Документ содержит задачи к семинару по теории оценок статистических параметров, включая вопросы о несмещенности и эффективности оценок для различных распределений. Он охватывает выборки из нормального, дискретного и других распределений, анализируя предложения по оценкам и их свойства. Работа включает доказательства и дополнительные задачи для проверки знаний по теме.

1. Задачи к семинару 2
Свойства оценок
1. По выборке x1, x2, x3, x4, x5 из нормального распределения N(θ, σ2
) построена следующая
оценка параметра θ: ˆθ = 0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.3x4 + 0.1x5.
а) Является ли оценка ˆθ несмещенной?
б) Найти дисперсию оценки ˆθ.
в) Является ли оценка ˆθ эффективной?
2. По выборке x1, x2, x3, x4, x5 из нормального распределения N(θ, σ2
) построена следующая
оценка параметра θ: ˆθ = 0.25x1 + 0.25x2 + 0.25x3 + 0.25x5. Выяснить, является ли оценка ˆθ
несмещенной и эффективной? Предложите смещённую оценку с меньшей дисперсией.
3. Дискретная случайная величина X задана следующим рядом распределения:
X 0 1 2
p 0.5 θ 0.5 − θ
Имеется два наблюдения этой случайной величины x1 и x2.
а) Рассмотрим оценку ˆθ = 2−0.4x1 −0.6x2 для параметра θ. Найдите смещение этой оценки.
б) При каких условиях на коэффициенты α0, α1, α2 оценка ˆθ = α0 + α1x1 + α2x2 будет
несмещённой для параметра θ.
в) Найдите эффективную оценку параметра θ среди оценок такого вида.
4. Дискретная случайная величина X задана следующим рядом распределения:
X −1 0 1
p 0.5 0.1 − θ 0.4 + θ
Имеется два наблюдения этой случайной величины x1 и x2.
а) Рассмотрим оценку ˆθ = 0.2x1 + 0.8x2 для параметра θ. Найдите смещение этой оценки.
б) При каких условиях на коэффициенты α0, α1, α2 оценка ˆθ = α0 + α1x1 + α2x2 будет
несмещённой для параметра θ.
в) Найдите эффективную оценку параметра θ среди оценок такого вида.
5. По выборке x1, x2 из нормальной генеральной совокупности с параметрами θ и σ2
постро-
ена следующая оценка параметра θ: ˆθ = 1
2
(x1 + x2). Докажите, что она является эффективной
оценкой среди всех линейных несмещённых оценок, решив соответствующую оптимизационную
задачу. Будет ли её дисперсия минимальной среди всех линейных оценок?
6. По выборке x1, x2, x3 из нормальной генеральной совокупности с параметрами θ и σ2
построена следующая оценка параметра θ: ˆθ = 1
3
(x1 + x2 + x3). Докажите, что она являет-
ся эффективной оценкой среди всех линейных несмещённых оценок, решив соответствующую
оптимизационную задачу. Будет ли её дисперсия минимальной среди всех линейных оценок?
7. Проверить, являются ли несмещёнными оценки ˆθn для выборки из генеральной совокуп-
ности с математическим ожиданием θ:
1

2. • ˆθn = 1
n
(xi − ¯x);
• ˆθn = ωixi, если ωi = 1.
8. Доказать, что MSE = E(ˆθ − θ)2
= D(ˆθ) + bias2
(ˆθ).
9. Пусть ˆθ - несмещённая оценка параметра θ с конечной положительной дисперсией D(ˆθ).
Найти смещение оценки ˆθ2
для θ2
?
Дополнительные задачи
10. Дана выборка x1, x2, . . . из распределения Бернулли с параметром p. Проверить, что x1
является несмещённой оценкой для p. Является ли эта оценка состоятельной?
11. Дана выборка x1, x2, . . . из распределения Пуассона с параметром λ. Проверить, что x1
является несмещённой оценкой для λ. Является ли эта оценка состоятельной?
12. Доказать, что выборочное среднее является эффективной оценкой математического
ожидания нормального распределения, когда дисперсия известна.
13. Для выборки x1, x2, . . . , xn из генеральной совокупности с равномерным распределением
на интервале (0; θ) проверить несмещённость и эффективность оценки ˆθ = n+1
n
xmax.
14. Доказать, что в схеме Бернулли ˆp является эффективной оценкой неизвестной вероят-
ности p.
15. Доказать, что s2
= 1
n−1
n
k=1
(xk−x)2
является несмещённой оценкой дисперсии генеральной
совокупности.
16. Доказать, что эмпирическая функция распределения является несмещённой и состоя-
тельной оценкой функции распределения генеральной совокупности.
Необходимые термины
• Несмещённость
• Смещение
• Эффективность
• Среднеквадратическая ошибка (MSE)
• Состоятельность
• Сходимость по вероятности
• Сходимость по распределению
2