1. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
ÔN THI VÀO L P 10 – MÔN TOÁN
PH N I: RÚT G N BI U TH C:
U Bài 1:
2 2
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: −
7 −5 7 +5
 2 x + x + 1  x − x 
1.2 Cho bi u th c: B =   1 − (
 : 1− x )
 1 + x  x −1 
a) Rút g n B.
b) Tính B khi x = 4 − 2 3
c) Tìm giá tr nh nh t c a B v i x ≥ 0; x ≠ 1.
U Bài 2:
3 3
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: −
3 +1 −1 3 +1 +1
x− y x x−y y
1.2 Cho bi u th c: M = −
x − y x + y + xy
a) Rút g n M.
b) V i đi u ki n nào c a x và y thì M = 0.
U Bài 3:
3− 5 3+ 5
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: +
3+ 5 3− 5
 x+2 x 1  x −1
1.2 Cho bi u th c: N =  + + :
 x x −1 x + x +1 1 − x  2
a) Rút g n N. b) Ch ng minh r ng: N > 0 v i x ≥ 0; x ≠ 1.
U Bài 4:
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: 2+ 3 + 2− 3
1 1 x x−x
1.2 Cho bi u th c: P = + +
x −1 − x x −1 + x x −1
53
a) Rút g n P. b) Tính P khi x = c) Tìm x đ P = 16.
9−2 7
Bài 5:
2( 2 + 6)
1.1 Tính giá tr c a bi u th c:
3 2+ 3
3 x+ 9x − 3 x +1 x −2
1.2 Cho bi u th c: K = − +
x+ x −2 x + 2 1− x
a) Rút g n K. b) Tính K khi x = 3 + 2 2 .
c) Tìm x nguyên dương đ K nh n giá tr nguyên.
1

2. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
U Bài 6:
1 1 3 2  4 1
1.1 Tính giá tr c a bi u th c:  ⋅ − 4,5 + 50  :
2 2 2 5  15 8
 x   1 2 x 
1.2 Cho bi u th c: A = 1 + : − 
 x +1   x −1 x x + x − x −1 
a) Rút g n A. b) Tính A khi x = 4 + 2 3 . c) Tìm x đ A > 1.
U Bài 7:
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: 4−2 3 − 3
x2 + x 2 x+ x
1.2 Cho bi u th c: B = +1−
x − x +1 x
a) Rút g n B. b) Tìm x đ B = 2. c) Tìm giá tr nh nh t c a B.
U Bài 8:
1 1
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: +
2+ 3 2− 3
 2 x+ x − 1 2 x x − x + x  x − x
1.2 Cho bi u th c: C = 1 +  − ⋅
 1− x 1− x x  2 x −1
6 2
a) Rút g n C. b) Cho C = ⋅ Tìm x ?. c) Ch ng minh: C > .
1+ 6 3
U Bài 9:
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: (2 2 − 5 + 18)( 50 + 5)
 x−5 x   25 − x x +3 x −5
1.2 Cho bi u th c: D =  − 1 :  − + 
 x − 25   x + 2 x − 15 x +5 x −3
a) Rút g n D. b) V i giá tr nào c a x thì D < 1.
U Bài 10:
2 7
1.1 Tính giá tr c a bi u th c: +
2 − 2 3− 2
 x x −1 x x +1  1  x +1 x −1 
1.2 Cho bi u th c: E =  − + x −  + 
 x− x x+ x   x  x −1 x +1
a) Rút g n E. b) Tìm x đ E = 6.
U Bài 11: U
1.1 So sánh hai s : 2005 − 2004 và 2004 − 2003
x2 − x 2 x+ x 2( x − 1)
1.2 Cho bi u th c: P = − +
x + x +1 x x −1
a) Rút g n P. b) Tìm giá tr nh nh t c a P.
2 x
c) Tìm x đ bi u th c Q = nh n giá tr là s nguyên.
P
2

3. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
U Bài 12: Tìm giá tr bi u th c sau:
U
1 3 4
a) A = − − . d) D = 2 + 2 + 2 + ... + 2
11 − 2 30 7 − 2 10 8+4 3
1 1 1 n d u căn
b) B = + + ........ + .
1+ 2 2+ 3 99 + 100
1 1 1
c) C = + + ........ + .
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 100 99 + 99 100
U Bài 13: Rút g n các bi u th c sau:
U
 x x 4 x −1  1
a) A =  + + :
 x +2 2− x x−4  x−4
3
b) B =
( x− y ) + 2x x+y y
+
3 ( xy − y )
x x+y y x− y
1 3 2
c) C = − +
x +1 x x +1 x − x +1
d) D =
x x + y y − xy ( x+ y )+ 2 y
( x − y) ( x+ y ) x+ y
1 1 1
Bài 14: Cho abc = 1. Tính: S = + + .
