Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, đăng ký học tập vui lòng liên hệ văn phòng gia sư thủ khoa Tài Đức Việt - Tel: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, đăng ký học tập vui lòng liên hệ văn phòng gia sư thủ khoa Tài Đức Việt - Tel: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit - Megabook.vnMegabook
Đây là Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Các ví dụ giải mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình 1 2 1
2 2 2 5 2.5x x x x x+ + −
+ + = + .
Hướng dẫn giải:
Ta có 1 2 1 2 1
2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
x x x x x x x x x x+ + −
+ + = + ⇔ + + = +
( ) 5
2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 log 5
5 5 2
x
x x x x
x
⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là 5
2
log 5.x =
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
1)
2
3 2 1
2 16x x x+ − +
= 2)
2
4 1
3
243
x x− +
= 3)
10 5
10 1516 0,125.8
x x
x x
+ +
− −=
Hướng dẫn giải:
1)
2 2
3 2 1 3 2 4 4 2 2 2
2 16 2 2 3 2 4 4 6 0
3
x x x x x x x
x x x x x
x
+ − + + − + =
= ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − − = → = −
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2)
2 2
4 4 5 2 11
3 3 3 4 5
5243
x x x x x
x x
x
− + − + − = −
= ⇔ = ⇔ − + = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.
3) ( )
10 5
10 1516 0,125.8 , 1 .
x x
x x
+ +
− −=
Điều kiện:
10 0 10
15 0 15
x x
x x
− ≠ ≠
⇔
− ≠ ≠
Do 4 3 31
16 2 ; 0,125 2 ; 8 2
8
−
= = = = nên ta có ( )
10 5
4. 3.
310 15
10 5
1 2 2 .2 4. 3 3.
10 15
x x
x x
x x
x x
+ +
−− −
+ +
⇔ = ⇔ = − +
− −
( )2 04( 10) 60
5 150 15 150
2010 15
xx
x x x
xx x
=+
⇔ = ⇔ − − = − → =− −
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1)
2 9 27
.
3 8 64
x x
=
2) 1 2 1
4.9 3 2x x− +
= 3) ( ) ( )
1
1
15 2 5 2
x
x
x
−
−
++ = −
Hướng dẫn giải:
1)
3 3
2 9 27 2 9 3 3 3
. . 3.
3 8 64 3 8 4 4 4
x x x x
x
= ⇔ = ⇔ = → =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
2) ( )
2x 3 02x 1x 1 3 2x2
x 1 2x 1 2x 3 2x 32
2x 1
2
4.9 3 3 3
4.9 3 2 1 3 .2 1 3 . 2 1 1 x .
22 2
3.2
−+− −−
− + − −
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
3
.
2
x =
Cách khác:
2 3
1 2 1 1 2 1 81 81 18.81 9 9 3
4.9 3 2 16.81 9.2 16. 9.2.4 .
81 4 16 2 2 2
x xx
x x x x x
x− + − +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Tài liệu bài giảng:
04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3) ( ) ( ) ( )
1
1
15 2 5 2 , 1 .
x
x
x
−
−
++ = −
Điều kiện: 1 0 1.x x+ ≠ ⇔ ≠ −
Do ( )( ) ( )
11
5 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2
−
+ − = → − = = +
+
( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1 0
21 1
x x
x x
xx x
− =
⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = −+ +
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1) ( )
2
1 1
3 2
2 2 4
x
x x
−
+
=
2) ( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ = − 3) ( )2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3x x x x+ − −
− = −
Hướng dẫn giải:
1) ( ) ( )
2
1 1
3 2
2 2 4, 1 .
x
x x
−
+
=
Điều kiện:
0
1
x
x
>
≠
( )
( )
( ) ( )
( )
3 1
1 2
3 1
1 2 2 2 2 5 3 0 3 9.
1
x
x x x
x x x x
x x
+
− +
⇔ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
−
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.
2) ( ) ( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2 , 2 .
x x−
+ = −
Do ( )( ) ( )
( )
( )
11
3 2 3 2 1 3 2 3 2 .
3 2
−
+ − = → − = = +
+
( ) ( ) ( )
2
5 6
2 2
2 3 2 3 2 5 6 0
3
x x x
x x
x
− − =
⇔ + = + ⇔ − + = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.
3) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 2
5 3 2 5 3 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
5 9 5 9
x x x x x x x x x x x x+ − −
− = − ⇔ − = − ⇔ − = −
2 2
2 2
3
3 25 5 125 5 5
5 3 3.
5 9 3 27 3 3
x x
x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ = → = ±
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3.x = ±
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1: Giải phương trình
a) 1 2
7 7 7 342x x x+ +
+ + = b) 1 1
5 10.5 18 3.5x x x− +
+ + =
c) 1
7.5 2.5 11x x−
− = d) 2 2
14.7 4.3 19.3 7x x x x
+ = −
Ví dụ 2: Giải phương trình
a)
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2x x x x− − +
− = − b)
2
3 2 1
2 16x x x+ − +
=
c)
10 5
10 1516 0,125.8
x x
x x
+ +
− −= d) ( ) ( )
1
1
15 2 5 2
x
x
x
−
−
++ = −
Ví dụ 3: Giải phương trình
a) ( ) ( )
3 1
1 310 3 10 3
x x
x x
− +
− ++ = − b)
2
1 2 4
9 3x x+ −
=
c)
3
8
2
4 3
2 8
x
x
−
−
= d) ( )
2
9 32 2
2 2 2 2
x
x x x x
−
− + = − +
3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
e) ( )
1
cos cos2 2
2 2
x
x xx
x x
+
+ = +
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình: 25 30.5 125 0x x
− + =
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho tương đương:( )
2
5 30.5 125 0x x
− + = .
Đặt 5x
t = , điều kiện t > 0.
Khi đó phương trình trở thành: 2 5
30 125 0
25
t
t t
t
=
− + = ⇔ =
+ Với 5 5 5 1x
t x= ⇔ = ⇔ = .
+ Với 2
25 5 25 5 5 2x x
t x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2
3 3 10x x+ −
+ = .
Hướng dẫn giải:
Ta có ( )
0
22
2
3 1 3
01
3 3 10 9.3 10 9. 3 10.3 1 0 1
23 3 3
9
x
x x x x x
x x
x
x
+ −
−
= =
=+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = −= =
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0, 2.x x= = −
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1) 1
5 5 4 0x x−
− + = 2) 23 8.3 15 0
x
x
− + = 3) 2 8 5
3 4.3 27 0x x+ +
− + =
Hướng dẫn giải:
1) ( )1
5 5 4 0, 1 .x x−
− + =
Điều kiện: x ≥ 0.
( ) ( )
2 5 1 0 05
1 5 4 0 5 4.5 5 0
15 15 5
x
x x x
x x
x x
xx
= = =
⇔ − + = ⇔ + − = → ⇔ ⇔ = = =
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
2) ( ) ( )
( )
( )
2
2
33
3 3 2
3 8.3 15 0 3 8. 3 15 0
log 5 log 25
3 5
x
x
x x
x
x
x
x
= =
− + = ⇔ − + = → ⇔ = ==
Vậy phương trình có hai nghiệm 32 ; log 25.x x= =
3)
4
2 8 5 2( 4) 4 2( 4) 4
4 2
3 3 3
3 4.3 27 0 3 4.3 .3 27 0 3 12.3 27 0
3 9 3 2
x
x x x x x x
x
x
x
+
+ + + + + +
+
= ⇒ = −
− + = ⇔ − + = ⇔ − + = →
= = ⇒ = −
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.
Ví dụ 4. Giải phương trình
2 2
2
2 2 3.x x x x− + −
− =
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
2 ( 0).x x
t t−
= > . Phương trình trở thành
4 14
3
1( ) 2
t x
t
t L xt
= = −
− = ⇔ ⇒ = − =
Ví dụ 5. Giải phương trình
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0x x x x− − − − −
− + = .
Hướng dẫn giải:
4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Đặt
2
2
5
2
3
2 5 1
2 ( 0) 9
4 5 2 4
x x
x
t x x
t t
t xx x
− −
== − − = = > ⇒ ⇒ ⇔ = = − − =
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ: Giải phương trình
a)
2 2
1 1
9 3 6 0x x+ +
− − = b)
2 2
1 3
9 36.3 3 0x x− −
− + =
c)
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0x x x x+ − − + −
− − = d) 3 2cos 1 cos
4 7.4 2 0x x+ +
− − =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài I: Giải các phương trình sau:
1) ( )
2
6 10
0,2 5
x x x− −
= 2)
2
5 2 3
3 2
2 3
x x x− − +
=
3) ( ) ( )
4 1 2 3
3 2 2 3 2 2
x x− +
+ = −
4) ( )
2
1
9. 3 81
x x
x
−
−
= 5)
2
5 4 1
10 1x x− −
= 6)
2
2
3
1 1
x
x
e
e
−
−
=
7) ( )
1
31
16. 4
8
x
x
−
=
8)
2
5 7
4 1 1
9
3
x
x x
−
− −
=
9)
1 4 2
1 2
1
27 .81
9
x x
x x
+ −
− +=
10)
1 1
3 .
3 27
x x
x
=
11) ( ) ( )
3 2
5 3 2 1
10 3 19 6 10
x x x− −
− = +
Bài II: Giải các phương trình sau
1) ( )
3
1 1
x
x
−
+ = 2)
2 5
6
22 16 2
x x− +
=
3) ( )
2
12
1 1
x
x x
−
− + = 4) ( )
2
2
1
x
x x
−
− =
5) ( )
2
42
2 2 1
x
x x
−
− + = 6) ( ) ( )
2 5 10
2 2
xx x
x x
+− −
+ = + Đ/s: x = -1; x = 5
7) ( )
2
4
2
5 4 1
x
x x
−
− + = Đ/s:
5 13
2
2
x
x
±
=
= −
8) ( )
2
2
3 3
x x
x x
−
− = − Đ/s:
1
2
4
x
x
x
= −
=
=
9) ( ) 3
1 1
x
x
−
+ = Đ/s: x = 3
Bài III: Giải các phương trình sau
1) 1 2
2 .3 .5 12x x x− −
= 2)
4 6 3 4
5 25
x x− −
= Đ/s :
7
5
x =
3) 2 2 1
9.2 8. 3x x+
= 4)
5 17
7 332 0.25.128
x x
x x
− +
− −= Đ/s : x = 13
5) ( ) ( )
4
4
10 3 10 3
x x
x x
−
+
+ = − 6) ( ) ( )
3
3
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
7) 1 1 2 1 1 1
3.4 3 .9 6.4 2 .9x x x x+ − + + − +
+ = − Đ/s:
1
2
x = −
8)
3 1
2 12 29 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = − Đ/s: 9
2
9
log
2 2
x
=
9)
1 1
2 22 25 9 3 5
x x
x x
+ −
−
− = − Đ/s:
3
2
x =
10) 3 2 2 3
7 9.5 5 9.7x x x x
+ = + Đ/s: x = 0