Лекц-11

1. 2.3. ШУГАМАН БУС РЕГРЕССИЙН ШИНЖИЛГЭЭ
Шугаман бус регресс дотроо 2 хэлбэртэй байна:
Эхний хэлбэрт квадрат: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥2
+ 𝜀, куб: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥2
+ 𝑑 ∙ 𝑥3
+
𝜀, гипербол: 𝑦 = 𝑎 +
𝑏
𝑥
+ 𝜀 функцүүд хамаарна.
Хоёр дахь хэлбэрт зэрэгт: 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 𝑏
∙ 𝜀, илтгэгч: 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑥
∙ 𝜀, экспоненциал: 𝑦 =
𝑒 𝑎+𝑏𝑥
∙ 𝜀; функцүүд орно.
Функцийн параметрүүдийн хэлбэр нь шугаман байх үед хамгийн бага квадратын аргыг
шууд хэрэглэх ба параметрүүдийн тайлбар нь шугаман регрессийн нэгэн адил болно.
Квадрат 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥2
+ 𝜀 функцэд 𝑥1 = 𝑥; 𝑥2 = 𝑥2
гэж орлуулахад
𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥1 + 𝑐 ∙ 𝑥2 + 𝜀 болж, шугаман хэлбэрт орно.
Куб 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥2
+ 𝑑 ∙ 𝑥3
+ 𝜀 функцэд 𝑥1 = 𝑥; 𝑥2 = 𝑥2
; 𝑥3 = 𝑥3
гэж
орлуулахад 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥1 + 𝑐 ∙ 𝑥2 + 𝑑 ∙ 𝑥3 + 𝜀 болж, шугаман хэлбэрт орно. Энэ мэтээр
бүх полиномыг шугаман хэлбэрт шилжүүлж болно. Гэхдээ эконометрикийн судалгаанд
хамгийн өргөн хэрэглэдэг нь квадрат, хааяа куб полином ашигладаг. Түүнээс илүү
зэргийн полиномыг бараг ашигладаггүй болно.
2.3.1. КВАДРАТ РЕГРЕССИЙН ШИНЖИЛГЭЭ
Квадрат 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥2
+ 𝜀 функцээр хамгийн бага квадратын арга хэрэглэхэд
ерөнхий тохиолдолд:
{
∑ 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑛 + 𝑏 ∙ ∑ 𝑥 + 𝑐 ∙ ∑ 𝑥2
∑ 𝑦 ∙ 𝑥 = 𝑎 ∙ ∑ 𝑥 + 𝑏 ∙ ∑ 𝑥2
+ 𝑐 ∙ ∑ 𝑥3
∑ 𝑦 ∙ 𝑥2
= 𝑎 ∙ ∑ 𝑥2
+ 𝑏 ∙ ∑ 𝑥3
+ 𝑐 ∙ ∑ 𝑥4
Аналитик бүлэглэлтийн үр дүнд жинлэгдсэн дундажууд хэрэглэсэн тохиолдолд:
{
∑ 𝑦̅ = 𝑎 ∙ ∑ 𝑓 + 𝑏 ∙ ∑ 𝑥̅ 𝑓 + 𝑐 ∙ ∑ 𝑥̅2
𝑓
∑ 𝑦̅ ∙ 𝑥̅ 𝑓 = 𝑎 ∙ ∑ 𝑥̅ 𝑓 + 𝑏 ∙ ∑ 𝑥̅2
𝑓 + 𝑐 ∙ ∑ 𝑥̅3
𝑓
∑ 𝑦̅ ∙ 𝑥̅2
𝑓 = 𝑎 ∙ ∑ 𝑥̅2
𝑓 + 𝑏 ∙ ∑ 𝑥̅3
𝑓 + 𝑐 ∙ ∑ 𝑥̅4
𝑓
систем бодно.
