1. EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I
NEJEDNAČINE
Funkcija zadata formulom:
y = a x . a ∈ R, a > 0, a ≠ 1
se naziva eksponencijalna funkcija.
→ Funkcija y = a x je svuda definisana ∀x ∈ R
→ Za x=0 je y = a o = 1 pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu.
→ Ako je a > 0 funkcija je rastuća
→ Ako je 0 < a < 1 funkcija je opadajuća
→ Finkcija y = a x je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose
→ Važe osnovna svojstva stepena:
Za nju:
a x+ y = a x ⋅ a y
ax
a x− y =
ay
(a x ) y = a xy
(a ⋅ b) x = a x b x
x
a ax
  = x
b b
gde su a > 0 , b > 0 , x, y ∈ R
Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije y = 2 x
Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1 1 1 1 2 4 8
8 4 2
www.matematiranje.com
1

2. → Funkcija je definisana za ∀x ∈ R
→ Y-osu seče u (0,1)
→ Pošto je a = 2 > 0 ⇒ rastuća je
→ Uvek je pozitivna, tj. y > 0 za ∀x ∈ R
Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije
x x
1 1
y =  tj. y =   y = 2 − x
2 2
Rešenje:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 4 2 1 1 1 1
2 4 8
→ Funkcija je definisana za ∀x ∈ R
→ Y-osu seče u (0,1)
1
→ Pošto je a = < 0 ⇒ opadajuća je
2
→ Uvek je pozitivna, y > 0 za ∀x ∈ R
www.matematiranje.com
2

3. Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije
y = 2x + 1
I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 5 3 2 3 5 9
8 4 2
Ali je lakše da razmišljamo ovako:
Nacrtamo grafik y = 2 x pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju,
slična translacija je i tamo radjena)
Eksponencijalne jednačine
Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo
upotrebljavati:
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i
uporedjujemo eksponente.
www.matematiranje.com
3

4. Evo nekoliko primera:
1) Reši jednačine
x +1
a) 4 x = 2 x
b) 8 x +1 = 16 ⋅ 2 x − 2
1 x
v) 16 x = 4 2
2
g) 16 ⋅ 25 x + 2 = 2 x
x +3
 1 
d) 9 −3 x =  
 27 
(
dj) x 2 + 1 )
2 x −3
=1
2
−3 x + 5
e) 9 x = 36
Rešenja:
a) x +1
4x = 2 x
x +1
(22 ) x = 2 x
x +1
22 x = 2 x x +1
⇔ 2x =
x
Kad napravimo iste 2x = x + 1
2
osnove njih ‘’skratimo’’! 2x2 − x −1 = 0
1± 3
x1, 2 =
4
x1 = 1
1
x2 = −
2
1
Rešenja su x1 = 1 i x2 = −
2
b) 8 x +1 = 16 ⋅ 2 x − 2
(23 ) x +1 = 2 4 ⋅ 2 x −2
23 x + 3 = 2 4 + x − 2
23 x + 3 = 2 x + 2
3x + 3 = x + 2
3x − x = 2 − 3
2 x = −1
1 www.matematiranje.com
x=−
2
4

5. v) 1 x
4
16 x = 4 2 =x
x
1 x
(2 4 ) x = (2 2 ) 2 x2 = 4
4⋅
1
2⋅
x x=± 4
2 x
=2 2
x1 = 2
4
2 = 2x
x x 2 = −2
g) 16 ⋅ 25 x + 2 = 2 x 2 x2 = 5x + 6
2 4 ⋅ 25 x + 2 = 2 x
2
x2 − 5x − 6 = 0
2 5±7
2 4+5 x + 2 = 2 x x1,2 =
2 2
25 x + 6 = 2 x x1 = 6
x2 = −1
d) x +3
 1 
9 −3 x =   Pazi: 1 1 − 6 x = −3x − 9
 27  = 3 = 3− 3
27 3 − 6 x + 3x = −9
(3 ) = (3−3 ) x + 3
2 −3 x
− 3 x = −9
3 − 6 x = 3− 3 x − 9
x=3
(
đ) x 2 + 1 =1 )2 x −3
Pošto znamo da je a o = 1 , jedno rešenje će nam dati
2x − 3 = 0
2x = 3
3
x=
2
Drugo rešenje će biti ako je
x2 +1 = 1 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0
jer važi a f ( x ) = b f ( x ) ⇔ a = b
tj. ( x 2 + 1) 2 x −3 = 12 x −3
pa je x 2 + 1 = 1
e) 9 x 2 −3 x +5 = 36
2
−3 x + 5
(32 ) x = 36
2
− 6 x +10
32 x = 36 www.matematiranje.com
5

