Nel seminario verranno presentati due problemi applicativi che nascono nell'ambito dell'ingegneria strutturale e che richiedono la risoluzione di problemi a larga scala: il primo è un problema di ottimizzazione non lineare vincolato legato alla progettazione di strutture aeronautiche, mentre il secondo è un problema agli autovalori vincolato risultante dall'analisi modale di edifici storici in muratura. Verrà analizzata la struttura dei problemi e verranno proposte strategie numeriche ad hoc per la loro risoluzione in grado di gestire sia le grandi dimensioni che i vincoli sulle variabili. Nel primo caso proporremo l'utilizzo di strategie "multilevel" e nel secondo caso sfrutteremo tecniche di algebra lineare per matrici sparse.

1. Analisi numerica di problemi di ingegneria
strutturale
Margherita Porcelli
Seminari di Analisi Numerica
Marzo 11, 2013 - Pisa

2. The NOSA-ITACA project
The NOSA-ITACA project (2011-2013, Cultural Heritage)
◮ Partners: ISTI -CNR Research Area of Pisa
Department of Constructions and Restoration - UNIFI
◮ Application: to support the activities of safeguarding and
strengthening historic masonry constructions.
◮ Numerical analysis: methods for large constrained eigenvalue
problems.
◮ Funded by PAR FAS Regione Toscana
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3. The NOSA-ITACA project
Tools for the modelling and assessment of the structural behaviour of ancient
masonry constructions: the NOSA-ITACA code
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4. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
The modal analysis
◮ The modal analysis is the study of the dynamic properties of
structures under vibrational excitation.
Free vibration equilibrium equations with dumping neglected
¨
M U + KU = 0
• U ∈ IRn is the FE displacement vector (time dependent).
• K , M ∈ IRn×n are the stiffness and mass matrix of the FE
assemblage.
• n = total number of degrees of freedom (DOF) of the system.
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5. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
◮ The solution of the equilibrium equation can be postulated to be of
the form
U = u sin(ω(t − t0 )),
◮ u ∈ I n , t is the time variable, t0 a time constant,
R
◮ ω a constant that represents the frequency of vibration
(rad/sec) of the vector u.
Find the s ≪ n smallest eigenpairs of the generalized eigenproblem
(GEP)
K u = ω2 M u
◮ The solution of the (GEP) allows to find the various periods at which a
structure naturally resonates.
◮ The number of frequencies of interest is mainly related to the geometry
of the structure and its mass distribution.
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6. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
Constraints: C u = 0, C ∈ IRm×n , m ≪ n
Fixed (single-point) constraints
ui = 0, i ∈ IF
where ui is the displacement of a single DOF (e.g. imposition
Dirichlet boundary conditions).
Master-Slave (multi-points) constraints or tying relations
There exists a subset IS ⊂ {1, . . . , n} such that
us = csm um , s ∈ IS , m ∈ IMs ⊂ {1, . . . , n} IS
m∈IMs
us is the slave DOF whereas um are the master DOFs.
◮ These constraints are crucial, e.g., in modeling the contact interaction
between masonry and reinforcement.
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7. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
The constrained eigenvalue problem
K u = λM u subject to C u = 0
K , M ∈ IRn×n pos. semidef. sparse and symmetric, C ∈ IRm×n full
row rank and K is pos. def. on the Null (C ).
Unconstrained reformulations
◮ Condensed problem: let Z ∈ IRn×(n−m) be an orthonormal matrix whose
columns span null(C ),
(Z T KZ ) v = λ (Z T MZ ) v , v = Z T u ∈ IR(n−m)
[Hitziger,Mackens,Voss 1995]
◮ Augmented problem:
K CT u M 0 u
=λ , y ∈ IRm .
C 0 y 0 0 y
[Baker, Lehoucq 2007]
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8. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
Forming a basis for null (C )
Lemma
Let C ∈ IRm×n a full row rank matrix and let C = GH a
rank-retaining factorization, i.e. let G ∈ IRm×m , H ∈ IRm×n with
rank(G ) = rank(H) = m.
Moreover, let H be partitioned as
H = [Hm Hn−m ]
Hm ∈ IRm×m non singular and Hn−m ∈ IRm×(n−m) .
Then, the columns of the matrix Z ∈ IRn×(n−m) given by
−1
−Hm Hn−m
Z =
In−m
form a basis for null (C ).
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9. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
Results for Master-Slave constraints
Let the columns of C be ordered so that C = [CIF CIS CIM CIU ], then
C = GH, with G = Im , H = C
is a rank-retaining factorization and
Hm = [CIF CIS ] and Hn−m = [CIM 0].
Then
−[CIM 0]
Z=
In−m
◮ If K , M are sparse ⇒ the projected matrices Z T KZ , Z T MZ
are sparse (m ≪ n).
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10. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
Results for Master-Slave constraints
Let the columns of C be ordered so that C = [CIF CIS CIM CIU ], then
C = GH, with G = Im , H = C
is a rank-retaining factorization and
Hm = [CIF CIS ] and Hn−m = [CIM 0].
Then
−[CIM 0]
Z=
In−m
◮ If K , M are sparse ⇒ the projected matrices Z T KZ , Z T MZ
are sparse (m ≪ n).
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11. The NOSA-ITACA project
Large eigenvalue problems
Sparsity pattern of the (left) and of its projection (right) of
a walls-roof structure
Stiffness matrix K Projected stiffness matrix Z T KZ
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12. The NOSA-ITACA project
Open-source software to be embedded in NOSA-ITACA
◮ Performed CPU time competitive with MARC (MSC software).
◮ In progress: comparison with DACG [Gambolati, Bergamaschi, Pini 1997]
and JD [Sleijpen, Van der Vost, Bai 1999]
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13. The NOSA-ITACA project
Case studies
Case studies
◮ Torre delle Ore (Lucca): Fixed constraints
◮ S. Francesco (Lucca): Fixed and Master-Slave constraints of
the form
us = um , s ∈ IS , m ∈ IM
n |IF | |IS | |IM |
TdO 46164 320 0 0
SF 61881 2662 54 54
m = |IF | + |IS | N = n−m bandwidth
TdO 320 45844 1239
SF 2716 59165 11769
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14. The NOSA-ITACA project
Case studies
Torre delle Ore
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15. The NOSA-ITACA project
Case studies
Torre delle Ore: ν = 0.67
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16. The NOSA-ITACA project
Case studies
Torre delle Ore: ν = 0.88
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17. The NOSA-ITACA project
Case studies
S. Francesco
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18. The NOSA-ITACA project
Case studies
S. Francesco: ν1 = 0.552
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19. The NOSA-ITACA project
Case studies
S. Francesco: ν = 2.245
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20. The NOSA-ITACA project
Case studies
Thanks for your attention
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