Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốLinh Nguyễn
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Đại số về Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Xem thêm phương pháp ôn thi các môn khác tại diemthi60s.com
Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, đăng ký học tập vui lòng liên hệ văn phòng gia sư thủ khoa Tài Đức Việt - Tel: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10. Đăng ký học tập bồi dưỡng, ôn luyện thi toán lớp 9 vào lớp 10 các trường tại Hà Nội vui lòng liên hệ tới văn phòng gia sư Toán thủ khoa Tài Đức Việt theo số máy: 0936.128.126.
Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốLinh Nguyễn
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Đại số về Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Xem thêm phương pháp ôn thi các môn khác tại diemthi60s.com
Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, đăng ký học tập vui lòng liên hệ văn phòng gia sư thủ khoa Tài Đức Việt - Tel: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10. Đăng ký học tập bồi dưỡng, ôn luyện thi toán lớp 9 vào lớp 10 các trường tại Hà Nội vui lòng liên hệ tới văn phòng gia sư Toán thủ khoa Tài Đức Việt theo số máy: 0936.128.126.
Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
1. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
2)
3)
4)
5)
A
có nghĩa khi B ≠ 0 (A có nghĩa)
; A có nghĩa khi A ≥ 0
B
−1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1
π
π
sin x = 0 ⇔ x = kπ ; s inx = 1 ⇔ x = + k 2π ; s inx = -1 ⇔ x = − + k 2π
2
2
π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ ; cosx = 1 ⇔ x = k 2π ; cosx = -1 ⇔ x = π + k 2π
2
π
Hàm số y = tanx xác định khi x ≠ + k π
2
Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ kπ
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx
2) y = cos
4) y = cos x − 3x + 2
5) y =
2
1 + cosx
1-sinx
1
1
−
10) y =
s inx 2cosx
7) y =
x +1
x+2
2
cos2x
8) y = tan(x +
3) y = sin x + 4
6) y =
π
)
4
2 − s inx
9) y = cot(2x -
π
)
3
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
2
sin2(-x) = [ sin(-x) ] = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D, ∀x
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
n
f (− x) = f ( x) → f ch½
f (− x) = − f ( x) → f lÎ
Cã x ® f (− x ) ≠ ± f ( x ) → f kh«ng ch¼ kh«ng lÎ
n,
0 Ó
0
0
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx
2) y = sinx + x
1
4) y = tan2x
2
5) y = sin x + x2
3) y = sin2x + 2
6) y = cos 3x
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ −π; π]
π
2π π
2) y = -2cos 2x + ÷ trên đoạn − ;
3
3 3
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
−1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; A2 + B ≥ B
Chú ý :
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
π
2
1
cos2x
2
1) y = 2sin(x- ) + 3
2) y = 3 –
4) y = 1 + cos(4x 2 ) - 2
5) y = 2 s inx + 3
7) y = sin 2 x − 4s inx + 3
Trường THPT Lăk
6) y = 5cos x +
8) y =
WWW.ToanCapBa.Net
π
3
2
3) y = -1 - cos (2x + )
π
4
4 − 3cos 2 3 x + 1
1
2. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
Chú ý :
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
π
π
π
π π
1) y = sinx trên đoạn − ; −
2 3
2) y = cosx trên đoạn − ;
2 2
1 3
4) y = cos π x trên đoạn ;
4 2
3) y = sinx trên đoạn − ; 0
2
1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .
sin u = sin v ⇔
u = v + k 2π
u = π −v + k 2π
(k∈Z)
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π.
(k∈Z)
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ
(k∈Z)
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ
(k∈Z)
2/ Phöông trình ñaëc bieät :
π
π
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 + k2π
π
cosx = 0 ⇔ x = 2 + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx .
2
2
Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a + b ≠ 0
a 2 + b 2 . cos( x −ϕ)
Caùch 1: acosx + bsinx = c ⇔
asinx +bcosx = c ⇔
a 2 + b 2 . sin( x +ϕ)
a
= c vôùi cos ϕ = a 2 + b 2
a
= c vôùi cos ϕ = a 2 + b 2 .
Caùch 2 :
Xeùt phöông trình vôùi x = π + kπ , k ∈ Z
x
Vôùi x ≠ π + kπ ñaët t = tan 2 ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t :
2
(c + b)t – 2at + c – a = 0
2
2
2
Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm ⇔ a + b - c ≥ 0 .
Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau:
1.
3 cos x − sin x =
2
,
3.
cos 7 x −sin 5 x = 3 (cos 5 x −sin 7 x ) ,
7.
cos x − 3 sin x = −
1
π
1
4
4
4. sin x + cos ( x + 4 ) = 4
3 sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ,
5.
2.
6. tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)
1
3(1 − cos 2 x)
= cos x
2sin x
2
8. sin 2 x + sin x = 2
4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc :
Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau:
1.
2
2cos x +5sinx – 4 = 0 ,
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
2.
2cos2x – 8cosx +5 = 0
2
3. GV:Lương Thanh Phượng
3.
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x
4
4.
4
2(sin x + cos x) = 2sin2x
–1
4
5.
4
sin 2x + cos 2x = 1 – 2sin4x
3
= 3 + 2 tan 2 x
7.
cos x
cos
6.
4x
= cos 2 x
3
8.
10.
2
9. 6sin 3 x + cos12 x = 4
5tan x -2cotx - 3 = 0
4sin 4 x + 12cos 2 x = 7
5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx :
2
2
a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin x +b sinx cosx + c cos x = 0 .
Caùch 1 :
• Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
2
• Xeùt cos x ≠ 0 chia hai veá cuûa phöông trình cho cos x roài ñaët t = tanx.
2
1
1
2
Caùch 2: Thay sin x = 2 (1 – cos 2x ), cos x = 2 (1+ cos 2x) ,
1
sinxcosx = 2 sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x vaø
cos2x .
b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t
π
= tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp cos x = 0 hay x = 2 +
kπ ,k∈Z.
Baøi taäp :
2
2
1. 2sin x – 5sinx.cosx – cos x = - 2
2
2. 3sin x + 8sinxcosx + ( 8
2
3. 4sin x +3
3
2
- 9)cos x = 0
2
sin2x – 2cos x = 4
3
3
4. 6sinx – 2cos x = 5sin2x.cosx.
1
2
2
5. sin x + sin 2 x − 2cos x = 2
6/ Phöông trình daïng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän
− 2 ≤t ≤ 2
t 2 −1
khi ñoù sinxcosx = 2
Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t .
Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän
− 2 ≤t ≤ 2
1 −t 2
khi ñoù sinxcosx = 2
Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
3
4. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc.
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx ,
2
3/ 6 – 4cos x – 9sinx
= 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1
3
2
,
4
2
5/ 2tg x + 3 = cos x , 6/ 4sin +12cos x = 7
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) .
HD : ñaët t =sinx
π
5π
ÑS : x = k3π , x= ± 4 +k3π , x = ± 4
4x
2
2/ cos 3 = cos x
+k3π
x
π
x
x
2
2
3/ 1+ sin 2 sinx - cos 2 sin x = 2cos ( 4 − 2 )
ÑS: sinx =1 v sin
x
2 =1
π
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x
HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = -
4 +kπ
π
ÑS : x = k2π , x = ± 3 +k2π
1
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = cos x
1
2
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos x
2
2
ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 2
2
7/ 2cos 2x +cos 2x = 4sin 2xcos x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx
HD :ñaët t = tan
x
2
10/ sin2x+ 2tanx = 3
2
2
2
11/ sin x + sin 3x = 3cos 2x
2x
π
π
3
12/ tan ( x - 4 ) = tanx - 1
HD :ñaët t =cos
ÑS : x = kπ v x =
4 + kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2
HD : Ñöa veà PT baäc hai theo
sinx.
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
4
5. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
π
ÑS : x = 4 +
WWW.ToanCapBa.Net
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2
kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX.
Giaûi caùc phöông trình sau :
2
2
1/ sin x + 2sin 2x –3 +7cos x = 0 .
3
3
2/ cos x – sin x = cosx + sinx.
3
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos x
3
3
5
π kπ
ÑS : x= 4 + 2
π
ÑS : x = 4 +kπ
π
ÑS :x = ± 3 + kπ v x=
5
4/ sin x + cos x = 2( sin x + cos x )
π
3
5/ sin (x - 4 ) = 2 sinx
4
2
4
6/ 3cos x – sin 2x + sin x = 0
π
kπ
4+ 2
4
4
7/ 3sin x +5cos x – 3 = 0 .
