1. PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICA
Liceul : Grup Scolar Industrial Construtii de Masini Dacia
Clasa :a XII-a C
Data : 21.10.2010
Propunator : profesor Daniela Saveanu
Disciplina: Matematică-algebră
Unitatea de invatare : LEGI DE COMPOZITIE
Tema : Proprietati ale legilor de compozitie: Element neutru . Monoizi
Tipul: lectie pentru dobandirea de noi cunostinte
Nivelul clasei : mediu
Obiectiv cadru : rezolvarea de aplicatii utilizand metodele invatate
Obiective educationale:
• Obiective cognitive : - sa defineasca corect notiunile invatate;
-sa recunoasca in aplicatii anumite tipuri de legi;
• Obiective afective : - sa argumenteze corect alegerea unei variante;
-sa aprecieze corect solutiile oferite de ceilalti membrii ai clasei
• Obiective psihomotorii :- sa utilizeze corect notiunile teoretice insusite
- sa rezolve probleme
Obiective operationale :
O1 : sa identifice contextele ce pot fi descrise matematic ;
O2 : sa cunoasca notatiile pentru legile de compozitie
O3 : sa foloseasca corect notiunile invatate
Strategii didactice
• Principii didactice :
- principiul participarii si invatarii active ;
- principiul asigurarii progresului gradat al performantei ;
• Metode de invatare :
- metode de comunicare orala : expunere , conversatie
- metode de actiune: exercitiul , invatarea prin descoperire
Procedee de instruire :
- explicatia in etapa de comunicare ;
- invatarea prin rezolvare de probleme
- conversatia de consolidare in etapa de fixare a cunostintelor
Forme de organizare: frontal si individual
Resurse materiale : material bibliografic : manual , culegere ;
Metode de evaluare : set de aplicatii
Desfasurarea lectiei :
1. Moment organizatoric

2. - organizarea si pregatirea clasei : verificarea frecventei si verificarea cantitativa si
calitativa a temei;
- captarea atentiei clasei : anuntarea subiectului pentru tema respectiva si anuntarea
modului de desfasurare a acivitatii ;
2. Reactualizarea cunostintelor - se face prin intrebari referitoare la proprietatile
operatiilor de numere pe multimile studiate : N, Z, Q , R , C .
Evaluarea in etapa de reactualizare se realizeaza frontal .
Comunicarea noilor cunostinte
Element neutru
Numerele reale 0 si 1 au pruprietatiile:
0+x=x+0=x, (∀) xεR,
respectiv
1⋅x=x⋅1=x, (∀) xεR.
Daca E este o multime si 1E:E→E este aplicatia identica a lui E, atunci:
1E °f=f°1E =f, (∀) fεF(E).
De asemenea, pentru orice matrice A ε M2(R) avem:

3. 0.  a1. 2 0+a1. 12 a1. 2
0+A= + = = =A
0.  a21. 2 0+a21. 2 a21. 2
si analog A+0=A.
Definitie:Un element eε M se numeste element neutru pentru o lege de .
compozitie M× M→ M, (x, y)→ x*y, daca exista e €M astfel incat
e*x=x*e=x, (∀ ) xε M.
Teorema:Daca o lege de compozitie are element neutru, atunci acesta este .
unic.
Demonstratie:Fie e si e` doua elemente neutre pentru o lege de compozitie
M×M→M, (x, y)→x*y. Avem e*e`=e` caci e este element neutru.De asemenea, e*e`=e caci
si e` este element neutru, de unde e=e`.
Asadar, elementul neutru,in caz ca exista,este unic determinat.
In notatie aditiva elementul neutru se noteaza de regula cu 0 si se numeste elementul
zero, iar in notatie multiplicativa elementul neutru se noteaza cu 1 sau chiar cu e si poarta
numelede elementul unitate. Avem
0+x=x+0=x, (∀) xεM,
respectiv
1⋅x=x⋅1=x, (∀) xεM.
Perechea (M,*) se numeste monoid daca legea de compozitie satisface urmatoarele
axiome:

4. 1. axioma de asociativitate
2. axioma elementului neutru . In plus daca legea este si comutativa , monoidul se
numeste comutativ sau abelian.
Exemple:
1.Numarul real 0 este elementul neutru al adunarii numerelor reale, numarul real 1 este
elementul neutru al inmultirii numerelor reale.
2.Aplicatia identica 1E a multimii E este elementul neutru al operatiei de compunere a
functiilor din F(E).
Aplicatii: 1) Pe R, se defineşte legea de compoziţie: x y = xy – x – y + 2, ∀ y ∈ R.
 x,
Se consideră: M = ( 1, ∞
).
a) Demonstraţi, că: x y = ( x – 1) ( y – 1) + 1 , ∀ y ∈ R.
 x,
b) Demonstraţi, că: M este parte stabilă a lui R, în raport cu legea: “ ” . 
c) Să se arate, că: ∃e ∈ M, astfel încât: x e = e
  x = x, ∀ ∈ R.
x

d) Deduceţi, că: ( M, ) este monoid comutativ.
2) Pe G = ( 3, ∞ ), se consideră aplicaţia: x ∗ y = xy – 3x – 3y + 12, ∀x, y ∈ G. Arătaţi ca:
a) ( G,∗ ) este monoid abelian;
Dirijarea invatarii pentru obtinerea performantei : se propun spre rezolvare in clasa
urmatoarele aplicatii : manual exercitiul E1,b) , e); E2; A1 -b)
Realizarea feed back-ului se face rezolvand testul :
1. Pe R se defineşte legea de compoziţie: “ ∗ ” , definită prin: x ∗ y = xy – 7x – 7y + 56.
a) Să se verifice, că: x ∗ y = ( x – 7)( y – 7) + 7, ∀ y ∈ R.
x,
b) Sa se determine elementul neutru
Consolidarea notiunilor prezentate : se alcatuieste un rezumat al noilor notiuni , iar elevii
memoreaza ideile principale
Se noteaza raspunsurile primite de la elevi si se anunta tema pentru acasa : manual , ex.:
E1-a), c) si E4-a) .