1. Interpretarea datelor statistice prin
parametrii de pozitie

2.  Analiza si interpretarea datelor statistice legate de un studiu
statistic s-a realizat pana la acest moment cu ajutorul
frecventelor si a graficelor statistice.Cu ajutorul acestor
caracteristici se poate observa cu usurinta variabilitatea
marimilor care se obtin ca rezultat al unor masuratori.Desi
exista aceasta variabilitate se observa o tendinta a datelor
statistice de a se grupa in jurul unei anumite valori(tendinta
centrala).
 Pentru o serie statistica este interesant de gasit aceea
marime care survine cel mai des, aceea marime care este
cea mai reprezentativa pentru toata seria.O astfel de marime
se numeste indicator sau parametru de pozitie deoarece
arata pozitia elementelor principale ale seriei in cadrul
acesteia.
 Reprezentativitatea unor astfel de marimi este data de
gradul de concentrare a datelor statistice in jurul lor.

3. Valoarea medie a unei serii
statistice
 Se numeste valorea medie sau media
variabilei statistice X,media aritmetica a
tuturor valorilor variabilei statistice calculata
pentru toate unitatile populatiei statistice.
p
 xi ni
x1n1 x2 n2 ...... x p n p i 1
x
n1 n2 .... n p N
 Valoarea medie x¯reprezinta media
aritmetica ponderata a valorilor x1….xp ale
variabilei statistice cu ponderile n1…np

4. Exemplu:
 Sa calculam media variabilei statistice a seriei
statistice din urmatorul tabel:
Nota(xi) 4 5 6 7 8 9 10
Frecventa 1 4 5 7 13 14 6
absoluta(ni)
 Avem: x 4 *1 5 * 4 6 * 4 7 * 7 8 *13 9 *14 10 * 6 393
7,86
1 4 5 7 13 14 6 50
 Asadar, concentrarea notelor la teza se realizeaza in jurul
numarului 7,86

5.  Daca variabila statistica X este cantitativa de tip continuu,atunci in locul
valorilor xi din formula se vor lua mediile aritmetice ale extremitatilor
claselor de valori(valorile centrale ale claselor de valori).
 Exemplu: Sa consideram seria statistica data de urmatorul tabel:
Inaltime Numar de Frecventa Frecventa
tineri absoluta absoluta
cumulata cumulata
crescatoare descrescato
are
[155,160) 5 5 63
[160,165) 12 17 58
[165,170) 15 32 46
[170,175) 20 52 31
[175,180) 8 60 11
[180,185] 3 63 3

6.  Pentru calcularea valorii medii a variabilei cantitative de
tip continuu,vom scrie mai intai seria statistica ( xi* , ni )
,i=1.6 unde x i* este valoarea centrala a clasei [ xi , xi 1 )
Xi* 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5
ni 5 12 15 20 8 3
 Valoarea medie a variabilei statistice este:
157,5 * 5 162,5 *12 167,5 *15 172,5 * 20 177,5 * 8 182,5 * 3 10667,5
x xi
5 12 15 20 8 3 63
 Se obtine ca: x 169 ,32
 Asadar,tendinta valorilor variabilei statistice este aceea de
grupare in jurul valorii 169,32.
 Diferenta xi x reprezinta abatarea de la medie a
valorii x i .Suma abaterilor de la medie a valorilor
variabilei este 0.

7. Mediana seriei statistice
 Fie seria statistica ( xi , ni ) , i 1, p
,ordonata xk xk 1 , k 1 si N efectivul
total al populatiei statistice.
 Mediana undei serii statistice ordonate
este valoarea Me care imparte sirul
ordonat al valorilor variabilei in doua
parti,fiecare parte continand acelasi
numar de valori.

8.  Exemplu:
 1.Daca o caracteristica ia urmatoarele
11 valori asezate in ordine
crescatoare:1,3,3,3,4,5,6,6,7,8,8 atunci
Me=5.
 2.Fie sirul crescator de valori ale unei
caracteristici numerice
distincte:1,3,3,3,4,6,7,8,8,9.Sirul
valorilor are 10 elemente.In acest caz se
alege drept mediana a seriei numarul
4 6
Me= 2 5

9.  Mediana unei serii statistice cu variabila
cantitativa discreta se obtine astfel:se
aseaza cele N valori ale variabilei in
ordine crescatoare sau
descrescatoare;daca N este numar
impar atunci Me x N 1
2
,iar daca N este
numar par(N=2k) atunci Me x x k k 1
2

10. Observatie!
 Daca valorile variabilei sunt numeroase ,se recomanda determinarea frecventelor
absolute cumulate, apoi se cauta valoarea variabilei care corespunde unitatii
statistice situata la mijlocul seriei,sau intervalul care cuprinde acea unitate statistica.
Nota la teza 5 6 7 8 9 10
Frecventa absoluta 16 16 62 12 10 8
Frecventa absoluta 16 32 64 76 86 94
cumulata
crescatoare
 Efectivul notal al populatiei este 94.Pozitia centrala a sirului ordonat al valorilor
variabilei este 94/2=47.Unitatea statistica situata pe pozitia 47 corespunde celei de-
a treia secvente cumulate crescatoare.Asadar Me=7.

