Luận án tiến sĩ toán học một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————– * ———————
Đặng Thanh Sơn
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————– * ———————
Đặng Thanh Sơn
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Trần Xuân Tiếp
2. PGS. TS. Cung Thế Anh
Hà Nội - 2015

1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Cung Thế Anh và TS. Trần Xuân Tiếp. Các kết quả được phát
biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất cứ một công trình nào khác.
Tập thể giáo viên hướng dẫn Nghiên cứu sinh
PGS. TS. Cung Thế Anh TS. Trần Xuân Tiếp Đặng Thanh Sơn

2
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu
đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh và TS Trần Xuân Tiếp. Tác giả xin bày tỏ
lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Xuân Tiếp và đặc biệt là
PGS.TS. Cung Thế Anh, người đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu
khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt
khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn
là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.
Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS. Lê Trọng Vinh, PGS.TS. Nguyễn Xuân
Thảo, TS. Nguyễn Đình Bình, PGS.TS. Trần Đình Kế đã luôn cổ vũ động viên
và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo
sau Đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Trường Đại học
Bách Khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán Cơ bản,
Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã luôn
giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Thông tin liên lạc, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa
Cơ bản, Trường Đại học Thông tin liên lạc đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.
Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành,
những người luôn đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả.

3
Mục lục
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Một số kí hiệu dùng trong luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . 6
2. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . 13
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Một số định lí và bổ đề quan trọng . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . . 36
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 47

4
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG
(MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . . 61
3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 69
Chương 4. HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI 76
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2. SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3. SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU . . . . 96
4.4. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.2. Điều kiện cần tối ưu cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5. BÀI TOÁN THỜI GIAN TỐI ƯU . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.2. Điều kiện cần tối ưu cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 117
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 124
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . . 132

5
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN
H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Bénard, hệ
MHD và hệ Boussinesq
V ′
không gian đối ngẫu của không gian V
(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H
((·, ·)), ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian V
∥ · ∥∗ chuẩn trong không gian V ′
⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa V và V ′
| · |Lp , | · |Lp chuẩn trong không gian Lp
(Ω) và Lp
(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞
C∞
0 (Ω) không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
Id ánh xạ đồng nhất
A, R, B, B các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Bénard, MHD, và hệ
Boussinesq
⇀ hội tụ yếu
B(X) họ các tập con bị chặn của X
dF (K) số chiều fractal của tập compact K
dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

6
MỞ ĐẦU
1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển
động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ..., dưới những
điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện
tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu
mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng
trong cơ học chất lỏng là hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy của chất lỏng
thuần nhất, nhớt, không nén được. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây
dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng



∂u
∂t
− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f(x, t),
∇ · u = 0,
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là hàm ngoại lực.
Được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay lí thuyết hệ phương
trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng hạn, các
cuốn chuyên khảo [31, 41, 42] và các bài tổng quan [15, 44]). Các vấn đề định
tính cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng
bao gồm:
• Tính đặt đúng của bài toán. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm,
sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đã cho.
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của

7
nghiệm khi thời gian t ra vô cùng thông qua nghiên cứu sự tồn tại và
tính chất của tập hút hoặc của các đa tạp bất biến, sự tồn tại và tính ổn
định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm là
rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của
hệ động lực trong tương lai, từ đó có thể đưa ra những đánh giá, điều
chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn.
• Bài toán điều khiển. Bao gồm bài toán điều khiển được, bài toán điều
khiển tối ưu và bài toán ổn định hóa: Tìm điều khiển thích hợp (trên
miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị
trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiển thích
hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm
cho trước, hoặc là tìm điều khiển phản hồi để ổn định hóa nghiệm dừng
(không ổn định) của hệ.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu những hệ phương trình cặp
xuất hiện trong cơ học chất lỏng là một trong những hướng nghiên cứu mới
và rất thời sự. Ở đây hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ vận
tốc được kết hợp phù hợp với một phương trình khác cho ta một mô hình
toán học mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học, kĩ thuật, . . . (xem [34,
24, 5, 48, 6, 14, 3, 27, 54, 30, 28, 43]). Hệ phương trình cặp cũng xuất hiện
khi nghiên cứu sự chuyển động dòng chảy của những chất lỏng hỗn hợp (gồm
hai hay nhiều chất lỏng trộn lẫn với nhau): hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes,
hệ Allen-Cahn-Navier-Stokes (xem [7, 8]), hệ tinh thể lỏng pha nematic (xem
[26, 47]). Các kết quả đạt được là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
yếu thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục, chủ yếu là trong miền bị chặn với
điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn. Tuy nhiên các kết quả
tương ứng trong trường hợp không ôtônôm và miền không bị chặn vẫn còn ít.
Các hệ không ôtônôm (tức là khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian) xuất hiện
một cách tự nhiên trong nhiều quá trình phức tạp và đang thu hút được sự

8
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Bên cạnh
đó các kết quả về bài toán điều khiển đối với các hệ phương trình cặp trong
cơ học chất lỏng vẫn còn khá ít, do tính phức tạp của nó.
Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây cho những hệ phương
trình cặp trong cơ học chất lỏng liên quan đến nội dung của luận án.
• Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng của hệ Boussinesq): Đó
là sự kết hợp giữa hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ vận
tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán của nhiệt độ T và có dạng
như sau:



∂tu + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu(x, t) + α−→e 2(T − Tr),
∂tT + u · ∇T − κ∆T = fT (x, t),
∇ · u = 0,
(1)
trong đó hệ số nổi α = ϑg với ϑ là hệ số giãn nở nhiệt, g là gia tốc rơi tự
do; nhiệt độ môi trường Tr; −→e 2 là vectơ đơn vị thẳng đứng (−→e 2 = (0, 1)
trong trường hợp hai chiều).
Hệ phương trình Boussinesq mô tả dòng chất lỏng (khí) chịu ảnh hưởng
của tác động bề nổi do sự thay đổi mật độ khối lượng chất lỏng gây ra
bởi nhiệt độ được mô hình hóa bởi phép xấp xỉ Boussinesq. Khi nhiệt
độ trên biên dưới lớn hơn trên bề mặt ta có hệ Bénard mô tả chuyển
động của chất lỏng nhớt, không nén được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ
(xem [24, 43]). Các tác giả trong [6, 30, 43] đã nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (1) với các điều kiện biên khác nhau
như: Dirichlet, Neumann, tuần hoàn, tự do. Công cụ chủ yếu trong các
kết quả trên là nguyên lí cực đại đối với phương trình của nhiệt độ, tuy
nhiên công cụ này chỉ phù hợp cho các điều kiện biên đơn giản mà ở đó
dữ kiện ban đầu và nguồn nhiệt phải thuộc L∞
(Ω). Trong công trình
[24], các tác giả đã xét hệ (1) hai chiều trong miền không bị chặn thỏa

9
mãn bất đẳng thức Poincaré với ngoại lực không phụ thuộc thời gian
(trường hợp ôtônôm) và chứng minh được sự tồn tại cũng như đánh giá
số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục. Việc phát triển các kết quả này
cho trường hợp ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian là vấn đề thời sự và
có ý nghĩa.
• Hệ phương trình động lực học thủy từ trường (gọi tắt là hệ MHD, xuất
phát từ thuật ngữ Tiếng Anh là magnetohydrodynamics): Hệ này được
đề cập đến lần đầu tiên trong công trình của T.G. Cowling năm 1957
(xem [52]) khi kết hợp hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ
vận tốc u với hệ phương trình Maxwell của từ trường B. Hệ MHD miêu
tả dòng chảy của các chất lỏng dẫn điện trong từ trường, chẳng hạn dòng
chảy plasma, và có dạng như sau



∂u
∂t
+ (u · ∇)u −
1
Re
∆u + ∇
(
p +
S
2
|B|2
)
− S(B · ∇)B = f(x, t),
∂B
∂t
+ (u · ∇)B − (B · ∇)u +
1
Rm
curl(curl B) = 0,
∇ · u = 0,
∇ · B = 0,
(2)
trong đó S =
M2
ReRm
với M, Re, Rm lần lượt là các hệ số Hartman,
Reynolds và Reynolds trong từ trường; ngoài ra
curl u =
∂u2
∂x1
−
∂u1
∂x2
với mọi hàm vectơ u = (u1, u2),
curl ϕ =
(
∂ϕ
∂x2
, −
∂ϕ
∂x1
)
với mọi hàm vô hướng ϕ.
Hệ động lực học thủy từ trường có vai trò quan trọng trong vật lí nên
đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Khi ngoại lực f không phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy
nhất nghiệm yếu cũng như nghiệm mạnh đã được chứng minh lần đầu
tiên bởi G. Duvaut và J.-L. Lions trong [13]. Năm 1983, trong [28], M.

10
Sermange và R. Temam đã đưa ra khái niệm về tập bất biến để nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (2), đồng thời chứng minh được
số chiều Hausdorff hữu hạn cho tập bất biến này. Ngoài ra, dáng điệu
tiệm cận nghiệm bao gồm tính chất phân rã của nghiệm và tính ổn định
của nghiệm dừng đã được chứng minh trong [34, 25, 10]. Tính chính qui
nghiệm của hệ MHD được nghiên cứu trong nhiều công trình, xem chẳng
hạn [5, 49] và các tài liệu trong đó. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả nhận
được ở trên đối với hệ phương trình MHD là ở trong miền bị chặn và
ngoại lực f không phụ thuộc vào biến thời gian.
• Hệ phương trình Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ khối lượng
thay đổi: Trong thực tế, nhiều bài toán có mật độ khối lượng của chất
lỏng không phải là hằng số (chẳng hạn hỗn hợp chất lỏng có mật độ khối
lượng khác nhau), khi đó để mô tả chuyển động của các chất lỏng này,
ta dùng hệ phương trình Navier-Stokes có mật độ khối lượng thay đổi
được cho bởi:



∂(ρu)
∂t
− ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf, x ∈ Ω, t > 0,
∇ · u = 0, x ∈ Ω, t > 0,
∂ρ
∂t
+ ∇ · (ρu) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
u = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,
ρ|t=0 = ρ0, (ρu)|t=0 = ρ0u0, x ∈ Ω.
(3)
Trong những năm gần đây, sự tồn tại và tính chất nghiệm của bài toán
(3) đã thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Khi điều kiện ban đầu thỏa mãn ρ0(x) ≥ inf
x∈Ω
ρ0(x) ≥ c0 > 0, sự tồn
tại nghiệm yếu được chứng minh lần đầu tiên bởi S.A. Antontsev và A.V.
Kazhikov trong [46]. Điều kiện này được mở rộng thành ρ0(x) ≥ 0 trong
[23]. Sau đó, R. Danchin đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
nhẹ khi Ω = RN
bằng phương pháp nửa nhóm [36, 37]. Xin xem các

11
cuốn chuyên khảo [46, 32] về các kết quả liên quan đến hệ Navier-Stokes
với mật độ khối lượng thay đổi. Gần đây, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm
mạnh cũng như những vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển tối ưu
đối với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi đã được trình
bày khá hoàn chỉnh trong [11].
Khi kết hợp bài toán (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán của
nhiệt độ có mật độ thay đổi ta được hệ Boussinesq với mật độ khối lượng
thay đổi sau:



∂(ρu)
∂t
− ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf + γ−→e N θ, x ∈ Ω, t > 0,
∇ · u = 0, x ∈ Ω, t > 0,
∂(ρθ)
∂t
− κ∆θ + ∇ · (ρθu) = ρg, x ∈ Ω, t > 0,
∂ρ
∂t
+ ∇ · (ρu) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
u = 0, θ = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,
ρ|t=0 = ρ0, (ρu)|t=0 = ρ0u0, (ρθ)|t=0 = ρ0θ0, x ∈ Ω,
(4)
trong đó
−→e N =



(0, 1) với N = 2,
(0, 0, 1) với N = 3.
Hệ phương trình Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả
chuyển động của chất lỏng có mật độ khối lượng ρ(x, t), nhớt, không nén
được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ. Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện
chưa có kết quả nào liên quan đến hệ này. Như được đề cập đến trong
[11], việc phát triển các kết quả của hệ Navier-Stokes với mật độ khối
lượng thay đổi cho hệ này là vấn đề thời sự và có ý nghĩa khoa học.
Như vậy, đối với các hệ phương trình cặp xuất hiện trong cơ học chất lỏng,
mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại, dáng
điệu tiệm cận của nghiệm và các bài toán điều khiển, tuy nhiên các kết quả

12
hiện có chủ yếu dừng lại ở trường hợp ôtônôm, trong miền bị chặn và hệ được
xét có mật độ khối lượng của chất lỏng là hằng số. Việc phát triển những kết
quả này cho trường hợp không ôtônôm, trong miền không bị chặn, hoặc các
hệ phương trình với mật độ khối lượng của chất lỏng thay đổi là những vấn đề
thời sự, có ý nghĩa khoa học và có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Nói riêng, những
vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm cho hệ phương
trình Bénard (1) và hệ MHD (2) trong trường hợp không ôtônôm và
miền xét bài toán (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức
Poincaré. Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không
còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian và do đó
lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp. Để nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng lí thuyết tập hút lùi [51],
một lí thuyết mới được phát triển gần đây và tỏ ra rất hữu ích khi nghiên
cứu các hệ động lực không ôtônôm (xin xem cuốn chuyên khảo gần đây
của Carvalho, Langa và Robinson [1]).
• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều
khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ
khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
Khi nghiên cứu hệ Bénard và hệ MHD trong miền không bị chặn, khó
khăn lớn gặp phải là các phép nhúng Sobolev cần thiết chỉ liên tục chứ không
compact; điều này dẫn đến dạng cổ điển của Bổ đề compact Aubin-Lions cổ
điển không áp dụng được và các phương pháp thường dùng cho miền bị chặn
không còn thích hợp nữa. Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi sử dụng các
bổ đề compact phù hợp thay cho Bổ đề compact Aubin-Lions cổ điển để chứng
minh sự tồn tại nghiệm và tính liên tục yếu của quá trình, sử dụng phương
pháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lí cấu trúc của phương trình
để chứng minh tính compact tiệm cận lùi của quá trình sinh bởi bài toán, một