3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэлийн систем бодоход орлуулах арга хэрэглэхэд
тохиромжгүй. Жордан-Гауссын арга, Крамерийн арга хэрэглэхэд тооцооллын ба
нарийвчлалын алдаа гаргах нь бага байдаг. Крамерийн арга хэрэглэх үед дараах
тодорхойлогчдыг бодно: 𝑎 =
∆𝑎
∆
; 𝑏 =
∆𝑏
∆
; 𝑐 =
∆𝑐
∆
; энд ∆ −ерөнхий тодорхойлогч,
∆𝑎, ∆𝑏, ∆𝑐 −хэсгийн тодорхойлогч. 𝑅2
= 1 −
𝜎үлд
2
𝜎 𝑦
2 ;
Тооцох гол параметрүүд: - ерөнхий дисперс: 𝜎 𝑦
2
=
∑ 𝑦2
𝑛
− (
∑ 𝑦
𝑛
)
2
; (1)
- үлдэгдэл дисперс: 𝜎 𝑦−𝑦̃ 𝑥
2
=
∑(𝑦−𝑦̃ 𝑥)2
𝑛
; (2)
- хүчин зүйлийн дисперс: 𝜎 𝑦̃ 𝑥
2
= 𝜎 𝑦
2
− 𝜎 𝑦−𝑦̃ 𝑥
2
; (3)
- детерминацын индекс: 𝑅2
= 1 −
𝜎 𝑦−𝑦̃ 𝑥
2
𝜎 𝑦
2 ; (4)
- корреляцын индекс: 𝑅 𝑦,𝑥 = √𝑅2; (5)
Шугаман бус регрессийн үед хамаарлын нягтралыг хэмжих үзүүлэлтүүдийг
детерминацын коэффициент 𝑟2
, корреляцын коэффициент 𝑟𝑦 𝑥 гэж нэрлэдэггүй. Томъёо
нь ижил мэт боловч тооцоонд оролцож буй параметрүүдийн тоо өөрчлөгдөж, агуулгын
хувьд зарим ялгаатай болдог тул детерминацын индекс 𝑅2
, корреляцын индекс 𝑅 𝑦𝑥 гэж
нэрлэдэг. Шугаман бус регрессийн тооцоог хийхийн тулд хувьсагчийг өөр хувьсагчаар
орлуулах замаар шугаман хэлбэрт оруулах явцад уг тэгшитгэл нь олон хүчин зүйлийн
регрессийн шинжтэй болдог тул шугаман хос корреляцын коэффициент 𝑟𝑦 𝑥 ба
корреляцын индекс 𝑅 𝑦𝑥 −ийн утга давхцахгүй байж болно.
Нөлөөллийн хэлбэр шугаман байдлаас өөр болж, энд тэнд тархах тусам
детерминацын индексийн утга детерминацын коэффициентээс ялгаа ихтэй 𝑅2
> 𝑟2
болдог. Судлаачид “Хэрэв 𝑅2
− 𝑟2
< 0.1 бол функцийн хэлбэрийг төвөгтэй болгож
байснаас шугаман функц ашигласан нь дээр” гэж үздэг байна
- Фишерийн шалгуур: Шугаман регрессийн үед Фишерийн шалгуур нь зөвхөн 2

2. үзүүлэлтийн хамаарлын үнэмшлийг илэрхийлдэг тул 𝐹𝑦̃ 𝑥
=
𝜎 𝑦̃
2
𝜎 𝑦̅−𝑦̃ 𝑥
2 ∙
𝑛−2
𝑘−1
; томъёогоор
тооцдог байв. Гэтэл шугаман бус регрессийн үед чөлөөт зэргийн тоо өөрчлөгддөг тул
зарим тодотгол орж 𝐹𝑦̃ 𝑥
=
𝑅2
1−𝑅2
∙
𝑛−𝑚−1
𝑚
; болно. Энд, 𝑛 −ажиглалтын тоо; 𝑚 − хүчин
зүйлийн хувьсагчийн параметрийн тоо.
