An Introductory PDF File to Managerial Economics in AR.

1. ‫االدارى‬ ‫االقتصاد‬
‫مقدمة‬
-‫االقتصاد‬ ‫علم‬ ‫ماهية‬
-‫واختيار‬ ‫ندرة‬ ‫مشكلة‬ ‫االقتصادية‬ ‫المشكلة‬
-‫اإلدارة‬ ‫علم‬ ‫ماهية‬
-‫واالقتصاد‬ ‫وعلومه‬ ‫االقتصاد‬‫اإلداري‬‫واتخاذ‬‫القرارات‬
-‫اإلداري‬ ‫االقتصاد‬ ‫علم‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫الهدف‬

2. ‫ماهية‬‫االقتصاد‬ ‫علم‬
‫ذلك‬ ‫بأنه‬ ‫االقتصاد‬ ‫علم‬ ‫تعريف‬ ‫يمكن‬‫العلوم‬ ‫من‬ ‫الفرع‬‫االجتماعية‬‫يبحث‬ ‫الذي‬‫ف‬‫كيفية‬ ‫ي‬
‫وغير‬ ‫متعددة‬ ‫إنسانية‬ ‫حاجات‬ ‫إشباع‬ ‫في‬ ‫المحدودة‬ ‫الموارد‬ ‫استخدام‬‫محدودة‬.
‫هما‬ ‫هامتين‬ ‫حقيقتين‬ ‫التعريف‬ ‫يوضح‬:
١-‫محدودة‬ ‫غير‬ ‫و‬ ‫متعددة‬ ‫إشباعها‬ ‫المراد‬ ‫اإلنسانية‬ ‫الحاجات‬ ‫إن‬.
٢-‫محدودة‬ ‫اإلنسانية‬ ‫الحاجات‬ ‫إلشباع‬ ‫المتاحة‬ ‫الموارد‬ ‫إن‬.
‫ع‬ ‫دراسة‬ ‫كانت‬ ‫لما‬ ‫ولوالهما‬ ،‫االقتصادية‬ ‫المشكلة‬ ‫أساس‬ ‫هما‬ ‫الحقيقتان‬ ‫وهاتان‬‫لم‬
‫االقتصاد‬‫أهمية‬ ‫ذات‬‫االقتصاد‬ ‫علم‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫جدوى‬ ‫هناك‬ ‫كانت‬ ‫لما‬ ‫بل‬ ،‫كبرى‬.

3. ‫اختيار‬ ‫ومشكلة‬ ‫ندرة‬ ‫مشكلة‬ ‫االقتصادية‬ ‫المشكلة‬:
‫يقصد‬‫بالندرة‬‫هنا‬‫الندرة‬‫النسبية‬‫وليست‬‫الندرة‬‫المطلقة‬‫فالموارد‬‫متوف‬‫رة‬‫و‬‫ليست‬
‫نادرة‬،‫الوجود‬‫ولكن‬‫ا‬ً‫نظر‬‫لزيادة‬‫الحاجات‬(‫نتيجة‬‫التطور‬‫ونتيجة‬‫زيادة‬‫عد‬‫د‬
‫السكان‬)‫فإن‬‫هذه‬‫الموارد‬‫تصبح‬‫نادرة‬‫بالنسبة‬‫للحاجة‬‫إليها‬.
‫كما‬‫وأن‬‫تزايد‬‫الحاجات‬‫و‬‫تعددها‬‫مع‬‫محدودية‬‫الموارد‬‫يضع‬‫ًا‬‫د‬‫حدو‬‫أمام‬‫ما‬‫يمكن‬
‫للفرد‬‫الحصول‬‫عليه‬‫من‬‫سلع‬‫و‬‫خدمات‬‫مما‬‫يجعل‬‫عملية‬‫االختيار‬‫ا‬ً‫أمر‬‫ال‬‫مف‬‫ر‬‫منه‬.
‫وربما‬‫يالحظ‬‫الفرد‬‫أنه‬‫يتعرض‬‫لمشكلة‬‫االختيار‬‫أكثر‬‫من‬،‫مرة‬‫بل‬‫و‬‫باست‬‫مرار‬‫و‬‫في‬
‫مختلف‬‫نواحي‬‫حياته‬‫اليومية‬.‫فإذا‬‫واجهت‬‫الفرد‬‫مشكلة‬،‫االختيار‬‫وتمكن‬‫من‬‫اختيا‬‫ر‬
‫أحد‬‫البدائل‬‫المتاحة‬،‫فقد‬‫اتخذ‬‫ا‬ً‫قرار‬‫ا‬ً‫ي‬‫اقتصاد‬.

4. ‫اختيار‬ ‫ومشكلة‬ ‫ندرة‬ ‫مشكلة‬ ‫االقتصادية‬ ‫المشكلة‬:
‫في‬‫أي‬‫وحدة‬‫اقتصادية‬‫سواء‬‫كانت‬‫منشأة‬‫أو‬‫مؤسسة‬‫وفي‬‫أي‬‫مجتمع‬‫اقتصادي‬‫وبغ‬‫ض‬
‫النظر‬‫عن‬‫نمط‬‫نظامه‬‫االقتصادي‬،‫والسياسي‬‫تظهر‬‫المشكلة‬‫االقتصادية‬‫بتعدد‬‫أ‬‫وجهها‬
‫وعمق‬‫أبعادها‬‫والتي‬‫تخلق‬‫بحد‬‫ذاتها‬‫مشكلة‬"‫المفاضلة‬"‫التي‬‫تتطلب‬‫بالضرو‬‫رة‬‫دراسة‬
‫البدائل‬‫المختلفة‬‫المتنافسة‬‫و‬"‫اختيار‬"‫أفضل‬‫الحلول‬،‫لها‬‫وبهذا‬‫المعنى‬‫تصب‬‫ح‬‫المشكلة‬
‫االقتصادية‬‫ركيزة‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫وعلم‬‫اإلدارة‬‫ا‬ً‫ع‬‫م‬.

5. ‫اإلدارة‬ ‫ماهية‬
‫اإلدارة‬Management‫هي‬‫ذلك‬‫النشاط‬‫اإلنساني‬‫المختص‬‫بتوظيف‬‫الموارد‬‫المادية‬
‫والبشرية‬‫والمعنوية‬،‫المتاحة‬‫والعمل‬‫على‬‫تنميتها‬‫والحفاظ‬‫عليها‬‫من‬‫أجل‬‫تحقي‬‫ق‬‫األهداف‬
‫التي‬‫يرغبها‬‫المجتمع‬‫مع‬‫اآلخذ‬‫في‬‫االعتبار‬‫بالظروف‬‫المحيطة‬.
‫فالمهمة‬‫األساسية‬‫لإلدارة‬‫تتجلى‬‫في‬‫تحقيق‬‫األهداف‬‫التي‬‫تسعى‬‫إليها‬‫المنظمة‬‫م‬‫ن‬‫خالل‬
‫مباشرتها‬‫لألنشطة‬‫المختلفة‬‫مستخدمة‬‫الموارد‬‫المتاحة‬‫وذلك‬‫من‬‫خالل‬‫اربع‬‫عمليات‬
‫أساسية‬(‫التخطيط‬–‫التنظيم‬–‫التوجيه‬–‫الرقابة‬).
‫واإلدارة‬‫المتفوقة‬‫هي‬‫تلك‬‫التي‬‫تحسن‬‫اختيار‬‫أهدافها‬‫من‬‫خالل‬‫الدراسة‬‫الواعية‬‫وال‬‫متابعة‬
‫اليقظة‬‫للمناخ‬،‫المحيط‬‫والتي‬‫تستطيع‬‫تحقيق‬‫هذه‬‫األهداف‬‫باالستثمار‬‫األمثل‬‫للفرص‬
‫المتاحة‬(‫المحتملة‬)‫والتشغيل‬‫األمثل‬‫للموارد‬‫المتاحة‬(‫المحتملة‬)‫والمحافظة‬‫علي‬‫ها‬‫وتنميتها‬
‫باستمرار‬‫مع‬‫التعامل‬‫الكفء‬‫مع‬‫القيود‬،‫والمعوقات‬‫كما‬‫تسعى‬‫للمواجهة‬‫الفعالة‬‫ل‬‫لمنافسة‬
‫ومحاولة‬‫التميز‬‫والوصول‬‫إلى‬‫ارضاء‬‫العمالء‬‫بشكل‬‫أكفأ‬‫من‬‫منافسيها‬(‫الكفاءة‬‫و‬‫الفاعلية‬).

6. ‫القرار‬ ‫واتخاذ‬ ‫االدارى‬ ‫واالقتصاد‬ ‫وعلومه‬ ‫االقتصاد‬‫ات‬
‫مصطلح‬‫االقتصاد‬‫اإلداري‬‫يتكون‬‫من‬‫كلمتين‬‫اوالهما‬‫االقتصاد‬‫وهو‬‫تصرف‬‫الناس‬‫فى‬
‫كيفية‬‫االنتاج‬‫والتوزيع‬‫واالستهالك‬‫للخدمات‬‫والمواد‬‫والبضائع‬.‫والكلمة‬‫الثان‬‫ية‬‫االدارة‬
‫وهى‬‫علم‬‫تنظيم‬‫وتخصيص‬‫موارد‬‫المؤسسة‬‫إلدراك‬‫اهداف‬‫المؤسسة‬‫المنشودة‬.
‫وعليه‬‫يمكن‬‫تعريف‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫اإلداري‬‫على‬‫إنه‬‫ذلك‬‫الفرع‬‫من‬‫العلوم‬‫االقتص‬‫ادية‬
‫االجتماعية‬‫الذى‬‫يسعى‬‫لالستفادة‬‫من‬‫النظرية‬‫االقتصادية‬‫وأساليب‬‫التحليل‬‫ا‬‫القتصادى‬
‫متمثال‬‫في‬‫أدوات‬‫اتخاذ‬،‫القرار‬‫وذلك‬‫التخاذ‬‫القرارات‬‫اإلدارية‬‫المتعلقة‬‫بالمشكال‬‫ت‬
‫التسويقية‬‫والتسعيرية‬‫واإلنتاجية‬‫والمالية‬‫التي‬‫تواجه‬‫المنظمة‬‫اإلدارية‬‫من‬‫خال‬‫ل‬‫الظروف‬
‫المحيطة‬‫بها‬‫والتي‬‫تمس‬‫في‬‫جوهرها‬‫كيفية‬‫تحقيق‬‫التخصيص‬‫الكفء‬(‫األمثل‬)‫للموارد‬
‫المحدودة‬‫على‬‫االستخدامات‬‫البديلة‬،‫والمتنافسة‬‫وهذا‬‫الهدف‬‫األخير‬‫يمس‬‫في‬‫جوهر‬‫ه‬
‫أساس‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫والمشكلة‬‫االقتصادية‬.

7. ‫القرار‬ ‫واتخاذ‬ ‫االدارى‬ ‫واالقتصاد‬ ‫وعلومه‬ ‫االقتصاد‬‫ات‬
‫إن‬‫كون‬‫االقتصاد‬‫علم‬‫اجتماعي‬‫يفسر‬‫ويشرح‬‫سلوك‬‫اإلنسان‬‫وهو‬‫بصدد‬‫إشباع‬‫ا‬،‫حتياجاته‬
‫وكون‬‫السلوك‬‫اإلنساني‬‫يخضع‬‫لعوامل‬‫مختلفة‬‫منها‬،‫االقتصادية‬‫ومنها‬‫غير‬‫االق‬‫تصادية‬‫من‬
‫اجتماعية‬‫وسياسية‬‫وعرفية‬...،‫إلخ‬‫فإنه‬‫يرتبط‬‫بعالقة‬‫وصلة‬‫وثيقة‬‫بكثير‬‫م‬‫ن‬‫العلوم‬.
‫فعلم‬‫االقتصاد‬‫يعتمد‬‫و‬‫بشكل‬‫كبير‬‫على‬‫الرياضيات‬‫من‬‫خالل‬‫ما‬‫يعرف‬‫باالقتصاد‬
‫الرياضي‬Mathematical Economics‫فنجده‬‫يقوم‬‫بصياغة‬‫النماذج‬
‫الرياضية‬‫في‬‫سبيل‬،‫التوصل‬‫إلى‬‫حل‬‫المشكالت‬‫االقتصادية‬‫المختلف‬‫ة‬.
‫كما‬‫يعتمد‬‫االقتصاد‬‫على‬‫علم‬‫اإلحصاء‬‫في‬‫استخدامه‬‫لإلحصاء‬‫الوصفى‬
Descriptive Statistics‫واالستدالل‬‫اإلحصائي‬Statistics Inference
‫يتمكن‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫ا‬ً‫ض‬‫أي‬‫من‬‫الجمع‬‫بين‬‫النظرية‬‫االقتصادية‬‫والرياض‬‫يات‬
‫واإلحصاء‬‫في‬‫منهج‬‫واحد‬‫وهو‬‫منهج‬‫االقتصاد‬‫القياسي‬.

8. ‫واالقتصاد‬ ‫وعلومه‬ ‫االقتصاد‬‫القرار‬ ‫واتخاذ‬ ‫االدارى‬‫ات‬
‫و‬‫عند‬‫دمج‬‫النظرية‬‫االقتصادية‬‫مع‬‫أدوات‬‫التحليل‬‫الرياضي‬‫و‬‫القياسي‬‫الستخد‬‫امها‬‫في‬‫حل‬
‫مشكالت‬‫القرارات‬‫اإلدارية‬‫ينتج‬‫كما‬‫ذكرنا‬‫مسبقا‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫االدارى‬Managerial
Economics‫وعليه‬‫نقول‬‫بأن‬‫اإلدارة‬‫ترتبط‬‫باالقتصاد‬‫بعالقة‬‫وثيقة‬‫الص‬‫لة‬‫فيما‬
‫يتعلق‬‫باتخاذ‬‫القرارات‬‫واختيار‬‫البدائل‬،‫المثلى‬‫وهي‬‫تعتمد‬‫عليه‬‫في‬‫ام‬‫دادها‬‫بالنظرية‬
‫واألدوات‬‫التحليلية‬‫المناسبة‬‫لمساعدتها‬‫في‬‫عملية‬‫اتخاذ‬‫القرارات‬‫الالزمة‬‫ل‬‫تحقيق‬
‫أهدافها‬.‫وفي‬‫الوقت‬‫نفسه‬‫ترتبط‬‫اإلدارة‬‫بسائر‬‫العلوم‬‫خاصة‬‫وأنها‬‫عبارة‬‫ع‬‫ن‬‫نظام‬
‫متكامل‬‫ومتفاعل‬‫مع‬‫البيئة‬‫المحيطة‬‫بجميع‬‫عناصرها‬.

