Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những phép biến đổi dãy số
1. www.VNMATH.com
biến đổi, khai triển và ước lược để tìm giới hạn dãy tổng
laisac biên soạn
Trong các kì thi Oluympic , HSG ta thường thấy có nhiều bài toán tìm giới hạn dãy tổng.
Đôi lúc, để giải được dạng này ta phải biến đổi từ điều kiện giả thiết đã cho của dãy, từ đó khai triển và
ước lược để đưa về dãy tổng cần tìm đơn giản hơn , ta có thể tính được giới hạn của nó .
Dưới đây là các bài toán của tác giả và sưu tầm lấy từ tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ để minh họa cho
chuyên đề này.
1
Bài 1:Xét dãy số (xn ) (n=1,2,3.....) được xác định bỡi :x1 = 2 và xn+1 = (x2 + 1) với
2 n
mọi n =1,2,3...
1 1 1
Đặt Sn = + + .... + .
1 + x1 1 + x2 1 + xn
Tính phần nguyên của S2009 và tính giới hạn của Sn khi n tăng lên vô hạn.
HD:Ta có thể tổng quát bài toán như sau:
u1 = a
Cho dãy un thỏa mãn u2 − (b + c)un + c2
un+1 = n
b−c
n 1 1 1
Tính chứng minh Sn = = − .
i=1 ui + b u1 + c un+1 + c
u2 − (b + c)un + c2
Thật vậy, ta biến đổi un+1 = n
b−c
u2 − (b + c)un + bc
n (un + b)(un + c)
⇒ un+1 + c = =
b−c b−c
1 1 1 1 1 1
⇒ = − ⇒ = −
un+1 + c un + c u n + b un + b un + c un+1 + c
Khai triển và ước lược dãy:
1 1 1
= −
u1 + b u1 + c u2 + c
1 1 1
= −
u +b u2 + c u3 + c
.2
.
.
1 1 1
= −
un + b un + c un+1 + c
1 1
Do đó Sn = −
u1 + c un+1 + c
Vận dụng:Ta có thể giải bài toán trên bằng phép biến đổi này (b=1,c=-1)
1 1 1
Khi đó Sn = − =1−
u 1 − 1 un − 1 un − 1
1 2
Mà un+1 − un = (un − 1) > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng ⇒ 2 = u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ ....
2
Giả sử limun = a(a > 2) ⇒ 2a = a2 + 1 ⇒ a = 1 (vô lí)
1
Vậy limun = ∞ ⇒ lim =0
un − 1
1
2. 1
Do đó phần nguyên S2009 = 0 vì 0 < < 1 và limSn = 1
www.VNMATH.com
u2009 − 1
n 1
u1 = 2009
Bài 2: Cho dãy un thỏa mãn: . Tính lim .
un+1 = u2 − un + 1
n i=1 un
HD: Ta có un+1 − un = (un − 1)2 > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng
Giả sử (un ) có giới hạn. Đặt limun = L(L > 2009)
Ta có L = L2 − L + 1 ⇒ L = 1 (vô lí)
1
⇒ limun = ∞ ⇒ lim = 0
un
Ta còn có un+1 = u2 − un + 1 ⇒ un+1 − 1 = un (un − 1)
n
1 1 1 1
⇒ = = −
un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 u n
1 1 1
Vậy = −
un un − 1 un+1 − 1
Khai triển và ước lược ta có :
1 1 1
= −
u1 u1 − 1 u2 − 1
1 1 1
= −
u u2 − 1 u3 − 1
.2
.
. n 1 1 1 1 1 1
Sn = = − ⇒ limSn = lim( − )=
i=1 ui u1 − 1 un+1 − 1 2009 − 1 un+1 − 1 2008
Bài 3: Cho dãy số xn , n = 1, 2, 3... được xác định như sau:
x1 = 1 và xn+1 = xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1 với n = 1, 2, ...
n 1
Đặt yn = , (n = 1, 2, ....) .Tính giới hạn của yn khi n dần đến vô tận.
i=1 xi + 2
HD: Ta có:
xn+1 = (x2 + 3xn )(x2 + 3xn + 2) + 1 = t(t + 2) + 1 = (t + 1)2 = x2 + 3xn + 1
n n
trong đó 0 < t = x2 + 3xn .
n
Xét xn+1 − xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈ N ∗ ⇒ (xn ) là dãy tăng
Giả sử :limxn = a(a > 1) ⇒ a = a2 + 3a + 1 , vô nghiệm(vì a>1) ⇒ limxn = ∞
1 1 1 1 1 1 1
= 2 = − ⇒ = −
xn+1 + 1 xn + 3xn + 2 xn + 1 x n + 2 xn + 2 xn + 1 xn+1 + 1
Khai triển và ước lược ta có:
1 1 1
= −
x1 + 2 x1 + 1 x2 + 1
1 1 1
= −
x +2 x2 + 1 x3 + 1
.2
.