13
điều kiện quan trọng cho sự tồn tại tập hút lùi. Ngoài ra, tính không bị chặn
của miền và tính không thuần nhất của điều kiện biên cũng gây ra những khó
khăn đáng kể khi đánh giá số chiều của tập hút của các hệ này.
Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, khó khăn gây
ra chủ yếu là do mật độ khối lượng không còn là hằng số; điều này dẫn đến việc
nghiên cứu phức tạp lên rất nhiều. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúng
tôi sử dụng phương pháp nửa Galerkin và kết hợp với kết quả của DiPerna và
Lions về phương trình chuyển dịch [38]. Tính duy nhất có điều kiện của nghiệm
được chứng minh bằng cách sử dụng ý tưởng trong [32] cho hệ Navier-Stokes
với mật độ khối lượng thay đổi. Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu và
bài toán thời gian tối ưu, chúng tôi phát triển các ý tưởng và cách tiếp cận
trong [11] cho hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi; tuy nhiên việc
nghiên cứu ở đây khó khăn hơn khá nhiều do hệ đang xét có cấu trúc phức
tạp hơn.
Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal
tập hút lùi) của các hệ phương trình Bénard và MHD hai chiều trong trường
hợp ngoại lực có thể phụ thuộc vào biến thời gian (trường hợp không ôtônôm);
sự tồn tại, tính duy nhất có điều kiện của nghiệm, bài toán điều khiển tối ưu
và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi,
làm đề tài nghiên cứu của Luận án "Một số hệ phương trình cặp trong
cơ học chất lỏng".
2. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích của luận án là nghiên cứu những vấn đề sau đối với một số lớp
hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng:
◦ Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và
đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi) của các hệ phương trình

14
Bénard, MHD trong trường hợp không ôtônôm và miền xét bài toán
không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.
◦ Sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển
tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ
khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
• Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ Bénard, hệ MHD không ôtônôm
trong miền không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, và
hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
• Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung sau:
◦ Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm
cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ
phương trình Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn
bất đẳng thức Poincaré.
◦ Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm
cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ
phương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều trong
miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện
nón.
◦ Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều
kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ
Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn hai
hoặc ba chiều.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương
pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ

15
Galerkin, hoặc xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp với các dạng phù hợp của
Bổ đề compact và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến.
• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các
công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều
không ôtônôm (xem [1, 53]), một lí thuyết rộng lớn mới được phát triển
hơn hai thập kỉ gần đây. Cụ thể khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, chúng
tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữu
ích khi nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm. Để chứng minh tính
compact tiệm cận lùi của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn
tại tập hút lùi, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình năng lượng
của J.M. Ball cho nghiệm yếu (xem [20]). Để chứng minh tập hút lùi có
số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương pháp chứng minh
trong [16].
• Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu, chúng tôi sử dụng các phương
pháp của lí thuyết điều khiển tối ưu đối với phương trình đạo hàm riêng
và các công cụ của giải tích lồi [21, 2].
4. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với hệ Bénard và hệ MHD không ôtônôm trong miền hai chiều (không
nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Chứng minh được
sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại và đánh giá
được số chiều fractal của tập hút lùi. Đây là nội dung của Chương 2 và
Chương 3.
• Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn
(hai hoặc ba chiều): Chứng minh được sự tồn tại nghiệm và tính duy

16
nhất có điều kiện của nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại nghiệm
tối ưu và thiết lập được điều kiện cần tối ưu cấp một của bài toán điều
khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu. Đây là nội dung của Chương 4.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc
hoàn thiện lí thuyết các hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các
tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế (trong danh mục ISI), 02 bài khác
đang gửi đăng ở tạp chí quốc tế và đã được báo cáo tại:
• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 2013;
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 2015;
• Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội.
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và
danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một
số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết
quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình
Bénard hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm
cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD)
hai chiều; Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu, tính duy nhất
nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu
của hệ phương trình Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị
chặn hai hoặc ba chiều.

17
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để
nghiên cứu, thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trong
hệ phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng quát về lí thuyết
tập hút lùi và một số kết quả bổ trợ được dùng trong các chương sau.
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM
Cho Ω là tập mở trong RN
với biên ∂Ω. Kí hiệu Q := Ω × (0, T) là trụ
không-thời gian với T < ∞ và
∑
:= ∂Ω × (0, T). Trong luận án này, ta sử
dụng các không gian hàm sau (xem, chẳng hạn [33, 41]):
• Lp
(Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau
|u|Lp :=
(∫
Ω
|u|p
dx
)1/p
.
Chú ý rằng Lp
(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞.
Khi p = 2, L2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v) =
∫
Ω
u.vdx,
và chuẩn được kí hiệu là |.| := |.|L2 = (u, u)1/2
.
• L∞
(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp trên Ω với chuẩn
|u|L∞ := esssup
Ω
|u(x)|.

18
• Wm,p
(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u ∈ Lp
(Ω) sao
cho Dα
u ∈ Lp
(Ω) với mọi |α| ≤ m và có chuẩn được xác định bởi
∥u∥W m,p(Ω) :=


∑
|α|≤m
∫
Ω
|Dα
u|p
dx


1/p
.
Ta thường viết Wm,2
(Ω) = Hm
(Ω), đây là không gian Hilbert với tích
vô hướng
((u, v))Hm =
∑
|α|≤m
(Dα
u, Dα
v).
• Hm
0 (Ω) là bao đóng của C∞
0 (Ω) trong chuẩn của Hm
(Ω).
Với 1 ≤ m, p ≤ +∞, ta cũng thường kí hiệu Lp
(Ω) = Lp
(Ω)N
, Wm,p
(Ω) =
Wm,p
(Ω)N
, Hm
(Ω) = Hm
(Ω)N
, H1
0(Ω) = H1
0 (Ω)N
để xét các hàm vectơ trong
không gian N chiều.
Đặt
V1 = {u ∈ C∞
0 (Ω)N
: ∇ · u = 0},
V2 = {B ∈ C∞
(Ω)N
: ∇ · B = 0 và B · n|∂Ω = 0},
V1 = là bao đóng của V1 trong H1
0(Ω),
H1 = là bao đóng của V1 trong L2
(Ω),
V2 = là bao đóng của V2 trong H1
(Ω),
H2 = là bao đóng của V2 trong L2
(Ω),
V3 = H1
0 (Ω), H3 = L2
(Ω).
Tích vô hướng và chuẩn tương ứng trong Vi, i = 1, 3 như sau:
◦ ((u, v))1 =
N∑
j=1
∫
Ω
∇uj · ∇vjdx, ∀u, v ∈ V1,
∥u∥1 = ((u, u))
1/2
1 , ∀u ∈ V1.
◦ ((B, C))2 =
∫
Ω
curl B · curl Cdx, ∀B, C ∈ V2,
∥B∥2 = ((B, B))
1/2
2 , ∀B ∈ V2.

19
◦ ((θ, φ))3 =
∫
Ω
∇θ · ∇φdx, ∀θ, φ ∈ V3,
∥θ∥3 = ((θ, θ))
1/2
3 , ∀θ ∈ V3.
Các không gian Hi, i = 1, 3 với tích vô hướng
(u, v) =
∫
Ω
uvdx, ∀u, v ∈ Hi
và chuẩn tương ứng |.| = (u, v)1/2
.
Khi Ω là miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (Định lí 1.4), chuẩn trong
V1 tương đương với chuẩn trong H1
0(Ω). Hơn nữa, vì Ω là miền đơn liên nên
chuẩn trong V2 và H1
(Ω) là tương đương (xem [13]).
Ký hiệu H := Hi × Hj và V := Vi × Vj với (i, j) ∈ {(1, 2), (1, 3)}. Dễ thấy
V ⊂ H ≡ H′
⊂ V ′
, trong đó các phép nhúng là trù mật và liên tục. Ta dùng
ký hiệu ∥·∥∗ cho chuẩn trong V ′
, và ⟨., .⟩ chỉ đối ngẫu giữa V và V ′
. Các không
gian trên đều là không gian Hilbert.
Tương tự, ta định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian như sau:
Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn ∥.∥X.
• C([a, b]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : [a, b] →
X với chuẩn
∥u∥C([a,b];X) := max
a≤t≤b
∥u(t)∥X.
• Lp
(a, b; X), 1 ≤ p ≤ +∞ gồm tất cả các hàm đo được u : (a, b) → X với
chuẩn
i)∥u∥Lp(a,b;X) :=
(∫ b
a
∥u(s)∥p
Xds
)1/p
< +∞ với 1 ≤ p < +∞,
ii)∥u∥L∞(a,b;X) := esssup
0≤t≤T
∥u(t)∥X < +∞.
Khi đó Lp
(a, b; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu
1 < p < +∞. Không gian liên hợp của Lp
(a, b; X) là Lp′
(a, b; X′
) với
1/p + 1/p′
= 1.

20
• Lp
loc(R; X) là không gian các hàm u(s), s ∈ R với giá trị trong X, khả
tích bậc p (theo nghĩa Bochner), tức là,
∫ t2
t1
∥u(s)∥p
Xds < +∞, với mọi khoảng compact [t1, t2] ⊂ R.
• Wm,p
(0, T; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u ∈
Lp
(0, T; X) sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo t đến cấp m
thuộc Lp
(0, T; X), trong đó trang bị chuẩn
∥f∥W m,p(0,T ;X) :=
[ m∑
k=0
dk
f
dtk
p
Lp(0,T ;X)
]1/p
nếu 1 ≤ p < ∞,
∥f∥W m,∞(0,T ;X) := max
0≤k≤m
dk
f
dtk
L∞(0,T ;X)
.
Nếu p = 2 và X là không gian Hilbert với tích vô hướng (., .)X thì
Hm
(0, T; X) cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)Hm(0,T ;X) :=
∑
|α|≤m
∫ T
0
(∂α
u, ∂α
v)Xdt.
Không gian đối ngẫu của Wm,p
0 (0, T; X) được kí hiệu là W−m,p′
(0, T; X′
).
• D(0, T; X) là không gian gồm các hàm φ : (0, T) → X thuộc lớp C∞
0 .
Khi đó, Wm,p
0 (0, T; X) (hoặc Hm
0 (0, T; X)) là bao đóng của D(0, T; X)
trong chuẩn của Wm,p
(0, T; X) (hoặc Hm
(0, T; X)).
• D′
(0, T; X) là không gian các hàm suy rộng trên D(0, T; X). Với mỗi
f ∈ L1
loc(0, T; X) xác định duy nhất một hàm suy rộng Tf ∈ D′
(0, T; X)
và
⟨Tf , φ⟩ :=
∫ T
0
f(t)φ(t)dt, ∀φ ∈ D(0, T).
Không gian W−m,p′
(0, T; X′
) có thể được đồng nhất với không gian các
hàm suy rộng
{
S ∈ D′
(0, T; X) : S =
m∑
k=0
dk
u
dtk
, u ∈ Lp′
(0, T; X′
)
}
.

21
• Không gian Nikolskii Ns,q
(0; T; B) được định nghĩa như sau:
Giả sử B là không gian Banach, hàm f : (0, T) → B và hằng số (nhỏ)
h > 0. Xét ánh xạ τhf : (−h, T − h) → B cho bởi
(τhf)(t) = f(t + h), ∀t ∈ (−h, T − h).
Với mọi 1 ≤ q ≤ +∞ và mọi 0 < s < 1, khi đó
Ns,q
(0; T; B) :=
{
f ∈ Lq
(0; T; B) : sup
h>0
h−s
∥τh(f) − f∥Lq(0,T −h;B) < +∞
}
.
Ns,q
(0; T; B) là không gian Banach được trang bị chuẩn
∥f∥Ns,q(0;T ;B) = ∥f∥Lq(0,T ;B) + sup
0<h<T
(
h−s
∥τh(f) − f∥Lq(0,T −h;B)
)
.
1.2. TẬP HÚT LÙI
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút lùi (trong
[51]) sẽ được sử dụng trong luận án.
Giả sử (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach. Nửa khoảng cách Hausdorff
distX(·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau
distX(A, B) := sup
a∈A
inf
b∈B
∥a − b∥.
Định nghĩa 1.1. Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các
ánh xạ phụ thuộc hai tham biến {Z(t, τ)} trong X có các tính chất sau:
Z(t, r)Z(r, τ) = Z(t, τ) với mọi t ≥ r ≥ τ,
Z(τ, τ) = Id với mọi τ ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Quá trình {Z(t, τ)} được gọi là liên tục nếu với mọi τ ∈
R, t ≥ τ, Z(t, τ)xn → Z(t, τ)x, khi xn → x trong X.
Giả sử B(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X, và D là một lớp
khác rỗng các tập được tham số hóa ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).

22
Định nghĩa 1.3. Quá trình {Z(t, τ)} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếu
với bất kì t ∈ R, bất kì ˆD ∈ D, bất kì dãy τn → −∞, và bất kì dãy xn ∈ D(τn),
dãy {Z(t, τn)xn} là compact tương đối trong X.
Định nghĩa 1.4. Họ các tập bị chặn ˆB ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá
trình Z(t, τ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì ˆD ∈ D, tồn tại τ0 = τ0( ˆD, t) ≤ t sao
cho ∪
τ≤τ0
Z(t, τ)D(τ) ⊂ B(t).
Tập hút lùi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.5. Họ Â = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) gọi là một tập D-hút lùi đối
với {Z(t, τ)} nếu
(1) A(t) là compact với mọi t ∈ R;
(2) Â là bất biến, tức là
Z(t, τ)A(τ) = A(t), với mọi t ≥ τ;
(3) Â là D-hút lùi, tức là
lim
τ→−∞
distX
(
Z(t, τ)D(τ), A(t)
)
= 0, với mọi ˆD ∈ D và mọi t ∈ R;
(4) Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t), với
mọi t ∈ R.
Ta có định lí sau về sự tồn tại tập hút lùi.
Định lí 1.1. ([51]) Giả sử {Z(t, τ)} là quá trình liên tục sao cho {Z(t, τ)}
là D-compact tiệm cận lùi. Khi đó, nếu tồn tại một họ các tập D-hấp thụ
lùi ˆB = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {Z(t, τ)} có một tập D-hút lùi duy nhất
Â = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =
∩
s≤t
∪
τ≤s
Z(t, τ)B(τ).
Sau đây chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [16] được sử dụng để đánh
giá số chiều fractal của tập hút lùi.