11.  Sa determinam acum mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip
continuu.Pentru aceasta,sa consideram distributia unui lot de piese dupa diametrul lor
masurat in mm.
Diametrul(m [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)
m)
Frecventa 10 15 12 15 8
absoluta
Frecventa 10 25 37 52 60
cumulata
crescatoare
 Jumatate din efectivul total al populatiei este 60/2=30.
 Clasa de valori din seria frecventelor absolute cumulate careia ii corespunde cel putin
jumatate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana.
 In cazul seriei date clasa mediana este [30,40).Presupunand ca pentru aceasta serie
cresterea efectivului este proportionala cu cresterea valorilor variabilei,avem:
 La cresterea efectivului cu (37-25) piese,corespunde cresterea valorilot variabilei cu (40-
30)=10 mm;
 La cresterea efectivului cu (30-25) de piese ,ce crestere a valorilor variabilei corespunde?

12.  Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa
de tip continuu se calculeaza cu formula:
C N
 Me L M
n
i 1
*k ,unde:
i
 L=limita inferioara a clasei mediane;
 CM =cota medianei (daca N este par,atunci
CM =N/2,iar daca N este impar,atunci
 Ni-1=frecventa absoluta cumulata crescatoare
pana la clasa mediana; C N2 1
M
 n i =frecventa absoluta corespunzatoare clasei
mediane;
 k=amplitudinea clasei mediane: xi 1 xi

13.  Me=30+[(30-25)/12]*10=34,17
 Se poate calcula si cu regula de trei
simpla:
 (37-25)…………….(40-30)mm
 (30-25)…………....X mm
 X=(30-25)*(40-30)/(37-25)=25/6=4,17
mm→Me=30+4,17=34,17mm.
 Concluzie:Mediana seriei statistice este
un indicator al pozitionarii valorilor xi ale
acesteia.Aceasta este utila in realizarea
ierarhizarii valorilor.

14. Modulul unei serii statistice
 In multe activitati economico-sociale
prezinta interes acele aspecte care survin
cel mai frecvent in derularea lor.
 De exemplu,compararea numarului de
apeluri telefonice pe intervale mici de timp
da posibilitatea determinarii perioadei din zi
cand o centrala telefonica este cel mai mult
solicitata si, in consecinta,da posibilitatea
determinarii capacitatii optime a centralei.
 Astfel de probleme se rezolva folosind
parametrul statistic de pozitie numit modul
sau dominanta.

15.  Modulul sau dominanta unei serii statistice ( xi , ni ),1 i p
,reprezinta valoarea sau clasa de valori a variabilei care corespunde
celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.Asadar,modulul sau dominanta
este parametrul ce evidentiaza valoarea variabilei care apare cel mai
frecvent in multimea datelor.
Exemplu:
1.Fie distributia unui grup de tineri dupa inaltimea masurata in cm:
Inaltimea [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)
(cm)
Numarul 4 14 27 35 14 6
de tineri
Clasa mondiala este[175,180) careia ii corespunde cea mai mare
frecventa.Modulul sriei poate fi exprimat prin valoarea centrala a clasei
mondiale: Mo 175 180 177 ,5 .
2

17.  Pentru determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii
statistice cu date grupate in clase de valori,sa consideram o
secventa a diagramei structurale a acesteia care sa contina si
valorile din clasa modala [1,L).
 Notam: 1 =diferenta dintre frecventa clasei modale si aceea a
clasei anterioare ei.
=diferenta dintre frecventa clasei modale si aceea a
2
clasei urmatoare.
k=amplitudinea clasei modale,k=L-1
Conform graficului se obtine urmatoarea relatie de proportionalitate:
1 Mo 1 ,relatie din care se obtine 2
Mo L *k
2 L Mo
1 2
Daca intervalul anterior clasei modale are frecventa mai mare decat a
intervalului urmator clasei modale , atunci : Mo 1 1
*k
1 2
Pentru seria statistica din exemplu de mai sus se aplica formula a 2 –a
si se obtine:
1 (35 27 )
Mo 1 * k 175 * (180 175 ) 176 ,38
1 2 (35 27 ) (35 14 )

18. Observatii:
 1. In cazul formulei a 2a Mo este mai este mai
apropiata de 1. In cazul primei formule Mo este
mai apropiat de L.
 2.Mo coincide cu o valoare a variabilei
statistice,reprezentand cea mai frecventa valoare
a repartitiei.
 3.Mo nu e influentat de valorile foarte mici sau
foarte mari ale variabilei.
 4.O serie statistica poate avea mai multe
module.Modulul prezinta interes daca este unic.