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac
U U
U Bài 15: U
2 x 2 − 4 x+5
a) Tìm GTLN c a bi u th c: A = 2 .
x − 2 x+2
b) Tìm giá tr nh nh t và l n nh t (n u có) c a bi u th c sau: P = − x 2 − 2 x+3 .
U Bài 16: Cho hai s th c x, y th a mãn: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN c a A = x + y.
U
PH N II. HÀM S B C NH T VÀ H PHƯƠNG TRÌNH:
U Bài 1: Cho hàm s : y = (3 − 2) x + 1
U
a) Hàm s đ ng bi n hay ngh ch bi n trên R? Vì sao?
b) Tính giá tr c a y bi t x = 3 + 2
c) Tính giá tr c a x bi t y = 3 + 2
U Bài 2: Cho hàm s : y = x + 2.
U
a) V đ th hàm s trên.
b) Các đi m sau có thu c đ th hàm s trên không?
3 7 1 5
A( ; ) , B( − ; )
2 2 2 2
U Bài 3: Cho hàm s : y = (m + 1)x + 5
U
a) V đ th hàm s trên v i m = 1.
b) Tìm m đ hàm s đ ng bi n; ngh ch bi n.
3

4. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
Bài 4: Cho hàm s : y = (m2 – 3)x + 2 có đ th (d).
U U
a) Tìm m đ hàm s đ ng bi n; ngh ch bi n?
b) V (d) v i m = 2.
c) Tìm m đ (d) đi qua A(1; 2).
d) Tìm m đ (d) đi qua B(1; 8).
Bài 5: Cho hàm s : y = (m – 1)x + m + 1 có đ th (d).
U U
a) Tìm m đ (d) c t tr c tung t i đi m có tung đ b ng 2. V (d) v i m v a tìm đư c.
b) Tìm m đ (d) c t tr c hoành t i đi m có hoành đ b ng -3. V (d) v i m v a tìm đư c.
c« ) Tìm m bi t (d) t o v i tr c hoành m t góc b ng 450.
Bài 6: Vi t phương trình đư ng th ng (d), bi t (d) c t tr c tung t i đi m có tung đ b ng 3 và
U U
c t tr c hoành t i đi m có hoành đ b ng -2.
Bài 7: Vi t hàm s b c nh t y = ax + b bi t hàm s :
U U
a) Có h s b b ng 3 và song song v i đư ng th ng (d): 2x – y + 1 = 0.
b) Có đ th đi qua A(3; 2) và B(1; -1)
c) Có đ th đi qua C(2; -1) và vuông góc v i đư ng th ng (d’): y = 3x + 1.
Bài 8: Vi t phương trình đư ng th ng (d) đi qua A( –2; 1) và đi qua đi m M thu c đư ng th ng
U U
1
(d): 2x + y = 3 có hoành đ b ng .
2
Bài 9: Xác đ nh m đ đư ng th ng y = x + m + 1 t o v i các tr c t a đ 1 tam giác có di n tích
U U
b ng 8 (đvdt).
 x + my = 2
Bài 10: Cho h phương trình: 
 mx − 2 y = 1
U U
a) Gi i h phương trình v i m = 2.
b) Tìm s nguyên m đ h phương trình có nghi m duy nh t (x; y) mà x > 0; y < 0.
 −2mx + y = 5
Bài 11: Cho h phương trình: 
 mx + 3 y = 1
U U
a) Gi i h phương trình v i m = 1.
b) Gi i và bi n lu n h phương trình theo tham s m.
Bài 12: Cho 3 đư ng th ng (d1): x + y = 1; (d2): x – y = 1; (d3): (a+1)x + (a – 1)y = a + 1
U U
a) V i giá tr nào c a a thì (d1) vuông góc v i (d3).
b) Tìm a đ 3 đư ng th ng trên đ ng quy.
c) CMR khi a thay đ i, đư ng th ng (d3) luôn đi qua 1 đi m c đ nh.
Bài 13: Trong h t a đ Oxy cho 3 đi m A(2; 5), B(-1; -1) và C(4; 9).
U U
a) Vi t phương trình đư ng th ng BC.
b) CMR 3 đi m A, B, C th ng hàng.
c) CMR các đư ng y = 3; 2y + x – 7 = 0 và đư ng th ng BC đ ng quy.
Bài 14 : Gi i và bi n lu n h phương trình sau (câu a):
U U
 2 x + my = 1 x + y = m + 2
a)  b) 
 2mx + 4 y = 2 3 x + 5 y = 2m
Bài 15: Cho h phương trình sau (câu 14b):
U U
a) Gi i h phương trình trên khi m = 2.
b) V i giá tr nguyên nào c a m thì h có nghi m nguyên.