Парабол функцийн хувьд 𝑚 = 2 учир 𝐹𝑦̃ 𝑥
=
𝑅2
1−𝑅2
∙
𝑛−3
2
; болно. (6)
- загварын алдаа: 𝜀̅% =
1
𝑛
∙ ∑ (
|𝑦̅−𝑦̅ 𝑥|
𝑦̅
∙ 100%) ; (7)
Тооцож гаргасан тэгшитгэлийн алдааг бодит утгаас зөрж буй тэгшрүүлсэн утгын
абсолют зөрүүгээр тооцох нь тооцох нь алдаатай үр дүнд хүргэж болно. Жишээлбэл,
нэг ажиглалтад 𝑦𝑖 − 𝑦̃ 𝑥,𝑖 = 5 байхад нөгөө ажиглалтад 𝑦𝑗 − 𝑦̃ 𝑥,𝑗 = 10 нэгж байвал
эхнийхийг 2 дахин алдаа багатай байна гэж үзэж болохгүй. Гэтэл абсолют алдааг бодит
утгад (𝑦𝑖 = 20; 𝑦𝑗 = 50) харьцуулсан хувь эхний тохиолдолд 25%, дараагийн
тохиолдолд 20% болно. Иймээс дээрх томъёог ашигладаг байна. Хазайлт эерэг ба сөрөг
байх тул модуль авсан байна. Заримдаа загварын алдааг 𝐴 =
100
𝑦̅
∙ √
∑(𝑦−𝑦̃ 𝑥)2
𝑛
; томъёогоор
тооцож болно. Хэрэглээний стандарт программуудад энэ томъёог ашигласан байдаг.
Квадрат регрессийн бодлого.
Хүснэгт. Улаан буудайн га-гийн ургацад үзүүлсэн фосфорын бордооны нөлөөлөл
Хамаарлыг 𝑦𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑐 ∙ 𝑥2
гэсэн парабол загвартай гэж үзээд регрессийн
тэгшитгэлийг олъё. Тооцооллын хүснэгт
Фосфорын
бордоонытун,
кгүйлчлэх
бодис/га
Га-гийнургац,
ц/га
yx 𝑥2
𝑥3
𝑦 ∙ 𝑥2
𝑥4
𝑦𝑥
(𝑦
− 𝑦𝑥)2
(𝑦
− 𝑦̅)2
x y
0 5 0 0 0 0 0 4.9714 0.0008 49
30 12 360 900 27000 10800 810000 11.9185 0.0066 0
60 15 900 3600 216000 54000 12960000 15.4456 0.1986 9
90 16 1440 8100 729000 129600 65610000 15.5527 0.2001 16
120 12 1440 14400 1728000 172800 207360000 12.2398 0.0575 0
300 60 4140 27000 2700000 367200 286740000 60.1280 0.4636 74
Эндээс шугаман тэгшитгэлийн системийг бичиж шийдийг Крамерийн дүрмээр олбол:
∆= 510300000000; ∆ 𝑎= 2536920000000; ∆ 𝑏= 147258000000; ∆ 𝑐= −972000000;
𝑎 =
∆𝑎
∆
=
2536920000000
510300000000
= 4.9714; 𝑏 =
∆𝑏
∆
=
147258000000
510300000000
= 0.2886;
𝑐 =
∆𝑐
∆
=
−972000000
510300000000
= −0.0019; болох ба
иймд регрессийн тэгшитгэл : 𝑦𝑥 = 4.9714 + 0.2886 ∙ 𝑥 − 0.0019 ∙ 𝑥2
Гол параметрүүдийн тооцоо:
Ерөнхий дисперс: 𝜎 𝑦
2
=
∑ 𝑦2
𝑛
− (
∑ 𝑦
𝑛
)
2
=
794
5
− (
60
5
)
2
= 14.8;
Үлдэгдэл дисперс: 𝜎 𝑦−𝑦̃ 𝑥
2
=
∑(𝑦−𝑦̃ 𝑥)2
𝑛
=
0.4636
5
= 0.0927;
Хүчин зүйлийн дисперс: 𝜎 𝑦̃ 𝑥
2
= 𝜎 𝑦
2
− 𝜎 𝑦−𝑦̃ 𝑥
2
= 14.8 − 0.0927 = 14.7073;
Детерминацийн коэффициент: 𝑅2
= 1 −
𝜎 𝑦−𝑦̃ 𝑥
2
𝜎 𝑦
2 = 1 −
0.0927
14.8
= 0.9937;
Корреляцийн коэффициент: 𝑅 𝑦,𝑥 = 0.9969;
Регрессийн тэгшитгэлийн итгэлтэй эсэхийг шалгая.