3
8/ 6sinx – 2cos x = 5sin 2x cosx
III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG .
Giaûi caùc phöông trình sau :
3
3
3
1/ cos x + sin x = sin 2x + sinx + cosx
3
2/ 2cos x + cos 2x +sinx = 0
3
3
3/ 1 + sin x + cos x = 2 sin2x
4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx
+6=0
3
3
5/ sin x – cos x = 1 + sinxcosx
6/
1
1
10
+
+ sin x + cos x =
cos x sin x
3
2
3
2
3
7/ tanx + tan x + tan x + cotx+cot x +cot x = 6
8/
2
2
sin 2 x + 2tan x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
3
3
3
9/ 1 + cos x – sin x = sin 2x
2
3
10/ cos x – sin x = - 1
2
11/ 2cos 2x + sin x cosx + cos x sinx = 2( sinx + cosx ).
IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
KHAÙC .
Giaûi caùc phöông trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx
2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx
+cosx – 2
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
5
6. GV:Lương Thanh Phượng
2
2
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
2
3
3/ sin x + sin 3x – 3cos 2x = 0
3
3
4/ cos3x cos x – sin3xsin x = cos 4x +
1
4
4
x
4
x
5/ sin 2 + cos 2 = 1 – 2sinx
6
6
4
6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
4
4
7/ sin x + cos x = sin x + cos x
4
2
2
8/ sin x + cos x – cos x = 1 – 2sin x
2
cos x
9/ 3sin3x x
3 cos
3
9x = 1 + 4sin x.
π
10/
x
2
2
2
11/ sin ( 2 − 4 ) tan x – cos 2 = 0
2
cos 3 x + sin 3 x
15/ 5(sin x + 1 + 2 sin 2 x ) = cos 2 x + 3
1
12/ cotx – tanx + 4sinx = sin x
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin x - sinx + 1
tan2x )
cos x + sin x
= sin x
1 − cos x
2
4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan x +
2
2
2
2
16/ sin 3x – cos 4x = sin 5x – cos 6x
(2 − sin 2 2 x)sin 3 x
18/ tan x + 1 =
cos 4 x
4
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0.
x
2
19/ tanx +cosx – cos x = sinx (1+tanx.tan 2 )
20/ cotx – 1 =
cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
6
7. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈ ¥ mà 1 ≤ k ≤ n . Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu A k là:
n
GV:Lương Thanh Phượng
A k = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) =
n
n!
( n − k) ! .
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 ≤ k ≤ n . Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
n ( n − 1) ... ( n − k + 1)
n!
k
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ck là: Cn = k!( n − k ) ! =
n
k!
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
Cho a, k ∈ ¥ * :
Ck = C n − k
n
n
k
k
Ck +1 = Cn + Cn −1
n
( 0 ≤ k ≤ n)
(1 ≤ k ≤ n)
III. Khai triển nhị thức Newton
( a + b)
n
n
= ∑ C k a n − k b k = C 0 a n + C1 a n −1b + .. + C k a n − k b k + .. + C n b n
n
n
n
n
n
k =0
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
k
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Tk +1 = Cn a n − k b k
– C0 + C1 + C 2 + ... + C n = 2 n
n
n
n
n
2
k
n
– C0 − C1 + C n − C3 + ... + ( −1) C n + ... + ( −1) C n = 0
n
n
n
Chú ý:
k
( a + b)
n
– ( a + b)
n
–
n
n
= ∑ C k a n − k b k là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
n
k =0
n
= ∑ C k a k b n − k là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
n
k =0
Các Dạng bài toán cơ bản
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
7
8. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập A = { 0;1; 2;3; 4} . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập A = { 1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1
xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
GV:Lương Thanh Phượng
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
n!
A k = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) =
n
( n − k) !
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập A = { 0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
Ck =
n
n!
k!( n − k ) !
( 0 ≤ k ≤ n)
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
k
Dạng 5: Tìm n ∈ ¥ * trong phương trình chứa Pn , A n , Ck
n
Phương pháp giải: Dùng các công thức:
Pn = n!
