1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức - Tổ hợp]
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn
2
0 1 22 2 2 121
...
2 3 1 1
n
n
n n n nC C C C
n n
+ + + + =
+ +
Lời giải:
Xét khai triển 0 1 2 2
(1 ) ...n n n
n n n nx C C x C x C x+ = + + + +
Lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được:
1 2 3 1
0 1 33 1 2 2 2
2 ...
1 2 3 1
n n
n
n n n nC C C C
n n
+ +
−
= + + + +
+ +
⇔
2 1 1
0 1 2 12 2 2 3 1 121 3 1
... 3 243 4
2 3 1 2( 1) 1 2( 1)
n n n
n n
n n n nC C C C n
n n n n
+ +
+− −
+ + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ + + +
Vậy n = 4.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh: 0 1 2 1
2 3 ... ( 1) ( 2)2n n
n n n nC C C n C n −
+ + + + + = + , với n nguyên dương.
Lời giải:
Ta có : 0 1 2 2 3 3
(1 ) ... (1)n n n
n n n n nx x xC xC x xC x xC x C x+ = + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: 1 0 1 2 2
(1 ) (1 ) 2 3 ... ( 1) (2)n n n n
n n n nx nx x C C C x n C x−
+ + + = + + + + +
Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính tổng S = 0 1 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 1 1 1 1
...
3 4 5 2013 2014
C C C C C− + − + −
Lời giải:
Ta có 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011(1 ) ...x C C x C x C x C x− = − + − + −
Suy ra 2 2011 0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013
2011 2011 2011 2011 2011(1 ) ...x x C x C x C x C x C x− = − + − + −
1
2 2011
0
(1 )x x dx−∫ = ( )
1
0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013
2011 2011 2011 2011 2011
0
...C x C x C x C x C x dx− + − + −∫
=
1
0 3 1 4 2 5 2010 2013 2011 2014
2011 2011 2011 2011 2011
0
1 1 1 1 1
...
3 4 5 2013 2014
C x C x C x C x C x
 
− + − + − 
 
= 0 1 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 1 1 1 1
...
3 4 5 2013 2014
C C C C C− + − + −
Vậy
1
2 2011
0
(1 )S x x dx= −∫ .
Đặt t = 1 – x ⇒dt = – dx . Với x = 0 thì t = 1; với x = 1 thì t = 0
0
2 2011
1
(1 ) ( )S t t dt= − −∫ =
1
2 2011
0
( 2 1)t t t dt− +∫ =
1
2013 2012 2011
0
( 2 )t t t dt− +∫
=
1
2014 2013 2012
0
2
2014 2013 2012
t t t 
− + 
 
=
1 2 1
2014 2013 2012
− + =
1
2013.2014.1006
Ví dụ 4: [ĐVH]. Với n là số nguyên dương.
01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P5
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Chứng minh rằng :
2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 1
2 ...
2 3 1 1
n n
n
n n n nC C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +
Lời giải:
Xét khai triển ( )
0
1
n
n k k
n
k
x C x
=
+ = ∑ (1)
Lấy tích phân hai vế của (1) ta có:
2 2 1 1
0 00 0
2 2(1 )
(1 )
0 01 1
n kn n
n k k k
n n
k k
x x
x dx C x C
n k
+ +
= =
+
+ = ⇔ =
+ +
∑ ∑∫ ∫
Từ đó dẫn tới :
2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 1
2 ...
2 3 1 1
n n
n
n n n nC C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm số nguyên dương n thoả mãn 0 1 2 31 1 1 1 1023
2 3 4 1 10
n
n n n n nC C C C C
n
+ + + + + =
+
⋯
Lời giải:
Xét khai triển ( ) ( ) ( )
1 1
0 1 2 2 0 1 2 2
0 0
1 1
n nn n n n
n n n n n n n nx C C x C x C x x dx C C x C x C x dx+ = + + + + ⇒ + = + + + +∫ ∫⋯ ⋯
( )
11 1
0 1 2 2 3 1
0
0
1 1 1 1
1 2 3 1
n
n n
n n n n
x
C x C x C x C x
n n
+
++  
⇒ = + + + + 
+ + 
⋯
1
0 1 2 32 1 1 1 1 1 1023
1 2 3 4 1 1
n
n
n n n n nC C C C C
n n n
+
−
⇒ = + + + + + =
+ + +
⋯
1 1 10
2 1 1023 2 1024 2 1 10 9n n
n n+ +
⇒ − = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ =
Ví dụ 6: [ĐVH]. Tính tổng: 2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
2011 2011 2011 2011 20111 2 3 ... 2010 2011S C C C C C= + + + + +
Lời giải:
Ta có ( )
2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 20111 x C C x C x C x C x+ = + + + + +⋯ (1)
Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: ( )
2010 1 2 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 20112011 1 2 3 2011x C xC x C x C+ = + + + +⋯
nhân hai vế với x ta được: ( )
2010 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 20112011 1 2 3 2011x x xC x C x C x C+ = + + + +⋯ (2)
Lấy đạo hàm hai vế (2) ta được
( ) ( )( )2010 2019 1 2 2 2 2 3 2 2010 2011
2011 2011 2011 20112011 1 2010 1 2 3 2011x x x C xC x C x C+ + + = + + + +⋯ (3)
Thay x = 1 vào ta được ( )2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2011 2011 20112011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C+ = + + +
Vậy 2009
2011.2012.2S =
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
1
42
n
x
x
+
 
