Matrix vector

1. Vektor di Bidang dan
di Ruang
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG
VEKTOR
TIM DOSEN
4

2. Sub Pokok Bahasan
• Notasi dan Operasi Vektor
• Perkalian titik
• Perkalian silang
Beberapa Aplikasi
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada Proses Kompresi
• Least Square pada Optimisasi
• dan lain-lain.
2 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Vektor di Bidang dan Ruang

3. • Vektor adalah besaran yang mempunyai arah
• Notasi Vektor
𝑐
റ
=
𝑐1
𝑐2
𝑐3
= 𝑐1𝑖Ƹ + 𝑐2𝑗Ƹ + 𝑐
3
𝑘
෠
• Notasi Panjang Vektor
𝑐
റ = 𝑐2 + 𝑐2 + 𝑐2
1 2 3
• Vektor Satuan adalah vektor dengan panjang atau norm sama
dengan satu
3 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Notasi Vektor

4. • Operasi Vektor meliputi:
A. Penjumlahan antar
ruang yang sama)
4 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Vektor (Vektor-vektor yang berasal dari
B. Perkalian Vektor
i. Vektor dengan scalar
ii. Vektor dengan vektor
a. Hasil Kali Titik (Dot Product)
b. Hasil Kali Silang (Cross Product)
Operasi Vektor

5. A. Penjumlahan antar Vektor
Misalkan 𝑢 dan 𝑣
റadalah vektor-vektor yang berada diruang yang
sama. vektor 𝑢+𝑣
റ
didefiniskan
Operasi Vektor_Penjumlahan antar Vektor
𝒖
Contoh:
Misalkan 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) dan 𝑣
റ
= (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) maka
𝑢 + 𝑣
റ
= (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, 𝑢3 + 𝑣3)
5 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

6. i. Vektor dengan scalar
Perkalian vektor 𝑢 dengan scalar 𝑘, (𝑘 𝑢) didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya 𝑘 kali panjang vektor 𝑢 dengan arah:
- Searah dengan 𝑢, jika 𝑘 > 0
- Berlawanan arah dengan 𝑢, jika 𝑘 < 0
Contoh:
Misalkan 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) dan 𝑣
റ= (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) maka
1. 𝑢 − 𝑣
റ
= (𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2, 𝑢3 − 𝑣3)
2. 𝑘𝑢 = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, 𝑘𝑢3)
Operasi Vektor_Perkalian Vektor dengan Skalar
𝒖
𝟐𝒖
-𝒖
6 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

7. ii. Vektor dengan vektor
a. Hasilkali Titik (Dot Product)
Hasilkali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada
ruang yang sama. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah
skalar.
Misalkan 𝑢 dan 𝑣
റ adalah vektor pada ruang yang sama, Maka
hasil kali titik antara 2 vektor tersebut adalah:
𝑢 ∙ 𝑣
റ
= 𝑢 𝑣
റ cos 𝛼
dimana
𝑢 : panjang 𝑢
𝑣
റ : panjang 𝑣
റ
𝛼 : sudut antara keduanya
7 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)

8. Contoh:
T
entukan hasil kali titik dari dua vektor 𝑎
റ
= 2𝑖Ƹ dan 𝑏 = 2𝑖Ƹ + 2
𝑗
Jawab:
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_2
𝑥
Karena tan 𝛼 = 1 ; artinya 𝛼 = 45
𝑎
റ
∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos𝛼
1
= 2 8
2
= 4
8 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
𝑦

9. Ingat aturan cosinus
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼
Perhatikan
2
𝑏 − 𝑎
റ = 𝑎
റ 2 +
2
𝑏 − 2 𝑎
റ 𝑏 cos 𝛼
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_3
a
c
b


