1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn Thi : TOÁN - Giáo Dục Trung Học Phổ Thông
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
1
Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 2 x 2
4
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0.
biết f ''( x 0 ) = −1
Câu 2. (3,0 điểm) : 1) Giải phương trình log 2 ( x − 3) + 2 log 4 3.log 3 x = 2
(e − 1) 2 e x dx.
ln2
2) Tính tích phân I = ∫ x
0
3) Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
x − m2 + m
f ( x) = trên đoạn [0;1] bằng -2
x +1
Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B và BA= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC)
bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1),
B(0;2;5) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x –y+5 =0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB
25i
Câu 5.a. (1,0 điểm) Tìm các số phức 2z + z và , biết z = 3-4i
z
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;2) và
x −1 y − 3 z
đường thẳng Δ có phương trình = =
2 2 1
1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua O và A
2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua O. Chứng minh Δ tiếp
xúc với (S)
1 + 9i
Câu 5.b. (1,0 điểm) Tìm các căn bậc hai của số phức z = − 5i
1− i
BÀI GIẢI
3
Câu 1: 1) MXĐ : R; y’ = x – 4x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2
y (0) = 0; y (±2) = -4; y = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 2 2
2 ⎛ 2 20 ⎞
y” = 3x2 – 4; y” = 0 ⇔ x = ± ; Điểm uốn là ⎜ ± ,− ⎟
3 ⎝ 3 9 ⎠
x −∞ −2 0 2 +∞
y' − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 0 +∞
−4 −4

2. y
Đồ thị :
-2 2
0 x
-2 2 2 2
-4
7
2. f ''(x 0 ) = −1 ⇔ 3x 2 -4=-1 ⇔ x 0 = ±1 ⇒ y(±1) = −
0
4
Hệ số góc của các tiếp tuyến là y’(-1) = 3 và y’(1) = -3, phương trình tiếp tuyến là:
7 7 5 5
y + = 3(x + 1) hay y + = −3(x − 1) ⇔ y = 3x + hay y = −3x +
4 4 4 4
Câu 2:
1) Với Đk : x > 3, phương trình đã cho tương đương :
log2(x – 3) + log23log3x = 2 ⇔ log2(x – 3) + log2x = 2
⇔ log2x(x – 3) = 2 ⇔ x(x – 3) = 22 ⇔ x = -1 (loại) hay x = 4
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.
ln 2
2) I= ∫ (e − 1) 2 e x dx Đặt t = ex – 1 ⇒ dt = exdx
x
0
1 1
t3 1
t(0) = 0, t(ln2) = 1 ⇒ I= ∫ t dt = = 2
0
30 3
1 − m + m2
3) f’(x) = > 0, ∀m . Vậy f đồng biến trên [0 ; 1] với mọi m.
(x + 1)2
⇒ Minf(x) = f(0) = − m 2 + m ,
x∈[0;1]
do đó yêu cầu bài toán ⇔ −m 2 + m = −2 ⇔ m = −1 hay m = 2
Câu 3 : Góc A’BA = 600 là góc của A’B và mặt phẳng ABC
1 B’
∆ABC vuông cân tại B nên S∆ABC= a 2 . ∆A’AB
2
là nửa tam giác đều nên có cạnh A’B = 2AB = 2a
AA’ = a 3 A’ C’
3
1 2 a 3
Vậy thể tích hình lăng trụ = a .a 3 =
2 2
B
A C
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Câu 4.a
⎧ x = 2 + 2t
uuu ⎪
r
1. Phương trình đường thẳng qua A có vectơ chỉ phương là AB : ⎨ y = 2
⎪ z = 1 − 4t
⎩

3. AB
2. Trung điểm I của AB là I = (1 , 2 , 3), và R = = 5
2
2.1 − 2 + 5
IH = = 5 =R
22 + 12 + 02
Vậy mặt phẳng (P) tiếp xúc với hình cầu có đường kính là AB.
Câu 5.a : z = 3 – 4i ⇒ z = 3 + 4i
2z + z = 2(3 − 4i) + 3 + 4i = 9 − 4i
25i 25i 25i(3 + 4i)
= = 2 = −4 + 3i
z 3 − 4i 3 + 42 uuu
r
Câu 4.b: 1/ OA qua O và VTCP OA = (2;1;2)
x y z
Phương trình chính tắc OA : = =
2 1 2
2/ R=OA = 4 +1+ 4 = 3
Phương trình mặt cầu (S) tâm A: ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2) 2 = 9
v uuuuv v uuuu v
Δ qua M(1;3;0) VTCP a = (2;2;1); AM = (-1;2;-2) ⇒ ⎡ a, AM ⎤ = (-6;3;6)
⎣ ⎦
v uuuu
v
a, AM 36 + 9 + 36 9
d (A, Δ ) = v = = = R . Vậy Δ tiếp xúc (S)
a 4 + 4 +1 3
−4 + 4i
Câu 5.b: z= = −4 = 4i 2 ⇒ căn bậc 2 của z là ± 2i
1− i
Trương Quang Ngọc, Trần Minh Quang
(Trường THPT Lạc Hồng – TP.HCM)