23
Cho H là không gian Hilbert thực khả li, tập compact K ⊂ H và ε > 0. Kí
hiệu Nε(K) là số tối thiểu các hình cầu mở trong H với bán kính ε cần thiết
để phủ K.
Định nghĩa 1.6. Với mọi tập compact khác rỗng K ⊂ H, số chiều fractal
của K xác định bởi
dF (K) = lim sup
ε↓0
log
(
Nε(K)
)
log(1/ε)
.
Xét H là không gian Hilbert thực khả li với phép nhúng V ⊂ H là liên tục,
và V trù mật trong H. Ta đồng nhất H với không gian đối ngẫu H′
và xét V
như là không gian con của H′
bằng cách đồng nhất η ∈ V với phần tử fη ∈ H′
xác định bởi
fη(h) = (η, h), h ∈ H.
Cho F : V × R → V ′
là họ các toán tử phi tuyến sao cho: với mọi τ ∈ R và
mọi z0 ∈ H, tồn tại duy nhất hàm z(t) = z(t; τ, z0) thỏa mãn



z ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ C([τ, T]; H), F
(
z(t), t
)
∈ L1
(τ, T; V ′
), với mọi T > τ,
dz
dt
= F
(
z(t), t
)
, t > τ,
z(τ) = z0.
(1.1)
Tiếp theo ta xác định
Z(t, τ)z0 = z(t; τ, z0), τ ≤ t, z0 ∈ H.
Cho T∗
∈ R cố định. Giả sử tồn tại họ {A(t) : t ≤ T∗
} các tập con khác
rỗng compact của H thỏa mãn tính bất biến
Z(t, τ)A(τ) = A(t), với mọi τ ≤ t ≤ T∗
,
và thỏa mãn, với mọi τ ≤ t ≤ T∗
và mọi z0 ∈ A(τ), tồn tại toán tử tuyến tính
liên tục L(t; τ, z0) ∈ L(H) sao cho
Z(t, τ)z0 − Z(t, τ)z0 − L(t; τ, z0)(z0 − z0) ≤ χ
(
t − τ, |z0 − z0|
)
|z0 − z0| (1.2)

24
với mọi z0 ∈ A(τ), trong đó χ : R+
×R+
→ R+
là hàm thỏa mãn χ(s, .) không
giảm với mọi s ≥ 0, và
lim
r→0
χ(s, r) = 0, với mọi s ≥ 0. (1.3)
Ta giả sử rằng, với mọi t ≤ T∗
, ánh xạ F(., t) khả vi Gateaux trong V ,
nghĩa là, với mọi z ∈ V tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F′
(z, t) ∈ L(V ; V ′
)
thỏa mãn
lim
ϵ→0
1
ϵ
[
F(z + ϵη, t) − F(z, t) − ϵF′
(z, t)η
]
= 0 ∈ V ′
.
Hơn nữa, ta giả sử rằng
F′
: (z, t) ∈ V × (−∞, T∗
] → F′
(z, t) ∈ L(V ; V ′
)
liên tục (do đó, trong trường hợp đặc biệt, với mỗi t ≤ T∗
, ánh xạ F(., t) khả
vi liên tục Fréchet trong V ).
Vậy, với mọi τ ≤ T∗
và z0, η0 ∈ H, tồn tại duy nhất η(t) = η(t; τ, z0, η0) là
nghiệm của



η ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ C([τ, T]; H) với mọi τ < T ≤ T∗
,
dη
dt
= F′
(
Z(t, τ)z0, t
)
η, τ < t < T∗
,
η(τ) = η0.
Ta có thể viết
η(t; τ, z0, η0) = L(t; τ, z0)η0 với mọi τ ≤ t ≤ T∗
, z0, η0 ∈ A(τ). (1.4)
Vì vậy, với m = 1, 2, · · · ,
qm = lim
T →+∞
sup
τ≤T ∗
sup
z0∈A(τ−T )
1
T
∫ τ
τ−T
Trm
(
F′
(
Z(s, τ − T)z0, s
))
ds,
trong đó
Trm
(
F′
(
Z(s, τ − T)z0, s
))
= sup
ηi
0∈H,|ηi
0|≤1,i≤m
m∑
i=1
⟨
F′
(
Z(s, τ)z0, s
)
φi, φi
⟩
,

25
{φi}i=1,2,...,m là cơ sở trực giao trong H với không gian con bao bởi
η(s; τ, z0, η1
0), . . . , η(s; τ, z0, ηm
0 ).
Định lí 1.2. ([16, Định lí 2.2]) Với các giả thiết trên, ta giả sử thêm rằng
∪
τ≤T ∗
A(τ) compact tương đối trong H,
và tồn tại qm, m = 1, 2, . . . thỏa mãn
qm ≤ qm, với mọi m ≥ 1,
qn0 ≥ 0, qn0+1 < 0, với n0 ≥ 1,
qm ≤ qn0 + (qn0 − qn0+1)(n0 − m), với mọi m = 1, 2, · · ·
Khi đó
dF (A(τ)) ≤ d0 := n0 +
qn0
qn0 − qn0+1
, với mọi τ ≤ T∗
.
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG
1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng
Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và thường
xuyên được sử dụng:
• Bất đẳng thức Cauchy :
ab ≤
a2
2
+
b2
2
.
• Bất đẳng thức Cauchy với ϵ:
ab ≤ ϵa2
+
b2
4ϵ
, (ϵ > 0).
• Bất đẳng thức Young : Cho 1 < p, q < ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó
ab ≤
ap
p
+
bq
q
, (a, b > 0).

26
• Bất đẳng thức Young với ϵ:
ab ≤ ϵap
+ C(ϵ)bq
, (a, b, ϵ > 0),
với C(ϵ) = (ϵp)−q/p
q−1
.
• Bất đẳng thức H¨older : Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu
u ∈ Lp
(Ω), v ∈ Lq
(Ω) thì uv ∈ L1
(Ω) và
∫
Ω
|uv|dx ≤ |u|Lp · |v|Lq .
• Bất đẳng thức Gronwall ([17, Chương 2, tr. 54-55]) : Giả sử x(t) là một
hàm liên tục tuyệt đối trên [0; T] và thỏa mãn
dx
dt
≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t,
trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T]. Khi đó
x(t) ≤ x(0)eG(t)
+
∫ t
0
eG(t)−G(s)
h(s)ds,
với 0 ≤ t ≤ T, ở đó
G(t) =
∫ t
0
g(r)dr.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
≤ ax + b,
thì
x(t) ≤
(
x(0) +
b
a
)
eat
−
b
a
.
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ(t) là một hàm khả tích,
không âm trên [0, T] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân
ξ(t) ≤ C1
∫ t
0
ξ(s)ds + C2,
với C1, C2 là các hằng số không âm. Khi đó
ξ(t) ≤ C2
(
1 + C1teC1t
)
với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.

27
• Các bất đẳng thức dạng Gronwall (xem thêm trong [31, 23] và [50]).
Bổ đề 1.1. Giả sử y ∈ W1,1
(0, T), y ≥ 0 và F ∈ L1
(0, T) thỏa mãn



d
dt
y2
≤ Fy hầu khắp (0, T),
y(0) = y0.
Khi đó
y(t) ≤ y0 +
1
2
∫ t
0
F(s)ds, ∀t ∈ [0, T].
Bổ đề 1.2. Giả sử y : [a, b] → R là hàm liên tục thỏa mãn
1
2
y2
(t) ≤
1
2
(y2
0 + ε2
) +
∫ t
0
F(s)y(s)ds, t ∈ [a, b],
trong đó y0 ∈ R, ε > 0 và F là hàm không âm trên [a, b]. Khi đó
y(t) ≤ y0 + ε +
∫ t
a
F(s)ds, t ∈ [a, b].
1.3.2. Một số định lí và bổ đề quan trọng
Sau đây ta sẽ nhắc lại một số định lí và bổ đề quan trọng được sử dụng
trong chứng minh các kết quả của luận án.
Định lí 1.3. (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya)(xem, chẳng hạn, [31]) Giả sử
Ω ⊂ RN
(N = 2 hoặc 3). Khi đó
|u|L4 ≤



C|u|
1/2
L2 |∇u|
1/2
L2 , N = 2,
C|u|
1/4
L2 |∇u|
3/4
L2 , N = 3,
(1.5)
với mọi u ∈ H1
0 (Ω).
Định lí 1.4. [17, Mệnh đề 5.8] (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử Ω là miền tùy
ý trong RN
thỏa mãn tính chất bị chặn một hướng, chẳng hạn, |x1| ≤ d < +∞.
Khi đó tồn tại hằng số λ1 > 0 sao cho
∫
Ω
|u|2
dx ≤
1
λ1
∫
Ω
|∇u|2
dx, với mọi u ∈ H1
0 (Ω).

28
Định lí 1.5. [33, Định lí 5.8] Giả sử Ω là miền tùy ý trong R2
thỏa mãn điều
kiện nón (xem thêm phần 4.6 trong [33]). Khi đó tồn tại hằng số K phụ thuộc
vào số chiều của nón sao cho với mọi u ∈ H1
(Ω) thì
|u|L4 ≤ K|u|
1/2
L2 ∥u∥
1/2
H1(Ω). (1.6)
Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng khi chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài toán Boussinesq với mật độ thay đổi trong Chương 4. Đầu tiên là bổ
đề về tính liên tục của ánh xạ tích các không gian Sobolev trong [23].
Bổ đề 1.3. Giả sử Ω ⊂ RN
(N = 2 hoặc 3) là miền bị chặn với biên Lipschitz.
a) Với mọi 1 ≤ s ≤ r ≤ +∞, đặt
1
a
=
1
r∗
+
1
s
,
trong đó r∗
được xác định như sau: 1/r∗
= 1/r − 1/N nếu r < N, r∗
∈
[1, +∞) (tùy ý) nếu r = N và r∗
= +∞ nếu r > N. Nếu a ≥ 1 thì
(u, v) → uv là ánh xạ liên tục từ W1,r
(Ω) × W1,s
(Ω) vào W1,a
(Ω).
b) Với mọi 1 ≤ r, s ≤ ∞ với 1/r + 1/s ≤ 1, khi đó (u, S) → uS là ánh xạ
liên tục từ W1,r
(Ω) × W−1,s
(Ω) vào W−1,a
(Ω) với a được xác định như
trên.
Kết quả dưới đây liên quan đến phép nhúng compact vào không gian
Lp
(0; T; B) trong Bổ đề 1.5.
Bổ đề 1.4. Cho X, B và Y là các không gian Banach. Giả sử X nhúng
compact trong B và B nhúng liên tục trong Y . Hàm δ : R+ → R thỏa mãn
δ(h) → 0 khi h → 0 và 1 < p < +∞. Đặt
W =
{
u ∈ Lp
(0; T; X) : sup
0<h<T
1
δ(h)
∥τh(u) − u∥Lp(0,T −h;Y ) < +∞
}
.
Khi đó W nhúng compact trong Lp
(0, T; B).
Bổ đề sau là mở rộng kết quả của Bổ đề Aubin-Lions cổ điển trong [19].
Bổ đề 1.5. [23, Bổ đề Aubin-Lions-Simon] Cho X, B và Y là các không gian
Banach. Giả sử X nhúng compact trong B và B nhúng liên tục trong Y . Khi
đó các phép nhúng sau là compact:

29
a) Lq
(0, T; X) ∩
{
ϕ : ∂tϕ ∈ L1
(0, T; Y )
}
→ Lq
(0, T; B), với 1 ≤ q ≤ ∞.
b) L∞
(0, T; X) ∩ {ϕ : ∂tϕ ∈ Lr
(0, T; Y )} → C0
([0, T]; B), với 1 < r ≤ ∞.
c) Lq
(0, T; X) ∩ Ns,q
(0, T; Y ) → Lq
([0, T]; B), với 0 < s ≤ 1 và 1 ≤ q ≤
+∞.
Hơn nữa, với tập bị chặn B ⊂ L∞
(0; T; X), K ∈ L1
(0, T) cho trước, r > 1, và
hằng số C, khi đó mọi tập
F = B ∩
{
ϕ : ∥∂tϕ∥Y ≤ K + ψ hầu khắp t, ∥ψ∥Lr(0,T ) ≤ C
}
là compact tương đối trong C0
([0, T]; B).
Bổ đề 1.6. [42, Định lí 13.3] Giả sử X và Y là hai không gian Banach với
Y ⊂ X là phép nhúng compact.
Cho G là tập bị chặn trong L1
(0, T; Y ) và Lp
(0, T; X), T > 0, p > 1, thỏa mãn
∫ T −a
0
∥g(a + s) − g(s)∥p
Xds → 0 khi a → 0, đều đối với g ∈ G.
Khi đó G compact tương đối trong Lq
(0, T; X) với mọi q, 1 ≤ q < p.
Bổ đề 1.7. ([23]) Cho E là không gian Banach. Xét tập mở khác rỗng liên
thông Ω ⊂ RN
với biên ∂Ω liên tục Lipschitz. Giả sử rằng S ∈ D′
(Ω; E)N
và
⟨S, φ⟩ = 0, ∀φ ∈ V1.
Khi đó, tồn tại duy nhất q ∈ D′
(Ω; E) sai khác hằng số sao cho S = ∇q. Hơn
nữa ánh xạ S → q là tuyến tính và liên tục từ Wr,p
(Ω; E)N
vào Wr+1,p
(Ω; E)
với mọi r ∈ R và 1 < p < ∞.