6. 2 x 2 − 6 x + 10 = 6
2x2 − 6x + 4 = 0 / : 2
x 2 − 3x + 2 = 0
3 ±1
x1, 2 =
2
x1 = 2
x2 = 1
2) Rešiti jednačine:
a) 2 x +3 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0
b) 3 x −1 − 4 ⋅ 3 x + 33 = 0
v) 2 ⋅ 3 x +1 − 4 ⋅ 3 x − 2 = 450
g) 23 x − 2 − 23 x −3 − 23 x − 4 = 16
d) 2 x −1 − 2 x −3 = 3 x −2 − 3 x −3
Rešenja:
Ovde ćemo koristiti pravila za stepene:
a m+n = a m ⋅ a n
am
a m −n =
an
(a ) m n
= a m ⋅n
a) 2 x +3 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0
2 x ⋅ 23 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 → Najbolje da uzmemo smenu 2 x = t
t ⋅ 8 − 7 ⋅ t − 16 = 0
8t − 7t = 16
t = 16 → Vratimo se u smenu
2 x = 16
2 x = 24
x=4
b) 3 x −1 − 4 ⋅ 3 x + 33 = 0
3x
− 4 ⋅ 3 x + 33 = 0 → Smena 3 x = t
3
www.matematiranje.com
6

7. t
− 4t + 33 = 0 → Pomnožimo sve sa 3
3
t − 12t + 99 = 0
− 11t = −99
t =9
3x = 9
3 x = 32
x=2
v) 2 ⋅ 3 x +1 − 4 ⋅ 3 x − 2 = 450
3x
2 ⋅ 3 x ⋅ 31 − 4 2 = 450 → Smena 3 x = t
3
t
6 ⋅ t − 4 = 450
9
4t
6t − = 450 → Pomnožimo sve sa 9
9
54t − 4t = 4050
50t = 4050
4050
t=
50
t = 81
3 x = 81 → pazi 81=3·3·3·3= 34
3 x = 34
x=4
g) 23 x − 2 − 23 x −3 − 23 x − 4 = 16
23 x 23 x 23 x
2
− 3 − 4 = 16 → smena 23 x = t
2 2 2
t t t
− − = 16 → sve pomnožimo sa 16
4 8 16
4t − 2t − t = 256
t = 256
2 3 x = 28
3x = 8
8
x=
3
d) 2 x −1 − 2 x −3 = 3 x − 2 − 3 x −3
2 x 2 x 3x 3x
− = −
2 2 3 32 33
7

8. 2 x 2 x 3x 3x
− = − → zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27
2 8 9 27
4 ⋅ 2 x − 2 x 3 ⋅ 3x − 3x
=
8 27
3⋅ 2 x
2⋅3 x
= → Pomnožimo unakrsno
8 27
3 ⋅ 2 x ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 x ⋅ 8
2 x ⋅ 81 = 3 x ⋅ 16 / podelimo sa 3 x i sa 81
2 x 16
=
3 x 81
x 4
2 2
  = 
3 3
x=4
A mogli smo da razmišljamo i ovako:
2 x ⋅ 81 = 3 x ⋅16
2 x ⋅ 34 = 3 x ⋅ 2 4
Očigledno je x = 4
3) Reši jednačine:
a) 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0
4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 → Pošto je 4 x = (2 2 ) x = 2 2 x uzećemo smenu 2 x = t pa će onda biti
t 2 − 5t + 4 = 0 4x = t 2
5±3
t1,2 =
2
t1 = 4
t2 = 1
Vratimo se sad u smenu:
2x = 4
2x = 1
2 x = 2 2 ili
x=0
x=2
www.matematiranje.com
8

9. b) 16 x − 4 x − 2 = 0 → smena je 4 x = t pa je 16 x = 4 2 x = t 2
t2 − t − 2 = 0
1± 3
t1, 2 =
2
t1 = 2
t 2 = −1
4 =2
x
2 2 x = 21
2x = 1 ili 4 x = −1 ovde nema rešenja jer je y = a x uvek pozitivna!!!
1
x=
2
v) 5 x − 53− x = 20
53
5 x − x = 20 → smena 5 x = t
5
125
t− = 20 → celu jednačinu pomnožimo sa t
t
t 2 − 125 = 20t
t 2 − 20t − 125 = 0
20 ± 30
t1, 2 =
2
t1 = 25
t 2 = −5
Pa je 5 x = 25 ili 5 x = −5 Nema rešenja
5 x = 52
x=2
g) 52 x −3 = 2 ⋅ 5 x − 2 + 3
52 x 5x
= 2 ⋅ 2 + 3 → smena 5 x = t
53 5
2
t 2t
= + 3 → sve pomnožimo sa 125
125 25
www.matematiranje.com
9

