Math

1. Kh o sát hàm s
1
th hàm s và
các bài toán liên quan
A. KI N TH C C N NH
1. Tính ơn i u c a hàm s
1.1. nh nghĩa. Cho hàm s f xác nh trên K , v i K là kho ng, o n hay n a kho ng. Khi
ó
f ng bi n trên K ( )1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < .
f ngh ch bi n trên K ( )1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ > .
1.2. i u ki n c n và
Cho hàm s f có o hàm trên kho ng I . Khi ó
f ng bi n trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = ch t i m t s i m h u h n thu c I .
f ngh ch bi n trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = ch t i m t s i m h u h n thu c I .
f là hàm h ng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ .
2. C c tr c a hàm s
2.1. i u ki n c n có c c tr
Cho hàm s f có o hàm t i 0
x . N u hàm s f t c c tr t i 0
x thì 0
0( )f x′ = .
2.2. i u ki n có c c tr
2.2.1. i u ki n th nh t. Cho hàm s f có o hàm trên kho ng ( ; )a b , 0
( ; )x a b∈ . Khi ó
n u ( )f x′ i d u khi x qua 0
x thì f t c c tr t i 0
x .
x 0
x x 0
x
( )f x′ 0 ( )f x′ 0
( )f x C ( )f x C
www.VNMATH.com

2. Kh o sát hàm s
2
2.2.2. i u ki n th hai. Cho hàm s f có o hàm c p m t trên ( ; )a b ch a 0
x , 0
0( )f x′ =
và 0
0( )f x′′ ≠ . Khi ó
0
0( )f x′′ < ⇒ f t c c i t i 0
x , 0
0( )f x′′ > ⇒ f t c c ti u t i 0
x .
Chú ý. Ta thư ng s d ng i u ki n th hai trong các bài toán có yêu c u liên quan n c c
tr t i nh ng i m c th cho trư c.
2.3. ư ng th ng qua hai i m c c tr
2.3.1. Hàm s 3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C
Gi s th ( )C có hai i m c c tr ( );A A
A x y , ( );B B
B x y . Th c hi n phép chia a th c ( )f x cho
( )f x′ , ta ư c ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi ó ta có
0
( ) ( ). ( )A A A A A A
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = + ;
0
( ) ( ). ( )B B B B B B
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = + .
Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th ( )C .
2.3.2. Hàm s
2
( )
ax bx c
y f x
dx e
+ +
= =
+
0( )a ≠ , ( )C
Gi s th ( )C có hai i m c c tr ( );A A
A x y , ( );B B
B x y . t 2
( )u x ax bx c= + + ,
( )v x dx e= + . Khi ó 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′−
′ =
 
  
. N u f t c c tr t i 0
x thì
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− = 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u x u x
v x v x
′
⇔ =
′
hay 0
0
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x
′
=
′
.
Do ó ta có
2
( ) A
A A
ax b
y f x
d
+
= = và
2
( ) B
B B
ax b
y f x
d
+
= = . Suy ra
2
, :
ax b
A B y
d
+
∈ ∆ =
nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th ( )C .
Chú ý. Ta thư ng s d ng thu t toán ư ng th ng qua hai i m c c tr i v i các bài toán liên
quan n giá tr c c tr hay i m c c tr c a th hàm s .
3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
0 0
, ( )
max ( )
, ( )x
x f x M
M f x
x f x M∈
∀ ∈ ≤= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D 0 0
, ( )
min ( )
, ( )x
x f x m
m f x
x f x m∈
∀ ∈ ≥= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D
.
N u ( )y f x= ng bi n trên [ ; ]a b thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= .
N u ( )y f x= ngh ch bi n trên [ ; ]a b thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= .
4. Ti m c n
ư ng th ng 0
x x= ư c g i là ti m c n ng c a th hàm s ( )y f x= n u ít nh t m t
trong các i u ki n sau ư c th a mãn
0
lim ( )
x x
f x−
→
= +∞;
0
lim ( )
x x
f x+
→
= +∞ ;
0
lim ( )
x x
f x−
→
= −∞ ;
0
lim ( )
x x
f x+
→
= −∞.
ư ng th ng 0
y y= ư c g i là ti m c n ngang c a th hàm s ( )y f x= n u
www.VNMATH.com

3. Kh o sát hàm s
3
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
= ho c 0
lim ( )
x
f x y
→+∞
= .
ư ng th ng y ax b= + 0( )a ≠ ư c g i là ti m c n xiên c a th hàm s ( )y f x= n u
0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→+∞
− + = ho c 0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→−∞
− + = .
5. M t s bài toán liên quan n th hàm s
5.1. Tìm i m c nh c a m t h th . Cho hàm s ( , )y f x m= , ( )m
C . Khi ó h ( )m
C
qua i m c nh ( )0 0
;M x y ⇔ 0 0
( , ),y f x m m= ∀
1
0 0 1 0 0 0 0 0
0( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ,k k
k k
g x y m g x y m g x y m−
−
⇔ + + + = ∀
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )
......................
( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−
 = =⇔ 
 =
.
5.2. V trí tương i gi a hai th . Cho hàm s ( )y f x= , ( )C và hàm s ( )y g x= , ( )C ′ .
Giao i m c a hai th
i u ki n hai th ti p xúc nhau
( )C và ( )C ′ ti p xúc nhau
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
 =⇔ 
′ ′ =
có nghi m.
5.3. Vi t phương trình ti p tuy n v i th hàm s
Bài toán Cách gi i
Ti p tuy n t i i m thu c th
Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0
; ( )M x y C∈ . Vi t
phương trình ti p tuy n c a ( )C t i M .
Áp d ng công th c 0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − .
Ti p tuy n qua i m cho trư c
Cho ( )C : ( )y f x= và i m ( );A A
A x y . Vi t
phương trình ti p tuy n c a ( )C qua A .
Cách 1. G i d là ư ng th ng qua ( );A A
A x y và
có h s góc k : ( )A A
y k x x y= − + . Dùng i u
ki n ti p xúc 5.2 xác nh k .
Cách 2. Pttt d t i i m ( )0 0
;M x y b t kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên
0 0 0
( )( )A A
y y f x x x′− = − . T ây suy ra 0
x .
Ti p tuy n có h s góc cho trư c
Cho hàm s ( )y f x= , ( )C . Vi t phương
trình ti p tuy n d c a ( )C bi t ti p d có h
s góc k .
Pttt d c a ( )C t i ( )0 0
;M x y b t kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có h s góc k nên
suy ra 0
( )f x k′ = . T ây suy ra 0
x .
5.4. th c a hàm s ch a giá tr tuy t i
S giao i m c a ( )C và ( )C ′ là s nghi m c a phương trình hoành giao i m ( ) ( )f x g x= .
www.VNMATH.com

4. Kh o sát hàm s
4
Hàm s th
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )1
C : ( )y f x= .
Do
0
0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x
 ≥= 
− <
nên ta v th ( )1
C như sau
Gi l i ph n th ( )a
C c a ( )C không n m phía dư i tr c
Ox .
L y i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c Ox , ta
ư c ph n th ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )1 a b
C C C= ∪ .
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )2
C : ( )y f x= .
Ta có ( )
( )
( )
0
0
,
,
f x x
f x
f x x
 ≥= 
 − <
và ( )f x là hàm ch n nên th
i x ng qua tr c tung. Do ó ta v th ( )1
C như sau
Gi ph n th ( )a
C c a ( )C không n m bên trái tr c Oy.
L y i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c Oy, ta
ư c ph n th ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )2 a b
C C C= ∪ .
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )3
C :
( )y f x= .
Ta th c hi n như sau
V th c a hàm s ( )y f x= .
V th c a hàm s ( )y f x= .
T th
( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy v
th ( )4
C : ( ). ( )y u x v x= .
Vì ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
. ,
. ,
u x v x v x
u x v x
u x v x v x
 ≥= 
− <
, nên ta v ( )4
C như sau
Gi l i ph n th ( )a
C c a ( )C ng v i ( ) 0u x ≥ .
L y ph n i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c
hoành, ta ư c ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )4 a b
C C C= ∪ .
6. M t s ki n th c khác liên quan
6.1. Các v n liên quan n nh lí v d u c a tam th c b c hai
6.1.1. nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai 2
( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi ó ta có 3 trư ng h p
0∆ <
x −∞ +∞
f(x) cùng d u v i a
0∆ =
x −∞ 0
2
b
x
a
= − +∞
f(x) cùng d u v i a 0 cùng d u v i a
0∆ >
x −∞ 1
x 2
x +∞
f(x) cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a
www.VNMATH.com

5. Kh o sát hàm s
5
6.1.2. i u ki n tam th c không i d u trên »
Cho tam th c 2
( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi ó ta có
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ <> ∀ ∈ ⇔ 
 >
»
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ << ∀ ∈ ⇔ 
 <
» .
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ 
 >
»
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ 
 <
» .
6.1.3. So sánh các nghi m c a m t phương trình b c hai v i m t s th c cho trư c
Xét phương trình b c hai ( ) 2
0f x ax bx c= + + = (1) và m t s th c α cho trư c. Khi ó
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0x x< < 0P⇔ < .
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0 x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 <
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
x x α< < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 <
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
x xα < < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 >
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
x xα< < . t t x α= − , phương trình (1) tr
thành ( ) 0g t = (2), ta c n ph i có
(2) có hai nghi m 1 2
,t t th a mãn 1 2
0t t< < 0P⇔ < .
6.1.4. Liên h v s nghi m gi a phương trình trùng phương và phương trình b c hai
tương ng
Cho phương trình trùng phương 4 2
0ax bx c+ + = (1). t 2
t x= , phương trình (1) tr thành
2
0at bt c+ + = (2). Khi ó
(1) vô nghi m

⇔ 

0
0 0 0, ,P S
∆ <⇔ ∆ ≥ > <
.
(1) có m t nghi m ⇔ (2) có nghi m 1 2
0t t≤ =
0
0
P
S
 =⇔ 
 ≤
.
(1) có hai nghi m

⇔ 

0 0
0
,S
P
∆ = >⇔  <
.
(2) vô nghi m
(2) có nghi m 1 2
0t t≤ <
(2) có nghi m 1 2
0t t= >
(2) có nghi m 1 2
0t t< <
www.VNMATH.com

