Makalah ini membahas tentang grafik pengendali sifat bagian tak sesuai yang digunakan untuk memantau kualitas produksi. Grafik pengendali dibangun berdasarkan distribusi binomial dan menggunakan batas pengendali atas dan bawah untuk mendeteksi pergeseran proses. Contoh penerapan grafik pengendali untuk memantau kebocoran kotak minuman menunjukkan dua sampel yang keluar dari batas pengendali, mengindikasikan proses tidak ter

1. Tugas Persentase
Pengendalian Mutu
GRAFIK PENGENDALI SIFAT BAGIAN TAK SESUAI
KELOMPOK I
M. RIHALDY UTAMA (H12113322)
IRFAN TAUFIK (H12113025)
ALIMUN MIRZAD (H12113027)
PROGRAM STUDY STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2015

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’ala tuhan semesta alam atas
limpahan rahmat dan hidayahnya, beserta ridhonya sehingga makalah pengendalian
mutu ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Sholawat dan salam semoga
selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad Sallallahu ‘Alaihi Wasallam beserta
para keluarganya dan para sahabatnya.
Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi tugas mata kuliah pengendalian
mutu, makalah ini berisikan tentang grafik pengendali sifat pada pengendalian
mutu.
Keberhasilan makalah ini tidak lepas dari arahan dan bimbingan dari dosen
yang bersangkutan pada mata kuliah pengendalian mutu, beserta teman-teman yang
telah bersedia membantu, mendukung, dan memberikan sumbangsi pendapatnya
sehingga makalah ini terselesaikan.
Penulis menyadari masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan dalam
penulisan makalah ini, untuk itu sangat diharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun demi kesempurnaan makalah ini. Namun demikian, penulis tetap
berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca.
Makassar, 20 Oktober 2015
Penulis

3. DAFTAR ISI
Halaman judul i
Kata Pengantar ii
Daftar Isi iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang 1
B. Rumusan Masalah 1
C. Tujuan 2
BAB II PEMBAHASAN
A. Grafik Pengendali Bagian Tak Sesuai 3
B. Pengembangan Dan Operasi Grafik Pengendali 3
C. Ukuran Sampel Berbeda-Beda 11
D. Fungsi Karakteristik Operasi 16
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan 19

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Banyak karakteristik kualitas tidak dapat dengan mudah dinyatakan secara
numerik. Dalam hal seperti itu, biasanya tiap benda yang diperiksa kita
klasifikasi sebagai sesuai dengan spesifikasi pada karakteristik kualitas itu atau
tidak sesuai dengan spesifikasi. Istilah “cacat” dan “tidak cacat” kadang-kadang
digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi produk ini. Baru-baru ini
istilah “sesuai” dan “tidak sesuai” menjadi populer. Karakteristik kualitas
seperti ini dinamakan sifat (atribut). Beberapa contoh karakteristik kualitas
yang merupakan sifat termasuk terjadinya tangkai penghubung mesin mobil
yang bengkok dalam suatu hari produksi, bagian keping semi konduktor tak
berfungsi dalam satu giliran produksi, dan sebagainya.
Dalam makalah ini, kita sajikan grafik yang berhubungan dengan bagian
produk yang tak sesuai atau cacat yang dproduksi oleh suatu proses produksi
yang dinamakan grafik pengendali untuk bagian tak sesuai , atau grafik p.
B. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan diatas, dapat ditarik
beberapa rumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana cara membuat grafik pengendali sifat bagian tak sesuai ?
2. Bagaimana pengembangan dan operasi grafik pengendali ?
3. Bagaimana grafik pengendali sifat pada ukuran sampel berbeda-beda ?
4. Bagaimana fungsi karakteristik operasi ?

5. C. TUJUAN
1. Mengetahui cara membuat grafik pengendali sifat bagian tak sesuai.
2. Mengetahui pengembangan dan operasi grafik pengendali.
3. Mengetahui grafik pengendali sifat pada ukuran sampel berbeda-beda.
4. Mengetahui fungsi karakteristik operasi.

