Dokumen menjelaskan tentang kombinasi linier vektor. Kombinasi linier adalah penjumlahan vektor yang diperoleh dengan mengalikan suatu skalar dengan vektor. Rentang vektor adalah himpunan semua kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.
1. Dokumen tersebut membahas tentang batas atas, batas bawah, infimum, dan supremum dari beberapa himpunan. Terdapat pembuktian bahwa 0 adalah batas bawah S2 dan S2 tidak memiliki batas atas. Juga terdapat pembuktian bahwa inf S2 dan sup S3 ada.
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
1. Dokumen tersebut membahas tentang batas atas, batas bawah, infimum, dan supremum dari beberapa himpunan. Terdapat pembuktian bahwa 0 adalah batas bawah S2 dan S2 tidak memiliki batas atas. Juga terdapat pembuktian bahwa inf S2 dan sup S3 ada.
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Transformasi linier " Matematika Geodesi "Dedy Kurniawan
Transformasi linier adalah pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor lain yang memenuhi sifat-sifat linier. Transformasi linier memiliki sifat-sifat seperti terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar, serta dapat direpresentasikan melalui matrik. Jenis transformasi linier meliputi refleksi, pergeseran, perbesaran, dan rotasi.
1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli.
2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut membahas tentang mapping diagram hubungan entitas (ER diagram) ke dalam bentuk tabel, skema relasi, dan diagram relasi antar tabel dalam basis data. Langkah-langkah pemappingan mencakup implementasi entitas ke tabel dan skema relasi, serta penambahan atribut relasi untuk hubungan 1:1 dan 1:N, serta pembuatan tabel khusus untuk hubungan N:N.
Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
Dokumen tersebut membahas tentang koefisien binomial yang merupakan bilangan yang muncul dari hasil penjabaran ekspresi pemangkatan dua variabel seperti (a + b)n. Dokumen tersebut menjelaskan bahwa koefisien binomial dapat ditentukan menggunakan rumus kombinasi dan dibuktikan menggunakan teorema binomial.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
Dokumen tersebut menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang meliputi Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan. Kedua metode tersebut mengubah matriks keseluruhan sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon dengan menggunakan aturan-aturan OBE.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi pada bidang Euclides. Transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif dengan daerah asal dan nilai sama. Contoh transformasi yang dibahas adalah perpetaan dan translasi. Transformasi tersebut dibuktikan memenuhi sifat injektif dan surjektif sehingga merupakan transformasi.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi ortogonal vektor dan ruang vektor. Proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b adalah vektor w1 yang merupakan hasil proyeksi secara ortogonal vektor a terhadap b. Vektor w2 adalah komponen dari vektor a yang tegak lurus terhadap vektor b.
Transformasi linier " Matematika Geodesi "Dedy Kurniawan
Transformasi linier adalah pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor lain yang memenuhi sifat-sifat linier. Transformasi linier memiliki sifat-sifat seperti terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar, serta dapat direpresentasikan melalui matrik. Jenis transformasi linier meliputi refleksi, pergeseran, perbesaran, dan rotasi.
1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli.
2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut membahas tentang mapping diagram hubungan entitas (ER diagram) ke dalam bentuk tabel, skema relasi, dan diagram relasi antar tabel dalam basis data. Langkah-langkah pemappingan mencakup implementasi entitas ke tabel dan skema relasi, serta penambahan atribut relasi untuk hubungan 1:1 dan 1:N, serta pembuatan tabel khusus untuk hubungan N:N.
Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
Dokumen tersebut membahas tentang koefisien binomial yang merupakan bilangan yang muncul dari hasil penjabaran ekspresi pemangkatan dua variabel seperti (a + b)n. Dokumen tersebut menjelaskan bahwa koefisien binomial dapat ditentukan menggunakan rumus kombinasi dan dibuktikan menggunakan teorema binomial.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
Dokumen tersebut menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang meliputi Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan. Kedua metode tersebut mengubah matriks keseluruhan sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon dengan menggunakan aturan-aturan OBE.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi pada bidang Euclides. Transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif dengan daerah asal dan nilai sama. Contoh transformasi yang dibahas adalah perpetaan dan translasi. Transformasi tersebut dibuktikan memenuhi sifat injektif dan surjektif sehingga merupakan transformasi.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi ortogonal vektor dan ruang vektor. Proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b adalah vektor w1 yang merupakan hasil proyeksi secara ortogonal vektor a terhadap b. Vektor w2 adalah komponen dari vektor a yang tegak lurus terhadap vektor b.