6. Kh o sát hàm s
6
(1) có ba nghi m⇔ (2) có nghi m 1 2
0t t= <
0
0
P
S
 =⇔ 
 >
.
(1) có b n nghi m⇔ (2) có nghi m 1 2
0 t t< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
.
6.2. Góc gi a hai ư ng th ng
Cho hai ư ng th ng 1 1 1 1
0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2
0: a x b y c∆ + + = . Khi ó 1
∆ và 2
∆ t o v i
nhau m t góc α thì
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b
α
+
=
+ +
.
c bi t
1
∆ song song 2
∆ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠ 1
∆ vuông góc 2
∆
1 2
1 2
1 2
1.
k k
a a
b b
  ⇔ − − = −  
.
6.3. Kho ng cách
6.3.1. Kho ng cách gi a hai i m
Kho ng cách gi a hai i m ( ; )A A
A x y và ( ; )B B
B x y là 2 2
( ) ( )B A B A
AB x x y y= − + − .
6.3.2. Kho ng cách t m t i m t i m t ư ng th ng
Kho ng cách t i m ( ; )M M
M x y t i 0: ax by c∆ + + = là
2 2
( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
B. M T S D NG TOÁN VÀ VÍ D CÓ L I GI I
1. Tính ơn i u c a hàm s
D ng toán 1. Tìm các giá tr c a tham s hàm s ơn i utrên m t kho ng cho trư c
Bài 1. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )3 21
3 2 1
3
y x mx m x= + + − + ng bi n trên kho ng
( )1 2; .
Gi i
Cách 1. Phương pháp th hàm s
Yêu c u bài toán ⇔ ( )2
2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈
⇔ 2
2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x  ′ = + + − ≥ ∀ ∈   
(vì y′ liên t c t i 1x = và 2x = )
( )
2
2
1 2
2 3
, ;
x
g x m
x
−  ⇔ = ≥ − ∀ ∈   +
hay ( )
1 2;
min
x
g x m
 ∈  
≥ − .
Ta có ( )
( )
2
2
2 6 4
2 3
x x
g x
x
+ +
′ =
+
; ( )
1 1 2
0
2 1 2
;
;
x
g x
x
  = − ∉    ′ = ⇔   = ∈   
, và ( )
1
1
5
g = − , ( )
2
2
7
g = .
Do ó ( ) ( )
1 2
1
1
5;
min
x
g x g
 ∈  
= = − . V y các giá tr c a m c n tìm là
1
5
m ≥ .
Cách 2. Phương pháp tam th c b c hai
www.VNMATH.com

7. Kh o sát hàm s
7
Yêu c u bài toán ⇔ ( ) ( )2
2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . i u này x y ra n u m t
trong hai i u ki n sau ây ư c th a mãn
i. 2
2 3 2 0y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ » , t c là 2
3 2 0 1 2m m m′∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .
ii. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1x x< ≤ ho c 1 2
2 x x≤ < .
Trư ng h p 1. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1x x< ≤ , ta có
( )
2
3 2 0
1 5 1 0
1
2
m m
af m
S
m
 ′∆ = − + > = − ≥
 = − <
1 2
1
1 1
5
5 2
1
m m
m
m
m
m
 < ∨ >   ≤ < ⇔ ≥ ⇔  > > −
.
Trư ng h p 2. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
2 x x< < , ta có
( )
2
3 2 0
2 7 2 0
2
2
m m
af m
S
m
 ′∆ = − + > = + ≥
 = − >
1 2
2
7
2
m m
m m
m
 < ∨ >⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅
 < −
.
K t h p các trư ng h p trên ta ư c các giá tr m c n tìm là
1
5
m ≥ .
Bài 2. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 2 21
2 1 9 9 2
3
y x m x m m x= + − + − + + ng bi n
trên kho ng ( )1;−∞ .
Gi i
Hàm s ã cho ng bi n trên kho ng ( )1;−∞ khi và ch khi
( ) ( ) ( )2 2
2 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ .
i u này x y ra khi và ch khi m t trong hai i u ki n sau ư c th a mãn
i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈ » 2 8
3 5 8 0 1
3
m m m′⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .
ii. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1 x x≤ < , tương ương v i
( )
( )
2
2
8
13 5 8 0
3
1 5 8 0
0
2 1 1
2
mm m
af m m m
S m
m
   − < < ′ ∆ = + − >   = − + ≥ ⇔ ∈ 
   <  = − − >  
»
8
3
m⇔ < − .
K t h p các trư ng h p trên, ta ư c các giá tr m c n tìm là 1m ≤ .
Bài 3. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 21
2 1 1 2 1
3
y x m x m x m= + − + + + −
a. ng bi n trên » ,
b. ng bi n trên )1; +∞
,
c. ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; .
Gi i
www.VNMATH.com

8. Kh o sát hàm s
8
Ta có ( ) ( )2
2 2 1 1y f x x m x m′ = = + − + + .
a. Hàm s ng bi n trên » khi và ch khi ( )2
2 2 1 1 0y x m x m x′ = + − + + ≥ ∀ ∈ » . Khi ó
( )
2
2 1 1 0 0 5m m m′∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ .
V y các giá tr c a m c n tìm là 0 5m≤ ≤ .
b. Hàm s ã cho ng bi n trên )1; +∞
khi và ch khi )0 1;y x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ . i u này tương
ương v i ( ) )
2
2
1
4 1
;
x x
g x m x
x
− + = ≤ ∀ ∈ +∞+
hay
)
( )1;
max
x
g x m∈ +∞
≤ .
Ta có ( )
( )
2
2
4 2 2
4 1
x x
g x
x
− − +
′ =
+
; ( )
)
)
1 1
0 1
1
2
;
;
x
g x
x
 = − ∉ +∞ 
′ = ⇔
 = ∉ +∞ 
.
B ng bi n thiên
x 1 +∞
( )g x′ −
( )g x 1
5 0
Ta th y
)
( ) ( )1
1
1
5;
max
x
g x g
∈ +∞
= = . Do ó ta có
1
5
m ≥ . V y các giá tr m c n tìm là
1
5
m ≥ .
c. Yêu c u bài toán ⇔ ( )0 0 1;y x′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x  ′ ≤ ∀ ∈    (vì y′ liên t c t i 0x = và 1x = )
( )
2
2
0 1
4 1
, ;
x x
g x m x
x
− +  ⇔ = ≥ ∀ ∈   +
, t c là ( )0 1;
min
x
g x m ∈  
≥ .
Ta có ( )
1 0 1
0 1
0 1
2
;
;
x
g x
x
  = − ∉    
′ = ⇔
  = ∈    
; ( )0 0g = ;
1 1
2 4
g
   =   
và ( )
1
1
5
g = .
Do ó ( ) ( )0 1
0 0
;
min
x
g x g ∈  
= = nên các giá tr m c n tìm là 0m ≤ .
Bài 4. Tìm các giá tr c a m hàm s
( )2
2 1 1
2
x m x
y
x
+ + +
=
−
ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; .
Gi i
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; khi và ch khi
( )
( )
2
2
4 4 3
0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′ = ≥ ∀ ∈
−
, tương
ương v i ( ) ( )2
4 4 3 0 0 1;g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên t c t i 0x = và t i 1x = nên
( ) 2
4 4 3 0 0 1;g x x x m x  = − − − ≥ ∀ ∈    hay ( )0 1
0
;
min
x
g x ∈  
≥ .
Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1;g x x x  ′ = − = ⇔ = ∉   
; ( )0 4 3g m= − − và ( )1 4 6g m= − − .
Suy ra ( ) ( )0 1
1 4 6
;
min
x
g x g m ∈  
= = − − . Do ó các giá tr c a m c n tìm là
3
2
m ≤ − .
Bài 5. Tìm các giá tr c a m hàm s
( )2
1 2 1
2
x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
ng bi n trên kho ng
( )1;+∞ .
Gi i
www.VNMATH.com

9. Kh o sát hàm s
9
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )1;+∞ ⇔
( )
( )
2 2
2
4 2 1
0 1;
x mx m
y x
x m
− − −
′ = ≥ ∀ ∈ +∞
−
, hay
( ) ( )2 2
4 2 1 0 1
1
;g x x mx m x
m
 = − − − ≥ ∀ ∈ +∞
 ≤
Ta th y 2
6 1 0g
m m′∆ = + > ∀ ∈ » nên
( ) 0,g x x> ∀ ∈ » . Do ó các giá tr m c n tìm là 1m ≤ .
D ng toán 2. Tìm các giá tr c a tham s hàm s có c c tr th a mãn i u ki n s cho trư c
Bài 6. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 21
2
3
y x mx mx= + + + có hai c c tr 1 2
,x x th a mãn
1 2
4x x− ≥ .
Gi i
Hàm s ã cho có hai c c tr 1 2
,x x 2
2 3 0y x mx m′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t 1 2
,x x
2
0
3 0
3
m
m m
m
 <⇔ − > ⇔  >
(1).
Khi ó ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 16 4 16 0x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2).
Theo nh lí Viet ta có 1 2
1 2
2
3
x x m
x x m
 + = −

 =
nên (2) ⇔ 2
1
4 12 16 0
4
m
m m
m
 ≤ −− − ≥ ⇔  ≥
(3)
K t h p (1) và (3) ta tìm ư c các giá tr m th a mãn yêu c u bài toán là 1m ≤ − ho c 4m ≥ .
Bài 7. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )3 21 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x= − − + + có hai c c tr 1 2
,x x
th a mãn 1 2
2x x= .
Gi i
Hàm s ã cho các hai c c tr ( )2 50
2 1 0
9
y x m x′⇔ = − − + = có hai nghi m phân bi t 1 2
,x x
( )
2 50
2 1 4 0
9
.m⇔ ∆ = − − >
3 10 2
6
3 10 2
6
m
m
 − <
⇔
 + >

(1)
Ta có 1 2
2x x= nên theo nh lí Viet, ta có 1 2
2 1x x m+ = − 2
2 1
3
m
x
−
⇔ = .
Khi ó 1 2
50
9
x x =
2
2
2
350 2 1 50
2 2
29 3 9
mm
x
m
  =−   = ⇔ = ⇔    = −  
.
Hai giá tr v a tìm ư c c a m u th a mãn (1) nên 3m = và 2m = − th a yêu c u bài toán.
Bài 8. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 21 1
4 2 5 1
3 2
y x m x m x= − + + + + th a mãn
a. có hai c c tr l n hơn 1− ;
b. có úng m t c c tr l n hơn 1− ;
c. có ít nh t m t c c tr l n hơn
3
2
;
www.VNMATH.com

10. Kh o sát hàm s
10
d. có hai c c tr nh hơn 4;
e. có m t c c trong kho ng ( )3 5; ;
f. không có c c tr .
Gi i
Ta có ( )2
4 2 5y x m x m′ = − + + + ;
2
4 5
0
2
x x
y m
x
− +
′ = ⇔ =
−
.
Xét hàm s ( )
2
4 5
2
x x
g x
x
− +
=
−
; ( )
( )
2
2
4 3
2
x x
g x
x
− +
′ =
−
; ( )
1
0
3
x
g x
x
 =′ = ⇔  =
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1
3
2
2 3 4 5 +∞
( )g x′ + + − − − + + +
( )g x
−∞
10
3
−
2−
5
2
−
−∞
+∞
2
5
2
10
3
+∞
Vì nghi m c a phương trình 0y′ = cũng chính là hoành giao i m c a y m= và ( )y g x=
nên t b ng bi n thiên c a hàm s ( )y g x= ta th y
a. Hàm s có hai c c tr l n hơn 1−
10
2
3
m⇔ − < < − ho c 2m > .
b. Hàm s có úng m t c c tr l n hơn 1−
10
3
m ≤ − .
c. Hàm s có ít nh t m t c c tr l n hơn
3
2
⇔
5
2
m < − ho c 2m > .
d. Hàm s có hai c c tr nh hơn 4 2m⇔ < − ho c
5
2
2
m< < .
e. Hàm s có m t c c trong kho ng ( )3 5;
10
2
3
m⇔ < < .
f. Hàm s không có c c tr 2 2m⇔ − ≤ ≤ .
Bài 9. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )4 2
1 2 1y x m x m= + − + + có ba c c tr .
Gi i
Hàm s có ba c c tr ( )2
2 2 1 0y x x m′⇔ = + − = có ba nghi m phân bi t
2
2 1 0x m⇔ + − = có hai nghi m phân bi t khác 0
( )2 1 0
3 0
m
m
 ′∆ = − − >⇔ 
 − ≠
1
3
m
m
 >⇔ 
 ≠
.
Bài 10. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
4 2
6
2
m
y x mx= + + − có ba i m c c tr
, ,A B C (trong ó i m A thu c tr c tung) sao cho t giác ABOC là hình bình hành.
Gi i
www.VNMATH.com