30
Chương 2
HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của bài toán biên Dirichlet không thuần nhất đối với hệ phương trình
Bénard hai chiều không ôtônôm trên miền không nhất thiết bị chặn nhưng
thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré dưới một lớp khá rộng các điều kiện của
ngoại lực. Đầu tiên chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sau đó chúng tôi chứng minh sự tồn tại
và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục các công
trình đã công bố của tác giả.
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho Ω là miền (bị chặn hoặc không bị chặn) trong R2
thỏa mãn bất đẳng
thức Poincaré (Định lí 1.4), có biên ∂Ω. Chúng ta xét hệ phương trình Bénard
không ôtônôm sau:



∂tu + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu(x, t) + α−→e 2(T − Tr),
∇ · u = 0,
∂tT + u · ∇T − κ∆T = fT (x, t),
(2.1)
trong đó u = u(x, t) = (u1, u2), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và
hàm áp suất cần tìm, T = T(x, t) là nhiệt độ cần tìm của chất lỏng tại vị trí
x ∈ Ω và thời điểm t ≥ τ; ν > 0, κ > 0 lần lượt là hệ số nhớt và hệ số truyền
nhiệt; α = ϑg là tham số đặc trưng cho sự nổi của chất lỏng với hệ số giãn nở

31
nhiệt ϑ và gia tốc rơi tự do g; vectơ −→e 2 = (0, 1); Tr là nhiệt độ môi trường;
fu(x, t) là hàm ngoại lực tác động lên chất lỏng, fT (x, t) là nguồn nhiệt.
Xét hệ phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhất



u(x, t) = ϕu(x), ∀(x, t) ∈ ∂Ω × (τ, +∞),
T(x, t) = ϕT (x), ∀(x, t) ∈ ∂Ω × (τ, +∞),
(2.2)
và điều kiện ban đầu



u(x, τ) = u0(x), x ∈ Ω,
T(x, τ) = T0(x), x ∈ Ω.
(2.3)
Bài toán (2.1)-(2.3) có điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất xét trong
miền không bị chặn. Như được đề cập đến trong [24], thông thường chúng ta
thuần nhất hóa điều kiện biên bằng cách lấy hiệu của trường vectơ vận tốc với
một "dòng chảy nền" thích hợp. "Dòng chảy nền" này có thể được xây dựng
thông qua kĩ thuật kiểu Hopf bằng cách thác triển giá trị vận tốc cho trước
trên biên thành trường vectơ vận tốc phù hợp trên toàn bộ miền. Kĩ thuật
này phù hợp với các miền thuộc lớp C2
(xem [12, 45]) và các miền Lipschitz
với thông lượng qua biên bằng 0 (xem [35]). Tuy nhiên, với miền không trơn
hoặc không bị chặn có thông lượng qua biên khác 0 đặc biệt nào đó, ta vẫn có
thể áp dụng kĩ thuật này. Việc xây dựng và kiểm tra các ví dụ về "dòng chảy
nền" khá dài và đã được trình bày chi tiết trong [24, Mục 5], vì vậy chúng tôi
không trình bày lại trong luận án này.
Kí hiệu
V := V1 × V3, H := H1 × H3.
Ta định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trong V như sau:
((z, ˜z)) = ((v, ˜v))1 + γ((θ, ˜θ))3, ∀z = (v, θ), ˜z = (˜v, ˜θ) ∈ V,
∥z∥ = ((z, z))1/2
, ∀z ∈ V,

32
trong đó γ cho bởi
γ ≥
(
α
λ1
)2
1
νκ
. (2.4)
Nhận xét 2.1. Hệ số γ được chọn sao cho toán tử A xác định trong (2.5)
thỏa mãn tính chất cưỡng. Hơn nữa, với cách chọn γ như trên thì hai số hạng
trong tích vô hướng của V phù hợp về số chiều trong các đơn vị vật lí.
Tích vô hướng và chuẩn trong H được xác định bởi
(z, ˜z) = (v, ˜v) + γ(θ, ˜θ), ∀z = (v, θ), ˜z = (˜v, ˜θ) ∈ H,
|z| = (z, z)1/2
, ∀z ∈ H.
Đặt A : V → V ′
là toán tử xác định bởi
⟨Az, ˜z⟩ = a(z, ˜z) = νa1(v, ˜v) + γκa2(θ, ˜θ), (2.5)
trong đó
a1(v, ˜v) = ((v, ˜v))1 =
∫
Ω
2∑
j=1
∇vj · ∇˜vjdx,
a2(θ, ˜θ) = ((θ, ˜θ))3 =
∫
Ω
∇θ · ∇˜θdx.
Dễ thấy A là đồng cấu từ V vào V ′
và dạng song tuyến tính a có tính chất
cưỡng
min(ν, κ)∥z∥2
≤ a(z, z) = ⟨Az, z⟩ ≤ max(ν, κ)∥z∥2
.
Đặt B : V × V → V ′
⟨B(z, ˆz), ˜z⟩ = b(z, ˆz, ˜z) = b1(v, ˆv, ˜v) + γb2(v, ˆθ, ˜θ),
trong đó các dạng ba tuyến tính được cho bởi
b1(v, ˆv, ˜v) =
∫
Ω
2∑
i,j=1
vi
∂ˆvj
∂xi
˜vjdx,
b2(v, ˆθ, ˜θ) =
∫
Ω
2∑
i=1
vi
∂ˆθ
∂xi
˜θdx,

33
và ta viết tắt B(z) = B(z, z). Dễ thấy nếu z, ˆz, ˜z ∈ V , thì
b(z, ˆz, ˜z) = −b(z, ˜z, ˆz).
Do đó
b(z, ˆz, ˆz) = 0. (2.6)
Sử dụng các bất đẳng thức H¨older, Poincaré và Ladyzhenskaya, ta có bổ đề
sau.
Bổ đề 2.1. [24, Bổ đề 2] Giả sử Ω ⊂ R2
và z, ˜z ∈ V . Khi đó
|b(z, z, ˜z)| ≤ |z|∥z∥∥˜z∥.
Áp dụng (2.6) và Bổ đề 2.1, dễ thấy toán tử B có tính chất trực giao
⟨B(z, z), z⟩ = 0, (2.7)
và thỏa mãn
∥B(z)∥∗ ≤ |z|∥z∥, ∀z ∈ V.
Tiếp theo, chúng ta sẽ viết lại bài toán để hiểu rõ ý nghĩa của điều kiện
biên (2.2). Giả sử rằng ub và Tb xác định trong miền Ω lần lượt là dòng chảy
nền và nhiệt độ nền sao cho ub = ϕu, Tb = ϕT trên biên ∂Ω. Khi đó điều kiện
biên đạt được theo nghĩa u − ub và T − Tb thuộc những không gian Sobolev
là bao đóng của không gian các hàm có giá compact. Ta đặt v = u − ub và
θ = T − Tb, khi đó (2.1) được viết lại như sau:



∂tv + (v · ∇)v − ν∆v + ∇p = ¯fu − (ub · ∇)v − (v · ∇)ub + α−→e 2θ,
∇ · v = 0,
∂tθ + v · ∇θ − κ∆θ = ¯fT − ub · ∇θ − v · ∇Tb,
(2.8)
với ¯fu và ¯fT được xác định bởi
¯fu = fu + ν∆ub − (ub · ∇)ub + α−→e 2(Tb − Tr),
¯fT = fT + κ∆Tb − ub · ∇Tb.
(2.9)

34
Điều kiện biên cho hệ (2.8) là
v(x, t) = 0, θ(x, t) = 0, với mọi x ∈ ∂Ω. (2.10)
Và điều kiện ban đầu
v(., τ) = v0 = u0 − ub, θ(., τ) = θ0 = T0 − Tb. (2.11)
Để làm rõ ý nghĩa của các số hạng ub và Tb trong (2.8), chúng ta cần có
một số giả thiết của zb = (ub, Tb). Không mất tính tổng quát, ta giả sử
zb ∈ L1
loc(Ω) × L1
loc(Ω). (2.12)
Ta cũng giả sử rằng ∇ · ub = 0 và
∆ub ∈ V ′
1, ∆Tb ∈ V ′
3 và Tb ∈ V ′
3. (2.13)
Với z = (v, θ), ˆz = (ˆv, ˆθ) và ˜z = (˜v, ˜θ), ta kí hiệu
¯b(z, ˆz, ˜z) = −
∫
Ω
(v · ∇)˜v · ˆvdx − γ
∫
Ω
v · ∇˜θˆθdx.
Giả sử tồn tại hằng số cb sao cho với mọi z, ˜z ∈ V ,
|¯b(zb, z, ˜z)| + |¯b(z, zb, ˜z)| ≤ cb∥z∥∥˜z∥, (2.14)
tồn tại cbuu và cbuT sao cho với mọi v ∈ V1 và θ ∈ V3,
∫
Ω
(ub · ∇)v · ubdx ≤ cbuu ∥v∥1 và
∫
Ω
ub · ∇θTbdx ≤ cbuT
∥θ∥3. (2.15)
Điều này tương đương với tồn tại cbb sao cho
|¯b(zb, zb, z)| ≤ cbb∥z∥.
Nhận xét 2.2. Với việc sử dụng kí hiệu này, chúng ta có thể thay những điều
kiện trong (2.14) và (2.15) bởi
B(zb, z), B(z, zb) và B(zb, zb) ∈ V ′
, ∀z ∈ V.

35
Từ (2.12) và giả thiết ∇ · ub = 0 ta có
¯b(zb, z, z) = 0. (2.16)
Cuối cùng, để có được tính chất cưỡng của toán tử A trong (2.5), ta giả sử
∫
Ω
(v · ∇)v · ubdx ≤
ν
4
∥v∥2
1, ∀v ∈ V1,
∫
Ω
v · ∇θTbdx ≤
β
4
∥v∥1∥θ∥3, θ ∈ V3,
(2.17)
với β > 0 thỏa mãn
β ≤
(νκ
γ
)1/2
≤
νκλ1
|α|
. (2.18)
Đặt R : V → V ′
là toán tử kết hợp với dạng song tuyến tính r : V ×V → R
cho bởi
⟨Rz, ˜z⟩ = r(z, ˜z) = ¯b(zb, z, ˜z) + ¯b(z, zb, ˜z) − α(−→e 2θ, ˜v).
Bởi (2.4), các bất đẳng thức H¨older và Poincaré, ta có
|α(−→e 2θ, ˜v)| ≤
√
νκ∥z∥∥˜z∥.
Sử dụng bất đẳng thức trên và (2.14) ta thu được
|r(z, ˜z)| ≤ cr∥z∥∥˜z∥ và ∥Rz∥∗ ≤ cr∥z∥ (2.19)
với cr =
√
νκ + cb. Hơn nữa, từ (2.16) ta nhận được
r(z, z) = ¯b(z, zb, z) − α(−→e 2θ, v).
Giả sử fu ∈ L2
loc(R; V ′
1), fT ∈ L2
loc(R; V ′
3) và Tr ∈ L2
loc(R; V ′
3). Dễ thấy
F = (fu, fT ) ∈ L2
loc(R; V ′
) và
⟨F, z⟩ = ⟨fu, v⟩V ′
1 ,V1
+ γ⟨fT , θ⟩V ′
3 ,V3
, hầu khắp t ∈ R. (2.20)
Đặt e : V → R cho bởi
e(z) = ⟨ ¯fu, v⟩V ′
1 ,V1
+ γ⟨ ¯fT , θ⟩V ′
3 ,V3
= ⟨F, z⟩ − ⟨(ν∆ub, κ∆Tb), z⟩ − ¯b(zb, zb, z) + α⟨−→e 2(Tb − Tr), v⟩.

36
Từ (2.20) ta có Ψ ∈ L2
loc(R; V ′
) và
Ψ = F − (ν∆ub, κ∆Tb) − B(zb, zb) + (α−→e 2(Tb − Tr), 0) (2.21)
sao cho e(z) = ⟨Ψ, z⟩. Bởi (2.20) và (2.13), ta có thể dễ dàng kiểm tra được
|⟨(ν∆ub, κ∆Tb), z⟩| ≤
√
2(ν∥∆ub∥V ′
1
+ κγ1/2
∥∆Tb∥V ′
3
)∥z∥,
và
|α⟨−→e 2(Tb − Tr), v⟩| ≤ |α|∥Tb − Tr∥V ′
3
∥z∥.
Áp dụng các bất đẳng thức trên và (2.15) ta có
|e(z)| ≤ ce∥z∥ và ∥Ψ∥∗ ≤ ce,
trong đó
ce = ∥F∥∗ +
√
2(ν∥∆ub∥V ′
1
+κγ1/2
∥∆Tb∥V ′
3
+cbuu +γ1/2
cbuT
)+|α|∥Tb −Tr∥V ′
3
.
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau đối với bài toán
(2.1)-(2.3):
• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.
• Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi.
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
yếu bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu
của bài toán (2.8)-(2.11).
Định nghĩa 2.1. Hàm z = (v, θ) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (2.8)-
(2.11) trên khoảng (τ, T) nếu



z ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ L∞
(τ, T; H),
d
dt
(z, ˜z) + a(z, ˜z) + r(z, ˜z) + b(z, z, ˜z) = e(˜z), ∀˜z ∈ V,
theo nghĩa phân bố trong D′
(τ, T),
z(τ) = z0 = (v0, θ0).
(2.22)

37
Trong trường hợp hai chiều, do
dz
dt
∈ L2
(τ, T; V ′
), có thể thấy phương trình
(2.22) tương đương với phương trình hàm sau trong V ′



z ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ L∞
(τ, T; H),
z′
+ (A + R)z + B(z) = Ψ trong V ′
, với hầu khắp t ∈ (τ, T),
z(τ) = z0,
(2.23)
trong đó z′
=
(dv
dt
,
dθ
dt
)
, và Ψ cho trong (2.21). Để chứng minh sự tồn tại
nghiệm yếu của bài toán (2.22) ta cần sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 2.2. [24, Bổ đề 3] Nếu ub và Tb thỏa mãn (2.17) thì toán tử A + R là
V -elliptic, tức là, tồn tại δ > 0 sao cho
⟨
(A + R)z, z
⟩
≥ δ(ν∥v∥2
1 + γκ∥θ∥2
3) (2.24)
với mọi z ∈ V .
Mệnh đề sau đây chỉ ra tính liên tục của nghiệm yếu theo thời gian t.
Mệnh đề 2.1. Nếu z ∈ L2
(τ, T; V ) và
dz
dt
∈ L2
(τ, T; V ′
) thì z ∈ C([τ, T]; H).
Chứng minh. Lấy dãy zn ∈ C1
([τ, T]; V ) sao cho
zn → z trong L2
(τ, T; V ),
dzn
dt
→
dz
dt
trong L2
(τ, T; V ′
).
Khi đó, với mọi t, t0 ∈ [τ, T], ta có
|zn(t) − zm(t)|2
= |zn(t0) − zm(t0)|2
+ 2
∫ t
t0
⟨z′
n(s) − z′
m(s), zn(s) − zm(s)⟩ds.
Chọn t0 sao cho
|zn(t0) − zm(t0)|2
=
1
T − τ
∫ T
τ
|zn(t) − zm(t)|2
dt.