( n ≥ 1) ;
A k = n ( n − 1) ... ( n − k + 1) =
n
Bài 8: Tìm
n∈¥*,
nếu có:
2Pn
= A3
n
Pn −1
Bài 9: Tìm
n∈¥*,
nếu có:
6n − 6 + C3 ≥ C3 +1 .
n
n
n!
( n − k) !
(1 ≤ k ≤ n) ;
k
Cn =
n!
k!( n − k ) !
( 0 ≤ k ≤ n)
( 1) .
( 2)
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
( a + b)
n
n
= ∑ C k a n − k b k = C0 a n + C1 a n −1b + C 2 a n − 2 b 2 + .. + C k a n − k b k + .. + C n b n
n
n
n
n
n
n
k =0
(khai triển theo lũy thừa của a
tăng, b giảm)
(Chú ý: ( a + b )
n
n
= ∑ Ck a k bn − k
n
k =0
khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11.
10
Bài 11: Trong khai triển
Trường THPT Lăk
3
3
2 x −
÷
x
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
WWW.ToanCapBa.Net
8
9. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 12: Tìm hệ số của x trong khai triển 1 + x ( 1 − x )
10
2
Bài 13: Cho khai triển: ( 1 + 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x + .. + a10 x10 , có các hệ số
số lớn nhất
Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 - x)25
8
8
2
a 0 , a1 , a 2 ,.., a10 .
Tìm hệ
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 - x 2 )25
12
æ
1ö
3) Số hạng không chứa x trong khai triển çx + ÷
÷
ç
÷
ç
xø
è
12
28 ö
æ
÷
ç
4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển çx 3 x + x 15 ÷
÷
ç
÷
÷
ç
è
ø
5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển
21
æ a
b ö
÷
ç3
÷
+
ç
÷
ç
3
÷
ç
è b
aø
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
12
æ
ö
4 trong khai triển ç x - 3 ÷
1) Hệ số của số hạng chứa x
÷
ç
÷
ç3 x ø
è
æ1
2) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển ç +
ç 3
çx
è
8
3) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
12
ö
÷
x ÷
÷
ø
5
8
é + x 2 (1 - x) ù
1
ê
ú
ë
û
4) Hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển ( 1 + x + x 2 + x 3 )
10
5) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển (x 2 - x + 2)10
6) Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển (1 + x + 3x 2 )10
7) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển:
8) S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)50
9) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển:
10) S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x) 4 + (1 + 2x)5 + ... + (1 + 2x)22
11)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10 (x + 1)10 .
Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ck
n
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị
thích hợp, từ đó suy ra kết quả.
k
n
Bài 16: Tính tổng: S1 = C0 + C1n + C2 + ... + Cn ; S2 = C0 − C1n + C2 − ... + ( −1) C k + ... + ( −1) C n
n
n
n
n
n
n
n
0
2
4
2n
1
3
2n −1
Bài 17: Tính tổng: S3 = C2n + C2n + C2n + ... + C2n ; S4 = C2n + C2n + ... + C2 n
n
Bài 18: Tính tổng: T = C0 − 2C1n + 22 C2 − 23 C3 + ... + ( −2 ) C n
n
n
n
n
E. CAÁP SOÁ COÄNG
Kieán thöùc caàn nhôù:
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
9
10. GV:Lương Thanh Phượng
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
1. Ñònh nghóa: Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ
haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng ñeàu laø toång
cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø
coâng sai.
Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d
(n = 1, 2, ...).
Ñaëc bieät: Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong ñoù taát caû
caùc soá haïng ñeàu baèng nhau.
Ñeå chæ raèng daõy soá (un) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu
÷ u1, u2,
..., un, ....
2. Soá haïng toång quaùt
Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng coù soá
haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:
un = u1 +
(n - 1)d
3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng
Ñònh lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá haïng
thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá coäng höõu
haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø
uk =
u k −1 + u k +1
2
(k ≥ 2).
4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá coäng
Ñònh lí: Ñeå tính Sn tacoù hai coâng thöùc sau:
n
[ 2u1 + (n −1)d ]
2
n
S n = (u1 + u n )
2
Sn =
• Sn tính theo u1 vaø d
• Sn tính theo u1 vaø un
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng döôùi
ñaây:
a /÷2,5,8,...
tìm u15.
b / ÷2 + 3 ,4,2 − 3 ,...
tìmu20.
a / u15 = 44
ÑS: b / u = 40 −18 3
20
Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái
laø 12 vaø coù toång baèng 30.