Bài 16: Gi i các h phương trình sau:
U U
4

5. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
x + y = 9 x − y = 3  x2 = 2 y + 3

a)  2 2
b)  3 3
c)  2
 x + y = 41 x − y = 9  y = 2x + 3

PH N III: HÀM S và Đ TH :
U Bài 1: Cho hàm s : y = ax2 (a ≠ 0) có đ th (P).
U
a) Xác đ nh a bi t (P) đi qua A(–3; 12)
b) V i a v a tìm đư c:
b1) V đ th (P).
1
b2) Tìm các đi m B, C thu c (P) có hoành đ l n lư t là: − và 2.
2
b3) Các đi m sau có thu c (P) hay không?
1 2
D  ;  , E ( 6; 48 )
2 3
3 1
Bài 2: Cho hàm s : y = f(x) = − x 2 có đ th (P) và hàm s : y = x − 2 có đ th (d).
2
U U
2
a) V (P) và (d) trên cùng h tr c t a đ .
b) Tìm t a đ giao đi m c a (P) và (d).
c) Không tính, hãy so sánh:
c1) f(–2) và f(–3) c2) f (1 − 2) và f ( 3 − 2)
2 2
U Bài 3: Cho hàm s : y = (m – 4)x .
U
a) Tìm m đ hàm s đ ng bi n khi x < 0.
−3
b) V đ th hàm s trên v i m = .
2
c) V i m cho câu b), hãy tìm GTLN, GTNN c a hàm s v i –3 ≤ x ≤ 1
U Bài 4: Cho hàm s : y = ax2 (a ≠ 0) có đ th (P).
U
4
a) Tìm a bi t (P) đi qua M (−2; − ) .
3
b) V i a v a tìm đư c, hãy:
b1) Tìm giá tr c a y bi t x = –3.
b2) Tìm giá tr c a x bi t y = 13.
b3) Tìm các đi m A thu c (P) có tung đ g p đôi hoành đ .
1
Bài 5: Cho hàm s : y = − x 2 có đ th (P).
2
U U
a) Tìm các đi m A, B thu c (P) có hoành đ l n lư t b ng –1 và 2.
b) Vi t phương trình đư ng th ng AB.
c) Vi t phương trình đư ng th ng song song v i AB và ti p xúc v i (P). Tìm t a đ ti p đi m.
U Bài 6:U Cho hàm s : y = (m + 1)x2 có đ th (P).
a) Tìm m đ hàm s đ ng bi n khi x > 0.
b) V i m = – 2. Tìm to đ giao đi m c a (P) v i đư ng th ng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m đ (P) ti p xúc v i (d): y = 2x – 3. Tìm t a đ ti p đi m.
U Bài 7:U Ch ng t đư ng th ng (d) luôn ti p xúc v i Parabol (P) bi t:
5

6. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2.
U
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2.
Bài 8:
8.1) Ch ng t r ng đư ng th ng (d) luôn c t Parabol (P) t i 2 đi m phân bi t:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2) Tìm t a đ giao đi m c a (d) và (P) trong các trư ng h p trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đư ng th ng sau:
U U
4
(d1): y = x − 1 (d2): 4x + 5y – 11 = 0
3
a) Tìm a bi t (P), (d1), (d2) đ ng quy.
b) V (P), (d1), (d2) trên cùng h tr c t a đ v i a v a tìm đư c.
c) Tìm t a đ giao đi m còn l i c a (P) và (d2).
d) Vi t phương trình đư ng th ng ti p xúc v i (P) và vuông góc v i (d1).
1
Bài 10: Cho Parabol (P): y = x 2 và đư ng th ng (d): y = 2x + m + 1.
2
U U
a) Tìm m đ (d) đi qua đi m A thu c (P) có hoành đ b ng – 2.
b) Tìm m đ (d) ti p xúc v i (P). Tìm t a đ ti p đi m
c) Tìm m đ (d) c t (P) t i hai đi m có hoành đ cùng dương.
1 1 1
d) Tìm m sao cho (d) c t đ th (P) t i hai đi m có hoành đ x1 ≠ x2 th a mãn: 2 + 2 =
x1 x2 2
2
Bài 11: Cho hàm s : y = ax có đ th (P) và hàm s : y = mx + 2m + 1có đ th (d).
U U
a) Ch ng minh (d) luôn đi qua m t đi m M c đ nh.
b) Tìm a đ (P) đi qua đi m c đ nh đó.
c) Vi t phương trình đư ng th ng qua M và ti p xúc v i Parabol (P).
1 3
Bài 12: Cho hàm s : y = x 2 có đ th (P) và đư ng th ng (d): y = 2 x −
2 2
U U
a) V (d) và (P) trên cùng h tr c t a đ Oxy.
b) Tìm t a đ giao đi m A và B c a (d) và (P). Tính chu vi ∆AOB.
c) Tìm t a đ đi m C thu c Ox đ chu vi tam giác ABC đ t giá tr nh nh t.
