Tài liệu giới thiệu giải hệ phương trình ba ẩn bằng các phương pháp sử dụng tính chất của hàm số. Nhiều ví dụ cụ thể được đưa ra với các nghiệm khác nhau như (√√√), (1, 1, 1), và (2, 2, 2). Các bài toán đều có thể được chứng minh dựa trên tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số liên quan.

1. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Xét hệ phương trình ba ẩn dạng:
{ ở đây f là một hàm số.
Thông thường để giải hệ này ta dựa vào một số tính chất của hàm f như đồng biến,
nghịch biến…để chứng minh x = y = z rồi giải phương trình x = f(x). Từ đó tìm ra
nghiệm của hệ đã cho.
Sau đây là một số ví dụ:
Bài Toán 1: Giải hệ phương trình:
{
√
√
√
(1)
Lời giải
Điều kiện là: x, y, z . Viết (1) dưới dạng
{
√
√
√
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x; y; z trong hệ trên, ta có thể
giả sử x = min{x; y; z}.
Vì x nên √ √ √ √ hay .
Tức là: y = min{x; y; z} = x
Suy ra: x = y = z.
Từ đó ta được phương trình: √ . Giải PT này ta được:
√
.

2. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Vậy nghiệm của hệ là: (x; y; z) = (
√ √ √
)
Bài Toán 2: Giải hệ phương trình:
{ (2)
Lời giải
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của x; y; z trong hệ trên, ta có thể
giả sử: x = max{x; y; z}
Vì
Suy ra: . Mà .
Lập luận ngược lại quá trình trên ta được:
Vậy x = z. Suy ra: x = y = z.
Từ đó ta được phương trình:
.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x; y; z) = (1; 1; 1)
Bài Toán 3: Giải hệ phương trình:
{ (3)
Lời giải

3. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Xét hàm số: f(t) = t3
+ t2
+ t – 2, t , dễ dàng chứng minh đây là hàm đồng biến.
Hệ đã cho được viết dưới dạng:
{
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: , vì f đồng biến nên
. Suy ra: . => x = y = z.
Từ đó ta được phương trình:
x3
+ x2
+ x – 2 = x
 x3
+ x2
– 2= 0
 (x3
- 1) + (x2
- 1) = 0
 (x - 1)(x2
+ 2x + 2) = 0
 x = 1
TH2: x < y. Chứng minh tương tự ta được: x < y < z < x. Vô lý.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x = y = z = 1.
Bài Toán 4: Giải hệ phương trình:
{ (4)
Lời giải
Viết (4) dưới dạng:
{

4. Website: https://sites.google.com/site/toanhoctoantap
Vì y3
= 6(x - 1)2
+ 2 √ .
Tương tự: √ .
Xét hàm số f(t) = 6t2
– 12t + 8 với √ . Dễ dàng chứng minh được f(t) là hàm
đồng biến. Làm tương tự Bài toán 3 được nghiệm của phương trình là:
(x; y; z) = (2; 2; 2)
Bài Tập Tự Luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
{ {
{ {
√
√
√