6. BAB II
PEMBAHASAN
A. GRAFIK PENGENDALI BAGIAN TAK SESUAI
Asas asas statistik yang melandasi grafik pengendali untuk bagian tak
sesuai didasarkan atas distribusi binomial. Misalkan proses produksi bekerja
dalam keadaan stabil, sehingga probabilitas bahwa sesuatu unit akan tidak
sesuai dengan spesifikasi adalah p, dan unit yang diproduksi berturutan adalah
independen. Maka tiap unit yang diproduksi merupakan realisasi suatu variable
random Bernoulli dengan parameter p. Apabila sampel random dengan n unit
produk dipilih, dan D adalah banyak unit produk yang tak sesuai maka D
berdistribusi binomial dengan parameter n dan p, yakni
𝑃{ 𝐷 = 𝑥} = (
𝑛
𝑥
) 𝑝 𝑥(1− 𝑝) 𝑛−𝑥
𝑥 = 0,1,2,3, … , 𝑛 (1)
Kita ketahui bahwa mean dan variansi variable random D masing-asing adalah
np dan np(1 – p).
Bagian tak sesuai sampel didefenisikan sebagai perbandingan banyak unit
tak sesuai dalam sampel D dengan ukuran sampel n; yakni
𝑝̂ =
𝐷
𝑛
(2)
Distribusi variable random 𝑝̂ dapat diperoleh dari distribusi binomial.
Selanjutnya, mean dan variansi 𝑝̂ masing-masing adalah
𝜇 = 𝑝 (3)
Dan
𝜎𝑝
2
=
𝑝(1−𝑝)
𝑛
(4)
B. PENGEMBANGAN DAN OPERASI GRAFIK PENGENDALI
Jika w suatu statistic yang mengukur suatu karakteristik kualitas, dan jika
mean w adalah 𝜇 𝑤 dan variansi w adalah 𝜎 𝑤′
2
maka model umum grafik
pengendali Shewhart adalah sebagai berikut :
𝐵𝑃𝐴 = 𝜇 𝑤 + 𝑘𝜎 𝑤
𝐺𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ = 𝜇 𝑤 (5)
𝐵𝑃𝐵 = 𝜇 𝑤 − 𝑘𝜎 𝑤

7. dengan k adalah jarak batas pengendali dari garis tengah, dalam kelipatan
deviasi standar w. biasanya dipilih 𝑘 = 3.
Andaikan bahwa bagian tak sesuai yang sebenarnya p dalam proses
produksi itu diketahui, atau nilai standar ditentukan oleh manajemen. Maka dari
persamaan (5), garis tengah dan batas pengendali grafik pengendali bagian tak
sesuai adalah
𝐵𝑃𝐴 = 𝑝 + 3√
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
𝐺𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ = 𝑝 (6)
𝐵𝑃𝐵 = 𝑝 − 3√
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
Operasi yang sebenarnya grafik ini akan terdiri dari pengambilan sampel-
sampel dengan n unit berturut-turut, menghitung bagian tak sesuai sampel 𝑝̂,
dan menggambarkan statistic 𝑝̂ pada grafik. Selama 𝑝̂ tetap di dalam batas
pengendali dan deretan titik-titik yang tergambar tidak menunjukkan pola
sistematik atau tak random, kita simpulkan bahwa proses itu terkendali pada
tingkat p. jika suatu titik terletak di luar batas pengendali, atau jika diamati pola
tak random dalam titik-titik tergambar itu, maka kita simpulkan bahwa bagian
tak sesuai proses itu telah bergeser ke tingkat yang baru dan proses itu tak
terkendali.
Apabila bagian tak sesuai proses itu p tidak diketahui, maka p itu harus
ditaksir dari data observasi. Prosedur yang biasa adalah memilih m sampel
pendahuluan, masing-masing berukuran n. sebagai aturan umum, m haruslah 20
atau 25. Maka jika 𝐷𝑖 unit tak sesuai dalam sampel i, kita hitung bagian tak
sesuai dalam sampel ke i itu sebagai
𝑝̂ 𝑖 =
𝐷𝑖
𝑛
𝑖 = 1,2,3, …, 𝑚
dan rata-rata bagian tak sesuai sampel-sampel ini adalah
𝑝̅ =
∑ 𝐷𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑚𝑛
=
∑ 𝑝̂𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑚
(7)
Statistic 𝑝̅ menaksir bagian tak sesuai p yang tidak diketahui. Garis tengah dan
batas pengendali grafik pengendali untuk bagian tak sesuai dihitung sebagai