Bài 13: Cho Parabol (P): y = ax2.
U U
1 1
a) Tìm a bi t (P) đi qua đi m A thu c đư ng th ng (d): y = x + có hoành đ b ng 2.
4 2
b) Tìm giao đi m B còn l i c a (d) và (P).
c) Tìm t a đ đi m C thu c cung AB c a (P) đ di n tích ∆ABC đ t giá tr l n nh t.
1
Bài 14: Cho hàm s : y = x 2 có đ th (P).
2
U U
a) Tìm t a đ các đi m A, B thu c (P) có hoành đ l n lư t là -1 và 2.
b) Vi t phương trình đư ng th ng AB.
c) Vi t phương trình đư ng th ng ti p xúc v i (P) và vuông góc v i AB.
Tìm t a đ ti p đi m.
d) Tìm đi m C thu c cung AB c a (P) sao cho tam giác ABC cân t i C.
6

7. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
1 1
Bài 15: Cho hàm s : y = − x 2 có đ th (P) và đư ng th ng (d): y = x − 3 .
4 2
U U
a) V (d) và (P) trên cùng h tr c t a đ .
b) Tìm t a đ giao đi m c a (d) và (P).
c) Vi t phương trình đư ng th ng qua M và ti p xúc v i (P) trong các trư ng h p sau:
1
c1) M ( ;1) c2) M(–1;1)
2
1
Bài 16: Cho hàm s : y = x 2 có đ th (P).
2
U U
a) Ch ng minh đư ng th ng (d): y = 2x – 2 luôn ti p xúc v i (P). Tìm t a đ ti p đi m.
b) V (d) và (P) trên cùng h tr c t a đ .
c) Tìm m đ đư ng th ng (d’): y = 3mx – 2 luôn c t (P) t i hai đi m phân bi t.
d) Tìm nh ng đi m thu c (P) cách đ u hai tr c t a đ .
PH N IV: PHƯƠNG TRÌNH B C HAI VÀ H TH C VI-ET:
Bài 1: Gi i các phương trình sau:
U U
a) 2x2 + 5x = 0 b) 2x2 – 1 = 0 c) x2 + 5 = 0
d) 2x2 – 3x – 5 = 0 e) x2 –( 2 + 1)x + 2 =0 f) 2x4 – 7x2 – 4 = 0
Bài 2: Tìm m đ các phương trình sau có nghi m kép:
U U
a) 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0 c) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = 0
b) mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0 d) mx2 – 4(m – 1)x – 8 = 0.
Bài 3: Tìm m đ các phương trình sau có nghi m :
U U
a) 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0
b) mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0
Bài 4: Tìm m đ các phương trình sau có 2 nghi m phân bi t:
U U
a) x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0
Bài 5: V i giá tr nào c a m thì phương trình:
U U
a) x2 + 2mx – 3m + 2 = 0 có 1 nghi m x = 2. Tìm nghi m còn l i.
b) 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0 có 1 nghi m x = –2. Tìm nghi m còn l i.
1
c) mx2 – x – 5m2 = 0 có 1 nghi m x = –2. Tìm nghi m còn l i.
2
Bài 6: Không gi i phương trình x2 – 2x – 15 = 0. G i x1, x2 là 2 nghi m c a phương trình.
U U
Tính
1 1
a) x12 + x22 b) 2
+ 2 c) x13 + x23 d) x12 – x22
x1 x2
3 x1 2 + 3 x 2 2 − 3 x1 x2
e) (x1 – x2)2 g) h)
+
x1 2 x 2 + x1 x 2 2
x2 − 3 x1 x1 − 3 x2
Bài 7: L p phương trình có hai nghi m là x1, x2 đư c cho trong m i trư ng h p sau:
U U
a) x1 = – 4, x2 = 7; b) x1 = – 5 , x2 = 3 + 5 ; c) x1. x2 = 4; x12 + x2 = 17 ;
2
Bài 8: Cho phương trình: x2 + px – 5 = 0 có nghi m là x1, x2. Hãy l p phương trình có hai
U U
nghi m là hai s đư c cho trong các trư ng h p sau:
7

8. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
1 1
a) – x1 và – x2 b) và
x1 x2
2
U Bài 9: Cho phương trình x + (m – 3)x – 2m + 2 = 0.
