1. Statistika për ekonomiks dhe biznes
Ligjërata 9:
Treguesit variacionit

2. Përmbajtja
 Treguesit e variacionit
 Rangu (ose gjerësia e variacionit)
 Varianca
 Devijimi standard
 Koeficienti i variacionit
 Shpërndarjet simetrike dhe ato josimetrike (që
anojnë)

3. Treguesit përmbledhës
Përshkrimi numerik i të dhënave
Tendenca qendrore Kuartilet Variacioni Forma
Mesatarja aritmetike Rangu/Gjerësia Simetria
ose Animi
Mediana Rangu interkuartal
Moda Varianca
Mesatarja gjeometrike Devijimi standard
Coeficienti i variacionit

4. Treguesit e variacionit
Variation
Rangu/ Rangu Varianca Devijimi Koeficienti i
interkuartal Variacionit
Gjerësia Standard
Treguesit e variacionit japin informata
për
shtrirjen (gjerësinë) ose
variabilitetin (llojllojshmërinë)
e vlerave të të dhënave. Qendra e njejtë,
por variacioni ndryshon

5. Rangu (gjerësia e variacionit)
 Treguesi më i thjeshtë i variacionit
 Diferenca në mes vlerës më të madhe dhe
vlerës më të vogël në vargun e të dhënave:
Rangu = Xmax – Xmin
Shembull:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Rangu = 14 - 1 = 13

6. Të metat e rangut
 Injoron mënyrën e shpërndarjes së të dhënave
7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12
Rangu = 12 - 7 = 5 Rangu = 12 - 7 = 5
 E ndjeshme ndaj vlerave ekstreme (outlier-ve)
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5
Rangu = 5 - 1 = 4
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120
Rangu = 120 - 1 = 119

7. Varianca
 Mesatarja (përafërsisht) e devijimeve të vlerave
nga mesatarja aritmetike
n
 Varianca e mostrës:
∑ (X − X) i
2
S =2 i=1
n -1
Ku X = mesatarja aritmetike
n = madhësia e mostrës
Xi = vlerat e variabës X (X1, X2 ,
X3, etj.)

8. Devijimi standard
 Treguesi më i përdorur i variacionit
 E tregon variacionin e vlerave rreth mesatares
 Wshtë rrëjnja katrore e variancës
 Ka njësinë e njejtë sikur të dhënat origjinale
n
 Devijimi standard I mostrës: ∑ (X − X)
i
2
S= i=1
n -1

9. Devijimi standard: Shembull
Të dhënat
e mostrës (Xi) : 10 12 14 15 17 18 18 24
n=8 Mesatarja = X = 16
(10 − X)2 + (12 − X)2 +(14 − X)2 + +(24 − X)2
S=
n −1
(10 −16)2 +(12 −16)2 +(14 −16)2 + +(24 −16)2
=
8 −1
130 Tregues i shpërndarjes
= = 4.3095
7 “mesatare” rreth mesatares

10. Matja e variacionit
Devijim standard i vogël
Devijim standard i madh

11. Krahasimi i devijimeve standarde
Të dhënat A
Mesatarja = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 3.338
Të dhënat B
Mesatarja = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 0.926
Të dhënat C
Mesatarja = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 4.567

12. Përparësitë e devijimit
standard dhe variancës
 Secila vlerë në vargun e të dhënave përfshihet në
llogaritje
 Vlerave që janë larg mesatares u jipet peshë më e
madhe
(sepse devijimet nga mesatarja janë të ngritura në katror)

13. Koeficienti i variacionit
 Mat variacionin relativ
(në relacion me mesataren)
 Gjithmonë shprehet në përqindje (%)
 Tregon variacionin nw raport me mesataren
 Mund të përdoret për të krahasuar dy ose me
shumë grupe të dhënash, pavarësisht njësive
matëse të tyre
S 
CV =
X
 ⋅100%

 

14. Krahasimi i koeficientëve të
variacionit
 Aksioni A:
 çmimi mesatar vitin e kaluar = $50
 Devijimi standard = $5
S $5
  ⋅ 100% =
CVA =   ⋅ 100% = 10%
X $50 Të dy aksionet
kanë devijim
 Aksioni B: standard të
 çmimi mesatar vitin e kaluar = $100 njejtë, mirëpo
Aksioni B është
 Devijimi standard = $5
më pak variabil
në raport me
S $5 çmimin e vet
CVB =   ⋅ 100% =
X ⋅ 100% = 5%
  $100

15. Forma e shpërndarjes
 Përshkruan se si të dhënat janë të shpërndara
 Tregues i formës
 Simetrike apo josimetrike (të dhënat anojnë nga një anë)
Anim majtas Simetrik Anim djathtas
Mesatarja < Mediana Mesatarja = Mediana Mediana < Mesatarja