MATERI INTEGRAL LIPAT DUA

INTEGRAL
LIPAT
DUA
1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG
2 INTEGRAL BERULANG
3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS
DAERAH BUKAN PERSEGI PANJANG
Wednesday, July 7, 2021 Alex Boy Sandi Manalu 1

INTEGRAL
LIPAT
DUA 1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG
Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah
Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan f : S → R kontinu (kecuali pd
suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi 𝐴𝑖,dengan panjang ∆𝑥𝑖 dan
lebar ∆𝑦𝑖, dan di tiap 𝐴𝑖 pilih titik sampel (𝑥𝑖,𝑦𝑖).
Maka di peroleh jumlah Rieman
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 ∆𝐴𝑖
yg merupakan hampiran volume ruang
di antara permukaan z = f(x,y) dan
persegi panjang S. s
z
y
x

INTEGRAL
LIPAT
DUA 1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG
(Lanjutan..)
Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisi
pada persegi panjang S. Jika
lim
⃦ 𝑃 ⃦ →0
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐴𝑖
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S.
Selanjutnya,
ඵ
𝑠
.
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≔ lim
⃦ 𝑃 ⃦ →0
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐴𝑖
disebut integral lipat dua dari f pada S.

INTEGRAL
LIPAT
DUA
Contoh
Diketahui persegi panjang
S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}.
Taksir nilai
𝑓 𝑥, 𝑦 = ඵ
𝑠
.
𝑓
64 − 8𝑥 + 𝑦2
16
𝑑𝐴
dengan jumlah Riemann,dengan
membagi S atas 8 persegi
sama besar dan memilih
titik -titik tengah tiap
persegi sebagai titik sampelnya
(Lanjutan..)

INTEGRAL
LIPAT
DUA
Penyelesaian
Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan
pada fungsi tersebut adalah sebagai berikut
f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16,
f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16,
f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16.
karna ∆Ai = 4, kita peroleh
ඵ
𝑠
.
𝑓
64 − 8𝑥 + 𝑦2
16
𝑑𝐴 ≈ 4 ෍
𝑖=1
8
𝑓 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 ∆𝐴𝑖
= 4(57+65+81+105+41+49+65+ 89)
16
= 138
(Lanjutan..)

INTEGRAL
LIPAT
DUA2 INTEGRAL BERULANG
Menghitung integral lipat dua (pada persegi panjang)sebagai integral
berulang.
Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = [a,b] x [c,d], maka
integral lipat dua dari f pada S dapat dihitung sebagai integral
berulang:
ඵ
𝑠
.
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
Atau
ඵ
𝑠
.
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Catatan : Pada cara pertama ,ruang diiris sejajar sumbu-x terlebih
dahulu.

INTEGRAL
LIPAT
(Lanjutan..)
Contoh 1
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ 𝓍 ≤ 4, 0 ≤ γ ≤ 8} = [0,4] x [0,8],Hitunglah
ඵ
𝑠
.
64 − 8𝑥 + 𝑦2
16
𝑑𝐴
Sebagai integral berulang dengan mengintegralkan
terhadap x terlebih dahulu.

INTEGRAL
LIPAT
(Lanjutan..)
Jawab
ඵ
𝑠
.
64 − 8𝑥 + 𝑦2
16
𝑑𝐴 = න
0
8
න
0
4
4 −
𝑥
2
+
𝑦2
16
𝑑𝑥𝑑𝑦
න
0
8
4𝑥 −
𝑥2
4
+
𝑥𝑦2
16
න
0
4
𝑑𝑦
න
0
8
12 +
𝑦2
4
𝑑𝑦
=96+
512
12
= 138
2
3

INTEGRAL
LIPAT
(Lanjutan..)
Contoh 2
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],Hitunglah
ඵ
𝑠
.
64 − 8𝑥 + 𝑦2
16
𝑑𝐴
Sebagai integral berulang dengan mengintegralkan
terhadap y terlebih dahulu.