9. ‫القرار‬ ‫واتخاذ‬ ‫االدارى‬ ‫واالقتصاد‬ ‫وعلومه‬ ‫االقتصاد‬‫ات‬
‫االقتصادية‬ ‫النظرية‬
-‫الكلى‬ ‫االقتصاد‬
-‫الجزئى‬ ‫االقتصاد‬
‫االدارى‬ ‫القرار‬ ‫مشكالت‬
‫القرار‬ ‫اتخاذ‬ ‫علوم‬
-‫الرياضى‬ ‫االقتصاد‬
-‫القياسى‬ ‫االقتصاد‬
‫اإلدارية‬ ‫القرارات‬ ‫اتخاذ‬ ‫لمشكالت‬ ‫األمثل‬ ‫الحل‬
‫االدارى‬ ‫االقتصاد‬

10. ‫االدارى‬ ‫االقتصاد‬ ‫علم‬ ‫دراسة‬ ‫من‬ ‫الهدف‬
‫يهدف‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫اإلداري‬‫إلى‬‫تطبيق‬‫النظرية‬‫االقتصادية‬‫وأدوات‬‫التحليل‬‫ا‬‫لخاصة‬‫بعلم‬
‫القرار‬‫على‬‫مشكالت‬‫اإلدارة‬‫للوصول‬‫إلى‬‫الكيفية‬‫التي‬‫تتمكن‬‫المنظمة‬‫من‬‫خالل‬‫ها‬‫من‬
‫تحقيق‬‫أهدافها‬‫المنشودة‬‫بكفاءة‬.
‫وبالتالي‬‫فهو‬‫يقدم‬‫النظرية‬‫واألدوات‬‫واألساليب‬‫العلمية‬‫المطلوبة‬‫الالزمة‬‫لهذه‬‫ال‬‫عمليات‬.
‫وبناء‬‫على‬‫ذلك‬‫فإن‬‫مادة‬‫االقتصاد‬‫اإلداري‬‫كمتطلب‬‫دراسي‬‫لطالبات‬‫االقتصاد‬‫وإ‬‫دارة‬
،‫األعمال‬‫تتناول‬‫الكيفية‬‫التي‬‫يتم‬‫من‬‫خاللها‬‫ربط‬‫النظرية‬‫االقتصادية‬‫واألسا‬‫ليب‬‫الكمية‬
‫لعلوم‬‫القرار‬‫بالبيئة‬‫الواقعية‬‫لنشاط‬‫األعمال‬‫اإلدارية‬‫والتسويقية‬‫واإلنتاجي‬‫ة‬.

11. ‫االدارى‬ ‫االقتصاد‬
‫األمثلة‬ ‫تحقيق‬ ‫أساليب‬

12. ‫تداولها‬ ‫سيتم‬ ‫التي‬ ‫النقاط‬
‫المتاحة‬ ‫للموارد‬ ‫األمثل‬ ‫التوظيف‬ ‫أجل‬ ‫من‬ ‫الحدى‬ ‫التحليل‬.
‫القي‬ ‫الى‬ ‫للوصول‬ ‫المشتقات‬ ‫واستخدام‬ ‫التفاضل‬ ‫قواعد‬‫العظمى‬ ‫م‬
‫للدوال‬ ‫والصغرى‬.
‫المقيدة‬ ‫األمثلية‬.
‫الجرانج‬ ‫مضاعفات‬.

13. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫جداول‬ ‫شكل‬ ‫في‬
‫دوال‬ ‫شكل‬ ‫في‬
‫بيانى‬ ‫رسم‬ ‫شكل‬ ‫في‬
‫معادالت‬ ‫شكل‬ ‫في‬

14. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫الوحدة‬ ‫سعر‬ ‫المباعة‬ ‫اليومية‬ ‫الوحدات‬ ‫عدد‬
0 200
10 150
20 100
30 50
40 0
‫جدول‬(1-2)

15. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫شكل‬(1.2)
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
‫المباعة‬‫الوحدات‬‫عدد‬
‫الوحدة‬ ‫بيع‬ ‫سعر‬

16. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫الت‬ ‫الدالة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫المباعة‬ ‫الوحدات‬ ‫وعدد‬ ‫الوحدة‬ ‫سعر‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫صياغة‬ ‫يمكن‬‫الية‬
𝑄 = 𝐹 𝑃 (1.2.........)
‫أن‬ ‫حيث‬Q‫و‬ ، ‫املباعة‬ ‫الوحدات‬ ‫عدد‬ ‫هي‬P‫السعر‬.
‫طبقا‬‫للدالة‬‫السابقة‬‫فإن‬"‫عدد‬‫الوحدات‬‫المباعة‬‫هو‬‫عبارة‬‫عن‬‫سعر‬‫دالي‬"
‫مما‬‫يعني‬‫أن‬‫عدد‬‫الوحدات‬‫يتوقف‬‫على‬،‫السعر‬‫أي‬‫أن‬‫عدد‬‫الوحدات‬‫المباعة‬‫هو‬
‫المتغير‬،‫التابع‬‫أما‬‫السعر‬‫فهو‬‫المتغير‬‫المستقل‬.

17. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫وعلي‬‫الرغم‬‫من‬‫فائدة‬‫التعبير‬‫الدالى‬‫السابق‬‫إال‬‫أنها‬‫ال‬‫يوضح‬‫لنا‬‫ك‬‫يفية‬‫اعتماد‬
‫عدد‬‫الوحدات‬‫المباعة‬‫على‬‫السعر‬‫بشكل‬‫محدد‬‫ودقيق‬.
‫لذا‬‫فنحن‬‫في‬‫حاجة‬‫إلى‬‫أسلوب‬‫أكثر‬‫دقة‬‫للتعبير‬‫عن‬‫هذه‬‫العالقة‬‫من‬‫خ‬‫الل‬
‫تحويل‬‫الدالة‬‫السابقة‬‫الى‬‫معادلة‬.
‫يتم‬‫تحويل‬‫الدالة‬‫السابقة‬‫الى‬‫معادلة‬‫خطية‬‫عن‬‫طريق‬:
‫إيجاد‬‫ثابت‬‫العالقة‬"‫قيمة‬‫المتغير‬‫التابع‬‫عندما‬‫يكون‬‫المتغير‬‫المس‬‫تقل‬‫مساويا‬
‫للصفر‬"
‫حساب‬‫معدل‬‫التغير‬‫في‬‫قيمة‬‫المتغير‬‫التابع‬‫نتيجة‬‫تغير‬‫قيمة‬‫المت‬‫غير‬‫المستقل‬
‫بمقدار‬‫الوحدة‬"‫ميل‬‫خط‬‫العالقة‬""‫المشتقة‬‫األولى‬‫للدالة‬".

18. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫من‬‫الجدول‬‫السابق‬‫يمكن‬‫تحديد‬‫ثابت‬‫العالقة‬‫حيث‬‫تبلغ‬‫الوحدات‬‫ال‬‫مباعة‬200
‫وحدة‬‫في‬‫حال‬‫كون‬‫السعر‬‫صفر‬‫ومن‬‫المنطقى‬‫تخيل‬‫أن‬200‫وحدة‬‫هي‬
‫الحجم‬‫األقصى‬‫لإلنتاج‬‫الممكن‬‫بيع‬‫ه‬‫في‬‫مثل‬‫هذه‬‫الحالة‬.
‫يمكن‬‫حساب‬‫ميل‬‫خط‬‫العالقة‬"‫معدل‬‫التغير‬"‫عن‬‫طريق‬‫قسمة‬‫التغير‬‫ف‬‫ي‬‫عدد‬
‫الوحدات‬‫المباعة‬(‫المحور‬‫الصادى‬)‫على‬‫التغير‬‫في‬‫سعر‬‫الوحدة‬(‫المحو‬‫ر‬
‫السينى‬).
𝑆 =
150−100
10−20
= -5

19. ‫االقتصادية‬ ‫العالقات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬
‫يمكننا‬‫اآلن‬‫صياغة‬‫معادلة‬‫الخط‬‫المستقيم‬‫للعالقة‬‫بين‬‫السعر‬‫وكمية‬‫ا‬‫لوحدات‬
‫المباعة‬‫بالشكل‬‫التالى‬
𝑄 = 200 − 5 𝑃 ………(2.2)
‫وبمقارنة‬‫هذه‬‫المعادلة‬‫بالبيانات‬‫الموضحة‬‫في‬‫الجدول‬‫والشكل‬‫السابقي‬‫ن‬‫يمكنك‬
‫التحقق‬‫من‬‫أن‬‫هذه‬‫البيانات‬‫تتفق‬‫مع‬‫المعادلة‬.
ً‫ال‬‫فمث‬،‫إذا‬‫كان‬‫السعر‬‫يساوي‬10ً‫ا‬‫دوالر‬‫فينبغي‬‫أن‬‫يكون‬‫عدد‬‫الوحدات‬‫المباعة‬
‫هو‬200 – 5(10)= 150،‫وهي‬‫نفس‬‫النتيجة‬‫الموضحة‬‫في‬‫كل‬‫من‬‫الجدول‬
‫وال‬‫رسم‬‫البيانى‬.

20. ‫التحليل‬‫الحدي‬
‫الحدية‬ ‫القيمة‬
‫يمكن‬‫تعريف‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫لمتغير‬‫ما‬‫بأنها‬‫معدل‬‫التغير‬‫في‬‫المتغي‬‫ر‬‫التابع‬‫نتيجة‬
‫لما‬‫يطرأ‬‫على‬‫المتغير‬‫المستقل‬‫من‬‫تغير‬‫بمقدار‬‫وحدة‬‫واحدة‬.
‫يمكن‬‫الوصول‬‫اليها‬‫عن‬‫طريق‬‫اشتقاق‬‫الدالة‬(‫إيجاد‬‫المشتقة‬‫األولى‬)‫أ‬‫و‬‫ع‬‫ن‬
‫طريق‬‫إيجاد‬‫ميل‬‫خط‬‫العالقة‬.

21. ( 1 )
‫عدد‬‫الوحدات‬‫المنتجة‬
‫اليوم‬ ‫في‬
( 2 )
‫إجمالي‬
‫الربح‬
( 3 )
‫الربح‬
‫الحدي‬
( 4 )
‫متوسط‬
‫الربح‬
00100
1100150100
2250350125
3600400200
41,000350250
51,350150270
61,50050250
71,550– 50221
81,500– 100188
91,400– 200156
101,200‫ــــــــــ‬120
-
=
‫جدول‬(2-2)

22. ‫الحدي‬ ‫التحليل‬
‫أهم‬‫النقاط‬‫التي‬‫يجب‬‫ذكرها‬‫عند‬‫الحديث‬‫عن‬‫مثل‬‫هذا‬‫النوع‬‫من‬‫العالقات‬
‫الحدية‬،‫هي‬‫أن‬‫المتغير‬‫التابع‬-‫وهو‬‫إجمالي‬‫الربح‬‫في‬‫هذه‬‫الحالة‬-‫يب‬‫لغ‬‫أعلى‬
‫درجة‬‫له‬‫عندما‬‫تتغير‬‫قيمته‬‫الحدية‬‫من‬‫الموجب‬‫إلى‬‫السالب‬.
‫ولفهم‬‫هذه‬،‫الحقيقة‬‫علينا‬‫بمراجعة‬‫الجدول‬‫السابق‬‫فكلما‬‫ظل‬‫الربح‬‫ا‬‫لحدي‬
ً‫ا‬‫موجب‬‫كلما‬‫تمكنت‬‫المؤسسة‬‫من‬‫زيادة‬‫إجمالي‬‫أرباحها‬‫عن‬‫طريق‬‫زيادة‬
‫اإلنتاج‬.
ً‫ال‬‫فمث‬‫إذا‬‫كان‬‫اإلنتاج‬‫يتراوح‬‫ما‬‫بين‬5‫إلى‬6‫وحدات‬،‫يكون‬‫الربح‬‫الحدي‬
ً‫ا‬‫موجب‬‫أي‬(150ً‫ا‬‫دوالر‬).‫أي‬‫أن‬‫إجمالي‬‫ربح‬‫الشركة‬‫سوف‬‫يرتفع‬‫إلى‬
150ً‫ا‬‫دوالر‬‫إذا‬‫ما‬‫زاد‬‫اإلنتاج‬‫من‬5‫إلى‬6‫وحدات‬.

23. ‫الحدي‬ ‫التحليل‬
‫أما‬‫إذا‬‫تعرض‬‫الربح‬‫الحدي‬‫إلى‬‫التغير‬‫من‬‫اإليجاب‬‫إلى‬،‫السلب‬‫فمن‬‫ال‬‫طبيعي‬
‫أن‬‫ينخفض‬،‫الربح‬‫وقد‬‫يستمر‬‫في‬‫االنخفاض‬ً‫ا‬‫تبع‬‫ألي‬‫زيادة‬‫في‬‫اإلنتاج‬.
‫ويتم‬‫الوصول‬‫إلى‬‫هذه‬‫النقطة‬‫في‬‫الجدول‬‫السابق‬(2.2)‫عندما‬‫تتمكن‬‫الشركة‬
‫من‬‫إنتاج‬7،‫وحدات‬‫أما‬‫إذا‬‫نجحت‬‫الشركة‬‫في‬‫إنتاج‬‫عدد‬‫أكبر‬‫من‬‫الوحدات‬
(8ً‫ال‬‫مث‬)،‫فإن‬‫الربح‬‫الحدي‬‫يتغير‬‫من‬‫اإليجاب‬‫إلى‬‫السلب‬-‫وينخف‬‫ض‬‫إجمالي‬
‫الربح‬‫إلى‬50ً‫ا‬‫دوالر‬‫وهكذا‬.