38
Ta có
∫
Ω
|zn(t) − zm(t)|2
dx =
1
T − τ
∫
Ω
∫ T
τ
|zn(t) − zm(t)|2
dtdx
+ 2
∫
Ω
∫ t
t0
(
z′
n(s) − z′
m(s)
)(
zn(s) − zm(s)
)
dsdx
≤
1
T − τ
∥zn − zm∥2
L2(τ,T ;H) + 2∥zn − zm∥2
L2(τ,T ;V )∥z′
n − z′
m∥2
L2(τ,T ;V ′).
Đẳng thức trên suy ra {zn} là dãy Cauchy trong C([0, T]; H). Vì vậy {zn}
hội tụ trong C([0, T]; H) tới một hàm ˜z ∈ C([0, T]; H). Mặt khác, ta lại có
zn(t) → z(t) trong H với hầu khắp t ∈ [τ, T]. Vì vậy, z(t) = ˜z(t) với hầu khắp
t ∈ [τ, T]. Suy ra z ∈ C([0, T]; H) (nếu cần có thể chỉnh sửa giá trị trên một
tập có độ đo 0).
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu được trình bày trong định lí sau.
Định lí 2.1. Giả sử ν > 0, κ > 0, fu ∈ L2
loc(R; V ′
1), fT ∈ L2
loc(R; V ′
3), Tr ∈
L2
loc(R; V ′
3), zb = (ub, Tb) cho trước thỏa mãn (2.12)-(2.15) và (2.17). Khi đó,
với mọi z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ cho trước, bài toán (2.22) (do đó (2.23))
có duy nhất nghiệm yếu z ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ L∞
(τ, T; H). Vì z ∈ L2
(τ, T; V )
nên từ phương trình (2.23) suy ra z′
∈ L2
(τ, T; V ′
) với mọi T > τ. Do đó
z ∈ C([τ, T]; H) (Mệnh đề 2.1). Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau
|z(t)|2
≤ e−σ(t−τ)
|z0|2
+
e−σt
ζ
∫ t
−∞
eσs
∥Ψ(s)∥2
∗ds, (2.25)
ở đó σ = ζλ1 với ζ = δ min(ν, κ).
Chứng minh. (i) Sự tồn tại. Sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh dựa vào
phương pháp xấp xỉ Galerkin và tương tự trường hợp ôtônôm (xem [24]) nên
chúng tôi không trình bày chi tiết ở đây. Tiếp theo ta đưa ra một số ước lượng
tiên nghiệm của nghiệm z được sử dụng trong các phần sau.
Trước hết, ta định nghĩa dạng song tuyến tính đối xứng [., .] : V × V → R
cho bởi
[z, ˜z] =
⟨
(A + R)z, ˜z
⟩
−
ζλ1
2
(z, ˜z), ∀z, ˜z ∈ V. (2.26)
Từ (2.19) và định nghĩa của A ta có
[z, z] +
ζλ1
2
|z|2
=
⟨
(A + R)z, z
⟩
≤
(
max(ν, κ) + cr
)
∥z∥2
.

39
Do vậy,
[z]2
≡ [z, z] ≤
(
max(ν, κ) + cr
)
∥z∥2
. (2.27)
Đặt z = (v, θ). Từ định nghĩa của |z| và Định lí 1.4, ta có
ζλ1
2
|z|2
=
ζλ1
2
(|v|2
+ γ|θ|2
) ≤
ζ
2
(∥v∥2
1 + γ∥θ∥2
3) =
ζ
2
∥z∥2
.
Sử dụng đẳng thức trên và (2.24) ta thu được
[z]2
≥ ζ∥z∥2
−
ζλ1
2
|z|2
≥
ζ
2
∥z∥2
. (2.28)
Kết hợp (2.27) với (2.28) ta nhận được
ζ
2
∥z∥2
≤ [z]2
≤
(
max(ν, κ) + cr
)
∥z∥2
, ∀z ∈ V. (2.29)
Do đó, [., .] định nghĩa một tích vô hướng trên V với chuẩn [.] = [., .]1/2
tương
đương với chuẩn ∥.∥.
Gọi z(t) =
(
v(t), θ(t)
)
là nghiệm của bài toán. Khi đó, z = (v, θ) ∈
L2
(τ, T; V ), z′
= (v′
, θ′
) ∈ L2
(τ, T; V ′
) và
1
2
d
dt
|v|2
= ⟨v′
, v⟩V ′
1 ,V1
,
1
2
d
dt
|θ|2
= ⟨θ′
, θ⟩V ′
3 ,V3
.
Sử dụng (2.20) ta có
1
2
d
dt
|z|2
=
1
2
d
dt
(|v|2
+ γ|θ|2
) = ⟨v′
, v⟩V ′
1 ,V1
+ γ⟨θ′
, θ⟩V ′
3 ,V3
= ⟨z′
, z⟩.
Vì vậy từ (2.23) và (2.7) ta thu được
1
2
d
dt
|z|2
+ ⟨(A + R)z, z⟩ = ⟨Ψ, z⟩.
Theo định nghĩa chuẩn [.] cho trong (2.26) ta suy ra
d
dt
|z|2
+ ζλ1|z|2
+ 2[z]2
= 2⟨Ψ, z⟩. (2.30)
Sử dụng (2.29) và bất đẳng thức Cauchy, ta thu được
d
dt
|z|2
+ ζλ1|z|2
+ ζ∥z∥2
≤
2
ζ
∥Ψ∥2
∗ +
ζ
2
∥z∥2
,
hay ta có
d
dt
|z|2
+
ζ
2
∥z∥2
≤
2
ζ
∥Ψ∥2
∗.

40
Lấy tích phân bất đẳng thức trên từ τ đến t với τ ≤ t ≤ T, ta nhận được
|z(t)|2
+
ζ
2
∫ t
τ
∥z(s)∥2
ds ≤ |z0|2
+
2
ζ
∥Ψ∥2
L2(τ,T ;V ′).
Bất đẳng thức này cho ta ước lượng của z trong không gian L2
(τ, T; V ) ∩
L∞
(τ, T; H).
(ii) Tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều
kiện ban đầu. Giả sử z1
, z2
là hai nghiệm yếu của bài toán (2.23) với điều kiện
ban đầu tương ứng z1
0, z2
0. Đặt w = z1
− z2
, ta có
w ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ L∞
(τ, T; H)
và w thỏa mãn
d
dt
w + (A + R)w = B(z2
) − B(z1
),
w(τ) = z1
0 − z2
0.
Từ đây ta có
d
dt
|w|2
+2[w]2
= −ζλ1|w|2
+2b(z2
, z2
, w)−2b(z1
, z1
, w) = −ζλ1|w|2
−2b(w, z1
, w).
Bởi Bổ đề 2.1, ta có
| − 2b(w, z1
, w)| ≤ 2|w|∥z1
∥∥w∥ ≤ ζ∥w∥2
+
1
ζ
|w|2
∥z1
∥2
.
Vì vậy ta thu được
d
dt
|w|2
≤ (ζλ1 +
1
ζ
∥z1
∥2
)|w|2
.
Do đó dẫn đến
|w(t)|2
≤ |w(τ)|2
exp
( ∫ t
τ
(ζλ1 +
1
ζ
∥z1
(s)∥2
)ds
)
.
Điều này chứng tỏ nghiệm yếu là duy nhất (nếu z1
0 = z2
0) và phụ thuộc liên
tục vào điều kiện ban đầu.
(iii) Chứng minh ước lượng (2.25). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong
(2.30) ta có
d
dt
|z|2
+ ζλ1|z|2
+ ζ∥z∥2
≤
1
ζ
∥Ψ∥2
∗ + ζ∥z∥2
.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho đánh giá trên ta có (2.25). Từ đây suy
ra nghiệm z có thể thác triển trên toàn khoảng [τ; +∞).

41
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI
Từ kết quả của Định lí 2.1, ta có thể định nghĩa một quá trình liên tục
Z(t, τ) : H → H bởi
Z(t, τ)z0 = z(t; τ, z0), τ ≤ t, z0 ∈ H,
trong đó z(t) = z(t; τ, z0) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.23) với điều
kiện ban đầu z(τ) = z0.
Để chứng minh tính compact tiệm cận lùi của quá trình Z(t, τ) bằng phương
pháp phương trình năng lượng, trước tiên ta cần chứng minh tính liên tục yếu
của Z(t, τ).
Bổ đề 2.3. Cho {z0n }n ⊂ H là một dãy hội tụ yếu trong H đến phần tử
z0 ∈ H. Khi đó
Z(t, τ)z0n
⇀ Z(t, τ)z0 trong H, với mọi t ≥ τ. (2.31)
Z(., τ)z0n ⇀ Z(., τ)z0 trong L2
(τ, T; V ), với mọi T > τ. (2.32)
Chứng minh. Đặt zn(t) = Z(t, τ)z0n và z(t) = Z(t, τ)z0. Như trong chứng
minh của Định lí 2.1, ta có với mọi T > τ
{zn} bị chặn trong L∞
(τ, T; H) ∩ L2
(τ, T; V ). (2.33)
Viết lại phương trình (2.23) ở dạng
z′
n = Ψ − (A + R)zn − B(zn),
ta thu được
{z′
n} bị chặn trong L2
(τ, T; V ′
).
Khi đó, với mọi w ∈ V , và τ ≤ t ≤ t + a ≤ T với T > τ,
(
zn(t + a) − zn(t), w
)
=
∫ t+a
t
⟨
z′
n(s), w
⟩
ds
≤ a1/2
∥w∥∥z′
n∥L2(τ,T ;V ′) ≤ CT a1/2
∥w∥,
(2.34)

42
trong đó CT là hằng số dương không phụ thuộc n. Chọn w = zn(t+a)−zn(t) ∈
V với hầu khắp t, thay vào (2.34) ta được
|zn(t + a) − zn(t)|2
≤ CT a1/2
∥zn(t + a) − zn(t)∥.
Do đó
∫ T −a
τ
|zn(t + a) − zn(t)|2
dt ≤ CT a1/2
∫ T −a
τ
∥zn(t + a) − zn(t)∥dt. (2.35)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và (2.33) vào (2.35) ta suy ra
∫ T −a
τ
|zn(t + a) − zn(t)|2
dt ≤ ˜CT a1/2
,
với ˜CT cũng là hằng số dương không phụ thuộc n.
Kí hiệu
Xr = L2
(Ωr) × L2
(Ωr), Yr = H1
0(Ωr) × H1
0 (Ωr),
ở đó Ωr = Ω ∩ {x ∈ R2
: |x| < r} và ta có
lim
a→0
sup
n
∫ T −a
τ
∥zn(t + a) − zn(t)∥2
Xr
dt = 0, (2.36)
với mọi r > 0. Xét hàm cắt ρ ∈ C1
(R+
) sao cho wn,r = ρ
(|x|
r
)
zn(x) thỏa mãn
wn,r =



zn(x), với |x| <
r
2
,
0, với |x| ≥ r.
Cố định r0 > 0, khi đó ρ
(|x|
r
)
bị chặn đều với x ∈ R2
và r ≥ r0. Do đó, từ
(2.36) ta suy ra
lim
a→0
sup
n
∫ T −a
τ
∥wn,r(t + a) − wn,r(t)∥2
Xr
dt = 0,
với mọi T > τ, r > 0. Trong khi đó, từ (2.33) ta cũng có
{wn,r}n bị chặn trong L∞
(τ, T; Xr) ∩ L2
(τ, T; Yr)
đều với mọi T > τ và r ≥ r0. Vì vậy, áp dụng Bổ đề compact 1.6 ta được
{wn,r}n compact tương đối trong L2
(τ, T; Xr), ∀T > τ, ∀r ≥ r0.