Baøi 3:
u2 + u5 − u3 = 10
Cho caáp soá coäng:
u4 + u6 = 26
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
10
14. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô v( a; b) bieán
ñieåm M(x;y) thaønh M’(x’;y’) . Tìm toïa ñoä ñieåm M'
Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán theo vectô
v(2;3) bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N.
Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y) sao cho A
v(2;1) :
laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo
Caâu4 : Trong caùc hình sau ñaây, hình naøo coù ba truïc ñoái xöùng:
A) tam giaùc ñeàu B) hình chöõ nhaät
C) Hình vuoâng
D)Hình thoi
Caâu5: Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3). Pheùp ñoái xöùng qua
truïc ox bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toïa ñoä ñieåm M'
Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y
-5=0 .Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp tònh tieán vectô v(1;1) ?
Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình :
3x+5y-4=0.Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp ñoái xöùng truïc ox.
Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3).Pheùp ñoái xöùng qua
goác toaï ñoä bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N?
Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y
-5=0 3x+4y-6=0, pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán d thaønh d’. Tìm
phöông trình d'
Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5)
2
2
+(y-4) =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô v(1;2) bieán (C) thaønh (C’). Tìm
phöông trình (C')
Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5)
2
2
+(y-4) =25 . Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C’). Tìm
phöông trình (C')
Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi laø
pheùp dôøi hình ?
A) pheùp ñoàng daïng vôùi tæ soá k=1 ; B) pheùp vò töï tæ soá k= ±1 ; C)
pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
14
15. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
Caâu 13 : Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x2
2
1) +(y-3) =16 . Pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp
pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C') vaø pheùp tònh tieán
v(1;4) bieán (C') thaønh (C’'). Tìm phöông trình cuûa (C'').
Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng
cheùo .Thöïc hieän pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính
noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay ñoù?
Caâu 15 : Pheùp vò töï taâm O tæ soá k (k ≠ 0) laø moät pheùp bieán hình
bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho :
uuuu
uuuuu
A) OM = k OM '
uuuuu
uuuu
B) OM ' = k OM
C) OM’ =k OM
1 uuuu
uuuuu
D) OM ' = k OM
Caâu 16 : trong mp oxy cho ñieåm M( -2;4 ). Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = -2
bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N
Caâu 17 : trong mpoxy cho ñöôøng thaúng d coù PT: 2x + y – 4 = 0. Pheùp vò
töï taâm O tæ soá k = 3 bieán d thaønh ñöôøng thaúng d'. Tìm phöông trình d'?
2
2
Caâu 18 : trong mpoxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : ( x -1 ) + y =
16. pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 2 bieán (C) thaønh ñöôøng troøn (C'). Tìm
phöông trình (C')
Caâu 19 : Thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp ñoái xöùng truïc coù hai truïc ñoái
xöùng song song laø pheùp naoø sau ñaây:
A) pheùp ñoái xöùng truïc
B) pheùp tònh tieán
C) pheùp quay D)
pheùp ñoái xöùng taâm
Caâu 20 : Trong mp oxy cho ñieåm M(1;2) . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc
2
baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp V o vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc
oy bieán M thaønh ñieåm N. Tìm N? Caâu 21 :Trong maët phaúng oxy cho
ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+ y+2=0 . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc
1
baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá 2 vaø pheùp
ñoái xöùng qua truïc ox bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'?
Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo
khoâng coù tính chaát “bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng
song song hoaëc truøng vôùi noù”:
A) pheùp ñoái xöùng taâm
B) pheùp tònh tieán
C) pheùp vò töï D)
pheùp ñoái xöùng truïc
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
15
16. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
2
2
Caâu 23: Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1) + (y-2) =4 .Pheùp
ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm
u
O tæ soá k=3 vaø pheùp tònh tieán theo vectô V (1;2) bieán (C) thaønh (C').
Tìm (C') ?
2
2
Caâu 24 : Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1) + (y-2) =4 . Pheùp
ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm
O tæ soá k=3 vaø pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C').