24. ‫الحدي‬ ‫التحليل‬
‫ولما‬‫كان‬‫المديرون‬‫يولون‬ً‫ا‬‫اهتمام‬ً‫ا‬‫كبير‬‫للوصول‬‫بالربح‬(‫وغيره‬‫من‬‫م‬‫قاييس‬
‫األداء‬)‫إلى‬‫أعلى‬‫مستوى‬،‫ممكن‬‫لذا‬‫فإن‬‫هذه‬‫النتيجة‬‫تعد‬‫ذات‬‫نفع‬،‫كبير‬‫حيث‬
‫تؤكد‬‫على‬‫ضرورة‬‫االهتمام‬‫بالقيمة‬‫الحدية‬.
‫كما‬‫أنها‬‫تشير‬‫إلى‬‫المخاطر‬‫التي‬‫قد‬‫تنشأ‬‫عن‬‫استخدام‬‫متوسط‬‫القيمة‬‫ك‬‫بديل‬‫لها‬.
‫هذا‬‫ويوضح‬‫الجدول‬(2.2)‫العمود‬4‫أن‬‫متوسط‬‫الربح‬‫هو‬‫إجمالي‬‫الربح‬
ً‫ا‬‫مقسوم‬‫على‬‫عدد‬‫الوحدات‬‫المنتجة‬.
‫وقد‬‫يبدو‬‫أنه‬‫من‬‫الصائب‬‫اختيار‬‫نوع‬‫اإلنتاج‬‫الذي‬‫يدر‬‫أعلى‬‫متوسط‬‫ممك‬‫ن‬‫من‬
،‫الربح‬‫وهو‬‫األمر‬‫الذي‬‫اتبعه‬ً‫ا‬‫عدد‬‫ال‬‫حصر‬‫له‬‫من‬‫المديرين‬.‫ومع‬‫ذلك‬،‫ف‬‫قد‬
‫أثبتت‬‫التجربة‬‫عدم‬‫نجاح‬‫مثل‬‫هذا‬،‫االختيار‬‫وال‬‫سيما‬‫إذا‬‫كان‬‫المدير‬‫ير‬‫غب‬‫في‬
‫زيادة‬‫أرباح‬‫شركته‬‫إلى‬‫أقصي‬‫حد‬‫ممكن‬.‫أما‬‫االختيار‬‫األكثر‬ً‫ا‬‫صواب‬‫فه‬‫و‬‫نوع‬
‫اإلنتاج‬‫الذي‬‫تميل‬‫أرباحه‬‫الحدية‬‫إلى‬‫االنحراف‬‫من‬‫اإليجاب‬‫إلى‬‫السلب‬‫ك‬‫ما‬‫سبق‬
‫وأوضحنا‬‫في‬‫الفقرة‬‫السابقة‬.

25. ‫الحدي‬ ‫التحليل‬
‫وللبرهنة‬‫على‬‫ذلك‬،‫علينا‬‫بتحديد‬‫اإلنتاج‬‫الذي‬‫يحقق‬‫أعلى‬‫متوسط‬‫ل‬‫لربح‬‫كما‬‫هو‬
‫مبين‬‫في‬‫الجدول‬(2.2)‫وبمقارنة‬‫األرقام‬‫المبينة‬‫في‬‫العمود‬4‫نجد‬‫أن‬‫هذا‬‫اإلنتاج‬
‫هو‬5،‫وحدات‬‫ويتضح‬‫من‬‫العمود‬2‫أن‬‫إجمالي‬‫الربح‬‫لهذا‬‫اإلنتاج‬‫يساوي‬
1,350‫دوالر‬.
‫وكنا‬‫قد‬‫أوضحنا‬‫في‬‫الفقرة‬‫قبل‬‫السابقة‬‫أن‬‫اإلنتاج‬‫الذي‬‫يميل‬‫ربحه‬‫ا‬‫لحدي‬‫إلى‬
‫االنحراف‬‫من‬‫اإليجاب‬‫إلى‬‫السلب‬‫هو‬7،‫وحدات‬‫ويوضح‬‫العمود‬2‫أن‬‫إجمالي‬
‫الربح‬‫لمثل‬‫هذا‬‫اإلنتاج‬‫يساوي‬1,550‫دوالر‬‫مما‬‫يوضح‬‫أن‬‫إجمالي‬‫الربح‬‫يزيد‬
‫بمقدار‬200‫دوالر‬‫في‬‫حالة‬‫زيادة‬‫اإلنتاج‬‫من‬5‫إلى‬7‫وحدات‬.
‫ومن‬‫ثم‬‫يمكننا‬‫القول‬‫بأنه‬‫إذا‬‫قام‬‫مديرو‬‫هذه‬‫الشركة‬‫باختيار‬‫نوع‬‫اإلنتاج‬‫الذي‬
‫يحقق‬‫أعلى‬‫متوسط‬،‫ربح‬‫فإن‬‫هذا‬‫يعني‬‫تضحيتهم‬‫بنحو‬200ً‫ا‬‫دوالر‬ً‫ا‬‫يومي‬‫من‬
‫األرباح‬‫التي‬‫كان‬‫يمكن‬‫أن‬‫تحققها‬‫الشركة‬‫في‬‫حالة‬‫اختيارهم‬‫لنوع‬‫اإلنت‬‫اج‬‫الذي‬
‫يميل‬‫ربحه‬‫الحدي‬‫إلى‬‫االنحراف‬‫من‬‫اإليجاب‬‫إلى‬‫السلب‬.

26. ‫الحدي‬ ‫التحليل‬
‫ويجدر‬‫بنا‬‫محاولة‬‫فهم‬‫العالقة‬‫القائمة‬‫بين‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫والمتوسطة‬:
‫كلما‬‫كانت‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫هي‬‫التي‬‫تمثل‬‫ما‬‫يطرأ‬‫على‬‫اإلجمالي‬‫من‬‫تغي‬،‫ير‬‫لذا‬
‫فمن‬‫الطبيعي‬‫أن‬‫يزداد‬‫متوسط‬‫القيمة‬‫إذا‬‫كانت‬‫الحدية‬‫هي‬،‫األعلى‬‫وأن‬
‫ينخفض‬‫متوسط‬‫القيمة‬‫إذا‬‫كانت‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫هي‬‫األدنى‬.
‫ويوضح‬‫الجدول‬(2.2)‫جميع‬‫هذه‬‫االحتماالت‬:‫ففي‬‫الوحدات‬‫الخمسة‬‫األولي‬
‫من‬‫اإلنتاج‬‫يرتفع‬‫الربح‬‫الحدي‬‫عن‬‫متوسط‬‫الربح‬‫حيث‬‫أن‬‫األرباح‬‫ال‬‫ناجمة‬
‫عن‬‫الوحدات‬‫اإلضافية‬‫يكون‬‫أعلى‬‫من‬‫متوسط‬‫الربح‬،‫وهو‬‫األمر‬‫الذي‬‫ي‬‫ؤدي‬
‫إلى‬‫رفع‬‫متوسط‬‫الربح‬‫مع‬‫زيادة‬‫اإلنتاج‬.‫ويحدث‬‫العكس‬‫في‬‫الوحدات‬‫الخمسة‬
‫التالية‬‫من‬‫اإلنتاج‬،‫حيث‬‫يكون‬‫الربح‬‫الحدي‬‫أدنى‬‫من‬‫متوسط‬،‫الربح‬‫وكلما‬
‫زاد‬‫اإلنتاج‬‫بمقدار‬‫وحدة‬،‫إضافية‬‫كلما‬‫انخفض‬‫الربح‬‫الحدي‬‫عن‬‫متوس‬‫ط‬
،‫الربح‬‫وهو‬‫األمر‬‫الذي‬‫يؤدي‬‫إلى‬‫انخفاض‬‫متوسط‬‫الربح‬‫مع‬‫زيادة‬‫اإلنت‬‫اج‬.

27. ‫التحليل‬‫الحدي‬
‫العالقة‬‫بين‬
‫القيـــمة‬ ‫إجمـالي‬
‫الحــدية‬ ‫والقيــمة‬
‫القيــمة‬ ‫ومتوســط‬
‫شكل‬(2.2)
‫الفرق‬‫الوحيد‬‫أنه‬‫بدال‬‫من‬‫استخدام‬‫أرقام‬‫بعي‬‫نها‬
‫لتحديد‬‫اإلنتاج‬‫أو‬‫الربح‬‫سنقوم‬‫باستخدام‬‫بع‬‫ض‬
‫الرموز‬‫مثل‬Q 0‫و‬Q 1‫لمستويات‬‫اإلنتاج‬
،‫المختلفة‬‫والرمز‬0‫لمستويات‬‫الربح‬.
‫اليوم‬ ‫في‬ ‫المنتجة‬ ‫الوحدات‬ ‫عدد‬
‫بالدوالر‬ ‫اليومى‬ ‫الربح‬
G
0
𝜋0
D
‫الوحدة‬ ‫ربح‬
‫المخرجات‬ ‫من‬
‫الربح‬
‫الحدى‬
K3
Q1
T
E
Q4Q3Q0
Q1Q4Q3Q0
K0
‫متوسط‬
‫الربح‬
‫اليوم‬ ‫في‬ ‫المنتجة‬ ‫الوحدات‬ ‫عدد‬
0

28. ‫الحدي‬ ‫التحليل‬
‫لعل‬‫أول‬‫شيء‬‫ينبغي‬‫علينا‬‫مالحظته‬‫هو‬‫أن‬‫الشكل‬(2.2)‫يحتوي‬‫على‬‫تجزئين‬:
-‫الرسم‬‫البياني‬A‫يوضح‬‫العالقة‬‫بين‬‫إجمالي‬‫الربح‬‫واإلنتاج‬.
-‫الرسم‬‫البياني‬B‫يوضح‬‫العالقة‬‫بين‬‫متوسط‬‫الربح‬‫والربح‬‫الحدي‬‫من‬‫ناح‬‫ية‬
‫واإلنتاج‬‫من‬‫ناحية‬‫أخري‬.
‫كما‬‫نالحظ‬‫أن‬‫المنظور‬‫األفقي‬‫للرسم‬‫البياني‬A‫مطابق‬ً‫ا‬‫تمام‬‫لنظيره‬‫في‬‫الرسم‬
‫البياني‬B،‫وهو‬‫األمر‬‫الذي‬‫يجعل‬ً‫ا‬‫مقدار‬‫بعينه‬‫من‬‫اإلنتاج‬(‫مثل‬Q0)‫على‬‫بعد‬
‫متساو‬‫من‬‫نقطة‬‫األصل‬‫في‬‫كل‬‫من‬‫الرسمين‬‫البيانيين‬(A‫و‬B).

29. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫في‬‫حالتنا‬‫العملية‬‫السابقة‬‫قمنا‬‫باستخدام‬‫الجدول‬(2.2)-‫الذي‬‫يوضح‬‫العالقة‬
‫بين‬‫إنتاج‬‫الشركة‬‫وأرباحها‬-‫وذلك‬‫بغرض‬‫الوقوف‬‫على‬‫مستوي‬‫اإلنت‬‫اج‬‫الذي‬
‫يحقق‬‫أعلى‬‫أرباح‬‫ممكنة‬.
‫إال‬‫أن‬‫مثل‬‫هذه‬‫الجداول‬‫عادة‬‫ما‬‫تكون‬‫معقدة‬‫وغير‬،‫دقيقة‬‫مما‬‫يجعلها‬‫غير‬
‫صالحة‬‫لالستخدام‬‫لغرض‬‫مثل‬‫هذا‬.
‫ومن‬‫ثم‬‫فإننا‬‫نقوم‬‫باستخدام‬‫المعادالت‬‫التي‬‫توضح‬‫العالقة‬‫بين‬‫الم‬‫تغير‬‫الذي‬
‫نسعى‬‫إلى‬‫معظمته‬(‫أي‬‫الربح‬)،‫والمتغير‬‫أو‬‫المتغيرات‬‫الواقعة‬‫تحت‬‫سيطرة‬
‫صانع‬‫القرار‬(‫أي‬‫اإلنتاج‬).
‫وبفضل‬‫هذه‬‫المعادالت‬،‫يمكننا‬‫االستعانة‬‫بمفاهيم‬‫وتقنيات‬‫علم‬‫الت‬‫فاضل‬‫من‬
‫أجل‬‫التوصل‬‫إلى‬‫الحلول‬‫المثلي‬‫للمشكالت‬‫التي‬‫يواجهها‬‫صانع‬‫القر‬‫ار‬.

30. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫سبق‬‫وأن‬‫فنا‬َّ‫عر‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫بأنها‬‫معدل‬‫التغير‬‫في‬‫قيمة‬‫متغي‬‫ر‬‫تابع‬‫نتيجة‬‫لما‬
‫يطرأ‬‫على‬‫المتغير‬‫المستقل‬‫من‬‫تغيير‬‫بمقدار‬‫وحدة‬‫واحدة‬.
‫فإذا‬‫كانت‬Y‫هي‬‫المتغير‬،‫التابع‬‫و‬X‫هي‬‫المتغير‬،‫المستقل‬‫فإن‬‫هذه‬‫العالقة‬
‫يعبر‬‫عنها‬ً‫ا‬‫رياضي‬
𝑌 = 𝑓(𝑋)………(2.3)
‫وباستخدام‬Δ‫تسمى‬"‫دلتا‬"delta‫لتحديد‬،‫التغير‬‫يمكننا‬‫التعبير‬‫عن‬‫ا‬‫لتغير‬
‫الحادث‬‫في‬‫المتغير‬‫المستقل‬‫بالرمز‬ΔX،‫وعن‬‫التغير‬‫الحادث‬‫في‬‫المتغير‬
‫التابع‬‫بالرمز‬ΔY،ً‫ا‬‫وبناء‬‫على‬‫ذلك‬‫يمكن‬‫تقدير‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫لـ‬Y‫كما‬‫يلي‬:

31. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
∆𝑌
∆𝑋
=
𝑌‫فى‬ ‫التغير‬
𝑋‫فى‬ ‫التغير‬
‫فعلى‬‫سبيل‬‫المثال‬:‫إذا‬‫أدت‬‫زيادة‬X‫بمقدار‬‫وحدتين‬‫إلى‬‫زيادة‬Y‫بمقدار‬‫وحدة‬
‫واحدة‬‫فإن‬+X = 2،+Y = 1.
‫أي‬‫أن‬‫القيمة‬‫الحدية‬‫لـ‬Y‫تساوي‬½ً‫ا‬‫تقريب‬،‫أي‬‫أن‬‫المتغير‬‫التابع‬Y‫يزداد‬
‫بنحو‬½‫في‬‫حالة‬‫زيادة‬‫المتغير‬‫المستقل‬X‫بمقدار‬1.

32. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫العالقة‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫ويتم‬ ‫هذا‬‫بين‬
X‫و‬Y‫خط‬ ‫شكل‬ ‫في‬‫ك‬ ‫مستقيم‬‫ما‬
‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الحال‬ ‫هو‬(2.4)‫حتى‬
‫قيمة‬ ‫تكون‬+Y / +X‫ثابتة‬.
X
Y
‫رقم‬ ‫شكل‬(2.4)

33. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫رقم‬ ‫شكل‬(2.5)
Y
H
L
K
G
Y4
Y1
Y3
Y2
X2 X3 X4X1 X
‫بين‬ ‫العالقة‬Y‫و‬X

34. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫في‬‫الشكل‬(2.5)‫في‬‫حالة‬‫حدوث‬‫تحرك‬‫من‬‫النقطة‬G‫إلى‬‫النقطة‬H،‫فإنه‬
‫يحدث‬‫تغير‬‫صغير‬‫نسبيا‬‫في‬X‫من‬X1‫إلى‬X2‫بمصاحبة‬‫تغيير‬‫كبير‬‫في‬
Y‫من‬Y1‫إلى‬Y2‫وعليه‬‫فإن‬‫قيمة‬/ +X+Y‫بين‬‫النقطتين‬G‫و‬H‫تساوي‬
(Y2 – Y1) / (X2 – X1)‫وهي‬‫قيمة‬‫كبيرة‬ً‫ا‬‫نسبي‬.
‫أما‬‫إذا‬‫حدث‬‫تحرك‬‫من‬‫النقطة‬K‫إلى‬‫النقطة‬L،‫فإنه‬‫يحدث‬‫تغير‬‫كبير‬‫نسب‬‫يا‬
‫في‬X‫من‬X3‫إلى‬X4،‫بمصاحبة‬‫تغير‬‫صغير‬‫في‬Y‫من‬Y3‫إلى‬Y4‫وعليه‬
‫فإن‬‫قيمة‬/ +X+Y‫بين‬‫النقطتين‬K‫و‬L‫تساوي‬(Y4 – Y3) / (X4 –
X3)‫وهي‬‫قيمة‬‫صغيرة‬ً‫ا‬‫نسبي‬.

35. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫مما‬‫سبق‬‫نستنتج‬‫أن‬:
‫قيمة‬X+‫و‬Y+‫بمدي‬ ‫ترتبطان‬‫في‬ ‫المنحني‬ ‫استواء‬ ‫أو‬ ‫انحدار‬‫الشكل‬.
‫حيث‬‫نجد‬‫أن‬‫المنحني‬‫يميل‬‫لالنحدار‬‫نسبيا‬‫بين‬‫النقطتين‬G‫و‬H،‫األمر‬‫الذي‬‫يعني‬
‫حدوث‬‫تغير‬‫كبير‬‫في‬Y‫نتيجة‬‫لتغير‬‫صغير‬‫في‬X،‫ولذلك‬‫تكون‬/ +X+Y‫كبيرة‬
‫نسبيا‬.
‫ونجد‬‫أن‬‫المنحني‬‫يأخذ‬‫في‬‫االستواء‬‫بين‬‫النقطتين‬K‫و‬L،‫مما‬‫يعني‬‫حدوث‬‫تغيير‬
‫صغير‬‫في‬Y‫نتيجة‬‫لتغير‬‫كبير‬‫في‬X‫وعليه‬‫تكون‬/ +X+Y‫صغيرة‬ً‫ا‬‫نسبي‬.

36. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫تعريف‬‫المشتقة‬
‫تعريف‬ ‫ويمكن‬‫مشتقة‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X‫بأنها‬‫نهاية‬/ +X+Y‫اقتراب‬ ‫عند‬+X‫من‬‫الصفر‬.
‫وحيث‬‫المشتقة‬ ‫إلى‬ ‫نشير‬ ‫أننا‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X‫بـ‬dY / dX،‫صياغة‬ ‫إعادة‬ ‫يمكن‬ ‫فإنه‬ ‫لذا‬
‫التالي‬ ‫النحو‬ ‫على‬ ‫التعريف‬ ‫هذا‬:
dY
dX
= ‫نـهـاية‬
∆𝑌
∆𝑋
‫ويمكن‬‫قراءة‬‫هذه‬‫المعادلة‬‫هكذا‬:
"‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫تساوي‬‫نهاية‬‫النسبة‬+Y / +X‫عندما‬‫تؤول‬+X‫إلى‬‫الصفر‬"
∆X 0

37. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫المقصود‬‫بالنهاية‬:
‫يمكن‬‫فهم‬‫المقصود‬‫بلفظة‬‫نهاية‬‫عن‬‫طريق‬‫السؤال‬‫عن‬‫نهاية‬‫الدالة‬X – 2
‫عندما‬‫تؤول‬X‫إلى‬2‫؟‬
‫كلما‬ ‫أنه‬ ‫سنجد‬‫اقتربت‬X‫من‬2‫كلما‬‫اقتربت‬X – 2‫الصفر‬ ‫من‬.
‫اآلن‬‫ما‬‫هي‬‫نهاية‬‫هذه‬‫الدالة‬‫عندما‬‫تؤول‬X‫إلى‬‫الصفر‬‫؟‬
‫سنجد‬‫اقتربت‬ ‫كلما‬ ‫أنه‬X‫اقتربت‬ ‫كلما‬ ‫الصفر‬ ‫من‬X – 2‫من‬2-

38. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫رقم‬ ‫شكل‬(2.6)
Y
A
C
B
M
Y7
0
Y6
Y5
X5 X6 X7X1 X
‫العالقة‬
‫بين‬
Y‫و‬X
‫المشتقة‬‫هي‬‫ميل‬‫المنحنى‬:
‫عندما‬‫تكون‬X‫تساوي‬X5‫فإن‬‫مشتقة‬
Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫تساوي‬‫ميل‬‫المستق‬‫يم‬
M،‫وهو‬‫المماس‬‫للمنحنى‬‫عند‬
‫النقطة‬A.

39. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫بالرسم‬،‫البياني‬‫نجد‬‫أن‬‫المشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫تساوي‬‫ميل‬‫المنحني‬‫الذي‬
‫تظهر‬‫عليه‬(‫على‬‫المحور‬‫الرأسي‬)‫كدالة‬‫في‬X(‫على‬‫المحور‬‫األفقي‬).
‫وللداللة‬‫على‬،‫ذلك‬‫افترض‬‫أننا‬‫نرغب‬‫في‬‫إيجاد‬‫قيمة‬‫المشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬
X‫عندما‬X‫تساوي‬X5‫في‬‫الشكل‬(2.6).
‫يمكننا‬‫االستعانة‬‫بأحد‬‫المقاييس‬‫التقريبية‬‫وهو‬‫قيمة‬+Y / +X‫عند‬‫حدوث‬‫تحرك‬‫من‬‫النقطة‬A
‫إلى‬‫النقطة‬C.
‫المقياس‬ ‫وهذا‬=(Y7 – Y5)  (X7 – X5)‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫وهو‬ ،AC.
‫إال‬‫أنه‬‫هناك‬‫مقياس‬‫أفضل‬‫السابق‬ ‫من‬،‫قيمة‬ ‫في‬ ‫ويتمثل‬+Y / +X‫من‬ ‫تحرك‬ ‫حدوث‬ ‫عند‬
‫النقطة‬A‫النقطة‬ ‫إلى‬B.
‫المقياس‬ ‫وهذا‬=(Y6 – Y5) (X6 – X5)،‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫وهو‬AB.

40. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫ما‬‫الذي‬‫يجعل‬‫المقياس‬‫الثاني‬‫أفضل‬‫من‬‫األول‬‫؟‬
‫السبب‬‫الذى‬‫يجعل‬‫المقياس‬‫الثانى‬‫أفضل‬‫من‬‫المقياس‬‫األول‬‫هو‬‫أن‬‫المساف‬‫ة‬‫بين‬
‫النقطتين‬A‫و‬B‫أقصر‬‫من‬‫المسافة‬‫بين‬‫النقطتين‬A‫و‬C.
‫وذلك‬‫ألن‬‫ما‬‫نريده‬‫هو‬‫إيجاد‬‫قيمة‬+Y / +X‫عندما‬‫تكون‬+X‫أصغر‬‫ما‬‫يمكن‬
.‫ومن‬‫الواضح‬‫أن‬‫ذلك‬‫يحدث‬‫عند‬‫النهاية‬‫أى‬‫مع‬‫اقتراب‬+X‫من‬‫الصفر‬
‫خالصة‬‫ما‬‫سبق‬
‫النسبة‬+Y / +X‫تساوي‬‫ميل‬‫المستقيم‬M‫وهو‬‫المرسوم‬‫مماسا‬‫للمنحني‬‫عند‬
‫النقطة‬A.

41. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫كيفية‬‫إيجاد‬‫المشتقة‬‫األولى‬
‫إن‬‫المديرين‬ً‫ا‬‫دائم‬‫ما‬‫يرغبون‬‫في‬‫معرفة‬‫أفضل‬‫الطرق‬‫التي‬‫تساعدهم‬‫ف‬‫ي‬
‫الوصول‬‫بمستوي‬‫األداء‬‫في‬‫شركاتهم‬‫إلى‬‫األمثلية‬.
‫فإذا‬‫افترضنا‬‫أن‬Y‫هي‬‫أحد‬‫مقاييس‬‫األداء‬‫داخل‬‫الشركة‬،‫وأن‬X‫هي‬‫أحد‬
‫المتغيرات‬‫التي‬‫يتمتع‬‫المدير‬‫بالتحكم‬‫فيها‬،‫فإنه‬‫من‬‫الطبيعي‬‫أن‬‫ي‬‫رغب‬‫المدير‬
‫في‬‫معرفة‬‫قيمة‬X‫التي‬‫ستؤدي‬‫بدورها‬‫إلى‬‫معظمة‬Y.
‫هذا‬‫وسوف‬‫نري‬‫في‬‫األجزاء‬‫التالية‬‫أهمية‬‫التعرف‬‫على‬‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫لـ‬X،
‫بينما‬‫يقتصر‬‫دور‬‫هذا‬‫القسم‬‫على‬‫تعلم‬‫كيفية‬‫إيجاد‬‫المشتقة‬.

42. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
•‫تفاضل‬‫الثوابت‬:
‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫كان‬ ‫إذا‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫مشتقته‬ ‫فإن‬ ، ً‫ا‬‫ثابت‬X‫أي‬ ، ‫دائما‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬
‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬a = Y(‫يكون‬ ‫عندما‬aً‫ا‬‫ثابت‬)‫فإن‬ ،:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 0……… (2.6)
‫مثال‬:
‫وبفرض‬‫أن‬Y = 6‫كما‬‫هو‬‫مبين‬‫بالشكل‬(2.7).‫فإن‬‫قيمة‬Y‫ال‬‫تتغير‬‫بينما‬X‫تتغير‬،‫لذا‬‫فإن‬
dY / dX‫تساوي‬‫صفر‬ً‫ا‬‫دائم‬.‫كما‬‫يمكن‬‫التعبير‬‫عن‬‫ذلك‬‫هندسيا‬،‫حيث‬‫ذكرنا‬‫فيما‬‫س‬‫بق‬‫أن‬
dY / dX‫تساوي‬‫ميل‬‫المنحني‬‫الذي‬‫تظهر‬‫فيه‬Y‫كدالة‬‫في‬X‫وكما‬‫هو‬‫واضح‬‫في‬‫الشكل‬(2.7)
‫نجد‬‫أن‬‫هذا‬‫الميل‬‫يساوي‬‫صفر‬،‫أي‬‫أن‬dY / dX‫تساوي‬‫صفر‬‫دائما‬.

43. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫حالة‬dY / dX،‫صفر‬ ‫تساوي‬
‫يساو‬ ‫األفقي‬ ‫المستقيم‬ ‫هذا‬ ‫ميل‬ ‫أن‬ ‫حيث‬‫ي‬
‫صفر‬.
X
Y
Y=6
6
‫رقم‬ ‫شكل‬(2.7)

44. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
•‫تفاضل‬‫الدالة‬‫األسية‬:
‫العليا‬ ‫المشتقة‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬(‫ية‬ِّ‫األس‬)‫يلي‬ ‫كما‬:
𝑌 = 𝑎𝑋 𝑏
‫حيث‬a‫و‬b،‫ثوابت‬‫فإذا‬‫كانت‬‫العالقة‬‫بين‬X‫و‬Y‫من‬‫هذا‬‫النوع‬‫تكون‬‫مشتقة‬Y
‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫تساوي‬‫الثابت‬aً‫ا‬‫مضروب‬‫في‬‫قيمة‬‫األس‬bً‫ا‬‫مضروب‬‫في‬‫المتغير‬X
‫المرفوع‬‫إلى‬‫األس‬b – 1:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 𝑏. 𝑎. 𝑋 𝑏−1
………(2.8)

45. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫مثال‬:
‫مشتقة‬ ‫اوجد‬Y=3X
‫الجواب‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 1 × 3 × 𝑋0 = 3
X
Y
‫رقم‬ ‫شكل‬(2.8)
𝑑𝑌
𝑑𝑋
3=
X
Y

46. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫مثال‬:
‫اوجد‬Y = 2𝑋2
‫الجواب‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 2 × 2 × 𝑋1
= 4𝑋
X
Y
Y
‫رقم‬ ‫شكل‬(2.9)
X
50
0
Y = 2𝑋2

47. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
•‫تفاضل‬‫المجموع‬‫والفروق‬:
‫بفرض‬‫أن‬U‫و‬W‫هما‬‫لـ‬ ‫تابعان‬ ‫متغيران‬X‫أن‬ ‫ي‬ ‫أ‬:
U = g(X)&W = h(X)
‫وتشير‬g‫إلى‬‫العالقة‬‫الدالية‬‫بين‬U‫و‬X‫و‬‫تشير‬h‫إلى‬‫العالقة‬‫الدالية‬‫بين‬W‫و‬X.
‫وبفرض‬ً‫ا‬‫أيض‬‫أن‬Y = U + W
‫في‬‫هذه‬‫الحالة‬‫تكون‬‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫مساوية‬‫لمجموع‬‫مشتقات‬‫هذه‬
‫الحدود‬‫كل‬‫على‬‫حدى‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝑑𝑈
𝑑𝑋
+
𝑑𝑊
𝑑𝑋
.........(2.8)

48. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫بفرض‬‫أن‬Y = U - W
‫في‬‫هذه‬‫الحالة‬‫تكون‬‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫تساوى‬‫الفرق‬‫بين‬‫مشتقات‬‫هذه‬
‫الحدود‬‫كل‬‫على‬‫حدى‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝑑𝑈
𝑑𝑋
−
𝑑𝑊
𝑑𝑋
.........(2.9)
‫مثال‬:
U = g(X) = 3X 3
W = h(X) = 4X 2
Y = U + W
‫مشتقة‬ ‫اوجد‬Y‫الى‬ ‫بالنسبة‬X.

49. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3.3. 𝑋2
= 9𝑋2
𝑑𝑊
𝑑𝑥
= 2.4. 𝑋1
= 8𝑋
𝑑𝑌
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑊
𝑑𝑥
= 9𝑋2
+8𝑋

50. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫أخر‬ ‫حل‬:
𝑌 = 𝑈 + 𝐻 = 3𝑋3
+ 4𝑋2
𝑑𝑌
𝑑𝑥
= 3.3𝑋2
+ 2.4𝑋
𝑑𝑌
𝑑𝑥
= 9𝑋2
+ 8𝑋

51. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
•‫الدوال‬‫متعددة‬‫الحدود‬:
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫تفاضل‬:
‫إن‬‫مشتقة‬‫حاصل‬‫ضرب‬‫حدين‬‫تساوي‬
‫مجموع‬}‫الحد‬‫األول‬‫مضروبا‬‫في‬‫مشتقة‬‫الحد‬‫الثاني‬‫زائد‬‫الحد‬‫الثاني‬‫مضرو‬ً‫ا‬‫ب‬‫في‬
‫مشتقة‬‫الحد‬‫األول‬{.
‫فإذا‬‫كانت‬:U×WY=‫فإن‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 𝑈 ×
𝑑𝑊
𝑑𝑋
+ 𝑊 ×
𝑑𝑈
𝑑𝑋
…….. (2.12)

52. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫مثال‬:
‫اذا‬‫كان‬
𝑾 = 𝟑 − 𝑿 𝟐
𝑼 = 𝟔𝑿
𝒀 = 𝑾 × 𝑼
‫مشتقة‬ ‫أوجد‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X
‫تتمثل‬‫الخطوة‬‫األولى‬‫في‬‫إيجاد‬‫مشتقة‬‫كال‬‫من‬W‫و‬U‫بالنسبة‬‫الى‬X‫كالتالى‬:
𝑑𝑊
𝑑𝑥
= 0 − 2 × 1𝑋 = −2𝑋
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 6 × 𝑋0
= 6

53. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫ثم‬‫بعد‬‫ذلك‬‫نقوم‬‫بتطبيق‬‫المعادلة‬‫رقم‬(2.12)
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 𝑈.
𝑑𝑊
𝑑𝑋
+ 𝑊.
𝑑𝑈
𝑑𝑋
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 6𝑋 × −2𝑋 + (3 − 𝑋2) × 6
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= −12𝑋2
+ 18 − 6𝑋2
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 18 − 18𝑋2

54. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫تفاضل‬‫القسمة‬ ‫خارج‬:
‫كانت‬ ‫إذا‬Y = U / W‫مشتقة‬ ‫فإن‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X‫هي‬:
}‫حاصل‬‫ف‬ ‫البسط‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫منه‬ ً‫ا‬‫مطروح‬ ‫البسط‬ ‫مشتقة‬ ‫في‬ ‫المقام‬ ‫ضرب‬‫ي‬
‫المقام‬ ‫مشتقة‬‫والكل‬‫مربع‬ ‫على‬ ‫مقسوما‬‫المقام‬{.
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝑊.
𝑑𝑈
𝑑𝑋
− 𝑈.
𝑑𝑊
𝑑𝑋
𝑊2
… … … … (2.13)

55. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫مثال‬:
‫اذا‬‫كان‬
𝑾 = 𝟑 − 𝟒𝑿
𝑼 = 𝟓𝑿 𝟑
𝒀 = 𝑼/𝑾
‫مشتقة‬ ‫أوجد‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X
‫تتمثل‬‫الخطوة‬‫األولى‬‫في‬‫إيجاد‬‫مشتقة‬‫كال‬‫من‬W‫و‬U‫بالنسبة‬‫الى‬X‫كالتالى‬:
𝑑𝑊
𝑑𝑥
= −4
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 15𝑋2

56. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫ثم‬‫بعد‬‫ذلك‬‫نقوم‬‫بتطبيق‬‫المعادلة‬‫رقم‬(2.13)
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝑊.
𝑑𝑈
𝑑𝑋
− 𝑈.
𝑑𝑊
𝑑𝑋
𝑊2
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝟑 − 𝟒𝑿 × 15𝑋2 − [𝟓𝑿 𝟑 × −4]
(𝟑 − 𝟒𝑿)2
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝟒𝟓𝑋2 − 𝟔𝟎𝑋3 + 𝟐𝟎𝑿 𝟑
(𝟑 − 𝟒𝑿)2
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
−40𝑋3
+ 𝟒𝟓𝑿 𝟐
(𝟑 − 𝟒𝑿)2

57. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
•‫مشتقة‬‫دالة‬‫الدالة‬(‫قاعدة‬‫السلسلة‬):
ً‫ا‬‫أحيان‬‫ما‬‫يعتمد‬‫أحد‬‫المتغيرات‬‫على‬‫متغير‬،‫أخر‬‫ثم‬‫يعتمد‬‫هذا‬‫اآلخر‬‫على‬‫متغير‬‫ثالث‬.
‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫فمثال‬:
𝑌 = 𝑓(𝑊)
𝑊 = 𝑔(𝑋)
‫مشتقة‬ ‫فإن‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X‫تكون‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝑑𝑌
𝑑𝑊
×
𝑑𝑊
𝑑𝑋
………(2.14)

58. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫مثال‬:
‫اذا‬‫كان‬
𝒀 = 𝟒𝑾 − 𝑾 𝟑
𝑾 = 𝟑𝑿 𝟐
‫مشتقة‬ ‫أوجد‬Y‫إلى‬ ‫بالنسبة‬X
‫تتمثل‬‫الخطوة‬‫األولى‬‫في‬‫إيجاد‬‫مشتقة‬‫كال‬‫من‬Y‫بالنسبة‬‫لـ‬W‫و‬W‫بالنسبة‬‫الى‬X‫كالتالى‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑊
= 4 − 3𝑊2 = 4 + 3(3𝑋2)2 = 4 + 3 9𝑋4 = 4 + 27𝑥4
𝑑𝑊
𝑑𝑥
= 6𝑋

59. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫ثم‬‫بعد‬‫ذلك‬‫نقوم‬‫بتطبيق‬‫المعادلة‬‫رقم‬(2.14)
𝑑𝑌
𝑑𝑋
=
𝑑𝑌
𝑑𝑊
×
𝑑𝑊
𝑑𝑋
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= [4 + 27𝑥4] × 6𝑋
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 24𝑋 + 162𝑥5

60. ‫عملية‬ ‫حاالت‬
‫لمشروب‬ ‫الدعاية‬ ‫ميزانية‬ ‫تخصيص‬TANG
‫يعنى‬‫المحللون‬‫والمديرون‬‫باالستعانة‬‫بعلم‬‫التفاضل‬‫لمساعدتهم‬‫في‬‫حل‬‫كاف‬‫ة‬‫أنواع‬
‫المشكالت‬‫التي‬‫تواجههم‬.‫ولعل‬‫أهم‬‫األمثلة‬‫على‬‫ذلك‬‫تلك‬‫الدراسة‬‫التي‬‫قامت‬‫بها‬‫و‬‫كالة‬
‫الدعاية‬‫واإلعالن‬‫الشهيرة‬Young and Rubicam‫لصالح‬‫شركة‬‫مشروبات‬TANG
،‫وهي‬‫أحد‬‫عمالئها‬‫من‬‫شركات‬General Foods‫و‬TANG‫هو‬‫االسم‬‫التجاري‬
‫لمشروب‬‫البرتقال‬‫سريع‬‫التحضير‬.‫وقد‬‫أجرت‬‫وكالة‬Young and Rubicam‫تلك‬
‫الدراسة‬‫للوقوف‬‫على‬‫آثار‬‫نفقات‬‫الدعاية‬‫على‬‫مبيعات‬TANG‫وقد‬‫دلت‬‫هذه‬‫الدراسة‬‫على‬
‫وجود‬‫عالقة‬‫بين‬‫نفقات‬‫الدعاية‬‫والمبيعات‬‫في‬‫أثنين‬‫من‬‫المناطق‬‫الهامة‬‫وجاءت‬‫ت‬‫لك‬‫النتائج‬
‫على‬‫النحو‬‫التالي‬:

61. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
𝑺 𝟏 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝑨 𝟏 − 𝟏. 𝟓𝑨 𝟏
𝟐
𝑺 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒𝑨 𝟐 − 𝟎. 𝟓𝑨 𝟐
𝟐
‫حيث‬S1‫هي‬‫مبيعات‬TANG(‫بماليين‬‫الدوالرات‬ً‫ا‬‫سنوي‬)‫في‬‫المنطقة‬‫األولى‬،S2‫هي‬
‫مبيعات‬‫الشركة‬‫في‬‫المنطقة‬‫الثانية‬،‫و‬A1‫هي‬‫نفقات‬‫اإلعالن‬‫لمشروب‬TANG(
‫بماليين‬‫الدوالرات‬ً‫ا‬‫سنوي‬)‫في‬‫المنطقة‬‫األولى‬،‫و‬A2‫هي‬‫نفقات‬‫اإلعالن‬‫في‬‫المنطقة‬
‫الثانية‬.‫وكانت‬‫وكالة‬Young and Rubicam‫ترمي‬‫إلى‬‫تحديد‬‫مقدار‬‫المبيعات‬
‫اإلضافية‬‫التي‬‫يمكن‬‫أن‬‫يحققها‬‫كل‬‫دوالر‬‫تنفقه‬‫الوكالة‬‫على‬‫اإلعالن‬‫في‬‫كل‬‫من‬‫المنطقتين‬.
‫ولإلجابة‬‫على‬‫مثل‬‫هذا‬‫السؤال‬‫قامت‬‫الوكالة‬‫بحساب‬‫مشتقة‬‫المبيعات‬‫بالنسبة‬‫ل‬‫نفقات‬
‫اإلعالن‬‫لكل‬‫منطقة‬‫على‬‫حده‬.‫وجاءت‬‫النتائج‬‫على‬‫النحو‬‫التالي‬:

62. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
𝑑𝑆1
𝑑𝐴1
= 5 − 3𝐴1
𝑑𝑆2
𝑑𝐴2
= 4 − 𝐴2
‫وهكذا‬‫فقد‬‫جاءت‬‫آثار‬‫كل‬‫دوالر‬‫تم‬‫إنفاقه‬‫على‬‫اإلعالن‬‫في‬‫كل‬‫من‬‫المنطقتين‬‫متر‬‫تبة‬‫على‬
‫مقدار‬‫ما‬‫تم‬‫إنفاقه‬‫في‬‫الدعاية‬.
‫وبافتراض‬‫أنه‬‫قد‬‫تم‬‫إنفاق‬0.5‫مليون‬‫دوالر‬‫على‬‫الدعاية‬‫في‬‫المنطقة‬‫األولى‬،‫و‬1‫مليون‬
‫دوالر‬‫في‬‫المنطقة‬‫الثانية‬،‫فإن‬:
𝑑𝑆1
𝑑𝐴1
= 5 − 3 0.5 = 3.5
𝑑𝑆2
𝑑𝐴2
= 4 − 1 = 3

63. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫كل‬‫دوالر‬‫تم‬‫إنفاقه‬‫على‬‫الدعاية‬‫قد‬‫حقق‬‫عائد‬‫من‬‫المبيعات‬‫اإلضافية‬‫بمقدار‬3.50
‫دوالر‬‫في‬‫المنطقة‬‫األولى‬.
‫كل‬‫دوالر‬‫تم‬‫إنفاقه‬‫على‬‫الدعاية‬‫قد‬‫حقق‬‫عائد‬‫من‬‫المبيعات‬‫اإلضافية‬‫بمقدار‬3‫دوالر‬
‫في‬‫المنطقة‬‫الثانية‬.
‫وبناء‬‫على‬‫هذه‬‫النتائج‬‫طرحت‬‫وكالة‬Young and Rubicam‫عدة‬‫توصيات‬‫لشركة‬
General Foods‫تتعلق‬‫بتخصيص‬‫ميزانية‬‫الدعاية‬‫بمشروب‬TANG‫تبعا‬‫لكل‬‫منطقة‬
‫على‬‫حده‬.
‫حيث‬‫أوصت‬‫الوكالة‬‫على‬‫نحو‬‫خاص‬‫بأنه‬‫إذا‬‫كانت‬General Foods‫ترغب‬‫في‬‫زيادة‬
‫إجمالي‬‫مبيعات‬TANG،‫فإنه‬‫يتحتم‬‫عليها‬‫إنفاق‬‫المزيد‬‫من‬‫المال‬‫على‬‫الدعاية‬‫في‬‫ا‬‫لمنطقة‬
‫األولى‬،‫ومقدارا‬‫أقل‬‫في‬‫المنطقة‬‫الثانية‬.

64. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫وال‬‫يعني‬‫هذا‬‫زيادة‬‫في‬‫إجمالي‬‫ميزانية‬General Foods،‫للدعاية‬‫حيث‬‫أن‬‫تخفيض‬
‫النفقات‬‫اإلضافية‬‫للدعاية‬‫في‬‫المنطقة‬‫الثانية‬‫ستعوض‬‫عن‬‫النفقات‬‫اإلضاف‬‫ية‬‫للدعاية‬‫في‬
‫المنطقة‬‫األولى‬.
‫ترى‬‫كيف‬‫توصلت‬‫وكالة‬‫الدعاية‬‫إلى‬‫مثل‬‫هذا‬‫االستنتاج‬
‫لقد‬‫تجلت‬‫لهم‬‫حقيقة‬‫أن‬‫كل‬‫دوالر‬‫ينفقونه‬‫على‬‫الدعاية‬‫سيحقق‬‫زيادة‬‫إضافية‬‫ف‬‫ي‬‫المبيعات‬
‫في‬‫المنطقة‬‫األولى‬‫أكبر‬‫من‬‫تلك‬‫الزيادة‬‫التي‬‫يمكن‬‫تحقيقها‬‫في‬‫المنطقة‬‫الثا‬،‫نية‬‫مما‬‫يعني‬
‫ضرورة‬‫القيام‬‫بإعادة‬‫النظر‬‫في‬‫تخصيص‬‫ميزانية‬‫الدعاية‬.
‫ولفهم‬‫هذا‬،‫األمر‬‫علينا‬‫بالتفكير‬‫فيما‬‫قد‬‫يحدث‬‫في‬‫حالة‬‫إنفاق‬‫دوالر‬‫إضافي‬‫ع‬‫لى‬‫الدعاية‬
‫في‬‫المنطقة‬،‫األولى‬‫وما‬‫قد‬‫يحدث‬‫في‬‫حالة‬‫إنقاص‬‫دوالر‬‫واحد‬‫من‬‫نفقات‬‫الدعاية‬‫ف‬‫ي‬
‫المنطقة‬‫الثانية‬.

