1. SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA
REŠAVANJE TROUGLA
Sinusna teorema glasi:
Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.
a b c
= = = 2R
sin α sin β sin γ
Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini
prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla.
Sinusna teorema se primenjuje:
1) Kada su data dva ugla i jedna stranica
2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica
Kosinusna teorema glasi:
Neka su a,b,c dužine stranica i α , β , γ veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla
ABC. Tada je:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Kosinusna teorema se primenjuje:
1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih
2) Kad su date sve tri stranice trougla
1

2. Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su:
→ Površina trougla je: 1
P = bc sin α
2
1
P = ac sin β
2
1
P = ab sin γ
2
a ⋅b ⋅c
→ Površina trougla je P = , R je poluprečnik opisane kružnice i P = r ⋅ s gde je
4R
a+b+c
s= poluobim a r je poluprečnik upisane kružnice
2
→ Težišne linije se izračunavaju: 2b 2 + 2c 2 − a 2
ta =
2
2c 2 + 2a 2 − b 2
tb =
2
2a 2 + 2b 2 − c 2
tc =
2
→ Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica)
jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana.
m ⋅ n = ac + bd
Ptolomejeva teorema
→ Ako su d1 i d 2 dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade.
Površina tog četvorougla je:
2

3. 1
P= d1 ⋅ d 2 sin α
2
Zadaci:
1) U trouglu ABC dato je α = 450 , β = 600 i poluprečnik opisanog kruga R = 2 6 .
Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.
α = 45o
β = 60 o
R=2 6
____________
Najpre ćemo naći ugao γ
α + β + je = 180 o
γ = 180 o − (45 o + 60 o )
γ = 75 o
a b c
= = = 2R
sin α sin β sin γ
Iskoristićemo sinusnu teoremu.
a
= 2R ⇒ a = 2 R sin α
sin α
a = 2 ⋅ 2 6 sin 45 o
2
a=4 6⋅ = 2 12 = 4 3
2
a=4 3
3

4. b
= 2R ⇒ b = 2 R sin β
sin β
b = 2 ⋅ 2 6 sin 60 o
3
b=4 6⋅ = 2 18 = 6 3
2
b=6 3
c
= 2R ⇒ c = 2 R sin je
sin γ
c = 2 ⋅ R 6 sin 75o
c = 4 6 ⋅ sin( 45o + 30o )
c = 4 6 ⋅ (sin 45o cos 30 o + cos 45o sin 30 o )
 2 3 2 1
c = 4 6 ⋅ ⋅
 2 2 + ⋅  → sre dim o
 2 2
(
c = 2 3+ 3 )
2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice a = 2 3cm, c = 6cm i
ugao β = 1050
a = 2 3cm
c = 6cm
Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!
β = 105o
____________
b=?
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Ajmo prvo da nadjemo cos 105o
cos105o = cos(60o + 45o )
= cos 60 o cos 45 o − sin 60 o sin 45 o
1 2 3 2 2 (1 − 3 )
= ⋅ − ⋅ =
2 2 2 2 4
4

5. 2 (1 − 3 )
b 2 = (2 3 ) 2 + ( 6 ) 2 − 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 ⋅
4
b 2 = 12 + 6 − 6(1 − 3 )
b 2 = 12 + 6 − 6 + 6 3
b 2 = 12 + 6 3 → mali trik
12 + 6 3 = (3 + 3 ) 2 → proverimo
b 2 = (3 + 3 ) 2 2
= 32 + 2 ⋅ 3 3 + 3
b = 3+ 3
= 9+6 3 +3
= 12 + 6 3
3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao α = 600 . Odrediti bez
upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.
C
b=9cm a
b = 9cm
c = 24cm
A c=24cm B
α = 60 o
__________
a = ?, R = ?
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
a 2 = 9 2 + 24 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ cos 60 o
1
a 2 = 81 + 576 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅
2
a 2 = 441
a = 441
a = 21cm
5

6. a 21
= 2R ⇒ = 2R
sin α sin 60 o
21
= 2R
3
2
42
2R =
3
21
R= racionališemo
3
21 3
R= ⋅
3 3
21 3
R=
3
R = 7 3cm
4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao γ = 60 0 i poluprečnik
7 3
opisane kružnice R = cm . Odrediti stranice trougla ABC.
3
a − b = 3cm
γ = 60 o
7 3
R=
3
__________ ___
a , b, c = ?
c
= 2 R ⇒ c = 2 R sin γ
sin γ
7 3
c = 2⋅ ⋅ sin 60 o
3
7 3 3
c = 2⋅ ⋅
3 2
c = 7cm
6

7. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
7 2 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) cos 60 o
1
49 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) ⋅
2
49 = b 2 + 6b + 9 + b 2 − b 2 − 3b
b 2 + 3b − 40 = 0 → kvadratna jednačina ‘’po b’’
− 3 ± 13
b1, 2 =
2
b1 = 5
b2 = −8 → ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj.
Dakle b = 5
a = b+3
a = 5+3
a =8
5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao α = 600 .
Izračunati poluprečnik opisane kružnice.
b = 5cm
a = b 2 + c 2 − 2bc cos α
c = 8cm
a 2 = 5 2 + 8 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60o
α = 60 o
__________ __
1
a 2 = 25 + 64 − 2 ⋅ 40 ⋅ R=?
2
a 2 = 89 − 40
a 2 = 49
a = 7cm
a 7
= 2R ⇒ = 2R
sin α sin 60 o
7
2R =
3
2
7
R=
3
7 3
R= ⋅
3 3
7 3
R=
3
7