8. 𝐵𝑃𝐴 = 𝑝̅ + 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
𝐺𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ = 𝑝̅ (8)
𝐵𝑃𝐵 = 𝑝̅ − 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
Kita pandang batas pengendali yang diperoleh dalam (8) sebagai batas
pengendali percobaan. Batas pengendali itu memungkinkan kita untuk
menentukan apakah proses dalam keadaan terkendali ketika m sampel awal
tersebut dipilih.
Jika grafik pengendali didasarkan atas nilai yang diketahui atau nilai standar
untuk bagian tak sesuai p, maka penghitung batas pengendali percobaan
umumnya tidak diperlukan. Tetapi, orang harus hati-hati apabila bekerja dengan
nilai standar p. karena dalam praktek nilai p yang sebenarnya jarang diketahui
dengan pasti, kita biasanya diberi nilai standar p yang merupakan nilai yang
diinginkan atau sasaran untuk bagian tak sesuai proses. Jika demikian halnya,
dan sampel-sampel yang akan datang menunjukkan keadaan tak terkendali, kita
harus menentukan bahwasanya proses itu tak terkendali pada nilai p yang lain.
Contoh 1 :
Sari air jeruk dingin dipak dalam kotak karton 6 ons. Kotak ini dibuat
dengan mesin dengan memintalnya dari bahan karton, dan memasang lembaran
metal pada bagian bawahnya. Dengan pemeriksaan kotak, kita dapat
menentukan apakah kotak bocor (bila diisi) pada lipatan sisi atau atau sekeliling
lipatan bawah. Ketidaksesuaian kotak itu seperti itu mempunyai tanda tak wajar
bak pada lipatan sisi atau lembaran bawah. Kita ingin membuat grafik
pengendali untuk memantau bagian kotak tak sesuai yang dihasilkan dengan
mesin ini.
Untuk membuat grafik pengendali, 30 sampel masing-masing dengan 50
kotak dipilih dalam selang setengah jam meliputi periode tiga giliran waktu
mesin beroperasi terus menerus. Data ditunjukkan dalam Tabel 1.
Kita susun grafik pengendali awal untuk melihat apakah proses terkendali
ketika data ini dikumpulkan, karena 30 sampel memuat ∑ 𝐷𝑖 = 34730
𝑖=1 kotak
tak sesuai, dari persamaan 7 kita peroleh

9. 𝑝̅ =
∑ 𝐷𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑚𝑛
=
347
(30)(50)
= 0,2313
Menggunakan 𝑝̅ sebagai nilai taksiran bagian tak sesuai proses yang
sebenarnya, sekarang kita dapat mengitung batas pengendali atas dan bawah
sebagai
𝑝̅ ± 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,2313 ± 3√
0,2313(0,7687)
50
= 0,2313 ± 3(0,0596)
= 0,2313 ± 0,1789
Tabel 1. Data untuk batas pengendali percobaan, contoh 1.
Nomor Sampel Banyak ketidaksesuaian, 𝐷𝑖 Bagian tak sesuai sampel 𝑝̂ 𝑖
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12
15
8
10
4
7
16
9
14
10
5
6
17
0,24
0,30
0,16
0,20
0,08
0,14
0,32
0,18
0,28
0,20
0,10
0,12
0,34

10. 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
12
22
8
10
5
13
11
20
18
24
15
9
12
7
13
9
6
0,24
0,44
0,16
0,20
0,10
0,26
0,22
0,40
0,36
0,48
0,30
0,18
0,24
0,14
0,26
0,18
0,12
347 𝑝̅ = 0,2313
Dengan demikian
𝐵𝑃𝐴 = 0,2313 + 0,1789 = 0,4102
Dan
𝐵𝑃𝐴 = 0,2313 − 0,1789 = 0,0524
Grafik pengendali dengan garis tengah pada 𝑝̅ = 0,2313 dan batas pengendali
atas dan bahwa seperti di atas ditunjukkan dalam Gambar 1. Bagian tak sesuai