11. Kh o sát hàm s
11
Hàm s ã cho có ba c c tr ( )2
2 2 0y x x m′⇔ = + = có ba nghi m phân bi t
2
2 0x m⇔ + = có hai nghi m phân bi t khác 0
0m⇔ < .
V i 0x = ta có
2
6
2
m
y = − nên
2
0 6
2
;
m
A
  −   
. Hai nghi m còn l i c a 0y′ = là
2
m
x
−
= ± .
Ta u có
2
3
6
2 4
m m
y
 −  − = −   
và có th gi s
2
3
6
2 4
;
m m
B
 −  − −    
và
2
3
6
2 4
;
m m
C
 −   −    
.
Khi ó
2
2 4
;
m m
BA
  = −    
và
2
3
6
2 4
;
m m
OC
  = − −    
.
Yêu c u bài toán BA OC⇔ = 2
2 2
2 2 6 6
3
6
4 4
m m
m m
m m
 − = −⇔ ⇔ = ⇔ = −
 = −
(vì 0m⇔ < )
Bài 11. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
3 1
2
mx mx
y
x
+ +
=
+
có hai i m c c tr n m v
hai phía tr c tung.
Gi i
Ta có
( )
2
2
4 6 1
2
mx mx m
y
x
+ + −
′ =
+
.
Hàm s ã cho có hai c c tr 2
4 6 1 0mx mx m⇔ + + − = (1) có hai nghi m phân bi t khác 2−
2
0
2 0
2 1 0
m
m m
m
 ≠ ′⇔ ∆ = − + >
 − ≠
1
0
2
m⇔ < < (2).
Khi ó g i 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình (1). Yêu c u bài toán tương ương v i
1 2
0x x <
6 1 1
0 0
6
m
m
m
−
⇔ < ⇔ < < (th a mãn (2)).
Bài 12. Tìm các giá tr c a m th hàm s ( ) ( )3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= + − + − + có hai i m
c c tr , ng th i ư ng th ng n i hai i m c c tr i qua i m ( )0 3;A − .
Gi i
Hàm s ã cho có hai c c tr khi và ch khi ( ) ( )2
3 6 1 3 1 0y x m x m′ = + − + − = có hai nghi m
phân bi t. i u này x y ra khi ( )( )
1
1 2 0
2
m
m m
m
 <′∆ = − − > ⇔  >
(1).
G i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c y cho y′ , ta ư c
( )( ) 21 1
2 1 2 2
3 3
m
y x y m m x m m
 −  ′= + + − − − +   
.
www.VNMATH.com

12. Kh o sát hàm s
12
Vì 1 2
,x x là nghi m c a phương trình 0y′ = nên ta có ( )( ) 2
1 1
2 1 2 2y m m x m m= − − − + và
( )( ) 2
2 2
2 1 2 2y m m x m m= − − − + . Do ó 1
M , 2
:m
M d∈ ( )( ) 2
2 1 2 2y m m x m m= − − − + ,
và như v y m
d là ư ng th ng i qua hai i m c c tr 1
M và 2
M .
Ta có ( ) 2
1
0 3 2 3 0
3
; m
m
A d m m
m
 = −− ∈ ⇔ − − = ⇔  =
(th a mãn i u ki n (1)). V y các giá tr
m c n tìm là 1m = − và 3m = .
Bài 13. Tìm các giá tr c a m th hàm s 3 21
3 3
m
y x mx x= + + + có hai i m c c tr n m
cùng phía i v i ư ng th ng 2: y x∆ = − .
Gi i
Hàm s có hai c c tr 2
2 1 0y x mx′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t
2
1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m > (1).
V i i u ki n (1), ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia y cho
y′ ư c
( )21 1 2
1
3 3 3
y x m y m x
  ′= + + −   
(2)
Vì 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình 0y′ = nên t (2) ta suy ra ( )2
1 1
2
1
3
y m x= − và
( )2
2 2
2
1
3
y m x= − . Các i m ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y n m cùng phía i v i 2 0: x y∆ + =
tương ương v i
( ) ( )2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1 0
3 3
.x m x x m x
   
   + − + − >
   
   
( )
2
2
1 2
4 0m x x⇔ − > ( )
2
2
4 0m⇔ − > hay 2m ≠ ± (3).
K t h p (1) và (3) ta ư c các giá tr m c n tìm là 1m > và 2m ≠ ± .
Bài 14. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 21
3
y x x mx m= + + + có c c i và c c ti u, ng th i
kho ng cách gi a hai i m c c tr b ng 2 15 .
Gi i
Hàm s có c c i và c c ti u 2
2 0y x x m′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t
1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m < (1).
V i i u ki n (1), ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c
y cho y′ ư c
( ) ( )
1 2 2
1 1
3 3 3
y x y m x m′= + + − + (2).
Vì 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình 0y′ = nên t (2) ta suy ra ( )1 1
2 2
1
3 3
y m x m= − + và
( )2 2
2 2
1
3 3
y m x m= − + .
www.VNMATH.com

13. Kh o sát hàm s
13
Ta có ( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1
2 15M M x x y y= − + − =
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4
1 1 4 60
9
m x x x x
    ⇔ + − + − =      
( )
24
1 1 4 4 60
9
m m
 
  ⇔ + − − =   
 
3 2
4 12 21 122 0m m m⇔ − + + =
( )( )2
2 4 20 60 0m m m⇔ + − + =
2m⇔ = − (vì 2
4 20 60 0m m m− + > ∀ ∈ » ).
Ta th y giá tr 2m = − th a mãn i u ki n (1) nên 2m = − là giá tr c n tìm.
Bài 15. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=
−
có hai i m c c tr cách u
ư ng th ng 2 0: x y∆ + − = .
Gi i
Hàm s có hai c c tr ⇔
( )
2
2
2 3
0
1
x x m
y
x
− − −
′ = =
−
có hai nghi m phân bi t
⇔ 2
2 3 0x x m− − − = có hai nghi m phân bi t khác 1
⇔
4 0
4
4 0
m
m
m
 ′∆ = + > ⇔ > −
 + ≠
(1).
Khi ó, ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr .
t ( ) 2
3u x x mx= + + ; ( ) 1v x x= − thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
u x v x u x v x
y
v x
′ ′−
′ =
 
  
.
Vì 1
x là nghi m c a phương trình 0y′ = nên ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
1 1
0
u x u x
u x v x u x v x
v x v x
′
′ ′− = ⇔ =
′
,
t c là 1 1
2y x m= + . Tương t 2 2
2y x m= + .
Do 1 2
,M M cách u ∆ nên
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
x x m x x m+ + − + + −
=
( ) ( )1 2 1 2
3 3 2 4 0x x x x m ⇔ − + + − =  
( )1 2
3 2 4 0x x m⇔ + + − = (vì 1 2
x x≠ )
3 2 2 4 0. m⇔ + − =
2m⇔ = − (th a mãn i u ki n (1)).
V y 2m = − là giá tr c n tìm.
D ng toán 3. Các bài toán liên quan n ti p tuy n c a th hàm s
Bài 16. Cho hàm s 3 21
1
3
y x x x= + + + có th ( )C và ba i m ( ) ( )
22 27
1 1 0 2
5 5
; , ; , ;A B C
     
.
Vi t phương trình ti p tuy n ∆ v i th ( )C bi t r ng giao i m c a ∆ và ư ng th ng
1:d y x= + là tr ng tâm c a tam giác ABC .
www.VNMATH.com

14. Kh o sát hàm s
14
Gi i
Ta có 2
2 1y x x′ = + + . Phương trình ti p tuy n ∆ c a ( )C t i i m ( )0 0
;x y có d ng
( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1
3
y x x x x= + − − + .
Hoành giao i m G c a ∆ và d là nghi m c a phương trình
( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1 1
3
x x x x x+ − − + = +
( )
( )
2
0 0
0 0
0
2 3
0 2
3 2
;
x x
x x x
x
+
⇔ = ≠ ≠ −
+
(1).
Tung giao i m tương ng là
( )
( )
2
0 0
0
2 3 3
3 2
x x
y
x
+ +
=
+
, nên
( )
( )
( )
22
0 00 0
0 0
2 3 32 3
3 2 3 2
;
x xx x
G
x x
 + +  +    + +  
.
i m G là tr ng tâm c a tam giác ABC ⇔
( )
( )
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
22
1 02 3 95
3 53 2
27
1 22 3 3 145
3 53 2
x x
x
x x
x
 + + + = = +

 + + + + = = +
.
Gi i h phương trình trên ta ư c 0
3x = ho c 0
9
5
x = − . C hai giá tr này u th a mãn i u
ki n phương trình (1).
V i 0
3x = ho c 0
9
5
x = − ta ư c các ti p tuy n c n tìm là 16 26y x= − và
16 206
25 125
y x= + .
Bài 17. Cho hàm s ( )3 21
2 3 1 1
3
y x mx m x= + + − + có th ( )m
C . Vi t phương trình ti p
tuy n ∆ c a ( )m
C t i i m có hoành b ng 1. Tìm các giá tr c a m giao i m c a ∆ và
2:d y x= cách u các tr c t a .
Gi i
Ta có 2
4 3 1y x mx m′ = + + − ; ( )1 7y m′ = và ( )
1
1 5
3
y m= + .
Phương trình ti p tuy n c a ( )m
C t i
1
1 5
3
; m
  +   
là
1
7 2
3
y mx m= − + .
Hoành giao i m c a ∆ và d là nghi m c a phương trình
1
7 2 2
3
mx m x− + =
( )
6 1
3 7 2
m
x
m
−
⇔ =
−
.
Tung giao i m tương ng là
( )
12 2
3 7 2
m
y
m
−
=
−
. Giao i m c a ∆ và d cách u hai tr c t a
khi và ch khi
( ) ( )
6 1 12 2
3 7 2 3 7 2
m m
m m
− −
=
− −
2
7
6 1 12 2
6 1 12 2
m
m m
m m
 ≠⇔  − = − − = − +
2
7
1
6
m
m
 ≠⇔ 
 =
1
6
m⇔ = .
www.VNMATH.com