43
Từ đó suy ra
{zn|Ωr }n compact tương đối trong L2
(τ, T; Xr), ∀T > τ, ∀r ≥ r0.
Khi đó, sử dụng phương pháp chọn chéo, ta có thể trích ra một dãy con {znk
}k
sao cho
znk
⇀∗
˜z trong L∞
loc(R; H),
znk
⇀ ˜z trong L2
loc(R; V ),
znk
→ ˜z trong L2
loc(R; Xr), ∀r ≥ r0,
(2.37)
với ˜z ∈ L∞
loc(R; H) ∩ L2
loc(R; V ).
Sự hội tụ trong (2.37) cho phép ta qua giới hạn trong phương trình của znk
dẫn đến ˜z là nghiệm yếu của bài toán (2.22) với ˜z(τ) = z0. Vì nghiệm yếu của
bài toán (2.22) là duy nhất nên ˜z = z. Vậy, bằng phản chứng, ta kết luận dãy
{zn} hội tụ đến z trong (2.37) hay (2.32) được chứng minh.
Bây giờ, từ sự hội tụ mạnh trong (2.37) ta cũng có zn(t) hội tụ mạnh trong
Xr đến z(t) với hầu khắp t ≥ τ và mọi r ≥ r0. Do đó, với mọi w ∈ V1 × D(Ω)
(
zn(t), w
)
→
(
z(t), w
)
với hầu khắp t ∈ R.
Hơn nữa, từ (2.33) và (2.34), ta thấy {
(
zn(t), w
)
}n bị chặn đều và liên tục
đồng bậc trên [τ, T], với mọi T > 0. Vì vậy
(
zn(t), w
)
→
(
z(t), w
)
, ∀t ∈ R, ∀w ∈ V1 × D(Ω).
Cuối cùng, do V1 × D(Ω) trù mật trong V nên ta có (2.31).
Gọi Rσ là tập tất cả các hàm r : R → (0; +∞) thỏa mãn
lim
t→−∞
eσt
r2
(t) = 0, (2.38)
và kí hiệu Dσ là lớp tất cả các họ ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(H) sao cho
D(t) ⊂ B(0, ˆr(t)) với ˆr(t) ∈ Rσ, trong đó B(0, r) là hình cầu đóng trong H,
tâm tại 0 và bán kính r.
Sau đây ta sẽ chứng minh kết quả về sự tồn tại tập hút lùi.
Định lí 2.2. Giả sử Ψ ∈ L2
loc(R; V ′
) thỏa mãn
∫ t
−∞
eσs
∥Ψ(s)∥2
∗ds < +∞ với mọi t ∈ R.

44
Khi đó tồn tại duy nhất tập Dσ-hút lùi ˆA = {A(t) : t ∈ R} của quá trình
{Z(t, τ)} sinh bởi bài toán (2.22).
Chứng minh. Cho τ ∈ R và z0 ∈ H cố định, kí hiệu
z(t) = z(t; τ, z0) = Z(t, τ)z0 với mọi t ≥ τ.
Để chứng minh định lí ta cần kiểm tra hai điều kiện trong Định lí 1.1 như sau:
(i) Quá trình Z(t, τ) có một họ Dσ-hấp thụ lùi ˆB.
Với ˆD ∈ Dσ cho trước, từ (2.25) ta có
|Z(t, τ)z0|2
≤ e−σ(t−τ)
ˆr2
(τ) +
e−σt
ζ
∫ t
−∞
eσs
∥Ψ(s)∥2
∗ds, (2.39)
với mọi z0 ∈ D(τ) và t ≥ τ.
Kí hiệu Rσ(t) ∈ Rσ xác định bởi
R2
σ(t) =
2e−σt
ζ
∫ t
−∞
eσs
∥Ψ(s)∥2
∗ds, (2.40)
và xét họ ˆBσ các hình cầu đóng trong H cho bởi Bσ(t) = B
(
0, Rσ(t)
)
. Dễ kiểm
tra được ˆBσ ∈ Dσ. Hơn nữa, bởi (2.39) và (2.38), họ ˆBσ là Dσ-hấp thụ lùi của
quá trình Z(t, τ).
(ii) Z(t, τ) là Dσ-compact tiệm cận lùi.
Cho ˆD ∈ Dσ, hai dãy τn → −∞, z0n
∈ D(τn) và t ∈ R cố định. Để
chứng minh Z(t, τ) là Dσ-compact tiệm cận lùi ta cần chứng minh từ dãy
{Z(t, τn)z0n }n có thể trích ra một dãy con hội tụ trong H.
Thật vậy, do họ ˆBσ là Dσ-hấp thụ lùi, với mỗi k ≥ 0, tồn tại τ ˆD(k) ≤ t − k
sao cho
Z(t − k, τ)D(τ) ⊂ Bσ(t − k) với mọi τ ≤ τ ˆD(k). (2.41)
Như vậy, với mỗi τn ≤ τ ˆD(k) thì
Z(t − k, τn)z0n ⊂ Bσ(t − k).
Vì vậy, {Z(t − k, τn)z0n }n là tiền compact trong H và do Bσ(t − k) lồi đóng
nên tồn tại dãy con {τn′ , z0n′ }n′ ⊂ {τn, z0n }n, và một dãy {wk : k ≥ 0} ⊂ H
sao cho với mọi k ≥ 0 và wk ∈ Bσ(t − k)
Z(t − k, τn′ )z0n′ ⇀ wk trong H.

45
Kết hợp với tính liên tục yếu của quá trình Z(t, τ) đã chứng minh trong Bổ
đề 2.3, ta được
w0 = lim
n′→∞
Hw Z(t, τn′ )z0n′ = lim
n′→∞
Hw Z(t, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′
= Z(t, t − k) lim
n′→∞
Hw Z(t − k, τn′ )z0n′ = Z(t, t − k)wk,
trong đó lim Hw kí hiệu sự hội tụ theo tôpô yếu trong H, tức là
Z(t, t − k)wk = w0 với mọi k ≥ 0. (2.42)
Do Z(t − k, τn′ )z0n′ ⇀ wk trong H, áp dụng tính nửa liên tục dưới của chuẩn,
ta có
|w0| ≤ lim inf
n′→∞
|Z(t, τn′ )z0n′ |.
Nếu ta chứng minh được
lim sup
n′→∞
|Z(t, τn′ )z0n′ | ≤ |w0|, (2.43)
thì dẫn đến
lim
n′→∞
|Z(t, τn′ )z0n′ | = |w0|,
và điều này, cùng với sự hội tụ yếu, ta sẽ suy ra được Z(t, τn′ )z0n′ hội tụ mạnh
đến w0 trong H.
Sau đây, ta sẽ chứng minh (2.43) bằng phương pháp phương trình năng
lượng được J.M. Ball đề xuất trong [20]. Tiếp theo, từ phương trình (2.30), ta
có
|z(t)|2
= e−σ(t−τ)
|z0|2
+ 2
∫ t
τ
e−σ(t−s)
(⟨
Ψ(s), z(s)
⟩
− [z(s)]2
)
ds,
hay
|Z(t, τ)z0|2
= eσ(τ−t)
|z0|2
+ 2
∫ t
τ
eσ(s−t)
(⟨
Ψ(s), z(s)
⟩
−
[
z(s)
]2
)
ds, (2.44)
với mọi τ ≤ t, và mọi z0 ∈ H. Vì vậy, với mọi k ≥ 0, τn′ ≤ t − k, ta có
|Z(t, τn′ )z0n′ |2
= |Z(t, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′ |2
= e−σk
|Z(t − k, τn′ )z0n′ |2
+ 2
∫ t
t−k
eσ(s−t)
⟨
Ψ(s), Z(s, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′
⟩
ds
− 2
∫ t
t−k
eσ(s−t)
[
Z(s, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′
]2
ds.
(2.45)

46
Bởi (2.41),
Z(t − k, τn′ )z0n′ ∈ Bσ(t − k) với mọi τn′ ≤ τ ˆD(k), k ≥ 0.
Suy ra
lim sup
n′→∞
(
e−σk
Z(t, τn′ )z0n′
2
)
≤ e−σk
R2
σ(t − k), k ≥ 0. (2.46)
Lại có Z(t − k, τn′ )z0n′ ⇀ wk trong H, áp dụng Bổ đề 2.3 ta được
Z(., t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′ ⇀ Z(., t − k)wk trong L2
(t − k, t; V ).
Đặc biệt, eσ(s−t)
Ψ(s) ∈ L2
(t − k, t; V ′
) nên
lim
n′→∞
∫ t
t−k
eσ(s−t)
⟨
Ψ(s), Z(s, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′
⟩
ds
=
∫ t
t−k
eσ(s−t)
⟨
Ψ(s), Z(s, t − k)wk
⟩
ds.
(2.47)
Hơn nữa, theo (2.29), chuẩn [.] tương đương với chuẩn ∥.∥ trong V và
0 < e−σk
≤ eσ(s−t)
≤ 1, ∀s ∈ [t − k, t],
vì vậy
( ∫ t
t−k
e−σ(t−s)
[.]2
ds
)1/2
là chuẩn trong L2
(t − k, t; V ) tương đương với chuẩn thường dùng. Do đó, từ
(2.46) ta suy ra
t∫
t−k
eσ(s−t)
[
Z(s, t−k)wk
]2
ds ≤ lim inf
n′→∞
t∫
t−k
eσ(s−t)
[
Z(s, t−k)Z(t−k, τn′ )z0n′
]2
ds.
Vậy
lim sup
n′→∞
(
− 2
∫ t
t−k
eσ(s−t)
[
Z(s, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′
]2
ds
)
= −lim inf
n′→∞
2
∫ t
t−k
eσ(s−t)
[
Z(s, t − k)Z(t − k, τn′ )z0n′
]2
ds
≤ −2
∫ t
t−k
eσ(s−t)
[
Z(s, t − k)wk
]2
ds.
(2.48)

47
Kết hợp các đánh giá trên, ta có thể chuyển qua giới hạn lim sup khi n′
tiến
đến ∞ trong (2.45), kết hợp với (2.46), (2.47) và (2.48) ta nhận được
lim sup
n′→∞
Z(t, τn′ )z0n′
2
≤ e−σk
R2
σ(t − k)
+ 2
∫ t
t−k
eσ(s−t)
(⟨
⟩
−
[
Z(s, t − k)wk
]2
)
ds.
(2.49)
Mặt khác, áp dụng (2.44) vào (2.42) dẫn đến
|w0|2
= Z(t, t − k)wk
2
= |wk|2
e−σk
+ 2
t∫
t−k
eσ(s−t)
(⟨
⟩
−
[
Z(s, t − k)wk
]2
)
ds.
(2.50)
Từ (2.49) và (2.50), ta thu được
lim sup
n′→∞
Z(t, τn′ )z0n′
2
≤ e−σk
R2
σ(t − k) + |w0|2
− |wk|2
e−σk
≤ e−σk
R2
σ(t − k) + |w0|2
.
Mà
e−σk
R2
σ(t − k) =
2e−σt
ζ
∫ t−k
−∞
eσs
∥Ψ(s)∥2
∗ds → 0 khi k → +∞,
nên ta dễ dàng thu được (2.43). Định lí được chứng minh.
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI
Việc đánh giá số chiều fractal hữu hạn của tập hút có ý nghĩa quan trọng
trong việc nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều, bởi theo định lí H¨older-
Mané cải biên, khi tập hút có số chiều fractal hữu hạn thì ta có thể quy việc
nghiên cứu một hệ động lực trên tập hút về nghiên cứu hệ động lực trên một
không gian hữu hạn chiều. Chính vì vậy, đây là vấn đề rất được quan tâm khi
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ phương trình cặp trong cơ
học chất lỏng.
Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lí 1.2 để ước lượng số chiều
fractal của tập hút lùi của quá trình Z(t, τ) sinh bởi bài toán (2.23).

48
Chú ý rằng bài toán (2.23) có thể viết lại ở dạng (1.1) với
F(z, t) = −Az(t) − Rz(t) − Bz(t) + Ψ(t).
Từ đó có thể chứng minh được, với mọi t ∈ R, ánh xạ F(., t) khả vi Gateaux
trong V với
F′
(z, t)η = −Aη − Rη − B(z, η) − B(η, z), z, η ∈ V,
và ánh xạ F′
: (z, t) ∈ V × R → F′
(z, t) ∈ L(V ; V ′
) liên tục.
Có thể nhận thấy, với mọi τ ∈ R, z0, η0 ∈ H, tồn tại duy nhất nghiệm
η(t) = η(t; τ, z0, η0) của bài toán sau



η ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ C([τ; T]; H),
dη
dt
= −(A + R)η − B(Z(t, τ)z0, η) − B(η, Z(t, τ)z0), τ < t,
η(τ) = η0.
(2.51)
Để đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi, ta giả thiết fu ∈ L∞
(−∞, T∗
; V ′
1),
fT , Tr ∈ L∞
(−∞, T∗
; V ′
3) và ub, Tb cho trước sao cho
Ψ ∈ L∞
(−∞, T∗
; V ′
) với T∗
∈ R nào đó, (2.52)
trong đó Ψ cho bởi (2.21).
Bổ đề 2.4. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.1 và (2.52) được thỏa mãn.
Khi đó, tập Dσ-hút lùi ˆA nhận được trong Định lí 2.2 thỏa mãn
∪
τ≤T ∗
A(τ) compact tương đối trong H. (2.53)
Chứng minh. Đặt M = ∥Ψ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′), từ (2.40) ta có
R2
σ(t) ≤
2Me−σt
ζ
∫ t
−∞
eσs
ds =
2M
σζ
,
vì vậy
B∗
:=
∪
τ≤T ∗
Bσ(τ) bị chặn trong H,