U
a) Tìm giá tr c a m đ :
a1) phương trình có nghi m x = –5. Tìm nghi m còn l i.
a2) phương trình có hai nghi m phân bi t.
a3) phương trình có 2 nghi m trái d u.
a4) Phương trình có 2 nghi m cùng dương.
a5) Phương trình có ít nh t m t nghi m dương.
a6) Phương trình có 2 nghi m x1, x2 tho 2x1 + x2 = 3
a7) Phương trình có 2 nghi m x1, x2 tho (x1 – x2)2 = 4
b) Vi t m t h th c liên h gi a 2 nghi m c a phương trình đ c l p v i tham s m.
U Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0. Đ nh m đ :
U
a) Phương trình có nghi m.
b) Phương trình có 2 nghi m x1,x2 tho :
α ) x1 + 2x2 = 9
β ) x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6
γ ) A = 12 – 10x1x2 + (x12 + x22) đ t GTNN.
U Bài 11: Cho phương trình: (m – 2)x2 – 3x + m + 2 = 0
U
a) Gi i phương trình v i m = 1.
b) Tìm giá tr c a m đ phương trình có nghi m.
c) Gi i và bi n lu n phương trình trên.
U Bài 12: Cho phương trình: x2 – mx – 2(m2 + 8) = 0. Tìm m đ phương trình có hai nghi m đ :
U
a) x12 + x2 = 52
2
b) x12 + x2 đ t GTNN. Tìm GTNN này.
2
Bài 13: Cho phương trình: x2 – mx – 7m + 2 = 0.
U U
a) Tìm m đ phương trình có nghi m x = 2. Tìm nghi m còn l i.
b) Tìm m đ phương trình có hai nghi m trái d u.
c)Tìm m đ phương trình có hai nghi m x1, x2 tho : 2x1 + 3x2 = 0.
x1.x2
d) Tìm m nguyên đ bi u th c A = nh n giá tr nguyên.
x1 + x2 − 1
Bài 14: Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 – 3m + 2 = 0.
U U
a) Đ nh m đ phương trình có hai nghi m phân bi t.
b) Tìm m đ phương trình có hai nghi m x1,x2 th a mãn: x12 + x2 = 16 .
2
c) Tìm m đ phương trình có hai nghi m cùng d u. Khi đó hai nghi m c a phương trình cùng
d u âm hay cùng d u dương?
Bài 15: Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
U U
a) Gi i phương trình v i m = – 1.
b) Ch ng minh phương trình luôn có nghi m v i m i m.
c) Tìm m đ phương trình có hai nghi m cùng dương.
d) Tìm h th c liên h gi a các nghi m x1, x2 c a phương trình không ph thu c vào m.
Bài 16: Gi i các phương trình sau:
U U
8

9. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
a) x − x − 1 − 3 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0.
c) 2x4 – x3 – 6x2 – x + 2 = 0 d) 15 − x + 3 − x = 6
PH N 5: GI I TOÁN B NG CÁCH L P PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Hai ngư i th cùng sơn c a cho m t ngôi nhà trong 2 ngày thì xong công vi c. N u
U U
ngư i th nh t làm trong 4 ngày r i ngh và ngư i th 2 làm ti p trong 1 ngày thì xong công
vi c. H i m i ngư i làm m t mình thì bao lâu sau s xong công vi c.
Bài 2: M t khu vư n hình ch nh t có di n tích 900 m2 và chu vi 122 m. Tính chi u dài và
U U
chi u r ng c a khu vư n.
Bài 3: Theo k ho ch, m t đ i xe v n t i c n ch 24 t n hàng đ n m t đ a đi m quy đ nh. Khi
U U
chuyên ch thì trong đ i có hai xe ph i đi u đi làm vi c khác nên m i xe còn l i c a đ i ph i
ch thêm 1 t n hàng. Tính s xe c a đ i lúc đ u.
Bài 4: Tháng th nh t hai t s n xu t đư c 900 chi ti t máy. Tháng th hai t I vư t m c 15%
U U
và t II vư t m c 10% so v i tháng th nh t, vì v y hai t đã s n xu t đư c 1010 chi ti t máy.
H i tháng th nh t m i t s n xu t đư c bao nhiêu chi ti t máy?
Bài 5:
U U
Hai ngư i cùng làm chung m t công vi c trong 4 gi thì hoàn thành 2/3 công vi c. N u đ
m i ngư i làm riêng, thì ngư i th nh t làm xong công vi c trư c ngư i th hai là 5 gi . H i đ
làm xong công vi c thì m i ngư i ph i làm trong bao lâu?
Bài 6:
U U
M t ca nô ch y xuôi dòng t A đ n B r i l i ch y ngư c dòng t B v A m t t t c 4 gi .
Tính v n t c ca nô khi nư c yên l ng? Bi t r ng quãng sông AB dài 30km và v n t c dòng
nư c là 4km/h.
Bài 7: M t gi i bóng đá đư c t ch c theo th th c “đ u vòng tròn” m t lư t t c là m i đ i
U U
đư c đ u v i m t đ i khác m t l n đ x p h ng. Có t t c 15 tr n đ u. H i có bao nhiêu đ i thi
đ u bóng đá?