 
 
biết rằng
n là số nguyên dương thỏa mãn: ( )1 2 3 1
2 3 1 64n n
n n n n nC C C n C nC n−
+ + + + − + =⋯
Lời giải:
Xét khai triển ( ) 0 1 2 2 1 1
1 ...
n n n n n
n n n n nx C C x C x C x C x− −
+ = + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế ta có ( ) ( )
1 1 2 1 2 1
1 2 ... 1
n n n n n
n n n nn x C C x n C x nC x
− − − −
+ = + + + − +
Thay x = 1 suy ra ( )1 2 3 1 1
2 3 1 2n n n
n n n n nC C C n C nC n− −
+ + + + − + =⋯
1 1
64 2 64 2 7n n
n n− −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Khi đó ta có ( )
7 7 7
74 4
0
1 1
2 2
k
k
k
k
x C x
x x
−
=
   
+ =   
   
∑

3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Số hạng chứa 2
x có hệ số là 7
1
2
k
k
C với k thoả mãn
7
2 2
2 4
k k
k
−
− = ⇔ =
Suy ra hệ số chứa 2
x là 2
7
1 21
4 4
C =
Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm hệ số của 20
x trong khai triển 5
3
2
n
x
x
 
+ 
 
biết rằng:
0 1 21 1 1 1
... ( 1)
2 3 1 13
n n
n n n nC C C C
n
− + + − =
+
+
Lời giải:
Ta có
11 1 1
0 0 0
(1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
1 1
n
n n x
x dx x d x
n n
+
−
− = − − − = − =
+ +∫ ∫
Mặt khác, 0 1 2 2
(1 ) .... ( 1)n n n n
n n n nx C C x C x C x− = − + − + −
1
0 1 2 2 0 1 2
0
1 1 1 1
( .... ( 1) ) ... ( 1)
2 3 1 13
n n n n n
n n n n n n n nC C x C x C x dx C C C C
n
⇒ − + − + − = − + + + − =
+∫
1 13 12n n⇒ + = ⇒ =
Khi đó ta có ( )
1212 12 12
5 5 5 12 8 36
12 123 3 3
0 0
2 2 2
. .2 .
kn
kk k k k
k k
x x C x C x
x x x
−
− −
= =
     
