Lecture 7 continuous_distribution

Лекция 7. Непрерывная случайная величина.
Функция распределения
Курбацкий А. Н.
МШЭ МГУ
3,10 ноября 2016
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Непрерывная с.в. 3,10 ноября 2016 1 / 36

Содержание
1 Непрерывные случайные величины
2 Функция распределения
3 Числовые характеристики
4 Основные распредления
5 Нормальное распределение

Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина,
множество значений которой – один или несколько промежутков на
числовой прямой.
Для непрерывных случайных величин нельзя задать их распределение,
просто указывая вероятности каждого отдельного значения, теперь
придётся указывать вероятность попадания в некоторый промежуток.
Часто распределение непрерывных случайных величин можно задать с
помощью плотности вероятности.
Определение
Плотностью вероятности называют функцию ρ(x), заданную для всех
x на числовой прямой, такую что:
1. ρ(x) ≥ 0 для всех x.
2. Площадь под функцией плотности равна 1, т.е.
+∞
−∞
ρ(x)dx = 1.
Если непрерывная с.в. принимает свои значения только на части
числовой прямой Ω, то полагают, что ρ(x) = 0 для x /∈ Ω.

Попробуйте самостоятельно!
Пример
Пусть
ρ(x) =
1 − |x|, x ∈ [−1; 1]
0, x /∈ [−1; 1].
.
Тогда ρ(x) является функцией плотности распределения.

Попробуйте самостоятельно!
Пример
Пусть
ρ(x) =
1 − |x|, x ∈ [−1; 1]
0, x /∈ [−1; 1].
.
Тогда ρ(x) является функцией плотности распределения.
Решение
Очевидно, что ρ(x) ≥ 0 на всей числовой прямой. Покажем, что
площадь под кривой плотности равна 1.
На отрезке [−1, 1] график ρ(x) и ось абсцисс образуют
равнобедренный треугольник с основанием 2 и высотой 1. Его
площадь равна 1. Следовательно, условие 2 из определения
выполнено.

Функция плотности вероятности позволяет находить вероятность того,
что непрерывная случайная величина попадет в некоторую область,
например, отрезок [a, b]:
P(X ∈ [a, b]) =
b
a
ρ(x)dx
Другой способ поиска вероятности того, что непрерывная случайная
величина примет значения на некотором отрезке, связан с заданием
функции распределения F(x) случайной величины.

Функция распределения
Функцией распределения F(x) случайной величины X называется
вероятность того, что случайная величина X примет значения,
меньшее или равное x, то есть F(x) = P(X ≤ x).
Если случайная величина имеет плотность ρ(x), то ее функция
распределения задается в виде
F(x) =
x
−∞
ρ(t)dt
Вероятность того, что X ∈ [a; b] может быть записана с помощью F(x)
в виде:
P(a ≤ X ≤ b) =
b
−∞
ρ(x)dx +
a
−∞
ρ(x)dx = F(b) − F(a)

Задача
Случайная величина X принимает значения на отрезке [0; 1] и ее
функция плотности вероятности на этом отрезке равна ρ(x) = 2x (на
всей остальной части числовой прямой ρ(x) = 0). Найти F(x).

Задача
Случайная величина X принимает значения на отрезке [0; 1] и ее
функция плотности вероятности на этом отрезке равна ρ(x) = 2x (на
всей остальной части числовой прямой ρ(x) = 0). Найти F(x).
Решение
По определению для x ∈ [0; 1]
F(x) =
x
−∞
ρ(t)dt =
0
−∞
0dt +
x
0
2tdt = t2|x
0 = x2
Для x < 0 F(x) = 0, а для x > 1 F(x) = 1, т.к. для x > 1
F(x) =
0
−∞
0dt +
1
0
2tdt +
x
1
0dt = t2
|1
0 = 1

Вопрос-ответ
Непрерывная случайная величина может принимать ненулевые
значения только на отрезке [0; 2]. Может ли функция p(x) = 2 − x
быть плотностью распределения вероятностей этой случайной
величины?