Bài 8: Tìm s t nhiên có hai ch s , bi t r ng n u đem s đó chia cho t ng các ch s c a nó
U U
thì đư c thương là 4 và dư là 3; còn n u đem s đó chia cho tích các ch s c a nó thì đư c
thương là 3 và dư là 5.
Bài 9: Hai b n sông A và B cách nhau 40 km. Cùng m t lúc v i ca nô xuôi t b n A có m t
U U
chi c bè trôi t b n A v i v n t c 3km/h. Sau khi đ n B ca nô tr v b n A ngay và g p bè khi
bè đã trôi đư c 8km. Tính v n t c riêng c a ca nô?
Bài 10: M t ô tô t i đi t A đ n B v i v n t c 30km/h. Sau đó m t th i gian m t xe con cũng
U U
xu t phát t A v i v n t c 40km/h và n u không có gì thay đ i thì đu i k p ô tô t i t i B. Nhưng
khi đi đư c n a quãng đư ng AB thì xe con tăng v n t c thành 45km/h nên sau đó 1 gi thì
đu i k p ô tô t i. Tính quãng đư ng AB?
Bài 11 : Hai canô cùng kh i hành đi t hai b n A và B cách nhau 85 km và đi ngư c chi u
U
nhau. Sau 1h40 phút thì hai canô g p nhau . Tính v n t c th c c a m i canô, bi t r ng v n t c
c a canô đi xuôi dòng thì l n hơn v n t c c a canô đi ngư c dòng là 9 km/h và v n t c dòng
nư c là 3 km/h .
1
Bài 12: M t hình ch nh t có chi u r ng ng n hơn chi u dài 1 cm N u tăng chi u dài thêm
4
U U
c a nó thì di n tích c a hình ch nh t đó tăng lên 3 cm2 . Tính di n tích hình ch nh t lúc đ u?
9

10. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
Bài 13: Trên m t đo n đư ng AB, m t xe đ p đi t A cùng m t lúc v i m t Ôtô đi t B và đi
U U
ngư c chi u nhau . Sau 3 gi hai xe g p nhau và ti p t c đi thì Ôtô đ n A s m hơn xe đ p đ n
B là 8 gi . H i th i gian m i xe đi h t quãng đư ng AB .
Bài 14: Chia m t s có hai ch s cho t ng hai ch s c a nó đư c thương là 6 và dư là 2 . N u
U U
chia s đó cho tích hai ch s c a nó thì đư c thương là 5 và dư là 2. Tìm s đó ?
Bài 15: Hai đ i cùng làm vi c trong 12 gi thì xong m t công vi c. N u đ riêng đ i th nh t
U U
làm m t n a công vi c r i ngh , đ i th hai làm ti p cho đ n lúc hoàn thành công vi c thì th i
gian t ng c ng là 25 gi . H i n u m i đ i làm riêng thì hoàn thành công vi c trong bao lâu?
Bài 16: Hai đ a đi m A, B cách nhau 60 km. Ngư i đi xe đ p kh i hành t A đ n B, r i quay
U U
v A như v n t c ban đ u ; nhưng sau khi đi t B đư c 1 gi thì ngh m t 20 phút r i đi ti p v
A v i v n t c tăng thêm 4 km/h. Tính v n t c ban đ u, bi t th i gian đi và v như nhau.
PH N 6: CÁC BÀI TOÁN V HÌNH H C:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông t i A. Trên AC l y đi m D r i v đư ng tròn (O) nh n CD
U U
làm đư ng kính; BD c t (O) t i E và AE c t (O) t i F.
a) Ch ng minh: T giác ABCE n i ti p. b) Ch ng minh: ACB = ACF .
c) L y M đ i x ng v i D qua A. Đi m N đ i x ng v i D qua đư ng th ng BC. Ch ng minh
t giác BMCN n i ti p.
d) Xác đ nh v trí D đ đư ng tròn ngo i ti p t giác BMCN có bán kính nh nh t.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân t i A có Â < 900, m t cung tròn BC n m bên trong tam giác
U U
ABC và ti p xúc v i AB, AC t i B, C. Trên cung BC l y m t đi m M r i h các đư ng vuông
góc MI, MH, MK xu ng các c nh tương ng BC, CA, AB. G i P là giao đi m c a MB và IK; Q
là giao đi m c a MC và IH. Ch ng minh r ng:
a) Các t giác BIMK, CIMH n i ti p đư c. b) Tia đ i c a tia MI là phân giác góc HMK.
c) T giác MPIQ n i ti p. T đó suy ra PQ // BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O), tia phân giác c a góc A c t c nh BC t i E và
U U
c t đư ng tròn t i M.
a) Ch ng minh: OM ⊥ BC.
b) D ng tia phân giác ngoài Ax c a góc A. Ch ng minh r ng Ax đi qua 1 đi m c đ nh.
c) Kéo dài Ax c t CB kéo dài t i F. Ch ng minh: FB. EC = FC. EB
d) G i giao đi m c a OM và BC là I. Ch ng minh: AMI = CFA và AIO = MFA .