Tìm (C')?
Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau :
A)pheùp tònh tieán bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng
baùn kính
B) pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù
cuøng baùn kính
C) pheùp ñoái xöùng taâm bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù
cuøng baùn kính
D) pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng
baùn kính
CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β :
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và β ta đi tìm hai điểm chung I ; J của α và
β
α ∩ β = I J
β
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung
J
I
•
•
M ∈ d và d ⊂ α M ∈ α
a ∩ b = M trong (P)
a ⊂ α ; b ⊂ β
M là điểm chung
α
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt
phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC)
cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau :
(SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm
giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAB) và (SCD)
c) (SAD) và (SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với
các mặt phẳng (SAD) ; (SCE)
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
16
17. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD.
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD)
b)(SBM) ; (SAC)
GV:Lương Thanh Phượng
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm
giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD)
b) (CMN) và (ABD)
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =
1
MB ; N nằm trên AC sao cho
4
AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD)
b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
AM AN
≠
. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
MB NC
1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm
ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC)
b) (SAC) và (SBD)
1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)
Vấn đề 2:
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
β
A B
Chỉ ra A ; B ; C ∈ α
Chỉ ra A ; B ; C ∈ β
Kết luận : A; B; C∈ α ∩ β A; B; C thẳng hàng
•
WWW.ToanCapBa.Net
•
a
b
Trường THPT Lăk
C
α
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a ∩ b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
•
P
•
•
M
N
17
18. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
2. 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B
nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần
lượt cắt β tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ;
trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC
cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng α . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao
điểm AB ; BC ; AC với α. Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai
đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ;
BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD
lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện
đồng quy ?
2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu
b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?
Vấn đề 3:
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG
Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :
b
Giả sử : a không chéo b
Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng α ( đồng phẳng )
Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc
mâu thuẫn với một điều đúng nào đó
α
a
Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng
Chứng minh hai đường
thẳng tạo thành từ bốn
A
điểm đó cắt nhau hoặc
α •
song song với nhau
•
C
•
D
•
B
α
A
C
•
D• B
•
•
3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
18
19. GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
b)Chứng minh AB chéo với CD ?
3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai
điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB
hoặc CD không ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng
phẳng không ? Tại sao ?
3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ?
b) Chứng minh IB chéo JA ?
Vấn đề 4:
TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ?
Phương pháp 1:
Tìm a ⊂ α
Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và
chúng cắt nhau tại M
d ∩ α = M ( hình vẽ )
Phương pháp 2:
Tìm β chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của α và β
Trong β : a ∩ d = M d α = M ( hình vẽ b)
d
•
α
M
α
a
M
•
β
a
d
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt
(ABC) tại P. Xác định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên
AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD)
b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC;
BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP)
b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ;
SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO)
b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K
sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
19
20. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm
trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
GV:Lương Thanh Phượng
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M là điểm
tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB)
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5:
THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của với các
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng
Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ;
. . . trong mặt phẳng α cũng nhờ vào quá trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên
Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
B
A
C
F
E
D
α
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’
; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ;
AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của
(MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là
trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba
điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ;
SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N
là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA =
1
2
MD ; ND =
1
2
NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
20
21. Bài tập Toán 11
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung
điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp
GV:Lương Thanh Phượng
WWW.ToanCapBa.Net
5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung
điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là
trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ?
ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là
trọng tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm
∆SAB ; ∆SAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC;
CD; DA tại M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
21
22. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
GV:Lương Thanh Phượng
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là
điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là
điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm
trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là
trọng tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và
IC = 2ID ?
b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính
JA
JD
KA
KS
HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ =
1
BC
4
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song
song với BC. Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả :
SA’ =
1
1
1
SA ; SB’ =
SB ; SC’ =
SC
n +1
2n + 1
3n + 1
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay
đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định
HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ
Vấn đề 6
HAI ĐT SONG SONG
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
22
23. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý
Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
GV:Lương Thanh Phượng
6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai
đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN // DE
6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai
đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' AB với M' trên AD; NN' AB với N' trên AF.
Chứng minh : a) MM' và NN' // CD
b) M’N// DF
Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a
là giao tuyến của (P) và (Q) .