15. Kh o sát hàm s
15
Bài 18. Cho hàm s
2
1
x
y
x
+
=
−
có th ( )C . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a
( )C . Ch ng minh r ng m t ti p tuy n b t kỳ v i ( )C luôn c t hai ti m c n t i hai i m ,A B sao
cho tam giác IAB có di n tích không i.
Gi i
Trư c h t ta th y
1
lim
x
y+
→
= +∞ và
1
lim
x
y−
→
= −∞ nên ( )C có ti m c n ng là 1
1: x∆ = .
1lim
x
y
→+∞
= và
1
1lim
x
y
→ −∞
= nên ( )C có ti m c n ngang là 2
1: y∆ = .
Do ó giao i m c a 1
∆ và 2
∆ là ( )1 1;I .
Ta có
( )
2
3
1
y
x
−
′ =
−
. Phương trình d ti p tuy n v i ( )C t i i m ( )0 0
;x y có d ng
( )
( ) 0
02
0
0
23
11
x
y x x
xx
+−
= − +
+−
hay
( ) ( )
2
0 0
2 2
0 0
4 23
1 1
x x
y x
x x
+ −−
= +
− −
.
V i 1x = thì
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
x x
y
x
+ −
=
−
nên
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
1
;
x x
A
x
  + −      −  
là giao i m c a d và 1
∆ .
V i 1y = thì x = 0
2 1x x= − nên ( )0
2 1 1;B x − là giao i m c a d và 2
∆ .
Khi ó
0
6
1
IA
x
=
−
và 0
2 1IB x= − nên di n tích tam giác IAB là
0
0
1 1 6
2 1 6
2 2 1
. . .IAB
S IAIB x
x
= = − =
−
(không i) ( ccm).
Bài 19. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C hàm s
2
2
x
y
x
+
=
−
, bi t ti p tuy n c t Ox và
Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Gi i
Ta có
( )
2
4
2
y
x
−
′ =
−
. Phương trình ti p tuy n v i ( )C t i i m ( )0 0
;M x y , ( )0
2x ≠ có d ng
d :
( )
( ) 0
02
0
0
24
22
x
y x x
xx
+−
= − +
−−
.
Do ti p tuy n d c t Ox và Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông
góc v i m t trong các ư ng th ng 1
: y x∆ = ho c 2
: y x∆ = − .
N u 1
d ⊥ ∆ thì
( )
2
0
4
1
2x
−
= −
−
( )
2
0
0
0
4
2 4
0
x
x
x
 =⇔ − = ⇔  =
.
V i 0
0x = ta có ti p tuy n 1y x= − − .
V i 0
4x = ta có ti p tuy n 7y x= − + .
N u 2
d ⊥ ∆ thì
( )
2
0
4
1
2x
−
=
−
. Phương trình này vô nghi m.
V y có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là 1y x= − − và 7y x= − + .
www.VNMATH.com

16. Kh o sát hàm s
16
Bài 20. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C c a hàm s 3 2
3 1y x x= − + , bi t ti p tuy n
i qua i m ( )2 3;A − .
Gi i
G i k
d là ư ng th ng i qua i m ( )2 3;A − và có h s góc k thì ( )2 3:k
d y k x= − − .
Khi ó, k
d ti p xúc v i ( )C
( )3 2
2
3 1 2 3 1
3 6 2
( )
( )
x x k x
x x k
 − + = − −⇔ 
 − =
có nghi m.
Thay (2) vào (1), ta ư c ( )( )3 2 2
3 1 3 6 2 3x x x x x− + = − − −
3 2
2 9 12 4 0x x x⇔ − + − =
2
1
2
x
x
 =
⇔
 =
.
V i 2x = , thay vào (2) ư c 0k = , ta có ti p tuy n 3:k
d y = − .
V i
1
2
x = , thay vào (2) ư c
9
4
k = − , ta có ti p tuy n
9 3
4 2
:k
d y x= − + .
Bài 21. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C c a hàm s 3
3 1y x x= − + , bi t ti p tuy n
t o v i ư ng th ng 3: y x∆ = + m t góc α sao cho
5
41
cosα = .
Gi i
Gi s ti p tuy n d c n tìm có h s góc k . Các VTPT c a d và ∆ l n lư t là ( )1;d
n k= − và
( )1 1;n∆
= − . Ti p tuy n d t o v i ∆ m t góc α sao cho
5
41
cosα = ⇔
2
1 5
412 1
k
k
+
=
+
( ) ( )
2
2
41 1 50 1k k⇔ + = +
2
9 82 9 0k k⇔ − + =
9
1
9
k
k
 =
⇔
 =
.
V i 9k = ta có ( ) 2
0 0
3 3 9f x x′ = − = 0
2x⇔ = ± . Các ti p tuy n c a ( )C t i 0
2x = và
0
2x = − l n lư t có phương trình 9 15y x= − và 9 17y x= + .
V i
1
9
k = ta có ( ) 2
0 0
1
3 3
9
f x x′ = − = 0
2 21
9
x⇔ = ± . Các ti p tuy n c a ( )C t i
0
2 21
9
x = ± có phương trình
1 243 112 21
9 243
y x
±
= + .
D ng toán 4. Tìm các giá tr c a tham s giao i m th hàm s và ư ng th ng th a mãn
i u ki n cho trư c
Bài 22. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng :m
d y mx m= − c t th ( )
2
2 1
1
:
x x
C y
x
+ −
=
−
t i hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác ABC vuông t i nh ( )1 2;C .
www.VNMATH.com

17. Kh o sát hàm s
17
Gi i
ư ng th ng m
d c t ( )C t i hai i m phân bi t
2
2 1
1
x x
mx m
x
+ −
⇔ − =
−
có hai nghi m phân
bi t, t c là
( ) ( )2
1 2 1 1 0m x m x m− − − + + = (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
( ) ( )( )
( )
2
1 0
1 1 1 0
1 2 1 1 0
m
m m m
m m m
 − ≠⇔ ′∆ = − − − + >
 − − − + + ≠
1
1 1
m
m m
m
 ≠⇔ < ⇔ <
 ∈
»
.
V i i u ki n ó, g i 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình (1); các giao i m c a m
d và ( )C là
( )1 1
;A x mx m− , ( )2 2
;B x mx m− .
Ta có ( )1 1
1 1;CA x mx m= − − − ; ( )2 2
1 1;CB x mx m= − − − .
ABC vuông t i nh C 0.CACB⇔ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 1 1 1 0x x mx m mx m⇔ − − + − − − − =
( ) ( )( ) ( )
2
2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 0m x x m m x x m
 
⇔ + − + + + + + + = 
 
( ) ( ) ( )
2
2 1
1 2 1 2 2 1 0
1
.
m
m m m m
m
+  
⇔ + − + + + + + = 
−  
( )2 2 1 0m m⇔ − = 0m⇔ = (vì 1m < ).
Bài 23. Cho hàm s ( ) ( )3 2
3 1 3 1, m
y x m x x C= − + − + . Tìm các giá tr c a m ư ng th ng
1:d y x= + c t ( )m
C t i ba i m phân bi t ( )0 1; ; ;A B C sao cho 5 2AC = .
Gi i
Giao i m c a ( )m
C và d có hoành là nghi m c a phương trình
( )3 2
3 1 3 1 1x m x x x− + − + = + (1)
( )( )2
3 1 4 0x x m x⇔ − + − =
( )2
0
3 1 4 0 2( )
x
x m x
 =⇔  − + − =
.
( )m
C và d có 3 giao i m ⇔ (1) có 3 nghi m phân bi t
⇔ (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
( )
( )
2
9 18 25 0
3 0
m m m
m
∆ = + + > ∀ ∈⇔ 
 ≠ ∀ ∈
»
»
.
Gi s ( )1 1
1;A x x + và ( )2 2
1;C x x + thì 2
50AC = ( ) ( ) ( )
22
2 1 2 1
1 1 50x x x x ⇔ − + + − + =  
( )
2
2 1
25x x⇔ − =
( )
2
1 2 1 2
4 25x x x x⇔ + − =
( )
2
9 1 16 25m⇔ + + =
0
2
m
m
 =⇔  = −
.
Bài 24. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng 2:k
d y kx k= + − c t th ( )C c a hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
t i hai i m phân bi t A và B sao cho A và B cách u i m ( )2 1;D − .
www.VNMATH.com

18. Kh o sát hàm s
18
x
y
1
2
-1
3
O 1
Gi i
k
d c t ( )C t i hai i m phân bi t
2 1
2
1
x
kx k
x
+
⇔ = + −
−
có hai nghi m phân bi t
2
2 3 0kx kx k⇔ − + − = (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
( )2
0
3 0
k
k k k
 ≠⇔ 
′∆ = − − >
0k⇔ > (2)
Gi s ( ) ( )1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các giao i m c a k
d và ( )C . Ta có
AD BD= ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 3 2 3x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +
( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k x x k ⇔ − + − + − + − + =  
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k k ⇔ − + − + + − + =  
( ) ( )2 2
1 2 1 2
4 2 6 0x x k x x k k⇔ + − + + − + = (vì 1 2
x x≠ )
2 2
2 4 2 2 6 0k k k⇔ − + − + = (do 1 2
;x x là nghi m c a phương trình (1)
1
3
k⇔ = (th a mãn i u ki n (2))
D ng toán 5. Các bài toán liên quan n th c a hàm s ch a d u giá tr tuy t i
Bài 25. T th c a hàm s ( ) 3 2
3 3:C y x x= − + hãy v th c a các hàm s sau
a. 3 2
3 3y x x= − + b.
3
2
3 3y x x= − + c.
3
2
3 3y x x= − +
Gi i
Trư c h t ta v th ( )C c a hàm s ( ) 3 2
3 3y f x x x= = − + .
a. Ta có
( ) ( )
( ) ( )
3 2
0
3 3
0
,
,
f x f x
y x x
f x f x
 ≥= − + = 
− <
, ( )1
C .
Do v y ta v ( )1
C như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m bên dư i tr c hoành,
ta g i là ( )1
a
C .
L y i x ng ph n còn l i c a ( )C qua tr c Ox, ta g i là ( )1
b
C .
th ( )1
C g m có hai ph n ( )1
a
C và ( )1
b
C .
b. Ta có
( )
( )
3
2
0
3 3
0
,
,
f x x
y x x
f x x
 ≥= − + = 
 − <
, ng th i hàm s ( )f x
là hàm ch n nên th c a nó i x ng qua tr c tung. Do ó ta
v th ( )2
C c a nó như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m bên trái tr c hoành, ta
x
y
-1
2
3
O 1
( )C
( )1
C
www.VNMATH.com

19. Kh o sát hàm s
19
g i là ( )2
a
C .
L y i x ng ( )2
a
C qua tr c tung ta ư c ( )2
b
C .
th ( )2
C g m có hai ph n ( )2
a
C và ( )2
b
C .
c. Ta v th ( )3
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + như sau
T th ( )C c a hàm s ( ) 3 2
3 3:C y x x= − + , ta v th
( )2
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + .
T th ( )2
C , ta v th ( )3
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + .
Bài 26. Cho hàm s ( )4 2
4 3,y x x C= − + .
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s .
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + = có 8 nghi m phân bi t.
Gi i
a. (H c sinh t kh o sát)
b. Ta bi n i 4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + =
4 2
2
4 3 1logx x m⇔ − + = − (1).
S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao i m c a
( ) 4 2
1
4 3:C y x x= − + và ư ng th ng 2
1: logm
d y m= − .
Vì
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
4 3 4 3 0
4 3
4 3 4 3 0
,
,
x x x x
x x
x x x x
 − + − + ≥− + = 
 − + − + <
, nên ta v
th ( )1
C như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m dư i tr c hoành, ta
g i là ( )1
a
C .
L y i x ng ph n còn l i c a ( )C qua tr c hoành, ta ư c ( )1
b
C .
th g m có ( )1
a
C và ( )1
b
C .
x
y
1
-1
3
O 1
x
y
1
-1
-2
2
3
O 1
x
y
1
-1
3
O 1
( )C
m
d
( )1
C
x
y
-1
-2 2
3
O 1
www.VNMATH.com

