Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNBồi dưỡng Toán lớp 6
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN. Liên hệ tư vấn học tập và mua tài liệu: 0919.281.916 (Zalo - Thầy Thích).
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNBồi dưỡng Toán lớp 6
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN. Liên hệ tư vấn học tập và mua tài liệu: 0919.281.916 (Zalo - Thầy Thích).
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Xem các bài viết khác tại:
https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/toan-tap-toan-9/he-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông, cho các bạn tham khảo
Download báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Luận văn Ứng Dụng Hình Học Giải Tích Vào Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Đại Số, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com
Download luận văn thạc sĩ ngành kĩ thuật xây dựng với đề tài: Tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng sai phân hữu hạn, HAY
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG MẪU MỰC
NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN
PHÚC YÊN - 2014
2. Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Phần nội dung 6
1.1 Một số hệ phương trình thường gặp . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . 6
1.1.2 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . 6
1.1.3 Hệ gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một
phương trình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Hệ đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Hệ đối xứng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Hệ đẳng cấp bậc hai đối với hai biến x & y . . . . 8
1.2 Một số kiến thức cần nắm vững khi giải hệ phương trình
không mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 10
1.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . 10
1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 2. Một số bài tập tự luyện 26
2.1 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi
tuyển sinh vào các trường THPT chuyên, lớp chọn và đề thi học sinh
giỏi các cấp, đặc biệt là thi học sinh giỏi môn toán lớp 9.
Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bài
toán khó, đòi hỏi người học phải có năng lực tư duy logic, kiến thức phải
chắc chắn về hệ phương trình.
Chính vì vậy giải hệ phương trình luôn gây được sự hấp dẫn đối
với người dạy lẫn người học. Có nhiều phương pháp để giải hệ phương
trình, tuy nhiên không có phương pháp nào vạn năng để giải được mọi
bài toán.
Trong quá trình giảng dạy học sinh ôn thi vào lớp 10 và bồi dưỡng
học sinh giỏi toán 9,tôi thấy học sinh gặp phải khó khăn và lúng túng
khi giải hệ phương trình đặc biệt là các hệ phương trình không mẫu
mực. Làm thế nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá đưa việc giải các
hệ phương trình không mẫu mực về giải hệ phương trình quen thuộc, cơ
bản là vấn đề trăn trở, suy nghĩ của bản thân tôi cũng như nhiều đồng
nghiệp. Để bồi dưỡng chuyên môn đồng thời giúp các em học sinh lớp 9
có thêm một vài phương pháp giải hệ phương trình nên tôi viết chuyên
đề với tên đề tài:
"Một số phương pháp
giải hệ phương trình không mẫu mực"
Với một số phương pháp giải hệ này tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong
việc rèn luyện tư duy toán học cho các em học sinh và là nguồn tài liệu
nhỏ giúp các em luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho các kì thi
4. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10.
2. Mục đích nghiên cứu
Trang bị cho học sinh về một số phương pháp giải hệ phương trình
không mẫu mực mạng lại hiệu quả rõ rệt.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kĩ năng giải toán, qua đó
học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thông qua tìm tòi, tổng hợp để đưa ra được các dạng bài tập và
phương pháp giải cho từng dạng bài toán giúp học sinh có kiến thức
chắc về nội dung hết sức quan trọng của chương trình.
4. Đối tượng nghiên cứu
Hệ phương trình trong chương trình đại số 9.
Phân loại các dạng toán và phương pháp giải mỗi dạng
5. Phạm vi nghiên cứu và giới hạn nghiên cứu
Chuyên đề được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương
trình toán đại số 9
Hệ phương trình không mẫu mực
6. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo sách, báo, tài liệu.
Thực tiễn giảng dạy
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 4
5. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Tham khảo các đề thi HSG các tỉnh, đề thi các trường chuyên
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 5
6. Chương 1
NỘI DUNG
1.1 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Định nghĩa 1.1. Là hệ phương trình có dạng:
ax + by = c (1)
a x + b y = c (2)
trong đó phương trình (1), (2) là phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.
Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như:
• Phương pháp thế
• Phương pháp cộng đại số
• Phương pháp đồ thị
• Sử dụng máy tính cầm tay
• Phương pháp tính theo định thức,...
