2. LEARNING OBJECTIVES
1. LO6-1 Mengidentifikasi karakteristik distribusi probabilitas.
2. LO6-2 Membedakan antara variabel acak diskrit dan kontinu.
3. LO6-3 Hitung mean, varians, dan deviasi standar dari distribusi probabilitas diskrit.
4. LO6-4 Menjelaskan asumsi distribusi binomial dan menerapkannya untuk
menghitung probabilitas.
5. LO6-5 Menjelaskan asumsi distribusi hipergeometrik dan menerapkannya untuk
menghitung probabilitas.
6. LO6-6 Menjelaskan asumsi distribusi Poisson dan menerapkannya untuk
menghitung probabilitas.
3. PENDAHULUAN
Bab ini memulai studi tentang distribusi probabilitas. Distribusi
probabilitas seperti distribusi frekuensi relatif.
Digunakan untuk memberikan perkiraan kemungkinan kejadian di
masa depan.
Distribusi probabilitas dapat dijelaskan dengan ukuran lokasi dan
dispersi menunjukkan cara menghitung mean, varians, dan
deviasi standar distribusi.
Pembahaans tiga distribusi probabilitas diskrit yang sering terjadi:
binomial, hipergeometrik, dan Poisson.
3
5. DISTRIBUSI PROBABILITAS
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI PROBABILITAS
1. Probabilitas hasil tertentu adalah antara 0 dan 1 inklusif.
2. Hasilnya sama-sama eksklusif.
3. Daftar hasil sangat lengkap. adi jumlah probabilitas hasilnya sama dengan 1.
6. 6
Misalkan kita ingin melihat pada jumlah “kepala” yang muncul menghadap ke
atas pada tiga lemparan koin. Ini eksperimennya. Hasil yang mungkin adalah
nol kepala, satu kepala, dua kepala, dan tiga kepala. Berapa distribusi
probabilitas untuk jumlah kepala?
7. 7
Presentasi Grafis dari Jumlah Kepala yang
Dihasilkan dari Tiga Tosses of a Coin dan
Probabilitas yang Sesuai
9. RANDOMVARIABLE
9
Beberapa percobaan menghasilkan hasil yang diukur dengan variabel kuantitatif
(seperti dolar, berat badan, atau jumlah anak), dan hasil eksperimen lainnya
diukur dengan variabel kualitatif (seperti warna atau preferensi agama).
VARIABEL ACAK (Random Variabel) Variabel yang diukur atau diamati sebagai
hasil eksperimen. Secara kebetulan, variabel tersebut dapat memiliki nilai yang
berbeda.
Jumlah karyawan yang absen dari shift hari pada hari Senin, jumlahnya mungkin 0, 1, 2, 3,. . .
Jumlah karyawan yang absen adalah variabel random
Upah per jam dari sampel 50 karyawan pabrik di Kab Karanganyar. Upah per jam adalah variabel
acak.
Jumlah peserta di New York City Marathon 2016
10. DISCRETE RANDOM VARIABLE
Variabel acak yang hanya dapat
mengasumsikan nilai tertentu yang
dipisahkan dengan jelas.
10
DISCRETE RANDOMVARIABLE
variabel acak kontinu dapat mengasumsikan
jumlah nilai yang tak terbatas dalam rentang
tertentu. Diukur pada interval kontinu atau skala
rasio
CONTINUOUS RANDOM
VARIABLE
12. 1. MEAN
Mean dari distribusi probabilitas dengan huruf Yunani huruf kecil mu (μ) dan deviasi standar dengan
huruf Yunani huruf kecil sigma (σ).
1. Mean
Mean distribusi probabilitas juga disebut sebagai nilai yang diharapkan.
Merupakan rata-rata tertimbang di mana nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak
dibobotkan oleh probabilitas kemunculannya yang sesuai.
13. 2.VARIANS DAN STANDAR DEVIASI
13
Mean adalah nilai tipikal yang digunakan untuk meringkas distribusi
probabilitas diskrit. Namun, tidak dijelaskan jumlahnya penyebaran
(variasi) dalam suatu distribusi.
Langkah-langkah perhitungannya adalah:
1. Kurangi mean dari setiap nilai variabel acak, dan kuadratkan selisih ini.
2. Kalikan setiap selisih kuadrat dengan probabilitasnya.
3. Jumlahkan produk yang dihasilkan untuk mendapatkan varians.
15. PEMBAHASAN
15
“Jumlah mobil yang terjual" adalah distribusi probabilitas diskret untuk variabel acak yang.
2. Jumlah rata-rata mobil yang terjual dihitung dengan menimbang jumlah mobil yang
terjual dengan kemungkinan menjual angka tersebut dan menambahkan atau
menjumlahkan produk, menggunakan rumus (6–1):
µ = ∑[xP(x)]
= 0(.1) + 1(.2) + 2(.3) + 3(.3) + 4(.1)
= 2.1
16. PEMBAHASAN
16
Varians -√σ2 = 1.290 = 1.136 mobil.
Bagaimana kita menerapkan deviasi standar 1.136 mobil? Jika wiraniaga Rita Kirsch juga
menjual rata-rata 2,1 mobil pada hari Sabtu, dan deviasi standar dalam penjualannya
adalah 1,91 mobil.
Kesimpulan = ada lebih banyak variabilitas dalam penjualan Hari Sabtu dari Ms. Kirsch
daripada di penjualan Mr. Ragsdale (karena 1,91> 1,136).
18. BINOMIAL PROBABILITY DISTRIBUTION
18
BINOMIAL PROBABILITY DISTRIBUTION Distribusi probabilitas diskrit yang terjadi secara
luas.
Untuk menggambarkan hasil eksperimen dengan distribusi binomial, ada empat persyaratan:
1. Hanya ada dua kemungkinan hasil pada uji coba eksperimental tertentu.
2. Variabel acak adalah jumlah keberhasilan untuk sejumlah percobaan tetap dan diketahui.
3. Probabilitas sukses dan itu sama untuk setiap percobaan.
4. Uji coba bersifat independen, artinya hasil satu uji coba tidak mempengaruhi hasil uji coba
lainnya.
19. 19
dimana:
C menunjukkan kombinasi.
n adalah jumlah percobaan.
x adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai jumlah keberhasilan.
π adalah probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan
Misalnya, jika Perusahaan Hannah Landscaping menanam 10 pohon pinus dengan mengetahui bahwa 90%
dari pohon ini bertahan hidup. Kita dapat menghitung probabilitas binomial bahwa tepat 8 pohon bertahan.
Dalam hal ini jumlah percobaan 10 pohon, probabilitas keberhasilan 0,90, dan jumlah keberhasilan delapan.
Faktanya, kita dapat menghitung probabilitas binomial untuk sejumlah keberhasilan dari 0 hingga 10 pohon
yang masih hidup.
20. EXAMPLE
20
Ada lima penerbangan setiap hari dari Pittsburgh melalui American Airlines ke Bandara Regional
Bradford di Bradford, Pennsylvania.
Misalkan probabilitas setiap penerbangan datang terlambat adalah 0,20. (π = 0,20)
Berapa probabilitas bahwa tidak ada penerbangan yang terlambat hari ini? Berapa probabilitas salah
satu penerbangan terlambat hari ini?
• Ada lima penerbangan, jadi n = 5, dan X, variabel acak, mengacu pada jumlah keberhasilan. Dalam hal ini,
"sukses" adalah penerbangan yang datang terlambat. Variabel acak, x, bisa sama dengan 0 penerbangan
terlambat dalam lima uji coba, 1 penerbangan terlambat dalam lima uji coba, atau 2, 3, 4, atau 5.
• Probabilitas untuk tidak ada kedatangan terlambat, x = 0, adalah,
• Probabilitas bahwa tepat satu dari lima penerbangan akan tiba terlambat hari ini adalah 0,4096,
23. 23
Di Southwest, 5% dari semua panggilan telepon seluler terputus. Berapa probabilitas
bahwa dari enam panggilan yang dipilih secara acak, tidak ada yang dibatalkan? Tepat
satu? Tepat dua? Tepat tiga? Tepat empat? Tepat lima? Tepat enam dari enam?
Kondisi binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua kemungkinan hasil (panggilan tertentu putus
atau tidak putus), (b) ada sejumlah percobaan tetap (6), (c) ada kemungkinan konstan sukses
(0,05), dan (d) uji coba independen.
24. 24
Tentu saja, ada sedikit peluang untuk mendapatkan tepat lima panggilan
terputus dari enam pilihan acak. Ini adalah 0,00000178, ditemukan
dengan memasukkan nilai yang sesuai dalam rumus binomial:
Untuk enam dari enam, probabilitas pastinya adalah 0,000000016. Jadi,
kemungkinannya sangat kecil bahwa lima atau enam panggilan akan
dibatalkan dalam enam percobaan.
Kita dapat menghitung nilai rata-rata atau nilai yang diharapkan dari
distribusi angka yang rusak
26. HYPERGEOMETRIC PROBABILITY DISTRIBUTION
26
1. Hasil pada setiap percobaan eksperimen diklasifikasikan ke dalam
salah satu dari dua kategori yang saling eksklusif — berhasil atau gagal.
2. Variabel acak adalah jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan
tetap.
3. Pengadilan tidak independen.
4. Kami berasumsi bahwa kami mengambil sampel dari populasi terbatas
tanpa penggantian dan n / N> 0,05. Jadi, kemungkinan keberhasilan
berubah untuk setiap percobaan.
28. EXAMPLE
28
PlayTime Toys Inc. mempekerjakan 50 orang di Departemen Perakitan. 40 karyawan tergabung dalam
serikat pekerja dan 10 lainnya tidak. 5 karyawan dipilih secara acak untuk membentuk komite untuk bertemu
dengan manajemen mengenai waktu mulai shift. Berapa probabilitas empat dari lima yang dipilih untuk
komite adalah anggota serikat pekerja?
Populasi dalam hal ini adalah 50 orang pegawai Departemen Perakitan. Seorang karyawan hanya dapat
dipilih satu kali untuk komite. Oleh karena itu, pengambilan sampel dilakukan tanpa penggantian. Jadi,
kemungkinan memilih seorang pekerja serikat, misalnya, berubah dari satu percobaan ke percobaan
berikutnya. Distribusi hipergeometrik sesuai untuk menentukan probabilitas. Dalam masalah ini,
N adalah 50, jumlah karyawan.
S adalah 40, jumlah pekerja serikat pekerja.
x adalah 4, jumlah serikat pekerja yang dipilih.
n adalah 5, jumlah karyawan yang dipilih.
Kami ingin menemukan probabilitas 4 dari 5 anggota komite menjadi anggota serikat pekerja. Memasukkan
nilai-nilai ini ke dalam rumus
Jadi, kemungkinan memilih 5 pekerja perakitan secara acak dari 50 pekerja dan menemukan 4
dari 5 adalah anggota serikat adalah 0,431.
30. HYPERGEOMETRIC PROBABILITY DISTRIBUTION
30
Distribusi probabilitas Poisson menggambarkan berapa kali
beberapa peristiwa terjadi selama interval tertentu. Contoh
interval mungkin waktu, jarak, luas, atau volume.
Ada 2 asumsi:
1. Probabilitas sebanding dengan Panjang interval.
2. Interval tidak bergantung (independent).
31. 31
Dengan kata lain, semakin lama intervalnya, semakin besar probabilitas, dan jumlah kemunculan dalam satu
interval tidak mempengaruhi interval lainnya.
Distribusi ini adalah bentuk pembatas dari distribusi binomial ketika probabilitas keberhasilan sangat kecil
dan n besar.
Ini sering disebut sebagai "law of improbable events", yang berarti probabilitas, π, dari peristiwa tertentu
terjadi cukup kecil.
Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit karena dibentuk dengan penghitungan.
KARAKTERISTIK EKSPERIMEN PROBABILITAS POISSON
1. Variabel acak adalah berapa kali beberapa peristiwa terjadi selama interval yang ditentukan.
2. Probabilitas acara sebanding dengan ukuran intervalnya.
3. Interval tidak tumpang tindih dan tidak bergantung.
32. 32
dimana:
μ (mu) adalah jumlah rata-rata kejadian (keberhasilan) dalam interval tertentu.
e adalah konstanta 2,71828 (basis dari sistem logaritmik Napierian).
x adalah jumlah kemunculan (keberhasilan).
P (x) adalah probabilitas untuk nilai x tertentu.
33. 33
Varians Poisson sama dengan meannya. Jika, misalnya, probabilitas cek yang diuangkan oleh
bank akan terpental adalah .0003, dan 10.000 cek dicairkan, mean dan varians untuk jumlah
cek yang tidak sesuai adalah 3.0, ditemukan oleh μ = nπ = 10.000 (.0003 ) = 3.0.
Ingatlah bahwa untuk distribusi binomial ada sejumlah percobaan tetap. Misalnya, untuk tes
pilihan ganda empat pertanyaan hanya boleh ada nol, satu, dua, tiga, atau empat keberhasilan
(jawaban benar). Variabel acak, x, untuk distribusi Poisson, bagaimanapun, dapat
mengasumsikan jumlah nilai yang tak terbatas — yaitu, 0, 1, 2, 3, 4, 5,. . . Namun,
kemungkinannya menjadi sangat kecil setelah beberapa kejadian pertama (keberhasilan).
34. EXAMPLE
34
Budget Airlines adalah maskapai penerbangan musiman yang mengoperasikan penerbangan dari Pantai
Myrtle, Carolina Selatan, ke berbagai kota di timur laut. Tujuannya termasuk bandara Boston, Pittsburgh,
Buffalo, dan bandara LaGuardia dan JFK di New York City. Baru-baru ini Anggaran telah mengkhawatirkan
jumlah tas yang hilang. Ann Poston dari Departemen Analisis diminta untuk mempelajari masalah tersebut.
Dia secara acak memilih sampel dari 500 penerbangan dan menemukan bahwa total dua puluh tas hilang
pada penerbangan sampel.
bagaimana situasi ini mengikuti distribusi Poisson. Berapa rata-rata jumlah bagasi yang hilang per
penerbangan? Bagaimana kemungkinan tidak ada tas yang hilang dalam penerbangan? Berapa
probabilitas setidaknya satu tas hilang?
35. PEMBAHASAN
35
Untuk memulai, pastikan situasi Budget Airlines mengikuti Distribusi Poisson.
Lihat kotak yang disorot berlabel Eksperimen Probabilitas Poisson di bagian ini. Hitung jumlah bagasi yang
hilang pada penerbangan tertentu. Pada sebagian besar penerbangan, tidak ada tas yang hilang, pada
beberapa penerbangan ada yang hilang, dan mungkin dalam keadaan yang sangat jarang lebih dari satu tas
hilang. Kontinum atau interval adalah khusus penerbangan.
Setiap penerbangan diasumsikan tidak tergantung pada penerbangan lainnya.
Berdasarkan informasi sampel, kami dapat memperkirakan jumlah rata-rata bagasi yang hilang per
penerbangan. Ada 20 bagasi hilang dalam 500 penerbangan sehingga jumlah rata-rata bagasi yang hilang per
penerbangan adalah 0,04, ditemukan pada 20/500.
Karenanya μ = .04. Gunakan rumus (6–7) untuk menemukan probabilitas sejumlah tas yang hilang. Dalam
kasus ini x, jumlah bagasi yang hilang adalah 0.