7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất
kì.Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a ) ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?
7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là
điểm bất kì trên cạnh AB.( a ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng ( a ) cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ?
b)Chứng minh SA //
7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a ) di
động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC .
a)Mặt phẳng ( a ) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện
A’B’C’D’ là hình gì ?
b)Chứng minh rằng ( a ) khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a ) di động thì M di động
trên đường thẳng cố định
7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt
phẳng (∝) chứa AM và BD
a)Chứng minh (∝) luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên
cạnh SC
b) (∝) cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba
điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn ñề 8: MAËT PHAÚNG SONG SONG
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
23
24. WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập Toán 11
1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
GV:Lương Thanh Phượng
8.1 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi H,I,K laàn
löôït laø trung ñieåm cuûa SA,SB,SC.
a) Chöùng minh (HIK)// (ABCD).
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa AI vaø KD, N laø giao ñieåm cuûa DH vaø
CI .Chöùng minh (SMN) //(HIK).
8.2 Cho hình hoäp ABCD.AÙB’C’D’.
a) Chöùng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chöùng minh AC’ qua troïng taâm G vaø G’ cuûa tam giaùc A’BD vaø
CB’D’
8.3 Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M,N laàn
löôït laø trung ñieåm cuûa SA ,CD.
a) Cm: (OMN) //(SBC).
b) Giaû söû tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE,A F laø caùc
ñöôøng phaân giaùc trong cuûa tam giaùc ACD vaø SAB . Cm: E F //(SAD).
8.4 Cho hai hình vuoâng ABCD, ABE F khoâng cuøng naèm trong moät maët
phaúng . Treân caùc ñöôøng cheùo AC,BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M,N sao
cho AM=BN . Caùc döôøng thaúng // AB veõ töø M,N laàn löôït caét AD, A F taïi
M’,N’.
a)Cm: (CBE) //(AD F).
b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).
Trường THPT Lăk
WWW.ToanCapBa.Net
24
![GV:Lương Thanh Phượng
Bài tập Toán 11
WWW.ToanCapBa.Net
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
2)
3)
4)
5)
A
có nghĩa khi B ≠ 0 (A có nghĩa)
; A có nghĩa khi A ≥ 0
B
−1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1
π
π
sin x = 0 ⇔ x = kπ ; s inx = 1 ⇔ x = + k 2π ; s inx = -1 ⇔ x = − + k 2π
2
2
π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ ; cosx = 1 ⇔ x = k 2π ; cosx = -1 ⇔ x = π + k 2π
2
π
Hàm số y = tanx xác định khi x ≠ + k π
2
Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ kπ
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx
2) y = cos
4) y = cos x − 3x + 2
5) y =
2
1 + cosx
1-sinx
1
1
−
10) y =
s inx 2cosx
7) y =
x +1
x+2
2
cos2x
8) y = tan(x +
3) y = sin x + 4
6) y =
π
)
4
2 − s inx
9) y = cot(2x -
π
)
3
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
2
sin2(-x) = [ sin(-x) ] = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D, ∀x
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
n
f (− x) = f ( x) → f ch½
f (− x) = − f ( x) → f lÎ
Cã x ® f (− x ) ≠ ± f ( x ) → f kh«ng ch¼ kh«ng lÎ
n,
0 Ó
0
0
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx
2) y = sinx + x
1
4) y = tan2x
2
5) y = sin x + x2
3) y = sin2x + 2
6) y = cos 3x
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ −π; π]
π
2π π
2) y = -2cos 2x + ÷ trên đoạn − ;
3
3 3
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
−1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; A2 + B ≥ B
Chú ý :
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
π
2
1
cos2x
2
1) y = 2sin(x- ) + 3
2) y = 3 –
4) y = 1 + cos(4x 2 ) - 2
5) y = 2 s inx + 3
7) y = sin 2 x − 4s inx + 3
Trường THPT Lăk
6) y = 5cos x +
8) y =
WWW.ToanCapBa.Net
π
3
2
3) y = -1 - cos (2x + )
π
4
4 − 3cos 2 3 x + 1
1](https://image.slidesharecdn.com/www-131103065741-phpapp01/85/Www-toan-capba-net-bt-toan-11-day-du-1-320.jpg)