1.1.2 HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Định nghĩa 1.2. Là hệ phương trình có dạng
a1x + b1y + c1z = d1 (1)
a2x + b2y + c2z = d2 (2)
a3x + b3y + c3z = d3 (3)
trong đó phương trình (1), (2) và (3)
là phương trình bậc nhất ba ẩn x, y và z.
Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như:
7. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
• Phương pháp thế
• Phương pháp cộng đại số
• Phương pháp đồ thị
• Sử dụng máy tính cầm tay
• Phương pháp tính theo định thức,...
1.1.3 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Định nghĩa 1.3. Là hệ phương trình có dạng
ax + by + c = 0
f(x, y) = 0
trong đó x, y là ẩn và f(x, y) là biểu thức chứa hai biến x, y
Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng:
• Phương pháp thế
1.1.4 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1
Định nghĩa 1.4. Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của hai
ẩn cho nhau trong mỗi phương trình thì từng phương trình đó không
thay đổi
Cách giải:
Bước 1: Biến đổi tương đương làm xuất hiện x + y và x.y
Bước 2: Đặt S = x + y và P = x.y (với S2
≥ 4P)
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 7
8. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn mới là S, P. Tìm được S, P
Bước 4: Tìm nghiệm x; y của hệ phương trình đã cho
1.1.5 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
Định nghĩa 1.5. Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của
hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thành
phương trình kia và ngược lại.
Cách giải: Trừ vế cho vế tương ứng của các phương trình để biến đổi
về phương trình tích có nhân tử là x − y, rồi thế ẩn này theo ẩn kia để
giải hệ phương trình.
1.1.6 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI BIẾN x & y
Định nghĩa 1.6. Là hệ phương trình có dạng
ax2
+ bxy + cy2
= d
a x2
+ b xy + c y2
= d
Cách giải:
Nếu x = 0 thì ta đặt y = kx rồi nhận xét và chia vế cho vế ta được
phương trình ẩn k, tìm được k từ đó tìm được x, y
Nếu x = 0 thì viết lại hệ phương trình đã cho và giải hệ phương trình
đó.
1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
• Các hằng đẳng thức.
• Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 8
9. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
• Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức
• Tính ∆ và ∆
• Cách giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn,...
• Các phép biến đổi tương đương.
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 9
10. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG MẪU MỰC
Không có phương pháp chung để giải mọi hệ phương trình không mẫu
mực. Tùy theo đặc trưng các phương trình của hệ mà ta lựa chọn những
phương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp
đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức,... để dưa hệ đã cho thành các hệ đơn
giản hơn hoặc các hệ quen thuộc ( mẫu mực) từ đó ta tìm ra tập nghiệm
của hệ phương trình.
1.3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc
biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng
đơn giản hơn.
DẠNG 1 Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích
của các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình:
xy + x + y = x2
− 2y2
(1)
x
√
2y − y
√
x − 1 = 2x − 2y (2)
Nhận xét: Dễ dàng thấy phương trình (1) của hệ có thể đưa về phương
trình tích, từ đó ta tìm được x theo y, thay vào phương trình (2), từ đó
tìm được giá trị y, giá trị x. Lời giải
• Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0 (∗)
pt (1) ⇔ x2
− xy − 2y2
− (x + y) = 0
⇔ x2
− y2
− y (x + y) − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = 0
⇔ x = 2y + 1, (x + y ≥ 1)
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 10
11. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
• Thay x = 2y + 1 vào phương trình (2) và biến đổi:
(y + 1) 2y − 2 = 0 ⇔ y = 2, (do y ≥ 0) ⇒ x = 5
• Do x = 5, y = 2 thỏa mãn điều kiện (*).
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là
(x; y) = (5; 2)
Ví dụ 1.2. Giải hệ phương trình:
6x2
− 3xy + x = 1 − y (1)
x2
+ y2
= 1 (2)
Lời giải
pt (1) ⇔ 6x2
− 3xy + 3x − 2x + y − 1 = 0
⇔ 6x2
− 2x − (3xy − y) + (3x − 1) = 0
⇔ (3x − 1) (2x − y + 1) = 0
⇔
x =
1
3
y = 2x + 1
• Thay x =
1
3
vào phương trình (2) và biến đổi ta được:
y2
=
8
9
⇔
y =
2
√
2
3
y = −
2
√
2
3
• Thay y = 2x + 1 vào phương trình (2) và biến đổi :
x2
+ (2x + 1)2
= 1 ⇔ 5x2
+ 4x = 0
⇔ x (5x + 4) = 0
⇔
x = 0
x = −
4
5
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 11
12. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
• Với x = 0 thì y = 1
• Với x = −
4
5
thì y = −
3
5
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:
(x; y) =
1
3
;
2
√
2
3
, (x; y) =
1
3
; −
2
√
2
3
,
(x; y) = (0; 1) , (x; y) = −
4
5
; −
3
5
.