11. sampel dari tiap-tiap sampel awal digambarkan pada grafik ini. Kita catat bahwa
dua titik, dari sampel 15 dan 23, terletak diatas batas pengendali atas, jadi proses
itu tidak terkendali. Titik-titik ini harus diselidiki untuk melihat apakah sebab
terduga dapat ditentukan.
Nomor Sampel
Gambar 1. Grafik pengendali bagian tak sesuai data dalam table 1.
Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa sampel 15 dan 23 keluar dari batas
pengendali atas, akibatnya sampel 15 dan 23 dikeluarkan dan garis tengah
baru dan batas pengendali yang diperbaiki dihitung sebagai
𝑝̅ =
301
(28)(50)
= 0,2150
𝐵𝑃𝐴 = 𝑝̅ + 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,2150 + 3√
0,2150(0,7850)
50
= 0,3893
𝐵𝑃𝐵 = 𝑝̅ − 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,2150 − 3√
0,2150(0,7850)
50
= 0,0407
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bagian Tak Sesuai Sampel BPA BPB
BPT BPAD BPBD
BPTD
Bagiantaksesuaisampel𝑝̂

12. Selama tiga giliran berikutnya setelah penyesuaian mesin dan pengenalan
grafik pengendali, dikumpulkan tambahan 24 sampel masing-masing dengan 50
observasi. Data ini ditunjukkan dalam table 2, dan bagian tak sesuai sampel
digambarkan pada grafik pengendali gambar 2.
Dari pengamatan gambar 2, kesan kita yang segera timbul adalah bahwa
proses itu sekarang bekerja pada tingkat kualitas baru yang jauh lebih rendah
dari garis tengah 𝑝̅ = 0,2150. Satu titik, dari sampel 11, di bawah batas
pengendali bawah. Tidak ada sebab terduga bagi isyarat tak terkendali ini dapat
ditemukan.
Kita dapat menguji hipotesis bahwa bagian tak sesuai proses dalam periode
tiga giliran sekarang ini berbeda dengan bagian tak sesuai proses dalam data
pendahuluan. Hipotesis itu adalah
𝐻0: 𝑝1 = 𝑝2
𝐻1: 𝑝1 > 𝑝2
Tabel 2. Data kotak sari air jeruk dalam sampel berukuran n = 50
Nomor Sampel Banyak kaleng tidak
sesuai, 𝐷𝑖
Bagian tak sesuai
Sampel, 𝑝̂ 𝑖
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
6
12
5
6
4
5
3
7
6
0.18
0.12
0.24
0.10
0.12
0.08
0.10
0.06
0.14
0.12

13. 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2
4
3
6
5
4
8
5
6
7
5
6
3
4
0.04
0.08
0.06
0.12
0.10
0.08
0.16
0.10
0.12
0.14
0.10
0.12
0.06
0.18
133 𝑝̅ = 0.1108
Dengan 𝑝1 adalah bagian tak sesuai dari data pendahuluan dan 𝑝2 bagian tak
sesuai proses dalam periode sekarang. 𝑝1 dapat kita taksir dengan 𝑝̂1 = 𝑝 =
0,2150 dan 𝑝2 dengan
𝑝̅ =
∑ 𝐷𝑖
𝑚
𝑖=1
(24)(50)
=
133
1200
= 0,1108
Statistic penguji untuk hipotesis di atas adalah
𝑍0 =
𝑝̂1 − 𝑝̂2
√𝑝̂(1 − 𝑝̂) (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)