65. ‫الرياضية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫االشتقاق‬ ‫مفهوم‬
‫وتكون‬‫النتيجة‬‫كما‬‫أوضحنا‬‫سابقا‬‫وهي‬‫زيادة‬‫المبيعات‬‫بمقدار‬3.50‫دوالر‬‫في‬‫المنطقة‬
‫األولى‬،‫مقابل‬‫انخفاضها‬‫بمقدار‬3.00‫دوالر‬‫في‬‫المنطقة‬‫الثانية‬‫وتكون‬‫المحصلة‬‫النهائ‬‫ية‬
‫هي‬:$3.50–$3.00=$0.50‫زيادة‬‫في‬‫إجمالي‬‫المبيعات‬.
‫وعليه‬‫فإذا‬‫ما‬‫كانت‬‫شركة‬General Foods‫ترغب‬‫في‬‫زيادة‬‫مبيعات‬TANG‫كان‬
‫من‬‫الالزم‬‫عليها‬‫التوصية‬‫بإعادة‬‫النظر‬‫في‬‫تخصيص‬‫ميزانية‬‫الدعاية‬‫لصالح‬‫ال‬‫منطقة‬
‫األولى‬.

66. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫إيجاد‬ ‫بعد‬‫مشتقة‬Y‫لـ‬ ‫بالنسبة‬X‫يتعين‬‫تحديد‬ ‫من‬ ‫تمكننا‬ ‫التي‬ ‫الطريقة‬ ‫معرفة‬ ‫علينا‬‫قيمة‬X
‫الوصول‬ ‫إلى‬ ‫ستؤدي‬ ‫التي‬‫بـ‬Y‫إلى‬‫قيمة‬ ‫أدنى‬ ‫أو‬ ‫أعلى‬‫لها‬.
‫يتعين‬‫المنحن‬ ‫ميل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫إال‬ ‫صغرى‬ ‫أو‬ ‫عظمى‬ ‫نقطة‬ ‫هناك‬ ‫تكون‬ ‫ال‬ ‫أنه‬ ‫أدراك‬ ‫علينا‬‫الذي‬ ‫ى‬
‫تظهر‬‫فيه‬Y‫على‬، ‫الرأسي‬ ‫المحور‬‫و‬X‫على‬ً‫ا‬‫مساوي‬ ‫األفقي‬ ‫المحور‬‫للصفر‬.
‫فبفرض‬‫أن‬Y‫تساوي‬‫ربح‬‫شركة‬Monroe‫و‬X‫تساوي‬‫مستوى‬‫اإلنتاج‬‫لدى‬‫الشركة‬
‫وإذا‬‫كانت‬‫العالقة‬‫بين‬Y‫و‬X‫هي‬‫على‬‫النحو‬‫المبين‬‫بالمنحنى‬‫في‬‫الرسم‬A‫من‬‫الشكل‬
(2.10).

67. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
X
Y
X
0
20
‫قيمة‬y
‫صفر‬ ‫يساوى‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬
‫لـ‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬Y
20
𝑑𝑌
𝑑𝑋
‫مشتقة‬ ‫قيمة‬Y‫لـ‬ ‫بالنسبة‬X
‫العظ‬ ‫القيمة‬ ‫عند‬‫مى‬y0
10
10
‫شكل‬(2.10)
‫قيمة‬‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬Y‫عظمى‬ ‫قيمة‬
‫عندما‬X = 10‫فإن‬ ،dY/dX‫صفر‬ ‫تساوي‬.
450

68. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫لـ‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‫فإن‬Y‫تكون‬ ‫عندما‬ َّ‫ال‬‫إ‬ ‫تحدث‬ ‫ال‬X = 10،‫ميل‬ ‫يكون‬ ‫عندها‬ ‫والتي‬
‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المنحنى‬.
‫وبما‬‫أن‬‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫لـ‬X‫تساوي‬‫أ‬ ‫يمكن‬ َّ‫ال‬‫أ‬ ‫الطبيعي‬ ‫من‬ ‫فإنه‬ ،‫المنحنى‬ ‫هذا‬ ‫ميل‬‫ن‬
‫تكون‬Y‫قيمة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المشتقة‬ ‫هذه‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫إال‬ ‫صغرى‬ ‫أو‬ ‫عظمى‬.
‫العالقة‬ ‫أن‬ ‫بمالحظة‬ ‫علينا‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫وللتحقق‬‫بين‬Y‫و‬X‫في‬‫الشكل‬(2.10)‫هي‬:
Y= −50 + 100𝑋 − 5𝑋2………(2.15)
‫أن‬ ‫أي‬:
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 100 − 10𝑋………(2.16)

69. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫فإنه‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المشتقة‬ ‫هذه‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ ، ‫وهكذا‬:
0 = 100 − 10𝑋
‫فإنه‬:
X=10
‫إن‬‫أهم‬‫ما‬‫يجب‬‫معرفته‬‫هنا‬‫هو‬‫أنه‬‫إليجاد‬‫قيمة‬X‫التي‬‫من‬‫شأنها‬‫الوصول‬‫بـ‬Y‫إلى‬
‫أقصى‬‫أو‬‫أدنى‬‫قيمة‬‫لها‬‫يتحتم‬‫إيجاد‬‫قيمة‬X‫عندما‬‫تكون‬‫هذه‬‫المشتقة‬‫تساوي‬‫صفر‬
‫و‬‫بعد‬‫ذلك‬‫لكى‬‫نصل‬‫الى‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫أو‬‫الصغرى‬‫لـ‬Y‫نقوم‬‫بالتعويض‬‫بقيمة‬X
‫التي‬‫توصلنا‬‫اليها‬‫في‬‫المعادلة‬‫األصلية‬.
‫في‬‫حالتنا‬‫هذه‬‫يتم‬‫التعويض‬‫ب‬X=10‫في‬‫المعادلة‬2.15‫لنحصل‬‫على‬‫قيمة‬Y‫العظمى‬450.
‫قيمة‬X‫تبلغ‬ ‫عندما‬Y‫قيمتها‬‫العظمى‬

70. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫إال‬‫أن‬‫ه‬‫ال‬‫يمكننا‬‫االعتماد‬‫على‬‫هذه‬‫الحقيقة‬‫بمفردها‬
‫وهي‬‫تساوي‬ ‫المشتقة‬ ‫هذه‬ ‫أن‬‫صفر‬
‫حيث‬‫أن‬‫ذلك‬‫ال‬‫يساعدنا‬‫على‬‫التمييز‬‫بين‬‫نقطتين‬‫على‬‫المنحنى‬
‫النقطة‬‫التي‬‫تبلغ‬‫فيها‬Y‫قيمتها‬‫العظمى‬.
‫النقطة‬‫التي‬‫تبلغ‬‫فيها‬Y‫قيمتها‬‫الصغرى‬.
‫و‬

71. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫يتضح‬‫من‬‫الشكل‬(2.10)‫أن‬‫مشتقة‬Y‫الثانية‬‫بالنسبة‬‫لـ‬X‫هي‬‫مشتقة‬‫الدالة‬‫في‬‫المعادلة‬
(2.16)،‫أي‬‫أنها‬‫تساوي‬10-.
‫إن‬‫المشتقة‬‫الثانية‬‫هي‬‫التي‬‫تقيس‬‫ميل‬‫المنحنى‬‫الذي‬‫يوضح‬‫العالقة‬‫بين‬dY / dX
"‫المشتقة‬‫األولى‬"‫و‬X.
‫وكما‬‫أن‬‫المشتقة‬‫األولى‬dY / dX‫هي‬‫التي‬‫تقيس‬‫ميل‬‫منحنى‬Y‫في‬‫الرسم‬A‫بالشكل‬
(2.11)،‫فإن‬‫المشتقة‬‫الثانية‬d2Y / dX2‫هي‬‫التي‬‫تقيس‬‫ميل‬‫منحنى‬dY / dX‫في‬
‫الرسم‬B‫بالشكل‬(2.11).

72. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
X
Y
X
0
‫قيمة‬y
‫لـ‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬Y
𝑑𝑌
𝑑𝑋
‫مشتقة‬ ‫قيمة‬Y
‫لـ‬ ‫بالنسبة‬X
0
15
10
‫شكل‬(2.11)
‫بين‬ ‫للتمييز‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫استخدام‬
‫الصغرى‬ ‫والقيمة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬
‫منحنى‬ ‫أن‬ ‫حيث‬dx/dy‫األسفل‬ ‫الى‬ ‫يميل‬
‫فإن‬d2Y / dX2‫تكون‬ ‫أن‬ ‫يجب‬
‫سالبة‬‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫عند‬
‫لـ‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬Y
5
‫منحنى‬ ‫أن‬ ‫حيث‬dx/dy‫األعلى‬ ‫الى‬ ‫يميل‬
‫فإن‬d2Y / dX2‫تكون‬ ‫أن‬ ‫يجب‬
‫موجبة‬‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫عند‬

73. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫فكما‬‫أن‬‫المشتقة‬‫األولى‬‫هي‬‫التي‬‫تقيس‬‫ميل‬‫منحنى‬‫إجمالي‬‫الربح‬،‫فإن‬‫المشتقة‬‫ا‬‫لثانية‬‫هي‬
‫التي‬‫تقيس‬‫ميل‬‫منحنى‬‫الربح‬‫الحدي‬.‫ولعل‬‫السبب‬‫في‬‫ما‬‫للمشتقة‬‫الثانية‬‫من‬‫أ‬‫همية‬‫كبرى‬‫هو‬
‫أنها‬‫تكون‬‫سالبة‬ً‫ا‬‫دائم‬‫عند‬‫نقطة‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫وموجبة‬‫دائما‬‫عند‬‫نقطة‬‫القيمة‬‫الص‬‫غرى‬.‫ولذا‬
‫فإن‬‫كل‬‫ما‬‫نحتاجه‬‫للتمييز‬‫بين‬‫نقطتي‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫والقيمة‬‫الصغرى‬‫هو‬‫تحدي‬‫د‬‫سلب‬‫أو‬
‫إيجاب‬‫المشتقة‬‫الثانية‬‫في‬‫كل‬‫من‬‫النقطتين‬.
‫ولفهم‬‫السبب‬‫في‬‫كون‬‫المشتقة‬‫الثانية‬‫سالبة‬‫دائما‬‫عند‬‫نقطة‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫وموج‬‫بة‬‫دائما‬‫عند‬
‫نقطة‬‫القيمة‬‫الصغرى‬‫علينا‬‫بالرجوع‬‫إلى‬‫الشكل‬(2.11).
‫عندما‬‫تكون‬‫المشتقة‬‫الثانية‬‫سالبة‬،‫فإن‬‫هذا‬‫يعني‬‫أن‬‫ميل‬dY / dX‫في‬‫الرسم‬B‫سالب‬.
‫ولما‬‫كانت‬dY / dX‫تساوي‬‫ميل‬‫منحنى‬Y‫في‬‫الرسم‬A‫فإنه‬‫من‬‫الطبيعي‬‫أن‬‫ميل‬
‫منحنى‬Y‫ينخفض‬‫مع‬‫ارتفاع‬X.

74. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫ودائما‬‫ما‬‫تكون‬‫األمور‬‫على‬‫هذا‬‫النحو‬‫عند‬‫نقطة‬‫القيمة‬،‫العظمى‬‫كما‬‫هو‬‫الحال‬‫عندما‬‫تس‬‫اوي‬
X = 15.
‫ومن‬‫ناحية‬‫أخرى‬‫فعندما‬‫تكون‬‫المشتقة‬‫الثانية‬‫موجبة‬‫فإن‬‫هذا‬‫يعني‬‫أن‬‫ميل‬‫منحنى‬dY /
dX‫في‬‫الرسم‬B‫موجب‬،‫أي‬‫أن‬‫ميل‬‫منحنى‬Y‫في‬‫الرسم‬A‫يرتفع‬‫مع‬‫انخفاض‬X‫ودائما‬
‫ما‬‫تكون‬‫األمور‬‫على‬‫هذا‬‫النحو‬‫عند‬‫نقطة‬‫القيمة‬‫الصغرى‬،‫كما‬‫هو‬‫الحال‬‫عندما‬X = 5.

75. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫وإليضاح‬‫كيفية‬‫االستعانة‬‫بالمشتقات‬‫لحل‬‫مشكالت‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫أو‬،‫الصغرى‬‫دعنا‬
‫نستعرض‬‫الحالة‬‫التالية‬:
‫بافتراض‬‫أن‬‫العالقة‬‫بين‬‫الربح‬‫واإلنتاج‬‫في‬‫شركة‬Kantor‫هي‬:
Y = –1 + 9X – 6X 2 + X 3
‫حيث‬Y‫تساوي‬‫الربح‬‫السنوي‬(‫بماليين‬‫الدوالرات‬)،‫و‬X‫تساوي‬‫اإلنتاج‬‫السنوي‬(‫بماليين‬
‫الوحدات‬).
‫وتنطبق‬‫هذه‬‫المعادلة‬‫فقط‬‫على‬‫قيمة‬X‫المساوية‬‫لـ‬3‫أو‬‫أقل‬(X ≤ 3)،‫حيث‬‫أن‬‫ضوابط‬
‫العملية‬‫اإلنتاجية‬‫قد‬‫تعوق‬‫الشركة‬‫عند‬‫طرح‬‫كمية‬‫من‬‫اإلنتاج‬‫أكثر‬‫من‬3‫مليون‬‫وحدة‬‫سنويا‬.
‫وإليجاد‬‫قيم‬‫اإلنتاج‬‫التي‬‫تؤدي‬‫إلى‬‫تحقيق‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫أو‬‫الصغرى‬‫للربح‬‫يت‬‫حتم‬‫علينا‬‫إيجاد‬
‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫وجعلها‬‫مساوية‬‫للصفر‬.

76. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 9 − 12x + 3𝑥2 = 0
‫بحل‬‫المعادلة‬‫السابقة‬‫نجد‬‫أن‬‫قيمة‬x‫التي‬‫تجعل‬‫المشتقة‬‫تساوى‬‫صفر‬‫هي‬:
X=1 x=3
‫وللوقوف‬‫على‬‫إذا‬‫ما‬‫كانت‬‫كل‬‫من‬‫هذين‬‫المستويين‬‫لإلنتاج‬‫سيؤدي‬‫إلى‬‫الوص‬‫ول‬
‫بالربح‬‫إلى‬‫أقصى‬‫أو‬‫أدنى‬‫قيمة‬‫له‬،‫علينا‬‫بإيجاد‬‫قيمة‬‫المشتقة‬‫الثانية‬‫عن‬‫د‬‫كل‬‫من‬‫قيمتي‬
X.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
= −12 + 6𝑥

77. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫اذا‬‫كانت‬x=1
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
= −12 + 6 1 = −6
‫المشتقة‬‫الثانية‬،‫سالبة‬‫لذا‬‫فإن‬‫الربح‬‫يبلغ‬‫قيمته‬‫العظمى‬‫في‬‫حالة‬‫بلوغ‬‫اإلنت‬‫اج‬1‫مليون‬‫وحدة‬.
‫اذا‬‫كانت‬x=3
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
= −12 + 6 3 = 6
‫الثانية‬ ‫المشتقة‬،‫موجبة‬‫بلوغ‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫العظمى‬ ‫قيمته‬ ‫يبلغ‬ ‫الربح‬ ‫فإن‬ ‫لذا‬‫اإلنتاج‬3‫مليون‬
‫وحدة‬.

78. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫حالة‬‫عملية‬:‫الحجم‬‫األمثل‬‫لدور‬‫رعاية‬‫المسنين‬
‫في‬‫كل‬‫عام‬‫تنفق‬‫الواليات‬‫المتحدة‬‫ما‬‫يقرب‬‫من‬70‫بليون‬‫دوالر‬‫على‬‫دور‬‫المسنين‬،
‫مع‬‫تزايد‬‫هذا‬‫المبلغ‬‫في‬‫كل‬‫عام‬‫نتيجة‬‫الرتفاع‬‫متوسط‬‫األعمار‬‫بين‬‫أفراد‬‫ال‬‫شعب‬
‫األمريكي‬،‫وطبقا‬‫إلحدى‬‫الدراسات‬‫فى‬‫جامعة‬Trinity‫فإن‬‫متوسط‬‫التكلفة‬‫اليومية‬
‫للفرد‬‫الواحد‬‫في‬‫أحد‬‫دور‬‫المسنين‬‫االستثمارية‬‫هو‬:
𝑦 = 𝐴 − 0.16𝑥 + 0.00137𝑥2
‫حيث‬X‫هي‬‫عدد‬‫األشخاص‬‫الذين‬‫يستوعبهم‬‫الدار‬‫في‬‫اليوم‬‫الواحد‬‫على‬‫مدار‬‫الع‬‫ام‬
(ً‫ا‬‫مقاس‬‫باآللف‬)،‫حيث‬A‫هي‬‫العدد‬‫الذي‬‫يتوقف‬‫على‬‫المنطقة‬‫التي‬‫توجد‬‫فيها‬‫الدا‬‫ر‬(‫أو‬
‫غير‬‫ذلك‬‫من‬‫العوامل‬‫المماثلة‬)،‫مع‬‫استثناء‬X.

79. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫والمطلوب‬:
(‫أ‬)‫بناء‬‫على‬‫نتائج‬‫تلك‬‫الدراسة‬،‫فما‬‫هو‬‫الحجم‬‫المناسب‬‫لدار‬‫المسنين‬(‫مق‬ً‫ا‬‫اس‬‫بعدد‬
‫األفراد‬‫الممكن‬‫استيعابهم‬‫في‬‫اليوم‬‫الواحد‬)‫الذي‬‫يؤول‬‫بتكلفة‬‫الفرد‬‫الواح‬‫د‬‫في‬‫اليوم‬
‫الواحد‬‫إلى‬‫أدنى‬‫مستوى‬‫ممكن‬.
(‫ب‬)‫دلل‬‫على‬‫أن‬‫النتيجة‬‫التي‬‫توصلت‬‫إليها‬‫تؤدي‬‫إلى‬‫الحصول‬‫على‬‫القيم‬‫ة‬‫الصغرى‬
-‫ال‬‫العظمى‬-‫للتكلفة‬‫اليومية‬‫للفرد‬.
(‫ج‬)‫هل‬‫ترى‬‫أن‬‫عدد‬‫األفراد‬‫الممكن‬‫استيعابهم‬‫في‬‫اليوم‬‫الواحد‬‫هو‬‫المقياس‬‫الص‬‫حيح‬
‫لسعة‬‫دار‬‫المسنين‬‫؟‬‫نعم‬‫أو‬‫ال‬‫ولماذا‬‫؟‬

80. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫الحل‬:
(‫أ‬)‫إليجاد‬‫قيمة‬X‫التي‬‫من‬‫شأنها‬‫الوصول‬‫بـ‬Y‫إلى‬‫قيمتها‬،‫الصغرى‬‫يتعين‬‫علينا‬
‫جعل‬‫مشتقة‬Y‫بالنسبة‬‫إلى‬X‫تساوي‬‫صفر‬:

81. ‫اإليرادات‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكاليف‬ ‫تساوي‬ ‫مبدأ‬‫لتحقيق‬ ‫الحدية‬‫ا‬‫ألمثلية‬
‫وبعد‬‫أن‬‫تسنى‬‫لنا‬‫التعرف‬‫على‬‫كيفية‬‫االستعانة‬‫بعلم‬‫التفاضل‬‫لحل‬‫مش‬‫كالت‬‫األمثلية‬
‫العظمى‬‫أو‬‫الصغرى‬،‫يصبح‬‫من‬‫السهل‬‫علينا‬‫إدراك‬‫حقيقة‬‫هامة‬،‫وهي‬‫أن‬‫القاعد‬‫ة‬
‫األساسية‬‫لمعظمة‬‫الربح‬،‫ال‬‫تتأتى‬‫إال‬‫حينما‬‫تتساوى‬‫التكلفة‬‫الحدية‬‫مع‬‫اإل‬‫يراد‬‫الحدي‬.
‫ويوضح‬‫الشكل‬(2.12)‫دوال‬‫إجمالي‬‫التكاليف‬‫وأجمالي‬‫اإليرادات‬‫لشركة‬‫ما‬.‫وبما‬‫أن‬
‫إجمالي‬‫الربح‬‫يساوي‬‫إجمالي‬‫اإليرادات‬ً‫ا‬‫مطروح‬‫منه‬‫إجمالي‬‫التكلفة‬،‫لذا‬‫فإن‬‫إ‬‫جمالي‬
‫الربح‬‫يكون‬ً‫ا‬‫مساوي‬‫للمسافة‬‫الرأسية‬‫بين‬‫منحنى‬‫إجمالي‬‫اإليرادات‬‫ومنحنى‬‫إجمالي‬
‫التكلفة‬‫عند‬‫أي‬‫مستوى‬‫من‬‫مستويات‬‫اإلنتاج‬‫المختلفة‬.
‫وهذا‬‫وتصل‬‫هذه‬‫المسافة‬‫إلى‬‫أقصاها‬‫عند‬‫مستوى‬‫اإلنتاج‬Q1،‫حيث‬‫يتساوى‬‫ميل‬
‫منحنى‬‫إجمالي‬‫اإليرادات‬‫مع‬‫ميل‬‫منحنى‬‫إجمالي‬‫التكلفة‬‫ولما‬‫كان‬‫ميل‬‫منحنى‬‫إج‬‫مالي‬
‫اإليرادات‬‫هو‬‫اإليراد‬‫الحدي‬‫وميل‬‫منحنى‬‫إجمالي‬‫التكلفة‬‫هو‬‫التكلفة‬‫الحدية‬،‫ف‬‫إن‬‫هذا‬
‫يعني‬‫وصول‬‫الربح‬‫إلى‬‫أقصى‬‫حد‬‫ممكن‬‫عندما‬‫تتساوى‬‫التكلفة‬‫الحدية‬‫مع‬‫اإل‬‫يرادات‬
‫الحدية‬.

82. ‫اإليرادات‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكاليف‬ ‫تساوي‬ ‫مبدأ‬‫لتحقيق‬ ‫الحدية‬‫ا‬‫ألمثلية‬
Total cost
Total revenue
Maximum
profitR
S
output
Dollars
Per time
period
‫شكل‬(2.12)
‫قاعدة‬‫الحدي‬ ‫اإليراد‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكلفة‬ ‫تساوي‬
‫الربح‬ ‫لمعظمة‬
Q1Q0
‫مستوى‬ ‫عند‬‫اإلنتاج‬Q1‫يتعظم‬‫الحدي‬ ‫اإليراد‬ ‫ألن‬ ً‫ا‬‫نظر‬ ‫الربح‬‫والذي‬‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫يساوي‬R‫يساوي‬‫التكلفة‬‫الحدية‬‫ميل‬ ‫تساوي‬ ‫والتي‬‫المستقيم‬S.

83. ‫اإليرادات‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكاليف‬ ‫تساوي‬ ‫مبدأ‬‫لتحقيق‬ ‫الحدية‬‫ا‬‫ألمثلية‬
‫وبفحص‬‫الشكل‬(2.12)‫يتبين‬‫أن‬Q1‫هو‬‫مستوى‬‫اإلنتاج‬‫الذي‬‫يمكن‬‫أن‬‫يحقق‬‫أعلى‬
‫مستوى‬‫ممكن‬‫من‬‫الربح‬.
‫أما‬‫مستويات‬‫اإلنتاج‬‫األدنى‬‫من‬Q0‫فإنها‬‫تتسبب‬‫في‬‫تكبد‬‫الشركات‬‫للخسائر‬(‫حيث‬
‫ترتفع‬‫إجمالي‬‫التكلفة‬‫في‬‫هذه‬‫الحالة‬‫عن‬‫إجمالي‬‫اإليرادات‬)،‫كما‬‫يتعذر‬‫أن‬‫ت‬‫ؤدي‬
‫مستويات‬‫اإلنتاج‬‫هذه‬‫إلى‬‫معظمة‬‫الربح‬
‫ومع‬‫تزايد‬‫اإلنتاج‬‫أكثر‬‫من‬Q0،‫تأخذ‬‫إجمالي‬‫اإليرادات‬‫في‬‫الزيادة‬‫بشكل‬‫أكبر‬
‫وأسرع‬‫من‬‫زيادة‬‫إجمالي‬،‫التكلفة‬‫مما‬‫يؤدي‬‫بالضرورة‬‫إلى‬‫زيادة‬‫الربح‬.

84. ‫اإليرادات‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكاليف‬ ‫تساوي‬ ‫مبدأ‬‫لتحقيق‬ ‫الحدية‬‫ا‬‫ألمثلية‬
‫وطالما‬‫بقي‬‫ميل‬‫منحنى‬‫إجمالي‬‫اإليرادات‬-‫المساوي‬‫لإليرادات‬‫الحدية‬-‫أعلى‬‫من‬
‫ميل‬‫منحنى‬‫إجمالي‬‫التكلفة‬-‫المساوي‬‫للتكلفة‬‫الحدية‬-‫كان‬‫من‬‫الطبيعي‬‫اس‬‫تمرار‬‫زيادة‬
‫الربح‬‫مع‬‫زيادة‬‫اإلنتاج‬.
‫وعندما‬‫يتساوى‬‫ميل‬‫المنحنيين‬-‫بمعنى‬‫تساوي‬‫اإليرادات‬‫الحدية‬‫مع‬‫التكلف‬‫ة‬‫الحدية‬-
‫يتوقف‬‫الربح‬‫عن‬‫الزيادة‬،‫حيث‬‫يكون‬‫قد‬‫بلغ‬‫نهايته‬‫العظمى‬.
‫وبما‬‫أن‬‫هذه‬‫الميول‬‫تتساوى‬‫جميعها‬‫عند‬‫مستوى‬‫اإلنتاج‬Q1،‫لذا‬‫يمكن‬‫اعتبار‬‫هذا‬
‫المستوى‬‫من‬‫اإلنتاج‬‫هو‬‫المستوى‬‫األمثل‬‫الذي‬‫يحقق‬‫أقصى‬‫ربح‬‫ممكن‬.

85. ‫اإليرادات‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكاليف‬ ‫تساوي‬ ‫مبدأ‬‫لتحقيق‬ ‫الحدية‬‫ا‬‫ألمثلية‬
‫وباستخدام‬‫علم‬‫التفاضل‬‫يمكننا‬‫فهم‬‫األسباب‬‫التي‬‫تجعل‬‫الشركات‬‫تعظم‬‫أ‬‫رباحها‬‫عندما‬
‫تتساوى‬‫التكلفة‬‫الحدية‬‫مع‬‫اإليرادات‬‫الحدية‬.‫ولعل‬‫أول‬‫ما‬‫يمكن‬‫مالحظته‬‫هو‬‫أ‬‫ن‬:
𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶
‫حيث‬𝜋‫تساوي‬‫إجمالي‬،‫الربح‬TR‫تساوي‬‫إجمالي‬،‫اإليرادات‬‫و‬TC‫تساوي‬‫إجمالي‬
‫التكلفة‬.
‫وباستخدام‬‫مشتقة‬𝜋‫بالنسبة‬‫إلى‬Q"‫مستوى‬‫اإلنتاج‬"‫نجد‬‫أن‬:
𝑑𝜋
𝑑𝑄
=
𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄
−
𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄

86. ‫اإليرادات‬ ‫مع‬ ‫الحدية‬ ‫التكاليف‬ ‫تساوي‬ ‫مبدأ‬‫لتحقيق‬ ‫الحدية‬‫ا‬‫ألمثلية‬
‫ولكي‬‫تكون‬𝜋‫نهاية‬‫عظمى‬،‫يجب‬‫أن‬‫تكون‬‫هذه‬‫المشتقة‬‫مساوية‬‫للصفر‬،‫فيكو‬‫ن‬‫من‬
‫الصحيح‬‫أن‬:
𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄
=
𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄
… … … (2.18)

87. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫حالة‬‫عملية‬:‫ادعاء‬‫وجود‬‫خطأ‬‫في‬‫تصميم‬‫طائرات‬‫الشبح‬‫القاذفة‬‫للقنابل‬
‫يعد‬‫علم‬‫االقتصاد‬‫اإلداري‬‫ذا‬‫نفع‬‫كبير‬‫في‬‫مجال‬‫صناعة‬‫الطائرات‬‫وغيرها‬‫من‬‫معدات‬
،‫الفضاء‬‫ومع‬‫ذلك‬ً‫ا‬‫أحيان‬‫ما‬‫تقع‬‫أخطاء‬‫جسيمة‬،‫كما‬‫حدث‬‫عند‬‫القيام‬‫بتصمي‬‫م‬‫طائرات‬
‫الشبح‬‫القاذفة‬‫للقنابل‬.
‫لقد‬‫تكلفت‬‫صناعة‬‫طائرة‬‫الشبح‬B-2‫عدة‬‫ماليين‬‫من‬‫الدوالرات‬‫إال‬‫أن‬
‫السيد‬Joseph Foa -‫وهو‬‫أستاذ‬‫علم‬‫الهندسة‬‫بجامعة‬George Washington
-‫يؤكد‬‫على‬‫وجود‬‫خطأ‬‫جوهري‬‫في‬‫تصميم‬‫طائرة‬‫الشبح‬‫نتيجة‬‫لقيام‬‫اثنين‬‫من‬
‫مهندسي‬‫ديناميكا‬‫الفضاء‬‫بالخلط‬‫بين‬‫نقطة‬‫القيمة‬‫الصغرى‬‫ونقطة‬‫القيمة‬‫العظمى‬.

