cos2 x =
1
1 + tan2 x
•1 + cot2 x =
1
sin2
x
⇔ sin2
x =
1
1 + cot2 x
Công Thức Cộng Công Thức Nhân Đôi
• sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b • sin 2α = 2 sin α cos α
• cos (a ± b) = cos a cos b sin a sin b • cos 2α =



cos2
α − sin2
α
2 cos2
α − 1
1 − 2 sin2
α
• tan (a ± b) =
tan a ± tan b
1 tan a tan b
• tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
Công Thức Hạ Bậc Công Thức Tính Theo t = tan
α
2
• sin2
α =
1 − cos 2α
2
• sin α =
2t
1 + t2
• cos2 α =
1 + cos 2α
2
• cos α =
1 − t2
1 + t2
• tan2 α =
1 − cos 2α
1 + cos 2α
• tan α =
2t
1 − t2
Công Thức Nhân Ba Công Thức Hạ Bậc Ba
• sin 3x = 3 sin x − 4 sin3
x • sin3
x =
3 sin x − sin 3x
4
• cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x • cos3 x =
3 cos x + cos 3x
4
Công Thức Biến Tổng Thành Tích Công Thức Biến Tích Thành Tổng
• sin x + sin y = 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
• sin a cos b =
1
2
[sin (a + b) + sin (a − b)]
• sin x − sin y = 2 cos
x + y
2
sin
x − y
2
• cos a cos b =
1
2
[cos (a + b) + cos (a − b)]
• cos x + cos y = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
• sin a sin b = −
1
2
[cos (a + b) − cos (a − b)]
• cos x − cos y = −2 sin
x + y
2
sin
x − y
2
• sin x ± cos x =
√
2 sin x ±
π
4
Công Thức Lượng Giác Khác
• cot x + tan x =
2
sin 2x
• cot x − tan x = 2 cot 2x
• tan x + tan y =
sin (x + y)
cos x cos y
• tan x − tan y =
sin (x − y)
cos x cos y
• cot x + cot y =
sin(y + x)
sin x sin y
• cot x − cot y =
sin(y − x)
cos x cos y
• cot x + tan y =
cos(x − y)
sin x cos y
• cot x − tan y =
cos(x + y)
sin x cos y
Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 1

2. Công thức lượng giác cơ bản
I.Phương trình lượng giác cơ bản
sin x = sin α ⇔
x = α + k2π
x = π − α + k2π
(k ∈ Z)
sin x = 0 ⇔ x = kπ
sin x = 1 ⇔ x =
π
2
+ k2π
cos x = cos α ⇔
x = α + k2π
x = −α + k2π
(k ∈ Z)
sin x = −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π
cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z) cos x = 1 ⇔ x = kπ(k ∈ Z)
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
II.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:






a sin2
x + b sin x + c = 0
a cos2
x + b cos x + c = 0
a tan2
x + b tan x + c = 0
a cot2
x + b cot x + c = 0
Cách giải: Đặt t =





sin x
cos x
tan x
cot x





. Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0
Chú ý:
1. Nếu đặt t =
sin x
cos x
. Điều kiện −1 ≤ t ≤ 1
2. Ta có thể giải trực tiếp mà không nhất thiết đặt ẩn phụ
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin x + b cos x = c(1)
Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2
Chia hai vế của phương trình cho
√
a2 + b2 : (1) ⇔
a
√
a2 + b2
sin x +
b
√
a2 + b2
cos x =
c
√
a2 + b2
Đặt



cos α =
a
√
a2 + b2
sin α =
b
√
a2 + b2
(1) ⇔ sin (x + α) =
c
√
a2 + b2
Chú ý: Điều kiện (1) có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2
IV. PT đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: a sin2
x + b sin x cos x + c cos2 x = d
• TH1: cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ. Chú ý: sin2
x = 1
Thế vào phương trình kiểm tra x =
π
2
+ kπ có là nghiệm phương trình?
• TH2: cos x = 0 chia hai vế của phương trình cho cos2 x, dẫn tới việc giải phương trình:
a tan2 +b tan x + c = d 1 + tan2 x
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0
Đặt t = sin x ± cos x =
√
2 sin x ±
π
4
, ĐK: t ∈ [−
√
2,
√
2]
⇒ t2 = 1 ± 2 sin x cos x ⇔ sin x cos x = ±
t2 − 1
2
Phương trình trở thành: at + b ±
t2 − 1
2
+ c = 0
VI. Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx:
a tan2 x + cot2 x + b(tan x ± cot x) + c = 0
a tan2 x + cot2 x + b(tan x + cot x) + c = 0 (1) a tan2 x + cot2 x + b(tan x − cot x) + c = 0 (2)
Đặt t = tan x + cot x =
2
sin 2x
Đặt t = tan x − cot x = −2 cot 2x
Điều kiện: t ∈ (−∞, −2] ∪ [2, +∞) Điều kiện: t ∈ RI
⇒ t2 = tan2 x + cot2 x + 2 ⇒ t2 = tan2 x + cot2 x − 2
(1) ⇔ a(t2 − 2) + bt + c = 0 (2) ⇔ a(t2 + 2) + bt + c = 0
Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 2