8. 6) Ako su stranice trougla a − 2, a, a + 2 i jedan ugao iznosi 120 0 , odrediti stranice.
a=a
b=a−2
a+2 c=a+2
a-2
120 o
a
Pazi: 120 o je ugao naspram najveće stranice (a+2)
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
(a + 2) 2 = a 2 + (a − 2) 2 − 2a (a − 2) cos120 o
 1
( a + 2) 2 = a 2 + ( a − 2) 2 − 2 a ( a − 2) ⋅  − 
 2
( a + 2) = a + ( a − 2) + a ( a − 2)
2 2 2
a 2 + 4a + 4 = a 2 + a 2 − 4a + 4 + a 2 − 2 a
0 = 2a 2 − 10a
2a (a − 5) = 0
a = 0 → nemoguće
a=5
b = a−2 = 5−2 = 3
b=3
c=a+2
c=7
7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom
nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B
pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo
rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni.
Ovde je najvažnije skicirati problem!!!
8

9. V
α −β
x
. β
. .
0 A a B
Obeležimo traženu visinu sa OV=X
Prvo nadjemo nepoznate uglove ∠OVA i ∠AVB
∠OVA = 90 o − α 
 AVB = ∠OVB − ∠OVA
 ⇒
∠OVB = 90 o − β  = (90 o − β ) − (90 o − α )

= 90 o − β − 90 o + α
∠AVB = α − β
Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV
a AV a sin β
= ⇒ AV =
sin(α − β ) sin β sin(α − β )
sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.
X
sin α = ⇒ X = AV (sin α )
AV
a sin β sin α
X=
sin(α − β )
a sin α sin β
X=
sin(α − β )
9

10. 3
8) U trouglu ABC dato je a − b = 1, hc = , R=4. Bez upotreba tablica izračunati α .
2
a −b =1
3
hc =
2
R=4
________
α =?
Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla:
c ⋅ hc abc
P= , P=
2 4R
Dakle: c ⋅ hc abc
=
2 4R
2ab = 4 Rhc
ab = 2 Rhc
ab = 2 ⋅ 4 ⋅ hc
3
ab = 2 ⋅ 4 ⋅
2
ab = 12
Sada napravimo sistem:
a −b =1
ab = 12
___________
a = b +1
b(b + 1) = 12
b 2 + b − 12 = 0
−1 ± 7
b1, 2 =
2
b1 = 3
b2 = −4 Nemoguće
Dakle b = 3 ⇒ a = 3 + 1 = 4 ⇒ a = 4
10

11. Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:
a a
= 2 R ⇒ sin α =
sin α 2R
4
sin α =
8
1
sin α =
2
1
Znamo da je α = 30 o jer je sin 30 o =
2
Dakle α = 30 o
9) Odrediti stranice trougla površine P = 3 3 , ako je ugao α = 600 i zbir stranica
koje zahvataju dati ugao b+c=7
P=3 3 Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla:
α = 60o 1
P = bc sin α
b+c =7 2
___________
1
a, b, c = ? 3 3 = bc sin 60o
2
1 3
3 3 = bc ⋅
2 3
bc = 12
Dalje ćemo oformiti sistem jednačina:
b+c =7
bc = 12
Izrazimo c=7-b i zamenimo u bc=12
11

12. c = 7−b
b ⋅ (7 − b) = 12
7b − b 2 = 12
b 2 − 7b + 12 = 0
7 ±1
b1, 2 =
2
b1 = 4 ⇒ c = 3
b2 = 3 ⇒ c = 4
Znači imamo dve mogućnosti:
b1 = 4, c = 3 ili b2 = 3; c = 4
Upotrebimo sad kosinusnu teoremu:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
a 2 = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 60o
1
a 2 = 16 + 9 − 2 ⋅12 ⋅
2
a = 25 − 12
2
a 2 = 13
a = 13
10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC,
ugao ABC= 120 0 , ugao BAD= 120 0 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD
Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po
sebi:
D
1 β
0
A 120
.
B C
12

13. Pošto je ∠ABC = 120 o i BD ⊥ BC ⇒ ∠ABD = 30 o a kako je
∠BAD = 120 o ⇒ ∠ADB = 30 o naravno trougao ABD je jednakokraki ⇒ AB = 1 a onda
nije teško naći DB
DB 2 = 12 + 12 − 2 ⋅1 ⋅1 ⋅ cos120 o → Kosinusna teorema
 1
DB 2 = 1 + 1 − 2 ⋅  − 
 2
DB = 3
2
DB = 3
pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!!
120 o + α = 120 o + β + 30 0
α = 30 o + β i važi još α + β = 90 o pa je :
α = 60 o , β = 30 o
Primenimo definiciju:
3
sin 60 o =
CD
3 3
=
2 CD
CD = 2
13