3. Шинжүүрийн утга: 𝐹𝑦 𝑥
=
𝑅2
1−𝑅2
∙
𝑛−3
2
=
0.9937
1−09937
∙
5−3
2
= 157.7; болох ба
Онолын харьцаа: 𝐹0.05,2,2 = 19.00; тул 𝐹𝑦̃ 𝑥
> 𝐹0.05; болж бодож гаргасан Регрессийн
тэгшитгэл 𝑦̃ = 4.9714 + 0.2886 ∙ 𝑥 − 0.0019 ∙ 𝑥2
; үнэмшилтэй байна. Парабол
загварын алдааны хувь 𝜀̅% =
1
𝑛
∙ ∑ (
|𝑦̅−𝑦̅ 𝑥|
𝑦̅
∙ 100%) =
1
5
∙ 9.0158% = 1.8%; бага байна.
2.3.2. ГИПЕРБОЛ РЕГРЕССИЙН ШИНЖИЛГЭЭ
Шугаман бус регресст өргөн хэрэглэдэг функцүүдийн нэг бол тэнцүү талт гипербол
𝑦 = 𝑎 +
𝑏
𝑥
+ 𝜀 функц юм. Энэ функцийг нэгж бүтээгдэхүүнд оногдох түүхий эд,
материал, шатахууны зарцуулалт ба бүтээгдэхүүний тоо хэмжээний хамаарал, таваар
эргэлтийн хугацаа ба таваарын нийт хэмжээний хамаарлыг судлахад хэрэглэж болно.
Энэхүү функцийг хэрэглэсэн сонгодог жишээ бол Филлипсийн муруй юм. Уг
муруй нь хөдөлмөрийн хөлсний цэвэр өсөлт ба ажилгүйдлийн түвшний хамаарлыг
илэрхийлдэг.
𝑏 > 0 үед урвуу хамаарлыг илэрхийлэх бөгөөд функцийн 𝑚𝑖𝑛 утга нь 𝑎 −д
хязгааргүй ойртоно. 𝑏 < 0 үед шууд хамаарлыг илэрхийлэх бөгөөд функцийн 𝑚𝑎𝑥
утга нь 𝑎 −д хязгааргүй ойртоно. Үүний нэг жишээ бол Германы эдийн засагч Энгель
(1821-1896)-ийн муруй юм. Уг муруй нь өрхийн нийт орлого ба удаан хугацаанд
хэрэглэх хөрөнгө худалдан авахад зориулсан зарлагын хамаарал юм. Тэрээр орлого
нэмэгдэх тусам хүнсний бүтээгдэхүүн худалдан авах зарлага багасдаг болохыг
тогтоожээ.
Тэнцүү талт гипербол 𝑦 = 𝑎 +
𝑏
𝑥
+ 𝜀 функцээр хамгийн бага квадратын арга хэрэглэхэд
ерөнхий тохиолдолд:
{
∑ 𝑦 = 𝑛 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ ∑
1
𝑥
∑
𝑦
𝑥
= 𝑎 ∙ ∑
1
𝑥
+ 𝑏 ∙ ∑
1
𝑥2
; (8)
аналитик бүлэглэлтийн үр дүнд жинлэгдсэн дундаж ашиглавал:
{
∑ 𝑦̅𝑓 = ∑ 𝑓 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ ∑
1
𝑥̅
𝑓
∑
𝑦̅
𝑥̅
𝑓 = 𝑎 ∙ ∑
1
𝑥̅
𝑓 + 𝑏 ∙ ∑
1
𝑥̅2
𝑓
; систем бодно. (9)
Эсвэл дараах томъёонуудыг ашиглаж болно. Үүнд:
ерөнхий тохиолдолд:
𝑎 =
∑ 𝑦∙∑(
1
𝑥
)
2
−∑(
𝑦
𝑥
)∙∑(
1
𝑥
)
𝑛∙∑(
1
𝑥
)
2
−(∑
1
𝑥
)
2 ; 𝑏 =
𝑛∙∑(
𝑦
𝑥
)−∑ 𝑦∙∑(
1
𝑥̅
)
𝑛∙∑(
1
𝑥
)
2
−(∑
1
𝑥
)
2 ; (10)
аналитик бүлэглэлтийн үр дүнд жинлэгдсэн дундаж ашигласан тохиолдолд:
𝑎 =
∑ 𝑦̅𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)
2
𝑓−∑(
𝑦̅
𝑥̅
)𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)𝑓
∑ 𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)
2
𝑓−[∑(
1
𝑥̅
)𝑓]
2 ; 𝑏 =
∑ 𝑓∙∑(
𝑦̅
𝑥̅
)𝑓−∑ 𝑦̅𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)𝑓
∑ 𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)
2
𝑓−[∑(
1
𝑥̅
)𝑓]
2 ; (11)
Ерөнхий дисперс: 𝜎 𝑦̅
2
=
∑ 𝑦̅2 𝑓
∑ 𝑓
− (
∑ 𝑦̅𝑓
∑ 𝑓
)
2
; (12)
Үлдэгдэл дисперс: 𝜎 𝑦̅−𝑦̃(1/𝑥̅)
2
=
∑[𝑦̅−𝑦̅(1/𝑥̅)]
2
∙𝑓
∑ 𝑓
; (13)
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
0 20 40 60 80 100 120
Га-гийнургац,ц/га
Фосфорын бордооны тун, кг үйлчлэх бодис/га
Зураг Улаан буудайн га-гийн ургацад үзүүлсэн
фосфорын бордооны нөлөөлөл
ACTUAL POINTS Y=4.9714+0.2886X-0.0019X^2

4. Хүчин зүйлийн дисперс: 𝜎 𝑦(1/𝑥)̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2
= 𝜎 𝑦̅
2
− 𝜎 𝑦̅−𝑦̃(1/𝑥̅)
2
; (14)
Детерминацын индекс: 𝑅2
= 1 −
𝜎 𝑦̅−𝑦̃(1/𝑥̅)
2
𝜎(1/𝑥̅)
2 ; (15)
Корреляцын индекс: 𝑅 𝑦,(1/𝑥̅) = √𝑅2; (16)
Фишерийн харьцаа: 𝐹𝑦̃(1/𝑥̅)
=
𝑅2
1−𝑅2
∙
𝑛−𝑚−1
𝑚
; (17)
Загварын алдаа: 𝜀̅% =
1
𝑛
∙ ∑ (
|𝑦̅−𝑦̅ 𝑥|
𝑦̅
∙ 100%) ; (18)
Гипербол регресс тэгшитгэлээр бодъё. 𝑦̃ = 𝑎 +
𝑏
𝑥
;
Хүснэгт Үйлдвэрлэл, маркетингийн зардал ба
нэг өрхийн малын тооны хамаарал
Малын
тоогоор
бүлэглэвэл*
Нэг
өрхөд
оногдох
хонин
толгойн
урвуу
хэмжиг-
дэхүүн
Өрхийн
тоо,
мянга*
Нэг хонин
толгойд
оногдох
үйлдвэрлэл,
маркетин-
гийн
зардал, төг
𝑦̅ ∙ 𝑓
1
𝑥̅
∙ 𝑓
𝑦̅
𝑥̅
∙ 𝑓 (
1
𝑥̅
)
2
∙ 𝑓
1/𝑥̅ 𝑓 𝑦̅
≤10 0.03690 4.849 11647 56475 0.178919 2083.813 0.006602
11-30 0.01628 11.471 11710 134324 0.186714 2186.402 0.003039
31-50 0.01078 12.646 11575 146375 0.136317 1577.833 0.001469
51-100 0.00672 29.399 11258 330966 0.197667 2225.286 0.001329
101-200 0.00388 45.540 10904 496549 0.176485 1924.323 0.000684
201-500 0.00203 50.461 10639 536849 0.102201 1087.306 0.000207
501-999 0.00099 12.859 10322 132734 0.012687 130.960 0.000013
1000-1499 0.00056 3.406 10027 34152 0.001910 19.153 0.000001
1500-2000 0.00036 0.316 9553 3019 0.000114 1.090 0.000000