DẠNG 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình rồi biến
đổi về phương trình tích
Ví dụ 1.3. Giải hệ phương trình:
x3
+ y3
= 1 + y − x + xy (1)
7xy + y − x = 7 (2)
Lời giải Cộng vế với vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta
được:
x3
+ y3
+ 6xy = 8 ⇔ (x + y)3
− 23
− 3x2
y − 3xy2
+ 6xy = 0
⇔ (x + y − 2) x2
+ y2
+ 4 − xy + 2y + 2x = 0
⇔ (x + y − 2) (x − y)2
+ (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 0
⇔
x + y − 2 = 0
(x − y)2
+ (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 0
⇔
y = 2 − x
x = y = −2
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 12
13. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Với y = 2 − x, thay vào phương trình (2), ta được:
7x2
− 12x + 5 = 0 ⇔
x = 1
x =
5
7
⇔
x = y = 1
x =
5
7
y =
9
7
Với x = y = −2, không thỏa mãn phương trình (2) của hệ loại
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:
(x; y) = (1; 1) , (x; y) =
5
7
;
9
7
Ví dụ 1.4. Giải hệ phương trình:
x2
+ y + x3
y + xy2
+ xy = −
5
4
(1)
x4
+ y2
+ xy (1 + 2x) = −
5
4
(2)
(I)
Lời giải
(I) ⇔
x2
+ y + x3
y + xy2
+ xy = −
5
4
x4
+ 2x2
y + y2
+ xy = −
5
4
⇔
x2
+ y + xy x2
+ y + xy = −
5
4
(3)
x2
+ y
2
+ xy = −
5
4
(4)
Trừ vế với vế của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được:
x2
+ y + xy x2
+ y − x2
+ y
2
= 0 ⇔ x2
+ y x2
+ y − 1 − xy = 0
⇔
x2
+ y = 0
x2
+ y − 1 − xy = 0
⇔
y = −x2
x2
+ y = 1 + xy
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 13
14. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Với y = −x2
, thay vào phương trình (2) ta được:
x3
=
5
4
⇔ x =
3 5
4
khi đó y = − 3 25
16
Với x2
+ y = xy + 1 thay vào phương trình (4) ta được:
(xy + 1)2
+ xy = −
5
4
⇔ (xy)2
+ 3xy +
9
4
= 0
⇔ xy +
3
2
2
= 0 ⇔ xy +
3
2
= 0
⇔ xy = −
3
2
Khi đó
x2
+ y = −
1
2
xy = −
3
2
⇔
x = 1
y = −
3
2
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:
(x; y) =
3 5
4
; −
3 25
16
; (x; y) = 1; −
3
2
DẠNG 3:Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương
trình bậc hai theo một ẩn chẳng hạn đó là ẩn y, lúc đó ta xem
x là tham số.
Biểu diễn y qua x bằng cách giải phương trình bậc hai ẩn y
Ví dụ 1.5. Giải hệ phương trình:
y2
= (x + 8) x2
+ 2 (1)
16x − 8y + 16 = 5x2
+ 4xy − y2
(2)
Nhận xét: Viết phương trình (2) về dạng phương trình bậc hai ẩn y
, x là tham số thì phương trình này có ∆ là bình phương của một biểu
thức, ta tìm được giá trị y, từ đó tìm được x.
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 14
15. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Lời giải
Biến đổi phương trình (2) về dạng:
y2
− (4x + 8) y + 16 + 16x − 5x2
= 0 (3) là phương trình bậc hai ẩn
y, x là tham số.