Ruang vektor adalah himpunan benda yang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Ruang vektor harus memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Sub ruang adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain. Vektor bebas linier dan tak bebas linier mendefinisikan ketergantungan linier antar vektor. Kombinasi linier adalah vektor hasil penjumlahan vektor lain dengan skalar. Basis ruang vekt
Metode iterasi Jacobi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghitung nilai variabel secara berulang hingga mencapai toleransi kesalahan yang diinginkan. Algoritma Jacobi menghitung nilai baru variabel berdasarkan nilai lama variabel lainnya. Analisis galat dilakukan dengan membandingkan nilai baru dan lama setiap variabel. Kasus sistem persamaan linear 3 variabel ditunjukkan dapat dise
Ruang vektor dan Euclid membahas tentang:
1. Definisi ruang Euclid (Rn) sebagai ruang vektor dan ruang hasil kali dalam.
2. Definisi ruang vektor sebagai kumpulan vektor yang dapat dijumlahkan dan dikalikan skalar.
3. Aksoma-aksoma ruang vektor dan ruang hasil kali dalam yang harus dipenuhi.
1. Vektor adalah kuantitas fisik yang membutuhkan informasi tentang besarnya dan arahnya. Vektor dapat direpresentasikan secara geometris dengan panah yang panjangnya mewakili besar dan arah panah mewakili arah vektor.
2. Terdapat beberapa operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan produk skalar dan silang. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode jajaran
1. Bab pertama membahas tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti penjumlahan, perkalian skalar, hasil kali titik, dan hasil kali silang vektor.
2. Vektor dapat didefinisikan sebagai panah dengan titik awal dan titik ujung, serta menjelaskan ruang koordinat R1, R2, R3, dan Rn secara umum.
3. Metode penjumlahan vektor menggunakan jajaran genjang atau se
Penyelesaian persamaan linier simultan melibatkan penentuan nilai variabel bebas yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Metode yang dapat digunakan antara lain metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, dan metode iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas atau bawah dengan operasi baris elementer.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor dan matriks, termasuk pengenalan, penjumlahan, penggandaan, dan aplikasi vektor dalam geometri serta pengenalan dasar matriks seperti penjumlahan, penggandaan, putaran, dan kebalikan matriks.
Aksi Nyata Buku Non Teks Bermutu Dan Manfaatnya .pdfDenysErlanders
Buku non teks yang bermutu dapat memperkaya pengalaman
belajar siswa. Buku-buku ini menawarkan konten yang inspiratif,
inovatif, dan mendorong pengembangan karakter siswa.
Pemanfaatan buku non teks bermutu membutuhkan peran aktif
guru untuk memilih dan
mengintegrasikannya ke dalam pembelajaran
UNIT 3 PB 2 MODUL AJAR PPKn KELAS 5 - modulguruku.com.docx
Kombinasi Linier
1. Definisi
Misalkan v1.v2,…,….vn adalah vector-vektor dalam
suatu ruang vector V. jumlah vektor-vektor
berbentuk 𝛼1v1 + 𝛼2v2,… +𝛼nvn. dimana 𝛼1…𝛼n.
adalah skalar-skalar yang disebut suatu
kombinasi linier. Dari v1,v2,...,…vn. himpunan
semua kombinasi linier dari v1,v2…,…vn. disebut
rentang (span) dari v1,…,…vn akan dinyatakan
dengan rentang (v1,…,…vn)
1
2. 𝛼1v1 + 𝛼2v2,… +𝛼nvn
Kondisi vektor
𝑣1
𝑣2
→ ∝ 𝑣1
𝑣2
∝𝑣1
∝𝑣2
∝ adalah skalarnya
Teorema
Jika v1.v2,…,….vn adalah elemen-elemen
dari suatu ruan vektor V, maka Rentang
(v1.v2,…,….vn ) adalah sebuah ruang
bagian dari V
Kombinasi linier diperoleh dari mengalihkan
matriks dengan skalar, dan dengan
menambahkannya bersama-sama.
2
3. Bukti
Misalkan 𝛽 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎𝑟 dan misalkan v = 𝛼1v1 + 𝛼2v2,… +𝛼nvn adalah sembarang
elemen dari rentang (v1.v2,…,….vn) karena.
𝛽𝒗 = 𝛽𝛼1 𝑣1 + 𝛽𝛼2 𝑣2 … = 𝛽𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
Maka 𝛽𝒗 ∈ Rentang (v1.v2,…,….vn). Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa sembarang
jumlah elemen-elemen rentang ((v1.v2,…,….vn) juga berada di rentang ((v1.v2,…,….vn) ) 𝒗 =
𝛼1 𝑣1 + ⋯ 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 dan 𝒘 = 𝛽1 𝑣1 + ⋯ 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛
𝒗 + w = 𝛼1 + 𝛽1 𝑣1 + ⋯ 𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛
Oleh karena itu rentang (v1.v2,…,….vn) adalah sebuah bagian V.
