Giải hệ hoán vị vòng quanh, luyện thi học sinh giỏi toán, gia sư toán liên hệ: 0936 128 126

1. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Xét hệ phương trình ba ẩn dạng:
{ ở đây f là một hàm số.
Thông thường để giải hệ này ta dựa vào một số tính chất của hàm f như đồng biến,
nghịch biến…để chứng minh x = y = z rồi giải phương trình x = f(x). Từ đó tìm ra
nghiệm của hệ đã cho.
Sau đây là một số ví dụ:
Bài Toán 1: Giải hệ phương trình:
{
√
√
√
(1)
Lời giải
Điều kiện là: x, y, z . Viết (1) dưới dạng
{
√
√
√
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x; y; z trong hệ trên, ta có thể
giả sử x = min{x; y; z}.
Vì x nên √ √ √ √ hay .
Tức là: y = min{x; y; z} = x
Suy ra: x = y = z.
Từ đó ta được phương trình: √ . Giải PT này ta được:
√
.

2. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Vậy nghiệm của hệ là: (x; y; z) = (
√ √ √
)
Bài Toán 2: Giải hệ phương trình:
{ (2)
Lời giải
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x; y; z trong hệ trên, ta có thể
giả sử: x = max{x; y; z}
Vì
Suy ra: . Mà .
Lập luận ngược lại quá trình trên ta được:
Vậy x = z. Suy ra: x = y = z.
Từ đó ta được phương trình:
.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x; y; z) = (1; 1; 1)
Bài Toán 3: Giải hệ phương trình:
{ (3)
Lời giải

3. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Xét hàm số: f(t) = t3
+ t2
+ t – 2, t , dễ dàng chứng minh đây là hàm đồng biến.
Hệ đã cho được viết dưới dạng:
{
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: , vì f đồng biến nên
. Suy ra: . => x = y = z.
Từ đó ta được phương trình:
x3
+ x2
+ x – 2 = x
 x3
+ x2
– 2= 0
 (x3
- 1) + (x2
- 1) = 0
 (x - 1)(x2
+ 2x + 2) = 0
 x = 1
TH2: x < y. Chứng minh tương tự ta được: x < y < z < x. Vô lý.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x = y = z = 1.
Bài Toán 4: Giải hệ phương trình:
{ (4)
Lời giải
Viết (4) dưới dạng:
{

4. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Vì y3
= 6(x - 1)2
+ 2 √ .
Tương tự: √ .
Xét hàm số f(t) = 6t2
– 12t + 8 với √ . Dễ dàng chứng minh được f(t) là hàm
đồng biến. Làm tương tự Bài toán 3 được nghiệm của phương trình là:
(x; y; z) = (2; 2; 2)
Bài Tập Tự Luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
{ {
{ {
√
√
√