bileşik faiz compound interest bilesik faiz turkce türkçe dokuz eylül üniversitesi deu sayısal yöntemler Quantitive research management science yönetim bilimi

1. BİLEŞİK FAİZ
HAZIRLAYAN
Engin ÇAKIR

2. Bileşik Faiz Nedir?

Bir yatırımın, yatırım dönemi boyunca
kazandığı faizin de yeni yatırım döneminde
yatırıma tabi tutulması sonucu elde edilen
getiriyi gösteren faizdir. Diğer bir deyişle
faizin de faiz kazanmasıdır.

3. 

Bileşik faiz, kavram olarak basit faize dayanır.
Bileşik faiz, her dönem basit faizle artan
tutara, birbiri ardınca uygulanan basit faizden
ibarettir.

4. Basit Faiz Örneği (1)
“100.000.000.- TL’nin
yıllık % 60 faiz oranı ile
dört yılda getireceği faiz
tutarı nedir”
denildiğinde;
SERMAYE
FAİZ
1. yıl
100.000.000
60.000.000
2. yıl
100.000.000
60.000.000
3. yıl
100.000.000
60.000.000
4. yıl
100.000.000
60.000.000
TOPLAM FAİZ 240.000.000

5. 4.Yılın sonunda
Baliğ= Sermaye + Faiz
Baliğ= 100.000.000 + 240.000.000
Baliğ= 340.000.000 TL
olmaktadır.

6. Bileşik Faiz Uygulanmış Olsaydı
SERMAYE
FAİZ
BALİĞ
1.YIL
a
100.000.000
I=(a.n.i)
60.000.000
T=a+a.n.i
160.000.000
2.YIL
160.000.000
96.000.000
256.000.000
3.YIL
256.000.000
153.000.000
409.600.000
4.YIL
409.600.000
245.760.000
655.360.000

7. 


Bileşik faizle dördüncü yılın sonunda ele
geçen tutar 655.360.000.-TL iken;
Basit faizde dördüncü yılın sonunda ele geçen
tutar 340.000.000.-TL’dir.
Aradaki 315.360.000.-TL’lik fark faizin
kazandırdığı faizden kaynaklanmaktadır.

8. Toplam Değerlerinin Grafikle Gösterimi
700.000 TL
600.000 TL
500.000 TL
400.000 TL
300.000 TL
200.000 TL
100.000 TL
0 TL
1. Yıl
2. Yıl
3. Yıl
4. Yıl
Basit Faizde Baliğ
160.000 TL
220.000 TL
280.000 TL
340.000 TL
Bileşik Faizde Baliğ
160.000 TL
256.000 TL
409.000 TL
655.360 TL

9. ZAMAN ÇİZELGESİ VE PARANIN
ZAMAN DEĞERİ
0
1
Şimdiki zaman,
Bugün,
t=0 zamanı,
1.dönem başı
2
3
n-1
n
n.dönem sonu,
n+1.dönem
başıbaşı.
2.dönem sonu,
3.dönem başı.
1.dönem sonu,
2.dönem başı.

10. ZAMAN ÇİZELGESİNDE
GELECEKTEKİ ve ŞİMDİKİ
DEĞERİN GÖSTERİLMESİ
0
1
P 0 = Paranın
bugünkü
değeri,
ŞİMDİKİ
DEĞER
2
3
n-1
n
P n = Paranın n.
dönem
sonundaki
değeri,
GELECEKTEKİ
DEĞER

11. Kesikli Bileşik Faiz

12. Gelecek Değer
S = Gelecek değer (n.yılın
sonundaki para tutarı)
a = Anapara (şimdiki değer)
i = Yıllık faiz oranı
n = Yıl sayısı
Bir yatırımın gelecek değeri,
yatırıma n yıl boyunca yıllık i
faiz oranı üzerinden bileşik faiz
yürütüldüğünde formül yandaki
gibi olacaktır.
S=a.(1+i)
n