88. ‫االستعانة‬‫في‬ ‫بالمشتقات‬‫و‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫معالجة‬‫الصغرى‬
‫لقد‬‫قام‬‫هذان‬‫المهندسان‬‫باستخدام‬‫بعض‬‫القواعد‬‫الرياضية‬‫بغية‬‫الوقوف‬‫على‬‫كيف‬‫ية‬‫تحديد‬‫حجم‬
‫الطائرة‬‫بأفضل‬‫تناسب‬‫ممكن‬‫بين‬‫جناحيها‬‫وهيكلها‬‫للوصول‬‫بالطائرة‬‫إلى‬‫أقصى‬‫مدى‬‫ممكن‬.
‫وبأخذ‬‫دالة‬‫المدى‬‫بالنسبة‬،‫للحجم‬‫وجد‬‫المهندسان‬‫أن‬‫هذه‬‫المشتقة‬‫تساوي‬‫صف‬‫ر‬‫عندما‬
‫يكون‬‫معظم‬‫الحجم‬ً‫ا‬‫متركز‬‫في‬،‫الجناح‬‫األمر‬‫الذي‬‫جعلهما‬‫يستنتجان‬‫أن‬‫تص‬‫ميم‬‫الجناح‬
‫الطائر‬‫هو‬‫األفضل‬‫للحصول‬‫على‬‫أقصى‬‫مدى‬‫ممكن‬‫للطائرة‬.
‫إال‬‫أن‬‫األستاذ‬Foa‫خرج‬‫على‬‫الجميع‬‫بمفاجأة‬،‫مذهلة‬‫حيث‬‫أثبت‬‫أن‬‫المشتقة‬‫الث‬‫انية‬
‫في‬‫ظل‬‫هذه‬‫المعطيات‬‫البد‬‫وأن‬‫تكون‬‫موجبة‬،‫مما‬‫يعني‬‫أن‬‫تصميم‬‫الجناح‬‫الطائ‬‫ر‬
‫يؤدي‬‫إلى‬‫الحصول‬‫على‬‫أدنى‬(‫وليس‬‫أقصى‬‫مدى‬‫ممكن‬‫لطائرات‬‫الشبح‬).
‫ويعد‬‫هذا‬‫المثل‬‫من‬‫األهمية‬،‫بمكان‬‫حيث‬‫أنه‬‫يؤكد‬‫على‬‫ضرورة‬‫النظر‬‫إلى‬‫المشت‬‫قة‬
‫الثانية‬‫والتحقق‬‫من‬‫عدم‬‫وجود‬‫لبس‬‫بين‬‫نقطة‬‫القيمة‬‫العظمى‬‫ونقطة‬‫القيمة‬‫ا‬‫لصغرى‬.

89. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
‫لقد‬‫ركزنا‬‫فيما‬‫سبق‬‫على‬‫تلك‬‫المواقف‬‫التي‬‫يعتمد‬‫فيها‬‫أحد‬‫المتغيرات‬‫على‬‫مت‬‫غير‬‫واحد‬‫فقط‬.
‫وعلى‬‫الرغم‬‫من‬‫أهمية‬‫هذه‬،‫المواقف‬‫إال‬‫أنه‬‫توجد‬‫حاالت‬‫عديدة‬‫يعتمد‬‫فيها‬‫أحد‬‫المتغيرا‬‫ت‬
‫على‬‫عدد‬‫كبير‬‫من‬‫المتغيرات‬،‫األخرى‬‫بدال‬‫من‬‫اعتماده‬‫على‬‫متغير‬‫واحد‬‫بعينه‬.
‫ولنأخذ‬‫مثل‬‫شركة‬Merrimack‫التي‬‫تقوم‬‫بإنتاج‬‫نوعين‬‫من‬‫السلع‬،‫وتعتمد‬‫األرباح‬‫التي‬
‫تحققها‬‫الشركة‬‫على‬‫مقدار‬‫ما‬‫تنتجه‬‫من‬‫كل‬‫من‬،‫السلعتين‬‫بمعنى‬‫أن‬:
𝜋 = 𝑓 𝑄1, 𝑄2 … … … (2.19)
‫حيث‬𝜋‫هي‬‫ربح‬‫الشركة‬،Q1‫إنتاجها‬‫من‬‫السلعة‬‫األولى‬،‫و‬Q2‫إنتاجها‬‫من‬‫السلعة‬‫الثانية‬.

90. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
‫وإليجاد‬‫قيمة‬‫المتغيرات‬‫المستقلة‬‫كل‬‫على‬‫حده‬Q1‫و‬Q2‫التي‬‫تؤدي‬‫إلى‬‫تعظيم‬‫المتغير‬
‫التابع‬(𝜋)،‫يتحتم‬‫علينا‬‫معرفة‬‫األثر‬‫الحدي‬‫لكل‬‫من‬‫المتغيرات‬‫المستقلة‬‫على‬‫ا‬‫لمتغير‬،‫التابع‬
‫مع‬‫افتراض‬‫ثبات‬‫آثر‬‫جميع‬‫المتغيرات‬‫المستقلة‬‫األخرى‬.
‫ف‬‫يتحتم‬‫علينا‬‫معرفة‬‫األثر‬‫الحدي‬‫لـ‬Q1‫على‬𝜋‫عند‬‫ثبات‬Q2،‫و‬‫األثر‬‫الحدي‬‫لـ‬Q2‫على‬𝜋
‫عند‬‫ثبات‬Q1‫وللحصول‬‫على‬‫هذه‬،‫المعلومات‬‫يتعين‬‫علينا‬‫الحصول‬‫على‬‫المشتقة‬‫الج‬‫زئية‬‫لـ‬
𝜋‫بالنسبة‬‫إلى‬Q1‫والمشقة‬‫الجزئية‬‫لـ‬𝜋‫بالنسبة‬‫إلى‬Q2.
‫وللحصول‬‫على‬‫المشتقة‬‫الجزئية‬‫لـ‬𝜋‫بالنسبة‬‫لـ‬Q1،‫والمشار‬‫إليها‬𝜕𝜋/𝜕𝑄1،‫يجب‬‫تطبيق‬
‫قواعد‬‫إيجاد‬‫المشتقات‬‫السابق‬‫توضيحها‬‫في‬‫هذا‬‫الفصل‬‫على‬‫المعادلة‬(2.19)،‫مع‬‫معاملة‬
Q2‫كثابت‬.
‫وللحصول‬‫على‬‫المشتقة‬‫الجزئية‬‫لـ‬𝜋‫بالنسبة‬‫إلى‬Q2،‫المشار‬‫إليها‬𝜕𝜋/𝜕𝑄2‫يجب‬‫تطبيق‬
‫نفس‬‫القواعد‬‫على‬‫المعادلة‬(2.19)،‫مع‬‫معاملة‬Q1‫كثابت‬.

91. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
‫لنفترض‬‫أن‬‫العالقة‬‫بين‬‫أرباح‬‫شركة‬Merrimack‫بآالف‬‫الدوالرات‬‫وإنتاجها‬‫من‬‫كل‬‫من‬
‫السلعتين‬‫هي‬:
𝜋 = −20 + 100𝑄1 + 80𝑄2 − 10𝑄12
− 10𝑄22
− 5𝑄1𝑄2 … … (2.20)
‫إليجاد‬‫المشتقة‬‫الجزئية‬‫لـ‬𝜋‫بالنسبة‬‫إلى‬Q1،‫نقوم‬‫بمعاملة‬Q2،‫كثابت‬‫فنجد‬‫أن‬:
𝜕𝜋
𝜕𝑄1
= 100 − 20𝑄1 − 5𝑄2
‫إليجاد‬‫المشتقة‬‫الجزئية‬‫لـ‬𝜋‫بالنسبة‬‫إلى‬Q2،‫نقوم‬‫بمعاملة‬Q1‫كثابت‬،‫فنجد‬‫أن‬:
𝜕𝜋
𝜕𝑄2
= 80 − 20𝑄1 − 5𝑄1

92. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
‫وبمجرد‬‫الوصول‬‫إلى‬‫المشتقات‬،‫الجزئية‬‫يكون‬‫من‬‫السهل‬‫نسبيا‬‫تحديد‬‫قيم‬‫المت‬‫غيرات‬‫الثابت‬
‫التي‬‫تؤدي‬‫إلى‬‫معظمة‬‫المتغير‬‫التابع‬.
‫ويكون‬‫كل‬‫ما‬‫ينبغي‬‫عمله‬‫هو‬‫جعل‬‫جميع‬‫المشتقات‬‫الجزئية‬‫مساوية‬‫للصفر‬.
‫وهكذا‬‫يكون‬‫الوضع‬‫بالنسبة‬‫إلى‬‫شركة‬Merrimack:
𝜕𝜋
𝜕𝑄1
= 100 − 20𝑄1 − 5𝑄2 = 0 … … … 2.21
𝜕𝜋
𝜕𝑄2
= 80 − 20𝑄1 − 5𝑄1 = 0 … … … (2.22)

93. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
‫والمعادلتان‬(2.21)‫و‬(2.22)‫هما‬‫معادلتان‬‫في‬،‫مجهولين‬‫وبحل‬‫هاتين‬‫المعادلتين‬،‫معا‬‫نج‬‫د‬
‫أن‬‫أرباح‬‫الشركة‬‫تبلغ‬‫أقصى‬‫حد‬‫لها‬‫عندما‬Q1 = 4.267‫و‬Q2 = 2.933.
‫وبعبارة‬‫أخرى‬‫فإن‬‫معظمة‬‫األرباح‬‫تقتضي‬‫قيام‬‫الشركة‬‫بإنتاج‬‫ما‬‫ال‬‫يقل‬‫عن‬4.267‫من‬
‫الوحدات‬‫من‬‫السلعة‬،‫األولى‬‫وما‬‫ال‬‫يقل‬‫عن‬2.933‫من‬‫الوحدات‬‫من‬‫السلعة‬‫الثانية‬‫في‬‫حدود‬
‫فترة‬‫زمنية‬‫معينة‬.
‫فإذا‬‫نجحت‬‫الشركة‬‫في‬،‫ذلك‬‫سوف‬‫تبلغ‬‫أرباحها‬311‫دوالر‬‫في‬‫غضون‬‫تلك‬‫الفترة‬‫المحددة‬.
‫بإضافة‬4.267‫لـ‬Q1‫و‬2.933‫لـ‬Q2‫في‬‫المعادلة‬(2.20)‫نجد‬‫أن‬:
𝜋 = −20 + 100 4.267 + 80 2.933 − 10 4.267 2
− 10 2.933 2
− 5 4.267 2.933
= 311

94. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
‫وللتعرف‬‫على‬‫السبب‬‫في‬‫أهمية‬‫مساواة‬‫جميع‬‫المشتقات‬‫للصفر‬،‫علينا‬‫بالرجو‬‫ع‬‫إلى‬‫الشكل‬
(2.13)‫الذي‬‫يوضح‬‫العالقة‬‫في‬‫المعادلة‬(2.20)‫بين‬𝜋‫و‬Q1‫و‬Q2‫في‬‫ذلك‬‫المدى‬‫حيث‬
𝜋‫تقترب‬‫من‬‫قيمتها‬‫العظمى‬.
‫وكما‬‫هو‬،‫واضح‬‫يتم‬‫التعبير‬‫عن‬‫هذه‬‫العالقة‬‫في‬‫شكل‬‫مسطح‬‫ثالثي‬‫األبعاد‬.‫وتب‬‫لغ‬𝜋‫قيمتها‬
‫العظمى‬‫عند‬‫النقطة‬M،‫حيث‬‫يكون‬‫هذا‬‫المسطح‬ً‫ا‬‫مستوي‬.
‫كما‬‫يظهر‬‫في‬‫الرسم‬‫منظور‬‫آخر‬ً‫ا‬‫مماس‬‫لهذا‬‫السطح‬‫عند‬‫النقطة‬M،‫ويتوازى‬ً‫ا‬‫تمام‬‫مع‬
‫المنظور‬Q1Q2،‫أي‬‫أن‬‫ميل‬‫هذا‬‫السطح‬‫بالنسبة‬‫لـ‬Q1‫أو‬Q2ً‫ا‬‫مساوي‬‫للصفر‬.
‫وبما‬‫أن‬‫المشتقات‬‫الجزئية‬‫في‬‫المعادلتين‬(2.21)‫و‬(2.22)‫تساوي‬‫هذا‬،‫الميل‬‫لذا‬‫فإنه‬‫من‬
‫الضروري‬‫أن‬‫يكون‬‫هذا‬‫الميل‬‫نفسه‬‫يساوي‬‫صفر‬‫عند‬‫نقطة‬‫النهاية‬‫العظمى‬M.

95. ‫التفاضل‬‫متعددة‬ ‫الدوال‬ ‫ومعظمة‬ ‫الجزئي‬‫الحدود‬:
M
𝜋 Q2
2.933
‫عند‬‫نقطة‬M،‫تكون‬‫قيمة‬،‫عظمى‬
‫ويكون‬‫السطح‬‫المعبر‬‫عن‬‫هذه‬‫العالقة‬
،‫مستوي‬‫كما‬‫يكون‬‫ميل‬‫هذا‬‫السطح‬
‫بالنسبة‬‫لـ‬Q1‫و‬Q2
ً‫ا‬‫مساوي‬‫للصفر‬.
4.267 Q1
‫شكل‬(2.13)
‫بين‬ ‫العالقة‬𝜋‫و‬Q1‫و‬Q2