Документ описывает интерполяционный многочлен Лагранжа, который используется для приближения функций. В нем рассматриваются условия определения коэффициентов и доказательство единственности решения системы для нахождения многочлена. Также обсуждается оценка остаточного члена интерполяционного многочлена и применение теоремы Ролля.

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Наиболее широко применяется приближение в виде
g (x;a1, ... , an ) =
i
n


1
ai i (x)
где i (x) - фиксированные функции, значения ai определяются из условия
f(xi) =
i
n


1
ai i (xi)
Для определения коэффициентов аi может быть использован метод неопределенных
коэффициентов.
Наиболее изучен случай интерполирования многочленами
i
n


1
ai xi-1
Определитель этой системы отличен от нуля (определитель Вандермонда).
Следовательно, система
i
n


1
ai xj
i-1
= f(xj ) j = 1, ... , n
имеет решение и притом единственное.
Будем строить многочлен в виде
gn (x) =
i
n


1
f(xi ) Фj (x)
т.к. Фi(xj) = 0 при i не равном j, то Фi(xj) делится на (x - xj) при i не равном j. Таким
образом, нам известно n-1 делителей многочлена степени n-1, отсюда
Фi (x) = C
j i
n

 (x-xj )
Из условия Фi(xi) = 1 получаем
Фi (x) =
j i
n
j
i j
x x
x x



Интерполяционный многочлен имеет вид
gn (x) = Ln (x) =
i
n


1
f(xi )
j i
n
j
i j
x x
x x




2. Это интерполяционный многочлен Лагранжа.
Введем в рассмотрение функцию
Ln (x) =
i
n


1
f(xi )
j i
n
j
i j
x x
x x



Wn = ( )x xj
j
n



1
W'n (x) =
k
n


1
( )x xj
j k
n



При x - xi , k неравном i слагаемое обращается в нуль, тогда
W'n (xi) = ( )x xi j
j j
n



Тогда
j i
n
i
i j
x x
x x



=
W x
W x x x
n
n i i
( )
( )( )'

Ln =
i
n


1
f(xi )
W x
W x x x
n
n i i
( )
( )( )'

Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа
Предположим непрерывность f(n)
(x). Введем
 (z) = f(x) - gn(z) - KWn(z).
Выберем К из условия  (x) = 0, где x - точка в которой оценивается погрешность
)(
)()(
zW
zgzf
K
n
n

При таком выборе К функция  (z) обращается в нуль в (n+1) - й точке x1 , x2 , ... , xn , x. На
основании теоремы Ролля производная '(z) обращается в нуль по крайней мере в n -
точках и т.д.  (n)
(z) обращается в нуль по крайней мере в одной точке  , причем эта точка
принадлежит отрезку [y1 , y2 ].
y1 = min (x1 , ... , xn , x); y22 = max (x1 , x2 , ... , xn ,x);
 n
(z) = f n
(z) - Kn!;
откуда

3. !
)(
n
f
K
n


Тогда
!
)(
)()(
n
f
xgxf
n
n

 ,   [y1 , y2 ].