13. GELECEKTEKİ DEĞER(BİLEŞİK)
Faiz oranları
60
0%
5%
50
10%
15%
40
30
20
10
Yıl Sayısı
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1TL'nin Bugünkü Değeri
70

14. Gelecek Değerin Hesaplama Mantığı
1 TL % i devre faiz oranı ile n devre sonunda;
1.Devre sonunda
(1+i)
2.Devre sonunda
(1+i)+(1+i)i=(1+i)²
3.Devre sonunda
(1+i)²+(1+i)²i=(1+i)³
.
.
.
.
.
.
n−1
n.Devre sonunda
( 1+i)
+
( 1+i) i = ( 1+i)
n−1
n

15. Örnek (2)
Bir yatırımcı 100 milyon TL’sini yıllık % 70 ödeyen bir
bankaya iki yıl süre ile yatırırsa, ikinci yılın sonunda
hesabındaki parası ne olur?
a=100.000.000.- TL
i=0,70
n=2
Çözüm:
n
S = a.(1 + i) ⇒
S = 100000000.(1 + 0,70)
2
S = 100000000.(1,70)
S = 289.000.000. - TL
2

16. Şimdiki Değer


Şimdiki değer, gelecekteki para akımlarının şu andaki
değerini yansıtır.
Şimdiki değer hesaplaması, gelecek değer hesaplamasının
tersidir.
Gelecek Değer Formülü =
iken;
Şimdiki Değer Formülü =
olarak bulunur.
S=a.(1+i)
n
S
a=
n
(1+i)

17. Örnek(3)
6 yıl sonra 400.000.-TL
elde edebilmek için % 20
yıllık faiz oranı ile bileşik
faiz bugün yatırılması
gereken para;
S=400.000.-TL
i=0,20
n=6
a=?
Çözüm:
S
a=
n
(1+i)
a=
400.000
6
(1+ 0,20)
⇒
400.000
a=
2,985984
a=133.959.-TL yatırması
gerekir

18. Devre Sayısı

Devre sayısı, başlangıçtaki
yatırımın belli bir faiz oranı
üzerinden belli bir gelecek
değere ulaşması için gerekli
olan süreyi hesaplar.
Yandaki formül bu
hesaplamayı yapmak için
kullanılacaktır.
n=
ln( S / a )
ln(1+i)

19. Örnek(4)
100.000.-TL’yi bankaya %70’ten yatırırsak, kaç
dönem sonra para 289.000.-TL olur?
n=
n=
n=
ln( S / a )
ln(1 + i)
ln(289000 / 100000)
ln(1 + 0,70 )
ln(2,89)
ln( 1,7 )
=2 Yıl

20. Bileşik Faiz Oranı
Faiz oranı, başlangıçtaki
yatırımın(şimdiki değerin)
gelecekte belli bir değere
(gelecek değere)
ulaşması için hangi faiz
oranından yatırılması
gerektiğini hesaplar.
1/ n
i = ( S / a) − 1

21. Örnek(5)
125.000.-TL 2 yıl süre
sonunda 225.000.-TL’ye
yükselmiştir. Faiz oranı
nedir?
1/ n
i = ( S / a) − 1 ⇒
i = (225000 / 125000)1/ 2
0,5
i = (1,8)
i = 1,34

22. Sürekli Bileşik Faiz

23. Gelecek Değer
Faiz, yılda birden fazla sayıda
bileşik faize tabi tutulabilir.
Örneğin bankalar, 3 ay vadeli
mevduatlara yılda 4 kez bileşik
faiz yürütmektedir. Bu olguyu
hesaplamalara yansıtmak için,
formülde bazı ayarlamalar
yapmak gerekir. Faize yılda m
kez bindirgeme yapılırsa,
gelecek değer formülü yandaki
gibi olacaktır.
i
S=a.(1+ )
m
nm
Formül, daha düşük faiz oranı (i/m)
üzerinden daha sık (n x m) bindirgeme
yapıldığını göstermektedir)
m=dönem sayısı

24. 

Sürekli bileşik faiz söz konusu olduğunda terim
i
e ye ulaşır.
Başka bir deyişle denklem şöyledir.
m
i = = 2,718
lim (1+ ) e
m
i
i
m→∞
Burada e doğal logaritma tabanıdır. Gelecek değer formülü buradan
S = a.e
in

25. Örnek (6)
280.000.- TL yıllık % 85 bileşik faiz oranı ve 6 aylık
faizlendirme devreleri ile 5 yıl sonra kaç TL’ye ulaşır?
Çözüm:
nm
a=280.000.-TL
i=0,85
m=2
n=5 yıl
i
S=a.(1+ )
m
⇒
5x2
0,85
S= 280.000.(1+
)
2
S=9.667.332.-TL

26. Örnek (7) Sürekli Bileşik Faiz ile
Çözüm
280.000.- TL yıllık % 85 bileşik faiz oranı ve 6 aylık
faizlendirme devreleri ile 5 yıl sonra sürekli bindirgemeye
göre kaç TL’ye ulaşır?
Çözüm:
a=280.000.-TL
i=0,85
m=2
n=5 yıl
S=a.e ⇒
S= 280.000.(e)
S=19.629.515.-TL
i.n
0,85x5

27. Örnek (8)
150.000.- TL 3 aylık faizlendirme devreleri ile 12 yıl faizde
kalıyor. Yıllık faiz oranı % 18 olduğuna göre bu paranın 12.
yıl sonundaki baliği ne olur?
Çözüm:
a=150.000.-TL
i=0,18
m=4
n=12 yıl
i
S=a.(1+ )
m
nm
⇒
12x4
0,18
S=150.000.(1+
)
4
S=1.240.718.-TL

28. Örnek (8)in Excel ile Çözümü
Veriler
Formül
a = 150.000 TL
n = 12
i = 0,18
m= 4
1.240.718 TL
=C2*((1+(C4/C5))^(C3*C5))

29. Şimdiki Değer
Gelecek Değer Formülünden yararlanarak;
S = a. e
i .n
S
a = i .n
e

30. Örnek(9)
Sürekli bindirme varsayımı altında 100.000.-TL’nin % 15 faiz oranı
üzerinden 2 yıl önceki değeri nedir?
Çözüm
S=100000
n=2
i=0,15
S
a = i .n
e
100000
a = 0,15x2
e
a = 74.081. − TL

31. Devir Sayısı

Başlangıçtaki yatırımın belli bir faiz oranı üzerinden belli bir gelecek
değere ulaşması için gerekli olan süreyi hesaplar.
S = a. ei .n
S = a. e
i .n
S
e =
a
in(ln e) = ln(S / a)
i .n
n = [ln(S / a)] / i

32. Örnek(10)
Bir yatırımcı 164.000.TL’sini %13,3’ten
bankaya yatırırsa, sürekli
bindirgeme varsayımı
altında kaç dönem sonra
parası 214.000.-TL olur?
n = [ln(S / a)] / i
n = [ln(214000 / 164000)] / 0,133
n = ln(1,304878) / 0,133
n = 2 Yıı

33. Faiz Oranı

Faiz oranı, başlangıçtaki
yatırımın(şimdiki değerin
gelecekte belli bir
değere(gelecek
değere)ulaşması için
hangi faiz oranından
yatırılması gerektiğini
hesaplar.
i = [ln(S / a)] / n

34. Örnek(11)

100.000.-TL’sini bankaya
yatıran yatırımcının
sürekli bindirgeme
varsayımı altında % kaç
faiz oranı ile 2 yıl sonra
parası 150.000.- TL olur?
i = [ln(S / a)] / n
i = [ln(150000 / 100000)] / 2
i = %20,27

35. Nominal Faiz Oranı
Bileşik faizde, bir takvim yılı birden çok faizlendirme
devrelerine bölünmektedir. Faiz tutarı her devre için
kazanılmakta ve sermayeye eklenmektedir. Bu
durumu ifade etmek için, bir yıldaki faizlendirme
devre sayısı kullanılır.
Örneğin; üçer aylık devreler için faiz oranı % 20 ise,
yılda 4 devreyi kapsayan yıllık faiz oranı % 80 olarak
ifade edilir. Üçer aylık devreleri birleştirerek elde
edilen faiz oranına “nominal faiz oranı” denir.

36. Efektif Faiz Oranı

37. Kesikli Efektif Faiz Oranı
i m
EYFO = (1 + ) − 1
m
i=nominal faiz oranı
m=dönem sayısı

38. Örnek
Bir banka 3 aylık mevduata nominal
% 60 faiz ödemektedir. Yıllık efektif
faiz ne kadardır?
i m
EYFO = (1 + ) − 1
m
0,60 4
EYFO = (1 +
) −1
4
EYFO = 0,749

39. Sürekli Efektif Faiz Oranı
i m
i
i
lim = (1 + ) = e = 2.718
m→∞
m
EYFO = e − 1
i

40. Örnek

Bir banka mevduata sürekli
bindirgeme altında yıllık
nominal % 20 faiz
uygulamaktadır. Yıllık efektif
faiz oranı nedir?
EYFO = e i − 1
EYFO = e 0, 20 − 1
EYFO = 0,2214

41. Sürenin Kesikli Olması Hali


Süre her zaman tam olarak verilmeyebilir. Örneğin, yıllık
faiz oranıyla bir miktar paranın 59 aylık değeri aranabilir.
Faiz
oranı
yıllık
olduğunda,
sürenin
yıllığa
dönüştürülmesi gerekli olur. n= 59/12= 4+11/12
biçiminde yazıldığında, ilk terim tam ve ikinci terim kesirli
kısmını verir.
Bu problemin çözümünde iki yöntem kullanılır

42. Karışık Yöntem

Bileşik faize yatırılan
anaparanın n dönemlik faizi
hesaplanır. Sağlanan
tutarın(baliğin) p/q dönemlik
faizi, basit faizden bulunur. Bu
iki değerin toplamı esas
değeri veya istenilen baliği
sembolik olarak, verir.
p
S = a(1 + i) + a(1 + i)
.i
q
n
n

43. Bileşik Yöntem

Sadece bileşik faiz
formülü kullanılır. Tek
farkı, problemin çözümü
için efektif yıllık oranı ve
değerini bulmaktır.
S = a(1 + i)
n+
p
q

44. Örnek

% 5 yıllık faiz oranıyla 10 yıl 5 ay bileşik faize yatırılan 10.000.liranın baliğini, iki yöntemi de kullanarak bulunuz.
Karışık Yöntem
Bileşik Yöntem
p
.i
q
p
S = a(1 + i) n + a(1 + i) n .i
q
S = a(1 + i) n + a(1 + i) n
S = 10000(1 + 0.05)10 + 10000(1 + 0.05)10
S = 18.257. − TL
S = a(1 + i)
5
.0.05
12
n+
p
q
S = 10000(1 + 0.05)
S = 16.621. - TL
10+
5
12

45. Bileşik Faizden Basit Faizin
Bulunması

Bazen, yıllık faiz oranı verildiğinde, yıllık basit faiz oranının bulunması
istenebilir. Bu durumda yıllık efektif faiz oranı formülünden, yıllık faiz
oranı hesaplanabilir.
1
n
i = ((1 + EYFO) − 1) x n

46. Örnek
Bir banka 3 aylık
mevduata yıllık efektif faiz
oranı olarak % 74.9 faiz
ödemektedir. Yıllık basit
faiz oranı ne kadardır?
1
n
i = ((1 + EYFO) − 1) x n
1
4
i = ((1 + 0.749) − 1) x 4
i = 0.60

47. Basit Faizden Bileşik (Efektif)
Faizin Bulunması

Bazen, yıllık faiz oranı verildiğinde, yıllık basit faiz oranının bulunması
istenebilir. Bu durumda yıllık efektif faiz oranı formülünden, yıllık faiz
oranı hesaplanabilir.
EYFO = (1 + i ) − 1
m

48. Örnek
Bir banka 1 aylık krediye
aylık nominal % 5 faiz
tahakkuk ettirmektedir.
Efektif yıllık yıllık faiz
oranı nedir?
EYFO = (1 + i ) − 1
m
EYFO = (1 + 0.05)12 − 1
EYFO = 0.7959

49. KARIŞIK ÖRNEKLER

50. Örnek 1






1 000 TL %60’ dan 3 yıl bileşik faize yatırılıyor:
a-) Devreler yıllık,
b-) Devreler 6 aylık,
c-) Devreler 3 aylık,
d-) Devreler aylık
e-) Devreler günlük,
olduğuna göre; baliğlerini bulunuz ve
sonuçlarını kıyaslayınız. Hangisi yatırımcı için
avantajlı olur?

51. nm
a)
S=a.(1+i)
S=1000.(1+ 0.60)
S= 4.096.−TL
n
3
nm
c)
i
b) S = a.(1 + m )
3.2
0,60
S =1000.(1+
) = 4.826. − TL
2
i
S = a.(1 + )
m
3.4
0,60
S =1000.(1+
) = 5.350. − TL
4
e)
d)
nm
i
S = a.(1 + )
m
3.12
0,60
S =1000.(1+
) = 5.791. − TL
12
nm
i
S = a.(1 + )
m
3.360
0,60
= 6.040. − TL
S =1000.(1+
)
360
• En avantajlı yatırım, günlük bileşik faizden yapılacak
olan yatırımdır…

52. Örnek 2

Bir kurum, günlük faiz oranı ile yıllık % 5’ ten faiz
ödemesi yapar. 10 Haziranda 150.000.- TL yatıran
tasarrufçunun eline 15 Temmuzda ne kadar geçer.
Hesabı, 360 gün esasına göre yapınız

53. i = 0,05
n = 35
a = 150000
i
S = a.(1 + )
m
nm
35
0,05
S =150000.(1+
) = 150.730. − TL
360

54. Örnek 3
120.000.-TL yıllık % 75 bileşik faiz oranıyla ve 4 ayda bir
faizlendirilerek bir süre sonra 340.000.-TL’ye yükselmiştir.
Bu para ne kadar süre faizde kalmıştır?

55. i = 0,75
a = 120000
S = 340000
n=?
3n =
3n =
ln( S / a )
ln(1+ i)
ln(340 / 120)
ln(1+ 0,25 )
1,0414539
3n =
0,2231435
n = 1,55

56. Örnek 4
100.000.-TL yıllık % 60 faiz oranı ve 3 aylık faizlendirme 4
yıl 6 ayda kaç TL’ye ulaşır?

57. i = 0,60
n = 4YIL6ay = 4,5YIL
m=4
a = 100000
i
S = a.(1 + )
m
nm
0,60
S =100000.(1+
)
4
4,5 x 4
= 1.237.545. − TL

58. Örnek 5
Yıllık bileşik %6 faiz üzerinden $100’ın 5 yıl sonraki değeri
nedir?

59. S = $100 × (1 + .06) = $133.82
5

60. KAYNAKÇA





Özdemir, A.: Finans Matematiği Ders Notları, İzmir,
2008.
Başkaya, Z. ve Alper D.:Finans Matematiği , Ekin
Kitabevi, Bursa, 2003.
Tevfik, A.T. ve Tevfik G.:Finans Matematiğine Giriş ,
Türkiye İş Bankası Kültür Yayınları, 1996.
http://ekonomiturk.blogspot.com/2006/12/bilesik-faiznedir.html, 10 Kasım 2008
Seval, B.: Paranın Zaman Değeri Notları, İstanbul,

61. SON