Artinya dapat diketahui kombinasi linier adalah linier (vektor) dari perkalian skalar.
3
4. Consol 1
Perhatikan soal dibawah ini! Apakah 𝑣 =
2
2
1
1
kombinasi linear dari 𝑢1 =
1
2
−1
1
dan u2 =
1
−1
2
2
?
Jawab :
Untuk menjawab pertanyaan ini kita harus memeriksa ada atau tidak adanya jawaban
dengan system persamaan linear. Dengan cara pada vektor
𝑢1 =
1
2
−1
1
u2 =
1
−1
2
2
𝑖
𝑗
k
l
= =
1 2
2 1
−1 2
1 2
s1
s2
=
2
2
1
1
yang akan kita lakukan dengan menggunakan eliminasi Gauss sebagai berikut :
a)
1 1 2
2 − 1 2
−1 2 1
1 2 1
→
B2 − 2B1
B3 + B1
B4 − B1
1 1 2
0 − 3 − 2
0 3 3
0 1 − 1
u1 u2
𝑢1 = 𝑖 + 2𝑗 + −𝑘 + 𝑙
𝑢2 = 𝑖 + −𝑗 + 2𝑘 + 2𝑙
4
5. •
→
B4 ↔ B2
1 1 2
0 1 − 1
0 3 3
0 − 3 − 2
→
1
6
B3
1
5
B4 +
1
6
B3
1 1 2
0 1 − 1
0 0 1
0 0 0
Jadi, system persamaan linear itu tak punya jawab, yang berarti v bukan
kombinasi linear dari u1 dan u2.
Apakah w=
1
8
−7
1
kombinasi linear dari u1 dan u2 pada butir a) ?
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks lengkap system persamaan berikut
1 1 1
2 − 1 8
−1 2 − 7
1 2 1
→
B2 − 2B1
B3 + B1
B4 − B1
1 1 1
0 − 3 6
0 3 − 6
0 1 − 2
→
B2 ↔ B4
1 1 1
0 1 − 2
0 3 − 6
0 − 3 6
→
B3 − 3B2
B4 + 3B2
1 1 1
0 1 − 2
0 0 0
0 0 0
Sistem persamaan punya jawab karena unsure 1 terkiri tiap baris tak nol pada matriks
eselon tak ada yang terletak pada kolom terakhir. Jadi w kombinasi linear dari u1 dan
u2.
5
6. Consol 2
Tunjukkan u = (2,3,-1) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari W = { 𝑎1 = 1,0,1 , 𝑎2 = 0,1, −1 , 𝑎3 = 1,1, −1 }.
jawab
Akan dicari skalar-skalar 𝑘1, 𝑘2, 𝑑𝑎𝑛 𝑘3 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 ∶
𝒖 = 𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑎2 + 𝑘3 𝑎3.
(2,3,-1) = 𝑘1 1,0,1 + 𝑘2 0,1, −1 + 𝑘3(1,1, −1)
(2,3,-1) = 𝑘1, 0, 𝑘2 + 0, 𝑘2, − 𝑘2 + (𝑘3, 𝑘3, −𝑘3)
(2,3,-1) = (𝑘1 + 𝑘3, 𝑘2 + 𝑘3, 𝑘1 − 𝑘2 − 𝑘3)
Yang berarti membentuk sistem persamaan linear
2 = 𝑘1 + 𝑘3
3 = 𝑘2 + 𝑘3
-1 = 𝑘1 − 𝑘2 − 𝑘3
6
7. Dengan menggunakan eleminasi Gauss-jordan,sistem persamaan
linear ini akan diselesaikan sebagai berikut :
1 0 1 2
0 1 1 3
1 −1 −1 − 1
𝑏3 − 𝑏1 ~
1 0 1 2
0 1 1 3
0 −1 −2 − 3
𝑏3 − 𝑏2~
1 0 1 2
0 1 1 3
0 0 −1 0
𝑏1 + 𝑏3
𝑏2 + 𝑏3
~
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 −1 0
Jadi, 𝑘1 = 2, 𝑘2 = 3, dan 𝑘3 = 0 ,sehingga kombinasi
linear 2𝑎1 + 3𝑎2 + 0𝑎3
dari u adalah
U = 2𝑎1 + 3𝑎2 + 0𝑎3
7