49
với Bσ(τ) = B
(
0, Rσ(τ)
)
.
Kí hiệu M là tập tất cả y ∈ H sao cho với mỗi y, tồn tại một dãy
{(tn, τn)}n ⊂ R2
thỏa mãn
τn ≤ tn ≤ T∗
, n ≥ 1, lim
n→∞
(tn − τn) = +∞,
và một dãy {z0n }n ⊂ B∗
sao cho
lim
n→∞
Z(t, τn)z0n − y = 0.
Do đó, dễ thấy A(t) ⊂ M với mọi t ≤ T∗
. Mặt khác ta lại có M là compact
tương đối trong H. Thật vậy, với {yk}k ⊂ M, với mỗi k ≥ 1, ta có thể chọn
một cặp (tk, τk) ∈ R2
và một phần tử z0k
∈ B∗
sao cho tk ≤ T∗
, tk −τk ≥ k và
Z(tk, τk)z0k
−yk ≤
1
k
. Do (2.52), bởi lập luận như Mệnh đề 3.4 trong [16], ta
có thể trích ra từ {yk}k một dãy con hội tụ trong H, hay M compact tương
đối trong H. Mà ta đã có A(t) ⊂ M với mọi t ≤ T∗
nên dẫn đến (2.53).
Bổ đề 2.5. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.1 và (2.52) được thỏa mãn.
Khi đó, quá trình Z(t, τ) tương ứng với bài toán (2.22) thỏa mãn tính chất tựa
khả vi (1.2)-(1.4), với η(t) = η(t; τ, z0, η0) được xác định bởi (2.51).
Chứng minh. Bởi (2.52) và Bổ đề 2.4, tồn tại hằng số C > 1 sao cho
∥Ψ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′) ≤
Cζ
2
, |z0|2
≤ C với mọi z0 ∈
∪
τ≤T ∗
A(τ). (2.54)
Cố định τ ≤ T∗
, z0, ¯z0 ∈ A(τ), và kí hiệu z(t) = Z(t, τ)z0, ¯z(t) = Z(t, τ)¯z0, η(t)
là nghiệm của (2.51) với điều kiện ban đầu η0 = ¯z0 − z0. Từ (2.30) ta suy ra
|z(t)|2
+
ζ
2
∫ t
τ
∥z(s)∥2
ds ≤ |z0|2
+
2
ζ
∫ t
τ
∥Ψ(s)∥2
∗ds. (2.55)
Kết hợp với (2.54), ta suy ra từ (2.55)
∫ t
τ
∥z(s)∥2
ds ≤
2C
ζ
(1 + t − τ), với mọi τ ≤ t ≤ T∗
. (2.56)
Kí hiệu
w(t) = ¯z(t) − z(t), τ ≤ t,

50
ta có
d
dt
|w|2
+ 2[w]2
= −ζλ1|w|2
+ 2b(z, z, w) − 2b(¯z, ¯z, w)
= −ζλ1|w|2
− 2b(w, z, w).
Lại có, do Bổ đề 2.1, ta được
| − 2b(w, z, w)| ≤ 2.|w|∥z∥∥w∥ ≤
ζ
2
∥w∥2
+
2
ζ
|w|2
∥z∥2
.
Do đó
d
dt
|w|2
+
ζ
2
∥w∥2
≤
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z∥2
)
|w|2
. (2.57)
Đặc biệt,
|w(t)|2
≤ |w(τ)|2
exp
( ∫ t
τ
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z(s)∥2
)
ds
)
.
Kết hợp với (2.56), ta dễ dàng suy ra
|w(t)|2
≤ |w(τ)|2
exp
(
K(1 + t − τ)
)
với mọi τ ≤ t ≤ T∗
, (2.58)
trong đó K = max
(4C
ζ2
+ ζλ1, 1
)
. Tiếp theo, từ (2.57) và (2.58), ta có
ζ
2
∫ t
τ
∥w(s)∥2
ds ≤ |w(τ)|2
+
∫ t
τ
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z(s)∥2
)
|w(s)|2
ds
≤ |w(τ)|2
+
∫ t
τ
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z(s)∥2
)
|w(τ)|2
exp
[
K(1 + s − τ)
]
ds
≤ |w(τ)|2
[
1 + exp
[
K(1 + t − τ)
]
∫ t
τ
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z(s)∥2
)
ds
]
.
Do vậy
ζ
2
∫ t
τ
∥w(s)∥2
ds ≤ |w(τ)|2
[
1 + K(1 + t − τ) exp
[
K(1 + t − τ)
]]
≤ |w(τ)|2
[
1 + K(1 + t − τ)
]
exp
[
K(1 + t − τ)
]
≤ |w(τ)|2
exp
[
2K(1 + t − τ)
]
.
(2.59)
Tương tự, từ
ω(t) = ¯z(t) − z(t) − η(t) = w(t) − η(t), t ≥ τ

51
thỏa mãn



ω ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ C([τ, T]; H) với mọi t > τ,
dω
dt
= −(A + R)ω − B(¯z, ¯z) + B(z, z) + B(z, η) + B(η, z), t > τ,
ω(τ) = 0,
ta có
−B(¯z, ¯z) + B(z, z) + B(z, η) + B(η, z) = −B(z, ω) − B(ω, z) − B(w, w),
và với mọi t > τ thì
d
dt
|ω|2
+ ζ∥ω∥2
= −ζλ1|ω|2
− 2b(ω, z, ω) − 2b(w, w, ω)
≤ ζλ1|ω|2
+ 2|ω|∥z∥∥ω∥ + 2|w|∥w∥∥ω∥
≤ ζλ1|ω|2
+
2
ζ
|ω|2
∥z∥2
+
ζ
2
∥ω∥2
+
2
ζ
|w|2
∥w∥2
+
ζ
2
∥ω∥2
= ζ∥ω∥2
+
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z∥2
)
|ω|2
+
2
ζ
|w|2
∥w∥2
.
(2.60)
Tích phân (2.60) từ τ đến t, với chú ý ω(τ) = 0, ta nhận được
|ω(t)|2
≤
2
ζ
∫ t
τ
|w(s)|2
∥w(s)∥2
ds +
∫ t
τ
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z(s)∥2
)
|ω(s)|2
ds, ∀t ≥ τ.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có
|ω(t)|2
≤ exp
[ ∫ t
τ
(
ζλ1 +
2
ζ
∥z(s)∥2
)
ds
] ∫ t
τ
2
ζ
|w(s)|2
∥w(s)∥2
ds.
Kết hợp với (2.58) ta suy ra
|ω(t)|2
≤
2
ζ
|w(τ)|2
exp
[
2K(1 + t − τ)
]
∫ t
τ
∥w(s)∥2
ds.
Thay (2.59) vào đánh giá trên, ta có
|ω(t)|2
≤
4
ζ2
|w(τ)|4
exp
[
4K(1 + t − τ)
]
,
nghĩa là, (1.2)-(1.4) đúng với
χ(s, r) =
2r
ζ
exp
[
2K(1 + s)
]
, trong đó K > 1.

52
Sau đây, ta chứng minh kết quả về ước lượng số chiều fractal của tập hút
lùi.
Định lí 2.3. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.1 và (2.52) được thỏa mãn.
Khi đó tập Dσ-hút lùi ˆA = {A(t) : t ∈ R} của quá trình Z(t, τ) sinh bởi bài
toán (2.22) có số chiều fractal hữu hạn
dF
(
A(τ)
)
≤ max
{
1, C′ µ
(
4 + (ν/κ)3/2
)
δ2λ1(ν + κ)
Θ
}
, (2.61)
trong đó
Θ =
α2
λ2
1ν3κ2
(
∥fT ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
3 ) + κ2
∥∆Tb∥2
V ′
3
+ c2
buT
)
+
1
ν3
(
∥fu∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
1 ) + ν2
∥∆ub∥2
V ′
1
+ c2
buu
+ α2
∥Tb − Tr∥2
V ′
3
)
,
còn C′
là hằng số không phụ thuộc vào các tham số vật lí của hệ, được xác
định trong chứng minh dưới đây.
Chứng minh. Với z0 ∈ ˆA và ξ1, ξ2, . . . , ξm ∈ H, giả sử z(t) = Z(t, τ)z0 và
ηi(t) = L(t; τ, z0)ξi, t ≥ τ. Lấy
{(
˜ϕi(t), ˜ψi(t)
)}
i=1,2,...,m
, t ≥ τ là cơ sở trực
chuẩn trong H của không gian con là bao tuyến tính của {η1(t), . . . , ηm(t)}
sao cho {˜ϕi(t)}i=1,2,...,m, { ˜ψi(t)}i=1,2,...,m lần lượt là cơ sở trực chuẩn trong
H1 và H3.
Đặt
φi = (ϕi, ψi) =
(
˜ϕi/
√
2, ˜ψi/
√
2γ
)
.
Khi đó {φi}i=1,2,...,m là cơ sở trực chuẩn trong H. Do ηi(t) ∈ V với hầu khắp
t ≥ τ, ta có thể giả sử φi(t) ∈ V với hầu khắp t ≥ τ (quá trình trực chuẩn hóa
Gram-Schmidt).
Từ (2.51), (2.7) và (2.24), ta có
Trm
(
F′
(
Z(s, τ)z0, s
))
=
m∑
i=1
⟨
F′
(
Z(s, τ)z0, s
)
φi, φi
⟩
=
m∑
i=1
⟨
− (A + R)φi − B(z, φi) − B(φi, z), φi
⟩
≤
m∑
i=1
−δ
(
ν∥ϕi∥2
1 + γκ∥ψi∥2
3
)
+ b(φi, z, φi) ,
(2.62)

53
với hầu khắp s ≥ τ.
Đặt ρ(x) =
m∑
i=1
(
ν1/2
|ϕi(x)|2
+ γκ1/2
|ψi(x)|2
)
. Khi đó, từ định nghĩa của ρ,
ta suy ra
m∑
i=1
b1(ϕi, v, ϕi) ≤
∥v∥1
ν1/2
ν1/2
m∑
i=1
|ϕi|2
L2
≤
∥v∥1
ν1/2
|ρ|L2 . (2.63)
Áp dụng các bất đẳng thức Cauchy và Young, ta thu được
γ|ϕi(x) · ∇θ(x)||ψi(x)| ≤ γ|∇θ(x)||ϕi(x)||ψi(x)|
≤
γ1/2
2(νκ)1/4
|∇θ(x)|
(
ν1/2
|ϕi(x)|2
+ γκ1/2
|ψi(x)|2
)
.
Tích phân bất đẳng thức trên theo x, lấy tổng theo i từ 1 đến m, và theo định
nghĩa của ρ, ta được
γ
m∑
i=1
b2(ϕi, θ, ψi) = γ
m∑
i=1
∫
Ω
ϕi(x).∇θ(x).ψi(x)dx
≤
γ1/2
2(νκ)1/4
∫
Ω
|∇θ(x)|
m∑
i=1
(
ν1/2
|ϕi(x)|2
+ γκ1/2
|ψi(x)|2
)
dx
=
γ1/2
2(νκ)1/4
∥θ∥3|ρ|L2 .
Vì vậy,
γ
m∑
i=1
b2(ϕi, θ, ψi) ≤
γ1/2
2(νκ)1/4
∥θ∥3|ρ|L2 . (2.64)
Do đó, từ (2.63) và (2.64) dẫn đến
m∑
i=1
b(φi, z, φi) ≤ |ρ|L2
(∥v∥1
ν1/2
+
γ1/2
2(νκ)1/4
∥θ∥3
)
. (2.65)
Hơn nữa, từ định nghĩa của ρ, ˜ϕi và ˜ψi, ta có
ρ(x) =
1
2
m∑
i=1
(
ν1/2
|˜ϕi(x)|2
+ κ1/2
| ˜ψi(x)|2
)
.
Áp dụng bất đẳng thức Lieb-Thirring tổng quát (xem [22, Hệ quả 4.3]) cho họ

54
trực chuẩn {˜ϕi}i và { ˜ψi}i, tồn tại hằng số µ chỉ phụ thuộc Ω sao cho
|ρ|2
L2 ≤
1
2
(
ν
m∑
i=1
(˜ϕi)2 2
L2 + κ
m∑
i=1
( ˜ψi)2 2
L2
)
≤
µ
2
m∑
i=1
(
ν∥˜ϕi∥2
1 + κ∥ ˜ψi∥2
3
)
= µ
m∑
i=1
(
ν∥ϕi∥2
1 + γκ∥ψi∥2
3
)
.
(2.66)
Thay (2.66) vào (2.65) và sử dụng bất đẳng thức Young, ta suy ra
m∑
i=1
b(φi, z, φi) ≤
µ
δ
(∥v∥2
1
ν
+
γ
4(νκ)1/2
∥θ∥2
3
)
+
δ
2
m∑
i=1
(
ν∥ϕi∥2
1 + γκ∥ψi∥2
3
)
.
Do đó,
Trm
(
F′
(
Z(s, τ)z0, s
))
≤
µ
δ
(∥v∥2
1
ν
+
γ
4(νκ)1/2
∥θ∥2
3
)
−
δ
2
m∑
i=1
(
ν∥ϕi∥2
1+γκ∥ψi∥2
3
)
.
(2.67)
Vì {φi}i=1,2,...,m trực chuẩn trong H nên |ϕi|2
= γ|ψi|2
= 1/2. Áp dụng bất
đẳng thức Poincaré cho (2.67), ta có
Trm
(
F′
(
Z(s, τ)z0, s
))
≤
µ
δ
(∥v∥2
1
ν
+
γ
4(νκ)1/2
∥θ∥2
3
)
− m
δλ1
4
(ν + κ).
Vì vậy
˜qm = lim sup
T →+∞
sup
z0∈A(τ−T )
1
T
τ∫
τ−T
Trm
(
F′
(
Z(s, τ − T)z0, s
))
ds
≤
µ
δ
lim sup
T →+∞
sup
z0∈A(τ−T )
1
T
τ∫
τ−T
(∥v∥2
1
ν
+
γ
4(νκ)1/2
∥θ∥2
3
)
ds − m
δλ1
4
(ν + κ)
với mọi m ∈ N. Từ (2.8), (2.6) và (2.17), ta có những ước lượng sau
1
2
d
dt
|v|2
+
7ν
32
∥v∥2
1 ≤
8
ν
∥ ¯fu∥2
V ′
1
+
( α
λ1
)2 1
2ν
∥θ∥2
3, (2.68)
1
2
d
dt
|θ|2
+
5κ
8
∥θ∥2
3 ≤
1
κ
∥ ¯fT ∥2
V ′
3
+
β2
8κ
∥v∥2
1. (2.69)