Вопрос-ответ
Непрерывная случайная величина может принимать ненулевые
значения только на отрезке [0; 2]. Может ли функция p(x) = 2 − x
быть плотностью распределения вероятностей этой случайной
величины?
По свойству функции плотности ρ(x)
+∞
−∞
ρ(x)dx = 1.
В нашем же случае
+∞
−∞
ρ(x)dx =
2
0
(2 − x)dx = (2x − x2
2 )|2
0 = 2.

Свойства функции распределения
Теорема
F(x) ≥ 0 для любого x.
Для x1 < x2 F(x1) ≤ F(x2).
F(−∞) = 0 и F(+∞) = 1.

Математическое ожидание и дисперсия
С помощью функции плотности распределения вероятностей можно
определить математическое ожидание E(X) непрерывной случайной
величины x и ее дисперсию D(X).
Математическое ожидание E(X) непрерывной случайной величины X
равно:
E(X) =
+∞
−∞
xρ(x)dx
Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины X равна:
D(X) = E(X − EX)2 = E(X2) − [E(X)]2 =
+∞
−∞
x2ρ(x)dx −
+∞
−∞
xρ(x)dx
2

Самостоятельно
Функция плотности вероятности случайной величины X имеет
следующий вид
ρ(x) =



0, x 1
a ln x, x ∈ (1; e]
0, x > e.
а) Определите коэффициент a и вычислите математическое ожидание;
б) найдите функцию распределения F(x);
в) определите вероятность того, что значение случайной величины
лежит в интервале (−2;
√
e).

Решение
По свойству функции плотности вероятности имеем
+∞
−∞
ρ(x)dx =
e
1
a ln xdx =
= a(x ln x|e
1 −
e
1
x
1
x
dx) = a(e − e + 1) = a = 1.
Здесь мы воспользовались методом интегрирования по частям.
Вычислим математическое ожидание
EX =
+∞
−∞
xρ(x)dx =
e
1
x ln xdx = x2
2 ln x|e
1−
e
1
x2
2
1
x dx = e2
2 −e2
4 +1
4 = e2+1
4 .
Функция распределения находится по формуле:
F(x) = P(X ≤ x) =
x
−∞
ρ(t)dt =



0, x 1
x
1
ln tdt = x ln x − x + 1, x ∈ (1; e]
1, x > e.
√Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Непрерывная с.в. 3,10 ноября 2016 14 / 36

Задача
Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке
[2; 6]. Найти E(2X − 1), D(2X − 1), E(X3).

Задача
Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке
[2; 6]. Найти E(2X − 1), D(2X − 1), E(X3).
Решение. Носитель плотности случайной величины, равномерно
распределенной на отрезке [a; b] имеет вид ρ(x) = 1
b−a , а
математическое ожидание и дисперсия задаются формулами
EX = b+a
2 , DX = (b−a)2
12 .
Поэтому в нашей задаче EX = 6+2
2 = 4 и DX = (6−2)2
12 = 4
3.
Пользуясь свойствами находим
E(2X − 1) = 2EX − 1 = 7, D(2X − 1) = 22
DX = 16/3.
Чтобы вычислить третий момент E(X3), вычислим интеграл
6
2
1
4
x3
dx =
1
16
x4
|6
2 = 81 − 1 = 80.

Равномерное распределение
Случайная величинв имеет равномерное распределение на отрезке
[a; b], если функция плотности имеет вид ρ(x) = 1
b−a на этом отрезке.
Задача
равно
EX =
b + a
2
Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины X равно
DX =
(b − a)2
12
Функция распределения имеет вид F(x) =



0, x < a
x−a
b−a , x ∈ [a; b]
1, x > b.

Показательное распределение
Случайная величинв имеет показательное распределение, если
функция плотности имеет вид ρ(x) = λe−λx при x ≥ 0 (и ноль при
остальных значениях).
Задача
равно
EX =
1
λ
Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины X равно
DX =
1
λ2
Функция распределения имеет вид F(x) =
0, x < 0
1 − e−λx , x 0.

Нормальное распределение
Нормальное распределение вероятностей играет ключевую роль в
большинстве задач статистического анализа данных: в экономических,
социальных, естественных и технических науках.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальное (гауссовское)
распределение вероятностей на всей числовой прямой, если ее
плотность распределения для всех x ∈ R выражается формулой:
ρ(x, a, σ) =
1
σ
√
2π
e−
(x−a)2
2σ2 ,
где σ > 0 и a - произвольные числа.
Величины a и σ2 называются параметрами нормального
распределения.
Запись X ∼ N(a, σ2) означает, что случайная величина X имеет
нормальное распределение с параметрами a и σ2. Смысл параметров a
и σ2 вытекает из следующих соотношений: E(X) = a, D(X) = σ2.

Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение с параметрами a = 0 и σ2 = 1, т.е. N(0, 1) -
называют стандартным нормальным распределением.
Для обозначения стандартной нормальной случайной величины
используют символ Z: Z ∼ N(0, 1). Плотность стандартного
нормального распределения задаётся формулой:
ρ(x) =
1
√
2π
e−x2
2
Случайная величина X ∼ N(a, σ2) может быть выражена через
стандартную нормальную случайную величину Z ∼ N(0, 1):
X = a + σZ

Стандартное нормальное распределение
Функцию распределения стандартной нормальной случайной
величины Z ∼ N(0, 1) обозначают Φ(x). По определению она есть:
Φ(x) =
x
−∞
1
√
2π
e
−t2
2 dt.
Для функции Φ(x) составлены подробные таблицы, позволяющие
находить вероятность того, что случайная величина Z попадает в
некоторый отрезок [a; b]:
P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a).
Функция распределения F(x) произвольной нормальной
случайной величины X ∼ N(a, σ2) выражается через Φ(x):
F(x) = Φ
x − a
σ

Правило "трех сигм"
Важно!
Так называемое правило "трех сигм" заключаетсявтом, что
вероятность отклонится более чем на 3 стандартных отклонения от
математического ожидания составляет менее 0.003.
Пример
То есть для стандартной нормальной величины P(|Z| < 3) > 0.997.

Задача
Среднее время для решения задачи по теории вероятностей для
студентов второго курса составляет 20 минут с дисперсией 4. Найти
вероятность, что студенту потребуется от 16 до 24 минут для решения
задачи, считая, что это время имеет нормальное распределение.

Задача
Среднее время для решения задачи по теории вероятностей для
студентов второго курса составляет 20 минут с дисперсией 4. Найти
вероятность, что студенту потребуется от 16 до 24 минут для решения
задачи, считая, что это время имеет нормальное распределение.
Решение
Пусть X – время для решения одной задачи, тогда
X ∼ N(µ = 20; σ2 = 4). Находим вероятность
P(16 < X < 24) = P
16 − 20
2
<
X − µ
σ
<
24 − 20
2
= P(−2 < Z < 2),
где Z – стандартная нормальная величина. Окончательно,
P(16 < X < 24) = P(−2 < Z < 2) = 2Φ(2)−1 ≈ 2·0.97725−1 = 0.9545.

Задача
Случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение
вероятностей. Найти P(|Z − 1| > 0.5).

Задача
Случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение
вероятностей. Найти P(|Z − 1| > 0.5).
Решение
P(|Z − 1| > 0.5) = 1 − P(|Z − 1| < 0.5) = 1 − P(−0.5 < Z < 1.5) =
1 − Φ(1.5) + Φ(0.5) = 1 − 0.9332 + 0.6915 = 0.7583. Здесь Φ(x) –
функция стандартного нормального распределения, значения которой
можно найти в таблице.

Комбинация нормальных величин
Теорема
Сумма двух независимых нормальных случайных величин
X ∼ N(a1, σ2
1) и X ∼ N(a2, σ2
2) является нормальной случайной
величиной:
X1 + X2 ∼ N(a1 + a2, σ2
1 + σ2
2).
Задача
Случайные величины Z1 и Z2 имеют стандартные нормальные
распределения и независимы. Случайная величина X = 6Z1 + 8Z2 + 3.
Найти математическое ожидание X, дисперсию X, вероятность того,
что X < 14. Найти квантиль уровня 0,8.

Решение
Пользуясь тем, что для стандартных нормальных величин
математическое ожидание равно нулю, а дисперсия – единице,
находим:
E(X) = E(6Z1 + 8Z2 + 3) = 6EZ1 + 8EZ2 + 3 = 3,
D(X) = 62
D(Z1) + 82
DZ2 = 36 + 64 = 100.
Так как линейная комбинация независимых нормальных случайных
величин также является нормальной случайной величиной, то
X ∼ N(µ = 3; σ2 = 100). Таким образом, X = 3 + 10Z, где
Z ∼ N(0; 1). Далее,
P(X < 14) = P(3 + 10Z < 14) = P (Z < 1.1) = Φ(1.1) ≈ 0.8643.
Квантиль z0.8 стандартного нормального распределения
Φ−1(0.8) ≈ 0.8416, тогда искомая квантиль равна
x0.8 = 3 + 10z0.8 ≈ 3 + 10 · 0.8416 = 11.416.

Задача
Случайная величина X имеет нормальное распределение со средним
100 и cтандартным отклонением 16. Найти вероятность
P(74 < X < 92) и квантиль xp уровня p = 0.95.

Задача
100 и cтандартным отклонением 16. Найти вероятность
P(74 < X < 92) и квантиль xp уровня p = 0.95.
Решение
Выразим случайную величину X через стандартную нормальную
величину Z:
X = 100 + 16Z.
Тогда
P(74 < X < 92) = P(74 < 100 + 16Z < 92) = P(−26
16 < Z < − 8
16 ) =
P(−1.625 < Z < −0.5) = Φ(1.625) − Φ(0.5) ≈ 0.9474 − 0.6915 = 0.256
Квантиль стандартного нормального распределения уровня p = 0.95
составляет zp ≈ 1.65, поэтому
xp ≈ 100 + 16 · 1.65 = 126.4.

Задача
Случайные величины Z1 и Z2 имеют стандартное нормальное
распределение и независимы. Случайная величина X = 8Z1 − 2Z2 − 1.
Указать закон распределения X. Найти вероятность того, что X < 0.

Задача
Случайные величины Z1 и Z2 имеют стандартное нормальное
распределение и независимы. Случайная величина X = 8Z1 − 2Z2 − 1.
Указать закон распределения X. Найти вероятность того, что X < 0.
Решение. Линейная комбинация независимых нормальных случайных
величин также является нормальной случайной величиной. По
свойствам найдем математическое ожидание и дисперсию случайной
величины X: E(X) = E(8Z1 − 2Z2 − 1) = 8EZ1 − 2EZ2 − 1 = −1,
D(X) = 82D(Z1) + (−2)2DZ2 = 64 + 4 = 68.
Здесь мы воспользовались тем, что для стандартных нормальных
величин математическое ожидание равно нулю, а дисперсия –
единице. Таким образом, X = −1 +
√
68Z, где Z ∼ N(0; 1).
Далее,
P(X > 0) = P(−1 +
√
68Z < 0) = P Z <
1
√
68
≈
≈ P(Z < 0.12) = Φ(0.12) ≈ 0.5478.

Таблица нормального распределения
Разберёмся, как находить значения вероятностей нормальной
величины, а также её квантили. Функцию распределения стандартной
нормальной случайной величины Z ∼ N(0, 1) обозначают Φ(x). По
определению она есть:
Φ(x) =
x
−∞
1
√
2π
e−t2
2 dt.
Первообразную не найти! Значение интеграла вычисляют численно.
Для функции Φ(x) составлены подробные таблицы, позволяющие
находить вероятность того, что

По таблице проще всего вычислить вероятность того, что случайная
величина Z попадает левее точки a:
P(Z ≤ a) = Φ(a).
А чтобы вычислить вероятность того, что случайная величина Z
попадает правее точки a, пользуются тем, что сумма вероятностей
равна 1:
P(Z ≥ a) = 1 − Φ(a).
Для отрицательных значений пользуются чётностью функции
плотности, то есть
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a) = 1 − Φ(a).

Покажем на примере, как вычисляются вероятности для стандартной
нормальной величины.
Пусть нам требуется вычислить следующую вероятность P(z ≤ 0.52).
Решение.
P(z ≤ 0.52) = 0.6985.
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331
0.4 0, 6554 0, 6591 0, 6628 0, 6664 0, 6700
0.5 0, 6915 0, 6950 0, 6985 0, 7019 0, 7054
0.6 0, 7257 0, 7291 0, 7324 0, 7357 0, 7389
0.7 0, 7580 0, 7611 0, 7642 0, 7673 0, 7704

Пример
Пусть нам требуется вычислить следующие вероятности P(z ≥ 0.52),
P(z ≤ −1.23), P(z ≥ −2.33), P(0.12 ≤ z ≤ 2.52), P(−1.12 ≤ z ≤ 1.65).
Решение
P(z ≥ 0.52) = 1 − P(z ≤ 0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015;
P(z ≤ −1.23) = 1 − P(z ≤ 1.23) = 1 − 0.8907 = 0.1093;
P(z ≥ −2.33) = P(z ≤ 2.33) = 0.9901;
P(0.12 ≤ z ≤ 2.52) = P(z ≤ 2.52) − P(z ≤ 0.12) = 0.9941 − 0.5478;
P(−1.12 ≤ z ≤ 1.65) = P(z ≤ 1.65) − P(z ≤ −1.12) = P(z ≤
1.65) − (1 − P(z ≤ 1.12)) = 0.9505 − (1 − 0.8686) = 0.8191.

Общий случай
Для произвольной случайной нормальной величины X вероятность
P(X ≤ x) находится следующим образом (эта процедура называется
стандартизацией):
вычисляем z = x−a
σ ;
находим в таблице Φ(z).
Квантилью уровня p для с.в. X называется такое значение xp, что
P(X ≤ xp) = p.
Квантиль уровня p вычисляется следующим образом: xp = a + σ · zp,
где zp - квантиль стандартной нормальной с.в. Для значений p,
которых нет в таблице надо воспользоваться чётностью функции
плотности xp = x1−p.

Пример
Найдите квантили стандартной нормальной величины z0.62 и z0.33.
Решение
Смотрим в таблицу и находим 0.6217, так как это ближайшее число к
0.62. z0.62 ≈ 0.31.
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331
0.4 0, 6554 0, 6591 0, 6628 0, 6664 0, 6700
0.5 0, 6915 0, 6950 0, 6985 0, 7019 0, 7054
0.6 0, 7257 0, 7291 0, 7324 0, 7357 0, 7389
0.7 0, 7580 0, 7611 0, 7642 0, 7673 0, 7704
Для z0.33 вспомним про чётность: z0.33 = z1−0.33 = z0.67 ≈ 0.44.

Для закрепления
Задача
значением 10 и дисперсией 25. Чему равна вероятность того, что эта
случайная величина примет значение большее 25? Вычислите
квантиль уровня 0.99.

Для закрепления
Задача
значением 10 и дисперсией 25. Чему равна вероятность того, что эта
случайная величина примет значение большее 25? Вычислите
квантиль уровня 0.99.
Решение
Для того, чтобы найти требуемую вероятность, перейдем к
стандартной нормальной величине Z = X−10√
25
и воспользуемся
таблицей для нормального распределения
P(X ≥ 25) = P
X − 10
5
≥
25 − 10
5
= P(Z ≥ 3) =
= 1 − P(Z ≤ 3) ≈ 1 − 0.99865 = 0.00135.
Чтобы найти квантиль x0.99, сначала найдём по таблице квантиль
z0.99 ≈ 2.33. Теперь x0.99 = a + σ · z0.99 ≈ 10 + 5 · 2.33 = 21.65.

Lecture 7 continuous_distribution

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to Lecture 7 continuous_distribution

Similar to Lecture 7 continuous_distribution (20)

More from Kurbatskiy Alexey

More from Kurbatskiy Alexey (15)

Lecture 7 continuous_distribution