20. Kh o sát hàm s
20
D ng toán 6. Tìm các i m trên th hàm s th a mãn i u ki n cho trư c
Bài 27. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
, ( )C . Tìm i m M thu c ( )C sao cho
a. M có t a nguyên;
b. M cách u hai tr c t a ;
c. T ng kho ng cách t M t i hai ư ng ti m c n là nh nh t;
d. M cách u g c t a O và ( )2 2 5 2;A + ;
e. M có kho ng cách t i 3 2 3 0: x y∆ + − = b ng
3 3
2
.
Gi i
V i ( )M C∈ b t kỳ, ta có 0
0
0
2 1
1
;
x
M x
x
 +     − 
, 0
1x ≠ .
a. i m M có t a nguyên, t c là
0
0
0 0
2 1 3
2
1 1
x
x
x x
 ∈ +
 = + ∈ − −
»
»
( )0
1 3x⇔ − và 0
x ∈ »
( ) { }0
1 1 3;x⇔ − ∈ ± ±
{ }0
2 0 2 4; ; ;x⇔ ∈ − .
V y có 4 i m trên ( )C có t a nguyên là ( )1
2 1;M − ; ( )2
0 1;M − ; ( )3
2 5;M và ( )4
4 3;M .
b. Kho ng cách t i m M t i các các tr c Ox và Oy l n lư t là 0
0
2 1
1
x
x
+
−
và 0
x .
Yêu c u bài toán 0
0
0
2 1
1
x
x
x
+
⇔ =
− ( )
2
0 0 0
2
0 0 0
3 1 0 3 13
1 0 3 13
x x x
x x VN x
 − − = = +⇔ ⇔  + + =  = − 
.
V y có hai i m tho n mãn yêu c u bài toán là 5
4 13
3 13
3
;M
 +   +    
và 6
4 13
3 13
3
;M
 −   −    
.
c. Ta có
1
lim
x
y+
→
= +∞ và
1
lim
x
y
→ −
= −∞ nên ( )C có ti m c n ng là 1
1: x∆ = .
2lim
x
y
→+∞
= và 2lim
x
y
→−∞
= nên ( )C có ti m c n ngang là 2
2: y∆ = .
Kho ng cách t i m M l n lư t t i các ti m c n là ( )1 0
1,d M x∆ = − và ( )2
0
3
1
,d M
x
∆ =
−
.
Khi ó ( ) ( )1 2 0
0
3
1
1
, ,d M d M x
x
∆ + ∆ = − +
−
0
0
3
2 1 2 3
1
.
Cosi
x
x
≥ − =
−
ng th c x y ra 0
0
3
1
1
x
x
⇔ − =
−
2
0
1 3x⇔ − = 0
0
1 3
1 3
x
x
 = +
⇔ 
 = −

.
V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )7
1 3 2 3;M + + và ( )8
1 3 2 3;M − − .
www.VNMATH.com

21. Kh o sát hàm s
21
d. Ta có
( )
2
4 3 2
2 0 0 0 0 0
0 2
0
0
2 1 2 5 4 1
1 1
x x x x x
MO x
x x
 + − + + + = + =  −  −
;
( )
2
2
0
0
0
2 1
2 2 5 2
1
x
MA x
x
 +  = − − + −   − 
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
0 0 0 0
2
0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
1
x x x x
x
− + + + − + + +
=
−
.
Khi ó yêu c u bài toán tương ương v i
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1
1 1
x x x xx x x x
x x
− + + + − + + +− + + +
=
− −
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1
1 1
x x x xx x x x
x x
− + + + − + + +− + + +
⇔ =
− −
( ) ( ) ( )3 2
0 0 0
4 4 5 28 16 5 56 20 5 32 8 5 0x x x⇔ + − + + + − − =
( )( ) ( )0 0
1 2 4 4 5 16 4 5 0x x x
 
⇔ − − + − − = 
 
0
0
2
1 3 5
4
x
x
 =
⇔ + =

.
V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )9
2 5;M và 10
1 3 5
3 5
4
;M
 +   +    
.
e. Ta có ( )
0
2
0
0 00
2 1
3 2 3
3 31
2 2
.
,
x
x
x xx
d M
+
+ −
− +−
∆ = = .
Do ó ( ) 3 3
2
,d M ∆ =
2
0 0
3 3 3 3
2 2
x x− +
⇔ =
( )
2
0 0
2
0 0
0
6 3 0
x x
x x VN
 − =⇔ 
− + =
0
0x⇔ = .
V y có m t i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )11
0 1;M − .
Bài 28. Cho hàm s 3 2
3 2y x x= − − , ( )C . Tìm trên ư ng th ng 2:d y = − nh ng i m mà t
ó có th k ư c 3 ti p tuy n n ( )C .
Gi i
Ta có 2
3 6y x x′ = − . G i ( )2;M a d− ∈ b t kỳ. Khi ó, ti p tuy n ∆ b t kỳ c a ( )C qua M có
d ng ( ) 2y k x a= − − . Hoành ti p i m c a ∆ và ( )C là nghi m c a h phương trình
( )3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
( )
( )
( )
x x k x a
x x k
 − − = − − ∗
 − =
.
www.VNMATH.com

22. Kh o sát hàm s
22
Thay (2) vào (1) ta ư c
( )( )3 2 2
3 2 3 6 2x x x x x a− − = − − − ( )3 2
2 3 1 6 0x a x ax⇔ − + + =
( )2
0
2 3 1 6 0 3( )
x
x a x a
 =⇔  − + + =
.
T M có th k ư c 3 ti p tuy n v i ( )C ⇔ ( )∗ có 3 nghi m phân bi t
⇔ (3) có 2 nghi m phân bi t khác 0
( )
2
9 1 48 0
6 0
a a
a
∆ = + − >⇔ 
 ≠
1
3
3
0
a
a
a
 <⇔  > ≠
.
C. CÁC BÀI T P VÀ THI
Tính ơn i u c a hàm s
1. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau
a. 2
5 1y x x= − + − b. 3 2
3 3y x x= − + c. 3 2
5 7 1y x x x= − + − +
d. 4 2
4 2y x x= − + e.
1
3 2
x
y
x
+
=
−
f.
3
3 2
x
y
x
−
=
+
g.
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
h. 2
4y x= − i.
1
3
x
y
x
+
= .
2. Tìm các giá tr c a m hàm s
a.
3
2 2
1 1 3 5
3
( ) ( )
x
y m m x x= − + + + + luôn ng bi n.
b. 2 3 21
2 3 1
3
( )y m m x mx x= − + + − luôn ngh ch bi n.
c. 2 3 21
2 1
3
( )y m m x mx x= + + + + luôn ng bi n.
d. 3 21
2 2 1 3 2
3
( ) ( )f x x x a x a= − + + + − + ngh ch bi n trên » .
e. ( ) ( )
3
2 2
1 1 3 5
3
x
y m m x x= − + + + + ng bi n trên » .
3. Cho hàm s . V i các giá tr nào c a m thì hàm s 2
1
m
y x
x
= + +
−
ng bi n trên t ng
kho ng xác nh? ( 0m ≤ )
4. Cho hàm s 3 21 2
1 2 3
3 3
( ) ( )y x m x m x= + − + − − .
a. V i các giá tr nào c a m , hàm s ng bi n trên kho ng 1( ; )+∞ ? 1( )m ≥
b. V i các giá tr nào c a m , hàm s ng bi n trên » ? 2( )m =
5. Cho hàm s
2
2
2
x x m
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Xác nh m hàm s (1) ngh ch bi n trên o n 1 0[ ; ]− .
b. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = . ( )9m ≥
6. Cho hàm s ( )3 2
3 1 4y x x m x m= + + + + .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 1m = − .
www.VNMATH.com

23. Kh o sát hàm s
23
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )1 1;− . ( )10m < −
7. Cho hàm s ( )3 21
2 1 2
3
y x mx m x m= − + − − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )2 0;− .
1
2
m
  < −   
8. Cho hàm s 3 2
3 1y x mx m= − + − .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )0;−∞ . ( )0m ≥
9. Cho hàm s 3 21
1 3 4
3
( ) ( )y x m x m x= − + − + + − .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ng bi n trên ( )0 3; .
12
7
m
  ≥   
10. Tìm các giá tr c a m hàm s
2
2 1 2
1
( )x m x
y
x
+ + +
=
+
ng bi n trên ( )0;+∞ . ( )0m ≥
11. Cho hàm s ( ) ( ) ( )3 2
1 2 2 3 1y m x m x m x= − − + + + − .
a. Ch ng minh r ng hàm s không th ng bi n trên » .
b. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )0;−∞ ; ( )1m ≥
c. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )0;−∞ ; ( )3m ≤ −
d. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )1;−∞ ( )1m ≥
e. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )4;+∞ ( )13m ≥
f. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )1 4; ( )5 13m− ≤ ≤
12. Cho hàm s
2
3x x
y
x m
−
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m hàm s (1) ng bi n trên 1[ ; )+∞ . ( )1 1m− ≤ <
13. Tìm các giá tr c a m hàm s
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
ngh ch bi n trên 1[ ; )+∞ .
14
5
( )m ≤ −
14. Gi i các h phương trình sau
a.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
 = + + − = + + −
 = + + −
; b.
3 2
3 2
3 2
3 3 1
3 3 1
3 3 1
ln( )
ln( )
ln( )
x x x x y
y y y y z
z z z z x
 + − + − + = + − + − + =
 + − + − + =
;
c.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
x x
y y
z z
y
z
x
+
+
+
    =       =       =   
; d.
3
3
3
6
6
6
sin
sin
sin
y
x y
z
y z
x
z x
 = + = +
 = +
.
www.VNMATH.com

24. Kh o sát hàm s
24
15. Tìm các giá tr c a m phương trình
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
có úng hai nghi m th c phân bi t. ( )4
2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ ≤ +
16. Cho hàm s 2
2 2( )f x x x= − .
a. Ch ng minh r ng f ng bi n trên n a kho ng 2[ ; )+∞ .
b. Ch ng minh r ng phương trình 2
2 2 11x x − = có m t nghi m duy nh t.
17. Tìm các giá tr c a m phương trình
3 6 3 6( )( )x x x x m− + − − − − =
có nghi m. ( )9 6 2 3m− + ≤ ≤
C c tr c a hàm s
18. Tìm c c tr các hàm s sau
a. 3 2
2 9 12 3( )f x x x x= − + − b. 3 2
5 3 4 5( )f x x x x= − + − +
c. 3 2
2 1( )f x x x x= − + − + d. 2 2
1( ) ( )f x x= −
e.
2
2 3
( )
x
f x
x
+
=
−
f.
2
8 24
2
( )
x x
f x
x
+ −
=
−
g. 2
4
( )
x
f x
x
=
+
h. 4( )f x x x= −
i.
4
3
2
( )f x x
x
= − +
−
j. 4 2
2 1( )f x x x= − + .
19. Tìm c c tr các hàm s sau
a. 2
3( ) sin cosf x x x= − trên o n 0[ ; ]π ,
b. 2 2( ) sin cosf x x x= + trên o n 0[ ; ]π ,
c. 2
2 3 2 3( ) sin sinf x x x= + − trên o n [ ; ]π π− ,
d. 2( ) sin cosf x x x= + trên o n [ ; ]π π− .
20. Tìm m các hàm s sau có c c i và c c ti u
a. 3 21
6 2 1
3
( ) ( )y x mx m x m= + + + − + 2(m < − ho c 3)m >
b. 3 2
2 3 5( )y m x x mx= + + + − . 3 2 1( )m− < ≠ <
21. Tìm m hàm s 3 2 2 21
2 3 1 5
3
( ) ( )y x m m x m x m= + − + + + + − t c c ti u t i 2x = − .
3( )m =
22. Tìm m hàm s 3 21 1
1 3 2
3 3
( ) ( ) ( )f x mx m x m x= − − + − + t c c tr t i 1 2
,x x th a mãn i u
ki n 1 2
2 1x x+ = . 2(m = ho c
2
3
)m =
23. Tìm m hàm s 3 21
1
3
( )f x x mx mx= − + − t c c tr t i 1 2
,x x th a mãn i u ki n
1 2
8x x− > .
1 65
2
(m
−
< ho c
1 65
2
)m
+
>
24. Tìm m hàm s 3 2 2 2
2 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x x m x m m x m= + − + − + − + t c c tr t i 1 2
,x x
th a mãn i u ki n 1 2
1 2
1 1 1
2
( )x x
x x
+ = + . 1(m = ho c 5)m =
www.VNMATH.com

