Kyriazhs_protopapas_presentation

1. Κυριαζής ΧρήστοςΚυριαζής Χρήστος
M.Sc. Μαθηµατικός
Υποψήφιος διδάκτορας Ε.Α.Π.
2o ΓΕΛ Αγίας Βαρβάρας
Πρωτοπαπάς Ελευθέριος
Ph.D., M.Sc. Μαθηµατικός
7o ΓΕΛ Περιστερίου
Σάββατο 2/4/2016
13.50 – 14.10
Αίθουσα B

2. Το Θ.Μ.Τ.
Το ενδιάµεσο σηµείο ως κέντρο του
διαστήµατος.
Χρήση του Θ.Μ.Τ. στην εύρεση ορίων στο
άπειρο.
Μονοτονία και Θ.Μ.Τ.
Ένα «παράδοξο» αποτέλεσµα από τη χρήση
του Θ.Μ.Τ.
Συµπεράσµατα.
Βιβλιογραφία.

3. Joseph Louis Compte Lagrange (1736-1813)
«Theorie des Fonctions Analytiques» (1797)
f συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b)
Διατύπωση
f συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b)
υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (a, b) έτσι ώστε
−
−
f(b) f(a)f'(ξ)=
b a

4. Γεωµετρική ερµηνεία

5. Ερµηνεία στη Φυσική
Αν x = x(t) η συνάρτηση θέσης στο [a, b],
τότε υπάρχει µια τουλάχιστον χρονική στιγµή
η στιγµιαία ταχύτηταστο (a, b) έτσι ώστε η στιγµιαία ταχύτητα
ισούται µε την µέση ταχύτητα του κινητού,
δηλαδή 0 0
−
−
x(b) x(a)υ(t )=x'(t )=
b a
0
t

6. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής και παραγωγίσιµη
στο [a, b] και δύο φορές παραγωγίσιµη στο άκρο
a µε . Αν είναι το ενδιάµεσο σηµείο της fa µε . Αν είναι το ενδιάµεσο σηµείο της f
στο (a, x), τότε ισχύει:
≠f''(a) 0 x
ξ
→
−
−+
x
x a
ξ a 1
lim =
x a 2

7. ( )
( )
,
− − −
∈
−
2
f(x) f(a) f'(a) x a
g(x)= x (a,b]
x a
Απόδειξη
Έστω:
( )−
2
x a
→ → →
− −
=
− −+ + +
x a x a x a
f'(x) f'(a) 1 f'(x) f'(a) f''(a)
limg(x)= lim = lim
2(x a) 2 x a 2
Τότε:
Θ.Μ.Τ για f στο [a, x], δίνει:
( ) ( ),
−
∈ ⊆
−
x x
f(x) f(a)
f'(ξ )= ξ a,x a,b
x a

8. Εποµένως:
Τότε:
( )
− − − −
−−
x x
2
f'(ξ )(x a) f'(a)(x a) f'(ξ ) f'(a)
g(x)= =
x ax a
άρα
( )→ → →
 − − −
 − − − 
+ + +
x x x
x a x a x a
x
f'(ξ ) f'(a) ξ a ξ a
limg(x)= lim = f'' a lim
ξ a x a x a
( )
( ) → →
− −
⇒
− −+ +
x x
x a x a
f'' a ξ a ξ a 1
= f'' a lim lim =
2 x a x a 2

9. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο
µε τότε ισχύει ότι:
Απόδειξη
∞(α,+ ) ≥ ∈ ∞f '(x) 1,x (α,+ )
→ ∞
∞
x +
lim f(x)= +
Θ.Μ.Τ για f στο δίνει:Θ.Μ.Τ για f στο δίνει:
Τότε:
άρα
0
[x ,x]
, ,
−
∈ ⊆ ∞
−
0
x x 0
0
f(x) f(x )
f'(ξ )= ξ (x x) (α,+ )
x x
≥ ⇒ ≥ −x 0 0f'(ξ ) 1 f(x) x x +f(x )
→ ∞
∞
x +
lim f(x)= +

10. Έστω παραγωγίσιµη συνάρτηση στο σύνολο των
πραγµατικών αριθµών, η οποία στρέφει τα κοίλα
προς τα κάτω. Αν η έχει ασύµπτωτη την
ευθεία µε εξίσωση , , τότε ισχύει
ότι .
fC
∈y = λx +β, λ,β R
ότι .
Απόδειξη
y = λx +β, λ,β R
→ ∞x +
lim f '(x) = λ
Θ.Μ.Τ για f στα [x – 1, x], [x, x + 1] δίνει:
( )− − ∈ −1x 1xf(x) f(x 1)= f'(ξ ),ξ x 1,x
( )− ∈2x 2xf(x +1) f(x)= f'(ξ ),ξ x,x +1

11. − ⇒1x 2x 1x 2xx 1< ξ < x < ξ < x +1 f'(ξ )> f'(x)> f'(ξ )
Συνεπώς:
ή
− − −f(x) f(x 1)> f'(x)> f(x +1) f(x)
Όµως:
άρα
( ) ( )[ ]− − − − − − −f(x) f(x 1) = f(x) λx +β f(x 1) λ(x 1)+β + λ
[ ]→ ∞
− −
x +
lim f(x) f(x 1) = λ