Có ∆ = 9x2
, phương trình (3) có hai nghiệm là y = 4−x hoặc y = 5x+4
Với y = 4 − x thay vào phương trình (1) ta được:
(4 − x)2
= (x + 8) x2
+ 2 ⇔ (x + 2) (x + 5) x = 0 ⇔
x = 0
x = −2
x = −5
Do đó hệ có nghiệm
(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (−2; 6) , (x; y) = (−5; 9) ,
Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) ta được:
(5x + 4)2
= (x + 8) x2
+ 2 ⇔ x (x − 19) (x + 2) = 0 ⇔
x = 0
x = 19
x = −2
Do đó, Hệ có nghiệm:
(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (19, 99) , (x; y) = (−2; −6) ,
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:
(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (19, 99) , (x; y) = (−2; −6) , (x; y) = (−2; 6) , (x; y) =
(−5; 9) ,
Ví dụ 1.6. Giải hệ phương trình:
x2
+ 2 = 3x + y − xy (1)
x2
+ y2
= 2 (2)
Nhận xét: Viết phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai ẩn x
, y là tham số thì phương trình này có ∆ là bình phương của một biểu
thức, ta tìm được giá trị x, từ đó tìm được y.
Lời giải Biến đổi phương trình (1) về dạng: x2
+ (y − 3) x + (2 − y) =
0 (3) là phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số.
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 15
16. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Ta có: ∆ = (y − 1)2
, khi đó phương trình (3) có hai nghiệm là
x = 1, x = 2 − y
Với x = 1, thay vào phương trình (2) ta có y = ±1
Với x = 2−y, thay vào phương trình (2) ta có (2 − y)2
+y2
= 2 ⇔ y = 1
khi đó x = 1
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm:
(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (1; −1)
1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
• Phương pháp này có thể đặt một hoặc hai ẩn để đưa hệ đã cho
thành hệ đơn giản hơn với các ẩn phụ mới. Giải hệ đối với ẩn phụ
mới, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
• Có thể từ hệ phương trình đã cho nhìn thấy ngay ẩn phụ mới, cũng
có khi phải thông qua một vài phép biến đổi mới có thể nhìn thấy
việc đặt ẩn phụ
Ví dụ 1.7. Giải hệ phương trình:
2 x2 + 3y − y2 + 8x − 1 = 0
x (x + 8) + y (y + 3) − 13 = 0
Nhận xét: Cả 2 phương trình của hệ ta đều thấy có biểu thức:
x2 + 3y và y2 + 8x nên ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ hai ẩn mới.
Lời giải Điều kiện:
x2
+ 3y ≥ 0
y2
+ 8x ≥ 0
(∗)
Đặt a = x2 + 3y; b = y2 + 8x (a ≥ 0, b ≥ 0)
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 16
17. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Hệ phương trình đã cho trở thành:
2a − b = 1
a2
+ b2
= 13
⇔
b = 2a − 1
a2
+ (2a − 1)2
= 13
⇔
b = 2a − 1
(5a + 6) (a − 2) = 0
⇔
b = 2a − 1
a = 2
a = −
6
5
(loại)
Do đó
a = 2
b = 3
⇒
x2 + 3y = 2
y2 + 8x = 3
⇔
y =
4 − x2
3
4 − x2
3
2
+ 8x = 9
⇔
y =
4 − x2
3
(x − 1) (x + 5) x2
− 4x + 13 = 0
⇔
y =
4 − x2
3
x = 1
x = −5
⇔
x = 1
y = 1
x = −5
y = −7
(thỏa mãn điều kiện)
Bằng cách thử, vậy hệ có nghiệm là
(x; y) = (1; 1), (x; y) = (−5; −7)
Ví dụ 1.8. Giải hệ phương trình:
x2
+ y2
+ 2y = 4 (1)
2x + y + xy = 4 (2)
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 17
18. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Nhận xét: Chưa nhìn thấy ngay để dùng phương pháp đặt ẩn phụ, ta
biến đổi phương trình (1) và phương trình (2) để xuất hiện biểu thức
chung x(y + 1) và x + (y + 1) Lời giải
x2
+ y2
+ 2y = 4
2x + y + xy = 4
⇔
x2
+ (y + 1)2
= 5
x (y + 1) + [x + (y + 1)] = 5
Đặt a = x + (y + 1), b = x(y + 1)