+ = + = =     
     
∑ ∑
Số hạng chứa 20
x ứng với k thoả mãn:
0 20
7
8 36 20
k
k
k
≤ ≤
⇔ =
− =
⇒ Hệ số của 20
x là: 7 5
12.2 25344C =
Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho đẳng thức 1 2 3 2 1 2 8
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1... 2 1n n n n n
n n n n nC C C C C+ + + −
+ + + + ++ + + + + = − .
Tìm hệ số của số hạng chứa x10
trong khai triển ( )3 4
1
n
x x x− + − .
Lời giải:
Đặt 1 2 3 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1...n n n n n
n n n n nS C C C C C+ + + −
+ + + + += + + + + +
Ta có ( )2 1 0 1 2 1 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1(1 1) ... ...n n n n n n n
n n n n n n n n nC C C C C C C C C+ − + + +
+ + + + + + + + ++ = + + + + + + + + + +
( ) ( )2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ... ...n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n nC C C C C C C C C C+ + − + + + + −
+ + + + + + + + + +⇒ = + + + + + + + + + + +
2 1 2 2 8
2 2 2 2 1 2 2 4n n n
S S n+
⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = .
( ) ( ) ( )
44 43 4 3 3
1 (1 ) (1 ) 1 1
n
x x x x x x x x ⇒ − + − = − + − = − + 
( )( )0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 3 2 6 3 9 4 12
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4C C x C x C x C x C C x C x C x C x= − + − + + + + + .
Ta có hệ số của x10
là: 1 3 4 2
4 4 4 4. . 10C C C C− + = −
Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x2
trong khai triển nhị thức Niutơn của 4
1
2
n
x
x
 
+ 
 
, biết
rằng n là số nguyên dương thỏa mãn:
2 3 1
0 1 22 2 2 6560
2
2 3 1 1
n
n
n n n nC C C C
n n
+
+ + + + =
+ +
⋯
Lời giải:
Ta có ( )
2 2
0 1 2 2
0 0
(1 )n n n
n n n nI x dx C C x C x C x dx= + = + + + +∫ ∫ ⋯

4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
2 2 3 1
0 1 2 2 3 1 0 1 2
0
1 1 1 2 2 2
2
2 3 1 2 3 1
n
n n n
n n n n n n n nC x C x C x C x I C C C C
n n
+
+ 
= + + + + ⇒ = + + + + 
+ + 
⋯ ⋯ (1)
Mặt khác
121
0
1 3 1
(1 )
1 1
n
n
I x
n n
+
+ −
= + =
+ +
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 1
2
2 3 1 1
n n
n
n n n nC C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +
⋯
Theo bài ra thì
1
13 1 6560
3 6561 7
1 1
n
n
n
n n
+
+−
= ⇔ = ⇒ =
+ +
Ta có khai triển ( )
7 14 37 77
4
7 74 4
0 0
1 1 1
22 2
k k
k
k k
k
x C x C x
x x
−
−   
+ = =   
   
∑ ∑
Số hạng chứa x2
ứng với k thỏa mãn
14 3
2 2
4
k
k
−
= ⇔ = Vậy hệ số cần tìm là 2
72
1 21
42
C =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x26
trong khai triển nhị thức Niutơn của 7
4
1
n
x
x
 
+ 
 
, biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1... 2 1n
n n nC C C+ + ++ + + = −
Bài 2: [ĐVH]. Tìm hệ số của x4
trong khai triển biểu thức ( )2
1 3
n
A x x= − − thành đa thức. Trong đó n là
số nguyên dương thỏa mãn ( )2 2 2 2 2
2 3 4 12 ... 3n nC C C C A ++ + + + =
Bài 3: [ĐVH]. Tìm hệ số của x6
trong khai triển ( )
72
1 1x x + +  thành đa thức.
Bài 4: [ĐVH]. Tìm hệ số của x8
trong khai triển ( )
82
1 1x x + −  thành đa thức.
Bài 5: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x4
khi khai triển (1 + 2x + 3x2
)10
.
Bài 6: [ĐVH]. Tìm hệ số chứa x10
khi khai triển P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2
+ 3(1 + x)3
+......+ 15(1 + x)15
.
Bài 7: [ĐVH]. Tìm hệ số của x5
trong khai triển thành đa thức của P(x) = x(1 – 2x)5
+ x2
(1 + 3x)10
Bài 8: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa 3
1
x
khi khai triển
7
3 2
1
( ) 1 2P x x
x
 
= − +  
 