14. Gambar 2. Grafik pengendali bagian tak sesuai.
Di mana
𝑝̂ =
𝑛1 𝑝̂1 + 𝑛2 𝑝̂2
𝑛1 + 𝑛2
Dalam contoh, kita dapatkan
𝑝̂ =
(1400)(0.2150)+ (1200)(0.1108)
1400 + 1200
= 0.1669
𝑍0 =
0.2150 − 0.1108
√(0.1669)(0.8331)(
1
1400
+
1
1200
)
= 7.22
Membandingkan ini dengan titik 0.05 atas distribusi normal standar, kita
peroleh 𝑍0 > 𝑍0.05. kesimpulannya, kita menolak 𝐻0 dan menyimpulkan telah
ada penurunan yang signifikan dalam ketidaksesuaian proses.
C. UKURAN SAMPEL BERBEDA-BEDA
Karena dalam tiap periode dapat diproduksi banyak unit yang berbeda,
maka grafik pengendali itu akan mempunyai ukuran sampel yang berbeda-beda.
Ada beberapa pendekatan dalam pembentukan dan pengoperasian grafik
pengendali dengan ukuran sampel berbeda-beda.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Bagian Tak Sesuai Sampel BPT BPA BPB

15. Pendekatan pertama, dan mungkin yang paling sederhana adalah
menentukan batas pengendali untuk tiap-tiap sampel yang didasarkan atas
ukuran sampel tertentu. Yakni, jika sampel ke i berukuran 𝑛𝑖, maka batas atas
dan bawahnya adalah 𝑝 ± 3√
𝑝(1−𝑝)
𝑛𝑖
. Perhatikan bahwa lebar batas pengendali
berbanding terbalik dengan ukuran sampel. Untuk melukiskan pendekatan ini,
pandang table 4. Untuk 25 sampel itu, kita hitung
𝑝̅ =
∑ 𝐷𝑖
25
𝑖=1
∑ 𝑛𝑖
25
𝑖=1
=
234
2450
= 0,096
Maka, garis tengah pada 0.096 dan batas pengendali
𝐵𝑃𝐴 = 𝑝̅ + 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,096 + 3√
0.096(0.904)
𝑛𝑖
𝐵𝑃𝐵 = 𝑝̅ − 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,096 − 3√
0.096(0.904)
𝑛𝑖
Dengan 𝜎̂ 𝑝̂ adalah taksiran deviasi standar bagian tak sesuai sampel 𝑝̂.
Perhitungan untuk menentukan batas pengendali disajikan dalam tiga kolom
terakhir table 4. Grafik pengendali itu dilukiskan dalam gambar 4.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Bagian Tak Sesuai Sampel BPB BPA BPT

16. Tabel 4. Data untuk grafik pengendali bagian tak sesuai dengan ukuran sampel berbeda-beda.
Nomor
Sampel, i
Ukuran Sampel
𝑛𝑖
Banyak keti-
daksesuaian,
𝐷𝑖
Bagian Tak Se-
suai sampel,
𝑝̂ = 𝐷𝑖 𝑛𝑖⁄
Deviasi Standar
𝜎̂ 𝑝̂ = √
0.096(0.904)
𝑛𝑖
Batas Pengendali
BPB BPA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
100
80
80
100
110
110
100
100
90
90
110
120
120
120
110
80
80
80
90
100
100
100
100
90
90
12
8
6
9
10
12
11
16
10
6
20
15
9
8
6
8
10
7
5
8
5
8
10
6
9
0.120
0.100
0.075
0.090
0.091
0.109
0.110
0.160
0.110
0.067
0.182
0.125
0.075
0.067
0.055
0.100
0.125
0.088
0.056
0.080
0.050
0.080
0.100
0.067
0.100
0.029
0.033
0.033
0.029
0.028
0.028
0.029
0.029
0.031
0.031
0.028
0.027
0.027
0.027
0.028
0.033
0.033
0.033
0.031
0.029
0.029
0.029
0.029
0.031
0.031
0.009
0
0
0.009
0.012
0.012
0.009
0.009
0.003
0.003
0.012
0.015
0.015
0.015
0.012
0
0
0
0.003
0.009
0.009
0.009
0.009
0.003
0.003
0.183
0.195
0.195
0.183
0.180
0.180
0.183
0.183
0.189
0.189
0.180
0.177
0.177
0.177
0.180
0.195
0.195
0.195
0.189
0.183
0.183
0.183
0.183
0.189
0.189
2450 234 0.096