Khi đó
a2
− 2b = 5
a + b = 5
⇔
b = 5 − a
a2
− 10 + 2a = 5
⇔
b = 5 − a
a2
+ 2a − 15 = 0
⇔
b = 5 − a
a = 3
a = −5
⇔
a = 3; b = 2
a = −5; b = 10
Với a = 3, b = 2 ta có
x + (y + 1) = 3
x (y + 1) = 2
⇔
x = y = 1
x = 2; y = 0
Với a = −5, b = 10 ta có
x + (y + 1) = −5
x (y + 1) = 10
hệ này vô nghiệm
Bằng cách thử, vậy hệ có nghiệm:
(x; y) = (1; 1), (x; y) = (2; 0)
Ví dụ 1.9. Giải hệ phương trình:
y + xy2
= 6x2
(1)
1 + x2
y2
= 5x2
(2)
Nhận xét:
• Nếu x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
• Nếu x = 0 chia cả hai vế của phương trình (1) và phương trình (2)
cho x2
= 0 để 2 phương trình xuất hiện biểu thức chung
1
x
+ y và
y
x
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 18
19. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Lời giải
Với x = 0, không thỏa mãn hệ phương trình
Với x = 0 chia cả hai vế (1) và (2) cho x2
= 0 ta được:
y
x2
+
y2
x
= 6
1
x2
+ y2
= 5
⇔
y
x
1
x
+ y = 6
1
x
+ y
2
− 2
y
x
= 5
Đặt S =
1
x
+ y; P =
y
x
. Khi đó ta có
P.S = 6
S2
− 2P = 5
⇔
S = 3
P = 2
Ta có
x = 1
y = 2
hoặc
x =
1
2
y = 1
Bằng cách thử, Vậy hệ phương trình có nghiệm:
(x; y) = (1; 2) , (x; y) =
1
2
; 1
Ví dụ 1.10. Giải hệ phương trình:
(x + y) 1 +
1
xy
= 5
x2
+ y2
1 +
1
x2y2
= 49
Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại 1, nếu ta đặt ẩn phụ theo tổng và
tích như cách thông thường thì được hệ phương trình ẩn mới vẫn phức
tạp.
Nhưng nếu thông qua một vài bước biến đổi, sau đó mới sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ thì được hệ phương trình đơn giản hơn.
Lời giải Điều kiện x = 0, y = 0
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 19
20. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Ta có
(x + y) 1 +
1
xy
= 5
x2
+ y2
1 +
1
x2y2
= 49
⇔
x +
1
x
+ y +
1
y
= 5
x2
+
1
x2
+ y2
+
1
y2
= 49
Đặt a = x +
1
x
; b = y +
1
y
Khi đó ta có hệ phương trình
a + b = 5
a2
+ b2
= 53
⇔
a = 5 − b
(5 − b)2
+ b2
= 53
⇔
a = 5 − b
(b + 2) (b − 7) = 0
⇔
a = 5 − b
b = −2
a = 5 − b
b = 7
⇔
a = 7
b = −2
a = −2
b = 7
Do đó
x +
1
x
= 7
y +
1
y
= −2
x +
1
x
= −2
y +
1
y
= 7
⇔
x =
7
√
45
2
y = −1
x = −1
y =
7
√
45
2
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là
(x; y) =
7 +
√
45
2
; −1 ; (x; y) =
7 −
√
45
2
; −1
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 20
21. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
(x; y) = −1;
7 +
√
45
2
; (x; y) = −1;
7 −
√
45
2
1.3.3 PHƯƠNG PHÁP THẾ
Rút ra một ẩn hoặc 1 biểu thức hoặc một số từ phương trình này thế
vào phương trình kia để được 1 phương trình đơn giản hơn, nhờ đó ta
có hệ phương trình đơn giản hơn.
Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy 1 phương
trình của hệ mà một ẩn chỉ có bậc nhất hoặc ở cả hai phương trình của
hệ có cùng 1 biểu thức chung
Nhiều khi phải thông qua một vài bước biến đổi tương đương rồi mới có
thể sử dụng phương pháp thế được
Ví dụ 1.11. Giải hệ phương trình:
x2
(y + 1) (x + y) = 3x2
− 4x + 1 (1)
xy + x + 1 = x2
(2)
Nhận xét: Dễ dàng rút y từ phương trình (2) của hệ, thay vào phương
trình (1) ta được phương trình ần x, từ đó có lời giải như sau:
Lời giải
• Ta thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
• Với x = 0, thì (2) ⇔ xy = x2
− x − 1 ⇔ y =
x2
− x − 1
x
, thay vào
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 21
22. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
phương trình (1) ta được:
x2
.