𝑏
𝑎
റ
𝑎
റ
𝑏
𝑏 − 𝑎
റ
−𝑏
9 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

10. Selanjutnya dapat ditulis
𝑎
റ 𝑏
2
1
cos 𝛼 = 𝑎
റ2 +
2 2
𝑏 − 𝑏 − 𝑎
റ
Ingat bahwa:
1. 𝑎
റ∙ 𝑏 = 𝑎
റ 𝑏 cos 𝛼
2. ‖𝑎
റ
‖2 = 𝑎2 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎2
1 2 𝑛
3. ‖𝑏 ‖2 = 𝑏2 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏2
1 2 𝑛
4. 𝑏 − 𝑎
റ
2
= 𝑏1 − 𝑎1
2 + 𝑏2 − 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛
2
1 2 𝑛 1 2 𝑛 1 1 2 2
= 𝑏2 + 𝑏2 + … + 𝑏2 + 𝑎2 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎2 − 2𝑏 𝑎 − 2𝑏 𝑎 − ⋯ − 2𝑏 𝑎
𝑛 𝑛
𝑎
റ∙ 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_4
10 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

11. Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan:
𝑎
റ∙ 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh
sebelumnya, maka
𝑎
റ∙ 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2
= 2(2) + 0(2)
= 4
Beberapa sifat hasilkali titik:
1. 𝑎
റ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
റ
2. 𝑎
റ∙ 𝑏 + 𝑐
റ = 𝑎
റ∙ 𝑏 + (𝑎
റ∙ 𝑐
റ
)
3. 𝑘 𝑎
റ∙ 𝑏 = 𝑘𝑎
റ∙ 𝑏=𝑎
റ∙ 𝑘𝑏, dimana 𝑘 ∈ 𝑅
11 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_5

12. 𝑎
റ
= 𝑤 + 𝑐
റ
↔ 𝑎
റ∙ 𝑏 = (𝑤 + 𝑐
റ
) ∙ 𝑏
= 𝑤 ∙ 𝑏 + 𝑐
റ
∙ 𝑏
= 𝑘 𝑏 ∙ 𝑏
= 𝑘 𝑏
2
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_6
Karena
𝑎
റ∙ 𝑏
↔ 𝑘 =
𝑏
2
Sehingga dapat disimpulkan
𝑏
𝑏
2
𝑃𝑟𝑜𝑗 𝑎
റ
= 𝑐
റ
= 𝑎 ∙𝑏
𝑏
𝑎
റ
𝑤
𝑏
𝑐
റ
= 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎
റ
Terlihat bahwa
𝑏
𝑃𝑟𝑜𝑗 𝑎
റ
= 𝑐
റ
=𝑘𝑏
12 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

13. Tentukan proyeksi orthogonal vektor 𝑢 =
Contoh:
−2 1
−4 terhadap vektor 𝑣
റ= 3
3 −4
Jawab:
𝑣
𝑃𝑟𝑜𝑗 𝑢 =
𝑣 2
𝑢∙𝑣
𝑣
റ
−2 1
−4 ∙ 3
= 3 −4
12+32+ −4 2
1
3
−4
= −2+ −12 +(−12)
1
3
= − 26
26
26
−4
1 −1
3 = −3
−4 4
13 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_7

14. ℝ𝟑
vektor di yang tegak lurus terhadap kedua vektor
lainnya.
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_1
b. Hasilkali silang (Cross Product)
Hasilkali silang merupakan operasi antara dua buah vektor
pada ruang ℝ3. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah
𝑐
റ
= 𝑎
റ
× 𝑏 =
𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘
෠
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑎2 𝑎3
= 𝑏2 𝑏3 𝑏1
𝑎1 𝑎3
𝑖Ƹ − 𝑏3 𝑏!
14 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
𝑎1 𝑎2
𝑗Ƹ + 𝑏2
𝑘
෠

15. Contoh:
T
entukan 𝑤 = 𝑢 × 𝑣
റ
dimana 𝑢 =
Jawab:
1,2, −2 , 𝑣
റ
= 3,0,1
𝑤 = 𝑢 × 𝑣
റ
=
𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘
෠
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
=
𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘
෠
1 2 −2
3 0 1
= 2.1 − 0 −2 𝑖Ƹ+(3(-2)-1(1)) 𝑗Ƹ+(1(0)-
3(2)) 𝑘
෠
= 2𝑖Ƹ − 7𝑗Ƹ − 6
𝑘
෠
15 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_2