12. Οµοίως:
άρα
[ ]→ ∞
−
x +
lim f(x +1) f(x) = λ
→ ∞x +
lim f '(x) = λ

13. Αν για την παραγωγίσιµη
ισχύει , τότε
Απόδειξη
( )∞ →f : 0,+ R
→ ∞x +
lim f '(x)= 0 [ ]→ ∞
−
x +
lim f(x +1) f(x) = 0
( )⇒ ∃ ∀ ⇒lim f '(x)= 0 M > 0 ώστε y > M f '(y) <ε
Θ.Μ.Τ για f στο [x, x + 1] δίνει:
Τότε:
( )→ ∞
⇒ ∃ ∀ ⇒
x +
lim f '(x)= 0 M > 0 ώστε y > M f '(y) <ε
−
−
−
x
f(x +1) f(x)
f '(ξ )= = f(x +1) f(x)
x +1 x
⇒ −x x0 < M < x < ξ < x +1 f'(ξ ) = f(x +1) f(x) <ε

14. Μονοτονία της f µε
Λύση
Θ.Μ.Τ για την h µε h(t) = lnt, t > 0 στο [x, x+1]
µε x > 0 δίνει:
( )− ∈x
1
ln(x +1) lnx = , µε ξ x,x +1
ξ
,
 
∈ ∞ 
 
x
f
1
f(x)= 1+ x A =(0,+ )
x
Όµως:
και
άρα
( )− ∈x
x
ln(x +1) lnx = , µε ξ x,x +1
ξ
⇒x
x
1 1
0 < x < ξ < x +1 >
ξ x +1
 
− −  
1
f'(x)= f(x) ln(x +1) lnx
x +1
 
− 
 x
1 1
f'(x)= f(x) > 0
ξ x +1

15. ,
 
∈ ∞ 
 
x+1
f
1
g(x)= 1+ x A =(0,+ )
x

16.  ≠


2 1
x , x 0
f(x)= x
0, x =
η
0
µ
− ≠


1 1
2x συν , x 0
f'(x)= x x
0, x = 0
ηµ
H f είναι συνεχής στο 0 και παραγωγίσιµη µε

17. ( ), ∈′
2
x x
ηµ
1
x
xf (ξ )= ξ 0,x
x
Θ.Μ.Τ για την f στο [0, x] δίνει:
ή
−x
x x
η
1 1 1
συν = 2ξ xηµ
ξ ξ
µ
x

18. Όµως
άρα
→
→

⇒

x
x
0 <ξ
ξ 0
x 0
< x
άρα
και κατά συνέπεια
→
 
 
 x 0
x
1
lim = 0
ξ
συν
→
−
 
 
 
x
x 0
x
1 1
lim 2ξ xηµ
ξ x
ηµ = 0

19. Το Θ.Μ.Τ. είναι θεµελιώδες για τον
Απειροστικό Λογισµό.
Το ενδιάµεσο σηµείο έχει ιδιαίτερα
χαρακτηριστικά όταν υπάρχει µεταβλητό
άκρο.
Το ενδιάµεσο σηµείο δεν παίρνει όλες τιςΤο ενδιάµεσο σηµείο δεν παίρνει όλες τις
τιµές του µεταβλητού διαστήµατος.
Το ενδιάµεσο σηµείο χρησιµοποιείται για τον
υπολογισµό ορίων στο άπειρο, για την
εύρεση της µονοτονίας µιας συνάρτησης και
η ιδιαιτερότητά του δηµιουργεί «παράδοξα».

20. Γιαννόπουλος, Α. (2009). Σηµειώσεις Απειροστικού Λογισµού. Τµήµα
Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών.
Καζαντζής, Ν. Θ. (1994). Παράγωγοι Συναρτήσεων. Σπηλιώτης.
Μυταρέλλης, Π. (1996). Μαθηµατική Παιδεία. Α΄ Εξάµηνο, Τεύχος 1,
Θεσσαλονίκη.
Νεγρεπόντης, Σ. – Γιωτόπουλος, Σ. – Γιαννακούλιας, Ε. (1999).
Απειροστικός Λογισµός τόµος ΙΙβ. Συµµετρία.
Ντούγιας, Σ. (2007). Απειροστικός Λογισµός I. Leader Books.
Ρασσιάς, Μ. Θ. (2004). Μαθηµατική Ανάλυση Ι, τεύχος Α΄. Σαββάλας.Ρασσιάς, Μ. Θ. (2004). Μαθηµατική Ανάλυση Ι, τεύχος Α΄. Σαββάλας.
Apostol, Τ. (1962). Διαφορικός και Ολοκληρωτικός λογισµός, τόµος Ι.
Ατλαντίς.
Brand, L. (1984). Μαθηµατική Ανάλυση. Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία.
Jacobson, B. (1982). On the mean value theorem for integrals. The
American Mathematical Monthly, vol. 89, no. 5, p. 300-301.
Sahoo, K. P. – Riedel, T. (1998). Mean value theorems and functional
equations. World Scientific.
Sawyer, W. W. (1993) Τι είναι ο Απειροστικός Λογισµός. Εκδόσεις
Τροχαλία.