x2
− x − 1
x
+ 1 . x +
x2
− x − 1
x
= 3x2
− 4x + 1
⇔ x2
− 1 2x2
− x − 1 = (x − 1) (3x − 1)
⇔ x (x − 1) 2x2
+ x − 5 = 0
⇔ (x − 1) 2x2
+ x − 5 = 0 (vìx = 0)
⇔
x = 1
x =
−1 ±
√
41
4
Với x = 1 thì y = −1
Với x =
−1 +
√
41
4
thì y =
−27 + 3
√
41
20
Với x =
−1 −
√
41
4
thì y =
−27 − 3
√
41
20
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là
(x; y) = (1; −1)
(x; y) =
−1 +
√
41
4
;
−27 + 3
√
41
20
,
(x; y) =
−1 −
√
41
4
;
−27 − 3
√
41
20
Ví dụ 1.12. Giải hệ phương trình:
√
7x + y +
√
2x + y = 5 (1)
√
2x + y + x − y = 2 (2)
Nhận xét: Cả hai phương trình của hệ đều có biểu thức
√
2x + y nên
từ phương trình (2) ta rút
√
2x + y = 2+y −x rồi thế vào phương trình
(1).
Lời giải Điều kiện:
7x + y ≥ 0
2x + y ≥ 0
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 22
23. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
• Từ phương trình (2) suy ra
√
2x + y = 2 + y − x (x − y ≤ 2), thế
vào phương trình (1) ta được:
√
7x + y = 3 + x − y (x − y ≥ −3)
• Do đó ta được:
−3 ≤ x − y ≤ 2
7x + y = 9 + x2
+ y2
+ 6x − 2xy − 6y
2x + y = 4 + y2
+ x2
+ 4y − 4x − 2xy
⇔
−3 ≤ x − y ≤ 2
5x + 2y = 5 + 10x − 10y
2x + y = 4 + y2
+ x2
+ 4y − 4x − 2xy
⇔
−3 ≤ x − y ≤ 2
x = 2y − 1
2 (2y − 1) + y = 4 + y2
+ (2y − 1)2
+ 4y − 4 (2y − 1) − 2xy
⇔
−3 ≤ x − y ≤ 2
x = 2y − 1
y2
− 11y + 11 = 0
⇔
−3 ≤ x − y ≤ 2
x = 10 +
√
77
y =
11 +
√
77
2
x = 10 −
√
77
y =
11 −
√
77
2
⇔
x = 10 −
√
77
y =
11 −
√
77
2
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(x; y) = 10 −
√
77;
11 −
√
77
2
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 23
24. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Ví dụ 1.13. Giải hệ phương trình:
x3
+ 2xy2
+ 12y = 0 (1)
x2
+ 8y2
= 12 (2)
Nhận xét: Nếu thay 12 = x2
+ 8y2
vào phương trình (1) thì ta có thể
biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích
Lời giải
Thay 12 = x2
+ 8y2
vào phương trình (1) ta được:
x3
+ 2xy2
+ x2
+ 8y2
y = 0 ⇔ (x + 2y) x2
− xy + 4y2
= 0
⇔
x = −2y
x2
− xy + 4y2
= 0
Hệ phương trình đã cho tương đương
x = −2y
x2
+ 8y2
= 12
(I)
x2
− xy + 4y2
= 0
x2
+ 8y2
= 12
(II)
Giải hệ (I):
x = −2y
y2
= 1
⇔
x = −2
y = 1
x = 2
y = −1
Giải hệ (II):
x −
y
2
2
+
15
4
y2
= 0
x2
+ 8y2
= 12
⇔
x = 0; y = 0
x2
+ 8y2
= 12
hệ vô nghiệm
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:
(x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (2; −1)
Ví dụ 1.14. Giải hệ phương trình:
y3
+ xy2
+ 3x − 6y = 0 (1)
x2
+ xy = 3 (2)
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 24
25. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Lời giải Ta có
y3
+ xy2
+ 3x − 6y = 0 (1)
x2
+ xy = 3 (2)
⇔
y3
+ xy2
+ 3x − 2.3y = 0 (3)
x2
+ xy = 3