.
1 1 1
⇒ limyn = lim( − )= .
x1 + 1 xn+1 + 1 2
a1 = 1; a2 = 3
Bài 4: Cho dãy số an xác định bỡi: n=1,2,3...
an+2 = 2an+1 − an + 1
1 1 1
Tính giới hạn tổng Sn = + + ... + . Khi n dần đến vô tận.
a1 a2 an
n(n + 1)
HD: Cách 1: Ta chứng minh :an = .
2
Thật vậy: Theo phương pháp qui nạp. Ta nhận thấy a1 , a2 đúng
2
3. k(k + 1)
Giả sử ak =
2 www.VNMATH.com
(k + 1)(k + 2)
Ta có ak+1 = 2ak − ak−1 + 1 = .
2
Theo nguyên lí qui nạp ta có điều chứng minh.
n(n + 1) 1 1 1
Vậy:an = ⇒ = 2( − )
2 an n n+1
1 2n
⇒ limSn = lim2(1 − ) = lim =2
n+1 n+1
Cách 2: Từ giả thiết suy ra
an+2 − an+1 = an+1 + 1
.
.
.
a3 − a2 = a2 − a1 + 1
cộng lại ta có:an = an−1 + n = (an−2 + n − 1) + n.....
n(n + 1)
⇒an = 1 + 2 + 3 + ..... + n =
2
Bài 5: Cho dãy số (un ) được xác định như sau:
n 1
u1 = 1
∀n = 1, 2, 3....... Tính lim
un+1 = 1 + u1 .u2....un i=1 ui
HD: Ta có u1 = 1 ⇒ u2 = 2, un+1 = 1 + u1.u2...un−1.un = 1 + (un − 1).un
⇒ un+1 = u2 − un + 1
n
Chứng minh được (un ) là dãy tăng và limun = ∞
Ta còn có un+1 − 1 = un (un − 1)∀n ≥ 2
1 1 1 1
⇔ = = − ∀n ≥ 2
un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 u n
1 1 1
⇔ = − ∀n ≥ 2
un un − 1 un+1 − 1
1 1 1 1
Từ đó Sn = + + + ... +
u 1 u2 u3 un
1 1 1 1 1 1 1
⇔ Sn = + − + − + ... + −
u 1 u2 − 1 u 3 − 1 u 3 − 1 u 4 − 1 un − 1 un+1 − 1
1 1 1 1
⇔ Sn = + − =2−
u1 u2 − 1 un+1 − 1 un+1 − 1
1
Do đó limSn = 2 vì lim =0
un+1 − 1
√
Bài 6: Cho dãy số un thỏa mãn u1 = 2009; un+1 = un ( un + 1)2 ;với n= 1, 2, 3....
n 1
Tính lim √
i=1 ui + 1
√ √ √ √
HD: Ta có un+1 = un ( un + 1)2 ⇒ un+1 = un ( un + 1)
1 1 1 1 1 1 1
⇒√ =√ √ =√ −√ ⇒√ =√ −√
un+1 un ( un + 1) un un + 1 un + 1 un un+1
Khai triển và ước lược ta suy ra kết quả
2008 2008
Bài 7: Cho dãy số (xn ) định bởi x1 = ,xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1);
n
2009 2009
n=1,2,3... Tính lim x2 i
i=1
2008
HD: Ta có xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1)
2009
2
⇒ xn+1 = (1 − xn ).xn ⇒ xn = xn − xn+1
3
4. Khai triển và ước lược ta có:
n www.VNMATH.com
2008
Sn = x2 = x1 − xn+1 ⇒ limSn =
i
i=1 2009
1
Bài 8: Cho dãy số (un ) có un = với n = 1, 2, 3....
n(n + 1)(n + 2)......(n + 2008)
n
Tính lim ui
i=1
(n − 1)! n + 2008 − n (n − 1)! n! 1
HD: Số hạng un = . =[ − ].
(n + 2008)! 2008 (n + 2007)! (n + 2008)! 2008
1 1 n!
Cho n = 1, 2, 3, .....2008 , rồi cộng lại ta được. Sn = [ − ]
2008 2008! (n + 2008)!
n! 1
Mà lim = lim =0
(n + 2008)! (n + 1)(n + 2).....(n + 2008)
1 1 n! 1
⇒ Sn = lim [ − ]=
2008 k! (n + 2008)! 2008.2008!
k i
Bài 9: Cho dãy xk , với xk = , k=1, 2, 3....
i=1 (i + 1)!
√ n
Tính lim n x1 + xn + .... + xn
2 2009
k+1
HD: Vì xk+1 −xk = > 0. Do đó dãy trên tăng. Suy ra 0 < x1 < x2 < ..... < x2009
(k + 2)!
hay xn < xn + xn + .... + xn < 2009xn
2009 1
√ 2 2009 2009
1
suy ra x2009 < n xn + xn + ... + xn < 2009 n x2009 (*)
1 2 2009
k 1 1
Mặt khác ta có: = −
(k + 1)! k! (k + 1)!
1 1
Từ đó suy ra xk = 1 − ⇒ x2009 = 1 −
(k + 1)! 2010!
1
1 1
Thay kết quả này vào (*) ta có: 1 − < xn + xn + ... + xn < 2009 n (1 −
n
1 2 2009 )
2010! 2010!
1
1 1 1
Nhưng vì lim(1 − ) = lim 2009 n (1 − )=1− .
2010! 2010! 2010!
√ 1
Vậy theo định lí kẹp ta có:lim n xn + xn + ... + xn = 1 −
1 2 2009 .
2010!
Bài cấp số cộng.
Bài 10:
Cho x, y, z là ba góc thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2π
cos x + cos y + cos z = 0
sin x + sin y + sin z = 0
Chứng minh rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng .
cos x + cos y = − cos z
HDTừ giả thiết của hệ suy ra
sin x + sin y = − sin z
1
Bình phương hai vế tương ứng , rồi cộng lại ta có cos(x − y) = −
2
1
Hoàn toàn tương tự ta cũng có cos(y − z) = cos(z − x) = −
2
2π 4π
Vì 0 ≤ y − x; z − x; z − y ≤ 2π ⇒y-x, z-y, z-x nhận một trong hai giá trị ; .
3 3
4
5. 4π 2π
nhưng vì z-x=(z-y)+(y-x) nên chỉ có thể xảy ra z − x = ;z − y = y − x = .
www.VNMATH.com 3 3
Suy ra điều phải CM.
A B C
Bài 11: Trong tam giác ABC có cot( ); cot( ); cot( ) lập thành một cấp số cộng.
2 2 2
Tìm góc lớn nhất của tam giác đó.
B A C
HD:Ta có 2cot( ) = cot( ) + cot( ).
2 2 2
A C
Biến đổi đưa về 3tan( ).tan( ) = 1
2 2
A C A A
Từ đó cot( ).cot( ) = 3 ⇔ cot( )[cot( + 2] = 3
2 2 2 2
A
Giải phương trình này ta được một nghiệm thích hợp cot( ) = 1.
2
Vậy góc lớn nhất của tam giác bằng 900
1 1 1
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 6 + 6b
+
cos a cos cos6 c
π
Trong đó ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng với công sai bằng .
3
π π
HD:Theo giả thiết thì a = b − và c = b + .
3 3
Đặt cos2 b = t, 0 < t ≤ 1 và cos3 b = m, 0 < m ≤ 1 thì
π
cos3 a = cos3 ( − b) = cos2 3b = m;
3
π
cos3 c = cos3 ( + b) = cos2 3b = m;
3
Và (4cos3 b − 3cosb)2 = cos2 b(4cos2 b − 3)2 = m
Hay phương trình 16t3 − 24t2 + 9t − m = 0, 0 < m ≤ 1 có các nghiệm
π π
t1 = cos2 b, t2 = cos2 ( − b), t3 = cos2 ( + b)
3 3
Suy ra phương trình mu3 − 9u2 + 24u − 16 = 0 có các nghiệm
1 1 1
u1 = 2b
, u2 = π , u3 = π .
cos cos2 ( − b) cos2 ( + b)
3 3
Khi đó P = u3 + u3 + u3 . Sử dụng hệ thức Vi-et và đẳng thức
1 2 3
u3 + u3 + u3 = (u1 + u2 + u3)3 − 3(u1 + u2)(u2 + u3)(u4 + u4), ta thu được:
1 2 3
9 3 9 9 9
P = ( ) − 3( − u1 )( − u2 )( − u3 )
m m m m
3 2 16 9
Hay P = P (x) = x − 8x + x, x = ≥ 9, (do0 < m ≤ 1).
3 m
16
Nhận xét rằng hàm số này có P’(x)== 3x2 − 16x + > 0,mọi x≥ 9 nên P(x) đồng biến
3
trong [9; + ∝). Suy ra minP = P(9) = 129, đạt được khi m = 1
π
Hay cos2 3b = 1 ⇔ sin3b = 0 ⇔ b = k .
3
π π
Do đó a = (k − 1) , c = (k + 1) ,, k là số nguyên.
3 3
hết
5