Bài 4: T m t đi m M ngoài đư ng tròn (O) v hai ti p tuy n MA, MB v i đư ng tròn. Trên
U U
cung nh AB l y m t đi m C. V CD ⊥ AB; CE ⊥ MA; CF ⊥ MB. G i I là giao đi m c a AC
và DE; K là giao đi m c a BC và DF. Ch ng minh r ng:
a) Các t giác AECD, BFCD n i ti p đư c. b) CD2 = CE. CF c)IK // AB.
Bài 5: Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB. Trên đư ng kính AB l y T và S đ i x ng qua O.
U U
Đi m M thu c đư ng tròn (O) và n i MT; MO; MS, các đư ng th ng này c t đư ng tròn l n
lư t t i C; E; D. Đư ng th ng CD c t đư ng th ng AB t i F. Qua D k đư ng th ng song song
v i AB c t ME t i L và c t MC t i N.
a) Ch ng minh: LN = LD.
b) H OH vuông góc CD. Ch ng minh: T giác HLDE n i ti p.
U
c) Ch ng minh: FE là ti p tuy n c a (O).
10

11. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
Bài 6: Cho 3 đi m A, F, B th ng hàng (F n m gi a A và B). V đư ng tròn (O) đư ng kính AF;
U
v đư ng tròn (O’) đư ng kính AB. Dây cung BE c a đư ng tròn (O’) ti p xúc v i đư ng tròn
(O) t i C. Đo n AC kéo dài c t (O’) t i D. Ch ng minh r ng:
a) AE // OC. b) AD là phân giác c a góc BAE.
U
c) ∆ABC ∆ CBF d) AC.AD + BC.BE = AB2.
Bài 7: Cho tam giác ABC (AC > AB; BAC > 900 ). G i I, K theo th t là các trung đi m c a
U
AB, AC. Các đư ng tròn đư ng kính AB, AC c t nhau t i đi m th hai D; tia BA c t đư ng
tròn (K) t i đi m th hai E; tia CA c t đư ng tròn (I) t i đi m th hai F.
a) Ch ng minh ba đi m B, C, D th ng hàng. b) Ch ng minh t giác BFEC th ng hàng.
c) Ch ng minh ba đư ng th ng AD, BF, CE đ ng quy.
d) G i H là giao đi m th hai c a tia DF v i đư ng tròn ngo i ti p tam giác AEF. Hãy so
U
sánh đ dài các đo n th ng DH và DE.
Bài 8: Cho đư ng tròn (O) có đư ng kính AC, đi m B thu c c nh OC; M là trung đi m c a
U
đo n AB. L y đi m D, E thu c đư ng tròn (O), k DE ⊥ AB t i đi m M và k BF ⊥ DC t i F.
a) Ch ng minh t giác BMDF n i ti p. b) Ch ng minh: CB.CM = CF.CD.
c) Ch ng minh 3 đi m B, E, F th ng hàng.
d) G i S là giao đi m c a BD và MF, CS c t DA, DE l n lư t t i R, K. Ch ng minh:
DA DB DE
+ =
DR DS DK
Bài 9: Cho tam giác ABC (AB > AC) n i ti p đư ng tròn (O) đư ng kính BC = 2R, có đư ng
U
cao AH. Đư ng tròn tâm I đư ng kính AH c t các c nh AB và AC l n lư t t i E và D.
a) Ch ng minh: T giác ADHE là hình ch nh t.
b) Ch ng minh: T giác BCDE n i ti p. c) Ch ng minh: OA ⊥ DE.
d) Các đư ng tròn (O) và (I) còn c t nhau t i đi m F khác A. Đư ng th ng AF c t BC t i M.
CMR: 3 đi m M, D, E th ng hàng.
e) Khi AC = R. Tính di n tích ph n m t gi i h n b i cung nh AB c a đư ng tròn (O), đo n
th ng BH và cung AH c a đư ng tròn (I) theo R.
Bài 10: Cho 3 đi m c đ nh A, B, C th ng hàng theo th t đó. Đư ng tròn (O) di đ ng luôn
U U
luôn đi qua đi m B và C. K t A các ti p tuy n AE và AF đ n (O). G i E và F là hai ti p đi m;
I là trung đi m c a BC và N là trung đi m c a EF.
a) CMR khi O di đ ng thì các đi m E và F luôn luôn n m trên m t đư ng tròn c đ nh. Xác
đ nh tâm và bán kính c a đư ng tròn này.
b) Đư ng th ng FI c t đư ng tròn (O) t i K. Ch ng minh: EK // AB.
c) CMR tâm đư ng tròn ngo i ti p ∆ONI n m trên đư ng tròn c đ nh khi (O) di đ ng.