Thay 3 = x2
+ xy vào phương trình (3) ta được:
y3
+ xy2
+ x2
+ xy x − 2y x2
+ xy = 0 ⇔ (x + y) (x − y)2
= 0
⇔
x = −y
x = y
• Với x = −y, thay vào phương trình (2) ta được y2
−y2
= 3, phương
trình vô nghiệm
• Với x = y, thay vào phương trình (2), ta được:
y2
+ y2
= 3 ⇔
y =
3
2
y = −
3
2
Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm
(x; y) =
3
2
;
3
2
, (x; y) = −
3
2
; −
3
2
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 25
26. Chương 2
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 2.1. Giải hệ phương trình sau:
y (xy − 2) = 3x2
y2
+ x2
y + 2x = 0
Gợi ý:
Cộng theo từng vế của hai phương trình rồi biến đổi thành phương trình
tích
Đáp số:
(x; y) = (0; 0) , (x; y) =
−1
3
√
3
; −
3
√
3 , (x; y) = (2; −2)
Bài tập 2.2. Giải hệ phương trình sau:
y2
+ 1
y
=
x2
+ 1
x
x2
+ 3y2
= 4
Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích
Đáp số:
(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−1; −1) ,
(x; y) =
√
3;
1
√
3
; (x; y) = −
√
3; −
1
√
3
Bài tập 2.3. Giải hệ phương trình sau:
x2
+ xy = 6
x3
+ y3
+ 18y = 27
Gợi ý: Thay 6 = x3
+ xy vào phương trình (2)
Đáp số: (x; y) = (2; 1)
27. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Bài tập 2.4. Giải hệ phương trình sau:
xy + x + 1 = 7y
x2
y2
+ xy + 1 = 13y2
Gợi ý: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt x +
1
y
= a,
x
y
= b
Đáp số: (x; y) = (3; 1) , (x; y) = 1;
1
3
Bài tập 2.5. Giải hệ phương trình sau:
x2
− xy + x − y = 4
3x2
− 3xy − 5x + 5y = 4
Gợi ý: Thế 4 = (x + 1) (x − y) vào phương trình (2) rồi biến đổi thành
phương trình tích
Đáp số: (x; y) = (3; 2)
Bài tập 2.6. Giải hệ phương trình sau:
x2
+ xy + y2
= 19(x − y)2
x2
− xy + y2
= 7 (x − y)
Gợi ý: Viết phương trình (1) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn x
Đáp số: (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2; −3) ,
Bài tập 2.7. Giải hệ phương trình sau:
4x2
+ y4
− 4xy3
= 1
4x2
+ 2y2
− 4xy = 2
Gợi ý: Trừ theo từng vế của phương trình (2) và phương trình (1) rồi
biến đổi thành phương trình tích
Đáp số:
(x; y) = (0; 1) , (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (0; −1) ,
(x; y) = (−1; −1) , (x; y) = −
1
√
5
;
1
√
5
, (x; y) =
1
√
5
; −
1
√
5
,
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 27
28. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Bài tập 2.8. Giải hệ phương trình sau
x2
+ y2
+ x + y = 8
x2
− 3y2
+ 2xy − x + 5y − 2 = 0
Gợi ý: Viết phương trình (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn x
Đáp số:
(x; y) = (1; 2) , (x; y) = (−3; −2) ,
(x; y) =
−1 + 3
√
69
10
;
7 + 3
√
69
10
, (x; y) =
−1 − 3
√
69
10
;
7 − 3
√
69
10
.