25. Kh o sát hàm s
25
25. Cho hàm s ( ) ( )3 2 22
1 4 3 1
3
y x m x m m x= + + + + + − .
a. Tìm m hàm s t c c i và c c ti u t i 1
x và 2
x ; ( )5 1m− < < −
b. Tìm m hàm s t c c tr t i hai i m n m bên ph i tr c tung; .( )5 3m− < < −
c. Tìm m hàm s t c c i và c c ti u t i 1
x và 2
x sao cho ( )1 2 1 2
2A x x x x= − + t giá tr
l n nh t. ( )4m = −
26. Cho hàm s 4 2 2
9 10( )y mx m x= + − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m hàm s (1) có ba i m c c tr . 3(m < − ho c 0 3)m< <
27. Cho hàm s 3
3( )y x m x= − − , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Xác nh m hàm s (1) t c c ti u t i i m có hoành 0x = . 1( )m = −
28. Cho hàm s
2
2
2
2 2
x x m
y
x x
+ +
=
− +
.
a. V i giá tr nào c a m , hàm s t c c i t i 2x = . ( )2m =
b. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 2m = .
29. Cho hàm s
2
1
x mx
y
x
+
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 0m = .
b. Tìm m hàm s có c c i và c c ti u. V i giá tr nào c a m thì kho ng cách gi a hai i m
c c tr c a hàm s (1) b ng 10? 4( )m =
30. Cho hàm s
2 2
2 1 4
2
( )
( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 0m = .
b. Tìm m hàm s (1) có c c tr và tính kho ng cách gi a hai i m c c tr ó. ( )1 2
4 2M M =
31. Cho hàm s
2
1 1
1
( )x m x m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, th ( m
C ) c a hàm s (1) luôn luôn có i m c c i, i m
c c ti u và kho ng cách gi a hai i m ó b ng 20 .
32. Cho hàm s
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
, ( m
C ) (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th ( m
C ) có hai i m c c tr n m v hai phía c a tr c tung. ( )1 1m− < <
33. Cho hàm s
2
2 2
1
x mx
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th hàm s (1) có hai i m c c tr ,A B . Ch ng minh r ng khi ó ư ng th ng
AB song song v i ư ng th ng 2 10 0x y− − = .
3
2
m
  <   
www.VNMATH.com

26. Kh o sát hàm s
26
34. Cho hàm s 3 2
3 4y x x m= − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = .
b. Ch ng minh r ng th hàm s luôn có hai i m c c tr . Khi ó xác nh m m t trong hai
i m c c tr này thu c tr c hoành. ( 0m = ho c )1m =
35. Cho hàm s 3 2
2 3 3 11 3( )y x m x m= + − + − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 3m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng n i hai i m c c tr c a
th i qua i m 0 1( ; )A − . ( )4m =
36. Cho hàm s 3 2
3 2 1 3( )y mx mx m x m= − + + + − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u. Ch ng minh r ng ư ng th ng n i các
i m c c tr luôn i qua m t i m c nh. ( )0 1m m< ∨ >
37. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 2
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + t c c i và c c
ti u sao cho 1CD CT
y y+ = .
39. Cho hàm s 4 2 4
2 2y x mx m m= − + + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm m th hàm s có ba i m c c tr là ba nh c a m t tam giác u. ( )3
3m =
40. Cho hàm s 4 2
1 1 2( )y mx m x m= + − + − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có úng m t i m c c tr . ( )0 1m m≤ ∨ ≥
41. V i giá tr nào c a m , g c t a thu c ư ng th ng n i các i m c c tr c a th hàm s
2
1 1( )x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
.
( )1m = −
42. Cho hàm s
2
8
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = − .
b. Ch ng minh r ng th c a hàm s (1) luôn có c c i và c c ti u v i m i giá tr m . Tìm giá
tr c a m 2 2
72cd ct
y y+ = . ( )2m = −
43. Tìm m hàm s 3 2 2
3( )f x x x m x m= − + + có c c i và c c ti u i x ng nhau qua ư ng
th ng
1 5
2 2
y x= − . 0( )m =
44. Tìm m hàm s 3 21
1
3
y x mx x m= − − + + có kho ng cách gi a các i m c c i và c c ti u
là nh nh t. 0( )m =
45. Cho hàm s ( ) ( )3 2
3 3 1 , m
y x x m x C= + − − . Tìm các giá tr c a m
a. ( )m
C t c c tr t i ,A B sao cho ABO∆ vuông t i O; ( )1m =
b. ( )m
C t c c tr t i ,A B n m khác phía i v i tr c hoành; { }
1
1
4
; m
      ∈ +∞       
www.VNMATH.com

27. Kh o sát hàm s
27
c. ( )m
C t c c tr t i ,A B cách u ư ng th ng 5y = ; ( )2m =
d. ( )m
C t c c tr t i ,A B n m trên ư ng th ng cách g c t a m t kho ng b ng 1; ( )m ∈ ∅
e. ( )m
C có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i tr c hoành m t tam giác có di n tích b ng
1
6
.
1
2
2
m m
  = ∨ =   
46. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )4 3 2
4 3 1 1y x mx m x= + + + + ch có c c ti u, không có c c
i. { }
1 17 1 17
1
8 8
; m
    − +   ∈ −         
47. Tìm m hàm s
2
1 1( )x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
có c c i và c c ti u n m v cùng m t phía tr c
Ox . 3 2 3(m < − − ho c 3 2 3)m > − +
48. Tìm m hàm s
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có c c ti u có hoành nh hơn 1.
49. Tìm các giá tr c a m th c a hàm s 3 2
1 2 2 2( ) ( )y x m x m x m= + − + − + + có hai
i m c c tr , ng th i hoành c a i m c c ti u nh hơn 1. 1(m < − ho c
5 7
4 5
)m< <
50. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 2 21
2 5 4 1
3
( ) ( )y x m x m x m= + − + + + + t c c tr t i
1 2
,x x th a mãn i u ki n 1 2
1x x< − < .
7
3
2
m
  − < < −   
51. Tìm các giá tr c a m th m i hàm s sau có hai i m c c tr n m khác phía i v i tr c
hoành
a. 3
3 1y mx mx= − +
1
2
m
  >   
b. 3 2
2 2 1y x mx m= − + −
3 1
2 2
3
4
m m
m
    < − ∨ >       ≠   
52. Cho hàm s 3 2 3
2 3 2 6 5 1 4 2( ) ( ) ( )y x m x m x m= − + + + − + . Tìm m th hàm s có
a. úng m t i m c c tr có hoành l n hơn 1. 0( )m <
b. Hai i m c c tr có hoành nh hơn 2 .
1
0
3
( )m− < <
c. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành thu c kho ng 1 1( ; )− .
2
0
3
( )m− < <
d. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành l n hơn 9. 16( )m >
e. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành 4i
x > . 16(m > ho c
25
9
)m < −
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
53. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s sau
www.VNMATH.com

28. Kh o sát hàm s
28
a. 3 2
3 9 1y x x x= + − + trên o n 4 4[ ; ]− ; b.
2
x
y
x
=
+
trên n a kho ng 2 4( ; ]− ;
c.
1
2
1
y x
x
= + +
−
trên kho ng 1( ; )+∞ ; d.
2
2
2
1
x
y
x x
+
=
+ +
;
e. sin cosy a x b x= + 2 2
0( )a b+ > ; f. 4 2sin cosy x x= + ;
g.
1
3
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+ −
=
− +
; h.
2
2
2 2
cos
cos
x
y
x
=
+
;
i. 3 2
6 9 5cos cos cosy x x x= − + + ; j. 3
2 2sin cos siny x x x= − + + ;
k. 2
4y x x= + − ; l.
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên o n 1 2[ ; ]− .
54. Ch ng minh r ng
a.
3 3 5
3 3 5
sin
! ! !
x x x
x x x− < < − + , v i m i 0x > ; b.
2 2 4
1 1
2 2 4
cos
! ! !
x x x
x− < < − + , v i m i 0x ≠ ;
c. 2sin tanx x x+ > , v i m i 0
2
;x
π  ∈    
; d. 1x
e x> + , v i m i 0x > ;
f.
2
1
2
ln( )
x
x x x− < + < , v i m i 0x > ; g. 1sin cosx x x+ > , v i m i 0
2
;x
π  ∈    
.
Ti m c n c a th hàm s
55. Cho hàm s
4
1
x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Xác nh t a giao i m E c a hai ti m c n c a ( )C . Ch ng minh r ng n u m t ư ng
th ng d qua E và c t ( )C thì s giao i m là 2 và hai giao i m i x ng nhau qua E . T ó
suy ra E là tâm i x ng c a ( )C .
56. Cho hàm s
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
.
a. Kh o sát hàm s khi 1m = .
b. V i giá tr nào c a m thì ti m c n xiên c a hàm s t o v i các tr c t a m t tam giác có
di n tích b ng 4. ( )1 2 2m = − ±
57. Cho hàm s
1
2
x
y
x
+
=
−
, ( )C .
a. Tìm trên ( )C nh ng i m có t a nguyên.
b. Tìm trên ( )C nh ng i m có t ng kho ng cách n hai ti m c n là nh nh t.
( )1 2
2 3 1 3,
( ; )M ± ±
58. Cho hàm s
1
1
x
y
x
−
=
+
, ( )C . Ch ng minh r ng kho ng tích các kho ng cách t m t i m b t kỳ
trên ( )C n hai ư ng ti m c n c a ( )C là m t h ng s .
59. Cho hàm s
1
1
x
y
x
+
=
−
, ( )C . Tìm t t c các i m ( )M C∈ sao cho kho ng cách t M n giao
i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C là ng n nh t. ( )1 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ; ), ( ; )M M+ + − −
www.VNMATH.com