2001> 0.00023 0.177 9151 1620 0.000041 0.379 0.000000
ДҮН 0.07872 171.124 106784 1873062 0.993056 11236.545 0.013344
*-эх үүсвэр: 2008 оны статистикийн эмхтгэл
Тэнцүү талт гипербол регрессийн тооцоо:
𝑎 =
∑ 𝑦̅ 𝑖 𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)
2
𝑓−∑
𝑦̅
𝑥̅
𝑓∙∑
1
𝑥̅
𝑓
∑ 𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)
2
𝑓−(∑
1
𝑥̅
𝑓)2
=
1873062∙0.013344−11236.545∙0.993056
171.124∙0.013344−0.9930562
= 10665;
𝑏 =
∑ 𝑓∙∑
𝑦̅
𝑥̅
𝑓−∑ 𝑦̅𝑓∙∑
1
𝑥̅
𝑓
∑ 𝑓∙∑(
1
𝑥̅
)
2
𝑓−(∑
1
𝑥̅
𝑓)2
=
171.124∙11236.545−1873062∙0.993056
171.124∙0.013344−0.9930562
= 48398;
𝑦̅ = 10665 +
48398
𝑥̅
; Нэг өрхөд оногдох хонин толгой 1-ээр нэмэгдэхэд нэг хонин
толгойд оногдох үйлдвэрлэл, маркетингийн зардал (
48398
𝑥̅
) төгрөгөөр багасч байна.
𝜎 𝑦̅
2
=
∑ 𝑦̅2 𝑓
∑ 𝑓
− (
∑ 𝑦̅𝑓
∑ 𝑓
)
2
=
20532709953
171.124
− (
1873062
171.124
)
2
= 180198;
𝜎 𝑦̅−𝑦̃(1/𝑥̅)
2
=
∑[𝑦̅−𝑦̅(1/𝑥̅)]
2
∙𝑓
∑ 𝑓
=
9522931
171.124
= 76426;
𝑅2
= 1 −
𝜎 𝑦̅−𝑦̃(1/𝑥̅)
2
𝜎(1/𝑥̅)
2 = 1 −
76426
180198
= 0.5759; 𝑅 𝑦,(1/𝑥̅) = 0.76;
𝐹𝑦̃(1/𝑥̅)
=
𝑅2
1−𝑅2
∙
𝑛−𝑚−1
𝑚
=
0.5759
0.4241
∙
171−1−1
1
= 229.5;
Онолын харьцаа: 𝐹0.05,171,1 = 254.0; ба 𝐹𝑦̃ 𝑥
< 𝐹0.05; тул бодож гаргасан
𝑦̅ = 10665 +
48398
𝑥̅
; функц үнэмшил муутай байна.

5. 𝜀̅% =
1
𝑛
∙ ∑ (
|𝑦̅−𝑦̅ 𝑥|
𝑦̅
∙ 100%) =
1
10
∙ 55.37% = 5.5%; Загварын алдааны хувь.
Зураг 2.13. Үйлдвэрлэл, маркетингийн зардал ба нэг өрхийн малын тооны
хамаарал регрессийн тэгшитгэлийн хэлбэрээс шалтгаалах нь
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
Бодит дундаж Шугаман функцээр Гипербол функцээр
y=11312-0.9828 x Y=10665-48398/x

6. Зураг 2.12. Үйлдвэрлэл, маркетингийн зардал ба
нэг өрхийн малын тооны хамаарал гипербол
регрессийн аргын дотоод агуулгаас шалтгаалах нь
Жинлэгдсэн дундажаар хийсэн гипербол регрессийн 𝑦̅ = 10665 + 48398 ∙
1
𝑥̅
тэгшитгэлийн хамаарлын нягтшил дунд зэрэг, уг функц, түүний параметрүүд статистик
үнэмшил муу байна.
8000
8500
9000
9500
10000
10500
11000
11500
12000
12500
13000
Бодит дундаж Арифметик дундажаар Жинлэсэн дундажаар
Y=10245-55006/x Y=10665-48398/x