Bài tập 2.9. Giải hệ phương trình sau:
x2
+ y2
+
2xy
x + y
= 1
√
x + y = x2
− y
Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích
Đáp số:
(x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−2; 3)
Bài tập 2.10. Giải hệ phương trình sau:
x3
− y3
= 4x + 2y
x2
− 1 = 3 1 − y2
Gợi ý: Thay 4 = x2
+ 3y2
vào phương trình (1) và biến đổi thành
phương trình tích
Đáp số:
(x; y) = (2; 0) , (x; y) = (−2; 0) , (x; y) = −
5
√
7
7
;
√
7
7
,
(x; y) =
5
√
7
7
;
−
√
7
7
, (x; y) = (−1; 1) , (x; y) = (1; −1) ,
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 28
29. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Bài tập 2.11. Giải hệ phương trình sau:
x2
− 2xy + x − 2y + 3 = 0
y2
− x2
+ 2xy + 2x − 2 = 0
Gợi ý: Nhân hai vế của phương trình (1) với (2) rồi cộng theo từng vế
phương trình (2)
Đáp số:
(x; y) =
−5 −
√
21
2
;
−1 −
√
21
2
, (x; y) =
−5 +
√
21
2
;
−1 +
√
21
2
,
Bài tập 2.12. Giải hệ phương trình sau:
x xy − 2y2
= 3
x2
+ y − 2xy = 4
Gợi ý: Trừ vế với vế phương trình (1) và phương trình (2) rồi biến đổi
thành phương trình tích
Đáp số:
(x; y) = (3; 1) , (x; y) = (−1; −1) ,
(x; y) = 3 +
√
10; 3 , (x; y) = 3 −
√
10; 3 ,
Bài tập 2.13. Giải hệ phương trình sau:
x2
+
4
y2
= 4
x −
2
y
−
4x
y
= −2
Gợi ý: Đặt x −
2
y
= a,
4x
y
= b
Đáp số:
(x; y) = (0; 1) , (x; y) =
2 + 2
√
7
3
;
1 +
√
7
2
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 29
30. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
(x; y) =
2 − 2
√
7
3
;
1 −
√
7
2
Bài tập 2.14. Giải hệ phương trình sau:
x − 2y −
2
x
+ 1 = 0
x2
− 4xy + 4y2
−
4
x2
+ 1 = 0
Gợi ý: Đặt x − 2y = a,
2
x
= b
Đáp số: (x; y) = (2; 1)
Bài tập 2.15. Giải hệ phương trình sau:
x4
− x3
y + x2
y2
= 1
x3
y − x2
+ xy = −1
Gợi ý: Trừ vế với vế của phương trình (1) và phương trình (2), Rồi
đặt x2
− xy = t
Đáp số: (x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−1; 0) ,
Bài tập 2.16. Giải hệ phương trình sau:
(x − y) x2
+ y2
= 13
(x + y) x2
− y2
= 25
Gợi ý: Trừ theo từng vế phương trình (1) và phương trình (2), rồi đặt
x − y = a, xy = b
Đáp số: (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2; −3) ,
Bài tập 2.17. Giải hệ phương trình sau:
x2
+ y2
+ x + y = 4
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2
Gợi ý: Phương pháp thế
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 30
31. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
Đáp số:
(x; y) = −
√
2;
√
2 , (x; y) =
√
2; −
√
2
(x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2)
Bài tập 2.18. Giải hệ phương trình sau:
x4
+ 2x3
y + x2
y2
= 2x + 9
x2
+ 2xy = 6x + 6
Gợi ý: Thế xy =
6x + 6 − x2
2
vào phương trình (1)
Đáp số: (x; y) = −4;
17
4
Bài tập 2.19. Giải hệ phương trình sau:
x (x + 2) (2x + y) = 9
x2
+ 4x + y = 6
Gợi ý: Đặt x (x + 2) = a; 2x + y = b
Đáp số: (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−3; 9)
Bài tập 2.20. Giải hệ phương trình sau:
√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4
Gợi ý: Đặt ẩn phụ
Đáp số: (x; y) = (2; −1)
Bài tập 2.21. Giải hệ phương trình sau:
4xy + 4 x2
+ y2
+
3
(x + y)2 = 7
2x +
1
x + y
= 3
Gợi ý: Đặt ẩn phụ
Đáp số: (x; y) = (1; 0)
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 31
32. Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán
GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 32
33. KẾT LUẬN
Kiến thức được trình bày trong chuyên đề đã được giảng dạy cho các
em học sinh giỏi lớp 9 và các lớp luyện thi vào lớp 10
Kết quả thu được khả quan, các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi
cái mới, cái hay, các em có niềm tin trong học tập, không ngại khó, yêu
thích môn Toán.
Với loại hệ phương trình này người thầy phải biết phân loại bài, biết vận
dụng sáng tạo phương pháp và định hướng cách giải cho học sinh
Mặc dù rất cố gắng khi thực hiện chuyên đề nhưng không tránh khỏi
những thiếu xót, hạn chế nhất định. Vì vậy tôi mong muốn được đồng
nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Để hoàn
thành được chuyên đề này tôi xin được chân thành cảm ơn Ban giám
hiệu, các đồng chí trong tổ Toán - Lý - Tin đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình làm chuyên đề.
Phúc Yên, ngày 07 tháng 03 năm 2014
Người viết
Nguyễn Thị Thanh Huyền