19. Dispersia.Abaterea medie
patratica
 Sa consideram urmatoarele seturi de date:
 {1,2,3,3,4,5} si {2,40;2,50;2,60;2,70;2,80;5}
 Se constata ca ambele siruri de date au valoarea
medie egala cu 3,sunt disticte ,iar datele primului
sir sunt mai raspandite in raport cu media fata de
cele ale setului al 2 lea.
 Pentru a masura gradul de imprastiere a datelor
unei serii statistice fata de medie se folosesc
urmatorii parametri de pozitie: dispersia si
abaterea medie patratica.

20.  Fiind data seria statistica ( xi , ni ),1 i p ,dispersia valorilor x1, x2 ,..., xp
este media aritmetica ponderata a patratelor abaterilor de la medie ale
valorilor variabilei.
 Se noteaza: p
( xi x) 2 ni
( x1 x) 2 * n1 ( x2 x) 2 * n2 ... ( x p x) 2 * n p
s2 i 1
n1 n2 ... n p N
 In cazul datelor grupate in clase de valori,se considera abaterile centrelor
claselor de valori de la medie.
 Compararea dispersiilor a 2 serii statistice capata semnificatie in cazul
cand sirurile de date sunt exprimate in aceeasi unitate de masura.
 Fiind data seria statistica ( xi , ni ),1 i p , se numeste abatere medie
patratica a valorilor variabilei numarului s 2 , unde s 2 este dispersia
seriei.
p
( xi x) 2 * ni
i 1
 Asadar, .
N

21.  Abaterea medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei valorilor
variabilei statistice.Astefel,o serie care este putin dispersata,adica
prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul valorii medii, conduce la o
abatere medie patratica mica.
 Problema:
 Distributia unui lot de autoturisme noi,dupa consumul de carburant la
100km parcursi,se prezinta astfel:
Consu 6,2- 6,6-7 7-7,4 7,4- 7,8- 8,2- 8,6-9 9-9,4 9,4-
mul(L) 6,6 7,8 8,2 8,6 9,8
Nr,aut 4 12 44 90 107 86 36 15 6
oturis
me n i
 Sa se caracterizeze seria statistica folosind dispersie si abaterea medie
patratica.
 Fie x i* valoarea centrala a clasei de valori [ xi , xi 1 ) ,i≥1

22.  Pentru concentrarea calculelor vom atasa la tabelul de date de mai sus urmatoarele
rubrici:
6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 8,4 8,8 9,2 9,6 Total:
*
x i
-
xi* ni 25,6 81,6 316,8 684 856 722,4 316,8 138 57,6 3198,8
* 2 10,24 17,28 28,16 14,40 0 13,76 23,04 21,60 15,36 143,84
( x x) ni
i
9
xi*ni
 i 1 3198,8
x 7,998l
ni 400
9
( xi* x) 2 * ni
 143,84
s2 i 1
0,3596
ni 400
0,3596 0,5997l

23.  Se observa ca pentru esantionul de 400 de autoturisme consumul
mediu la 100 km este de aproximativ 8 litri.
 Dispersia valorilor consumului de carburant in jurul valorii medii 8
este de 0,3596 litri.Valoarea mica a acesteia sugereaza faptul ca
valorile consumului de carburant sunt destul de stranse in jurul
mediei.
 Dispersia valorilor consumului de carburant in jurul valorii
medii,masurata prin abatarea medie patratica este de 0,5997
litri.Aceasta arata ca valorile consumului de carburant se abate in
medie cu aprozimativ 0,6 litri(in plus sau in minus) de la consumul
mediu.
 Definitie: Raportul dintre abaterea medie patratica si valoarea
medie a unei serii statistice se numeste coeficient de variatie.Se
noteaza:
CV
(x)
 Acest indicator da posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a
unei serii statistice.Un coeficient de variatie sub 15% indica o
omogenitate buna a repartitiei unui fenomen si ca valoarea medie
este reprezentativa.

24.  Pentru seria statistica din tabelul
0,5997
anterior se obtine: CV 7,5%
(x) 8