29. Kh o sát hàm s
29
60. Tìm trên hai nhánh khác nhau c a
4 9
3
( ) :
x
C y
x
−
=
−
các i m 1 2
,M M dài c a o n th ng
1 2
M M là nh nh t.
61. Tìm trên hai nhánh khác nhau c a
2
2 5
1
( ) :
x x
C y
x
− + −
=
−
các i m 1 2
,M M dài c a o n
th ng 1 2
M M là nh nh t.
Ti p tuy n c a th hàm s
62. Cho hai hàm s
21 1
4 4
( )f x x x= − + + và 2
1( )g x x x= − +
a. Ch ng minh r ng th ( )P c a hàm s f và th ( )C c a hàm s g ti p xúc nhau t i i m
A có hoành 1x = .
b. Vi t phương trình ti p tuy n chung ( )d c a ( )P và ( )C t i i m A.
c. Ch ng minh r ng ( )P n m phía trên ư ng th ng ( )d và ( )C n m phía trên ư ng th ng ( )d .
63. Ch ng minh r ng các th c a ba hàm s
2
3 4( )f x x x= − + ,
1
1( )g x
x
= + và 4 6( )h x x x= − +
ti p xúc nhau t i m t i m.
64. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C c a hàm s 3
3 5y x x= − + khi bi t
a. Hoành ti p i m là 1
1x = − , 2
2x = .
b. Tung ti p i m là 5 3,y y= = .
65. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C c a hàm s 3 2
3 2 1y x x x= + + + xu t phát t
i m u n c a ( )C . ( )y x= −
66. Cho hàm s 3 2
2 3 9 4y x x x= − + − , ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C t i các giao
i m c a ( )C v i các th sau
a. ư ng th ng ( )d : 7 4y x= + ; b. Parabol ( )P : 2
8 3y x x= − + − .
67. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C : 3 2
3y x x= − , bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng
th ng
1
3
y x= . 3 1( )y x= − +
68. Cho hàm s 3 21
2 4
3
y x x x= − + − ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n v i ( )C , bi t ti p tuy n
a. Có h s góc 2k = − ; b. T o v i chi u dương tr c Ox m t góc 0
60 ;
c. Song song v i ư ng th ng 2y x= − + ; d. Vuông góc v i ư ng th ng 2 3y x= + ;
e. T o v i
1
3
2
:d y x= − + m t góc 0
30 ; f. Qua i m ( )0 4;A − .
69. Cho hàm s 3
3 7y x x= − + ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n v i ( )C , bi t ti p tuy n:
a. Có h s góc b ng v i h s góc c a ư ng th ng 12 2 1 0x y− + = ;
b. Song song v i ư ng th ng 6 1y x= − ; c. Vuông góc v i ư ng th ng
1
2
9
y x= − + ;
d. T o v i chi u dương Ox m t góc 0
45 ; e. T o v i ư ng th ng 2y = m t góc 0
45 ;
f. T o v i ư ng th ng 2 3y x= + m t góc 0
45 ; g. Qua i m ( )1 9;A − .
www.VNMATH.com

30. Kh o sát hàm s
30
70. Vi t phương trình ti p tuy n v i
3 2
1
( ) :
x
C y
x
−
=
−
t o v i tr c hoành m t góc 0
45 .
2 6( , )y x y x= − + = − +
71. Cho hàm s
3 7
2 5
x
y
x
−
=
− +
( )C . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n:
a. Song song v i ư ng th ng
1
1
2
y x= + ; b. Vuông góc v i ư ng th ng 4y x= − .
c. T o v i ư ng th ng 2y x= − m t góc 0
45 ; d. T o v i ư ng th ng y x= − m t góc 0
60 ;
72. Cho hàm s 3 21 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C , bi t ti p tuy n ó song song v i ư ng th ng d :
4 2y x= + .
26
4
3
(y x= − và
73
4
6
)y x= +
73. Cho hàm s 2
1 2( ) ( )y x x= + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Xác nh các giáo i m c a ( )C v i tr c hoành và ch ng minh ( )C ti p xúc v i tr c hoành t i
m t trong các giao i m ó.
74. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Tìm i m ( )M C∈ sao cho ti p tuy n c a
( )C t i M vuông góc v i ư ng th ng IM . ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M
75. Cho hàm s 3 21
2 3
3
y x x x= − + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p ti p ∆ c a ( )C t i i m u n và ch ng minh r ng ∆ là ti p tuy n c a
( )C có h s góc nh nh t.
8
3
y x
  = − +   
76. G i ( )m
C là th c a hàm s 3 21 1
3 2 3
m
y x x= − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 2m = .
b. G i M là i m thu c ( )m
C có hoành b ng 1− . Tìm m ti p tuy n c a ( )m
C t i M song
song v i ư ng th ng 5 0x y− = . 4( )m =
77. Cho hàm s
1
y x
x
= + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C qua 1 7( ; )M − . 15 8(y x= − và 3 4)y x= − +
78. Cho hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Ch ng minh r ng không có ti p tuy n
nào c a ( )C qua I .
www.VNMATH.com

31. Kh o sát hàm s
31
79. Cho hàm s
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C , bi t ti p tuy n ó vuông góc v i ti m c n xiên
c a ( )C . ( )2 2 5y x= − ± −
80. Cho hàm s
1
1
x
y
x
+
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Xác nh m ư ng th ng d : 2y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho các
ti p tuy n c a ( )C t i A và B song song v i nhau. ( )1m = −
81. Cho hàm s
2
2
1
x mx m
y
x
+ +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i hai i m phân bi t ,A B sao cho các ti p
tuy n c a th c a hàm s (1) t i A và B vuông góc v i nhau. ( )4 17m = ±
82. Cho hàm s 3
1y x mx m= − − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n ó qua i m 0 2( ; )A .
c. Tìm m th hàm s (1) ti p xúc v i tr c Ox . 3(m = ho c
3
4
)m =
83. Cho hàm s 3 2
3 3 5y x x x= + + + ( )C .
a. CMR không t n t i hai i m nào trên ( )C các ti p tuy n t i ó vuông góc v i nhau.
b. Tìm k trên ( )C luôn t n t i ít nh t m t i m sao cho ti p tuy n t i ó vuông góc v i
ư ng th ng y kx m= + . 0( )k <
84. Cho hàm s 3 2
3 1y x x mx= + + + ( )m
C .
a. Tìm m ( )m
C c t ư ng th ng 1y = t i ba i m phân bi t 0 1( ; ), ,C D E .
9
0
4
m
  ≠ <   
b. Tìm m các ti p tuy n c a ( )m
C t i D và E vuông góc nhau.
9 65
8
m
 ±   =    
85. Cho hàm s 3 2
3 2y x x= − + ( )C .
a. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C i qua
23
2
9
;A
  −   
.
5 61
2 9 25
3 27
, ,y y x y x
  = − = − = − −   
b. Tìm trên 2:d y = − các i m k n ( )C hai ti p tuy n vuông góc v i nhau.
55
2
27
;M
     −       
86. Cho hàm s 3 2
2 3 5y x x= + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Ch ng minh r ng qua i m ( )1 4;A − có th k ư c ba ti p tuy n phân bi t c a ( )C .
87. Cho hàm s 3 2
6 9 1y x x x= − + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
www.VNMATH.com

32. Kh o sát hàm s
32
b. T m t i m b t kỳ trên ư ng th ng 2x = , có th k ư c bao nhiêu ti p tuy n c a ( )C .
88. Cho hàm s 3
3 2y x x= − + + ( )C . Tìm trên tr c hoành các i m k ư c 3 ti p tuy n n
th ( )C . ( )0 2( ; ,M m m > ho c
2
1
3
)m− ≠ < −
89. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
( )C và i m ( )M C∈ . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n. Ti p
tuy n t i M c t hai ti m c n t i A và B .
a. Ch ng minh r ng M là trung i m c a AB .
b. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB là m t h ng s .
c. Tìm M chu vi tam giác IAB bé nh t. ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M−
90. Cho hàm s 4 21 5
3
2 2
y x x= − + .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Tìm các i m thu c ( )C sao cho t i ó, ti p tuy n c a ( )C có ba i m chung phân bi t v i
( )C . 4 21 5
3
2 2
;A x x x
  − +   
, v i ( )3 3 1; { }x ∈ − ± .
Giao i m c a ư ng cong và ư ng th ng
91. Cho hàm s 31
1
3
( )y x m x= − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 4m = .
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 3
3 1 0( )x m x− + = có ba nghi m phân bi t?
9
4
m
  >   
92. Cho hàm s 4 2
2 3y x x= − + + .
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 4 2 4 2
2 2x x m m− = − .
93. Cho hàm s 3
2( )y x m x m= − + + , m là tham s .
a. Tìm m hàm s ã cho có c c tr t i 1x = − .
b. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ng v i 1m = .
c. Bi n lu n theo k s giao i m c a ( )C v i ư ng th ng y k= .
94. Cho hàm s 3 2 2 3 2
3 3 1( )y x mx m x m m= − + + − + − , (1).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) ng v i 1m = .
b. Tìm k phương trình 3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − = có 3 nghi m phân bi t.
1 3( k− < < và 0 2, )k k≠ ≠
c. Vi t phương trình ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th hàm s (1). ( )2
2y x m m= − +
95. Cho hàm s 4 2 2
2 2 5 5( )y x m x m m= + − + − + , ( )m
C
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ( )C và tr c hoành.
16
15
S
  =   
c. Tìm giá tr c a m th ( )m
C c t tr c hoành t i 4 i m phân bi t.
5 5
1
2
m
 −   < <    
96. Cho hàm s 3 2
3 9y x x x m= − − + .
www.VNMATH.com

33. Kh o sát hàm s
33
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )11m =
97. Cho hàm s 3 2 2
3 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= + − + − + − − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )1m ≠ −
98. Cho hàm s 3 2 2
3 2 4 9( )y x mx m m x m m= − + − + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )1m =
99. Cho hàm s 3
2y x mx= + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 3m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i úng m t i m. ( )3m > −
100. Cho hàm s
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, ( )C (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Tìm m ư ng th ng 2 2y mx m= + − c t th ( )C t i hai i m phân bi t. ( )1m >
101. Cho hàm s 3 2
2 3 1y x x= − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i k
d là ư ng th ng qua 0 1( ; )M − và có h s góc b ng k . Tìm k ư ng th ng k
d c t
( )C t i 3 i m phân bi t.
9
8
(k > − và 0)k ≠
102. Cho hàm s
2
3 3
2 1( )
x x
y
x
− + −
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm m :m
d y m= c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho 1AB = .
1 5
2
m
 ±   =    
103. Cho hàm s
2
2
1
x
y x
x
= − +
+
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Ch ng minh r ng m t ti p tuy n tùy ý c a ( )C luôn t o v i hai ti m c n c a nó thành m t
tam giác có di n tích không i.
104. Cho hàm s
2
1
x
y
x
−
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , ư ng th ng 2 0:d x y m+ + = luôn c t ( )C t i hai
i m phân bi t. Xác nh m kho ng cách gi a hai giao i m này nh nh t.
105. Cho hàm s 3
3 2y x x= − + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
www.VNMATH.com

34. Kh o sát hàm s
34
b. G i m
d là ư ng th ng qua 3 20( ; )A và có h s góc là m . Tìm m m
d c t ( )C t i 3 i m
phân bi t.
15
4
(m > và 24)m ≠
106. Cho hàm s
2
4
1
x x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s .
b. Tìm a ư ng th ng y a= c t ( )C t i hai i m phân bi t? 3(a < − ho c 5)a >
107. Cho hàm s
2
x x m
y
x m
− + +
=
+
, ( )m
C v i m là tham s khác 0.
a. Kh o sát và v th 2
( )C c a hàm s khi 2m = .
b. Tìm m ti m c n xiên c a ( )m
C i qua i m 3 0( ; )A .
c. V i giá tr nào c a m thì ( )m
C c t ư ng th ng d : 1y x= − t i hai i m phân bi t?
6 4 2(m < − − ho c 6 4 2m > − + và 0)m ≠
108. Cho hàm s
3
2
x
y
x
+
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Ch ng minh r ng ư ng th ng
1
2
y x m= − c t ( )C t i 2 i m phân bi t ,A B . Xác nh m
sao cho dài o n AB nh nh t. ( )2m = −
109. Cho hàm s
1
2
2
y x
x
= + +
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm m ư ng th ng y m= c t th ( )C t i hai i m phân bi t sao cho kho ng cách gi a
chúng b ng 12 . ( )4m = ±
110. Cho hàm s
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
, ( )m
C (1).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i hai i m phân bi t có hoành dương.
1
0
2
m
  − < <   
111. Cho hàm s 2
1( )( )y x x mx m= − + + , ( )m
C (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 4m = .
b. Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t. 0(m < ho c 4m > và
1
2
)m ≠ −
112. Cho hàm s 3 2
3y x x m= − + , ( )m
C (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) khi 2m = .
b. Tìm m ( )m
C có hai i m phân bi t i x ng nhau qua g c t a . ( )0m >
113. Cho hàm s
2
1
x x m
y
x
+ −
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i hai i m ,A B phân bi t và các ti p tuy n
c a th hàm s (1) t i ,A B vuông góc v i nhau.
www.VNMATH.com

