1. Задачи к семинару 10
Непараметрические методы
1. При анонимном опросе 120 студентов на курсе выяснилось, что из них 55 на контрольной
по математической статистике использовали шпаргалки и телефоны. Можно ли на 5%-ом
уровне значимости полагать, что большинство студентов честные? Применить критерий
знаков.
2. Из 50 опрошенных участников конференции 31 предпочитали бы жить в одноместной
комнате. При α = 0.02 проверьте гипотезу о том, что более 50% участников предпочитают
жить в общежитиях в одиночку. Применить критерий знаков.
3. Мобильный оператор считает, что в среднем человек говорит по телефону 250 минут в
месяц. Выборка из 25 человек дала следующие значения: 204, 260, 416, 205, 120, 135, 315,
450, 560, 309, 311, 150, 244, 350, 476, 275, 100, 245, 815, 555, 660, 209, 301, 180, 175.
При α = 0.05 проверьте, достаточно ли у нас оснований, чтобы опровергнуть заявление
мобильного оператора? Применить критерий знаков.
4. Было проведено исследование, чтобы выяснить, влияют ли витамины, принимаемые сту-
дентами, не результаты написания ими контрольной. В середине семестра до начала прие-
ма витаминов студент написал контрольные на следующие баллы (по 10-балльной шкале)
5, 6, 4, 8, 9, 6,
а в конце, после приема витаминов
6, 3, 3, 9, 9, 10
При α = 0.05 можно ли сделать вывод, что прием витаминов повлиял (увеличил или
уменьшил) на результат написания контрольных? Применить критерий знаков.
5. Исследователь опросил женщины, имеющих детей до 3-х лет, и не имеющих детей, чтобы
выяснить, сколько книг те и другие прочитали в течение прошлого года. Данные приве-
дены ниже.
6, 5, 3, 8, 9, 6
4, 3, 5, 8, 6, 7
При α=0.10 проверьте заявление о том, что обе группы прочли одинаковое количество
книг. Применить критерий знаков и критерий Вилкоксона.
6. Для сравнения уровня заработной платы были отобраны (в соответствии со стажем)
работники-мужчины и работники-женщины. В таблице ниже приведены получившиеся
данные (в тысячах рублей). При α= 0.10 есть ли различие в зарплатах мужчин и жен-
щин?
60, 45, 30, 80, 90, 65
1
2. 45, 35, 55, 80, 65, 75
Применить критерий знаков и критерий Вилкоксона.
7. Какое минимальное значение может принимать статистика Вилкоксона для выборок объ-
ёма n > m? Чему равна общая сумма рангов?
8. Двум группам студентов выдали анкету для выяснения их мнения о курсе математической
статистики, чтобы установить степень их удовлетворённости. Задавалась шкала диапазо-
ном от 0 до 100. Группы делились так: те, кто получил 5 автоматом, и те, кто не получил
5 автоматом. Данные приведены ниже.
50, 86, 44, 80, 90, 60, 100
45, 35, 55, 50, 60, 70, 30, 40.
При α=0.10, проверьте заявление о том, что между удовлетворенностью работой двух
групп нет разницы.
9. Инспекторам было поручено оценить продуктивность работы служащих. Исследователь
хочет узнать, у кого она выше: у людей, живущих в браке, или у одиноких? Диапазон
шкалы оценки продуктивности составляет от 1 до 50. Данные приведены ниже.
40, 46, 44, 30, 20, 30
45, 35, 45, 40, 20, 10, 25, 15
При α = 0.01, достаточно ли у нас оснований считать, что продуктивность одиноких
ниже?
10. Дана две выборки:
X 4 1 6 2 3
Y 5 2 7 0 1
Вычислить коэффициент корреляции Спирмена. Проверьте его значимость на уровне α =
0.05.
11. Даны две выборки:
X 4 1 3 6 2
Y 7 2 3 8 5
Вычислить коэффициент корреляции Спирмена. Проверьте его значимость на уровне α =
0.05.
2
3. 12. Исследователь хочет определить, существует ли связь между возрастом человека и тем,
сколько часов в день он или она смотрит телевизор, используя коэффициент корреляции
Спирмена. Уровень значимости α = 0.1.
возраст 18 24 36 40 58
количество часов 3, 9 2, 6 2 2, 3 1, 2
13. Менеджер магазина хотел бы узнать существует ли какая-либо связь между возрастом
работников и количеством больничных, которые они берут каждый год. Для этого он
использует коэффициент корреляции Спирмена и берёт уовень значимости α = 0.01.
возраст 18 26 39 48 53 58
дни болезни 16 12 9 5 6 2
14. Преподавателю необходимо узнать, какова связь между IQ студента и его успеваемостью.
Для этого он использует коэффициент корреляции Спирмена и берёт уровень значимости
α = 0.05.
IQ 98 105 100 100 106 95 116 112
средний балл 2.1 2.4 3.2 2.7 2.2 2.3 3.8 3.4
15. Даны девять пар наблюдений
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 8.5 7 8.5 5.5 5.5 3 4 1 2
Вычислите коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена. Объясните результат.
16. Наблюдатель хочет проверить, есть ли связь между оценками (по 10-балльной шкале)
экспертов мужчин и экспертов женщин на конкурсе красоты ”Мисс МШЭ”, используя
коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена. Уровень значимости α = 0.1.
эксперт мужчина 5 6 2 10 7 9 8 1 3 4
эксперт женщина 3.5 5.5 3.5 9 10 8 7 1 5.5 2
Объясните результат.
Дополнительные задачи
1. В условиях предыдущих задач (номера 10 и 11) для линейной аппроксимации y = β0 +
β1x найдите оценки параметров ˆβ0 и ˆβ1 методом Тейла (построить непараметрическую
регрессию).
2. В условиях предыдущих задач (номера 10-16) вычислите коэффициент корреляции Кен-
далла.
3. Докажите, что коэффициент корреляции Спирмена rS = 1 − 6
n3−n
n
i=1
d2
i . принадлежит от-
резку [−1; 1] (di - это разности соответствующих рангов, которые считаем разными внутри
каждой выборки). В каком случае он принимает крайние значения? Верно ли это, если в
выборке будут совпадающие ранги?
3
