Slide Materi Pertemuan 2 Mata Kuliah Matematika Dasar Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Borneo Tarakan

1. Pertemuan 2
1. Pertidaksamaan
2. Pertidaksamaan Kuadrat
3. Pertidaksamaan Rasional

2. Secara Geometrik, a < b dapat digambarkan pada garis bilangan:
Selang terbuka pada garis
bilangan real dengan (a, b) =
{x | a < x < b}
Selang tertutup pada garis
bilangan real dengan [a, b] =
{x | a ≤ x ≤ b}

3. • Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.
• Bentuk umum pertidaksamaan :
• dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan
B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
 
 
 
 
x
E
x
D
x
B
x
A

Pertidaksamaan

4. • Kalimat
1
4
<
1
2
merupakan suatu ketaksamaan yang benar.
• Kalimat
1
𝑥
<
1
2
merupakan pertaksamaan yang kebenarannya
masih “terbuka”: ia bisa benar, bisa juga salah; tergantung pada
nilai x yang dipilih.
• Menyelesaikan suatu pertaksamaan dalam x berarti menentukan
himpunan semua nilai x yang “memenuhi” pertaksamaan tsb.
Pertidaksamaan

5. Pertidaksamaan
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua
himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan
berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
• Cara menentukan HP :
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan Cara :
0
)
(
)
(

x
Q
x
P

6. Pertidaksamaan
 Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
 Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan
cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/
atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan,
kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap
selang bagian yang muncul

7. HIMPUNAN PENYELESAIAN (HP) SUATU PERTAKSAMAAN DALAM x ADALAH
HIMPUNAN BILANGAN RIIL YANG MEMENUHI PERTAKSAMAAN TERSEBUT.
PENGGANTIAN x DENGAN ANGGOTA-ANGGOTA HP AKAN MENGHASILKAN
KETAKSAMAAN BERNILAI BENAR
CONTOH 1:
HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI PERTAKSAMAAN x – 2 < 5
ADALAH
HP= 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 < 7 KARENA DENGAN MENGGANTI NILAI x DENGAN SETIAP
BILANGAN KECIL DARI 7 AKAN MENGHASILKAN KETAKSAMAAN YANG BENAR
HIMPUNAN PENYELESAIAN SUATU PERTAKSAMAAN

8. Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5
3
2
13 

 x
3
5
2
3
13 



 x
8
2
16 

 x
4
8 

 x
8
4 

 x
 
8
,
4
Hp =
4 8

9. Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
8
4
6
2 


 x
2
4
8 



 x
2
4
8 


 x
8
4
2 


 x
2
2
1



 x







 2
,
2
1
2
2
1

Hp

10. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
0
3
5
2 2


 x
x
   0
3
1
2 


 x
x
Titik Pemecah (TP) :
2
1


x dan 3

x
3
++ ++
--
2
1

Hp = 





 3
,
2
1
2𝑥 + 1 < 0 𝑥 − 3 < 0
𝑥 < 3
𝑥 < −
1
2

11. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
6
3
7
6
4
2 



 x
x
x
x
x 7
6
4
2 


 6
3
7
6 

 x
x
dan
4
6
7
2 


 x
x dan 6
6
3
7 



 x
x
10
9 
 x 0
10 
 x
dan
9
10

 x 0
10 
x
dan
9
10

 x dan 0

x

12. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Hp =  









 ,
0
9
10
,
0
9
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp = 





9
10
,
0

13. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
1
3
2
1
1


 x
x
0
1
3
2
1
1





x
x
   
  
0
1
3
1
2
2
1
3







x
x
x
x
  
0
1
3
1
3





x
x
x
TP : -1,
3
1
, 3
3
++ ++
--
-1
--
3
1
Hp =   








 3
,
3
1
1
,

14. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
x
x
x
x




3
2
1
0
3
2
1






x
x
x
x
    
  
0
3
2
2
3
1








x
x
x
x
x
x
  
0
3
2
3
2
2 2






x
x
x
x

15. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Untuk pembilang 3
2
2 2

 x
x mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++ --
   




 ,
2
]
3
,
Hp =

16. MA 1114 Kalkulus 1 16
Pertidaksamaan nilai mutlak
• Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat
pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
• Definisi nilai mutlak :







0
,
0
,
x
x
x
x
x

17. Pertidaksamaan nilai mutlak
• Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x

2
x
x 
a
x
a
a
a
x 




 0
,
a
x
a
a
x 


 0
, atau a
x 


 y
x 2
2
y
x 
6. Ketaksamaan segitiga
y
x
y
x 


1
2
3
4
5
y
x
y
x 



18. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
4
1 

 x
3
5
2 

x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
5
2
3 



 x
5
3
2
3
5 



 x
8
2
2 

 x
Hp =  
4
,
1
1 4

19. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
   0
4
2
2 


 x
x
3
5
2 

x
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
  9
5
2
2


 x
9
25
20
4 2



 x
x
0
16
20
4 2



 x
x
0
8
10
2 2



 x
x
TP : 1, 4
1 4
++
--
++
Hp =  
4
,
1
⇔ 2𝑥 − 2 < 0 ⇔ 𝑥 − 4 < 0

20. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
5
4
3
2 

 x
x
Kita bisa menggunakan sifat 4
   2
2
5
4
3
2 


 x
x
25
40
16
9
12
4 2
2





 x
x
x
x
0
16
28
12 2




 x
x
0
4
7
3 2



 x
x
3
4

TP : , -1

21. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Hp = 






 1
,
3
4
Jika digambar pada garis bilangan :
-1
3
4

++
--
++

22. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2
7
2


x
2
7
2



x
2
7
2



x
5
2



x
9
2


x
10


 x 18


x
   





 ,
10
18
,
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10

23. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian









2
2
2
2
2
x
x
x
x
x












1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
Jadi kita mempunyai 3 interval :
-1 2
I II III
 
1
,

  
2
,
1
  

,
2
2
1
2
3 



 x
x
Kita definisikan dahulu :

24. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
1


x  
1
,


2
1
2
3 



 x
x
    2
1
2
3 





 x
x
2
1
3
6 




 x
x
2
2
7 


 x
9
2 


 x
9
2 
 x
2
9

 x 







2
9
,
I. Untuk interval atau
atau

25. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
 
1
,
2
9
, 











2
9
-1
Jadi Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah  
1
,


sehingga Hp1 =  
1
,



26. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2
1 

 x  
2
,
1

II. Untuk interval atau
2
1
2
3 



 x
x
    2
1
2
3 




 x
x
2
1
3
6 




 x
x
2
4
5 


 x
7
4 


 x
7
4 
 x
4
7

 x 







4
7
,
atau

27. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Jadi Hp2 =  
2
,
1
4
7
, 









-1 2
4
7
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah







4
7
,
1
sehingga Hp2 = 






4
7
,
1

28. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
2

x  

,
2
2
1
2
3 



 x
x
    2
1
2
3 




 x
x
2
1
6
3 




 x
x
2
7
2 


 x
5
2 
 x
III. Untuk interval atau
2
5

 x 






,
2
5
atau

29. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Jadi Hp3 =  








 ,
2
,
2
5
2 2
5
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah







,
2
5
sehingga
Hp3 = 






,
2
5

30. Hp = 3
Hp
2
Hp
1
Hp 

  


















 ,
2
5
4
7
,
1
1
,
Hp
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian

31. Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
Jadi Hp = 














 ,
2
5
4
7
,
4
7
2
5
-1
4
7 2
5
-1
4
7
2
5
-1