kalkulus purcell

1. BAB 2. TURUNAN
Materi :
 Konsep Awal Turunan
 Gradien Fungsi Di Suatu Titik
 Operasi Pada Turunan
 Mind Map Turunan
Indikator Ketercapaian :
1. Mahasiswa mampu menjelaskan konsep turunan dengan benar.
2. Mahasiswa mampu menentukan kecepatan rata-rata, kecepatan sesaat,
dan gradien fungsi di suatu titik dengan menggunakan konsep turunan.
3. Mahasiswa mampu menghitung turunan dan menjelaskan operasi yang
berlaku pada turunan fungsi.
9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 1
SUB-CPMK020301 | Pertemuan 4

2. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 2
Garis Singgung
Garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑃(𝑥, 𝑓 𝑋 ) merupakan garis yang melalui 𝑃
dengan kemiringan
𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
= 2.5
2.1 Dua Masalah Satu Solusi

3. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 3
Kecepatan rata-rata vs kecepatan sesaat
Misalkan 𝑟(𝑡) adalah posisi suatu objek pada waktu 𝑡, maka kecepatan rata −
rata dari waktu t1 ke t2 adalah :
𝑣𝑎𝑣𝑔 𝑡1, 𝑡2 =
𝑟 𝑡2 − 𝑟(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1
Semakin kecil selisih antara 𝑡1 𝑑𝑎𝑛 𝑡2, kita bisa mendapatkan “kecepatan
sesaat” :
𝑣 𝑡 = lim
Δ𝑡→0
𝑣𝑎𝑣𝑔 𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 = lim
Δ𝑡→0
𝑟 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑟(𝑡)
Δ𝑡

4. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 4
Definisi Turunan
Suatu fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan di titik 𝑥 jika,
lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
Ada dan berhingga.
Jika limit diatas ada, maka turunan dari 𝑓 dititik 𝑥 yakni 𝑓′(𝑥) sama dengan
nilai limit diatas. Bentuk limit diatas tersebut ekuivalen dengan,
𝑓′ 𝑐 = lim
x→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
x − c
Berikut beberapa notasi untuk turunan dari 𝑓 dititik 𝑥,
𝑓′
𝑥 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑑(𝑓 𝑥 )
𝑑𝑥
2.2 Turunan

5. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 5
Jika 𝑓 punya turunan di titik 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓 kontinu dititik 𝑥 = 𝑐.
Jika 𝑓 tidak kontinu di titik 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓 tidak punya turunan dititik 𝑥 = 𝑐.

6. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 6
Aturan Fungsi Konstan
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 adalah suatu konstanta, maka untuk 𝑥 berapapun, 𝑓′
𝑥 = 0.
Aturan Fungsi Identitas
Jika f x = 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = 1
Aturan Pangkat
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
, dengan 𝑛 bilangan rasional, maka 𝑓′
𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
Aturan Pengali Konstanta
𝑘𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓′ 𝑥 , dengan 𝑘 suatu konstanta
Aturan perkalian
𝑓 ∙ 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥
Aturan Pembagian
𝑓
𝑔
′
𝑥 =
𝑔 𝑥 𝑓′
𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
𝑔2(𝑥)
, 𝑔 𝑥 ≠ 0
2.3 Aturan Untuk Mencari Turunan

7. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 7
Turunan Trigonometri
Fungsi sin 𝑥 dan cos 𝑥 terdiferensialkan di seluruh bilangan real dengan
𝐷𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥
𝐷𝑥 cos 𝑥 = − sin 𝑥
Turunan Trigonometri Lanjutan
Turunan fungsi trigonometri dibawah ini dapat diperoleh dari aturan turunan pada bab
sebelumnya dan memanfaatkan turunan dasar trigonometri
𝐷𝑥 tan 𝑥 = sec2
𝑥
𝐷𝑥 cot 𝑥 = − csc2
𝑥
𝐷𝑥(sec 𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥
𝐷𝑥 csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥
2.4 Turunan Fungsi Trigonometri

8. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 8
Misal, 𝑦 = 𝑓 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔 𝑥 .
𝑓 ∘ 𝑔 ′ 𝑐 = 𝑓′ 𝑔 𝑐 ∙ 𝑔′ 𝑐
Atau
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh :
Diminta untuk mencari turunan dari 𝑥2 + 3𝑥 3
𝑦 = 𝑢3, 𝑢 = 𝑥2 + 3𝑥
Maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥2
+ 3𝑥 2
∙ 2𝑥 + 3
2.5 Aturan Rantai

9. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 9
Turunan Orde 2 dan 3
Turunan kedua dan ketiga dari fungsi 𝑓 di titik 𝑥 berturut-turut ditulis 𝑓′′ 𝑥 dan
𝑓′′′
(𝑥) dimana 𝑓′′
𝑥 didapat dengan menurunkan 𝑓′
𝑥 sebanyak sekali dan
𝑓′′′
(𝑥) didapat dengan menurunkan 𝑓′′
𝑥 sekali lagi.
Turunan Orde Lebih dari 3
Turunan ke 𝑛 dari fungsi 𝑓 dititik 𝑥 ditulis dalam bentuk 𝑓 𝑛
𝑥 .
2.6 Turunan Orde Tinggi

10. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 10
Turunan Implisit 𝒚 terhadap 𝒙.
Misal diberikan fungsi dua variabel 𝑓, 𝑔, dan persamaan kurva
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦
Bisakah kita menentukan turunan 𝑦 terhadap 𝑥 ?
Kita bisa melanjutkannya dengan menganggap 𝑦 sebagai fungsi dari 𝑥 (dengan
kata lain, 𝑦 𝑥 ), dan menurunakan kedua ruas persamaan ini terhadap 𝑥. Ini
disebut sebagai turunan implisit.
2.7 Turunan Implisit

11. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 11
Contoh, misalkan kita diminta untuk menentukan
𝑑𝑦
𝑑𝑥
dari persamaan berikut :
𝑥𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
+ 𝑦2
Kita terapkan aturan perkalian untuk ruas kiri, dan aturan penjumlahan untuk ruas kanan
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2
Karena kita menganggap 𝑦 sebagai fungsi dari 𝑥, kita perlu menerapkan aturan rantai
untuk
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2 .
1 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 2𝑦 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥 − 𝑦
𝑥 − 2𝑦

12. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 12
Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Berkaitan,
Secara umum langkah-langkah yang dapat dilakukan :
1. Buat pemodelan sederhana
2. Tentukan variable dan kaitan antar variable
3. Hitung turunan implisitnya
4. Cari sesuai apa yang ditanya
2.8 Laju Berkaitan

13. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 13
Aproksimasi
Aproksimasi dengan diferensial dilakukan dengan menghampiri Δ𝑦
dengan 𝑑𝑦 = 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
Δy ≈ 𝑑𝑦
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 ≈ 𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 Δx
2.9 Hampiran

14. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 14
Contoh: Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi 4.5 !
Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑥 . Kita diminta untuk
menghampiri 4.5 = 𝑓 4 + 0.5
𝑓 4 + 0.5 ≈ 𝑓 4 + 𝑓′(4) ∙ 0.5
Maka kita perlu mencari tahu dahulu 𝑓′
4 .
𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥
1
2 ⟹ 𝑓′
𝑥 =
1
2 𝑥
𝑓′
4 =
1
2.2
=
1
4
Maka
4.5 ≈ 2 +
1
4
∙ 0.5 = 2.215
Kita bisa gunakan Teknik ini untuk
menghampiri akar bilanagn lain. Misalnya
5 dengan 𝑑𝑥 = 1. Tetapi tentunya hasil
hampiran akan semakin tidak akurat jika 𝑑𝑥
semakin besar.

15. 9/26/23
Informatics Enginnering | Calculus 1C | Rima Aulia Rahayu, S.Si,. M.Si. 15
Tentukan turnan dari fungsi-fungsi berikut :
1. 2𝑥3 + 3𝑥
2. 4𝑥3
+ 𝑥 − 5 𝑥2
+ 2𝑥
3.
𝑥2+1
2𝑥−1