16. a. 𝑢 ∙ 𝑢 × 𝑣
റ = 0
b. 𝑣
റ
∙ 𝑢 × 𝑣
റ = 0
c. 𝑢 × 𝑣
റ 𝑢 𝑣
റ
2 = 2 2 −
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_3
Beberapa sifat Cross Product:
𝑢 ∙ 𝑣
റ 2
Dari sifat ke-3 diperoleh
𝑢 × 𝑣
റ 2
2
cos 𝛼 2
2 2 −
2 2 −
2 2 −
2 2 − 2
𝑢 ∙ 𝑣
റ
𝑢 ∙ 𝑣
റ
𝑢 𝑣
റ
𝑢 𝑣
റ2 cos2 𝛼
2 2
1 + cos2 𝛼
2
2 = 𝑢 𝑣
റ
= 𝑢 𝑣
റ
= 𝑢 𝑣
റ
= 𝑢 𝑣
റ
= 𝑢 𝑣
റ
= 𝑢 𝑣
റ
Jadi 𝑢 × 𝑣
റ = 𝑢
2 sin2 𝛼
𝑣
റ sin 𝛼
16 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

17. Luas Jajar Genjang= 𝑢 × 𝑣
റ = 𝑢 𝑣
റ sin 𝛼
Luas Segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
1
2
𝑢 × 𝑣
റ
𝑢 𝑢
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_4
Perhatikan Ilustrasi berikut:
𝑣
റ
𝑣
റ sin 𝛼
𝛼
17 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

18. Diketahui titik-titik diruang adalah
𝐴 = 1, −1, −2
𝐵 = 4,1,0
𝐶 = (2,3,3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC!
Jawab:
Orientasi pada titik A
1. 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 4,1,0 - 1,−1, −2 =(3,2,2)
2. 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (2,3,3) - 1, −1, −2 =(1,4,5)
𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘
෠
3 2 2
1 4 5
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = = 2𝑖Ƹ − 13𝑗Ƹ + 1
0
𝑘
෠
Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang berimpit di 𝐴 adalah
Luas= 1
4 + 169 + 100 = 1
273
2 2
18 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_5

19. Orientasi pada titik B
1. 𝐵𝐴 = 𝐴 − 𝐵 = 1, −1, −2 − 4,1,0 =(-3,-2,-2)
2. 𝐵𝐶 = 𝐶 − 𝐵 = (2,3,3) - 4,1,0 =(-2,2,3)
𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘
෠
𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = − 3 −2 −2
−2 2 3
= -2𝑖Ƹ + 13𝑗Ƹ − 1
0
𝑘
෠
Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang berimpit di 𝐴 adalah
Luas= 1
4 + 169 + 100 = 1
273
2 2
19 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_6

20. 1. T
entukan cosα sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut:
a) 𝑢 = dan 𝑣
റ
=
6
−8
b) 𝑢 =
1
2
1
−3
7
dan 𝑣
റ
=
8
−2
−2
2. Tentukan proyeksi orthogonal vektor terhadap vektor dan tentukan
panjang vektor proyeksi tersebut:
a) 𝑢 = dan 𝑣
റ
=
−3
2
2
1
2
−1
3
b) 𝑢 = dan 𝑣
റ
=
1
2
2
𝑢 =
3. Tentukan 2 buah vektor satuan di bidang yang tegak lurus terhadap
3
20 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
−2
LATIHAN

21. 4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
−7 2
𝑢 = 3 dan 𝑣
റ= 0
1 4
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut 𝑃 2,0, −3 , 𝑄(1,4,5) dan
𝑅(7,2,9)
21 3/1/2017
LATIHAN_2

22. THANK YOU