10. t 2 = 10t + 375
t 2 − 10t − 375 = 0
10 ± 40
t1, 2 =
2
t1 = 25
t 2 = −15
Vratimo se u smenu:
5 x = 25
5 x = 52 ili 5 x = −15 nema rešenja ,jer je 5 x > 0
x=2
d) (11x − 11) 2 = 11x + 99 → Ovde ćemo odmah uzeti smenu 11x = t
(t − 11) 2 = t + 99
t 2 − 22t + 121 − t − 99 = 0
t 2 − 23t + 22 = 0
23 ± 21
t1, 2 =
2
t1 = 22
t2 = 1
Vratimo se u smenu:
11x = 22 11x = 1
ili
x = log11 22 x=0
4) Rešiti jednačine:
x−2 x−2
a) 4 + 16 = 10 ⋅ 2
x −1+ x 2 − 2
x 2 −2
b) 4 x + − 5* 2 =6
x x
v)  2 + 3  +  2 − 3  = 4
   
   
Rešenja
a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to
je x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
www.matematiranje.com
10

11. x−2 x −2
Uzećemo smenu 2 =t⇒4 = t2
t 2 + 16 = 10t
t 2 − 10t + 16 = 0
10 ± 6
t1, 2 =
2
t1 = 8
t2 = 2
Vratimo se u smenu
x−2 x−2
2 =8 2 =2
ili
x−2
2 = 23 x − 2 =1
x − 2 = 3 → kvadriramo x − 2 =1
x−2=9 x=3
x = 11
Kako za oba rešenja važi x ≥ 2 , to su oba rešenja “dobra’’
b) x2 − 2 x −1+ x 2 −2
4 x+ − 5⋅2 =6
x + x 2 − 2 −1
x2 − 2
(22 ) x + − 5⋅ 2 =6
x + x 2 −2
2( x + x 2 − 2 ) 2
2 − 5⋅ =6
21
x2 − 2
Smena 2 x + =t
5t
t2 − = 6 pomnožimo sa 2
2
2t 2 − 5t − 12 = 0
5 ± 121 5 ± 11
t1, 2 = =
4 4
t1 = 4
6 3
t2 = − =−
4 2
Vratimo se u smenu:
www.matematiranje.com
11

12. x 2 −2
2 x+ =4
2
2 x+ x −2
= 22
x + x2 − 2 = 2
x 2 − 2 = 2 − x → uslovi 2 − x ≥ 0 pa je − x ≥ −2 tj x ≤ 2 i x2 − 2 ≥ 0
x 2 − 2 = (2 − x) 2 x ∈ ( −∞, − 2) ∪ ( 2, ∞)
x2 − 2 = 4 − 4x + x2
4x = 4 + 2
4x = 6
6 3
x= = = 1,5
4 2
x = 1,5 → Zadovoljava uslove
x x
b)  2 + 3  +  2 − 3  = 4
   
   
pogledajmo prvo jednu stvar:
2
2 − 3 2 + 3 22 − 3 4−3 1
2− 3 = ⋅ = = =
1 2+ 3 2+ 3 2+ 3 2+ 3
Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:
( )+
x
1
2+ 3 =4
( )
x
2+ 3
x
smena 2 + 3 = t
1
t + = 4 → pomnožimo sve sa t
t
t + 1 = 4t
2
t 2 − 4t + 1 = 0
t1, 2 =
4 ± 12 4 ± 2 3 4 ± 3 2 2 ± 3
= = = = 2± 3
( )
2 2 2 2
t1 = 2 + 3
t2 = 2 − 3
Vratimo se u smenu:
x
2 + 3 = t , dakle
x x
2 + 3 = 2 + 3 ili 2+ 3 = 2− 3
www.matematiranje.com
12

13. n x
Kako važi m
a n = a m tj. 2
ax = a2
(2 + 3 )
x
1
=
(2 + 3 ) = (2 + 3 )
x 2
1
2 2+ 3
(2 + 3 ) = (2 + 3 )
x −1
x
=1 2
2
x
x=2 = −1
2
x = −2
5) Reši jednačine:
a) 20 x − 6 ⋅ 5 x + 10 x = 0
b) 6 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 4 x = 0
a) 20 x − 6 ⋅ 5 x + 10 x = 0 → iskoristićemo da je (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
(5 ⋅ 4) x − 6 ⋅ 5 x + (5 ⋅ 2) x = 0
5 x ⋅ 4 x − 6 ⋅ 5 x + 5 x ⋅ 2 x = 0 → izvucimo 5 x kao zajednički!!!
5 x (4 x − 6 + 2 x ) = 0
5x = 0 ∨ 4x + 2x − 6 = 0
t2 + t − 6 = 0
−1± 5
t1, 2 =
2
t1 = 2
t 2 = −3
2x = 2
pa je ∨ 2 x = −3 nema rešenja
x =1
b) 6 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 4 x = 0
6 ⋅ 32 x − 13 ⋅ 3 x ⋅ 2 x + 6 ⋅ 2 2 x = 0 → celu jednačinu podelimo sa 2 2 x
32 x 3x
6 ⋅ 2 x − 13 ⋅ x + 6 = 0
2 2
2x x
3 3
6 ⋅   − 13 ⋅   + 6 = 0
2 2
x
3
Smena:   = t
2
www.matematiranje.com
13