55
Nhân hai vế của (2.69) với γ, sau đó cộng với (2.68) và sử dụng (2.4), (2.18),
ta thu được
1
2
d
dt
|z|2
+
3ν
32
∥v∥2
1 +
γκ
8
∥θ∥2
3 ≤
8
ν
∥ ¯fu∥2
V ′
1
+
γ
κ
∥ ¯fT ∥2
V ′
3
.
Khi đó, tồn tại hằng số C′
không phụ thuộc các tham số vật lí sao cho
lim sup
T →+∞
sup
z0∈A(τ−T )
1
T
τ∫
τ−T
∥v∥2
1ds ≤ C′
(∥ ¯fu∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
1 )
ν2
+
γ∥ ¯fT ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
3 )
νκ
)
,
lim sup
T →+∞
sup
z0∈A(τ−T )
γ
T
τ∫
τ−T
∥θ∥2
3ds ≤ C′
(∥ ¯fu∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
1 )
νκ
+
γ∥ ¯fT ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
3 )
κ2
)
.
Vì γ thỏa mãn (2.4) và để cực tiểu số hạng cuối cùng, ta đặt γ = (α/λ1)2
/(νκ).
Suy ra
lim sup
T →+∞
sup
z0∈A(τ−T )
1
T
∫ τ
τ−T
(∥v∥2
1
ν
+
γ
4(νκ)1/2
∥θ∥2
3
)
ds
≤ C′
(
4 + (ν/κ)3/2
)
4
(∥ ¯fu∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
1 )
ν3
+
α2
∥ ¯fT ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
3 )
λ2
1ν3κ2
)
.
(2.70)
Vậy
˜qm ≤ −m
δλ1
4
(ν + κ) +
Λ
4
,
trong đó
Λ = C′ µ
(
4 + (ν/κ)3/2
)
δ
(∥ ¯fu∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
1 )
ν3
+
α2
∥ ¯fT ∥2
L∞(−∞,T ∗;V ′
3 )
λ2
1ν3κ2
)
.
Tiếp theo, chúng ta xét hai trường hợp:
Nếu Λ < δλ1(ν + κ) thì đặt
qm = −
δλ1
4
(ν + κ)(m − 1), m = 1, 2, . . . ,
và n0 = 1, áp dụng Định lí 1.2 dẫn đến
dF (A(τ)) ≤ 1 với mọi τ ≤ T∗
.
Nếu Λ ≥ δλ1(ν + κ), khi đó đặt
qm = −m
δλ1
4
(ν + κ) +
Λ
4
, m = 1, 2, . . . ,

56
và
n0 = 1 +
[
Λ
δλ1(ν + κ)
− 1
]
,
ở đó [r] kí hiệu phần nguyên của số thực r, ta có
dF
(
A(τ)
)
≤
Λ
δλ1(ν + κ)
với mọi τ ≤ T∗
. (2.71)
Từ (2.9) và (2.15) ta có
∥ ¯fu∥V ′
1
≤ ∥fu∥V ′
1
+ ν∥∆ub∥V ′
1
+ cbuu + α∥Tb − Tr∥V ′
3
,
∥ ¯fT ∥V ′
3
≤ ∥fT ∥V ′
3
+ κ∥∆Tb∥V ′
3
+ cbuT
.
Thay những bất đẳng thức trên vào (2.71) ta được (2.61).
Cuối cùng, do Z(t, τ) là Lipschitz trong A(τ), từ [17, Mệnh đề 13.9] cho ta
dF
(
A(t)
)
bị chặn như trên với mọi t ≥ τ.
Chú ý cuối chương. Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập
hút lùi trong chương này là mở rộng các kết quả tương ứng về tập hút toàn
cục của hệ phương trình Bénard hai chiều ôtônôm (tức là khi fu, fT không
phụ thuộc t) trong [24].
Bằng cách sử dụng các phương pháp tương tự như trong chương này, chúng
tôi đã chứng minh được sự tồn tại và đánh giá được số chiều fractal hữu hạn
của tập hút lùi cho hệ Newton-Boussinesq trong miền không bị chặn hai chiều
trong [9]. Kết quả này là mở rộng và phát triển các kết quả trước đó trong
miền bị chặn [14, 55].
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này chúng tôi đã nghiên cứu hệ phương trình Bénard hai
chiều trong miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Các kết quả đạt được bao
gồm:
1) Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu (Định lí 2.1).
2) Chứng minh được sự tồn tại của tập hút lùi (Định lí 2.2) và đánh giá
được số chiều fractal của tập hút lùi (Định lí 2.3).

57
Chương 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ
TRƯỜNG (MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM
Trong chương này, chúng tôi xét hệ phương trình động lực học thủy từ
trường (viết tắt là hệ MHD, từ thuật ngữ Tiếng Anh là Magnetohydrodynam-
ics) hai chiều trên một miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất
đẳng thức Poincaré và điều kiện nón. Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ
Galerkin và phương pháp compact, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy
nhất nghiệm yếu của bài toán. Tiếp theo, khi ngoại lực không phụ thuộc thời
gian, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu thông qua sự
tồn tại duy nhất một tập Dσ-hút lùi. Cuối cùng chúng tôi chứng minh tập hút
lùi của quá trình sinh bởi bài toán có số chiều fractal hữu hạn.
Nội dung chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục các công trình
đã công bố của tác giả.
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Giả sử Ω là miền tùy ý trong R2
với biên ∂Ω. Trong chương này, ta nghiên
cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình MHD không
ôtônôm sau:



∂u
∂t
+ (u · ∇)u −
1
Re
∆u + ∇
(
p +
S
2
|B|2
)
− S(B · ∇)B = f(x, t),
∂B
∂t
+ (u · ∇)B − (B · ∇)u +
1
Rm
curl(curl B) = 0,
∇ · u = 0,
∇ · B = 0,
(3.1)

58
với điều kiện ban đầu
u(x, τ) = u0(x), B(x, τ) = B0(x), ∀x ∈ Ω, (3.2)
và điều kiện biên



u = 0 trên ∂Ω,
B · n = 0 và curl B = 0 trên ∂Ω,
(3.3)
trong đó u = u(x, t) = (u1, u2) là hàm vectơ vận tốc của chất lỏng; B =
B(x, t) = (B1, B2) là từ trường tại x vào thời điểm t; p = p(x, t) và
|B|2
2
lần
lượt là hàm áp suất chất lỏng và áp suất từ trường; f(x, t) là hàm ngoại lực
tác động lên chất lỏng; n là vectơ pháp tuyến đơn vị trên ∂Ω; S =
M2
ReRm
với M, Re, Rm lần lượt là các hệ số Hartman, Reynolds và Reynolds trong từ
trường; ngoài ra
curl u =
∂u2
∂x1
−
∂u1
∂x2
với mọi hàm vectơ u = (u1, u2),
curl ϕ =
(
∂ϕ
∂x2
, −
∂ϕ
∂x1
)
với mọi hàm vô hướng ϕ,
curl(curl u) = grad div u − ∆u.
Ta đưa ra một vài bình luận về điều kiện nón của miền Ω. Chú ý rằng, từ
trường B trong bài toán không triệt tiêu trên biên, dẫn đến việc áp dụng bất
đẳng thức Poincaré cho các đánh giá cần thiết đối với B là không phù hợp.
Với giả thiết miền Ω thỏa mãn điều kiện nón, ta có từ trường B thỏa mãn bất
đẳng thức (1.6) và thiết lập được đánh giá quan trọng trong Bổ đề 3.1. Hơn
nữa, sử dụng bất đẳng thức Lieb-Thirring tổng quát đối với từ trường B trong
đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi cũng đòi hỏi tính chất nón của miền
Ω.
Bây giờ ta định nghĩa các không gian hàm và các bất đẳng thức liên quan
đến bài toán.
Kí hiệu
V := V1 × V2, H := H1 × H2.

59
Trên V ta trang bị tích vô hướng
((z, ˜z)) = ((u, ˜u))1 + S((B, ˜B))2, ∀z = (u, B), ˜z = (˜u, ˜B) ∈ V,
tích vô hướng này sinh ra chuẩn tương ứng sau
∥z∥ = ((z, ˜z))1/2
.
Tích vô hướng và chuẩn trong H được cho bởi
(z, ˜z) = (u, ˜u) + S(B, ˜B), ∀z = (u, B), ˜z = (˜u, ˜B) ∈ H,
|z| = (z, z)1/2
, ∀z ∈ H.
Sử dụng bất đẳng thức Poincaré và chuẩn tương đương giữa H1
(Ω) với V2 (xem
[13]), khi đó tồn tại hằng số c0 sao cho
λ1|u|2
≤ ∥u∥2
1, c0|B|2
≤ ∥B∥2
2. (3.4)
Đặt A : V → V ′
⟨Az, ˜z⟩ = a(z, ˜z) =
1
Re
a1(u, ˜u) +
S
Rm
a2(B, ˜B),
trong đó
a1(u, ˜u) = ((u, ˜u))1 =
∫
Ω
2∑
i=1
∇ui · ∇˜uidx,
a2(B, ˜B) = ((B, ˜B))2 =
∫
Ω
curl B.curl ˜Bdx.
Dễ thấy A là đồng cấu từ V vào V ′
và dạng song tuyến tính a có tính chất
cưỡng
min
( 1
Re
,
1
Rm
)
∥z∥2
≤ a(z, z) = ⟨Az, z⟩ ≤ max
( 1
Re
,
1
Rm
)
∥z∥2
. (3.5)
Đặt B : V × V → V ′
⟨B(z1, z2), z3⟩ = b(u1, u2, u3) − Sb(B1, B2, u3) + Sb(u1, B2, B3)
− Sb(B1, u2, B3), ∀zi = (ui, Bi) ∈ V, i = 1, 2, 3,

60
trong đó dạng ba tuyến tính b được cho bởi
b(u, v, w) =
2∑
i,j=1
∫
Ω
ui
∂vj
∂xi
wjdx,
và ta viết tắt B(z) = B(z, z). Dễ thấy nếu u, v, w ∈ Vi, i = 1, 2, thì
b(u, v, w) = −b(u, w, v). (3.6)
Tính bị chặn của toán tử B được chứng minh trong bổ đề sau.
Bổ đề 3.1. Giả sử miền Ω ⊂ R2
thỏa mãn điều kiện nón. Khi đó
|⟨B(z, z), ˜z⟩| ≤ C|z|∥z∥∥˜z∥, z, ˜z ∈ V.
Chứng minh. Ta có
1
√
2
(
∥˜u∥1 +
√
S∥ ˜B∥2
)
≤
√
∥˜u∥2
1 + S∥ ˜B∥2
2 = ∥˜z∥, (3.7)
b(u, ˆu, ˜u) ≤ |u|L4 .|∇ˆu|.|˜u|L4 . (3.8)
Từ (3.8) và (1.5), ta được
b(u, u, ˜u) ≤
1
√
2
|u|∥u∥1∥˜u∥1.
Áp dụng Định lí 1.5 dẫn đến
|B|L4 ≤ K|B|1/2
∥B∥
1/2
H1(Ω), ∀B ∈ H1
(Ω).
Kết hợp bất đẳng thức trên với (3.8), ta suy ra
b(B, B, ˜u) ≤
1
√
2
|B|∥B∥H1(Ω)∥˜u∥1 ≤
C
√
2
|B|∥B∥2∥˜u∥1.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được
b(u, u, ˜u) − Sb(B, B, ˜u) ≤
C
√
2
|z|∥z∥∥˜u∥1.
Tương tự, ta cũng có
Sb(u, B, ˜B) − Sb(B, u, ˜B) ≤
CS
√
2
(
|u|∥u∥1|B|∥B∥H1(Ω)
)1/2
∥ ˜B∥H1(Ω)
≤
CS
√
2
(
|u|∥u∥1|B|∥B∥2
)1/2
∥ ˜B∥2
≤
C
√
S
√
2
|z|∥z∥∥ ˜B∥2.

61
Do đó
⟨B(z, z), ˜z⟩ ≤
C
√
2
|z|∥z∥
(
∥˜u∥1 +
√
S∥ ˜B∥2
)
.
Từ (3.7) dẫn đến điều cần chứng minh.
Sử dụng tích phân từng phần và Bổ đề 3.1 ta thu được
⟨
B(z, z), z
⟩
= 0, ∀z ∈ V,
∥B(z)∥∗ ≤ C|z|∥z∥, ∀z ∈ V.
(3.9)
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu những vấn đề sau đối với hệ
MHD:
• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.
• Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi.
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU
Trong mục này, bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin, chúng tôi sẽ chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. Trước hết, lấy tích vô hướng phương
trình thứ nhất và thứ hai của (3.1) tương ứng với v ∈ V1 và S.C (C ∈ V2), ta
được



d
dt
(u, v) +
1
Re
((u, v))1 + b(u, u, v) − Sb(B, B, v) = ⟨f, v⟩,
S.
d
dt
(B, C) +
S
Rm
((B, C))2 + Sb(u, B, C) − Sb(B, u, C) = 0.
Từ đây ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) như sau.
Định nghĩa 3.1. Hàm z = (u, B) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.1)-
(3.3) trên khoảng (τ, T) nếu



z ∈ L2
(τ, T; V ) ∩ C([τ, T]; H),
z′
+ Az + B(z) = Ψ trong V ′
, với hầu khắp t ∈ (τ, T),
z(τ) = z0 = (u0, B0),
(3.10)
trong đó z′
=
(du
dt
,
dB
dt
)
và Ψ = (f, 0).

Luận án tiến sĩ toán học một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

Luận án tiến sĩ toán học một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận án tiến sĩ toán học một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

Similar to Luận án tiến sĩ toán học một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng (20)

More from https://www.facebook.com/garmentspace

More from https://www.facebook.com/garmentspace (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận án tiến sĩ toán học một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng