1. LINEARNE NEJEDNAČINE
Linearne nejednačine rešavamo slično kao i jednačine (vidi linearne jednačine) koristeći
ekvivalentne transformacije. Važno je reći da se smer nejednakosti menja kada celu
nejednačinu množimo (ili delimo) negativnim brojem.
Primer:
2 x  10 2 x  10
10 Pazi: delimo sa (-2), moramo okrenuti smer nejednakosti
x 10
2 x
x5 2
x  5
Naravno i ovde se može deliti da nejednačina ima rešenja, nema rešenja ili ih pak ima
beskonačno mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednačinu)
1) Reši nejednačinu:
3( x  2)  9 x  2( x  3)  8 → oslobodimo se zagrada
3x  6  9 x  2 x  6  8 → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu
3x  9 x  2 x  6  8  6
10 x  20
20
x
10
x2
Uvek je ‘’problem’’ kako zapisati skup rešenja?
Možemo zapisati x  R x  2 a ako je potrebno to predstaviti i na brojevnoj pravoj:
- x  (, 2)
8
8
2
Pazi:
Kad   i   uvek idu male zagrade ()
Kod znakova < i > male zagrade i prazan kružić
Kod < , > idu srednje zagrade   i pun kružić
Male zagrade nam govore da ti brojevi nisu u skupu rešenja, dok , govore da su i
ti brojevi u rešenju.
www.matematiranje.com
1

2. 2a  1 3a  2
2) Reši nejednačinu:   1
3 2
2a  1 3a  2
  1 → celu nejednačinu pomnožimo sa 6 (NZS za 3 i 2)
3 2
2(2a  1)  3(3a  2)  6
4a  2  9a  6  6
4 a  9 a  6  2  6
 5a  14 → pazi: delimo sa (-5) pa se znak okreće
 14
a
5
4
a  2
5
 4
U skupu R su rešenja a    , 2 
 5
PAZI: Da nam npr. traže rešenja u skupu N (prirodni brojevi), onda bi to bili samo {1,2}
3) Reši nejednačinu: 2 x  a  ax  3
2 x  a  ax  3 → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu
2 x  ax  3  a
x ( 2  a )  3  a
Kako sad?
Da li je izraz 2  a pozitivan ili negativan, ili možda nula? Moramo ispisati sve 3
situacije!!!
x(2  a)  3  a
2a  0 2a  0 2a  0
a2 a2 a2
3 a okreće se
x znak 0 x  3  0
2a
3 a
x 0 x  3
2a
Ovde je svaki
x  R rešenje
www.matematiranje.com
2

3. Rešenje bi zapisali:
 3 a 
Za a  2  x   ,
 2a 
Za a  2  x  R
 3 a 
Za a  2  x    , 
 2a 
4) Rešiti nejednačine:
a) ( x  1)  ( x  4)  0
b) ( x  3)  ( x  5)  0
Kod ovog tipa nejednačina koristićemo da je:
A B  0  ( A  0, B  0) v ( A  0, B  0)
A B  0  ( A  0, B  0) v ( A  0, B  0)
A A
Naravno iste ‘’šablone’’ koristimo i za znakove > i < a za 0 i 0
B B
gde još vodimo računa da je B  0 .
a) ( x  1)( x  4)  0
( x  1  0, x  4  0) v ( x  1  0, x  4  0)
( x  1, x  4) v ( x  1, x  4)
Sada rešenja ‘’spakujemo’’ na brojevnoj pravoj!!!
x  (4, ) x  (,1)
Rešenje je x  (,1)  (4, )
www.matematiranje.com
3

4. b) ( x  3)  ( x  5)  0
( x  3  0, x  5  0) v ( x  3  0, x  5  0)
( x  3, x  5) v ( x  3, x  5)
x   3,5 prazan skup
Dakle, konačno rešenje je x   3,5
6 x
5) Reši nejednačinu  2
3 x
6 x PAZI: Da bi koristili ‘’šablon’’ na desnoj strani mora da
 2 je nula, pa ćemo zato -2 prebaciti na levu stranu!!!
3 x
6 x
20
3 x
6  x  2(3  x)
0
3 x
6  x  6  2x
0
3 x
12  3x
 0 → sad može ‘’šablon’’
3 x
(12  3x  0  3 - x  0) ili (12  3x  0  3 - x  0)
(3 x  12  -x<  3) (3 x  12  -x  3)
( x  4, x  3) ili ( x  4, x  3)
x  (3, 4) →konačno rešenje prazan skup
6) Rešiti nejednačinu: (po n )
n 1
3 5
n 1
Ovde moramo rešiti 2 nejednačine, pa ćemo ‘’upakovati’’ njihova rešenja.
4

5. Prva nejednačina:
n 1
n 1 Ili 0 3
3  n 1
n 1
n  1  3n  3
0
n 1
4n  2
0
n 1
4n  2
Dakle: 0
n 1
(4n  2  0  n  1  0) ili (4n  2  0  n  1  0)
1 1
(n    n  1) ili (n    n  1)
2 2
 1 
n , n   ,1
 2 
 1 
Za I deo rešenje je n   , 1    ,  
 2 
Druga nejednačina:
n 1 n 1 n  1  5n  5
5  5  0  0
n 1 n 1 n 1
 4n  6
Dakle: 0
n 1
(4n  6  0  n  1  0) ili (4n  6  0  n  1  0)
3 3
(n    n  1) ili (n    n  1)
2 2
www.matematiranje.com
5

6.  3
n    ,   n   1,  
 2
 3
Za II deo rešenje je n    ,    1,  
 2
‘’Upakujmo’’ sada I i II rešenje da bi dobili konačno rešenje ove dvojne nejednačine:
Rešenje prve nejednačine smo šrafirali udesno, a druge ulevo …Na taj način vidimo gde
se seku, odnosno gde je konačno rešenje…
Dakle, konačno rešenje je:
 3  1 
n   ,      ,  
 2  2 
NAPOMENA:
Umesto šablona ovde smo mogli koristiti i ‘’tablično’’ rešavanje koje je detaljno
objašnjeno u delu kvadratne nejednačine.
www.matematiranje.com
6