1. Konstruktimi i grafikut të funksionit
Metodat për studimin e funksionit të shqyrtuara në paragrafët e mëparshëm të
këtij kapitulli na japin mundësi të gjykojmë në mënyrë shumë të plotë mbi karakterin e
ndryshimit të funksionit dhe mbi grafikun e tij, bile na lejojnë që këtë grafik ta ndërtojmë
në mënyrë të plotë me më pakë punë. Nga ana tjetër grafiku i funksionit na bënë të
mundur ti konstatojmë edhe disa veti të cilat nga formula me të cilën është dhënë
funksioni është vështirë apo e pamundur të konstatohen.
Për të ndërtuar grafikun e një funksioni zakonisht duhen bërë këto veprime:
1o Caktohet zona e përkufizimit (domena) e funksionit.
2o Shqyrtohet simetria e funksionit dhe perioda, nëse ai është periodik.
3o Gjenden zerot e funksionit dhe caktohet shenja në intervalet e përkufizimit.
4o Me ndihmën e limiteve të njëanshme studiohet të sjellurit e funksionit në skaje të
zonës së përkufizimit.
5 Gjenden asimptotat.
o
6o Gjenden intervalet e monotonisë dhe vlerat ekstreme.
7o Caktohen intervalet e konkavitetit, konveksitetit dhe pikat e infeksionit.
8o Në bazë të rezultateve të fituara konstruktohet grafiku.
Shembull 1. Të shqyrtojmë dhe të paraqesim grafikisht funksioni
x3
f ( x) = .
2( x + 1)2
Zgjidhje. 1o Zona e përkufizimit është ¡ {−1}.
2o Funksioni është jo simetrik dhe jo periodik
3o Zero dhe shenja e funksionit
( f ( x) = 0) ∧ (( x < 0) f ( x) < 0) ∧ (( x > 0) f ( x) > 0)
3 Të sjellurit e funksionit në skaje të zonës së përkufizimit. Kemi:
o
x3
lim f ( x) = lim = −∞
x →−∞ x →−∞ 2( x + 1) 2
3
 1
 −1 − ÷
 1
lim− f ( x) = lim f  −1 − ÷ = lim 
n
2
x →−1 n →∞
 n n →∞
 1 
2  −1 − + 1 ÷
 n 
3
1  1
= lim n 2  −1 − ÷ = −∞.
2 n →∞  n
3
 1
 −1 + ÷
 1
lim+ f ( x) = lim f  −1 + ÷ = lim 
n
2
x →−1 n →∞
 n  n →∞  1 
2  −1 + + 1÷
 n 

2. 3
1  1
=
lim n 2  −1 + ÷ = −∞.
2 n →∞  n
3
x
lim f ( x) = lim = +∞.
x →+∞ x →+ 2( x + 1) 2
5o Asimptotat e funksionit. Drejtëza x = −1 është asimptotë vertikale e grafikut të
1
funksionit. Asimptotë horizontale nuk ka, kures drejtëza y = x − 1 është asimptotë e
2
pjerrtë. Me të vërtetë
f ( x) x3 1
a = lim = lim =
x →± ∞ x x →± ∞ 2 x ( x + 1) 2 2
 x3 1  2 x2 + x
b = lim ( f ( x) − ax) = lim  − x ÷ = − lim = −1
x →± ∞ x →± ∞ 2( x + 1) 2 2  x →± ∞ 2( x + 1) 2

6o Rritja dhe zvogëlimi i funksionit. Kemi:
 1 x 2 ( x + 3) 
 f '( x) − ÷ ⇒ ( f '( x) = 0) ⇒ ( x = 0) ∨ ( x = −3)).
 2 ( x + 1)3 
Formojmë tabelën:
x (−∞, −3) -3 (-3, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞)
f' + 0 - ∃ + 0 +
f Z Max ] Z Z
Prej nga vërejmë se funksioni është zvogëlues në intervalin (-3, -1) kurse në
(−∞, −3) ∪ (−1, +∞) është rritës. Në pikën x = −3 funksioni ka maksimum dhe ate
 3
Max  −3, −3 ÷.
 8
7. Konkaviteti, konveksiteti dhe pikat e infeksionit. Kemi:
 3x 
 f "( x) = ÷ ⇒ (( f "( x) = 0) ⇒ ( x = 0)).
 ( x + 1) 4 
Formojmë tabelën
x (−∞, −1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞)
f" - ∃ - 0 +
f konveks konveks Inf. Konkav
Prej nga vërejmë se funksioni i dhënë është konveks në (−∞, −1) ∪ (−1, 0), kurse konkav
në (0, +∞). Në pikën x = 0 funksioni ka infeksion dhe ate I (0, 0).

3. y
−3 −1
O 2 x
1
y= x −1
1 2
3
−3
8
Fig.
Shembull 2. Të shqyrtojmë dhe të paraqesim grafikisht funksioni
x3
f ( x) = .
x−2
Zgjidhje. 1o Zona e përkufizimit. Funksioni i dhënë është i përkufizuar për ato vlera të
ndryshme x për të cilat:
 x3 
 ≥ 0 ÷∧ ( x ≠ 2) ⇔ ( x ≤ 0 ∧ x − 2 < 0) ∧ x ≠ 2)
 x−2 
∨ ( x ≥ 0 ∧ x − 2 > 0) ∧ x ≠ 2)
⇔ ( x ≤ 0 ∧ x < 2) ∨ ( x ≥ 0 ∧ x > 2)
⇔ (−∞, 0] ∪ (2, +∞).
2 Funksioni është josimetrik
o
3o Zerot dhe shenja e funksionit. Funksioni është jonegativ në tërë zonën e përkufizimit.
dhe ( f ( x ) = 0) ⇒ ( x = 0).
4o Të sjellurit në skaje të zonës së përkufizimit. Kemi:
x3
lim f ( x) = lim = +∞.
x →−∞ x →−∞ x−2