Bài 11: Cho tam giác ABC có ba góc nh n (AB < AC). Đư ng tròn đư ng kính BC c t AB,
U U
AC theo th t t i E và F. Bi t BF c t CE t i H và AH c t BC t i D.
a) Ch ng minh t giác BEFC n i ti p và AH vuông góc v i BC.
b) Ch ng minh AE.AB = AF.AC.
c) G i O là tâm đư ng tròn ng ai ti p tam giác ABC và K là trung đi m c a BC.
OK
Tính t s khi t giác BHOC n i ti p.
BC
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm và HC > HE. Tính HC.
11

12. Ôn thi Toán vào l p 10 GV: Lê Qu c Dũng.
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba góc nh n và AB < AC. Đư ng tròn (O) đư ng kính BC c t
U U
các c nh AB, AC theo th t t i E và D.
a) Ch ng minh: AD.AC = AE.AB
b) G i H là giao đi m c a BD và CE, g i K là giao đi m c a AH và BC. Ch ng minh AH
vuông góc v i BC.
c) T A k các ti p tuy n AM, AN đ n đư ng tròn (O) v i M, N là các ti p đi m. Ch ng
minh: ANM = AKN .
d) Ch ng minh ba đi m M, H, N th ng hàng.
Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p trong đư ng tròn (O) và d là ti p tuy n c a
U U
(O) t i C. G i AH, BK là các đư ng cao c a tam giác ABC.
a) Ch ng minh: HK // d
b) G i M, F, N, E l n lư t là hình chi u vuông góc c a A, K, H, B lên đư ng th ng d.
Ch ng minh: MN = EF.
c) Đư ng kính AP c a đư ng tròn (O). G i (O1), (O2) l n lư t là các đư ng tròn đư ng
kính PB, PC. Hai đư ng tròn (O1), (O2) c t nhau t i đi m th hai là I.
Ch ng minh: I thu c đo n th ng BC.
Bài 14: Cho tam giác cân ABC ( đ nh A, v i góc A nh n ), có đư ng cao AH. L y đi m M b t
U U
kỳ trên đo n BH ( khác B và H ). T đi m M k MP ⊥ AB; MQ ⊥ AC (P∈AB, Q∈AC). G i K
là giao đi m c a MQ và AH.
a) Ch ng minh 5 đi m A, P, M; H và Q cùng n m trên m t đư ng tròn và xác đ nh tâm
O c a đư ng tròn này.
b) Ch ng minh r ng OH ⊥ PQ
c) G i I là trung đi m c a đo n KC , tính s đo c a góc OQI
Bài 15: Cho đư ng tròn (O;R) và đi m A ngoài (O) sao cho OA = 2R. K hai ti p tuy n AB,
U U
AC v i (O) ( B, C là các ti p đi m). AO c t BC t i I.
a) Tính theo R hai đo n th ng OI và BC.
b) H là đi m n m gi a I và B (H khác B, I). Đư ng vuông góc v i OH t i H c t AB, AC t i
M và N. Ch ng minh các t giác OHBM, OHNC n i ti p.
c) Ch ng minh H là trung đi m c a MN.
d) Cho H là trung đi m IB. Tính theo R di n tích tam giác OMN.
Bài 16: Cho đi m A n m ngoài đư ng tròn (O), k các ti p tuy n AB, AC t i đư ng tròn (O)
U U
(B, C là các ti p đi m). K cát tuy n AMN v i đư ng tròn (O) ( M n m gi a A và N). G i E là
trung đi m c a MN. G i I là giao đi m th hai c a CE v i (O).
a) Ch ng minh 4 đi m A, O, E, C cùng n m trên 1 đư ng tròn.
b) Ch ng minh: AEC = BIC
c) Ch ng minh: BI // MN.
d) Xác đ nh v trí cát tuy n AMN đ di n tích tam giác AIN l n nh t.
Ghi chú:
- Đây là b đ cương ôn thi vào l p 10 đư c chia theo 6 ch đ và trong t ng
ch đ đư c s p x p t d đ n khó.
- M i ch đ có 16 bài t p, ghép t ng bài t p c a các ch đ l i ta đư c m t
đ thi l p 10 đ luy n t p. (Ví d : Ghép bài 1 c a sáu ch đ , ta đư c đ thi
s 1; Ghép bài 2 c a sáu ch đ , ta đư c đ thi s 2;……..)
12