17. Pendekatan kedua adalah mendasarkan grafik pengendali pada ukuran
sampel rata-rata yang menghasilkan himpunan batas pengendali pendekatan. Ini
menganggap bahwa ukuran sampel yang akan dating tidak akan besar bedanya
dari yang diamati sebelumnya.
Untuk data table 4, kita peroleh sampel rata-rata adalah
𝑛̅ =
∑ 𝑛𝑖
25
𝑖=1
25
=
2450
25
= 98
Maka batas atas pengendali pendekatan adalah
𝐵𝑃𝐴 = 𝑝̅ + 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,096 + 3√
0.096(0.904)
98
= 0.185
𝐵𝑃𝐵 = 𝑝̅ − 3√
𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛
= 0,096 − 3√
0.096(0.904)
98
= 0.007
Grafik pengendali hasilnya ditunjukkan dalam gambar 5.
Gambar 5. Grafik pengendali bagian tak sesuai berdasarkan ukuran sampel rata-rata
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Bagian Tak Sesuai Sampel BPA BPB

18. Nomor
Sampel, i
Ukuran Sampel
𝑛𝑖
Banyak keti-
daksesuaian,
𝐷𝑖
Bagian Tak Se-
suai sampel,
𝑝̂ = 𝐷𝑖 𝑛𝑖⁄
Deviasi Standar
𝜎̂ 𝑝̂ = √
0.096(0.904)
𝑛𝑖
𝑍0 =
𝑝̂ − 𝑝̅
√0.096(0.904)
𝑛𝑖
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
100
80
80
100
110
110
100
100
90
90
110
120
120
120
110
80
80
80
90
100
100
100
100
90
90
12
8
6
9
10
12
11
16
10
6
20
15
9
8
6
8
10
7
5
8
5
8
10
6
9
0.120
0.100
0.075
0.090
0.091
0.109
0.110
0.160
0.110
0.067
0.182
0.125
0.075
0.067
0.055
0.100
0.125
0.088
0.056
0.080
0.050
0.080
0.100
0.067
0.100
0.029
0.033
0.033
0.029
0.028
0.028
0.029
0.029
0.031
0.031
0.028
0.027
0.027
0.027
0.028
0.033
0.033
0.033
0.031
0.029
0.029
0.029
0.029
0.031
0.031
0.83
0.12
-0.64
-0.21
-0.18
0.46
0.48
2.21
0.45
-0.94
3.07
1.07
-0.78
-1.07
-1.46
0.12
0.88
-0.24
-1.29
-0.55
-1.59
-0.55
0.14
-0.94
0.13
Tabel 5. Penghitungan grafik pengendali terstandar dalam gambar 6.

19. Gambar 6. Grafik Pengendali bagian tak sesuai terstandarisasi
Satu penyelesaian untuk suatu masalah adalah dengan menggunakan grafik
pengendali “terstandar”, dengan titik-titik digambarkan dalam unit deviasi
standar. Grafik pengendali seperti itu mempunyai garis tengah pada nol, serta
batas pengendali atas dan bawah masing-masing +3 dan -3. Variable yang
digambarkan dalam grafik adalah
𝑍𝑖 =
𝑝̂ 𝑖 − 𝑝
√
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝑖
Dengan p (atau 𝑝̂ jika nilai standar tidak diberikan) adalah bagian tak sesuai
proses dalam keadaan terkendali. Grafik pengendali terstandar untuk data table
4 ditunjukkan dalam gambar 6. Penghitungan yang berkaitan dengan grafik
pengendali ini ditunjukkan dalam table 5.
D. FUNGSI KARAKTERISTIK OPERASI
Fungsi karakteristik operasi (atau KO) grafik pengendali bagian tak sesuai
adalah penyajian grafis probabilitas menerima secara salah hipotesis keadaan
terkendali statistic (yakni kesalahan tipe II atau β) terhadap bagian tak sesuai
proses. Kurva KO memberikan ukuran kepekaan grafik pengendali; yakni,
kemampuannya menyidik suatu pergesaran dalam bagian tak sesuai proses dari
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Zi BPA BPB

