HÀM THETA VÀ ÁP DỤNG CỦA NÓ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ NGUYÊN THÀNH TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG

1. Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Các tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đ
ảo mà i2
= −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta k
tương ứng bởi
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Một cách tự
người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện mộ
thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với
rằng i2
= −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
và
z1.z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2
y
= (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) .
Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phứ
|z| = x2 + y2.
Số phức liên hợp của số phức z = x+iy được kí hiệu là z =
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e
r > 0, θ ∈ R được gọi là argument của số phức z(argumen
số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khá
bội của 2π) và eiθ
= cos θ +i sin θ. Bởi vì eiθ
= 1 nên r =
θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường

2. 2
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈
được viết là
w = lim
n→∞
zn ⇔ lim
n→∞
|zn − w| = 0.
Dãy số phức {zn} được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm| → 0 khi m, n → ∞.
1.2. Hàm biến phức
1.2.1. Hàm liên tục
Cho hàm f(z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f(
tục tại điểm z0 ∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện
đương sau
i) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈
|z = z0 < δ| thì
|f (z) − f (z0)| < ε.
ii) Với mọi dãy {zn} ⊂ Ω mà lim
n→∞
zn = z0 thì lim
n→∞
f (
f (z0) .
Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọ
của Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liê
Nếu hàm f(z) là liên tục thì hàm được xác định bởi z →
cũng liên tục.
Ta nói rằng hàm f(z) đạt giá trị cực đại tại z0 ∈ Ω nếu |f
|f (z0)|, với mọi z ∈ Ω. Hàm f(z) đạt cực tiểu tại z0 ∈
|f (z)| ≥ |f (z0)|, với mọi z ∈ Ω.
1.2.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f(z)
gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn củ
thức
f (z0 + h) − f (z0)
h
, khi h → 0,

3. 3
f(z) tại điểm z0.
Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọ
của Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hìn
M nếu f là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M. H
chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Ví dụ 1.1. Hàm f(z) = z là chỉnh hình trên tập con mở b
trong C và f (z) = 1.
Ví dụ 1.2. Hàm f (z) =
1
z
là chỉnh hình trên tập mở b
trong C không chứa điểm gốc và f (z) = −
1
z2
.
Ví dụ 1.3. Hàm f(z) = z là không chỉnh hình.
Mệnh đề 1.1. Nếu f chỉnh hình tại z0 thì
∂f
∂¯z
(z0) = 0 và f (z0) =
∂f
∂z
(z0) = 2
∂u
∂z
(z0) .
Nếu viết F(x, y) = f(z), thì F khả vi theo nghĩa thực và
det JF (x0, y0) = |f (z0)|
2
.
1.2.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞
n=0
anzn
= a0 + a1x + a2x2
+ ... + anxn
+ ...,
trong đó an ∈ C.
Định lý 1.1. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa
∞
n=0
anz
đó tồn tại số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0,
R được tính bởi công thức

4. 4
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R
gọi là đĩa hội tụ.
1.2.4. Không điểm và cực điểm
Điểm kỳ dị của một hàm f là một số phức z0 sao cho
định trong lân cận của điểm z0 nhưng không xác định tại
điểm đó. Chúng ta cũng gọi những điểm đó là điểm kỳ dị c
Số phức z0 được gọi là không điểm của hàm chỉnh hình
f(z0) = 0. Đặc biệt, thác triển giải tích cho thấy rằng
điểm của hàm chỉnh hình không tầm thường là cô lập.
Định lý 1.2. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tậ
mở liên thông Ω, có một không điểm tại z0 ∈ Ω và không
nhất bằng không trong Ω. Thế thì, tồn tại một lân cận U
của z0, một hàm chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu t
và một số nguyên dương duy nhất n sao cho
f(z) = (z − z0)n
g(z) với mọi z ∈ U.
Định lý 1.3. Nếu f có một cực điểm tại z ∈ Ω, thì tron
lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h không triệ
và số nguyên dương n duy nhất sao cho
f(z) = (z − z0)−n
h(z).
Số nguyên dương n trong định lý được gọi là bậc (hoặ
của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm gần z0.

5. Chương 2
HÀM THETA
Định nghĩa 2.1. Hàm Theta Jacobi được xác định bở
thức
Θ (z|τ) =
∞
n = −∞
eπin2τ
e2πinz
, z ∈ C và τ ∈ H.
Mệnh đề 2.1. Hàm Θ thỏa mãn các tính chất sau
i) Θ nguyên trong z ∈ C và chỉnh hình trong τ ∈ H.
ii) Θ (z + 1/τ) = Θ (z | τ) .
iii) Θ (z + τ|τ) = Θ (z|τ) e−πiτ
e−2πiz
.
iv) Θ (z|τ) = 0 khi z = 1/2 + τ/2 + n + mτ và n, m
Định nghĩa 2.2. Hàm tích được xác định bởi công th
(z|τ) =
∞
n=1
1 − q2n
1 + q2n−1
e2πiz
1 + q2n−1
e−2π
với z ∈ C, τ ∈ H và q = eπiτ
.
Định lý 2.1. Hàm (z | τ) thỏa mãn các tính chất sau đ
(i) (z|τ) là hàm nguyên trong với mọi z ∈ C và
hình với mọi τ ∈ H.
(ii) (z + 1|τ) = (z|τ).
(iii) (z + τ|τ) = (z|τ) e−πiτ
e−2πiz
.
(iv) (z|τ) = 0 khi z = 1/2 + τ/2 + n + mτ và n, m
Thêm nữa, những điểm này là không điểm đơn của (· |
hàm (· | τ) không có không điểm nào khác.
Định lý 2.2. (Công thức tích) Cho z ∈ C và τ ∈ H,
ta có đồng nhất thức sau

6. Chương 3
HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁ
ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH
PHƯƠNG
3.1. Định lý tổng hai bình phương
Định lý 3.1. Nếu n ≥ 1 thì r2 (n) = 4 (d1 (n) − d3 (n)).
Trong đó d1(n) là số các ước của n dưới dạng 4k + 1 và d3
số các ước của n dưới dạng 4k + 3.
Mệnh đề 3.1. Đồng nhất thức r2 (n) = 4 (d1 (n) − d3 (n
n ≥ 1 là tương đương với đồng nhất thức sau
θ(τ)2
= 2
∞
n=−∞
1
qn + q−n
= 1 + 4
∞
n=1
qn
1 + q2n
,
với bất kì q = eπiτ
và τ ∈ H.
3.2. Định lý bốn bình phương
Định lý 3.2. Mọi số nguyên dương là tổng của bốn bình p
và hơn nữa
r4 (n) = 8σ∗
1 (n) với n ≥ 1.
Trong đó σ∗
1 (n) là tổng các ước của n không chia hết cho
Mệnh đề 3.2. Khẳng định r4 (n) = 8σ∗
1 (n) là tương đươ
đồng nhất thức
θ(τ)4
=
−1
E∗
(τ) , trong đó τ ∈ H.