INTEGRAL
LIPAT
(Lanjutan..)
Jawab
ඵ
𝑠
.
64 − 8𝑥 + 𝑦2
16
𝑑𝐴 = න
0
8
න
0
4
4 −
𝑥
2
+
𝑦2
16
𝑑𝑦𝑑𝑥
න
0
4
4𝑦 −
𝑥𝑦
2
+
𝑦3
48
න
0
8
𝑑𝑥
න
0
8
12 +
𝑦2
4
𝑑𝑥
=96+
512
12
= 138
2
3

INTEGRAL
LIPAT
DUA
Bagaimana menghitung integral lipat
pada daerah bukan persegi panjang ?
s

INTEGRAL
LIPAT
DUA
• Integral pada Daerah y-Sederhana
Himpunan S disebut y-sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x,y) : u1 (x) ≤ y ≤ u2 (x), a ≤ x ≤ b}, dengan u1 (x) dan u2 (x) kontinu.
Dalam hal ini, integral f pada S dapat dihitung sebagai
ඵ
𝑠
.
𝑎
𝑏
න
𝑢1(𝑋)
𝑢2(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
3
INTEGRAL LIPAT DUA ATAS
(Lanjutan..)
s
a b
x
y = 𝑢2 𝑥
y = 𝑢1 𝑥

INTEGRAL
LIPAT
DUA
• Integral pada Daerah x-Sederhana
Himpunan S disebut x-sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x,y) : v1 (x) ≤ x ≤ v2 (y), c ≤ y ≤ d}, dengan v1 (y) dan v2 (y) kontinu.
Dalam hal ini, integral f pada S dapat dihitung sebagai
ඵ
𝑠
.
𝑐
𝑑
න
𝑣1(𝑦)
𝑣2(𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
3
(Lanjutan..)
y
s
d
c
x
x = 𝑣1 𝑦
x = 𝑣2 𝑦

INTEGRAL
LIPAT
DUA
Contoh
Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume dari tetrahedron
yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan
bidang 3x + 6y + 4z − 12 = 0.
Penyelesaian:
Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedron
dilambangkan dengan S. Kita akan menghitung volume benda padat
di bawah permukaan 3x + 6y + 4z − 12 = 0 atau
3
4
(4 − x − 2y)
dan di atas daerah S.
(Lanjutan..)

INTEGRAL
LIPAT
DUA3
(Lanjutan..)
Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0,suatu ruas
yang merupakan bagian dari batas S. Karena persamaan ini dapat
ditulis sebagai y = 2 − x2 dan x = 4 − 2y,maka S dapat dipandang
sebagai himpunan sederhana-y S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 − x2} atau
sebagai himpunan sederhana-x S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4 − 2y, 0 ≤ y ≤ 2}
y
x
1 2
x
3
2 -
𝑥
2
y = 2 -
𝑥
2
5
4
2
3
𝑥, 2 −
𝑥
2
s
x
y
4
2
s
Y = 2 -
𝑋
2
z
3

INTEGRAL
LIPAT
DUA3
(Lanjutan..)
Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan
sederhana-y (hasilnya sama dengan cara yang lain), maka
volume benda padat tersebut adalah
𝑉 = ඵ
𝑠
.
3
4
4 − 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝐴 = න
0
4
න
0
2−
𝑥
2
3
4
4 − 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
.
න
0
4
3
4
4𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑦2
0
2−
𝑥
2
dx
3
16
න
0
4
16 − 8𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑥
3
16
16𝑥 − 4𝑥2 +
𝑥3
4 0
4
= 4

INTEGRAL
LIPAT
DUA
3 ALDY PUTRA TAMBA
2011010
4 RIZKI KURNIATI
2011036
1 ALEX BOY SANDI MANALU
2011038
1
2 JOOZU AZ-ZIKRA SUIYOUBI
2012018
Terima Kasih !! Jangan lupa bahagia

MATERI INTEGRAL LIPAT DUA

More Related Content

What's hot

Recently uploaded

MATERI INTEGRAL LIPAT DUA