14. 6t 2 − 13t + 6 = 0
13 ± 5
t1, 2 =
12
18 3
t1 = =
12 2
8 2
t2 = =
12 3
x x
3 3 3 2
  = ili   =
2 2 2 3
x =1 x
3 3
−1
  = 
2 2
x = −1
6) Grafički rešiti sledeće jednačine
x x
a) 2 x − 5 + = 0 b) 3 x − − 8 = 0
2 2
a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu:
x
2x = 5 −
2
x
Nacrtaćemo funkcije y = 2 x i y = − + 5 i njihov presek će nam dati rešenje.
2
y = 2x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1 1 1 1 2 4 8
8 4 2
x
y = − +5
2
x 0 10 2
y 5 0 4
Na grafiku bi to izgledalo ovako:
www.matematiranje.com
14

15. Rešenje je x = 2
x
b) 3 x − −8 = 0
2
x
3x = +8
2
y = 3x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1 1 1 1 3 9 27
27 9 3
x
y= +8
2
x 0 -16 2
y 8 0 9
Na grafiku bi bilo:
www.matematiranje.com
15

16. Dakle, rešenje je x = 2 . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo
naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to)
Eksponencijalne nejednačine
Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi:
1) za a > 1 je a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)
2) za 0 < a < 1 je a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x)
Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova
izmedju 0 i 1 znak se okreće.
Primeri:
1. Rešiti nejednačine:
a) 5−7 x + 3 > 5−3
b) 0,35 x −1 < 0,352 x + 2
2
c) 2 x −3 > 2
d) 2 x < 7 x
16

17. a) 5−7 x +3 > 5 −3 → pošto je osnova 5 > 1 znak prepisujemo!!!
−7 x + 3 > −3
−7 x > −3 − 3
−7 x > −6
6
x<
7
b) 0,35 x −1 < 0,352 x + 2 → pazi osnova je 0,35 a 0 < 0,35 < 1 , pa okrećemo znak!!!
x −1 > 2x + 2
x − 2x > 2 +1
−x>3
x < −3
v) 2 x 2 −3 > 2
2
−3
2x > 21
x2 − 3 > 1
x2 − 4 > 0
−0±2
x1, 2 =
2
x1 = 2
x 2 = −2
g) 2 x < 7 x
2x
<1
7x
x
2
  <1
7
x o
2 2
  <   → pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće
7 7
x >0
2) Rešiti nejednačine:
a) 5 2 x +1 > 5 x + 4
b) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5
v) 9 x − 3 x + 2 > 3x − 9
www.matematiranje.com
17

18. a) 52 x +1 > 5 x + 4
52 x ⋅ 51 − 5 x − 4 > 0 → smena 5 x = t
t2 ⋅5 − t − 4 > 0
5t 2 − t − 4 = 0
1± 9
t1,2 =
10
t1 = 1
4
t2 = −
5
4
t ∈ (−∞, − ) ∪ (1, ∞)
5
vratimo se u smenu:
4 5x = 1
5x = − ili
5
x = 0 → x ∈ (0, ∞)
nema rešenja
sad se interval t ∈ (1, ∞) transformiše u x ∈ (0, ∞)
b) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5
52 x − 6 ⋅ 5 x + 5 < 0 → smena 5 x = t
t 2 − 6t + 5 < 0
6±4
t1, 2 =
2
t1 = 5
t2 = 1
Znači t ∈ (1,5), vratimo se u smenu
5x = 1 5x = 1
ili
x=0 x =1
Tako da je sada konačno rešenje x ∈ (0,1)
www.matematiranje.com
18

19. v) 9 x − 3 x ⋅ 32 > 3 x − 9
32 x − 3 x ⋅ 9 > 3x − 9 → smena 3 x = t
t 2 − 9t > t − 9 (vidi iracionalne nejednačine)
[t 2
− 9t ≥ 0 ∧ t − 9 < 0 ] ∨ [t 2
− 9t ≥ (t − 9) 2 ∧ t − 9 ≥ 0 ]
9±9
t1, 2 = t 2 − 9t > t 2 − 18t + 81
2
− 9t + 18t > 81
t1 = 0 t <9 t ≥9
9t > 81
t2 = 9
t >9
Znači t > 9
3x > 9
t ∈ (− ∞,0] ∪ [9, ∞ ) 3x > 32
Ova dva uslova daju x>2
t ∈ (− ∞,0] Konačno rešenje
ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je
3x = t
www.matematiranje.com
19