20. nilai nominal 𝑝̅ ke suatu nilai lain p. probabilitas, kesalahan tipe II untuk grafik
pengendali bagian tak sesuai dapat dihitung dari
𝛽 = 𝑃[ 𝑝̂ < 𝐵𝑃𝐴|𝑝] − 𝑃[ 𝑝̂ ≤ 𝐵𝑃𝐵|𝑝]
= 𝑃[ 𝐷 < 𝑛𝐵𝑃𝐴|𝑝] − 𝑃[ 𝐷 ≤ 𝑛𝐵𝑃𝐵|𝑝] (9)
p P [ D ≤ 18 | p ] P [ D ≤ 2 |p ] Β = P [ D < 2 | p ] – P[ D ≤ 2 | p ]
0.01
0.03
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.9999
0.9975
0.9713
0.8594
0.6216
0.3356
0.1273
0.0325
0.0053
0.9862
0.8108
0.5405
0.1117
0.0142
0.0013
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0138
0.1892
0.4595
0.8883
0.9857
0.9962
0.9712
0.8594
0.6216
0.3356
0.1273
0.0325
0.0053
Tabel 6. Penghitungan bagi penyusunan kurva KO grafik pengendali bagian
tak sesuai dengan n = 50, BPB = 0.0303 dan BPA = 0.3697
Karena D variable random binomial dengan parameter n dan p, kesalahan
yang didefenisiskan dalam (9) dapat diperoleh dari distribusi binomial
kumulatif.
Menggunakan parameter pada table 6, persamaan (9) menjadi
𝛽 = 𝑃[ 𝐷 < (50)(0.3697)|𝑝] − 𝑃[ 𝐷 ≤ (50)(0.0303)|𝑝]
= 𝑃[ 𝐷 < 18.49|𝑝] − 𝑃[ 𝐷 ≤ 1.52|𝑝]
Tetapi, karena D harus merupakan bilangan bulat maka kita peroleh
𝛽 = 𝑃[ 𝐷 < 18|𝑝] − 𝑃[ 𝐷 ≤ 2|𝑝]
Kurva KO dilukiskan dalam gambar 7.

21. Gambar 7. Kurva karakteristik operasi grafik pengendali bagian tak sesuai.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.01 0.03 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55
B Series 2 Series 3

22. BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1. Asas asas statistik yang melandasi grafik pengendali untuk bagian tak sesuai
didasarkan atas distribusi binomial. Misalkan proses produksi bekerja dalam
keadaan stabil, sehingga probabilitas bahwa sesuatu unit akan tidak sesuai
dengan spesifikasi adalah p, dan unit yang diproduksi berturutan adalah
independen.
2. Operasi yang sebenarnya grafik pengendali tak sesuai sampel akan terdiri dari
pengambilan sampel-sampel dengan n unit berturut-turut, menghitung bagian
tak sesuai sampel 𝑝̂, dan menggambarkan statistic 𝑝̂ pada grafik. Selama 𝑝̂
tetap di dalam batas pengendali dan deretan titik-titik yang tergambar tidak
menunjukkan pola sistematik atau tak random, kita simpulkan bahwa proses
itu terkendali pada tingkat p. jika suatu titik terletak di luar batas pengendali,
atau jika diamati pola tak random dalam titik-titik tergambar itu, maka kita
simpulkan bahwa bagian tak sesuai proses itu telah bergeser ke tingkat yang
baru dan proses itu tak terkendali.
3. Dalam tiap periode dapat diproduksi banyak unit yang berbeda, maka grafik
pengendali itu akan mempunyai ukuran sampel yang berbeda-beda. Ada
beberapa pendekatan dalam pembentukan dan pengoperasian grafik
pengendali dengan ukuran sampel berbeda-beda.
4. Fungsi karakteristik operasi (atau KO) grafik pengendali bagian tak sesuai
adalah penyajian grafis probabilitas menerima secara salah hipotesis keadaan
terkendali statistic (yakni kesalahan tipe II atau β) terhadap bagian tak sesuai
proses.