35. Kh o sát hàm s
35
114. Cho hàm s 3 2 2
3 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= − + + + + − + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t
tr c hoành t i 3 i m phân bi t có hoành l n hơn 1.
1
1
2
m
  < ≠   
115. Cho hàm s 3 2 2 2
2 2 1 1( ) ( )y x mx m x m m= − + − + − ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i
3 i m phân bi t có hoành dương.
2
1
3
m
  < <   
116. Cho hàm s 3 2 2 2
3 3 1 1( )y x mx m x m= − + − − + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 3
i m phân bi t có hoành dương. ( )3 1 2m< < +
117. Cho hàm s 3 2
3 3 1 1 3( )y x x m x m= − + − + + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 1
i m, 2 i m, 3 i m phân bi t.
i m c nh c a ư ng cong
118. Cho hàm s
1mx
y
x m
−
=
−
, 1m ≠ ± ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i 1m ≠ ± , ư ng cong ( )m
C luôn i qua hai i m c nh ,A B .
b. G i M là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )m
C . Tìm t p h p các i m M khi m thay
i.
119. Cho hàm s 3 2
3 3 2 1 1( )y x mx m x= − + − + , ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ( )m
C và ư ng th ng m
d : 2 4 3y mx m= − + luôn có
m t i m chung c nh.
b. Tìm các giá tr c a m sao cho m
d c t ( )m
C t i ba i m phân bi t.
c. Kh o sát và v th c a hàm s v i 1m = .
120. Cho hàm s 3 2
1 2 1 2( ) ( )y x m x m x m= + − − + + − , ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ( )m
C luôn i qua m t i m c nh.
b. Ch ng minh r ng m i ư ng cong ( )m
C ti p xúc v i nhau t i m t i m. Vi t phương trình
ti p tuy n chung c a các ư ng cong ( )m
C t i i m ó.
121. Cho hàm s 3 2
9 9y x mx x m= + − − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 3m = .
b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , th hàm s ã cho luôn i qua hai i m c nh. V i
giá tr nào c a m , tr c hoành là m t ti p tuy n c a th hàm s ã cho ? ( )3m = ±
122. Cho hàm s 3
1 2 1 1( ) ( )y m x m x m= + − + − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
` b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , th hàm s luôn i qua ba i m c nh th ng hàng.
Xác nh i m trên ư ng cong
123. Cho hàm s
2
3
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho cách u hai ư ng ti m c n c a ( )C . ( )3 5 1 5;M ± ±
124. Cho hàm s
2
2
x
y
x
−
=
+
.
www.VNMATH.com

36. Kh o sát hàm s
36
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho t ng kho ng cách t M t i Ox và Oy là nh nh t. ( )0 1( ; )M −
125. Cho hàm s
2
1
x
y
x
−
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho M cách u hai i m 0 0( ; )O và 2 2( ; )A . ( )1 2
0 2 2 0( ; ), ( ; )M M
126. Cho hàm s 3 21 11
3
3 3
y x x x= − + + − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C hai i m phân bi t ,M N i x ng nhau qua tr c tung. 1 2
16 16
3 3
3 3
; , ;M M
          −              
127. Cho hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C hai i m ,A B sao cho A và B i x ng nhau qua ư ng th ng 4 0x y− + = .
7 23 15 23 7 23 15 23
2 2 2 2
; , ;A B
     − +  + −                       
128. Tìm
2
1
, ( ) :
x
A B C y
x
∈ =
−
i x ng nhau qua 1:d y x= − .
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
; , ;A B
          − − − −              
129. Cho th
2
2
2
( ) :
x x
C y
x
+ −
=
−
. Vi t phương trình th ( )C ′ i x ng v i ( )C qua ư ng
th ng 2y = .
2
3 6
2
x x
y
x
 − + −  =   − 
130. Vi t phương trình th ( )C ′ i x ng v i ( )C :
2
2 3 7
1
x x
y
x
− +
=
−
qua ư ng th ng 2x = .
2
2 13 17
3
x x
y
x
 − +  =   − 
131. Cho hàm s
2
5 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C các i m có t a nguyên.
132. Cho hàm s
1
x
y
x
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C các i m M sao cho kho ng cách t M n ư ng th ng 3 4 0x y+ = b ng 1.
www.VNMATH.com

37. Kh o sát hàm s
37
1 2 3 4
1 61 9 61 9 21 1 21
6 2 6 2, ,
; , ;M M
     ±  ± −                       
133. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm các i m trên ( )C mà ti p tuy n t i m i i m y v i th ( )C vuông góc v i ư ng
th ng qua hai i m c c tr . 1 2
2 5 2 5
1 3 1 3
3 36 6
; , ;M M
           − − + +                 
134. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Tìm trên ( )C i m M sao cho ti p tuy n
c a ( )C t i M vuông góc v i ư ng th ng IM . ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M
135. Tìm trên
3 4
2 1
( ) :
x
C y
x
+
=
−
các c p i m i x ng v i nhau qua i m ( )1 1;I .
( ) ( )( )1 3 1 3 1 3 1 3; , ;A B− − + +
Hàm s ch a d u GTT
136. Cho hàm s 3
3 1( )y f x x x= = − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. T th ( )C , hãy suy ra th 1
( )C c a hàm s 3
3 1y x x= − − .
c. T th ( )C , hãy suy ra th 2
( )C c a hàm s
3
3 1y x x= − − .
d. T th ( )C , hãy suy ra th 3
( )C c a hàm s
3
3 1y x x= − − .
137. Cho hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. T th ( )C , hãy suy ra th 1
( )C c a hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
.
138. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. V i các giá tr nào c a m , thì phương trình
2
1
1
x x
m
x
+ +
=
+
có 4 nghi m phân bi t? 3( )m >
139. Cho hàm s 4 2
4 3y x x= − + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm m phương trình 4 2
4 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghi m phân bi t.
1
0
2
m
  < <   
140. Cho hàm s 3 2
2 9 12 4y x x x= − + − , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
www.VNMATH.com

38. Kh o sát hàm s
38
b. Tìm m phương trình sau
3
2
2 9 12x x x m− + = có 6 nghi m phân bi t. ( )4 5m< <
141. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 2 1 1 0x m x− − + = có hai nghi m.
142. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2
3 1( )x x m+ = + .
143. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2 1 1 0x m x− − + = .
144. Cho hàm s 3 2
3 6y x x= − − .
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 3 21 1
2 0
3 3
m
x x
+
− − − = .
145. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2
1 1 0( )x m x m+ − + − = .
thi các năm g n ây
1. Cho hàm s
2 2
2 1 4
2
( )x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m hàm s có c c i và c c ti u, ng th i các i m c c tr c a th cùng v i g c t a
O t o thành m t tam giác vuông cân t i O . ( )4 2 6m = − ± ( H A_2007)
2. Cho hàm s
2 2
3 2 2
3
( )mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m góc gi a hai ư ng ti m c n c a hàm s (1) b ng 0
45 . 1( )m = ± ( H A_2008)
3. Cho hàm s
2
2 3
x
y
x
+
=
+
, ( )C (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n ó c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i
hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân t i O . ( 2y x= − − )( H A_2009)
4. Cho hàm s 3 2
2 1( )y x x m x m= − + − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành 1 2 3
, ,x x x
th a i u ki n 2 2 2
1 2 3
4x x x+ + < .
1
1 0
4
m m
  − < < ∧ ≠   
( H A_2010)
5. Cho hàm s
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
www.VNMATH.com

39. Kh o sát hàm s
39
b. Ch ng minh r ng v i m i m ư ng th ng y x m= + luôn c t ( )C t i hai i m phân bi t A
và B . G i 1
k và 2
k l n lư t là h s góc c a ti p tuy n t i A và B . Tìm m t ng 1 2
k k+ t
giá tr l n nh t. ( )1m = − ( H A_2011)
6. Cho hàm s 3 2 2 2
3 3 1 3 1( )y x x m x m= − + + − − − , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m hàm s (1) có c c i, c c ti u và các i m c c tr c a hàm s (1) cách u g c t a
O .
1
2
m
  = ±   
( H B_2007)
7. Cho hàm s 3 2
4 6 1y x x= − + , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s (1), bi t r ng ti p tuy n ó i qua i m
1 9( ; )M − − . ( H B_2008)
8. Cho hàm s 4 2
2 4y x x= − , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. V i các giá tr nào c a m , phương trình 2 2
2x x m− = có 6 nghi m th c phân bi t?
0 1( )m< < ( H B_2009)
9. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
+
, ( )C .
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Tìm m ư ng th ng 2y x m= − + c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác
OAB có di n tích b ng 3 . 2( )m = ± ( H B_2010)
10. Cho hàm s ( )4 2
2 1y x m x m= − + + (1)
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th hàm s (1) có 3 i m c c tr , ,A B C sao cho OA BC= , trong ó O là g c t a
, A là c c tr thu c tr c tung và ,B C là hai c c tr còn l i. ( )2 2 2m = ± ( H B_2011)
11. Cho hàm s
2
1
x
y
x
=
+
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm ( )M C∈ sao cho ti p tuy n c a ( )C t i M c t các tr c ,Ox Oy l n lư t t i các i m ,A B
sao cho tam giác OAB có di n tích b ng
1
4
. ( )1 2
1
2 1 1
2
; , ;M M
      − −       
( H D_2007)
12. Cho hàm s 3 2
3 4y x x= − + , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Ch ng minh r ng m i ư ng th ng qua i m 1 2( ; )I v i h s góc k ( 3k > − ) u c t ( )C t i
3 i m phân bi t , ,A I B ng th i I là trung i m c a o n th ng AB . ( H D_2008)
13. Cho hàm s 4 2
3 2 3( )y x m x m= − + + có th ( )m
C (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 0m = .
b. Tìm m ư ng th ng 1y = − c t th ( )m
C t i 4 i m phân bi t có hoành nh hơn 2.
1
1 0
3
( , )m m− < < ≠ ( H D_2009)
14. Cho hàm s 4 2
6y x x= − − + , ( )C .
www.VNMATH.com

40. Kh o sát hàm s
40
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C , bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng
1
1
6
y x= − . 6 10( )y x= − + ( H D_2010)
15. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Tìm k ư ng th ng 2 1y kx k= + + c t th ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho
kho ng cách t A và B n tr c hoành b ng nhau. ( )3k = − ( H D_2011)
www.VNMATH.com